Bài tập chương 1 PHÂN TÍCH HÌNH TOÁN KINH TẾ
Khoa Toán kinh tế - www.mfe.edu.vn Biên soạn: LÊ ANH ĐỨC
1
Năm 2006-NEU
1. Cho Y là thu nhập, S là tiết kim. Biết rằng mức tiết kim sẽ là S = -7,42 khi Y = 5
a. Hãy xác định hàm tiết kim nếu khuynh hướng tiết kiệm cận biên: MPS = Y 0,4
b. Kể từ mức thu nhập dương nào trở lên sẽ có tiết kiệm dương?
2. Cho mô hình thu nhập quốc dân:
)1;0,,,( 111010
0210
10
0
babbaa
RaYaaI
YbbC
GICY
Trong đó: G0 là chi tu chính phủ; R0 là lãi suất; I là đầu tư; C là tiêu dùng; Y là thu nhập
a. Hãy xác định Y, C ở trạng thái cân bằng
b. Với b0 = 200; b1 = 0,7; a0 = 100; a1 = 0,2, a2 = 10; R0 = 7; G0 = 500, khi tăng chi tiêu của chính
phủ 1% t thu nhập cân bằng thay đi bao nhiêu %?
3. Một công ty độc quyn tiến hành sản xuất một loại sản phẩm ở hai cơ sở vớic hàm chi phí
tương ứng : C1 = 128 + 0,2Q12 và C2 = 156 + 0,1Q22 (Q1, Q2 là lượng sản phm sản xuất ở cơ
sở 1 và 2). Hàm cầu ngược về sản phẩm của công ty dạng:
P = 600 – 0,1Q. Trong đó: Q1 + Q2 = Q và Q < 6000.
a. Hãy xác định lượng sản phm cần sản xuất ở mi cơ sở để tối đa hoá lợi nhuận?
b. Tại mức sản lượng làm tối đa hoá lợi nhuận, hãy tính độ co giãn của cầu theo giá?
Năm 2007-NEU
4. Cho hàm sản xuất Y = 0,3K0,5L0,5. Trong đó: Y sản lượng; L – lao động; K – vốn.
a. Hãy tính sản phẩm biên của vốn và lao động ti K = 4; L = 9.
b. Quá tnh công nghệ thể hiện bằng hàm số trên năng suất cận biên giảm dần hay không?
Hãy giải thích.
c. Nếu K tăng 8%, L không đổi t Y tăng bao nhiêu %?
d. Chứng minh rằng hàm năng suất cận biên của vốn hàm thuần nhất bậc 0.
5. Cho hàm cung S, hàm cầu D về mt loi hàng hóa:
S = 0,1P2 + 5P – 10; D = 50/(P-2) với P giá hang hóa
a. Với điều kiện nào của P t cung cầu đều ơng? Với điều kiện trên y viết phương trình
cân bằng thị trường.
b. Xác định hàm cầu khảo sát tính đơn điệu của hàm y. Chứng t rằng ln ln tn tại
duy nhất giá trịn bằng trong khoảng (3; 5).
Bài tập chương 1 PHÂN TÍCH HÌNH TOÁN KINH TẾ
Khoa Toán kinh tế - www.mfe.edu.vn Biên soạn: LÊ ANH ĐỨC
2
6. Một doanh nghiệp độc quyền bán hàng hai thị trường với gkhác nhau. Hàm cầu của các
thị trường về hàng hóa này: Q1 = 20 0,5P1; Q2 = 31,2 0,4P2. m chi p cận biên của doanh
nghiệp: MC = 15 + Q trong đó Q = Q1 + Q2. Doanh nghiệp nên chọn giá bán và sản lượng mi
thị trường bao nhiêu để lợi nhuận cực đại, biết chi phí cố định bằng 100.
7. Doanh nghiệp hàm sản xuất: Q = 5KL – 2K2 3L2 với Q mức sản lượng; K,L là mức sử
dụng vốn, lao động (K, L >0). Gọi MPK, MPL, QPK, QPL các hàm sản phẩm (năng suất) cận
biên, sản phẩm (năng suất) trung bình của K, L.
a. Các hàm Q, MPK, QPL phi hàm thuần nhất? Chứng minh rằng: 2Q = K*MPK +
L*MPL
b. Hảm sản xuất trên thể hiện quy luật hiệu quả cận biên giảm dần? Cố định K, xác định mức sử
dụng lao đng để APL cực đại?
8. Cho mô hình th trường 2 loại hàng hóa với a là tham số
1 1 2 2 1 2
1 1 2 2 1 2
2 4 40 3 4
20 2 2 20 2 6
D D
S S
Q a P P Q P P
Q P P Q P P
a. Tìm trạng thái cân bằng 2 hàng hóa theo a và xác định véc tơ giá cân bằng khi a = 10.
b. Tìm hệ số co giãn của g hàng hóa 1 tại trạng thái cân bằng theo a khi a = 15.
Năm 2008 - NEU
9. Một công ty độc quyn kinh doanh mặt hàng A có hàm doanh thu cận biên:
MR = 120 2Q vi Q là sản lượng mặt hàng A. Tìm điều kiện đối với Q để doanh thu dương,
với điều kiện này giá hàng A có dương hay không?
10. Cho mô hình:
LM
nmnrmYLL
bbrII
aaYCC
ICY
S
)0,(
)0(
)10(
0
0
0
Trong đó: Y – thu nhập quốc n, I Đầu tư, C = Tu dung, L Mức cầu tin, Ms Mức cung
tiền, r – lãi suất.
a. Hãy xác định thu nhập quốc dânlãi suất cân bằng
b. Với a = 0,7; b = 1800, C0 = 500; I0 = 400; L0 = 800; m = 0,6; n = 1200; Ms = 2000, tính hệ số
co giãn của thu nhập, lãi suất theo mức cung tin ti điểm cân bằng giải thích ý nghĩa của
chúng.
Bài tập chương 1 PHÂN TÍCH HÌNH TOÁN KINH TẾ
Khoa Toán kinh tế - www.mfe.edu.vn Biên soạn: LÊ ANH ĐỨC
3
11. Một trung tâm thương mại nhận thấy rằng doanh thu của trung tâm phụ thuộc vào thời lượng
quảng cáo trên đài phát thanh ( x phút) trên truyn hình (y phút) với hàm doanh thu như
sau:
TR = 320x – 2x2 – 3xy – 5y2 + 540y + 2000
Chi phí cho mi phút quảng cáo trên đài phát thanh là 1 triệu đồng, trên đài truyn hình là 4 triệu
đồng. Ngân sách chi cho quảng cáo là 180 triệu đồng.
a. Hãy xác định x, y để cực đại doanh thu.
b. Nếu ngân sách chi cho quảng cáo tăng 1 triệu đồng thì doanh thu cực đại sẽ tăng bao nhiêu?
12. Một doanh nghiệp có hàm chi phí cận biên MC(Q) = 3Q2 – 4Q + 6 với Q là sản lượng.
a. Hãy tìm hàm tổng chi p của doanh nghiệp, biết chi p cố định bằng 15
b. Hãy xác định m chi phí biến đổi bình quân AVC(Q) mức sản lượng cực tiểu hóa hàm
này.
13. Một ng ty độc quyền B sản xuất cung ứng cho thị trường mt loại sản phẩm trong điều
kiện thực hiện chiến lược phân biệt giá, vi các m cầu sau: Q1 = 16 0,4P1; Q2 = 12 0,5P2.
Trong đó Pi, Qi gsản lượng ti thị trường i (i = 1, 2). y xác định mức cung bán ti
mi thị trường để tổng doanh thu của công ty đạt cực đại.
14. Doanh nghiệp độc quyền A sản xuất và cung ứng hai loại sản phẩm 1, 2 với các hàm cầu sau:
Q1 = 50 2p1+2P2; Q2 = 30 + P1-P2 đây Pi, Qi ký hiệu giá sản lượng của sản phm i, (i =
1, 2). Cho C(Q) = 2Q12 + Q1Q2 + Q22 + C0 là hàm chi p của doanh nghiệp với chi phí cố định
C0.
a. y xác định các hàm cầu ngược của doanh nghiệp (sử dụng quy tắc Cramer đã học trong
phần Toán cao cấp 1 – Đại số tuyến tính).
b. Với C0 = 350, hãy xác định lượng cung g bán của mi loại sản phẩm để tổng lợi nhuận
của doanh nghiệp đạt cực đại. Nếu chi p cố định tăng 1% sẽ tác động thế nào đến mức lợi
nhuận tối đa và giá bán tương ứng?
Năm 2009 - NEU
15. Cho hàm sản xuất Y = 0,3K0,5L0,5, Y-sản lượng, K-vốn, L-lao động.
a. Tính lượng sản phẩm cận biên của vốn của lao động tại K = 4 L = 9
b. Chng minh rằng hàm năng suất cận biên của vốn hàm thuần nhất bậc 0.
16. Một hộ gia đình hàm lợi ích tiêu dùng với hai loại hàng hóa như sau:
U(x1, x2) = 5x10,4 x20,4
Bài tập chương 1 PHÂN TÍCH HÌNH TOÁN KINH TẾ
Khoa Toán kinh tế - www.mfe.edu.vn Biên soạn: LÊ ANH ĐỨC
4
Ngân sách tiêu dung là 300USD, giá một đơn vị hàng háo thứ nhất là 3USD gmột đơn v
hàng háo thứ hai là 5USD.
a. Tìming mà tại đó hộ gia đình có li ích tiêu dùng đạt giá trị lớn nhất, với x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
b. Nếu ngân sách tiêu dung của hộ gia đình giảm 1 USD t mức lợi ích tối đa gim bao nhiêu?
17. Cho hàm sản xuất
2
6,05,0
3
2
3
1
LKQ với Q - sản lượng; K – vốn; L - lao động.
a. Tìm năng suất cận biên của vốn và lao động.
b. Với hàm sản xuất trên thì hiệu quả có tăng theo quy mô không?
c. Hãy xác định hệ số thay thế kỹ thuật biên của Vốn cho lao động tại mức K=27, L = 64.
d. Nếu Pk = 40$ và PL = 5$ thì về mặt kinh tế có nên thay thế vốn cho lao động hay không?
18. Doanh nghiệp độc quyền C hàm cầu ngược P = 0,1Q2 + 30. Hãy xác đnh mức cung
giá bán của doanh nghiệp để tối đa hóa doanh thu.
19. Một doanh nghiệp có hàm chi phí cận biên MC(Q) = 0,9Q2 – 6Q + 19 với Q là sản lượng.
a. Hãy tìm hàm tổng chi p của doanh nghiệp, biết chi p cố định bằng 30
b. Hãy xác định m chi phí biến đổi bình quân AVC(Q) mức sản lượng cực tiểu hóa hàm
này.
20. Một công ty độc quyền A sản xuất và cung ng cho thị trường mt loại sản phẩm trong điều
kiện thực hiện chiến lược phân biệt giá với các hàm cầu ngược:
P1: 920 – 4Q1; P2 = 440 – 3Q2
Trong đó: Pi, Qi hiệu là gsản lượng của sản phẩm i, (i = 1, 2). Cho C(Q) = 4Q12 + Q1Q2
+ 5Q22 + C0 là hàm chi phí của doanh nghiệp với chi phí cố định là C0.
a. Với C0 = 500 hãy xác định mức sản lượng g n ti mi thị trường để tng lợi nhuận đạt
cực đại. Tìm hệ số co dãn của tổng lợi nhuận đạt cực đại theo C0 và giải thích ý nghĩa.
b. Tại mc sản lượng xác định câu a, tổng doanh thu của ng ty đt cực đại không? Tại
sao?
Năm 2010-NEU
21. Cho hàm chi p trung bình của doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo:
AC(Q) = 12/Q – 0,5Q + 0,25Q2 + 10 (Q là số đơn vị sản phẩm)
a. Tìm hàm chi phí cận biên
b. Với giá bán p = 106, tìm Q* tha mãn điều kiện cực đại lợi nhuận.
22. Cho mô hình kinh tế:
Y = C + I + G0 (G0 > 0)
Bài tập chương 1 PHÂN TÍCH HÌNH TOÁN KINH TẾ
Khoa Toán kinh tế - www.mfe.edu.vn Biên soạn: LÊ ANH ĐỨC
5
C = a + b(Y – T0) (a > 0; 0 < b < 1; bT0 < a)
I = d + iY ( d > 0; 0 < I < 1; b + I < 1)
Trong đó: Y, C, I ln lượt là thu nhập quốc dân, tiêu dùng dân đầu tư; G0, T0 là chi tiêu
chính phủ thuế. Tìm thu nhập quốc dân cân bằng. Khi I tăng tthu nhập quốc dân cân bằng
tăng hay giảm, sao?
23.m lợi ích của hộ gia đình có dạng: U(x, y) = 10xy – 3x2 – 2y2 với (x, y) là gói hàng hóa (x
>0, y > 0)
a. Hàm lợi ích biên có thể hiện quy luật lợi ích cận biên gim dần không?
b. Hãy viết phương trình đường bàng quan tại (x = 2, y = 2); tìm độ dốc của đường này ti (x = 2,
y = 2) và giải thích ý nghĩa của giá tr tìm được.
24. Cho S và D tương ứng là hàm cung và hàm cầu vmt loại hàng hóa:
S = 50P2 20
D = 0,5P-2M2
Với P là giá mt đơn vị hàng hóa, M là thu nhập của người tiêu dùng (M > 0)
a. Tìm điều kiện với P sao cho hàm cung m cầu đều nhận giá trị dương. Với điều kiện y
hãy viết mô hìnhn bằng thị trường, viết hàmcung và xét tính đơn điệu của hàm này theo P.
b. Cho P*, Q* là gn bằng lượng n bằng. Nếu thu nhập M giảm ttác động thế o đến
P*, Q*.
Năm 2011-NEU
25. Một doanh nghiệp độc quyn có hàm cầu Q = Q(p) với p > 0. Q’(p) < 0. Trong đó Q – số sản
phẩm và p là đơn vị sản phẩm. Chứng tỏ rằng nếu hệ số co giãn của cầu theo giá 1
Q
P
(tức là
hàm cầu ít co giãn theo giá) t doanh thu của doanh nghiệp tăng theo giá.
26. Một hộ gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng với hai loại hàng hóa như sau:
U(x1, x2) = 20x10,45x20,45 (x1 > 0, x2 > 0)
Trong đó x1, x2 tương ng số đơn vị của 2 loại hàng hóa, với p1 = 6, p2 = 11. Ngân sách tiêu
dung là B = 600.
a. Lập hàm Lagrange để tìm cực tr hàm lợi ích vi ràng buộc ngân sách tiêu dùng.
b. Tìm i hàng cực đại m lợi ích.
c. Khi ngân sách tiêung của hộ gia đình tăng 1 đơn vị thì giá trị cực đi lợi ích tăng bao nhiêu
đơn vị?
27. Cho mô hình cân bằng kinh tế:
Y = C + I0 + G0