intTypePromotion=1

Bài tập thiết lập phương trình đường thẳng và đường tròn mặt phẳng

Chia sẻ: Trần Văn Luân | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:39

0
471
lượt xem
123
download

Bài tập thiết lập phương trình đường thẳng và đường tròn mặt phẳng

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu Bài tập thiết lập phương trình đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng dưới đây là tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả. Chúc các em thành công!

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài tập thiết lập phương trình đường thẳng và đường tròn mặt phẳng

  1. CÁC BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG
  2. BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG I. CÁC BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Người ta hay dùng các dạng sau đây để viết phương trình đường thẳng  Phương trinh chính tắc của đường th ẳng đi qua đi ểm M ( xo ; yo ) và có vectơ chỉ r x − xo y − yo phương u = ( a; b ) , a; b 0 là = a b  Phương trinh tham số của đường thẳng đi qua đi ểm M ( xo ; yo ) và có vectơ chỉ r x = xo + at phương u = ( a; b ) , a 2 + b 2 > 0 là y = yo + bt  Phương trinh tổng quát của đường thẳng đi qua đi ểm M ( xo ; yo ) và có vectơ chỉ r phương n = ( a; b ) , a 2 + b 2 > 0 là a ( x − xo ) + b ( y − y0 ) = 0 Phương trình tổng quát là Ax + By + C = 0 ; A2 + B 2 > 0 r r Phương trình này nhận n = ( A; B ) làm VTPT và nhận u = ( − B; A ) làm VTCP. Đường thẳng đi qua điểm M ( xo ; yo ) và có hệ số góc k có phương trình dạng y − y0 = k ( x − xo )  Phương trình theo đoạn chắn: Đường thẳng cắt 2 trục Ox, Oy t ại A(a;0), B(0;b) vói x y a; b 0 có dạng + = 1 a b CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN LOẠIr 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG BIẾT VECTƠ CHỈ PHƯƠNG u = ( a; b ) VÀ MỘT ĐIỂM M ( xo ; yo ) CỦA NÓ Đây là 1 trong nhứng phương pháp cơ bản đ ể vi ết ph ương trình đ ường th ẳng. r ất nhiều bài toán quy về trường h ợp này ( đ ặc bi ệt là tr ường h ợp đ ường th ẳng đi qua 2 đi ểm A ( x A ; y A ) ; B ( xB ; y B ) . Như vậy 2 yếu tố cần xác định là 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng. Ta hay xác đinh VTCP nhr sauư uuur a. Tìm 2 điểm A, B phân biệt thuộc đường thẳng. Khi đó VTCP u = AB b. Xác định xem đường thẳng cần tìm có song song hay vuông góc v ới đ ường th ẳng cho trước hay không. 2. Điểm M thuộc đường thẳng cần tìm được xác định: a. Giao điểm của 2 đường thẳng biết trước nào đo. b. Điểm có 1 tính chất nào đó (Trung điểm của đoạn th ẳng, hình chi ếu c ủa 1 đi ểm nào đó trên đường thẳng,…) VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x – 2y – 3 = 0 và 6x – y – 4 = 0 .Viết phương trình đường thẳng AC. GIẢI Gọi đường cao AH : 6x – y – 4 = 0 và đường trung tuyến AD : 7x – 2y – 3 = 0 Ta có A = AH �AD = A ( 1; 2 ) M là trung điểm AB � B ( 3; − 2 ) BC qua B và vuông góc với AH BC : 1(x – 3) + 6(y + 2) = 0 x + 6y + 9 = 0 � −3 � D = BC �� AD D � 0; � � 2 � D là trung điểm BC C (- 3; - 1) NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 2
  3. BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG uuu r AC qua A (1; 2) có VTCP AC = ( −4; −3) nên AC: 3(x –1)– 4(y – 2) = 0 3x – 4y + 5 = 0 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6, 2) là giao điểm của 2 đường chéo Ac và BD. Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của canh CD thuộc đường thẳng ∆ : x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB. Giải Ta có I (6; 2); M (1; 5) E �∆ : x + y – 5 = 0 E(m; 5 – m); Gọi N là trung điểm của đoạn AB. Khi đó I là trung điểm của NE 2 xI = x N + x E N (12 – m; m – 1) 2 yI = yN + yE uuuur � MN = ( 11 – m; m – 6 ) uur � IE = ( m – 6; 5 – m – 2 ) = ( m – 6; 3 – m ) uuuu uu r r Ta có MN vuông góc với IE nên MN .IE = 0 (11 – m)(m – 6) + (m – 6)(3 – m) = 0 � ( m − 6 ) ( 14 − 2m ) = 0 m – 6 = 0 hay 14 – 2m = 0 m = 6 hay m = 7r uuuu * Với m = 6 � MN = ( 5;0 ) nên pt AB là y = 5 uuuu r *m = 7 � MN = ( 4;1) nên pt AB x – 1 – 4(y – 5) = 0 x – 4y + 19 = 0. Vậy đường thẳng AB có 2 phương trình là y = 5 và x – 4y + 19 = 0. Ví dụ 3:Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM và đường phân giác trong CD có phương trình tương ứng là 2 x + y + 1 = 0; x + y − 1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng BC Giải Qua A kẻ đường vuông góc với CD cắt BC tại E. Giả sử đường vuông góc này cắt CD tại I. Vì CD là phân giác của góc C nên IA = IE Do CD có phương trình x + y − 1 = 0 nên đường AE có phương trình x − y + m = 0 Mà AE lại qua A(1;2) nen ta có 1 + 2 + m = 0 � m = −1 Vậy AE có phương trình x − y − 1 = 0 � − y +1 = 0 x �=0 x Tọa độ điểm I là nghiệm hệ � �� � I ( 0;1) � + y −1 = 0 x � =1 y � E = 2 xI − x A x � = −1 x Từ đó suy ra � � �E � E ( −1;0 ) � E = 2 yI − y A y �E =0 y Vì C nằm trên đường phân giác x + y − 1 = 0 nên ta có C ( xo ;1 − xo ) . � + 1 1 − xo + 2 � � o + 1 3 − xo � x x Từ đó M là trung điểm của AC nên M � o ; = �� ; � �2 2 ��2 2 � Điểm M n ằm trên trung tuyến BM 2x + y +1 = 0 nên ta có � + 1 � 3 − xo x 2 �o �+ + 1 = 0 � xo = −7 � C ( −7;8 ) �2 � 2 Đường thẳng BC qua E ( −1;0 ) và C ( −7;8 ) nên có phương trình 4 x + 3 y + 4 = 0 Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đỉnh A(4;-1), phương trình một đường cao, m ột đường trung tuyến vẽ từ cufnbg một đỉnh lần lượt là 2 x − 3 y + 12 = 0 và 2 x + 3 y = 0 . Viết phương trình các cạnh của tam giác Giải Ta thấy đỉnh A không thuộc 2 đường thẳng 2 x − 3 y + 12 = 0 và 2 x + 3 y = 0 nên các đường cao và đường trung tuyến ấy không đi qua A. NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 3
  4. BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG Giả sử 2 đường cao và đường trung tuyến ấy vẽ từ B. � x − 3 y + 12 = 0 2 � = −3 x Tọa độ B là nghiệm hệ � �� � B ( −3; 2 ) � 2x + 3 y = 0 �y = 2 Cạnh AB đi qua A và B nên phương trình canh AB là 3 x + 7 y − 5 = 0 Do AC vuông góc BH nên cạnh AC có phương trình 3 x + 2 y + m = 0 Do A thuộc AC nên 3.4 + 2(−1) + m = 0 � m = −10 Vậy phương trình cạnh Ac là 3 x + 2 y − 10 = 0 �x + 2 y − 10 = 0 3 x=6 Tọa độ M là nghiệm hệ � �� � M ( 6; −4 ) 2x + 3 y = 0 y = −4 Vì M là trung điểm AC nên C ( 8; −7 ) Đường thẳng BC qua B và C nen có phương trình là 9 x + 11 y + 5 = 0 Ví dụ 5: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho 2 đường thẳng d 1: x − y + 1 = 0 và d2: 2 x + y − 1 = 0 và điểm P(2;1). Viết phương trình đường thẳng qua P và cắt d 1, d2 tương ứng tại A và B sao cho P là trung điểm của AB. Giải Vì A thuộc d1 nên A ( x1 ; x1 + 1) Vì B thuộc d2 nên B ( x2 ; −2 x2 + 1) uuu r uuu r Ta có PA = ( x1 − 2; x1 ) ; PB ( x2 − 2; −2 x2 ) 4 x2 = uur u uuu r x1 − 2 = x2 − 2 3 Vì P là trung điểm AB nên PA = − PB �� � � x1 = −2 x2 8 x1 = 3 � 11 � � −5 � 8 4 Do đó A � ; � � ; � B � 3�� 3 � 3 3 Vậy phương trình đường AB là 4 x − y − 7 = 0 Ví dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(1;3) và 2 đ ường trung tuy ến xu ất phát từ B và C là x − 2 y + 1 = 0 và y − 1 = 0 . Lập phương trình các cạnh của tam giác Giải Gọi G là trọng tâm của tam giác. � − 2y +1 = 0 x � =1 x Tọa độ G là nghiệm hệ � �� � G ( 1;1) � y −1 = 0 � =1 y Vẽ hình bình hành BGCE.Theo tính chát của các đường trung tuyến trong tam giác ta có GE=GA Từ đó suy ra E ( 1; −1) Do EC//BG nen EC có dạng x − 2 y + m = 0 E thuộc nên ta có 1 + 2 + m = 0 � m = −3 Phương trình của EC là x − 2 y − 3 = 0 � − 2y −3 = 0 x �=5 x Tọa độ C là nghiệm hệ � �� � C ( 5;1) � y −1 = 0 � =1 y Tương tự ta có B ( −3; −1) Biết tọa độ 3 đỉnh A, B, C ta có phương trình các c ạnh AB, Ac, BC l ần l ượt là x − y + 2 = 0 ; x − 4 y +1 = 0 ; x + 2 y − 7 = 0 LOẠI 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM M ( xo ; yo ) VÀ CÓ HỆ SỐ GÓC k. Phương pháp này thường dùng để viết viết ph ương trình đ ường th ẳng đi qua đi ểm M ( xo ; yo ) và thỏa một số yêu cầu nào đó ( thường là yêu cầu liên quan đ ến kho ảng cách). Chú ý NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 4
  5. BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG rằng đường thẳng đi qua M ( xo ; yo ) có 2 dạng x = xo và y − y0 = k ( x − xo ) . Khi làm bài, trừ trường hợp có sẵn dạng y − y0 = k ( x − xo ) nếu không phải xét đủ 2 trường hợp nói trên. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ cho 2 điểm M(1;4) và N(6;2). Lập ph ương trình đ ường th ẳng ∆ qua M sao cho khoảng cách từ N tới nó bằng 5. Giải Đường thẳng ∆ qua M (1;4) nen có 2 dạng là  x = 1 khi đó d ( N ; ∆ ) = 5 . Vậy ∆ : x = 1 là đường thẳng cần tìm.  ∆ có dạng y = k ( x − 1) + 4 � kx − y + 4 − k = 0 6k − 2 + 4 − k 21 Khi đó d ( N ; ∆ ) = 5 � = 5 � ( 5k + 2 ) = 25 ( k 2 + 1) � k = 2 k 2 +1 20 ∆ có phương trình là 21x − 20 y + 59 = 0 Vậy có 2 đường thẳng cần tìm là x = 1 và 21x − 20 y + 59 = 0 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho 2 điểm A(1;2) và B(5;-1). Vi ết phương trình đ ường th ẳng ∆ qua M(3;5) và cách đều A,B. Giải Đường thẳng ∆ đi qua M(3;5) có hai dạng  x = 3 khi đó d ( A; ∆ ) = 2; d ( B; ∆ ) = 2 . Vậy ∆ : x = 3 là đường thẳng cần tìm  ∆ có dạng y = k ( x − 3) + 5 � kx − y + 5 − 3k = 0 . k − 2 + 5 − 3k 5k + 1 + 5 − 3k Khi đó ta có d ( A; ∆ ) = d ( B; ∆ ) � = k +1 2 k 2 +1 −3 � 3 − 2k = 6 − 2k � k = 4 ∆ có phương trình là 3 x + 4 y − 29 = 0 Vậy có 2 đường thẳng cần tìm là x = 3 và 3 x + 4 y − 29 = 0 Nhận xét: Qua các ví dụ trên ta thấy rõ nếu không xét tr ường h ợp x = xo thì ó thể dẫn đến trường hợp mất nghiệm của bài toán. LOẠI 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT Ax + By + C = 0 ĐỂ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Khi sử dụng phương trình dưới dạng này bài toán quy về tìm A,B,C. Thông th ường t ừ các dữ kiện ban đầu ta sẽ có một hoặc hai ph ương trình đ ể tìm A,B,C. Vì th ế ta ph ải s ử d ụng đi ều kiện A2 + B 2 > 0 để từ hệ thức giữa A, B sẽ cho A hoặc B là một giá tr ị c ụ th ể, t ừ đó s ẽ tìm đ ược B hoặc A. Lưu ý rằng đó chính là quy t ắc chung đ ể gi ải h ệ ph ương trình mà s ố ph ương trình ít hơn số ẩn. Sử dụng phương pháp này sẽ thích h ợp cho bài toán lo ại 2, mà không c ần xét tr ường hợp x = xo và y − y0 = k ( x − xo ) . VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ cho 2 điểm M(1;4) và N(6;2). Lập ph ương trình đ ường th ẳng ∆ qua M sao cho khoảng cách từ N tới nó bằng 5. Giải Gọi đường thẳng ∆ cần tìm là Ax + By + C = 0 với A2 + B 2 > 0 Do ∆ qua M nen ta có A + 4 B + C = 0 � C = − A − 4B Suy ra ∆ có dạng Ax + By − A − 4 B = 0 Ta có B=0 6 A + 2 B − A − 4B d ( N; ∆) = 5 � = 5 � ( 5 A − 2 B ) = 25 ( A + B ) � 21B + 20 AB = 0 � 2 2 2 2 −20 A2 + B 2 B= A 21 Thay B=0 vào phương trình ∆ ta được x = 1 NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 5
  6. BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG −20 Thay B = A vào phương trình ∆ ta được 21x − 20 y + 59 = 0 21 Vậy có 2 đường thẳng cần tìm là x = 1 và 21x − 20 y + 59 = 0 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho 2 điểm A(1;2) và B(5;-1). Vi ết phương trình đ ường th ẳng ∆ qua M(3;5) và cách đều A,B. Giải Gọi đường thẳng ∆ cần tìm là Ax + By + C = 0 với A2 + B 2 > 0 Do ∆ qua M(3;5) nen ta có 3 A + 5 B + C = 0 � C = −3 A − 5 B Suy ra ∆ có dạng Ax + By − 3 A − 5 B = 0 A + 2 B − 3 A − 5B 5 A − B − 3 A − 5 B Ta có d ( A; ∆ ) = d ( B; ∆ ) � = A2 + B 2 A2 + B 2 B=0 � ( −2 A − 3B ) = ( 2 A − 6 B ) � B ( 3B − 4 A ) = 0 � 2 2 4 B= A 3 Thay B=0 vào phương trình ∆ ta được x = 3 4 Thay B = A vào phương trình ∆ ta được 3 x + 4 y − 29 = 0 3 Vậy có 2 đường thẳng cần tìm là x = 3 và 3 x + 4 y − 29 = 0 LOẠI 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THEO ĐOẠN CHẮN x y + =1 a b Người ta sử dụng cách viết phương trình theo đoạn chắn trong những bài toán mà yêu cầu đầu bài đòi hỏi tính toán các giao điểm (a;0) và (0;b) của đường thẳng với trục hoành trục tung. Chỉ cần lưu ý rằng A(a;0), B (0; b) thì OA = a , OB = b VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(1;2). Vi ết phương trình đ ường th ẳng qua M sao cho OAB là tam giác vuông cân, ở đây A, B là giao điểm của đường th ẳng đó v ới tr ục hoành, tr ục tung. Giải Giả sử d là đường thẳng cần tìm qua M. Gọi A(a;0), B(0;b) lần lượt là giao điểm của d với trục hoành, trục tung x y Khi đó theo phương trình đoạn chắn , d có dạng + = 1 a b 1 2 Vì M thuộc d nên ta có + = 1 ( 1) a b Do tam giác OAB vuông cân đỉnh O nên ta có a = b ( 2) 1 2 + =1 a=b=3 Ta có hệ a b a = −1; b = 1 a =b x y x y Vậy có 2 đường thẳng cần tìm + = 1 và + =1 3 3 −1 1 Ví dụ 2: Cho điểm M(4;3) . Viết phương trình đường thẳng d qua M sao cho nó tạo với 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 3. Giải Giả sử d �Ox = A ( a;0 ) , d �Oy = B ( 0; b ) x y Khi đó theo phương trình đoạn chắn , d có dạng + =1 a b NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 6
  7. BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG 4 3 Vì M thuộc d nên ta có + =1 ( 1) a b 1 a.b Ta có S ∆OAB = 3 � OA.OB = 3 � =3� a.b =6 (2) 2 2 a = 2; b = −3 Giải hệ (1) và (2) ta được 3 a = −4; b = 2 x y x 2y Vậy có 2 đường thẳng cần tìm − = 1 và − + =1 2 3 4 3 LOẠI 5: SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH CHÙM ĐƯỜNG THẲNG Giả sử đường thẳng d1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 và đường thẳng d 2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 cắt nhau tại I. Khi đó mọi đường thẳng d đi qua I có dạng α ( A1 x + B1 y + C1 ) + β ( A2 x + B2 y + C2 ) = 0 (1) với α 2 + β 2 > 0 (1) là phương trình chùm đường thẳng sinh bởi d1 và d2. Người ta sử dụng phương trình chùm đường thẳng để giái các bài toán có dạng sau: • Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm I là giao diểm của 2 đường thẳng cho trước và thỏa yêu cầu nào đó. Phương pháp giải + Viết phương trình (1) + Dựa vào điều kiện đầu bài lập một hệ thức liên hệ giữa α ; β . + Từ hệ thức tìm được dựa vào điều kiện α 2 + β 2 > 0 để chọn giá trị thích hợp của α ; β . VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ cho 2 đường thẳng d1 : x − y + 1 = 0 và d 2 : 2 x + y − 1 = 0 và điểm P(2;1). Viết phương trình đường thẳng đi qua P và giao điểm của d1 và d2. Giải Đường thẳng d đi qua giao điểm của d1 và d2 nên nó thuộc chùm α ( x − y + 1) + β ( 2 x + y − 1) = 0 Do d qua P(2;1) nên ta có α ( 2 − 1 + 1) + β ( 2.2 + 1 − 1) = 0 � α + 2 β = 0 Do α 2 + β 2 > 0 nên chọn α = 2; β = −1 Thay vào phương trình (1) ta có phương trình của d là y = 1 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Ba cạnh của tam giác có phương trình lần lượt là 4 x + y − 12 = 0 ; 4 x + 5 y − 20 = 0 ; . Viết phương trình ba đường cao của tam giác. Giải Phương trình AA’: 5 x − 4 y − 15 = 0 Phương trình BB’: 2 x + 2 y − 9 = 0 Phương trình CC’: 2 x − 12 y − 1 = 0 II. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐIỂM NHỜ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp giải các bài toán loại này ngoài việc sử dụng các kiến thức về đường thẳng còn sử dụng nhiều kiến thức về tọa độ vectơ trong mặt phẳng. LOẠI 1: XÁC ĐỊNH ĐIỂM NHỜ TƯƠNG GIAO CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG Đây là 1 trong nhứng phương pháp chính để xác định điểm trong mặt phẳng. Người ta dựa vào điều kiện đầu bài để quy điểm cần tìm là giao đi ểm của 2 đ ường thẳng xác định nào đó. Các đường thẳng này hoặc đã có sẵn hoặc phải tìm phương trình. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho tam giác ABC , biết hình chiếu vuông góc của C lên Ab là H(-1;-1). Đ ường phân giác trong của A có phương trình x − y + 2 = 0 , đường cao kẻ từ B có phương trình 4x+3y-1=0. Tìm tọa độ đỉnh C. NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 7
  8. BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG Giải Giả sử d1: x − y + 2 = 0 và d 2 : 4x + 3y − 1 = 0 Gọi H'(a;b) là điểm đối xứng của H qua d1. Khi đó H’ thuộc đường thẳng AC. r u = ( 1;1) là VTCP của d1. uuuur r � −1 b −1 � a HH ' = ( a + 1; b + 1) vuông góc với u và trung điểm I � ; � ủa HH’ thuộc d1 c �2 2 � � ( a + 1) + 1( b + 1) = 0 1. Do đó tọa độ của H' là nghiệm của hệ phương tr.nh a −1 b −1 � H ' ( −3;1) − +2=0 2 2 r Đường thẳng AC đi qua H’ vuông góc d2 nên có vectơ pháp tuyến là v = ( 3; −4 ) và có phương tr.nh 3 ( x + 3) − 4 ( y − 1) = 0 � 3x − 4 y + 13 = 0 3 x − 4 y + 13 = 0 Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương tr.nh A ( 5;7 ) x− y+2=0 1 uuu r Đường thẳng CH đi qua H ( −1; −1) với vectơ pháp tuyến HA = ( 3; 4 ) nên có phương tr.nh 2 3 ( x + 1) + 4 ( y + 1) = 0 � 3 x + 4 y + 7 = 0 3x + 4 y + 7 = 0 − � 10 3 � Tọa độ của C là nghiệm của hệ phương tr.nh C� ; � 3 x − 4 y + 13 = 0 �3 4 � Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có C(-1;-2) đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương tr.nh là 5 x + y − 9 = 0 và x + 3 y − 5 = 0 T.m toạ độ các đỉnh A và B. Giải Giả sử AM : 5 x + y − 9 = 0 , BH : x + 3 y − 5 = 0 Ac vuông góc BH : x + 3 y − 5 = 0 nên Ac có phương trình dạng 3 x − y + m = 0 Vì C thuộc AC nên 3(−1) − (−2) + m = 0 � m = 1 Phương trình AC là 3 x − y + 1 = 0 3x − y + 1 = 0 A là giao điểm của AC và AM nên tọa độ A là nghiệm hệ A ( 1; 4 ) 5x + y − 9 = 0 B thuộc BH : x + 3 y − 5 = 0 nên B ( 5 − 3m; m ) � − 3m m − 2 � 4 M là trung điểm BC nên M � ; � � 2 2 � 4 − 3m m − 2 M thuộc AC � 5. + −9 = 0 � m = 0 2 2 Vậy B(5;0) Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(0;2) và B ( ) 3; −1 . Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB (Đại học –khối A – 2004) Giải uuu r ( ) Đường thẳng qua O và vuông góc với BA 3;3 có phương trình 3 x + 3y = 0 uuu r Đường thẳng qua B và vuông góc với OA ( 0; 2 ) có phương trình y = −1 uuur ( ) (Đường thẳng qua A và vuông góc với BO 3;1 có phương trình 3x + y − 2 = 0 ) Giải hệ hai trong ba phương trình trên ta được trực tâm H ( 3; −1) Đường trung trực cạnh OA có phương trình y = 1 Đường trung trực cạnh OB có phương trình 3x + y + 2 = 0 NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 8
  9. BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG (Đường trung trực cạnh AB có phương trình 3 x + 3y = 0) Giải hệ hai trong ba phương trình trên ta được tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là I (− 3;1) . LOẠI 2: XÁC ĐỊNH ĐIỂM NHỜ PHÉP TÍNH VECTƠ Các bài toán xác định điểm nhờ vào phép toán vect ơ nh ư các công th ức v ề kho ảng cách, tích vô hướng của 2 vectơ… VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1; 1), B(4; -3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng d: x - 2y -1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6 (Đại học – khối B- năm 2004) Giải Phương trình đường thẳng AB là 4 x + 3 y − 7 = 0 (1) Giả sử C(x,y). Ta có C thuộc đường thẳng d nên x - 2y -1 = 0 4x + 3y − 7 4 x + 3 y − 37 = 0 (2) Mà d ( C ; ( AB ) ) = 6 � =6� 42 + 32 4 x + 3 y + 23 = 0 (2 ') Giải hệ (1) và (2) ta được C ( 7;3) � 43 −27 � − Giải hệ (1) và (2’) ta được C � ; � �11 11` � Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;2) và các đường thẳng: d1: x + y – 2 = 0, d2: x + y – 8 = 0.T.m tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. (Đại học – khối B -2007) Giải Ta có B thuộc d1, C thuộc d2 nên B(b;2 − b),C(c;8 − c). Từ giả thiết ta có hệ: uuu uuu r r � . AC = 0 AB bc - 4b - c + 2 = 0 � ( b − 1) ( c − 4 ) = 2 � � � �2 �� b − 2b = c 2 − 8c + 18 ( b − 1) − ( c − 4 ) = 3 2 2 AB = AC xy = 2 Đặt x = b −1, y = c − 4 ta có hệ x + y2 = 3 2 Giải hệ trên ta được x = −2, y = −1 hoặc x = 2, y =1. Suy ra: B(−1;3),C(3;5) hoặc B(3;−1),C(5;3) . Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng: d1 : x + y + 3 = 0, d2 : x − y − 4 = 0, d3 : x − 2y = 0.T.m tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2. (Đại học – khối A – 2006) Giải T.m điểm M thuộc d3 sao cho d (M,d1 ) = 2d (M,d2 ) Vì M thuộc d3 nên M(2y; y). 2 y + y − 3 3y − 3 Ta có: d ( M ; d1 ) = = 12 + 12 2 2y − y − 4 y−4 d ( M ; d2 ) = = 1 + (−1) 2 2 2 3y − 3 y−4 y = −11 d ( M ; d1 ) = d ( M ; d 2 ) � =2 � 2 2 y =1 Với y = -11 được điểm M1 (-22;-11). Với y =1 được điểm M2 (2; 1). Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 đường thẳng d1 : x − y = 0 và d 2 : 2 x + y − 1 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết A thuộc d1; C thuộc d2; còn B và D thuộc trục hoành. (đại học – khối A – 2005) Giải Vì A thuộc d1 : x − y = 0 nên A(t;t). Vì B, D nằm trên trục hoành nên A và C đối xứng với nhau qua BD nên C ( t ; −t ) NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 9
  10. BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG Mà C thuộc d 2 : 2 x + y − 1 = 0 nên 2t − t − 1 = 0 � t = 1 Vậy điểm A(1;1), C (1; −1) IB = IA = 1 Trung điểm AC là I(1;0). Vì I là tâm của hình vuông nên ID = IA = 1 �b = 0 � Ox B � (b;0) B � −1 = 1 b �b = 2 � Ta có � �� �� �� � Ox � (d ;0) D D d −1 = 1 d =0 d =2 Suy ra B (0;0) hoặc B (2;0) , D(0;0) hoặc D(2;0) Vậy tọa độ các đỉnh của hình vuông là A(1;1), C (1; −1) , B (0;0) , D(2;0) Hoặc A(1;1), C (1; −1) , B (2;0) , D(0;0) . 4 Ví dụ 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tr.n (C) ( x − 2 ) + y = 2 2 và hai 5 đường thẳng : ∆1 x – y = 0, ∆ 2 : x – 7y = 0. Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tr.n ( C1 ) biết đường tròn ( C1 ) tiếp xúc ∆1 , ∆ 2 và tâm K thuộc đường tròn ©. ( Đại học – khối B- 2009) Giải x− y x −7y Phương tr.nh 2 phân giác ( ∆1 , ∆ 2 ): = 2 5 2 y = −2 x(d1 ) 5( x − y) = ( x − 7 y) � 5( x − y ) = � x − 7 y) ( 1 5( x − y) = − ( x − 7 y) y = x(d 2 ) 2 4 Phương trình hoành độ giao điểm của d1 và ©: ( x − 2 ) + ( −2 x ) = � 25 x − 20 x + 16 = 0 2 2 2 5 Phương trình vô nghiệm 2 �� 4 x Phương trình hoành độ giao điểm của d2 và ©: ( x − 2 ) + � �= � 25 x 2 − 80 x + 64 = 0 2 �� 5 2 8 � 4� 8 x= K�; � 5 � 5� 5 2 2 Vậy R = d ( K ; ∆1 ) = 5 Ví dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 4 điểm A(1;0), B(-2;4), C(-1;4) và D(3;5). Gi ả sử d là đường thẳng có phương trình 3x-y-5=0. Tìm điểm M thuộc d sao cho tam giác MAB và MCD có diện tích bằng nhau. Giải Ta có AB = 5; CD = 17 . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ của điểm M Do M thuộc d nên ta có 3 x0 − y0 = 5 ( 1) Đường thẳng AB đi qua A, B có phương trình 4 x + 3 y − 4 = 0 Đường thẳng CD qua C và D có phương trình x − 4 y + 17 = 0 Ta có 1 4 x + 3 y0 − 4 1 x − 4 y0 + 17 S ∆MAB = S∆MCD � .5. 0 = . 17. 0 � 4 x0 + 3 y0 − 4 = x0 − 4 y0 + 17 (2) 2 5 2 17 7 x0 = ; y0 = 2 Từ (1) và(2) suy ra 3 x0 = −9; y0 = −32 7 � � Vậy có 2 điểm M cần tìm M � ; 2 � M ( −9; −32 ) và 3 � � NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 10
  11. BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG 3 Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có diện tích bằng và hai điểm A(2;-3), B(3;-2). Trọng tâm 2 G của tam giác nằm trên đường thẳng 3x-y-8=0. Tìm tọa độ đỉnh C của tam giác. Giải � 5 5� Gọi M là trung điểm của AB . M�; � � 2� 2 Phương trình của đường thẳng AB là x − y − 5 = 0 (1) 1 1 Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên S ∆ABG = S ∆ABC = 3 2 Giả sử G ( x0 ; y0 ) . Trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng 3x-y-8=0 nên ta có 3 x0 − y0 − 8 = 0 2 S ∆ABG 2 Ta có AB = 2 nên khoảng cách từ G đến AB d ( G; ( AB ) ) = = AB 2 x0 − y0 − 5 2 � = � x0 − y0 − 5 = 1 (2) 2 2 x0 = 1; y0 = 5 G ( 1;5 ) Giải hệ (1) và (2) ta được x0 = 2; y0 = −2 G (2; −2) Do G là trọng tâm tam giác nên ta có C ( 2; −2 ) hoặc C ( 1; −1) BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1: Cho hình thoi có một đường chéo có phương trình là x + 2 y − 7 = 0 , một cạnh có phương trình là x + 3 y − 3 = 0 , một đỉnh là (0;1). Viết phương trình ba cạnh còn lại và đường chéo th ứ hai c ủa hình thoi. Đáp án: đường chéo thứ hai 2 x − y + 1 = 0 Ba cạnh còn lại x + 3 y − 17 = 0;9 x + 13 y − 83 = 0;9 x + 13 y − 13 = 0 Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm M(1;4) và N(6;2). Lập phương trình đ ường th ẳng qua N sao cho khoảng cách từ M đến nó bằng 2. Đáp án: y = 2 và 20 x + 21 y − 162 = 0 Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(3;1). Viết phương trình đường thẳng qua M và c ắt 2 trục ox, oy tương ứng tại A, B sao cho OA+OB đạt giá trị bé nhất x y Đáp án: + =1 3 + 3 1+ 3 Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đỉnh A(1;0) và 2 đ ường th ẳng l ần l ượt chúa đường cao kẻ từ B và C có phương trình x − 2 y + 1 = 0 và 3 x + y + 1 = 0 . Tính diện tích tam giác ABC. Đáp án: 14 đvdt Bài 5: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2 x + 3 y + 1 = 0 và điểm M(1;1). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và tạo với d một góc 45o. Đáp án: 5 x + y − 6 = 0 và x − 5 y − 4 = 0 Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đỉnh A(1;2). Đường trung tuyến BM và đường phân giác CD tương ứng có phương trình 2 x + y + 1 = 0 và x + y − 1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng BC Đáp án : 4 x + 3 y + 4 = 0 ᄋ Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có AB=AC, BAC = 90 . Biết M(1;-1) là 2 � � trung điểm BC và G � ;0 � trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. là 3 � � Đáp án: A(0;2), B(-2;-2), C(4;0) A(0;2), B(4;0), C(-2;-2) NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 11
  12. BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG � 1� 4 Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A và tr ọng tâm G � ; �Phương . � 3� 3 trình đường BC là x − 2 y − 4 = 0 , phương trình đường thẳng BG là 7 x − 4 y − 8 = 0 . Tìm tọa độ cá đỉnh A, B, C của tam giác. Đáp án: A(0;3), B(0;-2), C(4;0) 1 � � Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật có tâm I � ;0 � phương trình đường thẳng AB là , 2 � � x − 2 y + 2 = 0 và AB=2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B,C, D biết A có hoành độ âm. Đáp án: A(-2;0), B(2;2), C(3;0), d(-1;-2) Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(0;2) và đường thẳng d: x − 2 y + 2 = 0 . Tìm trên d hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông ở A và AB=2BC. � 6� 2 � 7� 4 Đáp án: B � ; � C(0;1) hoặc C � ; � và � 5� 5 � 5� 5 III. CÁC BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Người ta thường dùng 2 dạng phương trình đường tròn sau tâm I (a; b) phương trình ( C ) : ( x − a ) + ( y − b ) = R 2 2 2 1. (C ) : bk = R 2. (C ) : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 (điều kiện a 2 + b 2 − c > 0 ) ( C ) có tâm I (a; b) , bán kính R = a 2 + b 2 − c Giả sử ( C ) : ( x − a ) + ( y − b ) = R 2 và đường thẳng d: Ax + By + C = 0 . Gọi h là khoaeng cách 2 2 từ tâm I(a;b) của © đến đường thẳng d. Aa + Bb + C h= A2 + B 2 Khi đó: nếu • h>R: © và d không cắt nhau • h=R: © và d tiếp xúc nhau • h
  13. BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG −1 a= 2a − c = 1 2 � � 1 �a − 4b + c = −5 � � = 2 b �a + 2b + c = −2 2 � 2 c = −2 Vậy phương tr.nh đường tr.n cần t.m là: x2 + y2 − x + y − 2 = 0 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC , hai cạnh AB và AC theo thứ tự có phương trình là x + y − 2 = 0 và 2 x + 6 y − 3 = 0 . Cạnh BC có trung điểm M(-1;1). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giải x+ y−2=0 � −7 � 15 Tọa độ điểm a là nghiệm của hệ A� ; � 2x + 6 y − 3 = 0 � 4 � 4 Gọi P là trung điểm của AC khi đó MP//AB nên MP có phương trình dạng x + y + m = 0 Do M thuộc Mp nên m=0. Suy ra phương trình của MP là x + y = 0 x+ y =0 � 3� 3 Tọa độ P là nghiệm hệ � P� ;− � 2x + 6 y − 3 = 0 � 4� 4 �9 1� − Do P là trung điểm của AC suy ra C � ; � � 4 4� � 7� 1 Tương tụ ta có B � ; � � 4� 4 � −7 � � 7 � 15 1 �9 1� Phương trình đường tròn đi qua ba điểm A � ; � B � ; � C � ; � , và − là � 4 � � 4� 4 4 � 4 4� 65 x2 + y 2 − x + 3 y − =0 8 Như vậy viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm có 2 bước: • Tìm tọa độ 3 điểm • Lập hệ phương trình để xác định tham số a,b,c trong phương trình tổng quát (C ) : x + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 2 LOẠI 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TIẾP XÚC VỚI ĐƯỜNG THẲNG HOẶC ĐƯỜNG TRÒN CHO TRƯỚC Để giải bài toán loại ày cần thành thạo kiến thức sau: 1. Đường thẳng Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến của đường tròn ( C ) : ( x − a) + ( y − b ) = R 2 khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm của đường tròn đến đường thẳng đó 2 2 bằng bán kính R 2. Hai đường tròn ( O1 ; R1 ) và ( O2 ; R2 ) tiếp xúc ngoài ( tiếp xúc trong) với nhau khi và chỉ khi O1O2 = R1 + R2 ( O1O2 = R1 − R2 ) VÍ DỤ MINH HỌA 4 Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tr .n (C) ( x − 2 ) + y = 2 2 và hai đường 5 thẳng : ∆1 x – y = 0, ∆ 2 : x – 7y = 0. Xác định to ạ độ tâm K và tính bán kính c ủa đ ường tr.n ( C1 ) biết đường tròn ( C1 ) tiếp xúc ∆1 , ∆ 2 và tâm K thuộc đường tròn ©. (Đại học - KHỐI B – 2009) Giải x− y x −7y Phương tr.nh 2 phân giác ( ∆1 , ∆ 2 ): = 2 5 2 NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 13
  14. BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG y = −2 x(d1 ) 5( x − y) = ( x − 7 y) � 5( x − y ) = � x − 7 y) ( 1 5( x − y) = − ( x − 7 y) y = x(d 2 ) 2 4 Phương trình hoành độ giao điểm của d1 và ©: ( x − 2 ) + ( −2 x ) = 2 2 � 25 x 2 − 20 x + 16 = 0 5 Phương trình vô nghiệm 2 �� 4 x Phương trình hoành độ giao điểm của d2 và ©: ( x − 2 ) + � �= � 25 x 2 − 80 x + 64 = 0 2 �� 5 2 8 � 4� 8 x= K�; � 5 � 5� 5 2 2 Vậy R = d ( K ; ∆1 ) = 5 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 điểm A(2;0) và B(6;4). Viết phương trình đường tròn © tiếp xúc với trục hoành tại điểm Avaf khoảng cách từ tâm của © đến B bằng 5. (Đại học – khối B – 2005) Giải Giả sử © có tâm I(a;b) và bán kính là R. © tiếp xúc với trục Ox tại A nên suy ra a = 2 và R = b b =1 Ta có IB = 5 � ( 6 − 2 ) + ( 4 − b ) = 5 � b − 8b + 7 = 0 � 2 2 2 b=7 Với a=2; b=1 ta có phương trình đường tròn là ( x − 2 ) + ( y − 1) = 1 2 2 Với a=2; b=7 ta có phương trình đường tròn là ( x − 2 ) + ( y − 7 ) = 49 2 2 Vậy có 2 đương tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 3: Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng x=5 và tiếp xúc với 2 đường thẳng d1 : 3 x − y + 3 = 0 và d 2 : x − 3 y + 9 = 0 Giải Gọi I(5;b) là tâm đường tròn cần tìm Do đường tròn cần tìm tiếp xúc với 2 đường thẳng d1 và d2 nên ta có 15 − b + 3 5 − 3b + 9 b = −2 d ( I ; d1 ) = d ( I ; d 2 ) � = � 18 − b = 14 − 3b � 10 10 b=8 Khi b=-2 ta có R = 40 , phương trình của đường tròn là ( x − 5 ) + ( y + 2 ) = 40 2 2 • Khi b=8 ta có R = 10 , phương trình của đường tròn là ( x − 5 ) + ( y − 8 ) = 10 2 2 • Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d : x − y + 1 − 2 = 0 và điểm A(-1;1). Viết phương trình đường tròn © qua A, gốc tọa độ O và tiếp xúc với d. Giải − �1 1 � Gọi M là trung điểm của OA. Khiđó M � ; � �2 2 � uuu r Ta có OA = ( −1;1) là vectơ pháp tuyến của đường trung trực đoạn OA. � 1�� 1� Phương trình đường trung trực của đoạn OA là − � + � � − � 0 � − x + y − 1 = 0 x + y = � 2�� 2� Tâm I của đường tròn nằm trên đường trung trực này nên tọa độ điểm I ( a; a + 1) −a + a + 1 − 1 a=0 Theo đề bài ta có IA = d ( I ; d ) � ( a + 1) + a = 2 2 � 2 a = −1 Khi a=0 thì bán kính của đường tròn © là R=1 Khi a=1 thì bán kính của đường tròn © là R=1 Vậy có 2 đường tròn cần tìm là x 2 + ( y − 1) = 1 và ( x + 1) + y 2 = 1 2 2 NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 14
  15. BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG Ví dụ 5: Lập phương trình đường tròn đi qua A(4;2) và tiếp xúc với 2 đường thẳng d1 : x − 3 y − 2 = 0 và d 2 : x − 3 y + 18 = 0 Giải tâm I (a; b) phương trình ( C ) : ( x − a ) + ( y − b ) = R 2 2 2 Giả sử (C ) : bk = R Do A thuộc © nên ( 4 − a ) + ( 2 − b ) = R 2 2 2 Vì © tiếp xúc với 2 đường thẳng d1 : x − 3 y − 2 = 0 và d 2 : x − 3 y + 18 = 0 nên a = 1, b = 3 a − 3b − 2 a − 3b + 18 d ( I ; d1 ) = d ( I ; d 2 ) � = � a − 3b − 2 = a − 3b + 18 � 29 23 10 10 a = ;b = 5 5 Khi a = 1, b = 3 bán kính R = 10 29 23 Khi a = ; b = bán kính R = 10 5 5 2 2 � 29 � � 23 � Vậy có 2 đường tròn cần tìm là ( x − 1) + ( y − 3) = 10 và � − �+ � − �= 10 2 2 x y � 5 � � 5 � Ví dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn © có phương trình x + y − 12 x − 4 y + 36 = 10 . Viết phương trình của 2 2 đường tròn (T) biết (T) tiếp xúc với 2 trục tọa độ và tiếp xúc ngoài với ©. Giải Đường tròn © có tâm I(6;2) và bán kính R=2. Vì đường tròn tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên tâm J của nó phải nằm trên đường thẳng y=x (hoặc y=-x). Do đoa ta xét hai khả năng sau: • Nếu J thuộc đường thẳng y=x . Giả sử J(a;a) thì R = a Vì đường tròn © tiếp xúc ngoài với đường tròn (T) nên ta có ( a − 6) + ( a − 2 ) = a + 2 � 2a 2 − 16a + 40 = a 2 + 4 + 4 a 2 2 IJ = R1 + R2 � IJ = a + 2 � (1) + Nếu a0 thì (1) � 2a − 16a + 40 = a + 4 − 4a � a − 12a + 36 = 0 � 2 2 2 a = 18 • Nếu J thuộc đường thẳng y = − x . Giả sử J ( a; −a ) thì R = a Vì đường tròn © tiếp xúc ngoài với đường tròn (T) nên ta có ( a − 6) + ( −a − 2 ) = a + 2 � a = 6 2 2 IJ = R1 + R2 � IJ = a + 2 � (2) ( x − 2) + ( y − 2 ) = 4 ; ( x − 18 ) + ( y − 18 ) = 24 và 2 2 2 2 Vậy có 3 đường tròn cần tìm là ( x − 6) + ( y + 6 ) = 36 2 2 IV. BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VÀ CÁT TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN Trong mục này ta xét các bài toán lập phương trình ti ếp tuyến và cát tuy ến c ủa đ ường tròn © cho trước và thỏa mãn những điều kiện nào đó: NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 15
  16. BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG Phương pháp giải các bài toán này cũng dựa vào công th ức tính kho ảng cách t ừ tâm của đường tròn ( C ) : ( x − a ) + ( y − b ) = R 2 đến đường thẳng Ax + By + C = 0 là 2 2 I(a;b) Aa + Bb + C d ( I;∆) = A2 + B 2 Ngoài ra ta cũng caafn sử dụng đến các điều kiện sau: 1. ∆ là tiếp tuyến của © � d ( I ; ∆ ) = R 2. ∆ cắt © tại 2 điểm phân biệt � d ( I ; ∆ ) < R CÁC DẠNG BÀI TẬP LOẠI 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tr.n C: x 2 + y 2 + 2 x + 6 y + 6 = 0 và điểm M3; 1. Gọi T1 và T2 là các tiếp đi ểm c ủa các tiếp tuyến kẻ t ừ M đ ến C. Vi ết ph ương tr.nh đường thẳng T1T2 (Đại học – Khối B-Năm 2006) Giải Đường tr.n (C) có tâm I(1; 3) và bán kính R = 2. MI = 2 5 > R nên M nằm ngoài (C). Nếu T(xo; yo) là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) thì � � C) � ( T �T � C ) � ( �uuur uur � uuuuur r � ⊥ IT MT � .IT = 0 MT uuur uur Mà MT = (x 0 + 3; y 0 -1); IT = ( x0 − 1; y0 − 3) Do đó ta có: x0 2 + y0 2 + 2 x0 + 6 y0 + 6 = 0 x0 2 + y0 2 + 2 x0 + 6 y0 + 6 = 0 � �� 2 � 2 x0 + y0 − 3 = 0 (1) ( x 0 + 3) ( x0 − 1) + ( y0 -1) ( y0 − 3) = 0 x0 + y0 2 + 2 x0 − 4 y0 = 0 Vậy, tọa độ các tiếp điểm T1 và T2 của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) đ ều th ỏa m.n đ ẳng th ức (1). Do đó, phương tr.nh đường thẳng T1T2 là: 2x + y  = 0. Ví dụ 2: (Bài toán cơ bản về phương trình tiếp tuyến của đường tròn) : Cho đường tròn x + y − 2 x − 6 y + 6 = 0 và điểm M(4;1). Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn © và đi qua 2 2 M. Giải Đường tròn © có tâm I(1;3) và bán kính R=2. Gọi d là tiếp tuyến cần tìm. Ta có d đi qua điểm M(4;1) nên phương trình d có 2 dạng. 1. d1 : x = 4 . Khi đó d ( I ; d ) = 4 − 1 = 3 > R nên d1 : x = 4 không phải là tiếp tuyến. 2. d 2 : y = k ( x − 4 ) + 1 � kx − y + 1 − 4k = 0 k =0 k − 3 + 1 − 4k Vì d2 là tiếp tuyến nên ta có d ( I ; d 2 ) = R � 2 = 2 � 5k + 12k = 0 � −12 k 2 + 12 k= 5 Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa yêu cầu đề bài y = 1 và 12 x + 5 y − 53 = 0 Nhận xét: Ta có thể giải bài toán trên dưới dạng phương trình tổng quát của đường thẳng. Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ©: x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 20 = 0 . Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn © biết rằng nó vuông góc với đường thẳng x + y = 0 Giải Gọi d là tiếp tuyến cần tìm. Vì d vuông góc với đường thẳng x + y = 0 nên phương trình d có dạng x − y + m = 0 Đường tròn © có tâm I(-1;2) và bán kính R=5. −1 − 2 + m m = 5 2 +3 D là tiếp tuyến của © nên ta có d ( I ; d ) = R � =5� 12 + 12 m = −5 2 + 3 Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm x − y + 5 2 + 3 = 0 và x − y − 5 2 + 3 = 0 NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 16
  17. BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG LOẠI 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CÁT TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ©: x 2 + y 2 + 2 x − 4 y = 0 và đường thẳng d: x − y + 1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng ∆ sao cho ∆ song song với d và cắt © tại 2 điểm M, N sao cho độ dài MN=2. Giải Vì ∆ song song với d: x − y +1 = 0 nên phương trình ∆ có dạng x − y + m = 0 1 Kẻ IH vuông góc vơi MN ta có HM = HN = 2 MN =1 Đường tròn © có tâm I(-1;2) và bán kính R= 5 −1 − 2 + m m = 2 2 +3 Từ đó IH = IM − HM = 2 � d ( I ; ∆) = 2 � =2 � 2 2 1 +1 2 2 m = −2 2 + 3 Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm x − y + 2 2 + 3 = 0 và x − y − 2 2 + 3 = 0 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ©: x 2 + y 2 − 8 x − 2 y = 0 và đoeẻm A(9;6). Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A và cắt © theo một dây cung có độ dài là 4 5 Giải Giả sử phương trình đường thẳng ∆ cần tìm có dạng Ax + By + C = 0 Do A(9;6) thuộc ∆ nên ta có 9A + 6 B + C = 0 � C = −9 A − 6 B Phương trình ∆ có dạng Ax + By − 9 A − 6 B = 0 1 Kẻ IH vuông góc MN. HM = HN = 2 MN = 2 5 Đường tròn © có tâm I(4;1) và bán kính R = 17 4 A + B − 9 A − 6B Từ đó IH = IM − HM = 5 � d ( I ; ∆ ) = 5 � = 5 2 2 A2 + B 2 A 2 = −2 � � A A B � 4 A + 10 AB + 4 B = 0 � 2 � �+ 5 + 2 = 0 � 2 2 � � B B A −1 = B 2 A −1 • Nếu = Chọn B = −2; A = 1 � ∆ : x − 2 y + 3 = 0 B 2 A • Nếu = −2 Chọn B = −1; A = 2 � ∆ : 2 x − y − 12 = 0 B Vậy có 2 đường thẳng cần tìm. Ví dụ 3: Cho đường tròn ( x − 4 ) + ( y − 3) = 4 và điểm M(5;2). Viết phương trình đường 2 2 thẳng d qua M và cắt © tại 2 điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB. Giải Đường tròn © có tâm I(4;3) và bán kính R=2. Ta thấy ngay được điểm M nằm trong đường tròn vì ( 5 − 4 ) + ( 2 − 3) = 2 < 4 2 2 Do MA=MB và IM vuông góc AB uuu r Nên đường thẳng d cần tìm đi qua M(5;2) và nhận vectơ IM = ( 1; −1) làm vectơ pháp tuyến Phương trình của đường thẳng d là x − y − 3 = 0 V. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐIỂM NHỜ VÀO PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN. Một trong những dạng hay gặp của các bài toán thuộc chuyên m ục đ ường tròn là bài toán xác định các điểm thỏa mãn yêu cầu nào đó. VÍ DỤ MINH HỌA NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 17
  18. BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) ( x − 1) + y 2 = 1 . Gọi I là tâm của © . 2 ᄋ xác định điểm M thuộc © sao cho (C) IMO = 30O (Đại học - KHỐI D – 2009) Giải cho đường tròn (C) ( x − 1) + y = 1 . Tâm I (1; 0); R = 1 2 2 ᄋ ᄋ ta có IMO = 30O suy ra tam giác IOM cân tại I � MOI = 30O 1 Suy ra Om có hệ số góc k = tan 30 = O 3 1 Suy ra phương trình OM là y = x 3 x = 0(loai ) x2 Thay vào phương trình đường tròn © ta có x − 2 x + =0 2 3 3 x= 2 � 3 3� Vậy M � ; � � � 2 2 �� Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tr.n (C) x 2 + y 2 − 2 x − 2 y + 1 = 0 và đường thẳng d: x-y+3=0 T.m tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đ ường tr.n tâm M, có bán kính g ấp đôi bán kính đường tr.n (C), tiếp xúc ngoài với đường tr.n (C). (Đại học –khối D- 2007) Giải Đường tròn ( C ) có tâm I (1; 1) , bán kính R = 1. Vì M thuộc d nên M ( x; x + 3) . Đường tròn (C1) có tâm là M và bán kính gấp 2 lần bán kính © tức R1=2R=2 Do © và (C1) tiếp xúc ngoài nên MI = R + R1 MI = R + R1 � MI = 1 + 2 = 3 � MI = 9 2 x0 = 1 � ( x0 − 1) + ( x0 + 3 − 1) = 9 � x 2 0 + x0 − 2 = 0 � 2 2 x0 = −2 Vậy, có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là: M1 (1; 4 ) , M 2 ( − 2; 1) . Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy cho ( x − 1) + ( y − 2 ) = 9 và đường thẳng d : 3 x − 4 y + m = 0 2 2 . Tìm m để trên d có duy nhất điểm P sao cho từ P cẽ 2 ti ếp tuyến PA, PB c ủa © và tam giác PAB là tam giác đều. ( Đại hoc – Khối D – 2007) Giải (C) có tâm I(1;−2) và bán kính R = 3. Ta có: ΔPAB đều nên IP = 2IA = 2R = 6 Suy ra P thuộc đường tr.n (C') tâm I, bán kính R ' = 6. Trên d có duy nhất một điểm P thỏa m.n yêu c ầu bài toán khi và ch ỉ khi d ti ếp xúc v ới (C') tại P � d (I;d) = 6 � m = 19, m = − 41 . BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( x − 1) + ( y − 2 ) = 4 và đường thẳng 2 2 d : x − y − 1 = 0 . Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với © qua d. Tìm tạ độ giao đi ểm c ủa © và (C’). Đáp án ( x − 3) + y 2 = 4 ,A(1;0) và 2 B(3;2). Bài 2: Cho tam giác ABC có A(8;0), B(0;6), C(9;3). Viết phương trình đ ường tròn ngo ại ti ếp tam giác ABC. Đáp án ( x − 4 ) + ( y − 3) = 25 2 2 Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d : 2 x − y − 5 = 0 và 2 điểm A(1;2), B(4;1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d và đi qua 2 điểm A, B. Đáp án ( x − 1) + ( y − 3) = 25 2 2 NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 18
  19. BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d : 4 x + 3 y − 43 = 0 và điểm A(7;5) trên d. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với d tại A và có tâm thu ộc đ ường th ẳng ∆ : 2x − 5 y − 4 = 0 Đáp án: ( x − 3) + ( y − 2 ) = 25 2 2 Bài 5: Trong mặt phẳng cho 2 đường thẳng d1 : 3 x + 4 y − 47 = 0 ; d 2 : 4 x + 3 y − 45 = 0 . Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d : 5 x + 3 y − 22 = 0 và tiếp xúc với d1 và d2. 2 2 � 61 � � 153 � 400 Đáp án � + �+ � − x y �= � 7 � � 7 � 49 Bài 6: Cho tam giác ABC với A(2;2) , B(4;5), C(4;1). 1. Viết phương trình đường tròn ngoại tiêp tam giác ABC. 2. iết phương trình đường thẳng d đi qua điểm K(5;2) cắt đường tròn ở câu 1 tại 2 điểm M, N sao cho K là trung điểm của MN. ( x − 4 ) + ( y − 3) = 4 ; 2 2 Đáp án: x − y −3 = 0 Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho d : x − y + 1 = 0 và đường tròn ©: x 2 + y 2 + 2 x − 4 y = 0 . Tìm điểm M thuộc d sao cho qua M kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với © sao cho ᄋ AMB = 60O Đáp án: M(-3;-2) và M(3;4) Bài 8: Cho 2 đường tròn ( C1 ) : x + y − 10 x = 0 và ( C2 ) : x + y + 4 x − 2 y − 20 = 0 . Viết phương 2 2 2 2 trình đường tròn đi qua các giao điểm của 2 đường tròn trên và có tâm n ằm trên đ ường thẳng x + 6y − 6 = 0 Đáp án: ( x − 12 ) + ( y + 1) = 125 2 2 GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC GẦN ĐÂY KHỐI A -2002: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A, ph ương trình đường thẳng BC là 3x − y − 3 = 0 , các đỉnh A và C thuộc trục hoành và bán kính c ủa đ ường tròn n ội tiếp tam giác ABC bằng 2.Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. Giải Ta c. BC giao Ox = B(1;0). ( Đặt xA=a ta có A(a;0) và xC=a ta có yC = 3a − 3 � C a; 3a − 3 ) � a + 1 3 ( a − 1) 2 � Từ công thức tọa độ trong tâm ta có G � � 3 ; � � � 3 � Ta có AB =| a −1|, AC = 3 a − 1 |, BC = 2 | a −1|. 1 3 ( a − 1) 2 Do đó S ∆ABC = AB. AC = 2 2 3 ( a − 1) 2 2S a −1 a = 2 3+3 Ta có r = = = = 2 � a −1 = 2 3 + 2 � AB + AC + BC 3 a − 1 + 3 a − 1 3 +1 a = −2 3 − 1 � +4 3 6+2 3 � 7 � 1 − 4 3 −6 − 2 3 � − Vậy có 2 điểm G thỏa mãn yêu cầu đề bài G � � 3 ; 3 � G� 3 � và � ; � � � � � 3 � KHỐI D -2004: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có tọa độ các đ ỉnh là A(-1; 0);B(4; 0);C(0;m) với m khác 0.. Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC theo m. Xác đ ịnh m đ ể tam giác GAB vuông tại G. Giải NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 19
  20. BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG �m� Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ G � � 1; �3� uuu uuu r r Tam giác GAB vuông tại G � GA.GB = 0 uuu � r m �uuu � m � r Mà GA � 2; − � � − � − ; GB 3; � 3� � 3� uuu uuu r r m2 Khi đó GA.GB = 0 � −6 + =0�m=� 6 3 9 Vậy m = 3 6 CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN KHỐI A- 2011: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thằng và đường tròn . Gọi I là tâm của ( C ), M là điểm thuộc . Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB đến ( C ) (A,B là tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích là 10. Giải Đường tròn (C) có tâm I(2; 1), bán kính IA = 5. ᄋ ᄋ Tứ giác MAIB có MAI = MBI = 90 và MA = MB SMAIB = IA.MA � MA = 2 5 � IM = IA2 + MA2 = 5 M thuộc Δ, có tọa độ dạng M(t; – t – 2) IM = 5 (t – 2)2 + (t + 3)2 = 25 2t2 + 2t – 12 = 0 t = 2 hoặc t = – 3 Vậy, M(2; – 4) hoặc M(– 3; 1) KHỐI B – 2011: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng Δ: x – y – 4 = 0 và d: 2x – y – 2 = 0. T.m tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng Δ tại điểm M thỏa m.n OM.ON = 8. Giải N thuộc d, M thuộc Δ có tọa độ dạng: N(a; 2a – 2), M(b; b – 4). O, M, N cùng thuộc một đường thẳng, khi và chỉ khi: 4a a(b – 4) = (2a – 2)b b(2 – a) = 4a � b = 2−a 2 2 2 OM.ON = 8 (5a - 8a + 4) = 4(a - 2) . (5a – 6a)(5a2 – 10a + 8) = 0 2 a=0 2 5a – 6a = 0 6 a= 5 � 2� 6 Vậy, N(0; – 2) hoặc N � ; � � 5� 5 KHỐI D - 2011: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(– 4; 1), trọng tâm G(1; 1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương tr.nh x – y – 1 = 0. T.m tọa độ các đỉnh A và C. Giải uuur uuu r x + 4 = 3( x − 1) 7 � � Gọi D(x; y) là trung điểm AC, ta có BD = 3GD � � D � ;1� y − 1 = 3( y − 1) 2 � � Gọi E(x; y) là điểm đối xứng của B qua phân giác trong d: x – y – 1 = 0 của góc A. Ta có EB vuông góc với d và trung điểm I của EB thuộc d nên tọa độ E là nghiệm của hệ: �( x + 4 ) + 1( y − 1) = 0 1 x+ y+3= 0 � �x − 4 y + 1 �� � E ( 2; −5 ) − −1 = 0 x− y−7 = 0 2 2 Đường thẳng AC đi qua D và E, có phương tr.nh: 4x – y – 13 = 0. NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản