Bài tập về không gian vecto Euclide

Chia sẻ: Xuan Khuong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

1.773
lượt xem 230
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đại số cơ bản - Ôn thi thạc sỹ toán học - Bài tập về không gian vecto Euclide

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập về không gian vecto Euclide

Đ I S CƠ B N (ÔN THI TH C SĨ TOÁN H C) Bài 19. Bài t p v không gian véctơ Euclide PGS TS M Vinh Quang Ngày 10 tháng 3 năm 2006 1. Tìm m t cơ s tr c giao, cơ s tr c chu n c a không gian véctơ con L c a R4 trong các trư ng h p sau: a. L = α1 , α2 , α3 v i α1 = (1, 1, 0, 0), α2 = (1, 1, 1, 1), α3 = (0, −1, 0, 1) b. L = α1 , α2 , α3 v i α1 = (1, 2, 2, −1), α2 = (1, 1, −5, 3), α3 = (3, 2, 8, −7). x1 − x2 + x4 = 0 c. L = (x1 , x2 , x3 , x4 ) x2 − x3 − x4 = 0 Gi i. a. D th y α1 , α2 , α3 ĐLTT nên α1 , α2 , α3 là cơ s c a L. Đ tìm cơ s tr c giao c a L ta ch c n tr c giao hóa h véctơ α1 , α2 , α3 . Ta có: β1 = α1 α2 , β1 2 β2 = α2 − β1 = (1, 1, 1, 1) − (1, 1, 0, 0) = (0, 0, 1, 1) β1 , β1 2 α3 , β1 α3 , β2 = α3 − β1 − β3 β2 β1 , β1 β2 , β2 −1 1 1 1 11 = (0, −1, 0, 1) − (1, 1, 0, 0) − (0, 0, 1, 1) = ( , − , − , ) 2 2 2 2 22 Ta có th ch n β3 = (1, −1, −1, 1). V y, cơ s tr c giao c a L là: β1 = (1, 1, 0, 0), β2 = (0, 0, 1, 1), β3 = (1, −1, −1, 1) Tr c chu n hóa cơ s tr c giao trên, ta đư c cơ s tr c chu n c a L là: 11 11 1 1 11 e1 = ( √ , √ , 0, 0), e2 = (0, 0, √ , √ ), e3 = ( , − , − , ) 2 2 22 22 22 b. Gi i tương t câu a., chi ti t dành cho b n đ c. c. Đ u tiên, ta tìm m t cơ s c a L. L là không gian nghi m c a h x1 − x2 + x4 = 0 (1) x2 − x3 − x4 = 0 do đó cơ s c a L là h nghi m cơ b n c a h (1). H (1) có vô s nghi m ph thu c 2 tham s x3 , x4 . Ta có: x2 = x3 + x4 x1 = x2 − x4 = x3 1
do đó, h nghi m cơ b n c a h (1) là: α1 = (1, 1, 1, 0); α2 = (0, 1, 0, 1) Do đó, cơ s c a L là α1 , α2 . Tr c giao hóa h véctơ α1 , α2 , ta s đư c cơ s tr c giao c a L.Ta có: β1 = α1 α2 , β1 1 12 1 β2 = α2 − β1 = (0, 1, 0, 1) − (1, 1, 1, 0) = (− , , − , 1) β1 , β1 3 33 3 Ta có th ch n β2 = (−1, 2, −1, 3) và cơ s tr c giao c a L là: β1 = (1, 1, 1, 0), β2 = (−1, 2, −1, 3) Tr c chu n hóa cơ s tr c giao β1 , β2 ta đư c cơ s tr c chu n c a L là: 111 1 2 1 3 e1 = ( √ , √ , √ , 0), e2 = (− √ , √ , − √ , √ ) 333 15 15 15 15 2. Ch ng minh các h véctơ sau là h tr c giao trong R4 . Hãy b sung chúng đ đư c m t cơ s tr c giao c a R4 a. α1 = (1, 1, 1, 1), α2 = (1, 0, −1, 0) b. α1 = (0, 0, 1, 1), α2 = (1, 1, 1 − 1) Gi i. a. Vì α1 , α2 = 0 nên α1 ⊥α2 . Đ b sung đư c m t cơ s tr c giao c a R4 , đ u tiên ta ph i b sung thêm 2 véctơ α3 , α4 c a R4 đ đư c m t cơ s c a R4 , sau đó ta tr c giao hóa cơ s đó, ta s đư c cơ s tr c giao c a R4 , ch a các véctơ α1 , α2 . Có nhi u cách ch n các véctơ α3 , α4 đ α1 , α2 , α3 , α4 là cơ s c a R4 (ch n đ đ nh th c c p 4 tương ng là khác 0). Ví d ta có th ch n α3 = (0, 0, 1, 0), α4 = (0, 0, 0, 1). Khi đó đ nh th c c p 4 tương ng c a h α1 , α2 , α3 , α4 b ng 1, nên h α1 , α2 , α3 , α4 ĐLTT nên là cơ s c a R4 . Tr c giao hóa h véctơ α1 , α2 , α3 , α4 . β1 = α1 α2 , β1 β2 = α2 − β1 β1 , β1 = α2 − 0.β1 = α2 α3 , β1 α3 , β2 = α3 − β1 − β3 β2 β1 , β1 β2 , β2 −1 1 1 11 1 = (0, 0, 1, 0) − (1, 1, 1, 1) − (1, 0, −1, 0) = ( , − , , − ) 4 2 4 44 4 Ta có th ch n β3 = (1, −1, 1, −1) α4 , β1 α4 , β2 α4 , β3 β4 = α4 − β1 − β2 − β3 β1 , β1 β2 , β2 β3 , β3 −1 1 0 = (0, 0, 0, 1) − (1, 1, 1, 1) − (1, 0, −1, 0) − (1, −1, 1, −1) 4 2 4 1 1 = (0, − , 0, ) 2 2 Ta có th ch n β4 = (0, −1, 0, 1) 2
V y ta có th b sung thêm 2 véctơ β3 = (1, −1, 1, −1), β4 = (0, −1, 0, 1) đ đư c α1 , α2 , β3 , β4 là cơ s tr c giao c a R4 . b. Gi i tương t câu a., chi ti t xin dành cho b n đ c. 3. Hãy tìm hình chi u tr c giao và kho ng cách c a véctơ x lên không gian con L c a R4 v i: a. x = (1, −1, 1, 0), L = α1 , α2 , α3 , trong đó α1 = (1, 1, 0, 0), α2 = (1, 1, 1, 1), α3 = (0, −1, 0, 1) x1 − x2 + x4 = 0 b. x = (1, 0, 1, 2), L = (x1 , x2 , x3 , x4 ) x2 − x3 + x4 = 0 Gi i. a. Cách 1. Đ u tiên ta m t tìm cơ s tr c chu n c a L. Theo bài 1, cơ s tr c chu n c a L là 11 11 1 111 e1 = ( √ , √ , 0, 0), e2 = (0, 0, √ , √ ), e3 = ( , − , , ) 2 222 22 22 Do đó, hình chi u tr c giao x c a x lên L là x = x, e1 e1 + x, e2 e2 + x, e3 e3 1 1 = 0.e1 + √ e2 + e3 2 2 1 113 = ( ,− , , ) 4 444 Kho ng cách t véctơ x đ n L là đ dài c a véctơ x − x = ( 4 , − 3 , 3 , − 4 ) do đó, 3 3 44 36 9 d(x, L) = x − x = 16 = 4 . Cách 2. D th y m t cơ s c a L là α1 , α2 , α3 và α1 , α1 = 2, α2 , α1 = 2, α3 , α1 = −1 x, α1 = 0, α2 , α2 = 4, α3 , α2 = 0, x, α2 = 1, α3 , α3 = 2, x, α3 = 1 Do đó, hình chi u x c a x có d ng x = x1 α1 + x2 α2 + x3 α3 trong đó x1 , x2 , x3 là nghi m c a h   2x1 + 2x2 − x3 = 0 2x1 + 4x2 + 0x3 = 1 −x1 + 0x2 + 2x3 = 1  Gi i h , ta có nghi m x1 = 0, x2 = 4 , x3 = 1 , do đó 1 2 1 1 1 113 x = 0α1 + α2 + α3 = ( , − , , ) 4 2 4 444 9 và d(x, L) = x − x = 4. 3
b. Cách 1. Tìm m t cơ s tr c chu n c a L, theo bài 1c., đó là cơ s : 111 1 2 1 3 e1 = ( √ , √ , √ , 0), e2 = (− √ , √ , − √ , √ ) 333 15 15 15 15 Do đó, hình chi u tr c giao x c a x lên L là: 2 4 x, e1 .e1 + x, e2 .e2 = √ e1 + √ e2 x = 3 15 6 18 6 12 2624 = ( , , , )=( , , , ) 15 15 15 15 5555 và kho ng cách t x đ n L là: 3 636 90 18 d(x, L) = x − x = ( ,− , , ) = = 5 555 25 5 Cách 2. Đ u tiên ta tìm m t cơ s c a L. M t cơ s c a L là h nghi m cơ b n c a h: x1 − x2 + x4 = 0 x2 − x3 + x4 = 0 theo bài 1c., cơ s đó là α1 = (1, 1, 1, 0), α2 = (0, 1, 0, 1) Ta có α1 , α1 = 3, α2 , α1 = 1, x, α1 = 2, α2 , α2 = 2, x, α2 = 2 Hình chi u tr c giao x c a x lên L là véctơ x = x1 α1 + x2 α2 , trong đó, x1 , x2 là nghi m c a h 3x1 + x2 = 2 x1 + 2x2 = 2 do đó, x1 = 5 , x2 = 4 . 2 5 Vy 2 4 2624 x = α1 + α2 = ( , , , ) 5 5 5555 18 và d(x, L) = ||x − x || = . 5 4. Cho L là không gian véctơ con c a không gian Euclide E và xo ∈ E . Ta g i t p P := L + xo = {x + xo |x ∈ L} là m t đa t p tuy n tính c a E . Kho ng cách t m t véctơ α ∈ E đ n đa t p P , ký hi u d(α, P ) xác đ nh b i: d(α, P ) = min{ α − u : u ∈ P } Ch ng minh r ng kho ng cách d(α, P ) b ng đ dài đư ng tr c giao h t véctơ α − xo đ n L (t c là d(α, P ) = d(α − xo , L). 4
Gi i. Gi s hình chi u tr c giao c a α − xo lên L là β , t c là α − xo = β + γ , trong đó, β ∈ L, γ ⊥L. Khi đó d(α − xo , L) = γ v i m i véctơ u = xo + y ∈ P (t c là y ∈ L), ta có α−u α − u, α − u = α − xo − y, α − xo − y = β−y 2+ γ 2 ≥ γ β − y + γ, β − y + γ = = ( β − y, γ = 0 vì γ ⊥β − y ∈ L) do đó min α − u = γ , d u b ng x y ra khi 2 β−y = 0 ⇐⇒ β = y = u − xo ⇐⇒ u = xo + β Vy d(α, P ) = min{ α − u } = d(α − xo , L) d u b ng x y ra khi và ch khi u = xo + β , trong đó β là hình chi u tr c giao c a α − xo lên L. 5. Tìm kho ng cách t véctơ α = (2, 1, 4, 4) đ n đa t p P xác đ nh b i h phương trình tuy n tính: x1 − x2 + x4 = 3 (1) x2 − x3 + x4 = 3 Gi i. Đ u tiên ta ph i vi t đa t p P dư i d ng (P ) = L + xo = {x + xo | x ∈ L} trong đó, L là không gian véctơ con c a R4 . Vì t p nghi m c a h phương trình (1) chính b ng t p nghi m h phương trình tuy n tính thu n nh t tương ng c a h (1) c ng v i nghi m riêng c a h (1), do đó, L chính là không gian con các nghi m c a h thu n nh t tương ng h (1) x1 − x2 + x4 = 0 (L) x2 − x3 + x4 = 0 còn xo là nghi m riêng b t kỳ c a h (1). Ta có xo = (1, 2, 3, 4) là nghi m c a h (1) Theo bài t p 4. d(α, P ) = d(α − xo , L). V y ta c n tìm kho ng cách t véctơ α − xo = (1, −1, 1, 0) đ n không gian con L các nghi m c a h x1 − x2 + x4 = 0 x2 − x3 + x4 = 0 9 theo bài 3., d(α − xo , L) = 4 9 V y, d(α, P ) = 4 6. Cho L là KGVT con c a không gian Euclide E . Ký hi u: L⊥ = {x ∈ E | x⊥L} Ch ng minh a. L⊥ là KGVT con c a E . L⊥ g i là ph n bù tr c giao c a L. 5
⊥ b. (L⊥ ) = L c. L + L⊥ = E, L⊥ ∩ L = {0} d. dim L⊥ + dim L = dim E Gi i. a. Ki m tra tr c ti p d a vào tiêu chu n không gian véctơ con. ⊥ b. Gi s α ∈ L, khi đó ∀β ∈ L⊥ , ta có β ⊥L, do đó β ⊥α. V y α⊥L⊥ nên α ∈ (L⊥ ) . ⊥ Ngư c l i, gi s α ∈ (L⊥ ) , khi đó α⊥L⊥ . Hình chi u tr c giao c a α lên L là α , ta có α = α + β, β ⊥L, α ∈ L vì β ∈ L⊥ nên β ⊥α, β ⊥α , do đó 0 = α, β = α + β, β = α , β + β , β = β , β t đó β , β = 0 nên β = 0 và α = α ∈ L. c. V i m i α ∈ L, g i α là hình chi u c a α lên L, ta có: α ∈ L, β ⊥L α = α + β, t c là β ∈ L⊥ nên α ∈ L + L⊥ . V y L + L⊥ = E . N u α ∈ L⊥ ∩ L thì α ∈ L⊥ nên α⊥L, do đó α⊥α t c là α, α = 0. V y, α = 0 nghĩa là L⊥ ∩ L = {0}. d. dim L⊥ + dim L = dim(L⊥ + L) − dim(L⊥ ∩ L) = dim E − dim{0} = dim E 7. Tìm cơ s tr c giao, cơ s tr c chu n c a không gian con L⊥ c a R4 , bi t L là các không gian con dư i đây: a. L = α1 , α2 v i α1 = (1, 0, −1, 2), α2 = (−1, 1, 0, −1) b. L là không gian con các nghi m c a h  x1 − x2 + x3 − x4 = 0  2x1 + x2 − x3 + x4 = 0 (1) x1 + 2x2 − 2x3 + 2x4 = 0  Gi i. Đ tìm cơ s tr c giao, cơ s tr c chu n c a L⊥ , ta tìm m t cơ s c a L⊥ . Sau đó, s tr c giao hóa, tr c chu n hóa như trong bài t p 1. a. Véctơ x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ L⊥ ⇐⇒ x⊥L ⇐⇒ x⊥α1 và x⊥α2 x, α1 = 0 ⇐⇒ x, α2 = 0 x1 − x3 + 2x4 = 0 ⇐⇒ (2) −x1 + x2 − x4 = 0 V y, L⊥ chính là không gian nghi m c a h phương trình tuy n tính trên, do đó h nghi m cơ b n c a h phương trình tuy n tính (2) chính là m t cơ s c a L⊥ . Vi c tìm cơ s tr c giao, tr c chu n c a L⊥ bây gi đư c ti n hành gi ng như trong bài t p 1c. Các tính toán chi ti t xin dành cho b n đ c. 6
b. Véctơ x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ L ⇐⇒ (x1 , x2 , x3 , x4 ) là nghi m c a h (1)   x, β1 = 0 ⇐⇒ x, β2 = 0 x, β3 = 0  trong đó β1 = (1, −1, 1, −1), β2 = (2, 1, −1, 1), β3 = (1, 2, −2, 2)) ⇐⇒ x⊥β1 , x⊥β2 , x⊥β3 ⇐⇒ x⊥ β1 , β2 , β3 Như v y x ∈ L ⇔ x⊥U = β1 , β2 , β3 , ⇔ x ∈ U ⊥ t c là L = U ⊥ , do đó L⊥ = U . V y, L⊥ = β1 , β2 , β3 . T đó, m t h con ĐLTT t i đ i c a h β1 , β2 , β3 là cơ s c a L⊥ . D th y β1 , β2 là cơ s c a L⊥ . Vi c tr c giao hóa, tr c chu n hóa h véctơ β1 , β2 đ đư c cơ s tr c giao, cơ s tr c chu n c a L⊥ khá đơn gi n (ti n hành như bài t p 1a). Chi ti t xin đư c dành cho b n đ c. 8. Cho L1 , L2 là các không gian con c a KGVT Euclide E v i dim L1 < dim L2 . Ch ng minh t n t i véctơ α = 0, α ∈ L2 và α tr c giao v i L1 Gi i. Ta có dim L1 + dim L⊥ = dim L2 + dim L⊥ = dim E (Bài t p 6) 1 2 Do dim L1 < dim L2 nên dim L⊥ > dim L⊥ 1 2 M t khác dim(L2 ∩ L⊥ ) = dim L2 + dim L⊥ − dim(L2 + L⊥ ) 1 1 1 > dim L2 + dim L⊥ − dim(L2 + L⊥ ) 2 1 = dim E − dim(L2 + L⊥ ) ≥ 0 1 V y dim(L2 ∩ L⊥ ) > 0 do đó L2 ∩ L⊥ = {0}, nên t n t i véctơ α ∈ L2 ∩ L⊥ , α = 0. Rõ 1 1 1 ràng α ∈ L2 và α⊥L1 9. Ch ng minh r ng m i h véctơ tr c giao không ch a véctơ không đ u đ c l p tuy n tính. Gi i. Gi s α1 , . . . , αm là h tr c giao, không ch a véctơ không (αi = 0) c a không gian m j =1 aj αj = 0. Khi đó, v i m i i, ta có: véctơ Euclide và gi s m m 0 = αi , 0 = αi , aj αj = aj αi , αj = ai αi , αi j =1 j =1 do đó ai αi , αi = 0 v i m i i, vì αi , αi = 0 nên ai = 0, ∀i. V y, h α1 , . . . , αm là h ĐLTT. 10. Ch ng minh r ng: Trong không gian Euclide, ma tr n đ i cơ s gi a 2 cơ s tr c chu n là ma tr n tr c giao. Gi i. Gi s α1 , . . . , αn (α) và β1 , . . . , βn (β ) là cơ s tr c chu n c a không gian Euclide E và gi s : n βj = aij αi v i m i j = 1, 2, . . . , n i=1 7
n αj = bij βi v i m i j = 1, 2, . . . , n i=1 G i T là ma tr n đ i cơ s t (α) sang (β ) thì:     a11 a12 . . . a1n b11 b12 . . . b 1n  a21 a22 . . . a2n   b21 b22 . . . b 2n   −1 T= . .  và T =  .    . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . ann bn1 bn2 . . . bnn Ta có n n αk , βl = αk , ail αi = ail αk , αi = akl i=1 i=1 M t khác n n αk , βl = bik βi , βl = bik βi , βl = blk i=1 i=1 −1 t V y blk = akl v i m i k, l, t c là T = T , do đó, T là ma tr n tr c giao. 11. Cho E là KGVT Euclide. Ch ng minh r ng phép bi n đ i tuy n tính c a E , f : E → E là phép bi n đ i tr c giao khi và ch khi f là b o toàn đ dài c a m t véctơ ( f (α) = α ) v im iα∈E Gi i. N u f là phép bi n đ i tr c giao thì ∀α ∈ E, f (α), f (α) = α, α do đó f (α) = α . Đ ch ng minh chi u ngư c l i, ta có nh n xét: ∀α, β ∈ E , α + β, α + β = α, α + β , β + 2 α, β do đó 1 2 2 − β 2 ) (∗) −α α, β = ( α + β 2 Bây gi gi s f b o toàn đ dài c a véctơ, khi đó, do công th c (∗), ta có 1 ( f (α) + f (β ) 2 − f (α) 2 − f (β ) 2 ) f (α), f (β ) = 2 1 ( α + β 2 − α 2 − β 2 ) = α, β = 2 V y, f là phép bi n đ i tr c giao. 1 1 Đánh máy: LÂM H U PHƯ C, Ngày: 27/02/2006 8