Bài tập về toán cao cấp Tập 1 part 4

Chia sẻ: Afasg Agq | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

Thêm vào BST

Báo xấu

421
lượt xem 196
download

Bài tập về toán cao cấp Tập 1 part 4

Mô tả tài liệu

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài tập toán cao cấp Tập 1 Nguyễn Thủy Thanh NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006, 276 Tr. Từ khoá: Số phức, Đa thức và hàm hữu tỷ, Ma Trận, Định thức, Hệ phương trình tuyến tính, Không gian Euclide, Dạng toàn phương. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập về toán cao cấp Tập 1 part 4

3.1. Ma trˆn a 83 . cos(α + β ) = sin(α + β ) (DS. AB = BA = ) sin(α + β ) cos(α + β ) 4. T´ c´c lu˜ th`.a cua ma trˆn An nˆu: ´ yu’ ınh a a e . 11 1n . (DS. An = 1) A = ) 01 01 Chı dˆ n. Su. dung phu.o.ng ph´p quy nap to´n hoc ’˜ ’. a a a . . cos ϕ − sin ϕ cos nϕ − sin nϕ (DS. An = 2) A = . ) sin ϕ cos ϕ sin nϕ cos nϕ   d1     d2     .. . (DS. An = diag dn dn . . . dn ) 3) A =  . 1 2 n   ..   .   dn     2 2n − 1 0 210     4) A = 0 1 0. (DS. 0 0) 1 001 0 0 2 5. Ch´.ng minh r˘ng nˆu AB = BA th` ` ´ u a e ı 2 2 2 1) (A + B ) = A + 2AB + B . 2) A2 − B 2 = (A + B )(A − B ). 3) (A + B )n = An + Cn An−1 B + Cn An−2 B 2 + · · · + B n . 1 2 Chı dˆ n. Su. dung phu.o.ng ph´p quy nap to´n hoc. ’˜ ’. a a a . . . cho da th´.c P (x) = a0 + a1x + · · · + a + kxk . Khi d´ ma ’’ Gia su u o trˆn vuˆng a o . P (A) = a0E + a1 A + · · · + ak Ak , x=A du.o.c goi l` gi´ tri cua da th´.c P (x) tai x = A v` biˆu th´.c ’ .aa.’ u ae u . . .c cua ma trˆn A. k P (A) = a0E + aA + · · · + ak A goi l` da th´ ’ .a u a . . P (x) v` Q(x) l` hai da th´.c v´.i hˆ sˆ ∈ P v` A l` ma trˆn .´ ’’ 6. Gia su a a u o eo a a a . .ng minh r˘ng ` ´ vuˆng cˆp n. Ch´ o a u a
Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i 84 u . 1) ϕ(x) = P (x) + Q(x) ⇒ ϕ(A) = P (A) + Q(A). 2) ψ (x) = P (x)Q(x) ⇒ ψ (A) = P (A)Q(A). 3) P (A)Q(A) = Q(A)P (A). 7. T` gi´ tri cua da th´.c ma trˆn ım a . ’ u a . 2 −1 00 1) P (x) = x2 − 5x + 3, A = . (DS. ) −3 3 00   1 −2 3   3x2 − 2x + 5, A 2) P (x) = = 2 −4 1. (DS. 3 −5 2   21 −23 15   −13 34 10) −9 22 25   010   3) P (x) = 3x5 − 4x4 − 10x3 + 3x2 − 7, A = 0 0 1. 000   −7 0 3   (DS.  0 −7 0 ) 0 0 −7 4) Ch´.ng minh r˘ng ma trˆn ` u a a.   1 2 −2   1 0 3  13 0 l` nghiˆm cua da th´.c P (x) = x3 − x2 − 9x + 9. ’ a e u . 5) Ch´.ng minh r˘ng ma trˆn ` u a a .   100   A = 0 1 0 003 l` nghiˆm cua da th´.c P (x) = x3 − 5x2 + 7x − 3. ’ a e u .
3.2. D. nh th´.c -i u 85 8. Ch´.ng minh r˘ng nˆu A l` ma trˆn du.`.ng ch´o cˆp n v´.i c´c ` ´ ´ u a e a a o ea oa . . trˆn du.`.ng ch´o ch´nh l` λ1 , λ2 , . . . , λn th` v´.i moi da th´.c `a’ phˆn tu e o e ı a ıo u . P (x) ma trˆn P (A) c˜ng l` ma trˆn du.`.ng ch´o v´.i c´c phˆn tu. trˆn ` a’e a u a a o eoa . . .`.ng ch´o ch´ l` P (λ1 ), P (λ2 ), . . . , P (λn ). H˜y x´t tru.`.ng ho.p du o e ınh a ae o . ´ khi A l` ma trˆn vuˆng cˆp 3. a a o a . 9. Ch´.ng minh r˘ng (An )T = (AT )n . ` u a .ng minh b˘ng phu.o.ng ph´p quy nap v` su. dung hˆ ’˜ ` . a’ . Chı dˆ n. Ch´ a u a a e . .c (AB ) = B A . T TT th´ u 10. Ch´.ng minh r˘ng moi ma trˆn vuˆng A d` u c´ thˆ biˆu diˆn du.´.i ’’ ˜ ` u a a o ˆoee e e o . . .ng v` mˆt ma trˆn phan x´.ng. ’ ´ ’u dang tˆng mˆt ma trˆn dˆi x´ o o aou ao a . . . . . 1 1 ’˜ Chı dˆ n. D˘t P = (A + AT ), Q = (A − AT ), A = P + Q. a a . 2 2 Dinh th´.c -. 3.2 u ´ 3.2.1 Nghich thˆ e . Moi c´ch s˘p xˆp th´. tu. n phˆn tu. cua tˆp ho.p sˆ J = {1, 2, . . . , n} ´e a´ ` ´ a ’’a .a u. .o . du.o.c goi l` mˆt ho´n vi cua n phˆn tu. d´. Sˆ c´c ho´n vi c´ thˆ c´ ’ ` ´ a .’ a ’ o oa .ao a .o eo . . . cua J l` n!. Hai sˆ trong mˆt ho´n vi lˆp th`nh mˆt ` ´ cua n phˆn tu ’ ’ a’ a o o a .a a o . . . ´ nˆu sˆ l´.n ho.n du.ng tru.´.c sˆ b´ ho.n. Sˆ nghich thˆ cua ´ oo ´’ ´ ´e ´ nghich thˆ e e ´ oo o e . . .o.c k´ hiˆu l` ho´n vi (α1 , . . . , αn ) du . y e a a. . inv(α1 , α2, . . . , αn ), ´ ´. . d´ ch´ l` sˆ c˘p lˆp th`nh nghich thˆ trong ho´n vi. o ınh a o a a a e a. . .o.c goi l` ho´n vi ch˘ n nˆu sˆ nghich thˆ .a a. ˜ eo ´´ ´ Ho´n vi {α1, . . . , αn } du . a. a e . ’ oa ˜ a . a a .’ e o ´´ ´ ea’ cua n´ l` ch˘ n v` goi l` ho´n vi le nˆu sˆ nghich thˆ l` le. a . Dinh th´.c -. 3.2.2 u Mˆ i ma trˆn vuˆng cˆp n (v` chı c´ ma trˆn vuˆng !) d` u tu.o.ng u.ng ˜ ´ a ’o o a o a a o ˆ e ´ . . v´.i mˆt sˆ - goi l` d. nh th´.c cua n´. . ´ .ai u’o o oo
Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i 86 u . Gia su. cho ma trˆn vuˆng cˆp n trˆn tru.`.ng P (R, C): ´ ’’ a o a e o .   a11 a12 . . . a 1n    a21 a22 . . . a 2n  n A = aij 1 =  . . (3.7) . . . .. . . . . . an1 an2 . . . ann Dinh th´.c cua ma trˆn A l` mˆt sˆ thu du.o.c t`. c´c phˆn tu. cua ` .´ u’ a ’’ a aoo . ua . . ´ ma trˆn theo quy t˘c sau dˆy: a a a . .c cˆp n b˘ng tˆng dai sˆ cua n! sˆ hang; ’ ` u´ ´ ´ .o’ 1) dinh th´ a a o o. . .c l` t´ ˜´ ’. 2) mˆ i sˆ hang cua dinh th´ a ıch oo. u ai1 j1 ai2 j2 · · · ain jn (3.8) cua n phˆn tu. cua ma trˆn m` c´. mˆ i h`ng v` mˆ i cˆt d` u c´ dung ˜ ˜.e ` ’ a ’’ a au o a a oo ˆ o´ . mˆt phˆn tu. trong t´ch n`y; ` a’ o ı a . 3) sˆ hang ai1 j1 ai2 j2 · · · ain jn cua dinh th´.c c´ dˆu cˆng nˆu ho´n ´ ´ ´. ’. o. u oa o e a vi lˆp nˆn bo.i c´c sˆ hiˆu h`ng {i1, i2, . . . , in } v` ho´n vi lˆp nˆn bo.i ´. ’aoea ’ .a e a a .a e . . ˜ ´. ´ ’aoa c´c sˆ hiˆu cˆt {j1 , j2 , . . . , jn } l` c`ng ch˘ n ho˘c c`ng le v` c´ dˆu aoeo au a au . . . (“ − ”) trong tru.`.ng ho.p ngu.o.c lai. tr`u o . .. .c cua ma trˆn A du.o.c k´ hiˆu l` K´ hiˆu: D.nh th´ ’ ye i u a .yea . . . a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n det A, |A| hay . .. . .. . . . . . . . an1 an2 . . . ann Nhˆn x´t. 1) Nhu. vˆy, dˆ x´c dinh dˆu cua sˆ hang dinh th´.c ta ’ ´ ´ a ’ o. ae a ea . u . . . ` ınh cˆn t´ a s = inv(i1 , . . . , in ) σ = inv(j1 , . . . , jn ) v` khi d´ dˆu cua sˆ hang dinh th´.c l` dˆu cua th`.a sˆ (−1)s+σ . ´ ´ ´ ´ oa ’ o. u aa ’ a uo .
3.2. D. nh th´.c -i u 87 2) Nˆu ta viˆt c´c th`.a sˆ cua t´ch (3.8) theo th´. tu. t˘ng dˆn cua ´ ´ ` ´ u o’ ı a’ e ea u.a ´. sˆ hiˆu h`ng: oea ai1 j1 ai2 j2 · · · ainjn = a1α1 a2α2 · · · anαn th` ı (−1)inv(α1 ,...,αn )a1α1 a2α2 · · · anαn . det A = (3.9) (α1 ,...,αn ) ’ ´ ´ ’ trong d´ tˆng lˆy theo moi ho´n vi (α1, α2 , . . . , αn ) cua c´c sˆ oo a a ao . . 1, 2, . . . , n. ´ Trong ma trˆn vuˆng (3.7) ta cˆ dinh k (k < n) h`ng v` k cˆt n`o a o o. a a oa . . . d´ l` c´c h`ng v´.i sˆ hiˆu i1 < i2 < · · · < ik v` c´c cˆt v´.i ´. ’’ d´. Gia su o a a a o ooe aa o o . ´ hiˆu j1 < j2 < · · · < jk . T`. c´c phˆn tu. n˘m trˆn giao cua h`ng ` ` a ’a ’ sˆ e o. ua e a .o.c chon ta c´ thˆ lˆp dinh th´.c cˆp k ’. ´ v` c´c cˆt du . aa o o ea . ua . . ai1 j1 ai1 j2 . . . ai1 jk ai2 j1 ai2 j2 . . . ai2 jk .. . . .. . . . . . . . aik j1 aik j2 . . . aik jk Dinh th´.c n`y du.o.c goi l` d. nh th´.c con cˆp k cua ma trˆn A. K´ ´ ’ ua .ai u a a y . . . i1 i2 ...ik hiˆu M j1 j2 ···jk . e. Nˆu ta bo di c´c h`ng th´. i1 , i2, . . . , ik v` c´c cˆt th´. j1, j2 , . . . , jk ´ ’ e aa u aa o u . th` c´c phˆn tu. c`n lai cua ma trˆn A s˜ tao th`nh mˆt ma trˆn vuˆng ` a ’o . ’ ıa a e. a o a o . . . cˆp n − k . D.nh th´.c cua ma trˆn vuˆng n`y l` d.nh th´.c con cˆp ´ ´ ’ a i u a o a ai u a . .o.c goi l` phˆn b` (hay dinh th´.c con b`) .a` u ’ n − k cua ma trˆn A v` du . a a a u u . . i1 i2 ···ik cua d.nh th´.c con M j1 j2 ···jk v` du.o.c k´ hiˆu l` Mj1 j2 ···jk .i1 i2 ···ik ’i u a .yea . .c con b` v´.i dˆu ´ D.nh th´ i u uo a (−1)(i1 +i2 +···+ik )+(j1 +j2 +···+jk ) i1 ···ik du.o.c goi l` phˆn b` dai sˆ cua dinh th´.c con M j1 ···jk . .a ` u. o’ . ´ a u . Tru.`.ng ho.p d˘c biˆt: dinh th´.c con b` Mij cua dinh th´.c con cˆp ´ ’. o .a e u u u a . . . .o.c goi l` phˆn b` cua phˆn tu. aij cua A v` sˆ .a` ` ´ ’ a u’ ’ ’ 1 l` aij cua A du . a a ao Aij = (−1)i+j Mij goi l` phˆn b` dai sˆ cua phˆn tu. aij . .a` ` ´ a u.o’ a’
Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i 88 u . T´ chˆt cua dinh th´.c ´ ınh a ’ 3.2.3 u . Dinh th´.c c´ c´c t´ chˆt sau ´ u o a ınh a . I. Qua ph´p chuyˆn vi ma trˆn, dinh th´.c cua n´ khˆng dˆi, t´.c ’ ’ u’ e e. a oo ou . . T l` det A = det A . a T`. t´nh chˆt b`nh d˘ng n`y gi˜.a c´c h`ng v` c´c cˆt cua dinh ’ ´ aa o ’ uı aı a a uaa . . .c suy ra r˘ng mˆt diˆu kh˘ng dinh n`o d´ d˜ dung v´.i h`ng th` ’ ` o` th´u a e a a oa´ oa ı . . n´ c˜ng dung v´.i cˆt. Do d´ c´c t´ chˆt tiˆp theo dˆy chı cˆn ph´t ´´ ’` ou ´ oo o a ınh a e a a a . ’ biˆu cho h`ng. e a II. Nˆu dˆi chˆ hai h`ng cho nhau th` dinh th´.c dˆi dˆu. ´’˜ ’´ eo o a ı. uoa III. Th`.a sˆ chung cua moi phˆn tu. cua mˆt h`ng cua dinh th´.c ` ´ ’ a ’’ ’. uo oa u . . .a ra ngo`i dˆu dinh th´.c. ’ ´ c´ thˆ du oe aa. u IV. Dinh th´.c c´ mˆt h`ng b˘ng 0 l` b˘ng 0. ` ` uooa a aa . . V. Dinh th´.c c´ hai h`ng giˆng nhau l` b˘ng 0. ` ´ uo a o aa . VI. Nˆu dinh th´.c c´ hai h`ng ty lˆ v´.i nhau th` n´ b˘ng 0. ´ ` ’eo e. uo a ıoa . VII. Nˆu c´c phˆn tu. cua h`ng th´. i cua dinh th´.c D c´ dang ´ ` ’’ ’. ea a a u u o. .c D b˘ng tˆng hai dinh ’ ` aij = bij + ciJ , i = 1, n, j = 1, n th` dinh th´ ı. u a o . .c D1 + D2 , trong d´ dinh th´.c D1 c´ h`ng th´. i l` (bi1bi2 · · · bin ) th´u o. u oa ua .c D2 c´ h`ng th´. i l` (ci1 , ci2, . . . , cin ) c`n c´c h`ng kh´c v` dinh th´ a. u oa ua oaa a .o.ng u.ng cua D. ’ l` c´c h`ng tu aa a ´ VIII. Nˆu dinh th´.c c´ mˆt h`ng l` tˆ ho.p tuyˆn t´nh cua c´c ’ ´ ´ ’a e. uooa ao. eı . .c b˘ng 0. h`ng kh´c th` dinh th´ ` a a ı. ua IX. D.nh th´.c khˆng dˆi nˆu thˆm v`o mˆt h`ng n`o d´ mˆt tˆ ’´ .’ i u o oe e a oa aooo . ho.p tuyˆn t´ cua c´c h`ng kh´c. ´ e ınh ’ a a a . X. D.nh th´.c b˘ng tˆng c´c t´ch cua c´c phˆn tu. cua mˆt h`ng ’ ` ` ’a ’’ i ua o aı a oa . .i phˆn b` dai sˆ tu.o.ng u.ng. ` ´ n`o d´ v´ a oo a u.o ´ n det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · · + ain Ain = aij Aij . (3.10) j =1 Nhˆn x´t. Ngu.`.i ta c˜ng d`ng t´ chˆt X n`y dˆ l`m dinh ngh˜a ’ ´ ae o u u ınh a a ea ı . . dinh th´.c. u .
3.2. D. nh th´.c -i u 89 XI. Tˆng c´c t´ cua c´c phˆn tu. cua mˆt h`ng n`o d´ v´.i phˆn ’ ` ` a ıch ’ a a ’’ o oa a oo a . .o.ng u.ng cua c´c phˆn tu. cua h`ng kh´c l` b˘ng 0: aa` ` ´ ’a a’’ a b` dai sˆ tu u.o ´ a n aij Akj = 0, ∀ k = i; i, k = 1, n. j =1 Nhˆn x´t. C´c t´ chˆt I-III l` nh˜.ng t´nh chˆt co. ban. C´c t´nh ´ ´ ’ ae a ınh a au ı a aı . .ng hˆ qua cua ba t´ chˆt ˆy. ´ ´´ e ’’ chˆt sau l` nh˜ a au ınh a a . Phu.o.ng ph´p t´ dinh th´.c 3.2.4 a ınh . u I. Dinh th´.c cˆp 1, cˆp 2 v` cˆp 3 du.o.c t´nh theo c´c cˆng th´.c ´ ´ ´ ua a aa .ı ao u . |a11| = a11; a11 a12 = a11a22 − a12a21; (3.11) a21 a22 a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a31 a32 a33 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33. Khi t´ dinh th´.c cˆp 3 ta c´ thˆ su. dung quy t˘c Surrus “dang ’ ´ ´ o e’ . ınh . ua a . .`.ng song song” sau dˆy tam gi´c” ho˘c “dang du o a a a . . • • • • • • • • • • • • • • • • • • (+) (−) a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i 90 u . ⊕ ⊕ ⊕ ınh dinh th´.c cˆp n ´ II. T´ ua . 1+ Khai triˆn dinh th´.c theo c´c phˆn tu. cua mˆt h`ng ho˘c mˆt ’ ` a ’’ e. u a oa a o . . . ´ cˆt (t´ chˆt XI, (3.10)). o ınh a . 2 Su. dung c´c t´nh chˆt cua dinh th´.c dˆ biˆn dˆi dinh th´.c d˜ + ’´’ ´ ’. a’. aı ueeo. ua .c m´.i sao cho ngoai tr`. mˆt phˆn tu. ai j = 0, tˆt ` ´ a ’ 00 cho th`nh d.nh th´ a i u o .uo a . . c`n lai cua h`ng th´. i0 (ho˘c cˆt j0 ) d` u b˘ng 0. Khi e` ` ca c´c phˆn tu o . ’ a ’a a’ u ao ˆa .. d´ o det A = (−1)i0 +j0 ai0 j0 Mi0 j0 . Tiˆp theo l` l˘p lai qu´ tr`nh d´ dˆi v´.i Mi0 j0 l` dinh th´.c cˆp thˆp ´ ´ ´ ´ e aa . aı oo o a. ua a . ho.n mˆt do.n vi. o . . . dung c´c t´nh chˆt cua dinh th´.c dˆ biˆn dˆi dinh th´.c d˜ ’´’ + ´ ’ a’. 3 Su . aı ueeo. ua .c tam gi´c (t´.c l` dinh th´.c m` moi phˆn tu. o. ` ’’ cho th`nh dinh th´ a u a u a. u a. a . mˆt ph´ cua du.`.ng ch´o ch´nh d` u b˘ng 0). Khi d´ dinh th´.c b˘ng e` ` ıa ’ o o e ı ˆa o. ua . t´ c´c phˆn tu. trˆn du.`.ng ch´o ch´nh. ` a’e ıch a o e ı .o.ng ph´p truy hˆi: biˆn dˆi, khai triˆn dinh th´.c theo h`ng ´’ ’ + ` 4 Phu a o eo e. u a ho˘c theo cˆt sao cho d.nh th´.c d˜ cho c´ thˆ biˆu diˆn qua c´c d.nh ’’ ˜ a o i ua oee e ai . . .c c`ng dang nhu.ng cˆp thˆp ho.n.´ ´ th´ u u a a . .c d˜ cho du.´.i dang tˆng c´c dinh th´.c c`ng ’ ˜. ’ + 5 Biˆu diˆn dinh th´ a e e u o. o a. uu ´ cˆp. a 6+ D`ng d.nh l´ Laplace: Gia su. trong ma trˆn vuˆng A cˆp n ta ´ ’’ u i y a o a . chon mˆt c´ch t`y y m h`ng (hay m cˆt) 1 m n − 1. Khi d´ dinh oa u´ a o o. . . . th´.c det A b˘ng tˆng c´c t´ cua moi d.nh th´.c con cˆp m n˘m trˆn ’ ` ` ´ a ıch ’ u a o .i u a a e .o.c chon nhˆn v´.i phˆn b` dai sˆ tu.o.ng u.ng cua ch´ng. ` ´ ’ c´c h`ng du . aa ao a u.o ´ u . CAC V´ DU ´ I . ´ ´ V´ du 1. 1) T´ sˆ nghich thˆ trong ho´n vi 5 3 1 6 4 2 . ı. ınh o e a. . .i nh˜.ng gi´ tri n`o cua i v` j th` sˆ hang a51a1ia2j a43a32 cua ´ a.a ’ ’ 2) V´o u a ıo . dinh th´.c cˆp 5 c´ dˆu tr`.. ´ ´ ua oa u .
3.2. D. nh th´.c -i u 91 Giai. 1) Dˆ t´ sˆ nghich thˆ tiˆn lo.i ho.n ca l` tiˆn h`nh nhu. ’ ´. ´ ´ ’ ’a e a e ınh o ee. . .ng tru.´.c sˆ 1 (gia su. c´ k1 ` ´ ´ ’’o sau: (i) dˆu tiˆn, t´ c´ bao nhiˆu sˆ du a e ınh o e o´ oo ´´ o` . ´o ´ ’o ’ sˆ) rˆi gach bo sˆ 1 khoi ho´n vi; (ii) tiˆp dˆn t´ xem c´ bao nhiˆu a. e e ınh o e .ng tru.´.c sˆ 2 (gia su. k2 ) rˆi gach bo sˆ 2 khoi ho´n vi; v.v... Khi `. ´ ´ ´ ’’ ’o ’ sˆ du o´ oo o a. d´ o inv(α1 , α2 , . . . , αn ) = k1 + k2 + · · · + kn . B˘ng phu.o.ng ph´p v`.a nˆu dˆ thˆy l` aue˜aa ` e´ a inv(531642) = 2 + 4 + 1 + 2 = 9. ’. ´a ’o ’o e a a 2) C´c chı sˆ i v` j chı c´ thˆ nhˆn c´c gi´ tri sau dˆy: (a) i = 4, a a. a .i c´c gi´ tri kh´c cua i v` j t´ch a.a’ j = 5; ho˘c (b) i = 5 v` j = 4 v` v´ a a a ıo a ı . d˜ cho ch´.a ´ nhˆt hai phˆn tu. cua c`ng mˆt cˆt. Dˆ x´c dinh dˆu ’ ` ´ ´ a’’u a u ıt a oo ea . a .. cua sˆ hang ta s˘p xˆp c´c th`.a sˆ cua t´ch theo th´. tu. t˘ng cua chı ´ea a´ ´ ´ ’ o. u o’ ı ’ ’ u.a . nhˆt rˆi t´ sˆ nghich thˆ cua ho´n vi c´c chı sˆ th´. hai. Ta ´ a ` ınh o ´ ´o ´ ´ e’ ’o u sˆ th´ ou a .a . c´ o a1ia2j a32a43a51 +) Gia su. i = 4, j = 5 ⇒ inv(45231) = 8. Do vˆy v´.i i = 4, j = 5 ’’ ao . ´ ´u (+). sˆ hang d˜ cho c´ dˆ o. a oa . i = 5, j = 4 ⇒ inv(54231) = 9. Do d´ sˆ hang d˜ cho ´ ’’ +) Gia su oo. a c´ dˆu tr`.. Vˆy sˆ hang d˜ cho chı c´ dˆu tr`. khi i = 5, j = 4. ´ .´ ´ ’oa oa u ao. a u V´ du 2. T´ c´c dinh th´.c sau dˆy ı. ınh a . u a 0 0 0 a14 1 4 2 4 0 0 a23 0 2 3 3 6 1) ∆1 = ; 2) ∆2 = 0 a32 0 0 3 2 1 2 a41 0 0 0 4 1 1 2
Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i 92 u . Giai. 1) C´ thˆ t´nh ∆1 b˘ng c´ch su. dung t´ chˆt X. ’ ` ´ ’ ’. o eı a a ınh a 0 0 a23 1+4 ∆1 = (−1) a14 0 a32 0 a41 0 0 0 a32 = (−1)1+4 a14(−1)2+3a23 = a14a23a32a41. a41 0 Kˆt qua n`y c˜ng c´ thˆ thu du.o.c nh`. dinh ngh˜a dinh th´.c. Theo ’ ´ ’au e oe o. ı. u . ’ng dai sˆ cua 4! = 24 sˆ hang, trong d´ chı c´ sˆ ´ ´ ´ .o’ o ’oo d.nh ngh˜ ∆1 l` tˆ i ıa ao o. hang . a14a23a32a41 l` kh´c 0. V` ho´n vi cua c´c chı sˆ th´. hai ch˘ n nˆn sˆ hang c´ dˆu ˜ e o. ´ ´ ´ ı a .’ a ’o u aa a oa cˆng. T`. d´ ta thu du.o.c ∆1 = a14a23a32a41. o uo . . ´ dung t´ chˆt XI ta c´ thˆ khai triˆn dinh th´.c theo cˆt ’ ’ ´ 2) Ap . ınh a oe e. u o. . nhˆt ´ th´ u a 336 424 424 424 ∆2 = 1 2 1 2 − 2 2 1 2 + 3 3 3 6 − 4 3 3 6 112 212 112 212 = 1 · 0 − 2 · 0 + 3 · 0 − 4 · 0 = 0. ’. a O dˆy moi dinh th´.c cˆp 3 d` u c´ hai cˆt ty lˆ v´.i nhau, nˆn ch´ng ´ o ’eo ua ˆo e e u .. . . ` b˘ng 0. a V´ du 3. T´ c´c dinh th´.c ı. ınh a . u 2 01 3 1 1 1 2 3 −1 12 2 3 1 2 3 1 1) ∆1 = , 2) ∆2 = 1 5. 4 0 −1 2 3 6 4 2 13 1 2 3 5 9 4 1 2 −1 3 1
3.2. D. nh th´.c -i u 93 Giai. Ta biˆn dˆi c´c dinh th´.c dˆ thu du.o.c c´c sˆ 0 trong mˆt ’ ’ ´ ´ ’ e oa. ue .ao o . .´.c c´c k´ hiˆu: h2 − h1 → h c´ ngh˜ l` lˆy´ h`ng (cˆt). Ta quy u o a y e a o o ıa a a . . 2 . hai tr`. di h`ng th´. nhˆt dˆ thu du.o.c h`ng th´. hai m´.i. ’ ´ h`ng th´ a u u a u ae a u o . .o.ng tu. nhu. vˆy ta k´ hiˆu c´c ph´p biˆn dˆi theo cˆt. ´’ Tu a yea e eo o . . . . 1) Ta c´ o 1 1 2 3 11 23 1 2 3 1 h2 − h1 → h2 01 1 −2 ∆1 = = 2 3 6 4 h3 − 2h1 → h3 01 2 −2 3 5 9 4 h4 − 3h1 → h4 02 35 1 1 −2 1+1 = 1 · (−1) 1 2 −2 23 5 1 1 −2 1 1 −2 = 1 2 −2 h2 − h1 → h2 = 0 1 0 23 5 23 5 1 −2 = 1 · (−1)2+2 = −1. 2 −5 2) Dˆ t´nh ∆2 ta thu.c hiˆn ph´p biˆn dˆi: c1 − 2c3 → c1 ; c4 − 3c3 → ’ ´’ eı e e eo . . c4; c5 − c3 → c5 v` thu du.o.c a . 0 01 0 0 −5 12 −4 1 −5 1 −4 1 1 40 −1 5 1 4 −1 5 = a13A13 = 1 · (−1)1+3 ∆2 = −4 13 −1 5 −4 1 −8 −1 −4 13 −8 −1 3 26 2 3 2 −1 6 2 Dˆi v´.i dinh th´.c cˆp 4 v`.a thu du.o.c ta c˜ng tiˆn h`nh tu.o.ng tu.: ´ ´ ´ oo. ua u u ea . .
Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i 94 u . c1 + 5c4 → c1; c2 − c4 → c2 ; c3 + 4c4 → c3 v` thu du.o.c a . 0 0 0 1 26 −1 19 26 −1 19 5 1+4 ∆2 = = a14A14 = 1 · (−1) −9 2 −12 −9 2 −12 −1 13 0 14 13 0 14 2 Nhu. vˆy ta d˜ du.a viˆc t´nh dinh th´.c cˆp 5 vˆ t´nh dinh th´.c cˆp 3. `ı ´ ´ a a eı ua e ua . . . . Dˆ t´ dinh th´.c cˆp 3 n`y ta c´ thˆ d`ng quy t˘c Sarrus ho˘c tiˆn ’ ’ ´ ´ e ınh . ua a o eu a ae . . .n ca l` biˆn dˆi n´ theo h`ng: h2 + 2h1 → h v` c´ ´’ ho ’ a e o o a ao 2 26 −1 19 43 26 ∆2 = − 43 0 26 = −a12A12 = −(−1)(−1)1+2 = −264. 13 14 13 0 14 V´ du 4. T´ c´c dinh th´.c ı. ınh a . u 1 −1 3 −2 4 1 2 −1 5 03 20 1 1 5 6 3 1) ∆1 = , 2) ∆2 = 0 0 4 −1 −1 . −1 −2 3 5 06 42 3 2 4 −2 8 1 −1 3 −2 5 Giai. Ta s˜ t´nh c´c dinh th´.c d˜ cho b˘ng phu.o.ng ph´p du.a vˆ ` ` ’ eı a. ua a a e dinh th´.c tam gi´c. u a . 1) Ta c´o 1 2 −1 5 1 2 −1 5 1 5 6 3 h2 − h1 → h2 0 3 7 −2 ∆1 = = . −1 −2 3 5 h3 + h1 → h3 0 0 2 10 2 4 −2 8 h4 − 2h1 → h4 0 0 0 −2 V` dinh th´.c tam gi´c b˘ng t´ c´c phˆn tu. trˆn du.`.ng ch´o ch´nh ` ` a’e ı. u aa ıch a o e ı nˆn e ∆1 = 1 · 3 · 2 · (−2) = −12.
3.2. D. nh th´.c -i u 95 2) 1 −1 3 −2 4 1 −1 3 −2 4 03 20 1 03 20 1 ∆2 = 0 0 =0 0 4 −1 −1 4 −1 −1 06 42 3 h4 − 2h2 → h4 00 02 1 1 −1 3 −2 5 h5 − h1 → h5 00 00 1 = 1 · 3 · 4 · 2 · 1 = 24. V´ du 5. T´ c´c dinh th´.c ı. ınh a . u a0 −1 0 0 ... 0 0 a1 x −1 0 ... 0 0 a2 0 x −1 ... 0 0 1) ∆n = .. . . ; . . . . . . . . .. . . . . . .. an−1 0 0 0 . . . 0 −1 an 0 0 0 ... 0 x 7 4 0 0 ... 0 0 3 7 4 0 ... 0 0 ∆n = 0 3 7 4 ... 0 0 2) . . . . .. . . . . . . ... . . . . .. 0 0 0 0 ... 3 7 α + β αβ 0 ... 0 0 1 α + β αβ ... 0 0 0 1 α+β ... 0 0 3) ∆n = . . . . . .. . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . α + β αβ 0 0 0 ... 1 α+β
Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i 96 u . Giai. 1) Khai triˆn ∆n+1 theo h`ng cuˆi (h`ng th´. n + 1) ta c´ ’ ´a ’ e a o u o −1 0 ... 0 a0 −1 0 ... 0 x −1 ... 0 a1 x −1 ... 0 = (−1)n+1 an . ∆n+1 . +x . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . −1 an−1 0 0 ... x Dinh th´.c th´. nhˆt o. vˆ phai l` dinh th´.c tam gi´c (= (−1)n ), dinh ´ ’a. ´ a’e u u u a . . .c th´. hai l` dinh th´.c c`ng dang v´.i ∆1 nhu.ng cˆp n. Do vˆy ´ th´u u a. uu o a a . . .c ∆n+1 c´ thˆ biˆu diˆn bo.i hˆ th´.c truy hˆi sau dˆy: ’e ’ ˜ ` ’eu d.nh th´ i u oe e o a . ∆n+1 = an (−1)n (−1)n + x∆n . Dˆ thu du.o.c biˆu th´.c tˆng qu´t cua ∆n+1 ta x´t ∆1 v` ∆2: ’ ’ ’ a’ e e uo e a . a0 −1 ∆1 = a0; ∆2 = = a0 x − a1 . a1 x Nhu. vˆy ∆1 l` da th´.c bˆc 0 v´.i hˆ sˆ a0, c`n ∆2 l` da th´.c bˆc nhˆt .´ ´ a a ua o eo o a ua a . . . v´.i hˆ sˆ a0 v` a1. .´ o eo a Ta ch´.ng to r˘ng ∆n+1 c´ dang tu.o.ng tu.: ` ’a u o. . ∆n+1 = a0 xn + a1xn−1 + · · · + an . Gia su. d˜ ch´.ng minh ∆n = a0xn−1 + · · · + an−1 . Khi d´ ’’a u o ∆n+1 = an + x∆n = an + x(a0xn−1 + · · · + an−1 ) = a0 xn + a1xn−1 + · · · + an−1 x + an . 2) Khai triˆn dinh th´.c theo h`ng th´. nhˆt ta thu du.o.c hˆ th´.c ’ ´ e. u a u a eu . . ` truy hˆi: o ∆n = 7∆n−1 − 12∆n−2 ⇒ ∆n − 3∆n−1 = 4∆n−1 − 3 · 4∆n−2 = 4[∆n−1 − 3∆n−2 ].
3.2. D. nh th´.c -i u 97 T`. d´ suy ra uo ∆n − 3∆n−1 = 4n−2 (∆2 − ∆1) 74 ∆1 = 7, ∆2 = = 37 37 v` do d´ a o ∆n − 3∆n−1 = 4n−2 [37 − 21] = 4n−2 · 42 = 4n . Nˆu t`. hˆ th´.c truy hˆi ta biˆn dˆi c´ch kh´c th` thu du.o.c ´’ ´ ` eueu o e oa a ı . . ∆n − 4∆n−1 = 3[∆n−1 − 4∆n−2 ] = · · · = 3n−2 (∆2 − ∆1) = 3n−2 · 32 = 3n . Nhu. vˆy a . ∆n − 3∆n−1 = 4n ⇒ ∆n−1 = 4n − 3n n ∆n − 4∆n−1 = 3 v` do d´ a o ∆n = 3∆n−1 + 4n = 4n+1 − 3n+1 . 3) Ta biˆu diˆn cˆt th´. nhˆt du.´.i dang c´c tˆng hai sˆ hang α + β , ’ ˜o ’ ´ ´ e e. ua o. ao o.
Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i 98 u . 1 + 0, 0 + 0, . . . , 0 + 0 v` viˆt dinh th´.c du.´.i dang tˆng hai dinh th´.c ’ ´ ae. u o. o u . α αβ 0 ... 0 0 1 α + β αβ ... 0 0 0 1 α+β ... 0 0 ∆n = . . . . . .. . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . α + β αβ 0 0 0 ... 1 α+β D1 β αβ 0 ... 0 0 0 α + β αβ ... 0 0 0 1 α+β ... 0 0 +. . . . . .. . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . α + β αβ 0 0 0 ... 1 α+β D2 = D1 + D2 . T´ D1 . Lˆy cˆt th´. hai tr`. di cˆt th´. nhˆt nhˆn v´.i β , lˆy cˆt ´. ´ ´. ınh ao u u o u a ao ao . th´. ba tr`. di cˆt th´. hai v`.a thu du.o.c nhˆn v´.i β , v.v... Kˆt qua ta ´ ’ u u o u u ao e . . thu du.o.c dinh th´.c tam gi´c u a .. α 0 0 ... 0 0 1 α 0 ... 0 0 0 1 α ... 0 0 = αn . D1 = . . . . .. . . ... .. ... .. 0 0 0 ... α 0 0 0 0 ... 1 α
3.2. D. nh th´.c -i u 99 T´ D2 . Khai triˆn D2 theo cˆt th´. nhˆt ta thu du.o.c: ’ ´ ınh e o u a . . α + β αβ ... 0 0 1 α+β ... 0 0 . . . . .. . . . . D2 = β = β ∆ n −1 . . . . . . 0 0 . . . α + β αβ 0 0 ... 1 α+β Nhu. vˆy ta thu du.o.c cˆng th´.c truy hˆi ∆n = αn + β ∆n−1. ` a .o u o . .c dˆu tiˆn Ta t´ mˆt v`i dinh th´ ` ınh o a . ua e . α2 − β 2 ∆1 = α + β = ; α−β α3 − β 3 α + β αβ = α2 + αβ + β 2 = ∆2 = , α−β 1 α+β α + β αβ 0 ∆3 = 1 α + β αβ 0 1 α+β α4 − β 4 = α3 + α2 β + αβ 2 + β 4 = ; ................ α−β Ta s˜ ch´.ng minh r˘ng hˆ th´.c ` eu a eu . αm+1 − β m+1 ∆m = · (*) α−β dung v´.i m ∈ N bˆt k`. Ta ´p dung phu.o.ng ph´p quy nap to´n hoc. ´ ´ o ay a a a . . . . (∗) dung v´.i m = n − 1. Ta ch´.ng minh n´ dung v´.i m = n. ’’ Gia su ´ o u o´ o Khi m = n − 1 ta c´ o αn − β n ∆ n −1 = ⇒ α−β αn − β n αn+1 − αn β + αn β − β n+1 αn+1 − β n+1 ∆n = α n + β = = · α−β α−β α−β
Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i 100 u . Nhu. vˆy hˆ th´.c (∗) dung ∀ m ∈ N. Do d´ aeu ´ o . . αn+1 − β n−1 ∆n = · α−β ` ˆ BAI TAP . ´ ´ 1. X´c dinh a. sˆ nghich thˆ trong c´c ho´n vi. o e a a. . 1) (1 3 5 7 9 2 4 6 8). (DS. 10) 2) (9 8 7 6 5 4 3 2 1). (DS. 36) 3) (2 5 8 1 4 7 3 6 9). (DS. 12) 4) (7 5 4 6 1 2 3 9 8). (DS. 17) 2. Chon k v` sao cho ho´n vi a a. . ’ 1) (7 4 3 k 8 5 2) l` ho´n vi aa. le. (DS. k = 6, = 1) ˜ 2) (k 3 4 7 2 6 5) l` ho´n vi aa. ch˘ n. (DS. k = 8, = 1) a ˜ 3) (4 8 k 2 5 1 7) l` ho´n vi aa. ch˘ n. (DS. k = 6, = 3) a ’ 4) (6 3 4 k 7 2 1) l` ho´n vi aa. le. (DS. k = 5, = 8) ´ ´ 3. X´c dinh sˆ nghich thˆ trong c´c ho´n vi. a. o e a a. . n(n − 1) 1) n n − 1 n − 2 . . . 2 1. (DS. ) 2 n(n − 1) 2) 1 3 5 7 . . . 2n − 1 2 4 6 . . . 2n. (DS. ) 2 n(n + 1) 3) 2 4 6 . . . 2n 1 3 5 . . . 2n − 1. (DS. ) 2 3n(n − 1) 4) 2n − 1 2n − 3 . . . 5 3 1 2n 2n − 2 . . . 6 4 2. (DS. ) 2 4. Trong c´c t´ sau dˆy, t´ch n`o l` sˆ hang cua dinh th´.c cˆp 7; ´ ´ ’. a ıch aı a ao . ua ´ ´ a ’ o. x´c dinh dˆu cua sˆ hang d´. a. o ’ 1) a43a53a63a15a23a34a71. (DS. Khˆng phai) o ´ ´. 2) a23a67a54a16a35a41a72. (DS. Sˆ hang c´ dˆu cˆng) o. oa o ’ 3) a15a28a74a36a61a43. (DS. Khˆng phai) o ´ ´. 4) a72a16a33a55a27a61a44. (DS. Sˆ hang c´ dˆu cˆng) o. oa o
3.2. D. nh th´.c -i u 101 5. Trong c´c t´ sau dˆy, t´ch n`o l` sˆ hang cua dinh th´.c cˆp tu.o.ng ´ ´ ’. a ıch aı a ao . ua .ng x´c dinh dˆu cua sˆ hang d´. ´ ´ a ’ o. u ´ a. o ’ 1) a43a61a52a13a25a34. (DS. Khˆng phai) o (DS. L` sˆ hang cua dinh th´.c cˆp 7 ´ ´ ’. 2) a27a63a14a56a35a41a72. ao . ua v´.i dˆu +) ´ oa ’ 3) a15a28a75a36a81a43. (DS. Khˆng phai) o 4) an1 an−1 2 . . . a1n. n(n−1) (DS. L` sˆ hang cua d.nh th´.c cˆp n v´.i dˆu (−1) 2 ) ´ ´ ´ ’i ao . ua oa 5) a12a23 . . . ak,k+1 . . . an−1,n an1 . (DS. L` sˆ hang cua dinh th´.c cˆp n v´.i dˆu (−1)n−1 ) ´ ´ ´ ’. ao . ua oa 6) a13a24a35 . . . an−2,n an−1,1 an2 . (DS. Sˆ hang cua dinh th´.c cˆp n v´.i dˆu “+”) ´ ´ ´ ’. o. ua oa 6. X´c dinh c´c sˆ k v` sao cho trong dinh th´.c cˆp 6: ´ ´ a. ao a ua . 1+ C´c t´ sau l` sˆ hang cua n´ v´.i dˆu “−”: ´ ´ ’ oo a a ıch ao . 1) a62a35ak3 a44a 6a21. (DS. k = 5, = 1) 2) a1k a25a44a6 a52a31. (DS. k = 6, = 3) 2+ C´c t´ sau l` sˆ hang c´ dˆu +: ´ ´ a ıch ao . oa 3) a63a16a5 a45a2k a31. (DS. k = 2, = 4) 4) ak5 a21a34a13a 6a62. (DS. k = 5, = 4) 7. Trong dinh th´.c cˆp n ´ ua . 1) t´ c´c phˆn tu. cua du.`.ng ch´o ch´nh l` sˆ c´ dˆu g` ? ` ´ ´ a ’’ ıch a o e ı aooa ı (DS. +) 2) t´ c´c phˆn tu. cua du.`.ng ch´o phu c´ dˆu g` ? ` ´ a ’’ ıch a o e .oa ı ´ ´ ´ (DS. C´ dˆu “+” nˆu n = 4k ho˘c n = 4k + 1; v` c´ dˆu “−” oa e a aoa . ´ nˆu n = 4k + 2 ho˘c n = 4k + 3) e a . 8. T´ c´c dinh th´.c cˆp hai: ´ ınh a . ua a2 ab a2 + ab + b2 a2 − ab + b2 1) 2) ab b2 a+b a−b cos α − sin α sin α cos α 3) 4) sin α cos α sin β cos β
Chu.o.ng 3. Ma trˆn. D. nh th´.c a -i 102 u . 1 logb a a + bi c + di 2 5) 6) ; i − 1. loga b 1 −c + di a − bi (1 − t)2 2t εε 2π 2π 2 1 + t2 1+t 7) 8) , ε = cos + i sin . (1 + t)2 2t 3 3 −1 ε − 1 + t2 1 + t2 (DS. 1) 0; 2) −2b3 ; 3) 1; 4) sin(α − β ); 5) 0; 6) a2 + b2 + c2 + d2 ; 7) −1; 8) −1) 9. T´ c´c dinh th´.c cˆp ba ´ ınh a . ua 321 abc 1) 2) 253 bca 343 cab cos α sin α cos β sin α sin β 3) − sin α cos α cos β cos α sin β . 0 − sin β cos β a2 + 1 1 i 1+i ab ac 0 ; i2 = −1, b2 + 1 4) 5) −i 1 ab bc 2 1−i 0 1 ac bc c +1 sin α cos α 1 11ε 2π 2π 1 1 ε2 , ε = cos 6) 7) + i sin sin β cos β 1 3 3 ε2 ε ε sin γ cos γ 1 a+b c 1 8) b+c a 1 c+a b 1 (DS. 1) 8; 2) 3abc − a3 − b3 − c3; 3) 1; 4) −2; 5) 1 + a2 + b2 + c2 ; 6) sin(α − β ) + sin(β − γ ) + sin(γ − α); 7) −3; 8) 0)