intTypePromotion=1

Bài tập về toán cao cấp Tập 1 part 9

Chia sẻ: Afasg Agq | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

0
324
lượt xem
145
download

Bài tập về toán cao cấp Tập 1 part 9

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài tập toán cao cấp Tập 1 Nguyễn Thủy Thanh NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006, 276 Tr. Từ khoá: Số phức, Đa thức và hàm hữu tỷ, Ma Trận, Định thức, Hệ phương trình tuyến tính, Không gian Euclide, Dạng toàn phương. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài tập về toán cao cấp Tập 1 part 9

  1. ’ ´o ´ 5.4. Ph´p biˆn d ˆi tuyˆn t´ e e e ınh 223 Nhu. vˆy L(x) = −x v` do d´ x l` vecto. riˆng u.ng v´.i gi´ tri riˆng a a o a e´ o a.e . λ = −1. ´’ 2) 1+ Ta c´ ma trˆn cua ph´p biˆn dˆi l` a’ o e e oa . 54 . 89 Phu.o.ng tr` d˘c tru.ng c´ dang ınh a o. . 5−λ 4 = 0 ⇔ λ2 − 14λ + 13 = 0 8 9−λ λ1 = 1, ⇔ λ2 = 13. 2+ Ca hai gi´ tri λ = 1 v` λ = 13 d` u l` c´c gi´ tri riˆng. ’ a. a ˆ aa e a.e 3+ Dˆ t` toa dˆ cua c´c vecto. riˆng ta c´ hai hˆ phu.o.ng tr`nh ’ e ım . o ’ a e o e ı . . ´ tuyˆn t´ e ınh (5 − λ1 )ξ1 + 4ξ2 = 0, (5 − λ2 )ξ1 + 4ξ2 = 0, (I ) (II ) 8ξ1 + (9 − λ1 )ξ2 = 0. 8ξ1 + (9 − λ2 )ξ2 = 0. i) V` λ1 = 1 nˆn hˆ (I) c´ dang ı ee o. . 4ξ1 + 4ξ2 = 0, 8ξ1 + 8ξ2 = 0. T`. d´ suy ra ξ2 = −ξ1 , do d´ nghiˆm cua hˆ n`y c´ dang ξ1 = α1, ’ uo o e ea o. . . .o.ng t`y y. V` vecto. riˆng kh´c khˆng ξ2 = −α1, trong d´ α1 l` dai lu . o a. u´ ı e a o . u.ng v´.i gi´ tri riˆng λ1 = 1 l` c´c vecto. u(α1, −α1), nˆn c´c vecto ´ ea o a.e aa trong d´ α1 = 0 l` t`y y. o au´ ii) Tu.o.ng tu. khi λ2 = 13 hˆ (II) tro. th`nh ’a e . . −8ξ1 + 4ξ2 = 0, 8ξ1 − 4ξ2 = 0,
  2. Rn Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide 224 o t´.c l` ξ2 = 2ξ1 . D˘t ξ1 = β ⇒ ξ2 = 2β . Vˆy hˆ (II) c´ nghiˆm l` ua a ae o ea . . . . . riˆng kh´c khˆng nˆn c´c vecto. riˆng u.ng ξ1 = β , ξ2 = 2β . V` vecto e ı a o ea e´ .i gi´ tri λ2 = 13 l` c´c vecto. v (β, 2β ). v´ a . o aa V´ du 6. T` gi´ tri riˆng v` vecto. riˆng cua ph´p biˆn dˆi tuyˆn ’ ´ ´ ’ ı. ım a . e a e e eo e t´ L v´.i ma trˆn ınh o a . 12 A= . 54 Giai. Da th´.c d˘c tru.ng cua ph´p biˆn dˆi L ´’ ’ ’ ua e eo . 1−λ 2 = λ2 − 5λ − 6. P ( λ) = 5 4−λ N´ c´ hai nghiˆm thu.c λ1 = 6, λ2 = −1. C´c vecto. d˘c tru.ng du.o.c oo e a a . . . . . hai hˆ phu.o.ng tr` t`m t` ı u e ınh . (1 − λi )ξ1 + 2ξ2 = 0, i = 1, 2. 5ξ1 + (4 − λi )ξ2 = 0, V` dinh th´.c cua hˆ = 0 nˆn mˆ i hˆ chı thu vˆ mˆt phu.o.ng tr` ˜e’ `o u’e ı. e o. e. ınh. . ξ1 2 1+ V´.i λ1 = 6 ta c´ 5ξ1 − 2ξ2 = 0 ⇒ ’ o o = v` do d´ ta c´ thˆ a o oe ξ2 5 lˆy vecto. riˆng tu.o.ng u.ng l` u = (2, 5) (ho˘c moi vecto. αu, α ∈ R, ´ a e ´ a a . . α = 0) ξ1 2+ V´.i λ2 = −1 ta c´ ξ1 + ξ2 = 0 ⇒ = −1 v` vecto. riˆng tu.o.ng o o a e ξ2 u.ng l` v = (1, −1) (hay moi vecto. dang βv , β = 0). ´ a . . V´ du 7. T` c´c gi´ tri riˆng v` vecto. riˆng cua ph´p biˆn dˆi tuyˆn ´’ ´ ’ ı. ım a a . e a e e eo e t´ L trˆn R3 v´.i ma trˆn theo co. so. ch´ t˘c l` ’ ınh ´ a ınh e o a a .   114   A =  2 0 −4 −1 1 5
  3. ’ ´o ´ 5.4. Ph´p biˆn d ˆi tuyˆn t´ e e e ınh 225 Giai. Ta c´ da th´.c d˘c tru.ng cua ma trˆn A l` ’ ’ o ua a a . . 1−λ 1 4 −λ −4 = −λ3 + 6λ2 − 11λ + 6 det(A − λE ) = 2 −1 1 5−λ v` a  λ1 = 1,  det(A − λE ) = 0 ⇐⇒ λ2 = 2, λ3 = 3. Gia su. x = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) = 0 l` vecto. riˆng u.ng v´.i gi´ tri riˆng λ. ’’ a e´ o a.e ` ´ ’e Khi d´ x l` nghiˆm cua hˆ thuˆn nhˆt o a e a a . .  (1 − λ)ξ1 + ξ2 + 4ξ3 = 0,  (*) 2ξ1 − λξ2 − 4ξ3 = 0,   −ξ1 + ξ2 + (5 − λ)ξ3 = 0. 1+ Khi λ = 1 ta c´ o  = 0, ξ2 + 4ξ3  (∗) ⇒ 2ξ1 − ξ2 − 4ξ3 = 0,   −ξ1 + ξ2 + 4ξ3 = 0. ’ ⇒ nghiˆm tˆng qu´t l` (0, −4α, α), α = 0 t`y y. e o aa u´ . Vˆy v´.i gi´ tri riˆng λ1 = 1 ta c´ c´c vecto. riˆng u.ng v´.i n´ l` ao a.e oa e´ o oa . (0, −4α, α), α ∈ R, α = 0. 2+ Khi λ = 2 ta c´ o  −ξ1 + ξ2 + 4ξ3 = 0, (∗) ⇒ 2ξ1 − 2ξ2 − 4ξ3 = 0,   −ξ1 + ξ2 + 3ξ3 = 0 ⇒ hˆ c´ nghiˆm tˆng qu´t l` (β, β, 0), β = 0 v` do d´ vecto. riˆng u.ng ’ eo eo aa a o e´ . . .i λ = 2 l` (β, β, 0), β = 0. v´ o a
  4. Rn Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide 226 o 3+ Khi λ = 3, thu.c hiˆn tu.o.ng tu. nhu. o. 1+ v` 2+ ta thu du.o.c ’ e a . . . . . riˆng tu.o.ng u.ng (2γ, 0, γ ), γ = 0 t`y y. vecto e ´ u´ V´ du 8. T` gi´ tri riˆng v` vecto. riˆng cua ph´p bdtt v´.i ma trˆn ’ ı. ım a . e a e e o a .   7 −12 6   A = 10 −19 10 . 12 −24 13 Giai. Phu.o.ng tr`nh d˘c tru.ng ’ ı a . 7−λ −12 6 P (λ) = 10 =0 −19 − λ 10 12 −24 13 − λ c´ nghiˆm λ1 = λ2 = 1, λ1 = −1. C´c vecto. d˘c tru.ng du.o.c x´c dinh o e a a .a. . . . hai hˆ phu.o.ng tr` t` u e ınh . (7 − λi )ξ − 12η + 6ζ = 0, 10ξ − (19 + λi )η + 10ζ = 0, 12ξ − 24η + (13 − λi )ζ = 0; i = 1, 2. 1+ Khi λ = 1 ta c´ o 6ξ − 12η + 6ζ = 0, 10ξ − 20η + 10ζ = 0, 12ξ − 24η + 12ζ = 0. Hang cua ma trˆn (goi l` ma trˆn d˘c tru.ng) (A − λ1 E ) cua hˆ n`y ’ ’ a .a aa ea . . . . . l` b˘ng r = 1. Do d´ hˆ tu.o.ng du.o.ng v´.i mˆt phu.o.ng tr` ` aa oe oo ınh . . ξ − 2η + ζ = 0. T`. d´ suy r˘ng hˆ c´ hai nghiˆm dˆc lˆp tuyˆn t´ ’ ` ´ uo a eo e oa e ınh, ch˘ng han a . . .. . u = (4, 5, 6), v = (3, 5, 7).
  5. ’ ´o ´ 5.4. Ph´p biˆn d ˆi tuyˆn t´ e e e ınh 227 2+ Khi λ2 = −1 ta c´ o 8ξ − 12η + 6ζ = 0, 10ξ − 18η + 10ζ = 0, 12ξ − 24η + 14ζ = 0. Hang cua ma trˆn (A−λ3 E ) cua hˆ b˘ng r = 2. Do d´ hˆ tu.o.ng du.o.ng .` ’ ’ ea a oe . . . .i hˆ hai phu.o.ng tr`nh. Nghiˆm riˆng cua n´ c´ dang w = (3, 5, 6). ’ oo. v´ e o. ı e e . . vˆy u, v, w l` c´c vecto. riˆng cua ph´p bdtt d˜ cho. ’ Nhu a aa e e a . V´ du 9. Cho ma trˆn ı. a . 01 A= . 10 T` ph´p biˆn dˆi tuyˆn t´ L tu.o.ng u.ng v´.i ma trˆn d´. ´’ ´ ım e eo e ınh ´ o ao . . x = ae1 + be2 l` vecto. t`y y cua m˘t ph˘ng. Dˆ t`m ’ ’ ’ ’’ u´’ Giai. Gia su a a a eı . ´’ ´ ` ’ o’ ph´p biˆn dˆi tuyˆn t´ ta cˆn chı r˜ anh y = Ax. Ta c´ e eo e ınh a o 01 a b y= = = be1 + ae2. 10 b a Nhu. vˆy ph´p biˆn dˆi L c´ t´nh chˆt l`: thay dˆi vai tr` cua c´c toa ´’ ’ ´ o’ a . a e eo oı aa o . dˆ cua mˆ i vecto. x ∈ R2 . T`. d´ suy r˘ng L l` ph´p phan xa gu.o.ng ˜ ` o’ ’ o uo a ae . . .i du.`.ng phˆn gi´c th´. nhˆt. ´ ´ dˆi v´ oo o a a u a ` ˆ BAI TAP . Trong c´c b`i to´n (1 - 11) h˜y ch´.ng to ph´p biˆn dˆi d˜ cho l` ´’ ’ aa a a u e eoa a . so. ch´ t˘c. ´ ph´p bdtt v` t`m ma trˆn cua ch´ng theo co ’ ınh a a’ e aı u . 1. Ph´p biˆn dˆi L l` ph´p quay moi vecto. cua m˘t ph˘ng xOy xung ’ ´’ ’ e eo ae a a . . quanh gˆc toa dˆ mˆt g´c ϕ ngu.o.c chiˆu kim d` ng hˆ. ` ` ´ o.ooo e o ˆ o .. . cos ϕ − sin ϕ (DS. AL = ) sin ϕ cos ϕ
  6. Rn Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide 228 o 2. Ph´p biˆn dˆi L l` ph´p quay khˆng gian thu.c ba chiˆu mˆt g´c ϕ ´’ ` e eo ae o e oo . . xung quanh truc Oz . .   cos ϕ − sin ϕ 0   (DS.  sin ϕ cos ϕ 0) 0 0 1 3. Ph´p biˆn dˆi L l` ph´p chiˆu vuˆng g´c vecto. a ∈ R3 lˆn m˘t ’ ´ ´ e eo ae e o o e a . ’ ph˘ng xOy . a   100   (DS. 0 1 0) 000 4. Ph´p biˆn dˆi L l` t´ch vecto. y = [a, x], trong d´ a = a1 x1 + a2x2 + ´’ e eo aı o . cˆ dinh cua R3 . ´ ’ a3 x3 l` vecto o . a   0 −a3 a2   (DS.  a3 0 −a1) −a2 a1 0 Chı dˆ n. Su. dung ph´p biˆu diˆn t´ vecto. du.´.i dang dinh th´.c. ’˜ ’ ˜ ıch ’. a e e e o. u . ’ ’o ´ ´oˆ 5. Ph´p biˆn dˆi L l` ph´p biˆn dˆi d` ng nhˆt trong khˆng gian ´ e eo a e e a o . so.. n ` n-chiˆu R trong moi co ’ e .   1 0 ... 0   0 1 . . . 0 (DS. E =  . . .   . . . . . ) . .. .  0 0 ... 1 ´ ’o biˆn dˆi d` ng dang L(x) = αx trong khˆng gian n-chiˆu. ` 6. L l` ph´p ae eoˆ o e .   α 0 ... 0   0 α . . . 0 (DS.  . . ) . .. . . . . . . . 0 0 ... α
  7. ’ ´o ´ 5.4. Ph´p biˆn d ˆi tuyˆn t´ e e e ınh 229 ´’ 7. Ph´p biˆn dˆi L c´ dang L(x) = x2 e1 + x3 e2 + x4 e3 + x1e4 trong d´ e eo o. o x = x1e1 + x2e2 + x3e3 + x4 e4.   0100 0 0 1 0   (DS.  ) 0 0 0 1 1000 ’ ´ ´ `e 8. Ph´p biˆn dˆi L l` ph´p chiˆu vuˆng g´c khˆng gian 3-chiˆu lˆn e eo ae e o o o e .i c´c truc toa dˆ nh˜.ng g´c b˘ng nhau, t´.c l` (Ox, ∆) = ` truc ∆ lˆp v´ a ao ..ou oa ua . . . (Oy, ∆) = (Oz, ∆) = α.   111 3 3 3   1 1 1 (DS.  ) 3 3 3 1 1 1 333 Chı dˆ n. Su. dung t´ chˆt cua cosin chı phu.o.ng cua g´c bˆt k` ’˜ ´ ´ ’. ınh a ’ ’ ’oay a 2 2 2 cos α + cos α + cos α = 1. 9. Ph´p biˆn dˆi L l` ph´p chiˆu R3 theo phu.o.ng song song v´.i m˘t ´’ ´ e eo ae e o a . . e2, e3 lˆn truc toa dˆ cua vecto. e1 ’ o’ ph˘ng vecto a e .. .   100   (DS. 0 0 0) 000 2π ’ 10. Ph´p biˆn dˆi L l` ph´p quay R3 mˆt g´c ϕ = ´ e eo ae oo xung quanh . 3 du.`.ng th˘ng cho trong R bo.i phu.o.ng tr`nh x1 = x2 = x3 . ’ 3 ’ o a ı   001  ´ (DS. a) 1 0 0 nˆu quay t`. e1 dˆn e2 , ´ e u e 010   010  ´ b) 0 0 1 nˆu quay t`. e2 dˆn e1 ) ´ e u e 100
  8. Rn Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide 230 o Trong c´c b`i to´n (12-22) cho hai co. so. (e) : e1, e2 , . . . , en v` ’ aa a a n ´ ’ ’ (E ) : E1 , E2, . . . , En cua khˆng gian R v` ma trˆn AL cua ph´p biˆn o a a e e . . so. (e). T` ma trˆn cua L trong co. so. (E ). ’ ´ dˆi tuyˆn t´ L trong co ’ a’ ’ o e ınh ım . Phu.o.ng ph´p chung l`: (i) t`m ma trˆn chuyˆn T t`. co. so. (e) dˆn co. ’ ´ ’ a a ı a e u e . so. (E ); (ii) T` ma trˆn T −1; (iii) T` BL = T −1 AT . ’ ım a ım . 17 6 50 11. AL = , E1 = e1 − 2e2, E2 = 2e1 + e2). (DS. ) 68 0 20 −3 1 −2 3 12. AL = , E1 = e2 , E2 = e1 + e2. (DS. ) 2 −1 1 −2 24 −3 14 13. AL = , E1 = e2 − 2e1 , E2 = 2e1 − 4e2. (DS. ) −3 3 −3 8 10 5 6 14. AL = , E1 = 3e1 + 2e2 , E2 = 2e1 + 2e2 . (DS. ) 2 −4 −6 −8   0 −2 1   15. AL = 3 1 0, E1 = 3e1 + e2 + 2e3 , E2 = 2e1 + e2 + 2e3 , 2 −1 1   −85 −59 18   E3 = −e1 + 2e2 + 5e3 . (DS.  121 84 −25) −13 −9 3   15 −11 5   16. AL = 20 −15 8, E1 = 2e1 + 3e2 + e3 , E2 = 3e1 + 4e2 + e3, 8 −7 6   100   E3 = e1 + 2e2 + 2e3 . (DS. 0 2 0) 003   2 −1 0   17. AL = 0 1 −1. E1 = 2e1 + e2 − e3, E2 = 2e1 − e2 + 2e3 , 00 1
  9. ’ ´o ´ 5.4. Ph´p biˆn d ˆi tuyˆn t´ e e e ınh 231   −2 11 7   (DS. −4 14 8 ) E3 = 3e1 + e3. 5 −15 −8 21 33 18. AL = , e1 = 3E1 − E2 , e2 = E1 + E2 . (DS. ) 03 02 −1 4 27 19. AL = , e1 = E1 + E2 , e2 = 2E1 . (DS. ) 50 2 −3   12 −3   20. AL =  0 3 1 , e1 = E1 , e2 = 3E1 + E2 , e3 = 2E1 + E2 + 2E3 . −1 2 5   −1 18 −3   (DS. −1 8 0 ) −2 10 2   2 −1 0   21. AL = 0 1 −1, e1 = 2E1 + E2 − E3 , e2 = 2E1 − E2 + 2E3 , 00 1   3 −10 −8   e3 = 3E1 + E2 . (DS. −1 8 5 ) 2 −13 −7 22. Trong c´c ph´p biˆn dˆi sau dˆy t`. R3 → R3 ph´p biˆn dˆi n`o ’ ´’ ´ a e eo au e eoa 3 ´ ´ ’ l` tuyˆn t´ (gia thiˆt x = (x1, x2 , x3) ∈ R ) a e ınh e 1) L(x1 , x2, x3) = (x1 + 2x2 + 3x3 , 4x1 + 5x2 + 6x3 , 7x1 + 8x2 + 9x3 ); 2) L(x1 , x2, x3) = (x1 +3x2 +4, 5x3 ; 6x1 +7x2 +9x3; 10, 5x1 +12x2 + 13x3 ) 3) L(x1 , x2, x3 ) = (x2 + x3, x1 + x3, x1 + x2 ). 4) L(x1 , x2, x3 ) = (x1 , x2 + 1, x3 + 2). 5) L(x1 , x2, x3 ) = (x2 + x3, 2x1 + x3, 3x1 − x2 + x3 ). 6) L(x1 , x2, x3 ) = (2x1 + x2 , x1 + x3, x2 ). 3 7) L(x1 , x2, x3 ) = (x1 − x2 − x3, x3 , x2).
  10. Rn Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide 232 o (DS. 1), 2), 3), 5), 7) l` ph´p bdtt; 4), 6) - khˆng) ae o 23. T` phu.o.ng tr`nh d˘c tru.ng v` sˆ d˘c tru.ng cua ph´p bdtt L ´. ’ ım ı a aoa e . ´ nˆu e 1) L(e1 ) = 2e1; L(e2 ) = 5e1 + 3e2 ; L(e3 ) = 3e1 + 4e2 − 6e3 , trong d´ e1, e2 , e3 l` co. so. cua khˆng gian. (DS. (λ + 6)(λ − 2)(λ − 3) = 0) ’’ o a o 2) L(e1) = −e1, L(e2) = 2e1 + 5e2, L(e3 ) = 2e1 − e2 + 3e3 + 5e4 , L(e4 ) = e1 + 7e2 + 4e3 + 6e4 , trong d´ e1, e2 , e3, e4 l` co. so. cua khˆng ’’ o a o gian. (DS. (λ + 1)(λ − 5)(λ2 − 9λ − 2) = 0) 3) L(e1 ) = 2e1 + 2e3 , L(e2 ) = 2e1 + 2e2 , L(e3 ) = −2e2 + 2e3 ; e1 , e2, e3 l` co. so. cua khˆng gian. (DS. λ3 − 6λ2 + 12λ = 0) ’’ a o 24. Gia su. trong co. so. e = {e1 , e2} ph´p bdtt L c´ ma trˆn l` ’’ ’ e o aa . 35 AL = −1 4 c`n trong co. so. E = {E1 , E2 }, E1 = e1 − e2, E2 = e1 + 2e2 ph´p bdtt ’ o e ∗ L c´ ma trˆn o a. 0 −2 AL∗ = . 11 ´’ a’a T` ma trˆn cua c´c ph´p biˆn dˆi: ım e eo . 1) L + L∗ trong co. so. e1, e2; ’ . so. E1 , E2 . ∗ 2) L + L trong co ’ 1 10 13 1 1 13 (DS. 1) ; 2) ) 3 5 14 3 −3 23 25. Gia su. trong co. so. e = {e1 , e2, e3} ph´p bdtt L c´ ma trˆn ’’ ’ e o a .   2 0 −2   AL = 1 1 0  3 0 −1
  11. ’ ´o ´ 5.4. Ph´p biˆn d ˆi tuyˆn t´ e e e ınh 233 c`n trong co. so. E = {E1 , E2 , E3}, E1 ’ o = e1 +2e2 , E2 = e1 − e3, E3 = e2 + e3 ph´p bdtt L∗ c´ ma trˆn e o a .   0 30   AL∗ = 0 1 −2 . 1 20 ´’ a’ T` ma trˆn cua ph´p biˆn dˆi: ım e eo .   6 −2 −2   1) L + L∗ trong co. so. e. (DS. 16 −6 7 ) ’ 8 −2 3   −2 −4 4   2) L + L∗ trong co. so. E . (DS.  4 12 −8) ’ 8 17 −7 26. Gia su. trong co. so. e = {e1, e2} ph´p bdtt L c´ ma trˆn ’’ ’ e o a . −1 2 AL = 01 c`n trong co. so. E = {E1 , E2}, E1 = 2e1 + e2 , E2 = e1 − e2 ph´p bdtt ’ o e ∗ L c´ ma trˆn o a. 3 −2 AL∗ = . 10 ´’ a’a T` ma trˆn cua c´c ph´p biˆn dˆi ım e eo . −1 −1 1) L ◦ L∗ trong co. so. e. (DS. ’ ) 0 2 −1 7 2) L∗ ◦ L trong co. so. e. (DS. ’ ) 02 1 −1 −2 3) L ◦ L∗ trong co. so. E . (DS. ’ ) 3 −7 4
  12. Rn Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide 234 o 1 7 −10 4) L∗ ◦ L trong co. so. E . (DS. ’ ) 3 1 −4 2 −1 27. Gia su. ph´p bdtt L c´ ma trˆn trong co. so. E = ’’ ’ e o a . 5 −3 {E1 , E2 }, E1 = (−3, 7), E2 = (1, −2) v` trong co. so. E ∗ = {E1 , E2 }, ∗ ∗ ’ a 13 E1 = (−6, −7), E2 = (−5, 6) ph´p bdtt L∗ c´ ma trˆn l` ∗ ∗ e o aa . T` ım . 27 ma trˆn cua L ◦ L∗ trong co. so. m` c´c vecto. trˆn du.o.c cho. a’ ’ aa e . . 109 93 (DS. ) 34 29 Chı dˆ n. T` c´c ma trˆn chuyˆn co. so. Tea , Teb v` ´p dung ’˜ ’ ’ a ım a a e aa . . .c (5.22) dˆ t` ma trˆn AL v` AL∗ trong co. so. e. T`. d´ ’ ’ cˆng th´ o u e ım a a uo . AL◦L∗ = AL · AL∗ . Trong c´c b`i to´n (28-31) h˜y x´c dinh trong c´c vecto. d˜ cho aa a aa. a a vecto. n`o l` vecto. riˆng cua ph´p bdtt v´.i ma trˆn d˜ cho (trong co. ’ aa e e o aa . . n`o d´). ’ so a o 10 1 0 0 28. A = ; x1 = , x2 = , x3 = . (DS. x2 v` x3 ) a −2 1 2 3 −1 1 −1 −1 2 1 29. A = ; x1 = , x2 = , x3 = . −6 2 3 −4 2 (DS. x1 v` x3 ) a      002 1 1 2      30. A = 2 0 0; x1 = 1, x2 = 0, x3 = 2. (DS. x3) 020 3 5 2      010 −1 1 −4      31. A = 6 3 2; x1 =  2 , x2 =  0 , x3 =  0 . (DS. x2) 301 0 −3 1 Trong c´c b`i to´n (32-35) h˜y t`m c´c vecto. riˆng cua ph´p biˆn ´ ’ aaa aı a e e e .o.c cho trong mˆt co. so. n`o d´ bo.i ma trˆn A. ’ ´ ’ao’ dˆi tuyˆn t´ du . o e ınh o a . .
  13. ’ ´o ´ 5.4. Ph´p biˆn d ˆi tuyˆn t´ e e e ınh 235 2 4 4 1 β v´.i α = 0, β = 0 bˆt k`) ´ 32. A = . (DS. α, o ay −1 −3 −1 −1 3 −4 −2 1 β v´.i α = 0, β = 0 bˆt k`) ´ 33. A = . (DS. α, o ay −2 1 1 1        1 2 −2 −2 0 6        34. A = 1 0 3 . (DS.  1  α, 1 β , −7 γ , 13 0 1 1 5 ´t k`) α = 0, β = 0, γ = 0 bˆ y a      102 −2 0      ´ 35. A = 0 3 0. (DS.  0  α, 1 β ; α = 0, β = 0 bˆt k`) ay 000 1 0 36. Cho ph´p biˆn dˆi tuyˆn t´ L : R2 → R2 nhu. sau ´’ ´ e eo e ınh L : (x1, x2 ) −→ (5x1 + 4x2 , 8x1 + 9x2 ). T` gi´ tri riˆng v` vecto. riˆng cua L. ’ ım a . e a e (DS. λ1 = 1, u = (α, −α), α = 0; λ2 = 13, v = (β, 2β ), β = 0) 37. T` gi´ tri riˆng v` vecto. riˆng cua ma trˆn ’ ım a . e a e a .   2 −1 1   A = −1 2 −1 0 0 1 (DS. λ1 = λ2 = 1, u = (α, α), α = 0; λ3 = 3, v = (β, −β ), β = 0) .
  14. Chu.o.ng 6 Dang to`n phu.o.ng v` u.ng a a´ . dung dˆ nhˆn dang du.`.ng v` ’ e a o a . . . m˘t bˆc hai aa . . Dang to`n phu.o.ng 6.1 a . Da th´.c d˘ng cˆp bˆc hai cua c´c biˆn x1, x2 , . . . , xn du.o.c goi l` dang ’ ´ ´. ’a ua aa e . .a. .o.ng cua n biˆn d´: ´ ’ to`n phu a eo n n n ϕ ( x1 , . . . , x n ) = aij xi xj = aij xi xj . (6.1) i=1 j =1 i,j =1 D´ l` ph´p tu.o.ng u.ng d˘t tu.o.ng u.ng mˆ i vecto. x = (x1, x2, . . . , xn ) ∈ ˜ oa e ´ a ´ o . Rn v´.i sˆ ϕ(x1, . . . , xn ). ´ oo ´. Nˆu d˘t ea    x1 a11 a12 . . . a1n     x2   a21 a22 . . . ann   . , A =  . . X=  . .. . . . . . . . . . xn an1 an2 . . . ann
  15. 6.1. Dang to`n phu.o.ng a 237 . th` thu du.o.c ı . ϕ(x1, x2, . . . , xn ) = X T AX. (6.2) Dinh l´. Nˆu C l` ma trˆn cua ph´p bdtt thu.c hiˆn trˆn c´c biˆn -. ´ ´ ’ y e a a e e ea e . . . cua dang to`n phu.o.ng (6.1) v´.i ma trˆn A th` dang to`n phu.o.ng m´.i ’. a o a ı. a o . .o.c c´ ma trˆn l` C T AC . thu du . o aa . .o.ng dang Dang to`n phu a . . α 1 x2 + α 2 x2 + · · · + α n x2 (6.3) 1 2 n khˆng ch´.a c´c sˆ hang v´.i t´ cua c´c biˆn kh´c nhau (v` do d´ n´ ´ ´ o ıch ’ a o u ao. e a a oo .`.ng ch´o) du.o.c goi l` dang to`n phu.o.ng ch´o hay dang c´ ma trˆn du o o a e .a. a e . . . ınh ´ ch´ t˘c.a Tiˆp theo ta tr`nh b`y nˆi dung cua c´c phu.o.ng ph´p du.a dang ´ ’a e ı ao a . . .o.ng vˆ dang ch´ t˘c. ınh ´ `. to`n phu a e a Phu.o.ng ph´p Lagrange 6.1.1 a -. ’ ` ´ ´ ´ Dinh l´ Lagrange. B˘ng ph´p biˆn dˆi tuyˆn t´ khˆng suy biˆn y a e eo e ınh o e .i c´c biˆn x1 , . . . , xn moi dang to`n phu.o.ng d` u du.a du.o.c vˆ ´ .` ´ dˆi v´ a oo e a ˆ e e .. ınh ´ dang ch´ t˘c. a . Tinh thˆn co. ban cua phu.o.ng ph´p Lagrange l` nhu. sau. ` ’ ’ a a a +´ ´o .´ 1 It nhˆt mˆt trong c´c hˆ sˆ aii kh´c khˆng. a a eo a o . ’ ’ ` ´ ’ Khˆng giam tˆng qu´t, c´ thˆ cho r˘ng a11 = 0 (nˆu khˆng th` o o a oe a e o ı .o.ng du t`. cum tˆt ` ´ ´ ’u. d´nh sˆ lai). Khi d´ b˘ng ph´p tr´ mˆt b` phu a o. oa e ıch o ınh a . .a x1 ta c´ ´ ’a o. ca c´c sˆ hang ch´ u o 2 ϕ(·) = αy1 + ϕ2(x2 , x3, . . . , xn ) y1 = λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λn xn ` ´ trong d´ λ1 , λ2 , . . . , λn l` c´c h˘ng sˆ, ϕ2 (x2 , . . . , xn ) l` dang to`n o aa a o a. a .o.ng chı c`n n − 1 biˆn (khˆng c`n x1 ). Dˆi v´.i ϕ2 (x2, . . . , xn ) ta ´ ´ ’o phu e o o oo .c hiˆn thuˆt to´n nhu. v`.a tr`nh b`y,... lai thu e a a u ı a . . . .
  16. Chu.o.ng 6. Dang to`n phu.o.ng v` u.ng dung 238 a a´ . . 2+ Tru.`.ng ho.p aii = 0 ∀ i = 1, n nh˜.ng aij = 0 (i = j ) du.o.c du.a o u . . .`.ng ho.p trˆn b˘ng ph´p biˆn dˆi tuyˆn t´ khˆng suy biˆn ’ e` ´ ´ ´ ` vˆ tru o e a e eo e ınh o e . xj = yj + yi xk = yk , k = j V´ du 1. Du.a dang to`n phu.o.ng ı. a . ϕ(x1, x2, x3 ) = x2 + x2 + x2 + 4x1x2 + 4x1 x3 + 4x2 x3 1 2 3 ınh ´ `. vˆ dang ch´ t˘c. e a Giai. Nh´m c´c sˆ hang c´ ch´.a x1 th`nh mˆt cum v` tr´ t`. ´ ’ o ao. ou a o. a ıch u . .o.ng du ta c´ ’ cum d´ mˆt b` phu o o ınh o . . ϕ(·) = (x2 + 4x1 x2 + 4x1 x3 ) + x2 + x2 + 4x2 x3 1 2 3 = (x1 + x2 + 2x3)2 − (2x2 + 2x3 )2 + x2 + x2 + 4x2x3 2 3 = (x1 + 2x2 + 2x3 )2 − 3x2 − 3x2 − 4x2 x3. 2 3 Nh´m c´c sˆ hang c´ ch´.a x2 rˆi tr´ch b`nh phu.o.ng ta c´ `ı ´ o ao. ou o ı o 2 5 ϕ(·) = (x1 + 2x2 + 2x3 )2 − 3(x2 + x3)2 − x2. 33 3 ´’ ´ ´ D`ng ph´p biˆn dˆi tuyˆn t´ khˆng suy biˆn u e eo e ınh o e  2 y1 = x1 + 2x2 + 2x3  x1 = y1 − 2y2 − y3   3 2 2 x2 + x3 ⇒ x2 = y2 = y2 − y3 3  3  y3 = x3 x3 = y3 ta thu du.o.c . 52 2 2 ϕ(·) = y1 − 3y2 − y3 . 3 V´ du 2. Du.a dang to`n phu.o.ng ı. a . ϕ(x1, x2 , x3) = x1x2 + 2x1 x3 + 4x2 x3
  17. 6.1. Dang to`n phu.o.ng a 239 . ınh ´ `. vˆ dang ch´ t˘c. e a Giai. V` a11 = a22 = a33 = 0 nˆn dˆu tiˆn thu.c hiˆn ph´p biˆn dˆi ´’ e` ’ ı a e e e eo . . so. bˆ khˆng suy biˆn thu du.o.c sˆ hang c´ b` phu.o.ng: ´ ´ oo e . o. o ınh .   x1 = y1  (6.4) x2 = y1 + y2   x3 = y3 v` thu du.o.c a . ϕ(·) = y1(y1 + y2) + 2y1y3 + 4(y1 + y2)y3 2 = y1 + y1 y2 + 6y1 y3 + 4y2 y3. Xuˆt ph´t t`. dang to`n phu.o.ng m´.i thu du.o.c, tu.o.ng tu. nhu. trong ´ a au. a o . . v´ du 1 ta c´ ı. o 1 1 2 2 ϕ(·) = y1 + y2 + 3y3 − y2 + 3y3 + 4y2 y3 2 2 1 1 2 − y 2 + y2y3 − 9y 3. = y1 + y2 + 3y3 2 4 Thu.c hiˆn ph´p biˆn dˆi khˆng suy biˆn ´’ ´ e e eo o e . . 1 z1 = y1 + y2 + 3y3 , 2 z2 = y2, z3 = y3 v´.i ph´p biˆn dˆi ngu.o.c ´’ o e eo .  1 y1 = z1 − z2 − 3z3 ,   2 (6.5) y2 = z2 ,    y3 = z3 ta thu du.o.c . 12 2 2 ϕ(·) = z1 − z2 + z2z3 − 9z3 . 4
  18. Chu.o.ng 6. Dang to`n phu.o.ng v` u.ng dung 240 a a´ . . Nh´m c´c sˆ hang c´ ch´.a z2 ta c´ ´ o ao. ou o 1 ϕ(·) = z1 − (z2 − 2z3 )2 − 8z3 . 2 2 4 Thu.c hiˆn ph´p biˆn dˆi khˆng suy ´’ ´ e e eo o biˆn e . .     u1 = z1, z1 = u1 ,   u2 = z2 − 2z3 , ⇒ z2 (6.6) = u2 + 2u3 ,     u3 = z3 z3 = u3 Sau ba ph´p biˆn dˆi liˆn tiˆp (6.4)-(6.6) dang d˜ cho c´ dang du.`.ng ´’ ´ e eoe e a o. o . ch´o e 1 ϕ(·) = u2 − u2 − 8u2 . 1 42 3 trˆn cua ph´p biˆn dˆi ho.p ta cˆn nhˆn c´c ma trˆn cua ’ ’ ´ ` a’ ’ Dˆ t`m ma eı e eo. a aa a . . (6.4), (6.5) v` (6.6). Ta c´ a o       1 1 1− −4 10 0 100 1− −3   2   2    0 0 1  0 1 2 =  1 −2 = C. 1 1  0 1   2 00 1 001 00 1 00 1 Do ph´p biˆn dˆi khˆng suy biˆn du.a dang ϕ vˆ dang ch´ t˘c l` ´’ ´ ınh ´ a `. e eo o e e a .  1 x1 = u1 − u2 − 4u3 ,    2 1 x2 = u1 + u2 − 2u3 ,  2   x3 = u3 . ’’ Dˆ kiˆm tra ta t´nh t´ C T AC . ee ı ıch Ta c´ o      1 1 1 10 10 0 0 1 1− −4    2 2 1 1     1 C T AC = − 0  1 0 0 1  1  = 0 − 2 2   2  −2 4 2 2 −4 −2 1 0 0 −8 12 0 00 1 D´ l` ma trˆn cua dang ch´ t˘c thu du.o.c. ınh ´ a’ oa a . . .
  19. 6.1. Dang to`n phu.o.ng a 241 . Phu.o.ng ph´p Jacobi 6.1.2 a Phu.o.ng ph´p n`y chı ´p dung du.o.c khi moi dinh th´.c con ch´nh cua ’a ’ aa u ı . . .. .o.ng d` u kh´c 0, t´.c l` khi ’ ma trˆn A cua dang to`n phu a a ˆ e a ua . . a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n a11 a12 ∆1 = a11 = 0, ∆2 = = 0, . . . , ∆n = . . = 0. . .. . . . a21 a22 . . . . an1 an2 . . . ann (6.7) ’ Cu thˆ ta c´ .e o Dinh l´. Nˆu dang to`n phu.o.ng -. ´ ye. a n ϕ ( x1 , . . . , x n ) = aij xi xj i,j =1 thoa m˜n diˆu kiˆn v`.a nˆu: ∆i = 0 ∀ i = 1, n th` tˆn ´ ` ı` ’ a e eu e o tai ph´p biˆn e e . . dˆi tuyˆn t´nh khˆng suy biˆn t`. c´c biˆn x1, . . . , xn ’ ´ ´ ´ ´a ´ o eı o e ua e dˆn c´c biˆn e e y1, . . . , yn sao cho ∆1 2 ∆2 2 ∆n 2 ϕ ( ·) = y1 + y2 + · · · + y, ∆0 ≡ 1. ∆ n −1 n ∆0 ∆1 ´’ Ph´p biˆn dˆi nˆu trong dinh l´ Jacobi c´ dang e eoe y o. .  x1 = y1 + α21y2 + α31y3 + · · · + αn1 yn ,   y2 + α32y3 + · · · + αn2 yn , x2 = (6.8)  ... ... ... ... ...    xn = yn trong d´ c´c hˆ sˆ αji cua ph´p bdtt (6.8) du.o.c x´c dinh theo c´c cˆng .´ ’ oa eo e .a. ao .c th´ u Dj −1,i αij = (−1)j +i (6.9) ∆ j −1
  20. Chu.o.ng 6. Dang to`n phu.o.ng v` u.ng dung 242 a a´ . . o. dˆy ∆j −1 l` dinh th´.c con ch´ trong (6.7), c`n Dj −1,i l` dinh th´.c ’a a. u ınh o a. u .i c´c phˆn tu. n˘m trˆn giao cua c´c ` ` ’ ’ ’a ’a con cua ma trˆn A lˆp nˆn bo a a ae a e . . . 1, 2, . . . , j − 1 v` c´c cˆt th´. 1, 2, . . . , i − 1, i + 1, . . . , j h`ng th´ a u aa o u . V´ du 3. Du.a dang to`n phuwo.ng ı. a . ϕ(x1 , x2, x3) = 2x2 + 3x2 + x2 − 4x1 x2 + 2x1 x3 − 2x2 x3 1 2 3 ınh ´ `. vˆ dang ch´ t˘c. e a ’ a’ Giai. Ma trˆn cua dang d˜ cho a c´ dang o. . .   2 −2 1   A = −2 3 −1 1 −1 1 v´.i c´c dinh th´.c con ch´nh oa. u ı ∆1 = 2, ∆2 = 2, ∆3 = 1. Khi d´ dang to`n phu.o.ng d˜ cho du.a du.o.c vˆ dang ch´ t˘c ınh ´ . `. o. a a e a 12 2 2 ϕ(·) = 2y1 + y2 + y3 . (6.10) 2 Ta t`m ph´p bdtt du.a dang to`n phu.o.ng d˜ cho vˆ dang (6.10). `. ı e a a e . N´ c´ dang oo.  x1 = y1 + α21 y2 + α31 y3,  (6.11) x2 = y2 + α32 y3,   x3 = y3. Ta t` c´c hˆ sˆ cua (6.11) theo cˆng th´.c (6.9). Ta c´ .´ ım a e o ’ o u o D1,1 −2 α21 = (−1)3 =− = 1, ∆1 2 −2 1 3 −1 D2,1 1 α31 = (−1)4 = =− , ∆2 2 2 2 1 −2 −1 D2,2 α32 = (−1)5 =− = 0. ∆2 2
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2