MỘT BÀI TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Trong giờ luyện tập, tôi gặp một bài toán như sau:
"Cho . Tìm GTNN của "
Đối với dân chuyên Toán và có thể nhiều bạn khác nữa, bài toán này tương đối dễ. Còn đối với tôi
không phải dân chuyên Toán, việc giải và mở rộng bài toán này đã đưa đến nhiều kết quả thú vị. Trước
hết ta xem xét lời giải của bài toán trên:
Cộng 2 BĐT trên ta có
. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
Tuy nhiên vấn đề đặt ra là tại sao nghĩ ra được số để thêm vào BĐT? Để giải quyết vấn đề này, sử
dụng ý tưởng dùng BĐT như trên, nhưng tôi sẽ thêm vào 1 số nào đó:
Cộng hai BĐT trên ta có:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
Giả sử đã tồn tại để dấu "=" xảy ra, khi đó
.
Thay vào F được GTNN của F là đạt được khi .
Như vậy việc đưa số vào áp dụng BĐT là hoàn toàn có cơ sở. Từ đó tôi đã nâng bài toán lên với hệ số
các số hạng là các số dương:
"Cho . Tìm GTNN của "
Mục tiêu của chúng ta là dùng BĐT Cô-si sao cho khi cộng 2 BĐT vào, ta có vế trái là 2F cộng với 1 số
hạng nào đó, còn vế phải chứa biểu thức đã cho trong giả thiết. Rõ ràng việc đặt số đơn lẻ sẽ không
đưa đến kết quả mà phải biến đổi số hạng cộng vào mỗi BĐT
Cách đặt số hạng cộng vào này giúp ta triệt tiêu được c bên vế trái, nhân thêm được hệ số a vào vế phải.
Ta tiếp tục cộng 2 BĐT:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
. Khi đó . Giả sử đã có \alpha thỏa mãn dấu "=", tức là:
(1)
Khi đó theo (1) tìm được GTNN của F là
Lần này, tôi phát triển bài toán theo hướng tăng dần số mũ. Để tránh phức tạp, tôi cho các hệ số bằng 1.
"Cho . Tìm GTNN của "
Áp dụng BĐT Cô-si cho 4 số dương:
Ở đây tôi cộng 3 số hạng bậc 4 của x với 1 số hạng tự do. Mục đích là để khi ta áp dụng BĐT Cô-si, ta
thu được một số hạng bậc 3 của x.
Cộng 2 BĐT:
.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
. Khi đó (2). Giả sử tồn tại để dấu bằng xảy ra, vậy thì:
.
Thay vào (2) ta có , đạt được khi x = y =
Không dừng lại ở việc phát triển hệ số, tôi nâng bài toán lên với số mũ, số ẩn, tôi mở rộng thêm được
một số kết quả sau:
Bài toán 1: "Cho . Tìm GTNN của "
Áp dụng BĐT Cô-si:
Cộng 3 BĐT vào:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
. Khi đó . Giả sử tồn tại thỏa mãn dấu "=", khi đó:
. Khi đó đạt được khi
Bài toán 2: "Cho . Tìm GTNN của "
Áp dụng BĐT Cô-si:
Cộng 3 BĐT vào:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
.
Tiếp tục làm tương tự như các bài trên, ta thu được kết quả:
Đạt được khi .
Bài toán 3: "Cho . Tìm GTNN của "
Áp dụng BĐT Cô-si cho n số hạng:
Cộng 2 BĐT:
Tiếp tục làm tương tự như các bài trên, ta thu được kết quả:
Đạt được khi
Các bạn hãy thử tìm lời giải cho các bài toán sau:
Bài toán 4: "Cho . Tìm GTNN của ."
Bài toán 5: "Cho . Tìm GTNN của ."
Bài toán 6: "Cho . Tìm GTNN của
." (a, b, c, d, e, f là các số dương)