CH NG 6 : BÀI TOÁN PH NG TRONG T A Đ DESCARTES ƯƠ Ọ Ộ Ẳ
6.1. HAI TR NG H P C A BÀI TOÁN PH NG ƯỜ Ợ Ủ Ẳ
I. Khái ni m :ệ
ị ự ể
ế Trong nhi u bài toán k thu t, v t th ch u l c ch gây nên bi n ậ c là ứ ỹ ặ ướ ặ ẳ
c g i là các bài toán ph ng. ỉ c qui ượ ẳ ậ ẳ ượ ọ
ề d ng hay ng su t trong 1 m t ph ng (M t ph ng này đ ấ ạ m t ph ng oxy). Các bài toán này đ ẳ ặ Bài toán ph ng chia ra 2 lo i : ẳ ạ 1. Bài toán ng su t ph ng : N u ch t n t ứ ặ i ng su t trong m t ấ ỉ ồ ạ ứ ế ấ ẳ
ph ng xoy. ẳ
2.Bài toán bi n d ng ph ng : N u ch t n t ỉ ồ ạ ế ế ạ ẳ ặ i bi n d ng trong m t ế ạ
ph ng xoy. ẳ
Hai bài toán này khác nhau v m t v t lý song r t gi ng nhau v ề ặ ậ ấ ố ề
ặ
m t toán h c. Gi ọ i bài toán ph ng v m t toán h c đ ề ặ ọ ượ ả c đ n gi n r t nhi u so ả ấ ề ơ
ẳ v i bài toán không gian. ớ
II. Bài toán ng su t ph ng :
Xét nh ng m t ph ng, ví d t m t ẳ ẳ ụ ấ ị ự ỏ
y
z
x
z
ấ ặ ấ b đ u trên b dày t m và song song v i m t trung bình nh hình v . ẽ ố ề ớ ườ ặ ng, đĩa m ng ch u l c phân ư ứ ữ ề y
ặ ấ ả i tr ng, ng su t là ứ ấ ọ
ậ ề ủ ấ ệ ủ s (a)
Ta nh n th y m t bên c a t m không có t h ng theo b dày. Do đó đi u ki n c a bài toán s là : ẽ ề ằ z = Txz = Tyz = 0 M t khác, bi n d ng dài theo ph ng b dày là t do nên : ươ ế ề ặ ạ ự
(b)
0 ệ ủ ứ ấ ẳ
e z „ ề ố ủ
ứ
0.
x, s y, Txy. e x, e y, g xy, e z „ (a) ta có : ừ
42
Các đi u ki n (a), (b) là đ nh nghĩa c a bài toán ng su t ph ng. ị Ân s c a bài toán g m có: ồ ấ s Các ng su t : Các bi n d ng : ạ ế Theo đ nh lu t Hooke, t ậ ị
x)
1 E
y - m m
s g xz =g yz = 0 ; e y = (s
y)
x + s
y)
1 E
E
m+
1(2
)
s e x = ; e z =- (s (c)
E
g xy = Txy (s x - m Txy = G
ẩ ố ứ ề ấ s m T bi u th c (c) ta có các bi n d ng đ u tính theo 3 n s ng su t là ạ ừ ể x, s là 2 h ng s đàn h i c a v t li u. ứ y, Txy v i E, ớ ồ ủ ậ ệ ế ố ằ
III. Bài toán bi n d ng ph ng : ế ạ ẳ
Khi tính nh ng v t th hình lăng tr , có chi u dài l n ch u t ậ ể ữ
ổ ụ ụ ậ ớ ị
ng ng d n, v h m... ta th ỏ ầ ắ ạ ườ ề
Nh th , bài toán đ i v i v t th lăng tr ấ tr thành bài toán t m ố ớ ậ ụ ở ể
y
1
1
x
z
i ị ả ề ự ng ch u áp l c, tr ng không đ i theo chi u dài, ví d đ p ch n, t ườ ề ọ ng xét 1 đo n v t th có chi u dài đ ể ậ ẫ ố ườ b ng 1 đ n v . ị ơ ằ ư ế ư ể ph ng nh bi u di n trên hình v sau : ễ ẽ ẳ
ậ ủ ậ ề ấ
z Nh n xét t m b k p gi a chi u dài c a v t th nên không th có ữ ể ng b dày z, và m t bên c a t m s ch u nh ng ữ ề ạ ố ớ ng z. Do đó, đi u ki n c a bài toán đ i v i ươ
ẽ ị ế
ể ủ ấ ệ ủ ặ ề ự
ế ng h p đang xét s là : ẽ
(d) s (e)
và Các đi u ki n (d), (e) là đ nh nghĩa c a bài toán bi n d ng ph ng. ị ẹ bi n d ng dài theo ph ươ áp l c pháp tuy n theo ph t m trong tr ườ ợ ấ e z = g xz = g yz = 0 z „ ề 0 ệ ủ ế ạ ẳ ị
z„ 0
Ẩ ố ủ
y, Txy, s x, s e x, e y, g xy. ừ
ứ
s bi u th c ừ ể ứ e z = 0
z s đ c tìm t ẽ ượ s s ]) + m (
y
x
x
y).
n s c a bài toán g m có: ồ ấ s Các ng su t : Các bi n d ng : ạ ế Theo đ nh lu t Hooke, t (d) ta có : ị - Các ng su t ti p Txz = Tyz = 0 ứ - Còn ng su t pháp ứ s [ - = 0
x + s Quan h gi a các ng su t và các bi n d ng còn s là :
y = m (s ấ
ậ ấ ế ấ 1 e z = E V y ậ s
43
ệ ữ ứ ế ẽ ạ
s
+
s [
m
s
+
s [
m
- -
s (
y
]) z
s (
x
])
y
y
x
1 E
2
= e x =
m
m
1 E 1
ø Ø -
s
s
x
y
)
m
E
1
2
- œ Œ e x = - ß º
m
m
1
ø Ø -
s
s
y
x
)
m
1
E
m+
1(2
)
- œ Œ T ng t (*) ươ ự e y = - ß º
E
m
2
g xy = Txy
m
-1
(g) m 1 = E1 = ; Đ t ặ -
x - m 1s
y) ;
(*)(cid:219) e x =
y - m 1s
x) ;
m+
m+
1(2
E 1 m 1 E (s 1 1 E (s 1 1(2
)
1 )
(f) e y =
E 1
g xy = Txy = Txy
E ậ
y, Txy, e x, e y, g xy.
x, s
ẩ ố ề ứ ề ấ s 1. Trong c 2 bài toán ph ng, các n s chính v ng su t và v ạ ế fi IV. So sánh và k t lu n chung : ế ẳ ả ư ứ ễ i đ u có th bi u di n ạ ề ể ể ế ạ
bi n d ng là nh nhau : Nh ng ng su t hay bi n d ng còn l ấ ữ qua các n s chính. ẩ ố
2. Quan h gi a các ng su t hay bi n d ng theo (c) hay (f) là ứ ấ ạ
1
ng t hoàn toàn t ươ ự ế ỉ ể ệ ở ỗ m ấ ệ ữ ự ư ứ
ch : ố ố ằ ằ ồ ồ ế ạ
nh nhau, s khác nhau ch th hi n - Trong bài toán ng su t ph ng ta dùng các h ng s đàn h i E, ẳ 1, m còn trong bài toán bi n d ng ph ng ta dùng các h ng s đàn h i E ẳ theo cách đ t (g). ặ
3. Do s gi ng nhau v m t toán h c nh v y nên phép gi ự ố ề ặ ư ậ ọ ả ủ i c a 2
ư
Ẳ
+
y s
1. V m t tĩnh h c : Ph NG TRÌNH C B N TRONG BÀI TOÁN PH NG Ơ Ả ng trình cân b ng Cauchy : ằ ươ ¶ bài toán hoàn toàn nh nhau. 6.2. CÁC PH ƯƠ ề ặ ¶ s ọ Tyx + fx = 0 ¶ ¶
x x Txy
y
+
y
¶ ¶ + fy = 0 (6.1) ¶ ¶
x ề ặ e x =
ng trình bi n d ng Cauchy : ọ ươ ế ạ ¶ ; ¶ ¶ ; (6.2) ¶
v + y
44
¶ ¶ g xy = . ¶ ¶ 2. V m t hình h c : Ph u x v e y = y u x
Các bi n d ng ph i th a mãn đi u ki n liên t c c a bi n d ng, ề ế ế ả ạ ỏ
2
2
ụ ủ ng trình : ỉ ươ ¶
e
¶
e
xy
=
+
x
¶ (6.3) ệ trong bài toán ph ng đi u ki n này ch còn 1 ph ề y 2 ạ ẳ x 2 ¶ ¶ ¶ ¶ ệ g 2 yx
ậ ị ươ
y ề ặ ậ ể
ng trình đ nh lu t Hooke. ấ ứ
y)
s (s ế x - m
x)
y - m m+
1(2
)
s e y = (s (6.4)
E
3. V m t v t lý : Ph a. Bi u th c bi n d ng qua ng su t : ạ ứ 1 e x = E 1 E g xy = Txy
b. Bi u th c ng su t qua bi n d ng : ế ể ấ ạ
2
x =
y)
s e (e x+ m -
2
y =
x)
s e (e y+ m (6.5) -
1(2
)
g xy Txy = ứ ứ E 1 m E 1 m E m+
m i bài toán bi n d ng ph ng, ch c n thay E, b ng E ả ế ẳ
ạ ộ ậ ẩ ố ươ
1, m 1. ỉ ầ ằ ng trình đ c l p trên, ch a 8 n s là ba ng su t, ba ấ ứ ứ bi n d ng và hai chuy n v là m t h khép kín, cho phép ta gi i đ c bài ả ượ ế toán.
N u gi ế H tám ph ệ ạ ộ ệ ể ị
ệ
xf
yf
ề 4. Các đi u ki n biên : ề a. Đi u ki n biên tĩnh h c : ệ * s * (6.6)
ề
ệ ề ặ ể ị
o , vo hay các ị
ọ xl + Tyxm = Txyl + s ym = b. Đi u ki n biên đ ng h c : ọ ộ Trên b m t S c a v t th cho tr ủ ậ ể ị ể ủ ể c các chuy n v u ệ ộ
ướ ế ố ọ s = uo ; vs= vo . đ o hàm c a các chuy n v theo các bi n s t a đ . Nghi m chuy n v ạ c a bài toán ph i th a mãn đi u ki n : u ệ ỏ ủ ề ả
Ứ Ả Ấ
6.3. PHÉP GI I BÀI TOÁN PH NG THEO NG SU T - HÀM Ẳ Ứ NG SU T AIRY Ấ
y, Txy.
I. Phép gi ấ
x, s ng trình cân b ng (6.1) .
+
x x
y
45
ấ s - Ch n n s chính là các ng su t : Các ng su t này ph i th a mãn ph ứ ỏ ằ ươ ¶ i theo ng su t : ứ ả ọ ẩ ố ấ ứ ¶ s ả Tyx = - fx ¶ ¶
s
y
Txy
+
x
¶ ¶ = - fy ¶ ¶
y ẽ
Nghi m c a (6.1) s là t ng c a nghi m t ng quát ph ng trình ủ ủ ệ ệ ổ ổ ươ
¶ s
Tyx
+
y s
thu n nh t (6.8) ấ ầ ¶ = 0 ¶ ¶
y
x x Txy
+
x
¶ ¶ = 0 (6.8) ¶ ¶
¶ s
y và nghi m riêng c a ph Tyx
+
y s
ng trình (6.9) ủ ệ ươ ¶ = - fx ¶ ¶
x x Txy
y
+
x
¶ ¶ = - fy (6.9) ¶ ¶
c không khó khăn, ệ ượ
ng trình (6.8) tìm đ ủ ươ nó ph thu c vào d ng c th c a các l c th tích. ụ ể ủ ể ạ
y - Nghi m riêng c a ph ự ụ Ví d nghi m riêng có th l y là : * s
ể ấ
ệ y = 0 ; Txy = -Px khi fx = 0 ; fy = P = h ng s . ố ằ
y = Txy = 0 khi fx = ax + b ; fy = 0
x =
* s + bx ; s ộ ụ x = 0 ; s 2ax 2
x = 0 ; s
y = -a
2axy 2
; Txy = khi fx = axy , fy = 0. * s
3y 6 II. Hàm ng su t Airy : ấ ứ Đ gi ể ả ệ
ấ i h (6.1) ta đ a ra m t hàm n m i g i là hàm ng su t ớ ọ ư ứ ẩ ộ
Airy.
ng trình vi phân thu n nh t (6.8): Xét h ệ ph ươ ươ ầ ấ ¶ ¶ + = 0 )8.6( ¶ ¶
ng trình ph s Tyx y s ¶ ¶ + = 0 ¶ ¶ x x Txy x y y
Đi u ki n c n và đ cho bi u th c p(x,y)dx + q(x,y)dy = du(x,y) ứ ệ ầ ủ ề ể
p
=
y
x
ầ ủ ¶ ¶ t c p(x,y)dx + q(x,y)dy là vi phân toàn ph n c a 1 hàm u(x,y) nào đó thì ứ q . gi a p và q ph i có quan h : ả ữ ệ ¶ ¶
¶ s
Tyx
-=
y
¶ (cid:219) - Ph ng trình th (1) c a h (6.8) ươ ủ ệ ứ ¶ ¶
x x ầ ủ
A x = y
A x
¶ s
T c (ứ s x.dy - Txy.dx) là vi phân toàn ph n c a 1 hàm A(x,y) nào đó. ¶ ¶ ; Tyx = - (a) Nên ta có quan h ệ s ¶ ¶
-=
y y
Txy x
46
¶ T ng t , ph ng trình th 2 : ươ ự ươ ứ ¶ ¶
y =
(cid:222) (s y.dx - Txy.dy) là vi phân toàn ph n c a1 hàm B(x,y) nào đó : ¶ ¶ fi (b) Ta có quan h : ệ s ¶ ¶
¶ ¶ So sánh (a) và (b) ta có : (c) ¶ ¶ ầ ủ B B ; Txy = - y x B A = y x
(cid:222) j (x,y) nào đó :
fi Ta có quan h : A = ; B = (d) ệ (A.dy + B.dx) là vi phân toàn ph n c a 1 hàm ¶ j y¶ ầ ủ ¶ j x¶
2
2
Thay (d) vào (a) và (b) ta có:
j
2
x =
y =
2
j2 yx¶
j y¶
¶ ¶ ¶ s ; s ; Txy = - (6.10) ¶
x¶ ọ
i bài toán Hàm j (x,y) : G i là làm ng su t Airy, là hàm đ gi ứ ể ả ấ
ph ng theo ng su t. ứ ấ ẳ
III. Ph ấ
ng trình hàm ng su t Airy : ứ ng 5 ta có h ph ng trình (5.5) Beltrmi là h ươ
ệ ề i bài toán đàn h i theo ng su t đã t ng h p các đi u ệ ồ ả ấ ợ
ườ ậ ọ ọ
2
2s
x +
S 2
x 2
ươ - Trong ch ng trình gi ổ ng. ề ặ S d ng (5.5) đ tính cho bi u th c ng su t ph ng. ẳ ử ụ ph ươ ki n v m t tĩnh h c, hình h c, và v t lý c a môi tr ệ ấ ươ ứ ủ ứ ứ ể ể ¶ (1 + m )(cid:209) = 0 ¶
2s
S 2
y +
y 2
¶ + (1 + m )(cid:209) = 0 ¶
2s
z +
S 2
z 2S = 0
¶ (1 + m )(cid:209) = 0 ¶
(cid:219)
y+ s
z=0 nên S= s
x + s
y
z. ấ
s V i S = (1+m )(cid:209) (cid:209) ớ s
x + s
y) =(1+m )(s
x + s
y).
S= s
2S +(cid:209) 2S = 0 x+ s Vì trong bài toán ng su t ph ng ứ ẳ Trong bài toán bi n d ng ph ng : ế ẳ y +m (s y + s ẳ
x + s ề
x + s ồ y) = 0
2(s
ạ z = s Nên trong bài toán đàn h i ph ng ta đ u có : (cid:209) (6.11)
2S = (cid:209) x + s (6.11) : Ph ng trình LêVy. ươ Thay các ng su t b i hàm ứ 2
2
2
2
2
47
j thay (6.10) vào (6.11) ta có : (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) ấ ở j 2 2 j 2 ¶ ¶ ¶ ¶ (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) + + 0 =(cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) ¶ ¶ ¶ ¶ ł Ł ł Ł x y y x
4
4
4
+
=
+
2
0
4
2
2
4
yx 4j
j ¶ j ¶ j ¶ (cid:219) (6.12) ¶ ¶ ¶ ¶
x 2((cid:209)
(cid:219) (cid:209) (6.13)
y = 0 ươ
ng trình trùng đi u hòa. ề
ề
2j ) = (cid:209) ng trình (6.13) : ph = j (x,y) : là hàm trùng đi u hòa . ậ
ồ i theo ng su t d n đ n vi c gi ấ ẫ ứ ế ệ ả i
ph ấ ươ
0 (cid:222) ộ j m t l ng A+ Bx+Cy thì ộ ượ ệ
Ph ươ Hàm j K t lu n : ế - Bài toán đàn h i ph ng gi ả ẳ ng trình (6.12) sau đó tìm các ng su t theo (6.10). ứ + N u fế x, fy „ C ng thêm các nghi m riêng. ệ - Theo (6.10) : Vi c thêm hay b t hàm ớ ổ ấ ứ
2
j
. l
*= . xfm
2
yx
y
2
2
j
j
c xác đ nh theo đi u ki n biên tĩnh h c : ượ ề ệ ọ ị các ng su t không thay đ i. - Các h s tích phân đ ệ ố 2 j ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶
. l
*= . yfm
2
yx
x ủ ể
¶ ¶ - - (6.14) ¶ ¶ ¶
ế ố ị
ế
ứ ệ ố ế ư ế ữ ệ
ấ N u (6.13) đ đ xác đ nh các h ng s tích phân thì các ng su t ằ theo (6.10); (6.12) & (6.14) hoàn toàn không liên quan đ n các h s đàn h i c a v t li u. Nh ng bài toán nh th là bài toán có liên k t bên ồ ủ ngoài tĩnh đ nh. (cid:222) ậ ị ị ứ ể
ự ộ
ồ ố ứ ố ớ ổ ạ ự ằ ẳ ấ ả ư ố ồ
Đ nh lý LeVy-Michell : Trong bi u th c đàn h i ph ng tĩnh đ nh, ch u các ngo i l c tác đ ng trên biên thì s phân b ng su t không ị ị ph thu c vào các h ng s đàn h i và nh nhau đ i v i t ng c các v t ậ ộ ụ li u.ệ
+ Âënh lyï âæåüc sæí duûng laìm cå såí cho 1 phæång phaïp
thæûc nghiãûm coï tãn laì phæång phaïp âaìn häöi.
6.4. ĐI U KI N BIÊN C A HÀM NG SU T AIRY. Ứ Ủ
i bài toán ph ng theo ng su t rút l i thành vi c gi ứ ạ ệ ả i Ấ ấ Ệ ả ẳ
ph ườ
ph i th a mãn ấ j ng trình này là hàm ng su t ứ ả ỏ ủ ệ
ề *
+
=
x
s (cid:252) Ề Vi c gi ệ ng trình trùng đi u hòa (6.12). ề Nghi m c a ph ươ đi u ki n biên. ệ f l.x (cid:253) (6.15) *
=
Txym +
y
s (cid:254)
ng h p fx = fy = 0
Txyl ườ
2
2
ym f Xét tr ợ Thay (6.10) vào (6.11) ta có j
j
. l
m
=* f x
2
yx
y
48
¶ ¶ - ¶ ¶ ¶
2
2
j
j
. l
m
-=* f y
2
yx
x
¶ ¶ - (6.16) ¶ ¶ ¶
dy ds
Theo (H.6.3) ta có : l = cos(n, x) = cos(900 + a ) = - sina = -
dx ds
2
2
m = cos(n, y) = cosb =
j
j
j
dy
dy
.
-=* f x
.(cid:247)
.(cid:247)
j .2
x
y
dx ds
ds
y
y
ds
yx
dx ds
y
(cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:231) (cid:231) - (6.15) (cid:219) = - - ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ł Ł ł Ł
j
y
d ds 2
2
j
(cid:246) (cid:230) ¶ (cid:247) (cid:231) (6.17) . = - (cid:247) (cid:231) ¶ ł Ł
dy
.
+=* f y
j .2
d ds
yx
x
x ds L y đi m so b t kỳ trên chu tuy n làm g c :
¶ ¶ ¶ (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) + = . ¶ ¶ ¶ ł Ł ¶
dx ds ế
j
S
(
)S
= Xds
f
x
0
y j
ể ố ¶ * ấ -= A (cid:242) ấ (6.17) (cid:219) ¶
S
(
)S
-= B
= Yds
f
y
0
x
¶ * (cid:242) (6.18) ¶
Trong đó :
j
,
y
x
S 0
S 0
A&B : Các h s tùy ý, bi u di n giá tr c a đ o hàm ể ị ủ ạ ễ ệ ố j ¶ ¶ c a chu vi . ủ ¶ ¶
X(S) , Y(S) : Ký hi u mang ý nghĩa tĩnh h c s nói đ n d ọ ẽ ệ ế ướ i
đây.
Đ rõ ràng ta đ a ra s t ự ươ ng ư ể
nh sau : t ự ư
ể
ạ Thay chu vi v t th kh o sát ả ậ ắ ạ i
b ng thanh có cùng d ng và c t t ằ đi m Sể
0 (H.6.4). 0x T i đó ta đ t các l c : A // S ự ạ B // S0y ư
ặ
ẫ ự ẽ
ế ủ ổ
(S) & Y(S) : Chính là t ng hình chi u c a các ngo i l c ạ ự 0S chi u lên tr c x & y. ụ ế
ụ ế ạ ” Và ng u l c C nh hình v Nh v y : X ư ậ tác d ng lên đo n S ế ụ ế ấ
j
=
n j
=
t s N(S) : L c d c cũng t ự ọ
+ N u chúng ta l y tr c t n ” ụ tr c ti p tuy n ngoài t pháp tuy n ngo i t ế i đi m S ể ạ i đi m S. ể ạ ạ ¶ Thì : (6.19) ¶ N(S) j ¶ ¶ = Q(S) (6.20) ¶ ¶
49
ạ i đi m S c a thanh, ủ ể
fi ng n u là l c kéo. ự ế
c xem là d ắ ạ
ươ i đi m s c a thanh. ủ ể ệ ữ ộ ự ự ắ ố
=
đ ượ Q(S) : L c c t t ự So sánh quan h gi a n i l c là moment u n và l c c t trong s c ứ ậ ệ b ng v t li u: ằ
=
Q(s)
(cid:222) Q(s) (6.21) = M j
ủ
dM ds dj ds M(s) : Moment c a l c đ t trên đo n S 0S c a thanh đ i v i đi m s. ể ố ớ ạ ị ủ i đi m trên chu tuy n c a v t th ta có th xác đ nh giá tr c a ị
V y t ủ ể ể ậ ậ ạ
¶ j n¶
ng pháp tuy n i các t hàm ng su t ủ ự ặ ể ế ấ j (x,y) và các đ o hàm theo ph ươ ế ạ ạ ứ
ể ở ự ứ ọ
ự ọ
ố c trên chu vi n u t trên chu vi theo tr ng đã cho d a vào công th c (6.21) và (6.19) , i tr ng ở ả ọ ố ả i i 1 t ạ ư ế ưở ượ ắ
đi m quá trình ///đó gi ng nh tìm moment u n S l c d c gây ra b i t ng chu vi đó là ////mà c t ra t ng t cho tr ướ di n b t kỳ. ấ ệ j ổ ặ có d ng b t kỳ : Chu Taylor, Furiê, hàm ph c,... chu i đ c ứ ạ ấ ỗ
bi t.ệ (cid:222) j có d ng đa th c. ứ ạ
I D NG ĐA TH C Ứ
Ấ ƯỚ Ạ ẳ ả ấ j i bài toán ph ng theo ng su t là tìm m t hàm ng su t ấ ứ ứ ộ
6.5. HÀM NG SU T D Ứ Vi c gệ i th a mãn 2 yêu c u : ỏ
ng trình trùng đi u hòa ề
ầ ươ ề ệ
+ Tính ng su t trên t m công ch u l c t p trung đ t t i đ u t do - Ph - Đi u ki n biên ấ ấ ứ ị ự ậ ặ ạ ầ ự
y
y
x
P
z
o
x
nh hình v ư ẽ
t+ 2 t 2
L
-
j 1. D ng hàm ạ
x =
M Z . y J Z
2
j
+ Theo k t qu ế ả ở ứ ề ậ ệ s s c b n v t li u: (cid:222) là hàm đa th c ứ
j b c 4 đ i v i x, y ậ
x =
2
y¶
¶ ố ớ theo hàm j : s
j (x,y) = ax2 + bxy + cy2 + dx3 + cx2y + fxy2 + gy3 + hx4 + ix3y + ix2y2
50
+ kxy3 + ly4. (a)
4
4
4
j
j
2
2
4
4
yx ¶
y¶
4
4
4
j
j
j ng trình trùng đi u hòa : ươ ề ả ¶ ¶ ph i th a mãn ph ỏ j ¶ + + = 0 ¶
x¶ j
2
4
2
4
y¶
x¶
¶ ¶ ¶ = j ; = l. = h ; ¶
fi
yx ¶ h + 2j + l = 0 h = j =l = 0 2 j
fi (1)
2
2
x¶ j
¶ = 2c + 2fx + 6gy + 6kxy. s x =
2
x¶
¶ s y = = 2c + 6dx + 6ey + 6ixy. (b)
j2 yx¶ ề
¶ Txy = - =-(b + 2ex+ 2fy + 3ix2 + 3ky2 ¶
[
ứ ệ ệ ấ
,0
x
;
t 2
" 2. Các đi u ki n : Xét đi u ki n biên theo ng su t : ề ]L * Biên trên (y = (c) :
[
Txy = 0 , s y = 0 (d)
;
x
,0
]L
t 2
" (e) * Biên d i (y =- : ướ
Txy = 0 , s y = 0 (f)
T (c) & (e) ta có : ừ
t 2
2a +6dx +2e( )+6ix( ) = 0
t 2
t 2 t 2
(cid:222) 2a + 6dx - 2e - 6ix = 0 e = i = 0 e = i=f=0
(2)
=0
2
2kt 4
2
+
+
+
+
=œ
b
2
ex
2
f
3
ix
k 3
0
2
t 2
t 2
b = -
kt (4)
=
3 4
f
0
2
2
+
+
+
=œ
b
2
ex
2
f
3
ix
k 3
0
t 2
t 2
T (d) & (f) ta có : ừ (cid:222) a=d=0 (3) b + 3 (cid:252) ø Ø (cid:246) (cid:230) - (cid:239) (cid:247) (cid:231) Œ ł Ł (cid:239) ß º (cid:222) (cid:239) (cid:222) (cid:253) (cid:239) ø Ø (cid:246) (cid:230) - - - (cid:247) (cid:231) (cid:239) Œ ł Ł (cid:239) ß º (cid:254)
+
,
t 2
t 2
ø Ø - œ Œ * Biên trái (x = 0, " y ) ta có : ß º
+
=
t 2 Txy
. dF
p
s x= 0 (g)
t 2
(cid:242) (h) -
51
(cid:222) T (g) c = g = 0 (5) ừ
3 4
3 4
t 2
+
t 2
(cid:222) Txy = - (- kt2 + 3ky2) = kt2 - 3ky2
2
2
3
=
d
=
d
t 2 TxydF
(
kt
3
ky
dy )
2 ykt
ky
3 4
3 4
3 3
t 2
t 2
t 2
3
2
ø Ø - - (cid:222) (cid:242) (cid:242) œ Œ ß º - - -
2
2
d
kt
.
k
kt
.
k
t 2
3 4
t 2
t 2
t 2
3 4
3
3
3
3
3
ø Ø (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) - - - - - œ Œ (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) = (cid:247) (cid:231) ł Ł ł Ł ł Ł œ Œ ł Ł ß º
3
+
=
d
d
kt
.
.
3 4
kt 4
3 4
kt 2
kt 8
3 4
kt 2
kt 8
3
d
ø Ø (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) - - - œ Œ = (cid:247) (cid:231) œ Œ ß º ł Ł
p
kt = 2
(cid:222) (6) =
p 2 k = 3 d t
2
2 3
ky
kt
3 4
2
xy
p 3
- (cid:222)
t 6
t 12
. y
Txy = s x = 6kxy s y = 0 ( Px ) = 3 d .y s x = 6.
Mz Jz
(cid:222) s x = (6.22) J3 =
3td 12 M3 = Px
52
z : Tr c trung hòa ụ
53
