BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC
HÀM SỐ & CÁC BÀI TOÁN LI ÊN QUAN HÀM SỐ
1
Bài 1 : Cho hàm số
2mmxxy 3−+−=
(Cm) .
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3 .
2. Chứng tỏ rằng tiếp tuyến của (Cm) tại điểm uốn của nó luôn qua 1 điểm có tọa
độ không đổi khi m thay đổi .
Bài 2 : Cho hàm số
1x
10x4x2
y2
+−
+−
=
có đồ thị (C) .
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số .
2. Định các giá trị m để đường thẳng (d) : mx – y – m = 0 cắt (C) tại hai điểm phân
biệt A , B . Xác định m để độ dài đoạn AB ngắn nhất .
Bài 3 : Cho hàm số
1x
4mx)1m(x
y2
−
+−−+
=
.
1. Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu .
2. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1 .
3. Định a để phương trình
a
1x
3x
2
=
−
+
có hai nghiệm phân biệt .
Bài 4 : Cho hàm số
2x
2xx
y2
+
−−
=
(C) và điểm M thuộc (C) .
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai tiệm cận tại P và Q . Chứng minh MP = MQ .
Bài 5 : Cho hàm số
2m2mxxy 23 +−−=
(Cm) .
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3 .
2. Tìm m để hàm số luôn luôn đồng biến trên khoảng
);1( ∞+
Bài 6 : Cho hàm số
1x
1mx)1m(x
y2
−
+++−
=
(1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 .
2. Chứng minh rằng hàm số (1) luôn có giá trị cực đại (yCD) và giá trị cực tiểu (yCT)
với mọi giá trị m . Tìm các giá trị m để
.
Bài 7 : Cho hàm số
1x
1x2
y−
−
=
.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Gọi I là tâm đối xứng của (C) . Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C)
tại M vuông góc đường thẳng IM .
Bài 8 : Cho hàm số
1mmxxy 24 −+−=
(1) .
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 8 .
2. Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục trục hoành tại 4 điểm phân biệt .
Bài 9 : Cho hàm số
10x)9m(mxy 224 +−+=
(1) .
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 .
2. Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) có 3 cực trị .
Bài 10 : Cho hàm số
1x
mxmx
y2
−
++
=
(1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = -1 .
2. Định m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ
dương .
2 ĐƯỜNG THẲNG & MẶT PHẲNG TRONG HỆ (OXYZ)
Bài 1 : Tì m hì nh chi ếu vuông góc H của đi ểm M l ên mặt phẳng (P).
° Viết phương trình đường thẳng d qua M và d vuông góc (P) .
° H là giao điểm của d & (P) .
Ap dụng : Tìm hình chiếu vuông góc H của M(2,3,-1) lên mặt phẳng
BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC
(P) :2x – y – z – 5 = 0
Bài 2 : Tìm điểm M’ đối xứng điểm M qua mặt phẳng (P) .
° Viết phương trình đường thẳng d qua M và d vuông góc (P) .
° Tìm điểm H là giao điểm của d & (P) .
° H là trung điểm MM’ suy ra tọa độ M’
Ap dụng : Tìm điểm M’ đối xứng của M(2,3,-1) qua mặt phẳng
(P) :2x – y – z – 5 = 0 .
Bài 3 : Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm M lên đường thẳng d .
° Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và (P) vuông góc d .
° H là giao điểm của d & (P) .
Ap dụng : Tìm hình chiếu vuông góc H của M(1,2,-1) lên đường thẳng d
có phương trình
2
2z
2
2y
3
1x −
=
−
−
=
+
.
Bài 4 : Tìm điểm M’ đối xứng điểm M qua đường thẳng d .
° Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và (P) vuông góc d .
° Tìm điểm H là giao điểm của d & (P) .
° H là trung điểm MM’ suy ra tọa độ M’
Ap dụng : Tìm điểm M’ đối xứng của M(1,2,-1) qua đường thẳng d
có phương trình
2
2z
2
2y
3
1x −
=
−
−
=
+
.
Bài 5 : Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M ( hoặc song song d’ hoặc
vuông góc mp(R) ) và cắt hai đường thẳng d
1 , d2 .
° Viết phương trình mp(P) chứa d1 và qua M ( hoặc // d’ hoặc vuông góc (R) .
° Viết phương trình mp(Q) chứa d2 và qua M ( hoặc // d’ hoặc vuông góc (R) .
° Đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q) .
Ap dụng : Viết phương trình đường thẳng d qua M(1,5,0) và cắt hai đường
thẳng d1:
3
2z
4
2y
1
1x −
=
+
=
−
, d2:
=−+
=−−
04yx
01zx2
Bài 6 : Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và vuông góc hai đường
thẳng d
1 , d2 .
° Viết phương trình mp(P) vuông góc d1 và qua M .
° Viết phương trình mp(Q) vuông góc d2 và qua M .
° Đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q) .
Ap dụng : Viết phương trình đường thẳng d qua M(1,1,1) và vuông góc hai
đường thẳng d1:
=−+
=−++
01zy
03zyx
, d2:
=+−
=−−−
01zy
09z2y2x
Bài 7 : Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M song song mp(R) và
vuông góc đường thẳng d’ .
° Viết phương trình mp(P) qua M và (P) // (R) .
° Viết phương trình mp(Q) vuông góc d’ và qua M .
° Đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q) .
Ap dụng : Viết phương trình đường thẳng d qua M(1,1,-2) song song mp(R) :
x – y – z – 1 = 0 và vuông góc đường thẳng d’:
3
2z
1
1y
2
1x −
=
−
=
+
.
Bài 8 : Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M vuông góc đường
thẳng d1 và c t ng th ng dắ đườ ẳ 2 .
° Viết phương trình mp(P) qua M và (P) vuông góc d1 .
° Viết phương trình mp(Q) qua M và chứa d2 .
° Đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q) .
Ap dụng : Viết phương trình đường thẳng d qua M(1,1,0) vuông góc đường
BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC
thẳng d1:
1
z
1
2y
8
1x =
+
=
−
, d2:
=+
=+−+
01x
02zyx
Bài 9 : Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của đường
thẳng d lên mặt phẳng (P) .
° Viết phương trình mp(Q) chứa d và (Q) vuông góc (P) .
° Đường thẳng d’ là giao tuyến của (P) và (Q) .
Ap dụng : Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của
đường thẳng d:
5
1z
3
1y
2
2x
−
−
=
+
=
−
lên mặt phẳng(P) : 2x + y – z – 8 = 0 .
Bài 10 : Viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai
đường thẳng d1 và d2 chéo nhau .
° Viết phương trình mp(P) chứa d1 và nhận
[ ]
21 dd u,ua=
véc tơ chỉ phương .
° Viết phương trình mp(Q) chứa d2 và nhận
[ ]
21 dd u,ua=
véc tơ chỉ phương .
° Đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q) .
Ap dụng : Viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung của
hai đường thẳng d1 :
1
9z
2
3y
1
7x
−
−
=
−
=
−
và d2 :
3
1z
2
1y
7
3x
−
−
=
−
=
−
−
3 CÁC BÀI TẬP TRONG HỆ TỌA ĐỘ (OXYZ)
Bài 1 : Cho hai đường thẳng
=+−+
=−+−
04z2y2x
04zy2x
:d1
và
+=
+=
+=
t21z
t2y
t1x
:d2
.
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và song song d2 .
2. Cho điểm M(2,1,4) . Tìm H
∈
d2 sao cho MH nhỏ nhất .
Bài 2 : Cho mặt phẳng (P) : x – y + 2 = 0 và đường thẳng
dm:
=++++
=−+−++
02m4z)1m2(mx
01my)m1(x)1m2(
. Định m để dm song song mặt phẳng (P) .
Bài 3 : Cho mặt phẳng (P) : x – y + z +3 = 0 và hai điểm A(-1,-3,-2) , B(-5,7,12) .
1. Tìm điểm A’ đối xứng A qua mặt phẳng (P) .
2. Điểm M chạy trên (P) . Tìm giá trị nhỏ nhất của MA + MB .
Bài 4 : : Cho đường thẳng
=+++
=+++
02zyx
01zyx2
:d
và mặt phẳng (P) :4x – 2y + z – 1 = 0 .
Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d lên (P) .
Bài 5 : Cho hai đường thẳng
=+−
=−−
01zy
0aazx
:d1
và
=−+
=−+
06z3x
03y3ax
:d2
.
1. Tìm a để d1 cắt d2 .
BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC
2. Khi a = 2 . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d2 và (P) song song d1 .
Bài 6 : Cho đường thẳng d và mặt cầu (S)
=−−+
=+−−
04z2y2x
01zy2x2
:d
; (S) :
0my6x4zyx 222 =+−+++
.
Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm MN sao cho MN = 8 .
Bài 7 : Cho hai đường thẳng
1
z
2
1y
1
x
:d1=
+
=
và
=−+
=+−
01yx2
01zx3
:d2
.
1. Chứng minh d1 vừa chéo và vừa vuông góc d2 .
2. Viết phương trình đường thẳng d cắt cả d1 , d2 và đồng thời song song
đường thẳng
2
3z
4
7y
1
4x
:Δ −
−
=
−
=
−
.
Bài 8 : Cho đường thẳng d :
3
z
2
y
1
x==
và ba điểm A(2,0,1) , B(2,-1,0) , C(1,0,1) .
Tìm điểm S thuộc đường thẳng d sao cho
SCSBSA ++
nhỏ nhất .
Bài 9 : Cho mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – m2 – 3m = 0 và mặt cầu (S) có phương trình :
( ) ( ) ( )
91z1y1x 222 =−+++−
.
Tìm m để (P) tiếp xúc (S) , khi đó tìm tiếp điểm của (P) và (S) .
Bài 10 : Cho điểm M(1,2,-2) và mặt phẳng (P): 2x + 2y + 2z + 5 = 0. Lập phương trình
mặt cầu (S) tâm M sao cho (S) cắt (P) theo một đường tròn có chu vi là
π8
.
Bài 11 : Tìm tâm và bán kính đường tròn (C):
=+−−
=−−+−++
09zy2x2
086z2y4x6zyx 222
Bài 12 : Lập phương trình mặt cầu (S) tâm A(1,2,-1) và (S) tiếp xúc đường thẳng
=
−=
+=
t3z
t2y
t21x
:d
4 TÍ CH PHÂN & CÁC ỨNG DỤNG TÍ CH PHÂN
A. Phần tí ch phân :
Tính các tích phân sau :
1.
∫+
=2
π
0
dx
1xcos
x2ins
I
2.
∫+
=
2
12dx
x
)x1ln(
I
3.
∫++
=
1
02dx
2x5x2
dx
I
4.
∫
−
+=
0
1
dxx1xI
5.
∫−++
=
2
1
dx
x2x2
x
I
6.
7.
∫
−++
=
4
1
dx
45x
2
I
8.
∫−−=
1
0
x22 dxe).1x2x4(I
9.
( )
∫
−
−−+=
5
3
dx2x2xI
10.
∫
=4
π
0
2xdxtg.xI
11.
∫+
=
1
0x
e1
dx
I
12.
∫+
=
1
02
3dx
1x
x
I
13.
∫
+
=
1
02
4
dx
1x
x
I
14.
( )
∫+
=
3ln
03
x
xdx
1e
e
I
15.
( )
∫
−
++=
0
1
3
x2 dx1xexI
16.
∫−= 2
0
5
63xdxcosxsin.xcos1I
π
17.
∫+
=
32
524xx
dx
I
18.
∫+
=4
0x2cos1
xdx
I
π
BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC
19.
∫+
−
=4
0
2dx
x2sin1
xsin21
I
π
20.
∫−=
1
0
22 dxx1xI
21.
∫−
=
5ln
2ln x
x2 dx
1e
e
I
22.
∫+
=
e
1
2xdxln
x
1x
I
23.
∫−+
=
2
11x1
xdx
I
24.
∫+
=
e
1
xdxln
x
xln31
I
25.
( )
∫−=
3
2
2dxxxlnI
26.
∫
=2
0
xdx3sinx2sinxsinI
π
27.
( )
∫+= 4
0
44 dxxcosxsinx2cosI
π
28.
∫−+
=
3
248
7dx
x2x1
x
I
29.
∫
=
e
1
22 xdxlnxI
30.
∫+
+
=
3
02
35 dx
1x
x2x
I
31.
∫+
=3
4
2dx
xcos1xcos
tgx
I
π
π
32.
∫
−
+
−
=
2
1
2dx
2x
1x
I
33.
∫
−++
=
4
145x
dx2
I
34.
∫+
=2
033
3dx
xcosxsin
xsin
I
π
35.
∫
−−
=
2
02
dx
xcosxsin711
xdxcos
I
π
36.
∫−
=
1
2
12
2
x
dxx1
I
37.
( )
∫−
=
1
03
2
x4
dx4
I
38.
∫+
=2
022 xsin4xcos
xdx2sin
I
π
B. Ph n ng d ng tích phân :ầ ứ ụ
Bài 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :
1.
xy =
, trục hoành và đường thẳng (d) : y = x – 2 .
2. (C) :
4y4x 2=+
và (C’) :
1yx 4=+
.
3. (C) :
3x4xy 2−+−=
và hai tiếp tuyến của (C) tại A(0,-3) và B(3,0) .
4. (C) :
xsiny 3
=
, (C’) :
xcosy 3
=
và trục tung với
2
x0 π
≤≤
.
5. (C) :
1x3x3xy 23 +++=
và tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với oy .
6. (C) :
2
x1xy +=
, trục hoành và đường thẳng x = 1 .
7. (C) :
x
2y =
, đường thẳng (d) : y = - x + 3 và trục tung .
8. (C) :
2
x4y −−=
và (C’) :
0y3x2=+
.
9. (C) :
4
x1
x
y
−
=
, trục hoành, trục tung và đường thẳng
2
1
x=
.
10. (C) :
)2x)(1x(
1
y++
=
, trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x = 2 .
11. (C) :
3x4xy 2+−=
và đường thẳng (d) : y = x + 3 .
12. (C) :
x4xy 2+−=
và tiếp tuyến của (C) qua
6,
2
5
M
.