các tập hợp số
97
hay nn11n2 n1
nnn
10 9.(9 C 9 ... C ) 1 9.q 1
−− −
=+ +++=+.
Vì vậy, với số tự nhiên a ta có thể viết:
a = nn1
nn1 1 0
c 10 c 10 ... c .10 c
−
−
++++
= nn n1 n1 1 0
c (9.q 1) c (9.q 1) ... c (9 1) c
−−
++ +++ ++
hay a = −− −
++++++++
nn n
n1 n1 1 n1 1 0
9(c q c q ... c ) (c c ... c c )
= nn1 1 0
9.q (c c ... c c )
−
++ +++.
Đẳng thức cuối cùng chứng tỏ rằng a chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi cn + cn–1 +. . . + c1 +
c0 chia hết cho 3 (hoặc 9).
2.4.2.4. Dấu hiệu chia hết cho 11
Định lí 4.5. Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi tổng các chữ số hàng chẵn trừ tổng các chữ
số hàng lẻ là một bội của 11.
Chứng minh:
Trước hết, ta nhận xét rằng một luỹ thừa của 10 sẽ có dạng 11q + 1 hoặc 11q – 1. Thật vậy.
n n n 1 n1 n1 n1 n
nn
10 (11 1) 11 C 11 ... ( 1) C 11 ( 1)
−
−−
=−= − ++− +−
hay −− −−
=−++− +−
nn11n2 n1n1n
nn
10 11.(11 C 11 ... ( 1) C ) ( 1)
nn
10 11.q ( 1)=+−
.
Như vậy 10n = 11.q + 1 nếu n chẵn và 10n = 11.q – 1 nếu n lẻ.
Nhờ vậy, số tự nhiên nn1 10
acc ...cc
−
=có thể viết thành
= + −+ +++ +−n
nn
01 2 2
a c c (11 1) c (11q 1) ... c (11q ( 1) )
hay 02 13
q (c c ...) (c c ...) 11.q=++−+++ .
Đẳng thức cuối cùng chứng tỏ a chia hết cho 11 khi và chỉ khi
02 13
(c c ...) (c c ...++− ++)
chia hết cho 11. Đpcm.
Ví dụ 4.7:
Số 9873215 chia hết cho 11 vì (5 + 2 + 7 + 9) – (1 + 3 + 8) = 23 – 12 = 11.
các tập hợp số
98
Hoạt động. Tìm hiểu hệ ghi số
Nhiệm vụ
Sinh viên đọc thông tin cơ bản rồi thảo luận theo nhóm từ 3 đến 4 người để thực hiện các
nhiệm vụ sau. Sau đó giáo viên tổng kết từng nhiệm vụ.
Nhiệm vụ 1:
Định nghĩa hệ ghi số cơ số g. Xây dựng bốn ví dụ về biểu diễn một số tự nhiên trong hệ g – phân.
Nhiệm vụ 2:
Xây dựng hai ví dụ về đổi hệ cơ số.
Nhiệm vụ 3:
Xây dựng hai ví dụ về thực hành mỗi phép tính cộng, trừ, nhân, chia trong hệ g – phân.
Nhiệm vụ 4:
Phát biểu và chứng minh các dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 4, 25, 3, 9 và 11. Xây dựng 4 ví dụ về
vận dụng các dấu hiệu chia hết để giải toán ở Tiểu học.
Đánh giá
Hãy trả lời các câu hỏi sau đây:
1. Định nghĩa sự biểu diễn một số tự nhiên trong hệ g – phân.
2. Trình bày cách biểu diễn một số tự nhiên từ hệ thập phân sang hệ g – phân.
3. Trình bày cách tìm số tự nhiên trong hệ thập phân khi cho biết sự biểu diễn của nó trong hệ g – phân.
4. Trình bày các cách đổi một số tự nhiên từ hệ g – phân sang hệ h – phân.
5. Phát biểu và chứng minh các định lí về dấu hiệu chia hết sau đây:
a) Dấu hiệu chia hết cho 2 và chia hết cho 5;
b) Dấu hiệu chia hết cho 4 và chia hết cho 25;
c) Dấu hiệu chia hết cho 3 và chia hết cho 9;
d) Dấu hiệu chia hết cho 11.
Hãy giải các bài tập sau đây:
1. Hãy biểu diễn số 1997 trong các hệ g – phân sau đây:
a) Hệ nhị phân;
các tập hợp số
99
b) Hệ ngũ phân;
c) Hệ bát phân.
2. Hãy biểu diễn các số sau đây trong hệ thập phân:
a) 2
1010001 ;
b) 5
42120 ;
c) 6
31425 ;
d) 7
31425 .
3. Lập bảng cộng và bảng nhân trong các hệ ghi số sau: hệ ngũ phân, hệ bát phân, hệ thập nhị
phân (g = 12).
4. Trong hệ ghi số cơ số nào thì:
a) Số 63 được viết là 77
g
;
b) Số 32 được viết là 44
g
;
c) Số 8 được viết là 1000
g
?
5. Xác định cơ số g để cách viết sau đây là đúng:
a) 13
g
+ 23
g
= 41
g
;
b) 24
g
+ 32
g
= 100
g
;
c) 425
– 342
g
= 63
g
.
6. a) Biểu diễn số a = 5
1430213 trong hệ bát phân (g = 8);
b) Biểu diễn số b = 7
3656 trong hệ ngũ phân (g = 5).
7. Chứng minh rằng:
a) Trong mọi hệ ghi số cơ số g > 2, số g
121 là một số chính phương (tức là bình phương của
một số tự nhiên);
b) Trong mọi hệ ghi số cơ số g > 3, số 1331g là lập phương của một số tự nhiên;
c) Trong hệ ghi số cơ số g > 6, số 14641g là lũy thừa bốn của một số tự nhiên.
8. Chứng minh rằng các số dạng 2n – 1 (n > 0) khi được viết trong hệ nhị phân thì chỉ gồm toàn
chữ số 1.
9. Chứng minh rằng trong hệ g – phân với 2 < g
≤
10 thì hai số 2(g – 1) và (g – 1)2 được viết
bởi các chữ số như nhau nhưng theo thứ tự ngược nhau.
các tập hợp số
100
10. Với 10 chữ số của hệ thập phân, ta có thể ghi được bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn một và chỉ
một điều kiện trong các điều kiện sau:
a) Số có 5 chữ số và chia hết cho 2;
b) Số có 5 chữ số và chia hết cho 5.
11. a) Tìm các dấu hiệu chia hết cho 8 và cho 125 trong hệ thập phân;
b) Tìm các dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3 trong hệ lục phân.
12. Tìm tất cả các số tự nhiên x = 135a4b được ghi trong hệ thập phân biết rằng x chia hết
cho 45.
13. Chứng minh rằng nếu d | g thì điều cần và đủ để một số ghi trong hệ g – phân chia hết cho d là
chữ số cuối cùng của nó chia hết cho d.
các tập hợp số
101
Tiểu chủ đề 2.5.
Nội dung và cơ sở toán học của việc dạy học một số vấn đề
về số tự nhiên ở tiểu học
Thông tin cơ bản
2.5.1. Nội dung dạy số tự nhiên ở Tiểu học
Số học là mạch kiến thức cơ bản, cốt lõi của chương trình môn Toán Tiểu học. Mạch số học
được tạo thành từ bốn phần: số học các số tự nhiên, số học các phân số, số học các số thập
phân và một số yếu tố đại số; trong đó, số học các số tự nhiên giữ vai trò trung tâm. Nó được
trình bày theo phương pháp đồng tâm từ lớp 1 đến hết học kì đầu của lớp 4.
Phần số học các số tự nhiên bao gồm các nội dung: hình thành khái niệm số tự nhiên, so sánh
các số tự nhiên, các phép tính về số tự nhiên và giải toán về số tự nhiên.
2.5.1.1. Hình thành khái niệm về số tự nhiên
Sách giáo khoa lần lượt giới thiệu cho học sinh:
+) 10 chữ số cơ bản
+) Số có hai và nhiều chữ số
+) Hàng và lớp của một số có nhiều chữ số
+) Số chẵn, số lẻ, số tròn chục, tròn trăm,. . .
+) Số tự nhiên liên tiếp, dãy số tự nhiên
+) Tia số, . . . . . . . . . . . . .
2.5.1.2. So sánh các số tự nhiên
Sau khi hình thành cho học sinh khái niệm “lớn hơn” và “bé hơn”, sách giáo khoa giới thiệu
các quy tắc so sánh các số tự nhiên có nhiều chữ số và thực hành so sánh các số tự nhiên.
2.5.1.3. Các phép tính về số tự nhiên
Thông qua các vòng số: trong phạm vi 10, 100, 1000, 10 000, 100 000 và các số có nhiều chữ
số, sách giáo khoa đã giới thiệu cho học sinh bốn phép tính: cộng, trừ, nhân, chia các số tự
nhiên. Đối với mỗi phép tính, lần lượt cung cấp cho học sinh:
+) Hình thành ý nghĩa của mỗi phép toán;
+) Phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) trong bảng;
+) Quy tắc thực hành phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) ngoài bảng (với các số có nhiều chữ số);