Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa hai biến số

Chia sẻ: Le Quoc Do | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

4.774
lượt xem 419
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Có nhiều phương pháp để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) , giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức có từ một biến số trở lên . Bài viết này chúng tôi xin trao đổi về phương pháp tìm cực trị của biểu thức hai biến số nhờ miền giá trị , trong đó hai biến bị ràng buộc bởi một điều kiện cho trước . Bài toán : Cho các số thực x , y thoả mãn điều kiện : G(x ; y) = 0 ( hoặc G(x;y) ≥ 0 hoặc G(x;y) ≤ 0 ) ....

Chủ đề:

Bình luận(2) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa hai biến số

vÒ mét c¸ch t×m gi¸ trÞ lín nhÊt , nhá nhÊt cña biÓu thøc chøa hai biÕn sè §ç B¸ Chñ – Th¸i B×nh tÆng www.mathvn.com Có nhiều phương pháp để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) , giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức có từ một biến số trở lên . Bài viết này chúng tôi xin trao đổi về phương pháp tìm cực trị của biểu thức hai biến số nhờ miền giá trị , trong đó hai biến bị ràng buộc bởi một điều kiện cho trước . Bài toán : Cho các số thực x , y thoả mãn điều kiện : G(x ; y) = 0 ( hoặc G(x;y) ≥ 0 hoặc G(x;y) ≤ 0 ) . Tìm GTLN , GTNN ( nếu có ) của biểu thức P = F(x ; y). Cách giải : Gọi T là miền giá trị của P . Khi đó m là một giá trị của T khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm (x ; y): ⎧ G ( x; y ) = 0 ⎧ G ( x; y ) ≥ 0 ⎧ G ( x; y ) ≤ 0 ⎨ ( hoặc ⎨ hoặc ⎨ ) ⎩ F ( x; y ) = m ⎩ F ( x; y ) = m ⎩ F ( x; y ) = m Sau đó tìm các giá trị của tham số m để một trong các hệ trên có nghiệm . Từ đó suy ra miền giá trị T của P , rồi suy ra GTLN , GTNN ( nếu có ) của P. Sau đây là các bài toán minh hoạ . Bài toán 1 : Cho hai số thực x , y thoả mãn điều kiện : 3 x ( 3 x − 1) + 3 y ( 3 ) y − 1 = 3 xy Tìm GTLN , GTNN của biểu thức F = 3 x + 3 y + 3 xy . Lời giải : Gọi T1 là miền giá trị của F . Ta có m ∈ T1 ⇔ hệ sau có nghiệm: ( ) ⎧ 3 x ( 3 x − 1) + 3 y 3 y − 1 = 3 xy ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 3 x + 3 y + 3 xy = m ⎧S = 3 x + 3 y ⎪ Đặt : ⎨ . Ta có ∃x, y ⇔ ∃S, P : S 2 ≥ 4 P ⎪ P = 3 xy ⎩ ⎧ S 2 − S − 3P = 0 ⎧ S 2 + 2 S = 3m Hệ trên ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⎩ S+P=m ⎩ P = m−S 4( S 2 − S ) Ta có : S 2 ≥ 4 P ⇔ S 2 ≥ ⇔ S 2 − 4S ≤ 0 ⇔ 0 ≤ S ≤ 4 3 Từ đó hệ PT đầu có nghiệm ⇔ f ( S ) = S 2 + 2 S = 3m có nghiệm 0 ≤ S ≤ 4 . Vì hàm bậc hai f(S) đồng biến trên [ 0;4] nên PT f(S) = 3m có nghiệm 0 ≤ S ≤ 4 ⇔ f (0) ≤ 3m ≤ f (4) ⇔ 0 ≤ 3m ≤ 24 ⇔ 0 ≤ m ≤ 8 . Do đó T1 = [ 0 ;8] Vậy minF = 0 , maxF = 8. Bài toán 2 : Cho các số thực x, y thoả mãn : x 2 - xy + y 2 ≤ 3 Tìm GTLN , GTNN của biểu thức Q = x 2 + xy - 2y 2 Lời giải : Gọi T2 là miền giá trị của Q . Ta có m ∈ T2 ⇔ hệ sau có nghiệm: ⎧x 2 - xy + y 2 ≤ 3 (1) ⎨ 2 2 ⎩ x + xy - 2y = m (2)
⎧x2 ≤ 3 ⎪ Nếu y = 0 thì hệ (1),(2) ⇔ ⎨ 2 , suy ra trường hợp này hệ có nghiệm (x ; 0) ⇔ 0 ≤ m ≤ 3 ⎪x = m ⎩ ⎧ y 2 (t 2 − t + 1) ≤ 3 (3) Nếu y ≠ 0 thì đặt x = ty ta có hệ : ⎨ 2 2 ⎩ y (t + t − 2) = m (4) m m(t 2 − t + 1) Từ (4) ta phải có m (t + t − 2) > 0 và thay y = 2 2 2 vào (3) được 2 ≤3 t +t −2 t +t−2 ⎧m(t 2 + t − 2) > 0 ⎪ Trường hợp này hệ (1),(2) có nghiệm ⇔ HÖ ⎨ m(t 2 − t + 1) có nghiệm ⎪ 2 ≤3 ⎩ t +t −2 ⎡ ⎧m > 0 ⎢⎪ ⎢ ⎨ f (t ) ≤ 3 cã nghiÖm t ∈ (−∞ ; −2) ∪ (1; +∞ ) ⎢⎪⎩ t2 − t + 1 , t ∈ R \ {−2;1} ) m ⇔⎢ ( I ) ( với f (t ) = 2 ⎢⎪⎧m < 0 t +t −2 ⎢⎨ 3 ⎢ ⎪ f (t ) ≥ cã nghiÖm t ∈ (−2;1) ⎣⎩ m 2t 2 − 6 t + 1 3± 7 Ta có : f ′(t ) = , f ′(t ) = 0 ⇔ t = (t + t − 2 ) 2 2 2 Bảng biến thiên của hàm f(t) 3− 7 3+ 7 t −∞ -2 1 +∞ 2 2 f’(t) + + 0 - - 0 + 1− 2 7 +∞ +∞ 1 9 f(t) 1+ 2 7 1 −∞ −∞ 9 Từ bảng biến thiên ta có ⎡⎧ m > 0 ⎢⎪ ⎢ ⎨1 + 2 2 ≤ 3 ⎢⎪ 9 ⎩ m ⎡ 0 < m ≤ −1 + 2 7 (I) ⇔⎢ ⇔⎢ ⎢⎧ m < 0 ⎢ −1 − 2 7 ≤ m < 0 ⎣ ⎢⎪ ⎢ ⎨1 − 2 7 ≥ 3 ⎢⎪ 9 ⎣⎩ m Kết hợp các trường hợp trên ta được : −1 − 2 7 ≤ m ≤ −1 + 2 7 . Do đó T3 = ⎡ −1 − 2 7 ; − 1 + 2 7 ⎤ . Vậy minQ = −1 − 2 7 , maxQ = −1 + 2 7 ⎣ ⎦ ( Bài này các bạn có thể tham khảo hướng dẫn giải đề số 4 - THTT tháng 6/2007 ) Bài toán 3 : Cho hai số thực x, y thoả mãn : 9 x 2 + 16 y 2 + 6 x + 8y ≤ 3(1 − 8 xy )
Tìm GTNN của biểu thức K = x ( x + 1) + y ( y + 1) Lời giải : Gọi T3 là miền giá trị của K . Ta có m ∈ T3 ⇔ hệ sau có nghiệm: ⎧9 x 2 + 16 y 2 + 6 x + 8y ≤ 3(1 − 8 xy ) ⎨ ⎩ x ( x + 1) + y( y + 1) = m ⎧(3 x + 4 y )2 + 2(3 x + 4 y ) − 3 ≤ 0 ⎧ −3 ≤ 3 x + 4 y ≤ 1 (5) ⎪ ⎪ Hệ trên ⇔ ⎨ 1 1 1 ⇔⎨ 1 2 1 2 1 ⎪ ( x + )2 + ( y + ) 2 = m + ⎪( x + 2 ) + ( y + 2 ) = m + 2 (6) ⎩ ⎩ 2 2 2 1 Dễ thấy : nếu m ≤ − thì hệ vô nghiệm 2 1 Với m > − , xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy ta có : tập hợp nghiệm của (5) là miền mặt phẳng 2 (H) ở giữa hai đường thẳng song song d1 : 3 x + 4 y + 3 = 0 và d2 : 3 x + 4 y − 1 = 0 có chứa cả biên là hai 1 1 đường thẳng d1 và d2 , còn tập hợp nghiệm của (6) là đường tròn (C) có tâm I( − ; − ) , bán kính 2 2 1 R = m+ . Trường hợp này hệ (5),(6) có nghiệm ⇔ (C) và (H) có điểm chung ⇔ 2 1 1 49 1 d ( I ; d1 ) ≤ R ⇔ ≤ m+ ⇔ m≥− ( thoả mãn m > − ) . 10 2 100 2 ⎡ 49 ⎞ 49 Do đó T3 = ⎢ − ; +∞ ⎟ . Vậy min K = − ( không tồn tại maxK) . ⎣ 100 ⎠ 100 (Bạn đọc tự vẽ hình minh hoạ). Bài toán 4 : Cho các số thực x, y thoả mãn : ( 2 ) 2cos x + 2cos y +3 + 2cos x + cos y + 2 − 4cos x + cos y ≥ 4 2 . Tìm GTLN , GTNN của biểu thức : M = cos 2 x + cos 2 y Lời giải : Gọi T4 là miền giá trị của M . Ta có m ∈ T4 ⇔ hệ sau có nghiệm: ⎧( 2) 2cos x + 2cos y + 3 + 2cos x + cos y + 2 − 4cos x + cos y ≥ 4 2 ⎪ ⎨ (*) ⎪ ⎩ cos 2 x + cos 2 y = m Hệ(*) ⇔ ⎧ ⎧ 3 ⎧(2cos x + cos y ) 2 − (2 2 + 2)2cos x + cos y + 4 2 ≤ 0 ⎪ 2≤2 cos x + cos y ≤2 2 ⎪ 1 ≤ cos x + cos y ≤ ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎨ m+2 ⇔⎨ 2 m+2 ⇔ ⎨ ⎪ cos x + cos y = 2 2 ⎪cos x + cos y = 2 ⎪cos 2 x + cos 2 y = m+2 ⎩ 2 ⎪ 2 ⎪ ⎩ ⎩ 2 v ⎧ 3 ⎪ 1≤ u + v ≤ 2 (7) ⎪ Đặt u = cos x ; v = cos y ta có hệ : ⎨ u ≤ 1 , v ≤ 1 (8) 1C B ⎪ m+2 ⎪ u 2 + v2 = (9) 1 A ⎩ 2 2 Hệ (*) có nghiệm ⇔ hệ (7),(8),(9) có nghiệm. D Dễ thấy , với m ≤ −2 hệ (7),(8),(9) vô nghiệm . O 1 1 u Với m > - 2 , xét trong mặt phẳng toạ độ Ouv 2 khi đó tập hợp nghiệm của (7) và (8) là hình
thang cân ABCD ( gồm các điểm ở trong hình thang và các điểm trên cạnh hình thang) , còn tập hợp nghiệm của (9) là đường tròn ( T ) có m+2 tâm O(0 ; 0) , bán kính R = ( hình vẽ ) 2 Từ đó , hệ (7),(8),(9) có nghiệm ⇔ đường tròn ( T ) có điểm chung với hình thang ABCD 2 m+2 5 1 ⇔ d (O; CD ) ≤ R ≤ OB ⇔ ≤ ≤ ⇔ −1 ≤ m ≤ ( thoả mãn m > - 2) 2 2 2 2 (Ở đây đường thẳng CD: u + v − 1 = 0 , đường thẳng AB: 2u + 2v − 3 = 0 và các tam giác OCD , OAB cân tại O) . ⎡ 1⎤ 1 Do đó T4 = ⎢ −1; ⎥ . Vậy minM = -1 , maxM = ⎣ 2⎦ 2 Bài toán 5 : (Tuyển sinh đại học khối A năm 2006 ) Cho hai số thực thay đổi x ≠ 0 , y ≠ 0 thoả mãn : (x + y)xy = x 2 + y 2 − xy 1 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 3 + 3 x y Lời giải : Gọi T5 là tập giá trị của A . Ta có m ∈ T5 ⇔ hệ sau có nghiệm x ≠ 0 , y ≠ 0 : ⎧(x + y)xy = x 2 + y 2 − xy ⎧(x + y)xy = x 2 + y 2 − xy ⎧(x + y)xy = x 2 + y 2 − xy ⎪ ⎪ ⎪ ⎨1 1 ⇔ ⎨ (x + y)(x 2 + y 2 − xy) ⇔ ⎨ xy(x + y) 2 ⎪ x 3 + y3 = m ⎪ (xy)3 =m ⎪ 3 =m ⎩ ⎩ ⎩ (xy) ⎧(x + y)xy = (x + y)2 − 3xy ⎪ ⇔⎨ x+y 2 (V) ( ⎪ xy ) =m ⎩ ⎧SP = S2 − 3P ⎧S = x + y 2 ⎪ Đặt ⎨ ( S ≥ 4 P ) , ta có hệ : ⎨ S 2 (VI) ⎩P = xy ⎪( ) = m ⎩ P Hệ (V) có nghiệm x ≠ 0 , y ≠ 0 ⇔ hệ (VI) có nghiệm ( S ; P ) thoả mãn S 2 ≥ 4P . 1 3 S Do SP = x 2 + y 2 − xy = (x − y) 2 + y 2 > 0 với mọi x ≠ 0 , y ≠ 0 ⇒ > 0 với mọi x ≠ 0 , y ≠ 0 2 4 P Từ đó : • Nếu m ≤ 0 thì hệ (V) vô nghiệm S S • Nếu m > 0 thì từ phương trình ( ) 2 = m ⇒ = m ⇒ S = m.P thay vào phương trình P P đầu của hệ (VI) được : mP = mP − 3P ⇔ (m − m )P = 3 ( vì SP > 0 nên P ≠ 0 ) 2 2 Để có P từ phương trình này thì m − m ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 ( m > 0 ) và ta được 3 3 P= , do đó S = . Trường hợp này hệ (VI) có nghiệm ( S ; P ) thoả m ( m − 1) m −1 mãn S 2 ≥ 4P khi và chỉ khi :
3 12 4( m − 1) 2 ( )2 ≥ ⇔ 3≥ ⇔ 3 m ≥ 4( m − 1) ⇔ m ≤ 4 m −1 m ( m − 1) m ( m − 1) ⇔ 0 < m ≤ 16 (m ≠ 1) Tóm lại các giá trị của m để hệ (V) có nghiệm x ≠ 0 , y ≠ 0 là : 0 < m ≤ 16 , m ≠ 1 Do đó : T5 = ( 0;16] \ {1} Vậy : maxA = 16 ( chú ý không tồn tại minA ) Bài toán 6 : ( HSG quốc gia - Bảng A + B năm 2005 ) Cho hai số thực x, y thoả mãn : x − 3 x + 1 = 3 y + 2 − y Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức K = x + y Lời giải : ĐKXĐ : x ≥ −1, y ≥ −2 Gọi T6 là tập giá trị của K . Ta có m ∈ T6 ⇔ hệ sau có nghiệm: ⎧x − 3 x + 1 = 3 y + 2 − y ⎪ ⎧ ⎪3( x + 1 + y + 2) = m ⎨ ⇔⎨ (VII) ⎪ ⎩ x+y=m ⎪x + y = m ⎩ Đặt u = x +1 và v = y + 2 thì u, v ≥ 0 và hệ (VII) trở thành : ⎧ m ⎪ u+v= ⎧3(u + v) = m ⎪ 3 ⎨ 2 ⇔⎨ ⇔ u , v là hai nghiệm của phương trình : ⎩ u +v = m+3 ⎪ 2 1 m2 uv = ( − m − 3) ⎪ ⎩ 2 9 m 1 m2 t2 − t + ( − m − 3) = 0 ⇔ 18t 2 − 6mt + m 2 − 9m − 27 = 0 (10) 3 2 9 Từ đó , hệ (VII) có nghiệm ( x ; y ) sao cho x ≥ −1, y ≥ −2 khi và chỉ khi (10) có hai nghiệm không âm và điều kiện là : ⎧ ⎪ Δ′t = −9(m 2 − 18m − 54) ≥ 0 ⎪ ⎪ m 9 + 3 21 ⎡ 9 + 3 21 ⎤ ⎨St = ≥ 0 ⇔ ≤ m ≤ 9 + 3 15 . Do đó T6 = ⎢ ;9 + 3 15 ⎥ ⎪ 3 2 ⎣ 2 ⎦ ⎪ m − 9m − 27 2 ⎪ Pt = ≥0 ⎩ 18 9 + 3 21 Vậy : minK = , maxK = 9 + 3 15 2 Bình luận : Ưu thế của phương pháp trên là quy bài toán tìm GTLN , GTNN về bài toán tìm tham số để hệ có nghiệm , vì vậy không cần chỉ rõ giá trị của biến số để biểu thức đạt GTLN , GTNN . Nếu dùng các bất đẳng thức để đánh giá thì nhất thiết phải chỉ rõ các giá trị của biến số để tại đó biểu thức đạt GTLN , GTNN . Các bạn có thể mở rộng phương pháp này cho biểu thức có nhiều hơn hai biến số . Cuối cùng mời các bạn vận dụng phương pháp trên để làm các bài tập sau : Bài 1 : Cho hai số thực x , y thoả mãn : x 2 + y 2 = 2( x + y ) + 7 . Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức P = 3 x ( x − 2) + 3 y( y − 2) Bài 2 : Cho hai số thực x , y thoả mãn : x ( x + 1) + y ( y + 1) ≤ 0 .
Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức Q = 2007 x + 2008 y + 2009 Bài 3 : Cho các số thực x, y thoả mãn : 4x 2 - 3xy + 3y 2 ≤ 6 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức F = x 2 + xy - 2y 2 Bài 4 : Cho các số thực không âm x , y thoả mãn : x + y = 4 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Q = x + 1 + y + 9 1 Bài 5 : Cho các số thực x, y thoả mãn : cos x + cos y = . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu 2 thức L = cos 3 x + cos 3 y Bài 6 : (Đại học khối B năm 2008 ) : Cho hai số thực x , y thay đổi và thoả mãn hệ thức 2(x 2 + 6xy) x 2 + y 2 = 1 . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = 1 + 2xy + 2y 2 Bài 7 : ( Cao đẳng kinh tế kỹ thuật năm 2008 ) Cho hai số x , y thoả mãn x 2 + y 2 = 2 . Tìm GTLN , GTNN của biểu thức P = 2(x 3 + y 3 ) − 3xy Bài 8 : Cho các số dương x , y thoả mãn : xy + x + y = 3 . Tìm GTLN của biểu thức 3x 3y xy P= + + − x 2 − y 2 ( Đ/s : maxP = 3/2) y +1 x +1 x + y ...............................Hết .............................