Bµi tËp lín C¶m BiÕn ®o Lêng vµ Xö LÝ TÝn HiÖu _ Đề 4
Đề Bài 4: TRÌNH BÀY VỀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC
Bài Làm:
4.1 Phép biến đổi Fourier rời rạc của tín hiệu tuần hoàn
Chúng ta đã biết đến phép biến đổi Fourier liên tục của tín hiệu rời rạc x(n):
j
j n
X e (
)
x n e ( )
. Chúng ta thấy ngay rằng trong công thức trên X(ejω)
n
là một hàm số phức liên tục theo ω, do đó phổ biên độ và phổ pha tương ứng
cũng sẽ là các hàm thực liên tục theo biên số ω tương ứng. Mặt khác để cài
đặt trong thực tế chúng ta chỉ có thể lưu trữ được số lượng hữu hạn các giá trị
rời rạc, do đó chúng ta sẽ xem xét một biểu diễn rời rạc của công thức biến
đổi Fourier nói trên. Trước hết ta sẽ rời rạc hoá miền giá trị ω từ 0 đến 2π
thành N điểm với khoảng cách 2π/N.
k
k
0,1, 2...
N
k
2 N
Khi đó giá trị của X(ejω) tại các điểm rời rạc
k được tính bằng:
j
kn
2 N
X k ( )
x n e ( )
n
Trong đó khoảng [-∞,+∞] là chu kỳ của tín hiệu của tín hiệu không tuần hoàn.
Do đó với tín hiệu x(n) tuần hoàn với chu kỳ N ta có công thức sau:
N
1
j
kn
2 N
X k ( )
x n e ( )
k
0,1, 2...
N
n
0
Công thức trên được gọi là phép biến đổi Fourier rời rạc của tín hiệu tuần
hoàn. Nhận xét: Các giá trị X(k) chính là các mẫu rời rạc của X(ejω).
SVTH : Đào Xuân Quân Lớp CĐT3 _ K52
Bµi tËp lín C¶m BiÕn ®o Lêng vµ Xö LÝ TÝn HiÖu _ Đề 4
4.2 Phép biến đổi Fourier rời rạc của tín hiệu rời rạc có chiều dài hữu
hạn
Trong thực tế chúng ta thường chỉ thu được các tín hiệu rời rạc có số
lượng mẫu hữu hạn (chiều dài hữu hạn) do đó để áp dụng được phép biến đổi
Fourier rời rạc nói trên với tín hiệu rời rạc có chiều dài hữu hạn, ta sẽ xem tín
hiệu có chiều dài hữu hạn như là một chu kỳ của một tín hiệu rời rạc tuần
hoàn. Giả sử ta xét tín hiệu x(n) có N mẫu, khi đó ta sẽ xem x(n) như một chu
x n ( )
)
kỳ của tín hiệu rời rạc tuần hoàn
. Áp dụng phép biến
( x n kN
k
x n ( )
đổi Fourier rời rạc với tín hiệu
ta có:
N
1
j
nk
2 N
X k ( )
x n e ( )
n
0
( )X k
Mặt khác ta thấy rằng
cũng là một tín hiệu rời rạc tuần hoàn với chu kỳ
( )X k
N và X(k) là một chu kỳ của
từ đó ta có công thức biến đổi Fourier rời
N
1
j
nk
2 N
X k ( )
x n e ( )
k
0,1, 2...
N
1
rạc của tín hiệu x(n):
n
0
Từ công thức trên ta có thể tinh được x(n) bằng công thức biến đổi Fourier rời
rạc ngược sau:
N
1
j
nk
2 N
x n ( )
X k e ( )
1 N
0
k
4.3 CÁC TÍNH CHẤT DFT
a)Tuần hoàn :
g
g
m
,...2,1
mN
n G
n G
l
,...2,1
lNk
k
b) Tuyến tính :
DFT
DFT
Nếu:
)( nx 1
N
)( kX 1
N
)( nx 2
N
)( kX 2
N
SVTH : Đào Xuân Quân Lớp CĐT3 _ K52
Bµi tËp lín C¶m BiÕn ®o Lêng vµ Xö LÝ TÝn HiÖu _ Đề 4
DFT
Thì:
)( nxa 11
N
)( nxa 22
N
)( kXa 1 1
N
)( kXa 2
2
N
L
N
L
Nếu
Chọn
N 1
2
1 NN ,
2
x 2
x 1
N max{ }
c) Dịch vòng:
nx )(
DFT
kX
Nếu
)( N
N
0
nnx (
)
DFT
Thì
0
N
kn kXW N
)( N
nnx (
)
)
rect
(n)
Với
gọi là dịch vòng của x(n)N đi n0 đơn vị
0
N
(~ nnx 0
N
N
d) Chập vòng:
DFT
DFT
Nếu
)( nx 1
N
)( kX 1
N
)( nx 2
N
)( kX 2
N
DFT
)(
Thì
)( nx 1
N
)( nx 2
N
)( kXkX N
2
1
N
N
1
Với
Chập vòng 2 dãy x1(n) & x2(n)
N
N
N
N
m
0
(
)
)
rect
n )(
Và
Dịch vòng dãy x2(-m) đi n đơn vị
mnx 2
N
(~ mnx 2
N
N
vòng có tính giao hóan
)( nx 1
N
)( nx 2
N
)( nx 2
N
)( nx 1
N
L
N
L
( ) ( ) nx )( 1 nx )( 2 mnxmx 1 2
Nếu
Chọn
N 1
2
1 NN ,
2
x 2
x 1
SVTH : Đào Xuân Quân Lớp CĐT3 _ K52
N max{ }
Bµi tËp lín C¶m BiÕn ®o Lêng vµ Xö LÝ TÝn HiÖu _ Đề 4
BÀI TẬP:
nx )(
BT 4.1: Tìm DFT của dãy:
4,3,2,1 \
GIẢI:
3
j
2 4
;1
j
knWnx )( 4
1 eW 4
2 ; Wj 4
3 W 4
n
0
3
kX )(
0 xWnx )( 4
n
0
3
X )0( )0( x )1( x )2( x )3( 10
n xWnx )( 4
3 WxWxWx )1( )2( 4
2 4
1 4
n
0
3
n
X )1( )0( )3( 2 j 2
2 Wnx )( 4
6 WxWxWx )1( )2( 4
2 4
4 4
n
0
3
n
X )2( x )0( )3( 2
3 Wnx )( 4
9 WxWxWx )1( )2( 4
6 4
3 4
n
0
nx )(
X )3( x )0( )3( 2 j 2
BT 4.2: Cho:
4,3,2,1
a) Tìm dịch tuyến tính: x(n+3), x(n-2)
b)Tìm dịch vòng: x(n+3)4, x(n-2)4
GIẢI:
SVTH : Đào Xuân Quân Lớp CĐT3 _ K52
Bµi tËp lín C¶m BiÕn ®o Lêng vµ Xö LÝ TÝn HiÖu _ Đề 4
nx (
)2
4
nx (
)3
4
2,1,4,3 3,2,1,4
BT 4.3: Tìm chập vòng 2 dãy
nx )(1
nx )(2
4,3,2
4,3,2,1
GIẢI:
,3 N N 4 max{ 4}
Chọn độ dài N:
2
2
3
N 1 NN , 1
4
4
4
4
m
0
)
)
mx (1
mx (2
Đổi biến n->m: 0,4,3,2
( ) ( n 3 nx )( 3 nx )( 1 nx )( 2 mnxmx 1 2 0:) 4
4,3,2,1
)
)
rect
n )(
Xác định x2(-m)4:
mx ( 2
4
(~ mx 2
4
4
2,3,4,1
SVTH : Đào Xuân Quân Lớp CĐT3 _ K52
Bµi tËp lín C¶m BiÕn ®o Lêng vµ Xö LÝ TÝn HiÖu _ Đề 4
4
4
) rect n )( (~ x 2 m mx ( ) 2 (~ mx ) 2
Xác định x2(n-m) là dịch vòng của x2(-m) đi n đơn vị
n>0: dịch vòng sang phải, n<0: dịch vòng sang trái
SVTH : Đào Xuân Quân Lớp CĐT3 _ K52
Bµi tËp lín C¶m BiÕn ®o Lêng vµ Xö LÝ TÝn HiÖu _ Đề 4
Nhân các mẫu x1(m) & x2(n-m) và cộng lại:
3
4
4
m
0
3
) ( ( n 3 nx )( 3 mnxmx 2 1 0:) 4
n=0:
4
4
4
m
0
3
)0( ( 0( m ) 26 x 3 xmx ) 1 2
n=1:
4
4
4
m
0
3
)1( ( 1( m ) 23 x 3 xmx ) 1 2
n=2:
4
4
4
m
0
3
)2( ( 2( m ) 16 x 3 xmx ) 1 2
n=3:
4
4
4
m
0
Vậy:
nx )( 3
4
nx )( 1
4
nx )( 2
4
)3( ( 3( m ) 25 x 3 xmx ) 1 2
25,16,23,26
SVTH : Đào Xuân Quân Lớp CĐT3 _ K52
