1
CHƢƠNG VI : PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN
I. Các khái niệm cơ bản
1. Hàm số đối số nguyên
Hàm có tập xác định thuộc Z gọi là hàm số có đối số nguyên.
Ký hiệu y = f(n).
Ví dụ: f(n) = n2 + n – 1
f(n) = n3 + 1
f(n) = sina (a là hằng số)
2. Định nghĩa sai phân:
Sai phân của hàm số Un là chênh lệch giá trị của hàm số tại hai giá trị kế tiếp nhau.
Ký hiệu: ΔUn = Un +1 - Un
Sai phân cấp m của hàm số Un là sai phân của sai phân cấp m-1 của hàm số đó :
ΔmUn = Δ(Δm-1Un )= Δm-1Un +1 - Δm-1Un
Chẳng hạn sai phân cấp 2 được tính :
Δ2Un = Δ(ΔUn )= ΔUn +1 – ΔUn= (Un +2 - Un+1 )- (Un +1 – Un )
= Un +2 -2 Un +1 + Un
Tương tự ta có thể biểu diễn ΔmUn qua Un , Un+1,..., Un+m
I. Phƣơng trình sai phân
Định nghĩa : là PT với hàm số phải tìm là 1 hàm đối số rời rạc f(n) = Un có mặt
dưới dạng sai phân các cấp.
PT sai phân cấp m có dạng tổng quát :
G(n, Un, ΔUn, Δ2Un,..., ΔmUn) = 0
Hay có thể viết dưới dạng :
F(n, Un, Un+1,..., Un+m) = 0
Nghiệm của PT sai phân là hàm số đối số rời rạc Un =f(n) mà khi thay Un = f(n), Un+1
=f(n+1),..., Un+m =f(n+m) ta được một đồng nhất thức trên tập hợp các số nguyên n
0.
Nghiệm tổng quát của một PT sai phân cấp n có dạng : Un =f(n, C1, C2,...,Cn) trong đó
C1, C2,...,Cn là các hằng số bất kì, khi gán cho mỗi kí tự C1, C2,...,Cn một số xác định
ta được một nghiệm riêng của PT.
PT sai phân Ôtônôm là PT có dạng Un+m = f(Un, Un+1,..., Un+m-1)
2
II. Phƣơng trình sai phân tuyến tính
1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1
Định nghĩa: Là phương trình có dạng: anUn+1 + bnUn = fn (1)
Trong đó an, bn, fn là các hàm đối số nguyên. Un và Un+1 là hai giá trị kề nhau của hàm
Un đối số nguyên cần tìm.
Nếu an và bn là các hằng số thì ta có phương trình sai phân hệ số hằng.
Phương trình anUn+1 + bnUn = 0 (2) gọi là phương trình thuần nhất tương ứng của (1).
Ví dụ:
Một khách hàng có số tiền là A đồng, đem gửi tiết kiệm, lãi xuất mỗi tháng là 1%.
Lập mô hình về tình hình tiền vốn của khách hàng.
Ta có un+1 = un + 1
100 un = 1,01.un un+1 – 1,01.un = 0, u0 = A
2. Phương trình sai phân cấp cao
a. Phương trình sai phân cấp 2
Dạng : an.un+2 + bn.un+1 + cn.un = fn
Nếu an, bn và cn là các hằng số thì ta có phương trình sai phân hệ số hằng.
Nếu fn = 0 thì ta có phương trình thuần nhất liên kết
an.un+2 + bn.un+1 + cn.un = 0
Nếu U*n là một nghiệm của PT sai phân tuyến tính không thuần nhất và U1n, U2n là 2
nghiệm độc lập tuyến tính của PT thuần nhất liên kết thì nghiệm tổng quát của PT là :
U = U*n+ C1U1n + C2 U2n
Ví dụ:
Ngày 01/ 01/ 1202, Giáo hoàng La Mã cho Fibonacci một bài toán như sau: “Hôm
nay, người ta tặng tôi một cặp thỏ. Biết thỏ hai tháng tuổi bắt đầu đẻ và sau đó mỗi
tháng đẻ một lứa, mỗi lứa là một cặp thỏ. Hết năm, tôi có bao nhiêu cặp thỏ ?”
Giải: Gọi Fn là số cặp thỏ có được ở tháng thứ n.
Tháng trước có Fn-1 cặp, trong đó chỉ có số thỏ tháng trước nữa là đẻ
Fn = Fn-1 + Fn-2 với F1 = 1, F2 = 1.
b. Phương trình sai phân cấp k
Là phương trình có dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = fn
3
III. Phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng
1. Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất
Dạng Un+1 + pUn = 0 Un+1 = - pUn Nghiệm tổng quát : Un = C(- p) n
Ví dụ:
Năm 1990 dân số Hà Nội là 1,6 triệu người, tốc độ tăng dân số là 1% một năm. Hỏi
dân số Hà Nội năm 2050 là bao nhiêu?
Giải: Gọi un là dân số Hà Nội năm thứ n + 1990
Ta có un+1 = un + 1
100 un = 1,01.un un = u0.(1,01)n.
Có u0 = 1,6 triệu u60 = 1,6.(1,01)60 2.91 triệu.
2. Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất
Dạng Un+1 + pUn = q (1) với q 0. PT thuần nhất liên kết Un+1 + pUn = 0 (2).
Định lý :
Nếu U*n là một nghiệm của PT sai phân tuyến tính không thuần nhất (1) và U1n là một
nghiệm của PT thuần nhất liên kết (2) thì U1n+ U*n là nghiệm của PT (1).
Nghiệm tổng quát của (1) dạng Un= U*n + C(- p) n
Ta tìm nghiệm riêng của (1) :
+) Nếu p -1 nghiệm riêng là U*n =
1
q
p
+) Nếu p = -1 nghiệm riêng là U*n = qn.
IV. Phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
1. Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất :
Xét phương trình: Un+2 + pUn+1 + qUn = 0 (3)
Bổ đề 1:
Nếu xn, yn là nghiệm của (3) thì A.xn + B.yn (A, B : const) cũng là nghiệm của (3).
Chứng minh:
Ta có: (A.xn+2 + B.yn+2) + p.(A.xn+1 + B.yn+1) + q.(A.xn + B.yn) =
A(xn+2 + p.xn+1 + q.xn ) + B(yn+2 + p.yn+1 + q.yn ) = 0
4
Hệ phương trình
Định nghĩa:
x0 x1
Nếu 0 thì xn và yn độc lập tuyến tính
y0 y1
Bổ đề 2:
Nếu xn, yn là nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (3) thì Un = A.xn + B.yn là
nghiệm tổng quát của (3).
Chứng minh:
Gọi Un là một nghiệm bất kỳ của (3).
Ta chứng minh rằng tồn tại Au và Bu sao cho Un = Au.xn + Bu.yn
(Au, Bu là các hằng số phụ thuộc un).
Ax0 + By0 = U0
Ax1 + By1 = U1
Có nghiệm duy nhất Au và Bu.
U2 = p.U1 + q.U0 = Aux2 + Buy2.
Chứng minh bằng quy nạp, ta có Un = Au.xn + Bu.yn
mọi nghiệm của (3) đều biểu diễn qua xn và yn đ.p.c.m
Ta tìm nghiệm riêng dưới dạng xn = λn (λ 0). Thay vào (3), ta có:
λn+2 + p.λn+1 + q.λn = 0 λ2 + pλ + q = 0 (4).
Phương trình (4) gọi là phương trình đặc trưng của (3).
Trường hợp 1: Nếu (4) có hai nghiệm thực phân biệt λ1 và λ2 (3) có hai nghiệm
riêng độc lập tuyến tính xn = λ1n và yn = λ2n .
Nghiệm tổng quát Un = C1 λ1n + C2 λ2n
Trường hợp 2: Nếu (4) có nghiệm kép là λ0, (3) có hai nghiệm riêng độc lập tuyến
tính xn= λ0n và yn = n.λ0n .
Nghiệm tổng quát Un = (C1+ nC2) λ0n
Trường hợp 3: Nếu (4) có hai nghiệm phức λ1,2 =
.
2
pi
= A Bi
(A =
2
p
, B =
2
) và với r = A2 + B2 và α = arctgB
A .
λ1,2 = r(cosα i.sinα)
PT (3) có hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính là xn = rn.cosnα và yn = rn.sinnα
Nghiệm tổng quát Un = rn [C1 cosnα +C2 sinnα].
5
Ví dụ 1: Tìm nghiệm un+2 = 5un+1 + 6un biết u0 = 1, u1 = 0
Bài làm:
Phương trình đặc trưng: λ2-5λ + 6 = 0 λ1 =1 và λ2 = 2
Vậy nghiệm tổng quát un = A + B.2n.
u0 = A + B = 1
u1 = A + 2B = 0 A = 2 và B = -1.
Vậy nghiệm riêng thoả mãn là un = 2 – 2n
Ví dụ 2: Tìm nghiệm un+2 = 5
2 un+1 - un biết u0 = 0, u1 = 1
Bài làm: Phương trình đặc trưng: λ2- 5
2 λ+1 = 0 λ1 = 1
2 và λ2 = 2
Vậy nghiệm tổng quát un = A 1
2n + B.2n.
u0 = A + B = 0
u1 = A
2 + 2B = 1 A = -2
3 và B = 2
3 .
Vậy nghiệm riêng cần tìm là un = 2
3 (2-n – 2n)
Ví dụ 3: Tìm nghiệm un+2 = 10un+1 - 25un
Bài làm:
Phương trình đặc trưng: λ2- 10λ + 25 = 0 λ1 = λ2 = 5
Vậy nghiệm tổng quát un = (A + Bn)5n
Ví dụ 4: Tìm nghiệm un+2 - 2un+1 + un = 0 biết u0 = 1, u1 = 2
Bài làm:
Phương trình đặc trưng: λ2- 2λ+1 = 0 λ1 = λ2 = 1
Vậy nghiệm tổng quát un = A + Bn
u0 = A = 1
u1 = A + B = 2 A = B = 1.
Vậy nghiệm riêng cần tìm là un = 1 + n
Ví dụ 5: Tìm nghiệm un+2 - un+1 + un = 0
Bài làm: Phương trình đặc trưng: λ2- λ+1 = 0
λ1,2 = 1 i 3
2 , r = (1
2)2 + ( 3
2 )2 = 1, tgα =
3
2
1
2
= 3
Hệ phương trình
Hệ phương trình
Hệ phương trình