BIẾN ĐỐI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ - GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ
- Biểu thức hữu tỉ là một phân thức hoặc biểu thị một dãy các phép toán: cộng, trừ, nhân chia trên những phân thức.
- Biến đổi một hiểu thức hữu tỉ thành một phân thức nhờ các quy tắc của phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đã học.
2. Giá trị của phân thức
- Giá trị của một phân thức chỉ đuợc xác định với điều kiện giá trị của mẫu thức khác 0.
- Chú ý: Biểu thức hữu tỉ có hai biến x và y thì giá trị của biểu thức đó chi đuợc xác định vói các cặp số (x;y) làm cho giá trị của mẫu thức khác 0.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức.
Phương pháp giải: Ta xác định các giá trị của biến để mẫu thức khác 0.
;
;
;
a)
b)
c)
d)
x 3
5 x
2
4
x 2 2 x
1 2
x
4
2 27
x
x 6
2 2 x
Bài 2: Tìm x để giá trị của mỗi phân thức sau xác định:
2
.
;
;
;
a)
b)
c)
d)
3
4 a 3
a 8
b 6 3 2 b 2 b
3 2 5x
2
y
y 2 y 3
Bài 3: Tìm x để giá trị mỗi phân thức sau được xác định:
2
Bài 1: Tìm x để giá trị của mỗi phân thức sau xác định:
;
;
.
a)
b)
c)
d)
2
3
9
x
x 3 2 x 2
4 3
x
x
x 4
3
x
x 2 1 x 6
1 2 x
; x 2 x 1 16 9
Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỷ thành phân thức.
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Sử dụng kết hợp các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số đã học để biến đổi;
A B
Bước 2. Biến đổi cho tới khi được một phân thức có dạng với A và B là các đa thức, B khác đa
Bài 4: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức:
1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
thức 0.
1
y
2.
0x
;
B
x
a)
với
và
b)
với
1 2
1
2 A
2
4
y
4 y 2 y 2 y 2
Bài 5: Đưa các biểu thức sau thành phân thức:
3
y
2 1 x 1 x
2
1 y
9
0;3; 4.
x
0.y
a)
với
b)
với
1
2
2 A
1 y 3
1 y
9
Bài 6: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức:
2
4
2
x
N
,
x
3.
M
,
m
0,
n
0,
n
m 2 .
a)
b)
1 3 1
x
3
4 n n m m 1 2 m n
x
x 4 x 2 6 x 15 x 4 7 2
Dạng 3: Thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỷ.
2
.
A
4
x
1
x
a)
với
1
1 2
1 2
2
1
Bài 7: Thực hiện các phép tính sau: 1 x
x
0,
x
3.
B
với
b)
2
2
3
x
x
x
9
3
x
1 x 9 6
3
3
1
:
x 9 Bài 8: Rút gọn các biểu thức sau:
2
2
A
.
a
0,
a
Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số đã học để biến đổi.
b 4 ;
4 2 a
4 2 a
a a
a b ab 4
16 b 2 2 b
a b ab 4 2
B
y
1;
y
2.
a) với
2
y
2
y
y
y 3 4
1 : 1
2
x
6
P
'
Bài 9: Cho biểu thức
x 2
x
x 2 12
x
x 108 6 x x 6 2
b) với
;
a) Tìm điều kiện xác định; b) Rút gọn phân thức;
;
c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức P bằng
3 2 9 2
d) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng
e) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 1. Dạng 4: Tìm x để giá trị của một phân thức đã cho thỏa mãn điều kiện cho trước.
2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
Phương pháp giải: Ta sử dụng các kiến thức sau:
0
khi và chỉ khi A và B cùng dấu;
A B
0
khi và chỉ khi A và B trái dấu.
A B
•
Z
• Hằng đẳng thức đáng nhớ và chú ý a 2 0 vói mọi giá trị của a .
0b ta có:
b Ư (a).
a b
A
1;x
Bài 10: Cho phân thức
với
x x
2 1
1;A
• Với a;b Z và
. A
a) Tìm x để để b) Tìm x
3;x
Bài 11: Cho phân thức
với
2 2 x x 3
0;B
a) Tìm x để
để
b) Tìm x
. B
Bài 12:
A
a) Tìm x để phân thức
đạt giá trị lớn nhất;
2
x
12
B
b) Tìm x để phân thức
đạt giá trị lớn nhất.
2
8 x 4 5 x 2
x
11
x 2 B
HƯỚNG DẪN
Bài 1: Tìm x để giá trị của mỗi phân thức sau xác định:
;
;
;
a)
b)
c)
d)
x 3
5 x
2
4
x 2 2 x
1 2
x
4
2 27
x
x 6
2 2 x
Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức.
0;
3 x
2 x
3x
x
x
Hướng dẫn
1 2
Bài 2: Tìm x để giá trị của mỗi phân thức sau xác định:
2
.
;
;
;
a)
b)
c)
d)
3
4 a 3
a 8
6 3 b 2 b b 2
3 2 5x
2
y
y 2 y 3
a) b) c) d)
b
0; b
2
y
y 1;
a
Hướng dẫn
2
8 3
Bài 3: Tìm x để giá trị mỗi phân thức sau được xác định:
2
a) b) d) c) x
;
;
.
a)
b)
c)
d)
2
3
9
x
3 x 2 x 2
4 3
x
x
x 4
3
x
1 x 2 x 6
1 2 x
3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
; x 2 x 1 16 9
Hướng dẫn
x b)
3x c) x 0; x
3 2
4 3
a) d) x 0; x 1; x 3.
Bài 4: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức:
1
Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỷ thành phân thức.
y
2.
0x
;
B
x
a)
với
và
b)
với
1 2
1
2 A
2
y
4
4 y 2 y 2 y 2
2 1 x 1 x
A
2
: 2
a)
1 x
1 x
2 2
x x
1 1
2
2
2
Hướng dẫn
2
2
Bài 5: Đưa các biểu thức sau thành phân thức:
3
y
y 2 y 4 y 4 B 1 : 1 : . b) y 2 y 4 y y 2 2 y y 4 2 y y 4 4 y y 2 2 y y 2 4 y 2 y 2 2 y 2 2
2
1 y
9
0;3; 4.
x
0.y
a)
với
b)
với
1
2
2 A
1 y 3
1 y
9
x 4 x 2 6 x 15 x 4 7 2
2
2
x
15
x
12
A
:
2
Hướng dẫn
15 x 4
x 2
6 x
7 2
7 2
x x
8 4
x 5 x 2( 4)
2
x x 3
a)
b)
2
2
1 y
x 4
:
Bài 6: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức:
2
4
2
x
N
,
x
3.
M
,
m
0,
n
0,
n
m 2 .
a)
b)
1 3 1
x
3
4 n n m m 2 1 m n
x
y 1 B 3 y : 1 1 9 : 3 y 1 2 1 y 9 1 y 3 9 3 y 2 9 y y 27 y 9
2
Hướng dẫn
2
(2 ) ( M . . a) Ta có m n 2 m 2 ) n m n m m n . n m 2
3) x x 1 N b) Ta có 1 3 x x ( 3 3 3
4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
Dạng 3: Thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỷ.
2
.
A
4
x
1
x
a)
với
1
1 2
1 2
2
1
Bài 7: Thực hiện các phép tính sau: 1 x
x
0,
x
3.
B
b)
với
2
2
x
3
x
x
9
3
x
x
9
1 x 9 6
3
3
1
:
2
x
1)
(2
x
2
2
3 4
x
A
4
x
Hướng dẫn
a)
1
3
(
x
B
.
x (4 1) (2 1) x x 1)(2 1) (2 9 3 3)( x x 3) x x 3
x
3
2
Bài 8: Rút gọn các biểu thức sau:
2
2
A
.
a
0,
a
b)
b 4 ;
4 2 a
4 2 a
a a
a b ab 4
16 b 2 2 b
a b ab 4 2
B
y
1;
y
2.
a) với
2
y
2
y
y
y 3 4
1 : 1
b) với
2
2
2
2
2
B
Hướng dẫn
a)
b)
2
y 2 y 2 4 . y y 2 4 4
y 2 y 2 2
A . a a 8 a 16 b 2 2 b ) b 2 b 16 8( a 2 a a
2
x
6
P
'
Bài 9: Cho biểu thức
x 2
x
x 2 12
x
x 108 6 x x 6 2
;
a) Tìm điều kiện xác định; b) Rút gọn phân thức;
;
c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức P bằng
3 2 9 2
d) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng
e) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 1.
2
3
Hướng dẫn
b) Gợi ý:
x 6)( x 2 x 6) x
Ta tìm được
0 6; x x a) Tìm được 2 6 x x 36 ( 4 2 2 x x 2
6 x P
2
c) Ta có
1(
x
3 P x 5 x 6 0 x ( 3)( x 2) 0 (TM) 3 2
2
x x 2 TM )
KTM hoặc ) 2 0
e)
( vô nghiệm)
6 0 P 4 x x
x 6( d) Tương tự câu c) tìm được 2 x 2) ( với mọi x. Do vậy x 2 2 0
Vì
5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
1 2 x 2) (
A
1;x
Bài 10: Cho phân thức
với
x x
2 1
1;A
Dạng 4: Tìm x để giá trị của một phân thức đã cho thỏa mãn điều kiện cho trước.
. A
a) Tìm x để để
0
x
1
a) Ta có A >1 dẫn đến
(TMĐK)
x
1
3
x
x
(
1)
A
1
b) Ta có:
nên
nhận giá trị là Ư(3). Từ đó tìm được
2;0; 2; 4
x
1
3
b) Tìm x Hướng dẫn
3;x
Bài 11: Cho phân thức
với
A 2 2 x x 3
0;B
a) Tìm x để
để
b) Tìm x
. B
x 2 B
2
2
B
0
x
3
x
2
x
x
0
a) Ta có
nên
1 2
7 4
7 4
x
(
3)
B x
2
b) Ta có
nên
nhận giá trị là Ư(8). Từ đó tìm được
B
x
8
x
3 5; 1;1; 2; 4;5;7;11 .
Bài 12:
A
a) Tìm x để phân thức
đạt giá trị lớn nhất;
2
x
12
B
b) Tìm x để phân thức
đạt giá trị lớn nhất.
2
8 x 4 5 x 2
x
11
Hướng dẫn
2
2
Hướng dẫn
1.M
2
1 x 4
x
12
1 8
x 4 x x 2) 8 8 12 ( a) Ta có hay dẫn đến Từ đó tìm được giá
2
2
trị lớn nhất của M = 1 khi x = 2.
N
2
1 11 10
x
1 2
1 x
N
x 2 x x 1) 11 ( 10 10 b) Tương tự ta có hay
1 2
Giá trị nhỏ nhất của khi x = -1
;
M a
0
Chú ý : Ở bài 12. Ta dựa vào lập luận
0 M a
- Nếu
1 1 M a 1 1 M a B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
- Nếu
Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức.
2
Bài 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức:
2
2
4
x
x 1 2 4 x
2
a) b) x x 9 4 16
2
5 x 22 x
3 x
c) d) x x 4 1
1
2x
Bài 2: Tìm điều kiện xác định của phân thức:
2
2
2 x y 2
x
x
y
2x 1
y
5x
y
a) b)
x 2
2
2
(
x
3)
(
y
2)
x
6x 10
c) d)
2
x
x
6
Bài 3: Tìm điều kiện xác định của phân thức:
5 2
x
1
4
2
x
1
a) b) 2 1)( ( x x 3)
2
2
2
x
y
2
x
2
x
5
x
6
c) d)
Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỷ thành phân thức.
Bài 4:Rút gọn các phân thức sau:
x 5 10
2 3 x y 21 xy 6
( y 0) ( xy 0) a) b) c) xy 4 y 2
2
x
y 2 4
) ( x y ) ( x y ) d) e) f) 5 3 x x 5 3 y y y ) x x x 15 ( y 3(
2
2
x
x
3
(
x
0,
x
4)
(
x
3)
Bài 5: Rút gọn các phân thức sau:
16 2
4 x 6 2 x
4
x
x
3
2
15 (
x x
y
x
xy
y x ( (
y
)
0)
(
x
y y ,
0)
a) b)
) 2
2
5 (
y x
y
)
3
xy
3
y
2
2
2
3
2 )(
x x
(2
2)
x
xy
x
c) d)
A
B
x
5,
y
10
3
2 x y 3
3
1 x 2
(
x
4 )(
x x
1)
y
x
Bài 6: Rút gọn, rồi tính giá trị các phân thức sau: a) với b) với
Dạng 3: Thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỷ.
7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
Bài 7: Thực hiện phép tính:
x
x
x
y
5 1
5
5
8
y2 8
2
2
2
x
x
x
2 x y
2 x y
5
4
a) b)
xy
1 4 xy
xy
xy
xy 3
xy 3
4
2
2
1 2
c) d)
x 10
x 3 10
x 15
x 20
2
x
x
a) b) Bài 8: Thực hiện phép tính: x 2 15
3 2
21 2 x
2 x
2
1
x
x x 2
1 2
2
x
1 24 x
x
2 2
c) d)
2
x
xy
y
x
x
y
5
Bài 9: Thực hiện phép tính:
3
y
2 x
x
x
1
22 x 10 xy 2
6 6 3
2
x
x
4
2
a) b)
x
x
y
2
x
2 y y
x c) d) 3 2 x y x y 1 2 y x
2
3
3
3
x
x
x
x
4
2
2
Dạng 4: Tìm x để giá trị của một phân thức đã cho thỏa mãn điều kiện cho trước.
x
2 2 x 1
2 1
x x 2
b) a) c) Bài 10: Tìm các giá trị nguyên của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị nguyên: 22 x x 2
1
Bài 11:Tìm giá trị của biến x để:
2
x
x
2
6
2
x
1
Q
a) P đạt giá trị lớn nhất
x 2
x
x
2
1
b) đạt giá trị nhỏ nhất
8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
HƯỚNG DẪN
Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức
2
Bài 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức:
x 2
2
2
4 x b) 3
4
x
x 1 2 4 x
điều kiện xác định điều kiện xác định a) x x 9 4 16
2
x
0,
x d) 1
2
1 2
5 x 22 x
3 x
điều kiện xác định điều kiện xác định c) x x 4 1
Bài 2: Tìm điều kiện xác định của phân thức:
x
2
1x
2
2
2 x y 2
x
x
2
1
x
y
5
0 1 điều kiện xác định điều kiện xác định b) a) 0 x y x y
2
x
x
6
10
c) điều kiện xác định x
2
3 y điều kiện xác định d) 2 x y x 2 3) ( ( 2) x y
2
x
x
6
Bài 3: Tìm điều kiện xác định của phân thức:
x b) 1
5 2
x
x
(
3)
2 1)(
x
1
x
2
1
2
x
x
x
x
5
0
6
3
2
điều kiện xác định điều kiện xác định a) 1 3 x x
2
2 3
x 0 x
x
x
5
6
2
điều kiện xác định c)
2
2
2
x
y
x
x
y
2
2 0
1 0 ( luôn đúng
4 điều kiện xác định d)
1
2
2
x y
với mọi x 2 2 ,x y )
Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỷ thành phân thức.
2
xy
2x
y
xy
(
0)
(
0)
Bài 4:Rút gọn các phân thức sau:
x 2
7 2
x5 10
xy 4 y 2
2 3 x y 21 xy 6
x
y
x
2
2
y
)
x
y
x
y
(
)
(
)
a) b) c)
y 2
5 3
x x
y y
4
5 3
5 3
x x 15 ( y 3(
x )
5
d) e) f)
9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
Bài 5: Rút gọn các phân thức sau:
2
x
x
x
(
0,
4)
16 2
x
x
4
x
3
x
(
3)
2 4 x x 6 2
x
3
x
4
4
x
1
2
x
x x
x 1 2 x 3
x 4 x 4
2
a) b)
x x
y
15 (
y
y x ( ,(
) 0)
2
y x
y
5 (
3 ) 2 )
y
3x x
x xy x ( y y , 0) d) c) xy y 3 3
y
x x y x 3
y y
x y 3
2
2
Bài 6: Rút gọn, rồi tính giá trị các phân thức sau:
3
1 2
2
2
2
2
x x x (2 2 )( 2) A a) với x x x x ( 4 )( 1)
3
2 x
x 2
2 x
x x 2
2 x 1 x
2 x x
1
x x x (2 2 )( 2) A Ta có x x x ( 4 )( 1)
vào biểu thức A ta có:
1 2
Thay x
2 2 2. A 2
3
2
1 1 2 1 2 3 2 3 2
y5,
10
2 x y 3
2
2
2
3
x xy B b) với x 3 y x
2
2
2 x y 3
xy y xy x B Ta có 3 x y x x xy
y
x y x
x x y
B
1
y5,
10
5 5 10
Thay x vào biểu thức B ta có:
Dạng 3: Thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỷ.
x
x
y
x
5 1
4 5
y 8
5
5
8
y2 8
2
x
1
x
x
x
Bài 7: Thực hiện phép tính: x a) b)
xy
1 4 xy
2 5 x xy
10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
c)
2
2
xy
5
y
x
x
xy
4
y
5
x
x
4
2 x y
2 x y
5
4
3
y
y 3
y 3
xy
xy
xy
3
xy
3
xy 3
xy 3
d)
4
2
x 10
3 2 x 2 x x x a) 5 15 2 15 2x 8 15 Bài 8: Thực hiện phép tính: x 2 2 15 15
2
4 2
1
3 2
1 2
x 3 10
x 15
x 20
2
2
x
x x 23 2 b) x 18 60 60 60 x 60
3 2
2
x
x
x
x x 2
1 2
1 x x 1
3 1
2 1
x
2
2
2
x
3 x
2
x
4 x
x
2 x
x x
x
2 2 2 1 x 1
1
1
1
2 x 1
1
x 1
1
2
2
x
x
c)
1 2 x 2
2 x
2
x
x
1
21 x 2
2 x
2
1
2
x
x 2
x
2
x
2
x
1 x 2
x
2
x
1 24 x
2
1 1
x 4 x 2
1
1
x 1 2 1 2
x 4 x 2
2
x
1
2
2 x
1
d)
2
xy
y
x
x
y
x
5
Bài 9: Thực hiện phép tính:
3
y
2 x
x
x
1
22 x 10 xy 2
6 6 3
2
x
x
4
2
b) a)
y
2x x
x y 5 y x x y 5 y y 2 x x x 2 1 4 6 3 2 x 2 x x
2
x
x
2
4
2
x
x
2
1
x
2
x
2
x
2
x
x 2
2 x
2
2
x
2 x x 2
2
x
6 x 2
2
x
x
y
2
x
2 y y
2
2
x
y
x
y
x
x y
y x
y
x
y
2
y x x y
3 y x
x
2 y
x x
y y
11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
x c) d) 3 2 x y x y 1 2 y x
2
2
2
x
2
xy
y
3 x x
3 y 3 x y
y
2 y x
Dạng 4: Tìm x để giá trị của một phân thức đã cho thỏa mãn điều kiện cho trước.
2
3
x
2
x
2
x
Bài 10: Tìm các giá trị nguyên của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị nguyên:
1
1 1
2
x
U 1
2 2 x x x 1 x x 1, 2 2 . Ta có bảng giá trị:
a) . Do x để biểu thức nhận giá trị nguyên thì
1x
-2 -1 1 2
-1 0 2 3 x
x
1,0, 2,3
2
3
x
4
x
4
2
x
Vậy Thì biểu thức có giá trị nguyên.
x x
2 2
x
2
4
22 x x 2
x
U
2
. Ta có bảng giá trị:
4
1, 2, 4
b) .
Do x để biểu thức nhận giá trị nguyên thì
2x
-4 -2 -1 1 2 4
-2 -1 0 2 3 6 x
x
2, 1,0, 2,3,6
3
2
x
x
x
1) 1
x
x
2
2
2 2
2
x
1
Vậy thì biểu thức có giá trị nguyên.
1
2
1 x
1 (2 x 2 1
x x 2
2 1
2
x
U 1
1 1 .
c) =
Do x để biểu thức nhận giá trị nguyên thì
2x
-1 1
x
1 3 x
1,3
1
Vậy thì biểu thức có giá trị nguyên.
2
x
5
x
x
6
2
5 min
5 5
x
x
Do đó
Max P khi
x 1
21
a) P Bài 11:Tìm giá trị của biến x để: 1 2 1
21
1 5
2
x
1
Q
mà Để maxP thì
x 2
x
x
2
1 12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
b) đạt giá trị nhỏ nhất
Q
khi x
min
. 1
3 4
ĐS:
13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========
