CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
cos
cos
sin
sin
B
a
a
C c ;
tan
cot
tan
cot
B
c
C a C b
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Định lí Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng: • Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề; • Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề Trong hình bên thì: C c B a b ; b B c b II. Giải tam giác vuông Là tìm tất cả các cạnh và góc của tam giác vuông B khi biết hai yếu tố của nó (trong đó ít nhất có một yếu tố về độ dài).
B. MỘT SỐ DẠNG BÀI CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, B . Tính giá trị của để BH = 3CH.
Giải
Đặt AH = h.
Xét ABH vuông tại H ta có:
BH = AH.cot B = h.cot .
Xét ACH vuông tại H ta có:
CH = AH.cot C = AH.tan B = h.tan .
2
3 .tan 3 tan BH 3 CH .cot h h 1 tan
tan tan tan 30 30 1 3 3 3
C
50
Nhận xét: Trong bài giải ta đã biểu diễn BH và CH theo AH và theo một tỉ số lượng giác của góc . Từ mối quan hệ giữa BH và CH ta tìm được giá trị của .
35 ,
và đường cao AH = 5,0cm.
Ví dụ 2. Giải tam giác ABC biết B
Giải
A
180
95
B C
Ta phải tìm A , AB, AC và BC.
.sinB
8, 7
cm
AH AB
AB
AH 5, 0 sinB sin 35
.cotB 5, 0.cot 35
7,1
cm
BH AH
• Xét ABH vuông tại H ta có:
1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
.sin
C
6,5
cm
AH AC
AC
AH C sin
5, 0 sin 50
.cot
C
5, 0.cot 50
4, 2
cm
CH AH
BC BH CH
7,1 4, 2 11,3
cm
• Xét ACH vuông tại H ta có:
AB
8, 7
cm AC ;
6,5
cm BC ;
11,3
cm
95 ;
Do đó
B CH AC
.cos
.cos
C
;
Vậy A
Lưu ý: Sau khi tính được AB và AC, có thể tính BH và CH theo AB và AC: BH AB
Tuy nhiên, ta nên tính BH và CH theo các số đo đã cho trong đề bài để kết quả được chính xác hơn.
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định. Biết BC = 4cm, AB + AC = 8cm. Tính giá trị lớn nhất của góc A.
Giải
Vẽ đường phân giác AD. Vẽ BH AD và CK AD.
.sin
;
sin
BH AB
CK AC
A 2
A 2
Xét ABH vuông tại H, ACK vuông tại K, ta có:
8sin
BH CK
AB AC
sin
A 2
A 2
Vậy
BH CK BD CD BC
4
cm
Mặt khác ,
8sin
sin
sin 30
4
A 2
1 2
A 2
nên
30
60
A
A 2
Do đó
max 60 vậy A khi D, H, K trùng nhau ABC đểu.
Nhận xét: Nhờ có việc vẽ đường phân giác AD và các đường thẳng BH, CK cùng vuông góc với AD mà ta tìm được sự liên hệ giữa AB, AC với BH, CK; sự liên hệ giữa BH, CK với BC. Do đó giữa AB, AC và BC có sự liên hệ với nhau, từ đó tìm được số đo của góc A.
Ví dụ 4. Chứng minh định lí côsin: Trong một tam giác nhọn, bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia trừ đi hai lần tích của hai cạnh ấy với côsin của góc xen giữa của chúng.
Giải
2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
2
2
2
BC
HB
HB HC
AC AH
2
2
2
AC
AC AH AH
.
2
2
2
HB
AH
AC
2
AC AH .
2
2
HB AB
AC
AC AH .
2 2
1
Vẽ đường cao BH. Xét HBC vuông tại H ta có:
2
2
2
Xét ABH vuông tại H ta có : AH = AB. cosA
BC
AB
AC
2
AC AB .
.cosA
Thay vào (1) ta được
Nhận xét: Trong một tam giác nhọn, nếu biết hai cạnh và góc xen giữa thì nhờ định lí côsin ta có thế tính được cạnh thứ ba.
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
• Vận dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để chứng minh hoặc tính toán
Bài 1. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:
a) AD.BE.CF = AB.BC.CA.sin A.sin B.sin C; b) AE.BF.CD = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C.
A B B C C A AB BC CA
.cos .cos .cos
C
A
B
'.
'.
.
.
.
.
'
'
'
'
90
0
Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ các đường cao AA', BB', CC’. Chứng minh rằng: AB BC CA
. Tính độ dài ngắn nhất của AB.
Bài 3. Cho đường thẳng xy và điểm A cố định cách xy là 2cm. Gọi M là một điểm di động trên xy. Vẽ tam giác ABM vuông tại M sao cho ABM
BC 3 3 cm . Điểm A di động sao cho AB + AC = 6cm.
Bài 4. Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định và Tính giá trị lớn nhất của góc A.
Bài 5. Cho tam giác ABC, AB = 14cm, AC = 11cm và 40 B . Tính độ dài BC.
Bài 6. Cho tam giác ABC, AB = 3,2cm; AC = 5,0cm và 70 B . Tính độ dài BC.
C
65
40 ,
Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A, góc ở đáy bằng < 90°. Vẽ các đường cao AH và BK. Biết BK = h, tính AH.
Bài 8. Cho tam giác ABC, B
a) Tính số đo của góc tạo thành bởi đường cao AH và đường trung tuyến AM (làm tròn đến độ);
b) Cho biết BC = 45cm, tính độ dài AH (làm tròn đến centimet).
Bài 9. Tam giác ABC là tam giác nhọn hay tam giác tù nếu có:
a) 50 b) 55 A , AB = 2,4cm, AC = 6,2cm; A , AB = 3,5cm, AC = 4,5cm.
64 A , AB = c, AC = 4,5cm. Xác định giá trị của c để tam giác Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, ABC là tam giác tù.
D AB E AC ,
; F, G BC
4cm, BC = 6cm. Một hình chữ nhật DEFG nội tiếp tam giác . Chứng minh rằng diện tích hình chữ nhật DEFG nhỏ hơn 6cm2. Bài 11. Cho tam giác nhọn ABC, AB = đó với
3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
BC 39 cm và CA = 7cm. Tính số đo góc A. Bài 12. Cho tam giác ABC, AB = 5cm,
a BC )
6,8
cm B ;
C
b BC )
6,8
cm B ;
C
35
62 ;
53
40 ;
Bài 13. Giải tam giác ABC, biết:
Bài 14. Giải tam giác ABC, biết: AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 6cm (các số đo góc làm tròn đến độ).
68 A , AB = 5,0cm, AC = 5,7cm (làm tròn các độ dài đến chữ số thập Bài 15. Giải tam giác ABC, biết: phân thứ nhất, làm tròn các số đo góc đến độ).
50 A , AB = 4,6cm, BC = 3,7cm (làm tròn số đo góc đến độ, làm tròn Bài 16. Giải tam giác ABC, biết: độ dài đến hàng phần mười).
HƯỚNG DẪN
• Vận dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để chứng minh hoặc tính toán
Bài 1. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:
a) AD.BE.CF = AB.BC.CA.sin A.sin B.sin C;
b) AE.BF.CD = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C.
Giải
a) ACD vuông tại D, có AD = ACsin C.
ABE vuông tại E, có BE = ABsin A.
BCF vuông tại F, có CF = BCsin B.
Suy ra AD.BE.CF = AB.BC.CA.sin A.sin B.sin C.
b) ABE vuông tại E, có AE = ABcos A.
BCF vuông tại F, có BF = BCcos B.
ACD vuông tại D, có CD = ACcos C.
Suy ra AE.BF.CD = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C.
A B B C C A AB BC CA
.cos .cos .cos
C
A
B
'.
'.
.
.
.
.
'
'
'
'
Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ các đường cao AA', BB', CC’. Chứng minh rằng: AB BC CA
Giải
ABB' vuông tại B', có AB' = ABcos A.
BCC’ vuông tại C', có BC' = BCcos B.
CAA' vuông tại A', có CA' = ACcos C.
Suy ra AB'.BC'.CA' = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C.
Chứng minh tương tự ta được:
A'B.B'C.C'A = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C.
Do đó AB’.BC’.CA' = A'B.B'C.C'A 4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
= AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C.
Nhận xét: Vì ba đường cao tam giác cùng đi qua một điểm nên nếu đề bài chỉ yêu cầu chứng minh
1
.
.
từ đó suy ra ngay đpcm.
' ' A B B C C A A C B A C 'B '
' '
90
0
AB'.BC’.CA' = A'B.B'C.C’A thì theo định lí Xê-va ta có
. Tính độ dài ngắn nhất của AB.
Bài 3. Cho đường thẳng xy và điểm A cố định cách xy là 2cm. Gọi M là một điểm di động trên xy. Vẽ tam giác ABM vuông tại M sao cho ABM
Giải
.sin
AM AB
AB
AM sin
2
M H
AM cm
ABM vuông tại M, có
Do đó AB ngắn nhất AM ngắn nhất
min
AB
2 sin
Vậy khi M H
BC 3 3 cm . Điểm A di động sao cho AB + AC = 6cm.
Bài 4. Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định và Tính giá trị lớn nhất của góc A.
Giải
BH BD CK CD ,
Vẽ đường phân giác AD. Vẽ BH AD,
CK AD. Ta có
.sin
BH AB
Suy ra BH CK BD CD BC
A 2
ABH vuông tại H, có:
.sin
CK AC
A 2
ACK vuông tại K, có:
6 sin
3 3
BH CK
AB AC
.sin
A 2
A 2
A 2
Do đó mà BH CK BC 3 3 cm nên 6 sin
sin
sin 60
60
120
A
. Suy ra
A 2
3 3 6
3 2
A 2
Do đó
Vậy max 120 A khi H K D ABC vuông cân tại A.
Bài 5. Cho tam giác ABC, AB = 14cm, AC = 11cm và 40 B . Tính độ dài BC.
Giải
* Tìm cách giải
5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Vẽ đường cao AH để vận dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông. Tính HB và HC từ đó tính được BC.
* Trình bày lời giải
.sin
B
14sin 40
9.0
AH AB
.cos
B
14.cos 40
10, 7
cm
BH AB
cm
Vẽ đường cao AH. Xét ABH vuông tại H có:
2
2
2
HC
AC
AH
2 11
9
6,3
cm
BC BH HC
10, 7 6,3 17
cm
Xét AHC vuông tại H có:
BC
'
cm
• Nếu H nằm giữa B và C thì
BH HC
' 10, 7 6,3 4, 4
• Nếu C’ nằm giữa B và H thì
70 Bài 6. Cho tam giác ABC, AB = 3,2cm; AC = 5,0cm và B . Tính độ dài BC.
Giải
.sin
B
3, 2sin 70
3, 0
AH AB
.cos
B
3, 2.cos 70
BH AB
cm 1,1
cm
Vẽ đường cao AH. Xét ABH vuông tại H có:
2
2
2
2
HC
AC
AH
5, 0
3, 0
4, 0
cm
Xét AHC vuông tại H có:
Điểm C không thể nằm giữa H và B vì trên tia HB có HC > HB.
BC BH HC
1,1 4, 0 5,1
cm
Chỉ còn trường hợp điểm H nằm giữa B và C.
Ta có
Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A, góc ở đáy bằng < 90°. Vẽ các đường cao AH và BK. Biết BK = h, tính AH.
Giải
.sin
BK BC
BC
BK sin
h sin
Xét KBC vuông tại K, có:
HB HC
h 2 sin
.tan
.
AH HC
Vì ABC cân tại A nên
h 2 sin
h 2 cos
sin cos
C
65
40 ,
Xét AHC vuông tại H có:
Bài 8. Cho tam giác ABC, B
a) Tính số đo của góc tạo thành bởi đường cao AH và đường trung tuyến AM (làm tròn đến độ); 6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
b) Cho biết BC = 45cm, tính độ dài AH (làm tròn đến centimet).
Giải
cot
B CH AH
;
cot
tan
;
Đặt MAH
BH AH
MH
a) Xét ABH và AHC vuông tại H ta có: C MH AH
BH CH
BM MH
CM MH
2
AH
cot
cot
C
2
Ta có
B AH
AH tan
B
cot
C
2 tan
Do đó
cot
B
cot
C
cot 40
cot 65
Suy ra cot
tan
0,3627
2
2
tan
tan19 56'
20
AH
cot
cot
C
AH
cot
B
cot
C
45
Hay
B AH
45
b) Ta có BH + CH = BC hay
AH
27
cm
cot
B
cot
C
cot 40
cot 65
45
45
Suy ra
Bài 9. Tam giác ABC là tam giác nhọn hay tam giác tù nếu có:
a) 50 A , AB = 2,4cm, AC = 6,2cm;
b) 55 A , AB = 3,5cm, AC = 4,5cm.
Giải
.cos
A
6, 2.cos 50
4, 0
cm
AH AC
a) Vẽ CH AB. Xét ACH vuông tại H, ta có:
Trên tia AB có AB < AH nên điểm B nằm giữa A và H.
Suy ra 90 ABC H
Vậy ABC là tam giác tù.
.cos
A
4,5.cos 55
2, 6
cm
AH AC
b) Vẽ CH AB, BK AC. Xét ACH vuông tại H, ta có:
.cos
A
3,5.cos 55
2, 0
cm
AK AB
Xét ABK vuông tại K, ta có:
• Trên tia AB có AH < AB nên điểm H nằm giữa A và B.
H nên HBC nhọn. Xét HBC có 90
• Trên tia AC có AK < AC nên điểm K nằm giữa A và C.
7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
K nên ACB nhọn. Xét KBC có 90
Tam giác ABC có ba góc nhọn nên là tam giác nhọn.
64 A , AB = c, AC = 4,5cm. Xác định giá trị của c để tam giác Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, ABC là tam giác tù.
Giải
.cos
A
4,5.cos 64
2, 0
cm
AH AC
Vẽ CH AB, BK AC. AHC vuông tại H, ta có:
.cos
.cos 64
AK AB
A c
AKB vuông tại K, ta có:
ABC tù B tù hoặc C tù.
90
2
c hay c
• Xét trường hợp B tù.
AH AB
2 và
0c
Ta có B
o
• Xét trường hợp C tù.
c
90
c .c os64
4,5
10,3.
AK AB
o
4,5 cos64
Ta có : C
c
10, 3
cm
2c
cm
hoặc Tóm lại, ABC tù khi 0
D AB E AC ,
; F, G BC
4cm, BC = 6cm. Một hình chữ nhật DEFG nội tiếp tam giác . Chứng minh rằng diện tích hình chữ nhật DEFG nhỏ hơn 6cm2. Bài 11. Cho tam giác nhọn ABC, AB = đó với
AD x
DB
4
x
Giải
thì
;
/ /DE BC suy ra
Ta đặt B
DE BC
AD AB
(hệ quả định lí Ta-lét) Ta có
DE
AD BC x .6 4
. AB
x 3 2
.sin
4
x
sin
DG DB
Do đó
Xét DBG vuông tại G, ta có
S DE DG
.
x
4
x sin
3 2
2
2
x
x
Diện tích hình chữ nhật DEFG là
x
4
x
4
ab
4 2
a b 2
Vận dụng bất đẳng thức Cô-si đối với hai số không âm ta được
(dấu “=” xảy ra khi x = 4-x x = 2).
8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
S
.4 sin
6sin
3 2
Do đó
1
nên
S
6
cm
Vì 0 sin khi D là trung điểm của AB.
2
Bài 12. Cho tam giác ABC, AB = 5cm, BC 39 cm và CA = 7cm. Tính số đo góc A.
Giải
2
2
2
2
2
Xét ABC có CA là cạnh lớn nhất nên góc B là góc lớn nhất.
AC
BA
BC
Ta thấy (vì 7 5 39 ) nên góc B là góc nhọn (xem bài 1.18).
2
2
2
2
2
2
Do đó ABC là tam giác nhọn. Theo định lí cô-sin ta có:
BC AB AC 2 AB AC . .cosA 5 7 2.5.7.cos A 39
2
cos
,
A
1 2
do đó 60 Suy ra A
Bài 13. Giải tam giác ABC, biết:
a BC ) 6,8 53 62 ;
cm B ; cm B ; C C b BC ) 6,8 35 40 ;
Giải
a) Ta có A 180 65 B C
a sin
A
b sin
B
c sin
C
Vì ABC nhọn nên theo định lí sin ta có:
6,8 sin 65
b sin 62
c sin 53
Do đó
b
6, 6
;
6, 0
cm
cm c
6,8.sin 62 sin 65
6,8.sin 53 sin 65
Suy ra
Nhận xét: Để giải tam giác trường hợp (g.c.g) ta dùng định lí sin.
b) Ta có A 180 105 B C
Vậy ABC là tam giác tù, không vận dụng được đính lí sin.
Vẽ đường cao AH. Vì các góc B và C nhọn nên điểm H nằm giữa B và C.
cot
B
, CH AHcotC
BH AH
AH
cot
B
cot
C
6,8
Ta có
nên Mà BH CH BC
9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2, 6
cm
AH
cot 40
cot 35
6,8
.sin
B
AH AB
ABH vuông tại H, có
AB
4, 0
cm
AH B sin
2, 6 sin 40
.sin
C
AH AC
Suy ra
AC
4,5
cm
ACH vuông tại H, có
AH C sin
2, 6 sin 35
Suy ra
Bài 14. Giải tam giác ABC, biết: AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 6cm (các số đo góc làm tròn đến độ).
Giải
2
2
2
2
2
Xét ABC, cạnh BC là cạnh lớn nhất nên góc A là góc lớn nhất.
2 6 )
BC
AB
AC
Ta có (vì 7 5 nên góc A là góc nhọn (xem bài 1.18).
2
2
2
Vậy ABC là tam giác nhọn. Theo định lí cô-sin, ta có:
BC
AB
AC
2
AB AC .
.cos
A
2
2
2
•
7
5
6
2.5.6.cos A
Do đó
cos
,
A
1 5
2
2
2
do đó 78 Suy ra A
AC
AB
BC
2
AB BC .
.cosB
2
2
2
•
6
5
7
2.5.7.cos B
Do đó
cos
,
B
19 35
Suy ra do đó 57 B
180
78
57
45
C
•
Nhận xét: Để giải tam giác khi biết ba cạnh ta thường sử dụng định lí cô-sin.
68 A , AB = 5,0cm, AC = 5,7cm (làm tròn các độ dài đến chữ số thập Bài 15. Giải tam giác ABC, biết: phân thứ nhất, làm tròn các số đo góc đến độ).
Giải
.sin
A
5, 7.sin 68
5,3
cm
CH AC
.cos
A
5, 7.cos 68
2,1
cm
AH AC
Vẽ CH AB. Xét ACH vuông tại H, ta có:
Trên tia AB có AH < AB (2,1 < 5,0) nên điểm H nằm giữa A và B. Do đó BH = 5,0 - 2,1 = 2,9 (cm).
10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
2
BC
CH
BH
2 5,3
2,9
6, 0
cm
Xét HBC vuông tại H, ta có:
2
2
2
2
2
Xét ABC có BC là cạnh lớn nhất nên góc A là góc lớn nhất.
2 5, 7 )
BC
AB
AC
2
2
cos
B
0, 4752
62
(vì 6 5 nên góc A là góc nhọn, suy ra ABC nhọn. Do đó Ta có 2 5, 7 5, 0 6, 0 2.5, 0.6, 0.cos B
B
Suy ra
180
68
62
50
C
Từ đó
50 A , AB = 4,6cm, BC = 3,7cm (làm tròn số đo góc đến độ, làm tròn Bài 16. Giải tam giác ABC, biết: độ dài đến hàng phần mười).
Giải
.cos
A
4, 6.cos 50
AH AB
.sin
A
4, 6.sin 50
3,5
cm
BH AB
3, 0
cm
Vẽ BH AC. ABH vuông tại H, ta có:
2
2
2
HC
BC
BH
3, 7
2 3,5
1, 2
cm
AC AH HC
3, 0 1, 2 4, 2
cm
HBC vuông tại H, ta có:
• Nếu H nằm giữa A và C thì
Khi đó 90 sin sin 71 C C và 3,5 3, 7 BH BC
180
50
71
59
B
AC
'
cm
Suy ra 71 C và
AH HC
' 3, 0 1, 2 1,8
• Nếu C’ nằm giữa H và A thì
Khi đó ' 90 AC B
180
50
109
21
Ta có AC B ' BC C C ' 71 180 71 109 và AB C '
C.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ
= MN MP
. sin
P
= MN MP
. cos
P
= MN MP
. tan
P
= MN MP
. cot
P
Câu 1: Cho tam giác MNP vuông tại N . Hệ thức nào sau đây là đúng?
. B. . C. . D. . A.
Câu 2: Cho tam giác MNP vuông tại N . Hệ thức nào sau đây là đúng?
11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
M
N
P
= NP MP
. cos
P
= NP MN
. cos
P
= NP MN
. tan
P
= NP MP
. cot
P
BC a AC b AB c
=
=
,
,
= . Chọn khẳng định sai?
. B. . B. . D. . A.
2
2
b
=
a
. sin
B
=
a
. cos
C
a
=
c
. tan
B
=
c
. cot
C
c
=
a
. sin
C
=
a
. cos
B
a
b
Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có
2 = + . D. c
BC a AC b AB c ABC
=
=
=
,
,
,
50
. B. . C. . A.
= . Chọn khẳng định
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có
b
c=
. sin 50
b
a=
. tan 50
b
c=
. cot 50
c
b=
. cot 50
đúng?
.
.
.
.
AC
=
10
30
cm C ,
A. B. C. D.
= . Tính
;AB BC .
AB
=
;
BC
=
AB
=
;
BC
=
Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có
20 3 3
5 3 3
14 3 3
10 3 3
AB
=
;
BC
=
20 3
AB
=
;
BC
=
A. B. . .
10 3 3
20 3 3
10 3 3
AC
=
20
60
cm C ,
= . Tính
;AB BC .
C. . D. .
AB
=
20 3;
BC
AB
=
20 3;
BC
=
40 3
AB
=
20;
BC
=
20 3
AB
=
20;
BC
= .B. 40
Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có
= .D. 40
BC
=
12
cm B ;
40
= . Tính
;AC C (làm tròn đến chữ số thập
.C. . A.
Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại A có
C
AC
»
7, 71;
40
AC
»
7, 72;
50
AC
»
7, 71;
50
AC
»
7, 73;
C
C
C
phân thứ hai)
= . B.
= . C.
= . D.
= . 50
BC
=
15
cm B ,
55
= . Tính
;AC C (làm tròn đến chữ số thập
A.
Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại A có
C
C
C
AC
»
12, 29;
45
AC
»
12, 29;
35
AC
»
12, 2;
35
AC
»
12, 92;
C
phân thứ hai).
= . B.
= . C.
= . D.
= . 40
BC
=
15
cm AB ,
=
12
cm
A.
;AC B .
¢
¢
AC
=
8(
cm B );
»
36 52
AC
=
9(
cm B );
»
36 52
. Tính Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có
¢
¢
AC
=
9(
cm B );
»
37 52
AC
=
9(
cm B );
»
36 55
. B. . A.
BC
=
26
cm AB ,
=
10
cm
. D. . C.
;AC B (làm tròn đến độ).
. Tính Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A có
12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
AC
22; C=
67
AC
24; C=
66
AC
24; C=
67
AC
24; C=
» . B.
» . C.
» . D.
» . 68
AC
=
cm AB 7 ,
=
cm 5
A.
;BC C .
¢
¢
BC
=
cm C );
74(
»
35 32
BC
=
cm C );
74(
»
36 32
. Tính Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A có
¢
¢
BC
=
cm C );
74(
»
35 33
BC
=
cm C );
75(
»
35 32
. B. . A.
60
AB
=
16,
AB
= và 14
B = . Tính BC .
. D. . C.
BC =
10
11
9
BC =
12
Câu 11: Cho tam giác ABC có
BC = .
BC = .
AB
=
12,
AC
60
= và 15
B = . Tính BC .
A. . B. C. D. .
BC =
3 3
6
BC =
3 13
6
9
6
+ . B.
+ . C.
BC = .
Câu 12: Cho tam giác ABC có
BC = .
= = C 50 ,
60 ,
CA
=
3, 5
cm
D. A.
. Diện tích tam giác ABC gần nhất với Câu 13: Cho tam giác ABC có B
giá trị nào dưới đây?
A D
= = = 40 , 90 ,
AB
=
4
cm AD ,
=
3
cm
C
A. 4 . B. 5 . C. 7 . D. 8 .
ABCD . (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
2
2
2
2
17, 34cm .
Câu 14: Cho tứ giác ABCD có . Tính diện tích tứ giác
17, 4cm .
17, 54cm .
17, 54cm .
A D
= = = 45 , 90 ,
AB
=
cm AD 6 ,
=
cm 8
C
B. C. D. A.
. Tính diện tích tứ giác
2
2
2
2
60cm .
Câu 15: Cho tứ giác ABCD có ABCD .
80cm .
40cm .
160cm .
BC
=
11 cm ABC ,
40
B. C. D. A.
= và 30
ACB = . Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ
A xuống cạnh BC .
A
C
B
N
Cho tam giác ABC có
Câu 16: Độ dài AN gần nhất với giá trị nào dưới đây?
B. 4 . C. 6 . D. 7 . A. 5 .
Câu 17: Độ dài AC gần nhất với giá trị nào dưới đây?
B. 6 . C. 5 . D. 4 . A. 7 .
Câu 18: Diện tích tam giác ABC gần nhất với giá trị nào dưới đây? 13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
BC
=
9 cm ABC ,
50
= và 35
ACB = . Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ A
A. 27 . B. 23 . C. 22 . D. 21 .
A
Cho tam giác ABC có
B
C
N
xuống cạnh BC .
Câu 19: Độ dài AN gần nhất với giá trị nào dưới đây?
B. 4 . C. 2 . D. 3 . A. 5 .
Câu 20: Độ dài AC gần nhất với giá trị nào dưới đây?
B. 6 . C. 5 . D. 4 . A. 7 .
Câu 21: Diện tích tam giác ABC gần nhất với giá trị nào dưới đây?
B. 15 . C. 16 . D. 25 . A. 13 .
HƯỚNG DẪN
M
N
P
P
=
= MN MP
. sin
P
1. Lời giải:
MN MP
Ta có sin .
Đáp án cần chọn là A.
P
=
= NP MN
. cot
P
2. Lời giải:
NP MN
Ta có cot
Đáp án cần chọn là B.
BC a AC b AB c
=
=
,
,
= . Ta có:
3. Lời giải:
2
2
2
a
b
c
Cho tam giác ABC vuông tại A có
= + nên C đúng.
+ Theo định lý Pytago ta có
+ Theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:
14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
b
=
a cinB a
=
.
. cos
C c ;
=
a
. sin
= C a
. cos
B b ;
=
c . tan
= B c
. cot
C c ;
=
b . tan
= C b
. cot
B
.
Nên A, D đúng.
Đáp án cần chọn là B.
A
C
B
BC a AC b AB c
=
=
,
,
4. Lời giải:
= .
Cho tam giác ABC vuông tại A có
b
=
a
. sin
= B a
. sin 50 ;
= c
a
. cos
= B a
cos 50 ;
= b
c . tan 50 ;
= c
b . cot 50
.
+ Theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:
Nên D đúng.
Đáp án cần chọn là D.
A
B
C
tan
. tan
10. tan 30
C
=
= AB AC
C
=
=
5. Lời giải:
10 3 3
AB AC
10
C
=
BC
=
=
=
cos
AB
=
;
BC
=
; Xét tam giác ABC vuông tại A có:
AC BC
AC C cos
20 3 3
10 3 3
20 3 3
3 2
. Vậy .
Đáp án cần chọn là D.
A
B
C
6. Lời giải:
15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
C
=
= AB AC
. tan
C
=
20. tan 30
=
20 3
AB AC
AB
=
20 3;
BC
cos
40
C
=
BC
=
=
= . Vậy
= . 40
AC BC
AC cos C
20 1 2
; Xét tam giác ABC vuông tại A có: tan
Đáp án cần chọn là A.
A
C
B
7. Lời giải:
B
=
AC
=
BC
. sin
B
=
12. sin 40
»
7, 71
Xét tam giác ABC vuông tại A có
AC BC
A B C
+ + =
= C
180
180
50
40
- - = . 90
+ sin .
AC
»
7, 71;
C
= . 50
+
Vậy
Đáp án cần chọn là C.
8. Lời giải:
B
AC
BC
. sin
B
15. sin 55
12, 29
=
=
=
»
Xét tam giác ABC vuông tại A có
AC BC
A B C
+ + =
= C
180
180
35
55
+ sin .
- - = . 90
AC
»
12, 29;
C
= . 35
+
Vậy
Đáp án cần chọn là B.
A
C
B
9. Lời giải:
Xét tam giác ABC vuông tại A có: 16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
2
2
2
BC
=
AB
+
AC
= AC
BC
-
AB
=
2 15
-
2 12
=
9(
cm )
¢
»
36 52
B
sin
B
=
=
=
. +
9 15
3 5
AC BC
¢
AC
=
9(
cm B );
»
36 52
+ .
. Vậy
Đáp án cần chọn là B.
10. Lời giải:
2
2
2
2
2
BC
=
AB
+
AC
= AC
BC
-
AB
=
2 26
-
2 10
=
24(
cm )
Xét tam giác ABC vuông tại A có:
sin
67
B
=
=
+ .
= » . B
24 26
12 13
AC BC
AC
24; C=
» . 67
+
Vậy
Đáp án cần chọn là C.
10. Lời giải:
2
2
2
BC
=
AB
+
AC
2 = + = 7
74
2 5
BC
=
74(
cm
)
Xét tam giác ABC vuông tại A có:
¢
tan
C
=
= » C
35 32
+ .
AB AC
5 7
¢
BC
=
cm C );
74(
»
35 32
+
. Vậy
Đáp án cần chọn là A.
A
60°
B
C
H
11. Lời giải:
= BH AB
. cos
= B AB
. cos 60
=
16.
Kẻ đường cao AH .
= 8
1 2
= AH AB
. sin
= B AB
. sin 60
=
16.
=
8 3
Xét tam giác vuông ABH , ta có:
3 2
.
17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
2
2
HC
=
AC
-
AH
=
14
-
2 (8 3)
=
196
-
192
= . 4
2
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông AHC ta có:
HC = .
BC CH HB
=
+
10
2
= + = . 8
Suy ra
Vậy
Đáp án cần chọn là A.
A
60°
B
C
H
12. Lời giải:
= BH AB
. cos
= B AB
. cos 60
=
12.
Kẻ đường cao AH .
= 6
1 2
= AH AB
. sin
= B AB
. sin 60
=
12.
=
6 3
Xét tam giác vuông ABH , ta có:
3 2
2
2
2
HC
=
AC
-
AH
=
2 15
-
2 (6 3)
=
117
.
HC =
3 13
. Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông AHC ta có:
BC CH HB
=
+
=
3 13
. Suy ra
+ . 6
Vậy
Đáp án cần chọn là B.
A
B
C
D
13. Lời giải:
= AD AC
. sin
C
=
3, 5. sin 50
»
2, 68
cm
Kẻ đường cao AD .
= CD AC
. cos
C
=
3, 5. cos 50
»
2, 25
cm
Xét tam giác vuông ACD , ta có:
.
18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
= BD AD
. cot
B
»
2, 68. cot 60
»
1, 55
cm
BC
=
+ BD CD
=
3, 8
. Xét tam giác ABD , có
2
S
=
»
5, 09
cm
Suy ra .
ABC
AD BC . 2
. Do đó
Đáp án cần chọn là B.
B
A
C
D
E
A D
= =
90
AD BC
14. Lời giải:
,A D .
DC^
Vì hay ABCD là hình thang vuông tại
90
A D E
= = = nên ABED là hình chữ nhật.
Kẻ BE tại E .
= DE AB
=
4
cm BE AD
=
;
=
3
cm
Tứ giác ABED có ba góc vuông
EC
=
BE
. cot 40
»
3, 56 (
cm
)
DC DE EC
+
=
»
7, 56 (
cm
)
. Suy ra
+
).
2
S
=
»
17, 34
cm
Xét tam giác BEC vuông tại E có .
ABCD
AB CD AD ( 2
Do đó .
Đáp án cần chọn là A.
A D
= =
90
AD BC
15. Lời giải:
,A D .
DC^
hay ABCD là hình thang vuông tại Vì
90
A D E
= = = nên ABED là hình chữ nhật.
Kẻ BE tại E .
= DE AB
=
6
cm BE AD
=
;
=
8
cm
Tứ giác ABED có ba góc vuông
. Suy ra
BCE = nên BEC vuông cân tại E .
EC
=
BE
=
+
= + =
cm
8 = cm DC DE EC
8
6
14
Xét tam giác BEC vuông tại E có 45
+
).
(6
+
2
S
=
=
=
80
cm
.
ABCD
AB CD AD ( 2
14).8 2
Do đó .
Đáp án cần chọn là B.
19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
BN
=
x
< <
x
NC
x
(0
11)
11
= - .
16. Lời giải:
AN
=
BN
= B x
. tan
. tan 40
Đặt
= AN CN
. tan
C
=
(11
-
x
). tan 30
Xét tam giác ABN vuông tại N có
x
tan 40
=
(11
-
x
). tan 30
» x
4, 48
Xét tam giác ACN vuông tại N có
AN
=
BN
B
=
»
cm
. tan
4, 48. tan 40
3, 76 (
)
(thoả mãn). Nên
Khi đó .
Đáp án cần chọn là B.
AN »
3, 76
17. Lời giải:
C
=
AC
=
=
7, 52
Theo câu trước ta có
AN AC
AN C sin
Xét tam giác ACN vuông tại N có sin
Đáp án cần chọn là A.
2
AN »
3, 76
S
=
20, 68
cm
=
18. Lời giải:
ABC
AN BC . 2
Theo kết quả các câu trước ta có nên .
Đáp án cần chọn là D.
BN
=
x
< <
x
NC
x
(0
9)
9
= - .
19. Lời giải:
AN
=
BN
= B x
. tan
. tan 50
Đặt
= AN CN
. tan
C
= - (9
x
). tan 35
Xét tam giác ABN vuông tại N có
x
tan 50
= - (9
x
). tan 35
» x
3, 33
Xét tam giác ACN vuông tại N có
= AN BN
. tan
B
=
3, 33. tan 35
»
2, 79
(thoả mãn). Nên
. Khi đó
Đáp án cần chọn là D.
AN »
2, 79
20. Lời giải:
C
=
AC
=
»
4, 87
Theo câu trước ta có
AN AC
AN C sin
Xét tam giác ACN vuông tại N có sin
Đáp án cần chọn là C.
21. Lời giải:
20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
AN »
2, 79
S
=
12, 555
cm
=
ABC
AN BC . 2
nên . Theo kết quả các câu trước ta có
Đáp án cần chọn là A.
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐Toán Học Sơ Đồ‐‐‐‐‐‐‐‐‐
