zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Chuyên đề luyện thi ĐH: Bất đẳng thức - Huỳnh Chí Hào

Chia sẻ: Trần Thị Thủy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Báo xấu

116
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo chuyên đề luyện thi Đại học: Bất đẳng thức - Huỳnh Chí Hào giúp các bạn học sinh có thêm tư liệu ôn tập, luyện tập để nắm vững được những kiến thức cơ bản chuẩn bị cho kỳ thi đạt kết quả tốt hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề luyện thi ĐH: Bất đẳng thức - Huỳnh Chí Hào

Chuyên LT H Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Chuyeân ñeà 5: BAÁT ÑAÚNG THÖÙC TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA I. Soá thöïc döông, soá thöïc aâm: • Neáu x laø soá thöïc döông, ta kyù hieäu x > 0 • Neáu x laø soá thöïc aâm, ta kyù hieäu x < 0 • Neáu x laø soá thöïc döông hoaëc x= 0, ta noùi x laø soá thöïc khoâng aâm, kyù hieäu x ≥ 0 • Neáu x laø soá thöïc aâm hoaëc x= 0, ta noùi x laø soá thöïc khoâng döông, kyù hieäu x ≤ 0 Chuù yù: • Phuû ñònh cuûa meänh ñeà "a > 0" laø meänh ñeà " a ≤ 0 " • Phuû ñònh cuûa meänh ñeà "a < 0" laø meänh ñeà " a ≥ 0 " II. Khaùi nieäm baát ñaúng thöùc: 1. Ñònh nghóa 1: Soá thöïc a goïi laø lôùn hôn soá thöïc b, kyù hieäu a > b neáu a-b laø moät soá döông, töùc laø a-b > 0. Khi ñoù ta cuõng kyù hieäu b < a Ta coù: a > b ⇔ a−b > 0 • Neáu a>b hoaëc a=b, ta vieát a ≥ b . Ta coù: a ≥ b ⇔ a-b ≥ 0 2. Ñònh nghóa 2: Giaû söû A, B laø hai bieåu thöùc baèng soá Meänh ñeà : " A lôùn hôn B ", kyù hieäu : A > B " A nhoû hôn B ", kyù hieäu :A < B " A lôùn hôn hay baèng B " kyù hieäu A ≥ B " A nhoû hôn hay baèng B " kyù hieäu A ≤ B ñöôïc goïi laø moät baát ñaúng thöùc Quy öôùc : • Khi noùi veà moät baát ñaúng thöùc maø khoâng chæ roõ gì hôn thì ta hieåu raèng ñoù laø moät baát ñaúng thöùc ñuùng. • Chöùng minh moät baát ñaúng thöùc laø chöùng minh baát ñaúng thöùc ñoù ñuùng III. Caùc tính chaát cô baûn cuûa baát ñaúng thöùc : a > b 1. Tính chaát 1:  ⇒a>c b > c 2. Tính chaát 2: a > b ⇔ a+c > b+c Heä quaû 1: a > b ⇔ a−c > b−c Heä quaû 2: a+c > b ⇔ a > b−c a > b 3. Tính chaát 3:  ⇒ a+c > b+d c > d ac > bc neáu c > 0 4. Tính chaát 4: a>b⇔ ac < bc neáu c < 0 Heä quaû 3: a > b ⇔ − a < −b 28
Chuyên LT H Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn a b  c > c neáu c > 0  Heä quaû 4: a>b⇔  a < b neáu c < 0 c c  a > b > 0 5. Tính chaát 5:  ⇒ ac > bd c > d > 0 1 1 6. Tính chaát 6: a>b>0⇔0< < a b 7. Tính chaát 7: a > b > 0, n ∈ N ⇒ a > b n * n 8. Tính chaát 8: a > b > 0, n ∈ N * ⇒ n a >nb Heä quaû 5: Neáu a vaø b laø hai soá döông thì : a > b ⇔ a2 > b2 Neáu a vaø b laø hai soá khoâng aâm thì : a ≥ b ⇔ a 2 ≥ b2 IV. Baát ñaúng thöùc lieân quan ñeán giaù trò tuyeät ñoái :  x neáu x ≥ 0 1. Ñònh nghóa: x =  ( x ∈ R) − x neáu x < 0 2 2. Tính chaát : x ≥ 0 , x = x 2 , x ≤ x , -x ≤ x 3. Vôùi moïi a, b ∈ R ta coù : • a+b ≤ a + b • a−b ≤ a + b • a + b = a + b ⇔ a.b ≥ 0 • a − b = a + b ⇔ a.b ≤ 0 V. Baát ñaúng thöùc trong tam giaùc : Neáu a, b, c laø ba caïnh cuûa moät tam giaùc thì : • a > 0, b > 0, c > 0 • b−c < a < b+c • c−a < bb>c⇔ A> B >C VI. Caùc baát ñaúng thöùc cô baûn : a. Baát ñaúng thöùc Cauchy: a+b Cho hai soá khoâng aâm a; b ta coù : ≥ ab 2 Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi a=b Toång quaùt : Cho n soá khoâng aâm a1,a2,...an ta coù : a1 + a2 + ... + an n ≥ a1 .a2 ...an n Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi a1 = a2 =...= an 29
Chuyên LT H Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn b. Baát ñaúng thöùc Bunhiacoápski : Cho boán soá thöïc a,b,x,y ta coù : (ax + by )2 ≤ (a2 + b2 )( x 2 + y 2 ) Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi ay = bx Toång quaùt : Cho hai boä soá (a1 , a2 ,...an ) vaø (b1 , b2 ,..., bn ) ta coù : (a1b1 + a2 b2 + ... + an bn )2 ≤ (a12 + a2 2 + ... + an 2 )(b12 + b2 2 + ... + bn 2 ) a1 a2 a Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi = = ... = n vôùi quy öôùc raèng neáu maãu baèng 0 thì töû cuõng baèng b1 b2 bn 1 1 1 1 c) Baát ñaúng thöùc cô baûn: Cho hai soá döông a,b ta luoân coù: ≤ ( + ) a+b 4 a b Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi a=b Caùc phöông phaùp cô baûn chöùng minh baát ñaúng thöùc : Ta thöôøng söû duïng caùc phöông phaùp sau 1. Phöông phaùp 1: Phöông phaùp bieán ñoåi töông ñöông Bieán ñoåi töông ñöông baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh ñeán moät baát ñaúng thöùc ñaõ bieát raèng ñuùng . Ví du1ï: Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau: 1. a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca vôùi moïi soá thöïc a,b,c 2. a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b vôùi moïi a,b Ví duï 2: a3 + b3 a+b 3 Cho hai soá a,b thoûa ñieàu kieän a+b ≥ 0 , chöùng toû raèng: ≥( ) 2 2 1 2 Ví duï 3: Chöùng minh raèng neáu x>0 thì ( x + 1) 2 ( 2 + + 1) ≥ 16 x x 2. Phöông phaùp 2: Phöông phaùp toång hôïp Xuaát phaùt töø caùc baát ñaúng thöùc ñuùng ñaõ bieát duøng suy luaän toaùn hoïc ñeå suy ra ñieàu phaûi chöùng minh. Ví duï 1: Cho tam giaùc ABC coù caùc caïnh a,b,c, chöùng minh : a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca) 5 Ví duï 2: Cho x, y laø caùc soá thöïc döông thoûa maõn ñieàu kieän x + y = . Chöùng minh raèng: 4 4 1 + ≥5 x 4x Ví duï 3: Cho x,y,z laø caùc soá döông. Chöùng minh raèng: 3x + 2 y + 4 z ≥ xy + 3 yz + 5 zx 1 1 Ví duï 4: Chöùng minh raèng vôùi moïi moïi x,y döông ta coù: x 2 + y 2 + + ≥ 2( x + y ) x y 30
Chuyên LT H Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Ví duï 5: Cho tam giaùc ABC coù caùc caïnh a,b,c, chöùng minh : ab(a + b − 2c) + bc(b + c − 2a ) + ca (c + a − 2b) ≥ 0 Ví duï6: Cho x,y,z vaø xyz=1. Chöùng minh raèng : x 3 + y 3 + z 3 ≥ x + y + z Ví duï 7: Cho x, y, z > 0 vaø x+y+z=xyz. Chöùng minh raèng : xyx ≥ 3 3 a+b+c a+b+c a+b+c Ví duï 8: Cho ba soá döông a, b, c . Chöùng minh raèng : + + ≥9 a b c Ví duï 9: Cho ba soá döông x,y,z thoûa maõn x + y + z ≤ 1 . Chöùng minh raèng : 1 1 1 x + y + z + + + ≥ 10 x y z Ví duï 10: Cho a,b,c >0 vaø abc=1. Chöùng minh raèng : b+c c+a a+b + + ≥ a + b + c +3 a b c 3. Phöông phaùp 3: Söû duïng ñaïo haøm xeùt caùc tính chaát cuûa haøm soá Ví duï 1: Chöùng minh baát ñaúng thöùc: sinx < x vôùi moïi x > 0 x2 Ví duï 2: Chöùng minh baát ñaúng thöùc: cos x > 1 − vôùi moïi x > 0 2 π Ví duï 3: Chöùng minh baát ñaúng thöùc: sin x + tgx > 2 x vôùi moïi x ∈ (0; ) 2 3 π x +1 Ví duï 4: Vôùi 0 < x < , chöùng minh 2 2 sin x +2 tgx > 22 2 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Cho caùc soá döông x,y,z thoûa maõn xyz=1. Chöùng minh raèng 1 + x3 + y3 1+ y3 + z3 1 + z 3 + x3 + + ≥3 3 xy yz zx Khi ñaúng thöùc xaûy ra? 1 1 1 Baøi 2: Cho x,y,z laø caùc soá döông thoûa maõn + + = 4 . Chöùng minh raèng : x y z 1 1 1 + + ≤1 2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z Baøi 3: Vôùi a,b,c laø ba soá thöïc döông thoûa maõn ñaúng thöùc ab + bc + ca = abc , chöùng minh raèng: b 2 + 2a 2 c 2 + 2b 2 a 2 + 2c 2 + + ≥ 3 ab bc ca 31

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.