intTypePromotion=3

Chuyên đề ôn thi Đại học về số phức 2014

Chia sẻ: Trần Thị Trúc Diễm | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

0
330
lượt xem
38
download

Chuyên đề ôn thi Đại học về số phức 2014

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề ôn thi Đại học về số phức 2014 đánh giá khả năng tiếp thu kiến thức về số phức đã học trong phần đại số của các bạn học sinh lớp 12 bao gồm nội dung như: lượng giác của số phức, chứng minh bất đẳng thức….Mời các bạn tham khảo.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề ôn thi Đại học về số phức 2014

  1. CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC VỀ SỐ PHỨC
  2. Chuyên đề luyện thi đại học về số phức Tính giá trị biểu thức: 1. Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình: z2 + 4z + 13 = 0. Tính giá trị của biểu thức: A = z1.z2 + |z1|2 + |z2|2 B = ( z1 − 1)( z 2 − 1) + z12 + z 2 2 2. Gọi z1, z2 là nghiệm phức của phương trình: z2 – 4z + 5 = 0. Tính: A = (z1 – 1)2011 + (z2 – 1)2011. z1 + z 2 2 2 3. Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình: 2z – 4z + 11 = 0. Tính giá trị: A = 2 . (z1 + z 2 )2 4. Cho phương trình: z3 – 5z2 + 16z – 30 = 0 (1). Gọi z1, z2 và z3 lần lượt là 3 nghiệm của phương trình (1) trên tập số phức. Tính giá trị biểu thức: A = z12 + z 2 + z 3 . 2 2 5. Cho hai số phức z, z’ thoả mãn: |z| = |z’| = 1 và z + z ' = 3 . Tính giá trị biểu thức: A = |z – z’|. Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức: 2 6. Trong mp Oxy, tìm quỹ tích các điểm biểu diễn số phức w = z – 1 + i thoả mãn: z + 1 − i = 2 z + 1 7. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: a) |z + 1 + i| = |z(1 – i)|. b) z 2 + z = 0 8. Cho số phức z1 thoả mãn: z1 = (1 + 2i ) 3 . Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: |z + z1| = 4 (1 + i )2 9. Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z1 = 1 + i 3 z + 2 , biết rằng: |z - 1| = 2. ( ) 10. Trong mặt phẳng phức Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w=(1 + i)z+1 biết z − 1 ≤ 1 11. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = (z + i)(2 + i), trong đó z là số phức thỏa |z - 2| = 3. Môđun của số phức nhỏ nhất hoặc lớn nhất: 12. Tìm số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện: z = z + 4 − 3i và biểu thức A = |z + 1 – i| + |z –2+3i| có giá trị nhỏ nhất. 13. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện: (1 + i )z + 2 = 1 . Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất. 1− i 14. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thoả mãn điều kiện: a) |iz – 3| = |z – 2 – i| b) |z + 1 + 2i| = 1 ( ) 15. Tìm số phức z thoả mãn ( z − 1) z + 2i là số thực và |z| nhỏ nhất. z + 1 − 5i 16. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thoả mãn điều kiện: a) 2 z − 1 = z − z + 2i = 1. b) z +3−i 17. Trong tất cả các số phức z thoả mãn: |z – 2 + 2i| = 1, hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. Tìm phần thực, phần ảo: 18. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z = (1 + i)n, trong đó n ∈ N và thoả mãn: log4(n-3) + log5(n+6) =4 19. Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp: ( ) ( ) (1 + i )2012 5 ( ) ( ) 16 3+i (1 − i )10 3 +i 6 10 1) z = 3) z = 4) z = 1 − i 3 3 −i ( ) 2) z = 5) z= (1 + i ) 12 ( −1 − i 3 ) 10 3+i 2011 Tìm số phức z thoả mãn điều kiện cho trước: z −1 z − 2i 20. Tìm số phức z thoả mãn: a) z − 3i = 1 − i z và z − 9 là số thuần ảo. b) = 1 và = 2. 2 z −3 z+i c) iz − (1 + 3i )z = z 2 4 b) z − 12 = 5 và z − 4 = 1 z 200 21. Tìm số phức z thoả mãn: a) +z=− z 2 1 − 7i z − 8i 3 z −8 1+ i 22. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: |z – 2 + i| = 2, biết z có phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị. 2 23. Tìm số phức z thoả mãn: a) 2 z − i = z − z + 2i và z 2 − ( z ) 2 = 4 . b) z + 2 z.z + z = 8 và z + z = 2 2 z +1− i 24. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: z + 2i = z − 1 + i và là một số thuần ảo. z + 2i 25. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: 1) z − (1 + 2i ) = 26 và z.z = 25 . ( ) 2) z.z + 3 z − z = 1 − 4i Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV trường THPT Trung Giã “Khó hôm nay, dễ ngày mai” Trang 1
  3. Chuyên đề luyện thi đại học về số phức 26. Cho các số phức: z1 = 1 + 2i, z2 = 3 – 4i. Xác định số phức z ≠ 0 thoả mãn: z1.z là số thực và z 2 = 1 . z ( ) 27. Tìm số phức z thoả mãn: a) ( z − 1) z + 2i là số thực và z = 2 2 . b) z.z = 13 và |z – 4| + |z + 4| = 10 z − 2i 28. Tìm số phức z thoả mãn: | z + 1 − 2i |= z + 3 + 4i và là một số thuần ảo. z+i 29. Tìm số phức z thỏa mãn: 1) z + (1 − 2i ) 5 va z.z 34 2) z − 1 = và 17( z + z ) − 5 z z =3) z = z 3 = = 5 0 Hai số phức bằng nhau: x(3 − 2i ) 30. Tìm các số thực x, y thoả mãn: 1) x(3 + 5i) + y(1 – 2i)3 = 7 + 32i. + y (1 − 2i ) = 11 + 4i 3 2) 2 + 3i 1 − i (2 − 3i ).z 31. Tìm môđun của số phức z, biết: 1) 4 z + (1 + 3i )z = 25 + 21i . 2) = 2 +2−i. z z 32. Giải phương trình trên tập số phức: 1) (z2 + z)2 + 4(z2 + z) – 12 = 0 ( ) 2) (z 2 + i ) z 2 − z = 0 3) |z| - iz = 1 – 2i 3 2 4) z + 2z – 4i = 0 5) (z – z)(z + 3)(z + 2) = 10 6) z = 2 z 2 z − 5 4 ( ) 35 25 7) z4 – z3 + 6z2 – 8z – 16 = 0 a) 2 z 2 + 4 z − 5 z = b) z + = 8 − 6i 8 z 33. Giải phương trình trên tập số phức, biết phương trình có nghiệm thực: 2z3 – 5z2 + (3 + 2i)z + 3 + i = 0. 34. Chứng minh rằng phương trình z4 - 4z3 + 14z2 - 36z + 45 = 0 có 2 nghiện thuần ảo. Tìm tất cả nghiệm. 35. Tìm phần thực, phần ảo của số phức: z = 1 + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + … + (1 + i)20. 36. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z thoả mãn: z = 1 + 2i + 3i2 + 4i3 + … + 2009i2008. i 37. Cho số phức z thoả mãn: |z| = 1 và z + = 2 . Tính tổng: S = 1 + z2 + z4 + … + z2010. z 38. Tìm phần thực, phần ảo của số phức: z = ( ) ( 3 3 −i + ) ( 6 3 −i + ) 9 3 − i + ... + ( 3 −i ) 3000 3 + 2i 3 − 3 + 2i 3 39. Chứng minh số phức sau là số thực: z = − + 2 + 3i 2 − 3i 40. Tìm các số thực x, y thỏa mãn: (x + i)(1 – yi) + (x – i)(y + i) = 6 – 2i. 41. Tìm phần thực của số phức z = (1 + i)n, với n ∈ N* và n là nghiệm của: log 4 (n − 3) + log 4 (n + 9 ) = 3 z −3+i 42. Tìm số phức z có mô đun lớn nhất, biết z thỏa mãn điều kiện: = 2 z −2+i 43. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z = 1+ (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + … + (1 + i)20. 44. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z + 1 = i2011 + i2012. Tìm môđun của số phức: iz + z 45. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z, biết rằng: z − 2i = z + 3 và |4z – 8 – 9i| nhỏ nhất. z − 18 z + 4i 46. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z − 1 = . Tính: z−2 z − 2i ( ) 47. Cho z là số phức thỏa mãn: ( z + i ) z + i = 2iz . Tính: |z + i|  i  2 48. Tìm các số phức z1, z2 thỏa mãn: z1 − z1 = 4 z 2 − 2 và z 2 1 +  −   (1 − i )z = 1 − i  z1  1 49. Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = z + 2i, biết rằng: |z – i| = |z(1 - i)| 50. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z3, biết: z(1 + i) = 2(1 + 2i). 51. Tìm số thực m để phương trình: z3 – 5z2 + (m – 6)z + m = 0 có 3 nghiệm phức phân biệt z 1, z2, z3 thỏa mãn điều kiện: |z1|2 + |z2|2 + |z3|2 = 21. 4 4 z   z2  52. Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn: |z1 – z2| = |z1| = |z2| > 0. Tính giá trị của biểu thức: A =  1 z  +   z   2   1 Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV trường THPT Trung Giã “Khó hôm nay, dễ ngày mai” Trang 2
  4. Chuyên đề luyện thi đại học về số phức Dạng 1: Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp của mỗi số phức: Bài 1. Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp của mỗi số phức sau: 1) z = (2 − i )(3 − i ) 2 − (1 − 2i )3 2) z = (2 + i)3 – (3 - i)3. 3) z = 5(4 − 2i ) + 7i (8 − 5i ) −2 + 5i 1 7 1 1+ i 3 1− i 3 4) z = 5) z = i − 7  6) z = + (1 + 3i )(−2 − i )(1 + i ) 2i  i  1− i 2 1+ i 2 7) z = (−3 + 2i )(1 − i ) 2 + (1 − 2i )3 (3 + i ) 8) z = (4 − i ) − (1 − 3i ) 2 2 9) z = (−2 + 5i ) 2 (4 + 8i ) 2 (2 + i ) + (1 + i )(4 − 3i ) 3 −i 2 +i (−3 + 2i )(1 − i ) 2 11) z = 12) z = − 13) z = 3 − 2i 1+ i i (1 − 2i )3 (3 + i ) 15) z = (3 − 4i )(1 + 2i ) + 4 − 3i 16) (3 + i )(2 + 6i ) 17) z = (1 + 2i )2 − (1 − i )2 1 − 2i 1− i (3 + 2i )2 − (2 + i )2 18) z = (2 + 7i ) 4 − [(1 − 2i )(3 + i )]4 19) z = 5i (1 − i )7 20) z = (2 + i )3 (2 − i ) 4 z +i Bài 2. Cho số phức z = 2 - 5i. Tìm phần thực, phần ảo và môđun: 1) z2 – 2z + 4i. 2) . iz − 1 (1 − 3i ) 2 Bài 3. Cho số phức z thỏa mãn z = . Tìm môđun của số phức z + iz . 1− i Bài 4. Cho các số phức z1 = 1 + 2i, z2 = -2 + 3i, z3 = 1 – i. Hãy tính và sauđó tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp của mỗi số phức sau: z2+z 2 z z z 1) 1 2 2 2 2) z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 3) z1 z2 z3 4) z12 + z2 2 + z32 5) 1 + 2 + 3 z2 + z3 z2 z3 z1 Bài 5. Tìm các số thực x, y sao cho: x −3 y −3 1) (1 – 2i)x + (1 + 2y)i = 1 + i 2) + 3+i 3−i = i 3) (3 − 4i )x 2 + (3 + 2i )xy = 4 y 2 − x 2 + 3 xy − 2 y 2 i 1 2 ( ) Bài 6. Cho ba số phức z1 = + 4i; z2 =−1 + 5i; z3 =−3 − 3i có các điểm biểu diễn lần lượt là A, B, C. Hãy tìm 1 số phức z có điểm biểu diễn là: 1) trọng tâm G của tam giác ABC. 2) D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD. 3) trực tâm H của tam giác ABC. 4) tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. 4i 2 + 6i Bài 7. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức biểu diễn các số: ; (1 – i)(1 + 2i) ; . i −1 3−i 1) CMR: ∆ABC vuông cân. 2) Tìm số phức biểu diễn điểm D, sao cho ABCD là hình vuông Tính toán: ( 3 + i) 21 1+ i  1  2004  5 + 3i 3  5 1) Cho số phức z = . Tính z2009. 2) Tính:   ;   1− i 1+ i   1 − 2i 3  ;   (1 − i 3 ) 11 6 6 1+ i  1− i  16 8  −1+ i 3  1+ i 3  3) Tính giá trị biểu thức: A =   +  B=   +   2   1− i  1+ i   2    Dạng 2: Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: Bài 1. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: 2+i −1 + 3i  z +i  (9 − 3i ) − (11 + 6i )  z+i 4 3 1) z= 2)   = 1. 3) = 5 − 7i 4)   =8 1− i 2+i  z −i  z  z −i  1 3 + 5i 1 + 2i 5) (1 + i)z2 = -1 + 7i 6) ( 2 + i ) z + 3 + i   iz +  =   0 7) z+ = − i )(4 + 3i ) (1 2i  1 − 3i 2i 8) (1 + 2i )3 z − (3 − 4i ) =−2 + 3i 9) (2 − i ) z = + 4i 3 10) ( 2 + 5i ) z = (−2 + 7i ) 2 − (1 − i )(1 − 2i ) 10) (i+1)2(2– i)z = 8 +i+(1+2i)z (CĐ’09) 11) (1 − i )5 z = + 2i )(1 + 3i ) 12) (−2 + 7i ) z= (14 − i ) + (1 − 2i ) z (3 Bài 2. Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau: 1) z − 2 z = − 4i . 2) z 2 + z = 5) z 2 + z = 2 3 0 3) 2z + 3 z =2+3i 4) z2 = z + 2 0. 6) z − (2 + i ) = và z.z = 25 (ĐH.B’09) 10 ( ) 7) 2i ( z − 1) z + 2i là số thực và z − 1 =5 Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV trường THPT Trung Giã Trang 1
  5. Chuyên đề luyện thi đại học về số phức | z − 2i |=| z | z −1 z − 3i 8) z = 1 và phần thực bằng 2 lần phần ảo. 9)  11) = 1 và =1 | z − 1 |=| z − i | z −i z +i Dạng 3: Giải phương trình bậc hai - tìm số phức z. Bài 1. Giải phương trình trên tập số phức: 3) ( z 2 + 1) + ( z + 3) = 2 2 1) z2 – z + 1 = 0. 2) x2 – 6x + 25 = 0 0 4) z2 + 2z +5 = 0 5) − x 2 + x − 5 =0 6) z2 – 3z + 3 + i = 0 7) x4+ 7x2 + 10 = 0 8) x 4 + 5 x 2 + 4 =0 Bài 2. Giải các phương trình sau:  iz + 3  iz + 3 2 1) ( z + 3 − i ) − 6 ( z + 3 − i ) + 13 = 2) ( z + z ) + 4 ( z + z ) − 12 = 2  − 3. −4= 2 2 2 0 0 3)  0  z − 2i  z − 2i Bài 3. (ĐH.A’09) Cho z2 + 2z + 10 = 0 có hai nghiệm phức z1 và z2 là nghiệm. Tính giá trị= z1 + z2 . 2 2 A Bài 4. Giải phương trình sau trên tập số phức:  z −i  z −i z −i 3 2 z2 1) z 4 − z 3 + + z +1 =  +  + +1 = 0 3) ( z − z )( z + 3)( z + 2) = 10 2 0 2)  2  z+i  z+i z+i 4 3 2 4 3 2 4) z + 2z – z + 2z + 1 = 0 5) z – 4z + 6z – 4z – 15 = 0. 6) z 4 − 3 z 2 (1 + z ) − 4(1 + z ) 2 = 0 2 2 2 2 6 5 4 3 2 7) (z + 3z + 6) + 2z(z + 3z + 6) - 3z = 0 8) z + z – 13z – 14z – 13z + z + 1 = 0 Bài 5. Giải các phương trình sau, biết chúng có một nghiệm thuần ảo: 1) z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = 0 2) z3 + (1 + i)z2 + (i – 1)z – i = 0 Dạng 4: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước. Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn các điều kiện: 1) z + z + 3 = 4 2) z − z + 1 − i = 2 3) z − (3 − 4i ) = (ĐH.D’09) 2. 4) |z – 2| + |z + 2| = 10 5) z 2 − ( z ) 2 = 4 6) z − 3 + 2i =1 7) z + (1 − 3i ) = z + 3 − 2i 8) 2 z − i = z − z + 2i 9) |2i.z – 1| = 2|z+3| 10) z.z = 9 11) z − (3 + 2i )(1 − i ) = 1 12) |z + i| = |z – 2 – 3i| 13) |z + 2| = |i – z| 14) z − (1 − i )3 = 1 15) ( z − i ) 2 là một số thực dương 16) 2i − 2 z = 2 z − 1 z − 3i z −i 1 z−2 z +i 17) =1 18) = 4 19) = 1 20) là số thực 21) là một số thực dương z+i z +i z +i z+i z −i 1 22) ( z − 1 + i ) 2 là một số thuần ảo. 23) ( 2 − z ) (i + z ) là số thực tùy ý, 24) là một số thuần ảo. z −1 Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z − i = z − 2 − 3i . Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mô đun nhỏ nhất. Dạng 5: Dạng lượng giác và Acgumen của số phức. Dạng lượng giác của số phức: z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) ; r ≥ 0. ϕ được gọi là agumen. r là môđun của z. Bài 1. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: 1− i 3 1 1) 1 − i 3 2) 1 + i 3) (1 − i 3 )(1 + i ) 4) 5) 6) 2i ( 3 − i ) 1+ i 2 + 2i Bài 2. Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi trường hợp sau: 5π 1 z 3π 1) |z| = 3 và một acgumen của iz là 2) z = và một acgumen của là − 4 3 1+ i 4 Bài 3. Gọi z1 và z2 là 2 nghiệm phức của phương trình: z 2 − 2 3iz − 4 = 0 .Viết dạng lượng giác của z1 và z2 Một số bài tập: 1. Tìm căn bậc hai của số phức: -8 + 6i; 3 + 4i ; 1− 2 2i z +1 2. Xác định phần thực của số phức , biết rằng |z| = 1 và z ≠ 1. z −1 z +1 3. Chứng minh rằng: nếu là số ảo thì |z| = 1. z −1 Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV trường THPT Trung Giã Trang 2
  6. www.MATHVN.com M TS D NG TOÁN V S PH C Biên so n: NGUY N TRUNG KIÊN 0988844088 I) D NG IS C AS PH C D ng 1) Bài toán liên quan n bi n i s ph c Ví d 1) Tìm s nguyên x, y sao cho s ph c z=x+yi tho mãn z 3 = 18 + 26i Gi i:  x3 − 3 xy 2 = 18  z 3 = 18 + 26i ⇔ ( x + yi ) = 18 + 26i ⇔  2 ⇔ 18 ( 3x 2 y − y 3 ) = 26 ( x3 − 3xy 2 ) 3 3 x y − y = 26 3  1 Gi i phương trình b ng cách t y=tx ta ư c t = ⇒ x = 3, y = 1 . V y z=3+i 3 Ví d 2) Cho hai s ph c z1; z2 tho mãn z1 = z2 ; z1 + z2 = 3 Tính z1 − z2 Gi i: a12 + b12 = a2 + b22 = 1  2 t z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i . T gi thi t ta có  ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) = 3 2 2  ⇒ 2 ( a1b1 + a2b2 ) = 1 ⇒ ( a1 − a2 ) + ( b1 − b2 ) = 1 ⇒ z1 − z2 = 1 2 2 D ng 2) Bài toán liên quan n nghi m ph c Ví d 1) Gi i phương trình sau: z − 8(1 − i ) z + 63 − 16i = 0 2 Gi i: Ta có ∆ ' = 16(1 − i ) 2 − (63 − 16i ) = −63 − 16i = (1 − 8i ) T 2 ó tìm ra 2 nghi m là z1 = 5 − 12i, z2 = 3 + 4i Ví d 2) Gi i phương trình sau: 2(1 + i ) z 2 − 4(2 − i ) z − 5 − 3i = 0 Gi i: Ta có ∆ ’ = 4(2 – i)2 + 2(1 + i)(5 + 3i) = 16. V y phương trình cho hai nghi m là: 2(2 − i ) + 4 4 − i (4 − i )(1 − i ) 3 5 z1 = = = = − i 2(1 + i ) 1+ i 2 2 2 2(2 − i ) − 4 − i (−i )(1 − i ) 1 1 z2 = = = =− − i 2(1 + i) 1+ i 2 2 2 Ví d 3) Gi i phương trình z − 9 z + 14 z − 5 = 0 3 2 Gi i: Ta có phương trình tương ương v i ( 2 z − 1) ( z 2 − 4 z + 5 ) = 0 . T ó ta suy ra 1 phương trình có 3 nghi m là z1 = ; z2 = 2 − i; z3 = 2 + i 2 Ví d 4) Gi i phương trình: 2 z − 5 z 2 + 3 z + 3 + (2 z + 1)i = 0 bi t phương trình có 3 nghi m th c 2 z 3 − 5 z 2 + 3z + 3 = 0 −1 Gi i: Vì phương trình có nghi m th c nên  ⇒z= tho mãn c 2 z + 1 = 0 2 hai phương trình c a h :Phương trình ã cho tương ương v i ( 2 z + 1) ( z 2 − 3z + 3 + i ) = 0 . Gi i phương trình ta tìm ư c z = − ; z = 2 − i; z = 1 + i 1 2 www.MATHVN.com 1
  7. www.MATHVN.com Ví d 5) Gi i phương trình: z 3 + (1 − 2i ) z 2 + (1 − i) z − 2i = 0 bi t phương trình có nghi m thu n o: Gi i: Gi s nghi m thu n o c a phương trình là z=bi thay vào phương trình ta có ( bi ) + (1 − 2i) ( bi ) + (1 − i)(bi) − 2i = 0 ⇔ (b − b2 ) + (−b3 + 2b 2 + b − 2)i = 0 3 2 b − b 2 = 0  ⇔ 3 ⇒ b = 1 ⇒ z = i là nghi m, t ó ta có phương trình tương  −b + 2b + b − 2 = 0 2  ương v i ( z − i ) ( z 2 + (1 − i ) z + 2 ) = 0 . Gi i pt này ta s tìm ư c các nghi m Ví d 6) Tìm nghi m c a phương trình sau: z 2 = z . Gi i: Gi s phương trình có nghi m: z=a+bi thay vào ta có ( a + bi ) = a + bi 2 a 2 − b 2 = a 1 3 ⇔ Gi i h trên ta tìm ư c (a, b) = (0; 0), (1; 0),(− ; ± ) . V y phương 2ab = −b 2 2 1 3 trình có 4 nghi m là z = 0; z = 1; z = − ± i 2 2 D ng 3) Các bài toán liên quan n modun c a s ph c: Ví d 1) Tìm các s ph c z tho mãn ng th i các i u ki n sau: z + 1 − 2i = z − 2 + i và z − i = 5 Gi i:  x + 1 + ( y − 2)i = x − 2 + (1 − y )i  Gi s z=x+yi (x,y là s th c) .T gi thi t ta có   x + ( y − 1)i |= 5  ( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 = ( x − 2) 2 + (1 − y ) 2   y = 3x ⇔ ⇔ 2 ⇔ x = 1, y = 3 ho c  x + ( y − 1) = 5 10 x − 6 x − 4 = 0 2  2  2 6 x = − , y = − . V y có 2 s ph c tho mãn i u ki n. 5 5 i−m Ví d 2) Xét s ph c z tho mãn z = ;m∈ R 1 − m(m − 2i ) 1 a) Tìm m z. z = 2 1 b)Tìm m z −i ≤ 4 c) Tìm s ph c z có modun l n nh t. Gi i: a) Ta có i−m ( i − m ) (1 − m2 − 2mi ) − m(1 − m2 ) + 2m + (1 − m 2 + 2m 2 ) z= = = 1 − m 2 + 2mi (1 − m 2 + 2mi )(1 − m 2 − 2mi ) (1 − m2 ) + 4m2 2 www.MATHVN.com 2
  8. www.MATHVN.com m(1 + m 2 ) + i (1 + m 2 ) m 1 m 1 = = + i⇒ z = − i (1 + m ) 2 2 1+ m 1+ m 1 + m 1 + m2 2 2 2 1 m2 + 1 1 ⇒ z. z = ⇔ = ⇔ m 2 + 1 = 2 ⇔ m = ±1 ( m2 + 1) 2 2 2 1 m  1  1 m m2 1 b) Ta có z − i ≤ ⇔ + − 1 i ≤ ⇔ − i ≤ ⇔ 4 1+ m  1+ m 2 2  4 1+ m 1+ m 2 2 4 m2 m4 1 m2 1 1 1 ⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ 16m 2 ≤ 1 + m2 ⇔ − ≤m≤ (1 + m ) (1 + m ) 16 2 2 2 2 1+ m 2 6 15 15 m2 + 1 1 c) Ta có z = = ≤ 1 ⇒| z |max = 1 ⇔ m = 0 (m + 1) 2 2 m2 + 1 Ví d 3) Trong các s ph c z tho mãn i u ki n z − 2 − 4i = 5 Tìm s ph c z có modun l n nh t, nh nh t. Gi i: Xét s ph c z = x+yi . T gi thi t suy ra ( x − 2 ) + ( y − 4 ) = 5 Suy ra t p h p 2 2 i m M(x;y) bi u di n s ph c z là ư ng tròn tâm I(2;4) bán kính R = 5 D dàng có ư c M (2 + 5 sin α ; 4 + 5 cos α ) . Modun s ph c z chính là dài véc tơ OM. Ta có |z|2= OM 2 = (2 + 5 sin α ) 2 + (4 + 5 cos α ) 2 = 25 + 4 5(sin α + 2 cos α ) Theo BDT Bunhiacopxki ta có (sin α + 2 cos α ) 2 ≤ (1 + 4) ( sin 2 α + cos 2 α ) = 5 ⇒ − 5 ≤ sin α + 2 cos α ≤ 5 ⇒ 5 ≤ z ≤ 3 5 . V y −1 −2 | z |min = 5 ⇒ sin α + 2 cos α = − 5 ⇔ sin α = ; cos α = ⇔ x = 1, y = 2 ⇒ z = 1 + 2i 5 5 1 2 | z |max = 3 5 ⇔ sin α + 2 cos α = 5 ⇔ sin α = ; cos α = ⇔ x = 3, y = 6 ⇒ z = 3 + 6i 5 5 Ví d 4) Trong các s ph c tho mãn i u ki n z − 2 − 4i = z − 2i .Tìm s ph c z có moodun nh nh t. Gi i: Xét s ph c z = x+yi . T gi thi t suy ra ( x − 2 ) + ( y − 4 ) = x 2 + ( y − 2 ) ⇔ x + y − 4 = 0 Suy ra t p h p i m M(x;y) bi u di n 2 2 2 s ph c z là ư ng th ng y=-x+4 Ta có z = x 2 + y 2 = x 2 + (4 − x) 2 = 2 x 2 − 8 x + 16 = 2( x − 2) 2 + 8 ≥ 2 2 . T ó suy z min = 2 2 ⇔ x = 2 ⇒ y = 2 ⇒ z = 2 + 2i D ng 4) Tìm t p h p i m bi u di n s ph c Ví d 1) Tìm t p h p các i m M trong m t ph ng ph c bi u di n s ph c z bi t: z a) =3 b) z = z − 3 + 4i c) z − i + z + i = 4 z −i www.MATHVN.com 3
  9. www.MATHVN.com Gi i: G i z=x+yi 9 9 a) T gi thi t ta có z = 3 z − i ⇔ x 2 + y 2 = 9( x 2 + ( y − 1) 2 ) ⇔ x 2 + ( y − ) 2 = 8 64 9 3 V y t p h p i m M là ư ng tròn tâm I (0; ), R = 8 8 b) T gi thi t ta có x + y = ( x − 3) + (4 − y ) ⇔ 6 x + 8 y = 25 . V y t p h p các i m 2 2 2 2 M là ư ng th ng 6x+8y-25=0 c) Gi s z =x+yi thì z − i + z + i = 4 ⇔ x 2 + ( y − 1) + x 2 + ( y + 1) = 4 ⇔ 2 2  x 2 + ( y + 1) 2 ≤ 4  x 2 + ( y + 1)2 ≤ 16    ⇔ ⇔  x 2 + ( y − 1)2 = 16 − 8 x 2 + ( y + 1) 2 + x 2 + ( y + 1)2  2 x 2 + ( y − 1) = y + 4 2    x + ( y + 1) ≤ 16(1) 2 2  x 2 + ( y + 1)2 ≤ 16    2  x2 y2 ⇔  4 x + 4 y + 8 y + 4 = y + 8 y + 16 ⇔  + 2 2 = 1(2)  y ≥ −4 3 4    y ≥ −4(3)  Ta th y các i m n m trong hình tròn (1) và Elip (2) và tung các i m n m trên (Elip) x2 y2 luôn tho mãn i u ki n y >-4. V y t p h p i m M là Elip có pt + = 1. 3 4 Ví d 2) Tìm t p h p các i m bi u di n trong m t ph ng ph c s ( ) ph c ω = 1 + i 3 z + 2 bi t r ng s ph c z tho mãn: z − 1 ≤ 2. Gi i: t z = a + bi ( a, b ∈ R ) Ta có z − 1 ≤ 2 ⇔ ( a − 1) + b 2 ≤ 4 (1) 2 T x = a − b 3 + 2  x − 3 = a −1 + b 3 ( ) ( ) ω = 1 + i 3 z + 2 ⇒ x + yi = 1 + i 3 ( a + bi ) + 2 ⇔    y = 3a + b  ⇔  y − 3 = 3(a − 1) + b   ( ó ( x − 3) + y − 3 ) ≤ 4 ( a − 1) + b 2  ≤ 16 do (1) 2 2 2 T   V y t p h p các i m c n tìm là hình tròn ( x − 3) + y − 3 ( ) ( ) 2 ≤ 16 ; tâm I 3; 3 , bán 2 kính R=4. Ví d 3) Xác nh t p h p các i m M(z) trong m t ph ng ph c bi u di n các s z−2 π ph c z sao cho s có acgumen b ng . z+2 3 Gi i: www.MATHVN.com 4
  10. www.MATHVN.com z − 2 ( x − 2 ) + yi ( x − 2 ) + yi  ( x + 2 ) + yi  Gi s z=x+yi, thì = =   z + 2 ( x + 2 ) + yi ( x + 2) + y 2 2 x 2 − 4 + y 2 + yi ( x + 2 − x + 2 ) x2 + y 2 − 4 4y = = + i (1) ( x + 2) + y2 ( x − 2) + y2 ( x − 2) + y2 2 2 2 z−2 π Vì s ph c có acgumen b ng , nên ta có: z+2 3 x2 + y2 − 4 4y  π π + i = τ  cos + i sin  v i τ > 0 ( x − 2) + y 2 ( x − 2) + y 2 2 2  3 3  x2 + y2 − 4 τ  =  ( x − 2) + y 2 2 2 ⇒  4y τ 3 =  ( x − 2 )2 + y 2 2  T ó suy ra y>0 (1) và 2 2 4y 4y  2   4  = 3 ⇔ x2 + y2 − 4 = ⇔ x2 +  y −  =  (2) .T (1) và (2) suy ra x + y −4 2 2 3  3  3 t p h p các i m M là ư ng tròn tâm n m phía trên tr c th c(Trên tr c Ox). D ng 5) Ch ng minh b t ng th c: 2z −1 Ví d 1) Ch ng minh r ng n u z ≤ 1 thì ≤1 2 + iz Gi i: Gi s z =a+bi (a, b ∈ R) thì z = a 2 + b 2 ≤ 1 ⇔ a 2 + b 2 ≤ 1 . Ta có 2 z − 1 2a + (2b − 1)i 4a 2 + (2b − 1) 2 = = .B t ng th c c n ch ng minh tương ương 2 + iz (2 − b) + ai (2 − b) 2 + a 2 4a 2 + (2b − 1)2 v i ≤ 1 ⇔ 4a 2 + (2b − 1) 2 ≤ (2 − b) 2 + a 2 ⇔ a 2 + b 2 ≤ 1 ⇒ dpcm (2 − b) + a 2 2 1 Ví d 2) Cho s ph c z khác không tho mãn i u ki n z 3 + ≤ 2 . Ch ng minh z3 1 r ng: z + ≤2 z Gi i: D dàng ch ng minh ư c v i 2 s ph c z1 , z2 b t kỳ ta có z1 + z2 ≤ z1 + z2 3 3  1 1  1 1 1 1 1 Ta có  z +  = z 3 + 3 + 3  z +  ⇒ z + ≤ z3 + 3 + 3 z + ≤ 2 + 3 z +  z z  z z z z z 1 t z + =a ta có a 3 − 3a − 2 ≤ 0 ⇔ ( a − 2 )( a + 1) ≤ 0 ⇒ dpcm 2 z www.MATHVN.com 5
  11. www.MATHVN.com II) D NG LƯ NG GIÁC C A S PH C D ng 1: VI T D NG LƯ NG GIÁC Ví d 1) Vi t dư i d ng lư ng giác c a các s ph c: 1 − ( cos ϕ + i sin ϕ ) a) b) 1 − ( cos ϕ + i sin ϕ )  (1 + cos ϕ + i sin ϕ )   1 + cos ϕ + i sin ϕ Gi i: 1 − ( cos ϕ + i sin ϕ ) (1 − cos ϕ ) − i sin ϕ a) = 1 + cos ϕ + i sin ϕ (1 + cos ϕ ) + i sin ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − 2i sin 2sin 2 2 2 cos 2 = tan ϕ sin 2 − i cos 2 ϕ = = −i tan ϕ ϕ ϕ 2 ϕ ϕ 2 2 cos 2 + 2i sin cos cos + i sin 2 2 2 2 2 ϕ ϕ  π  π  - Khi tan > 0 d ng lư ng giác là: tan cos  −  + i sin  −   2 2  2  2  ϕ ϕ  π   π  - Khi tan < 0 d ng lư ng giác là: − tan cos   + i sin    2 2 2  2  ϕ - Khi tan = 0 thì không có d ng lư ng giác. 2 b) 1 − ( cos ϕ + i sin ϕ )  (1 + cos ϕ + i sin ϕ )   ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = 2sin  sin − i cos  .cos  cos + i sin  2 2 2 2 2 2   π  π  = 2sin ϕ cos  ϕ −  + isin  ϕ −     2  2  - Khi sin ϕ = 0 thì d ng lư ng giác không xác nh.   π  π  - Khi sin ϕ > 0 thì d ng lư ng giác là: 2sin ϕ cos  ϕ −  + i sin  ϕ −     2  2    π  π  - Khi sin ϕ < 0 thì d ng lư ng giác là: (−2sin ϕ )  cos  ϕ +  + i sin  ϕ +     2  2  Ví d 2): Vi t dư i d ng lư ng giác c a các s ph c: 1 − ( cos ϕ + i sin ϕ ) a) b) [1 − (cos ϕ + i sin ϕ ) ][1 + cos ϕ + i sin ϕ ] 1 + cos ϕ + i sin ϕ Gi i: ϕ ϕ 1 − ( cos ϕ + i sin ϕ ) 1 − cos ϕ − i sin ϕ ϕ sin 2 − i cos 2 ϕ a) = = tan = −i tan 1 + cos ϕ + i sin ϕ ϕ ϕ ϕ 2 cos ϕ − i sin ϕ 2 2 cos 2 + 2i sin .cos 2 2 2 2 2 ϕ ϕ   π  π  Khi tan >0 thì d ng lư ng giác là tan cos  −  + i sin  −   2 2   2  2  TEL:0988844088 www.MATHVN.com 6
  12. www.MATHVN.com ϕ ϕ  π   π  Khi tan 0 thì d ng lư ng giác là: 2sin ϕ cos  ϕ −  + i sin  ϕ −     2  2    π  π  - Khi sin ϕ < 0 thì d ng lư ng giác là: ( −2sin ϕ ) cos  ϕ +  + i sin  ϕ +     2  2  D ng 2: MÔ UN VÀ ACGUMEN Ví d 1) Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c z, bi t z 2 = −2 + 2 3i Gi i: Ta có: z 2 = − 2 + 2 3 i ⇔ z 2 = 4  co s 2 π + i s in 2 π     3 3   2π 2π  Do ó: z 2 = −2 + 2 3i ⇔ z 2 = 4  cos + i sin   3 3    2π 2π   z = 2  cos 3 + i sin 3  z = 1+ i 3   ⇔ ⇔   π π  z = −1 − i 3   z = −2  cos + i sin    3 3 T ó suy ra ph n th c và ph n o c a z tương ng là 1 và 3 ho c -1 và − 3 ( Ví d 2) Tìm m t acgumen c a s ph c: z − 1 + i 3 bi t m t acgumen c a z ) π b ng 3 π 1 3  nên z = z  +  2 2 i Gi i: z có m t acgumen b ng 3    1 3  ( ) Do ó: z − 1 + i 3 = ( z − 2)  +  2 2 i    π ( - Khi z > 2 , m t aacgumen c a z − 1 + i 3 là ) 3 4π - Khi 0 < z < 2 , m t acgumen c a z − 1 + i 3 là ( ) 3 TEL:0988844088 www.MATHVN.com 7
  13. www.MATHVN.com ( ) - Khi z = 2 thì z − 1 + i 3 =0 nên acgumen không xác nh. Ví d 3) Cho s ph c z có mô un b ng 1. Bi t m t acgumen c a z là ϕ , tìm m t acgumen c a: 1 a) 2z 2 b) − c) z + z d) z 2 + z 2z Gi i: z = 1 , z có m t acgumen là ϕ . Do ó z = cos ϕ + i sin ϕ a) z 2 = cos 2ϕ + i sin 2ϕ ⇒ 2 z 2 = 2 ( cos 2ϕ + i sin 2ϕ ) ⇒ 2 z = 2 ( cos ϕ − i sin ϕ ) V y 2z2 có m t acgumen là 2ϕ b) z = cos ϕ + i sin ϕ ⇒ z = cos ϕ − i sin ϕ ⇒ 2 z = 2 ( cos ϕ − i sin ϕ ) = ( cos ( −ϕ ) − i sin ( −ϕ ) ) = ( cos ϕ + i sin ϕ ) 1 1 1 ⇒ 2z 2 2 = ( − cos ϕ − i sin ϕ ) = ( cos (ϕ + π ) + i sin ϕ (ϕ + π ) ) 1 1 1 ⇒− 2z 2 2 1 V y− có m t acgumen là ϕ + π 2z c) Ta có: z + z = 2 cos ϕ N u cos ϕ > 0 thì có m t acgumen là 0 N u cos ϕ < 0 thì có m t acgumen là π N u cos ϕ = 0 thì acgumen không xác nh. d) z 2 + z = cos 2ϕ + i sin 2ϕ , z = cos ϕ − i sin ϕ 3ϕ ϕ 3ϕ ϕ ⇒ z 2 + z = cos 2ϕ + cos ϕ + i ( sin 2ϕ − sin ϕ ) = 2 cos cos + i.2 cos sin 2 2 2 2 3ϕ  ϕ ϕ = 2 cos  cos + i sin  2  2 2 ϕ 3ϕ ϕ 3ϕ V y acgumen z 2 + z là n u cos > 0 , là + π n u cos < 0 và không xác nh 2 2 2 2 3ϕ n u cos =0 2 π π Ví d 4) Cho s ph c z = 1 − cos − i sin . Tính mô un, acgumen và vi t z dư i 7 7 d ng lư ng giác. Gi i: π π π 8π  4π 2    Ta có: z =  1 − cos  + sin 2 = 2 1 − cos  = 2 1 + cos  = 2 cos  7 7  7  7  7 π 8π − sin sin t ϕ = arg ( z ) thì tan ϕ = 7 = 7 = cot 4π = tan  − π  π 4π   1 − cos 2sin 2 7  14  7 7 www.MATHVN.com 8
  14. www.MATHVN.com π Suy ra: ϕ = − + kπ , k ∈ z 14 π π π Vì ph n th c 1 − cos > 0 , ph n o − sin < 0 nên ch n m t acgumen là − 7 7 14 4π   π   π  V y z = 2 cos  cos  − 14  + i sin  − 14   7      1 Ví d 5) Vi t dư i d ng lư ng giác c a m t s ph c z sao cho z = và m t 3 z 3π acgumen c a là − 1+ i 4 Gi i: 1 1 Theo gi thi t z = thì z = ( cos ϕ + i sin ϕ ) 3 3 ⇒ z = ( cos ϕ − i sin ϕ ) = ( cos ( −ϕ ) + i sin ( −ϕ ) ) 1 1 3 3 1 2  π π Vì 1 + i = 2  + i 2  = 2  cos + i sin    2   4 4 z 1   π  π  Nên = 1+ i 3 2   cos  −ϕ − 4  + i sin  −ϕ − 4       π 3π π 1 π π Do ó: −ϕ − = − + 2kπ ⇔ ϕ = + 2kπ , k ∈ Ζ. v y z =  cos + i sin  . 4 4 2 3 2 2 z + 3i π Ví d 6) Tìm s ph c z sao cho: = 1 và z+1 có m t ácgumen là − z +i 6 Gi i: T gi thi t ⇒ z + 3i = z + i ⇔ x + ( y + 3)i = x + ( y + 1)i ⇔ x 2 + ( y + 3) = x 2 + ( y + 1) 2 2 z + 3i =1 z+i ⇒ y = −2 π  π  π τ z+1 có 1 acgumen b ng − 6 t c là z + 1 = τ [cos  −  + i sin  − ] =  6  6 2 ( ) 3 − i v i r>0.  τ 3 x +1 = Ta có z+1=x+1-2i suy ra   2 ⇔ τ = 4 ⇒ z = 2 3 − 1 − 2i   −2 = − τ x = 2 3 −1    2 D ng 3) NG D NG S PH C TRONG BÀI TOÁN T H P Ví d 1) Tính các t ng sau khi n=4k+1 2 − a) S = C2 n +1 − C2 n +1 + C2 n +1 − ....... + C2 nn+12 − C2 nn+1 0 2 4 2 2 n −1 2n+ b) S = C2 n +1 − C2 n +1 + C2 n+1 − ....... + C2 n +1 − C2 n+11 1 3 5 Gi i: www.MATHVN.com 9
  15. www.MATHVN.com Xét (1 + i ) = C20n+1 + iC2n+1 + i 2C22n+1 + ..... + i 2n +1C22nn++11 = C20n+1 − C22n+1 + ... − C22nn+1 + i(C21n+1 − C23n+1 + .. − C22nn++11 ) 2 n +1 1 M t khác ta l i có:  π π 2 n +1  (2n + 1)π (2n + 1)π  1 + i = 2  cos + i sin  ⇒ (1 + i ) 2 n +1 = 2 cos + i sin   4 4  4 4   (2n + 1)π (2n + 1)π   (8k + 3)π (8k + 3)π  = 2n 2 cos + i sin  = 2 2 cos n + i sin   4 4   4 4   3π 3π  = 2n 2 cos + i sin  = −2n + i 2n  4 4  T ó ta có a) S=-2n b) S=2n Ví d 2) Tính các t ng h u h n sau: a) S = 1 − Cn2 + Cn − Cn + .......... 4 6 b) S = Cn − Cn + Cn − Cn + .......... 1 3 5 7 Gi i: Xét (1 + i ) = Cn + iCn + i 2Cn2 + ..... + i nCnn = 1 − Cn + Cn4 − ... + i (Cn − Cn + Cn − Cn + ....) n 0 1 2 1 3 5 7  π π n  nπ nπ  1 + i = 2  cos + i sin  ⇒ (1 + i ) = 2 cos + i sin n  4 4  4 4  T ó ta có k t qu n nπ n nπ a) S = 2 cos b) S = 2 sin 4 4 1 n nπ  Ví d 3) Ch ng minh r ng: 1 + Cn + Cn + ... =  2 + 2 cos 3 6  3 3  Gi i: Ta có 2n = Cn + Cn + Cn + Cn + ....Cnn (1) 0 1 2 3 2π 2π Xét ε = cos + i sin ⇒ ε3 =1 3 3 Ta có (1 + ε ) = Cn + ε Cn + ε 2Cn + ......ε n Cn = Cn + ε Cn + ε 2Cn + Cn + ε Cn + ..... (2) n 0 1 2 n 0 1 2 3 4 (1 + ε ) 2 n = Cn + ε 2Cn + ε 4Cn2 + ......ε 2 nCn = Cn + ε 2Cn + ε Cn + Cn + ε 2Cn + .....(3) 0 1 n 0 1 2 3 4 π π π π Ta có 1 + ε + ε 2 = 0;1 + ε 2 = cos − i sin ;1 + ε = cos + i sin 3 3 3 3 C ng (1) (2) (3) theo v ta có nπ 2n + (1 + ε ) + (1 + ε 2 ) = 3 ( Cn + Cn + Cn + ...) ⇔ 2n + 2 cos = 3 ( Cn + Cn + Cn + ...) n n 0 3 6 0 3 6 3 1 nπ  ⇔ 1 + Cn + Cn + ... =  2n + 2 cos 3 6  3 3  TEL:0988844088 www.MATHVN.com 10
  16. www.MATHVN.com M TS BÀI T P T LUY N 1) Gi i phương trình sau trên t p s ph c: a) z 3 = z b) z + z = 3 + 4i c) z 2 − ( z ) = 4i 3 d )z2 + 2z +1− i = 0 2 e) z 2 + 4 z + 5 = 0 f )(1 + i ) z 2 + 2 + 11i = 0 g ) z 2 − 2( z + z ) + 4 = 0 2) Tìm s th c x tho mãn b t phương trình: 1+ i 7  x + 1 + 2i − 2  a) 1 + 4i − 2− x ≤ 5 b) − log 2 x ≤ 1 c)1 − log 2  ≥0 4  2 −1  3) Tìm s ph c z sao cho A = ( z − 2)( z + i ) là s th c z + 7i 4) Tìm s ph c z tho mãn i u ki n z = 5; là s th c z +1 5) Tìm t p h p các i m M trong m t ph ng ph c bi u di n các s ph c z tho mãn i u ki n z − 2i a ) z 2 − ( z ) = 9 b) = 4 c )3 z + i = z + z − 3i d ) z + 3i − 4 = 2 e) z + 1 ≥ z + i 2 z + 2i z − 2i z−2 +2 f ) z = z + 4 − 3i g ) > 1 h)2 z − i = z − z + 2i k ) log 1 ( ) >1 z + 2i 3 4 z − 2 −1 3 6) Trong các s ph c tho mãn i u ki n z − 2 + 3i = . Tìm s ph c z có modun l n 2 nh t,nh nh t. 7) Tìm s ph c z tho mãn i u ki n ( z − 1)( z + 2i ) là s th c và z nh nh t. 8) Tìm m t acgumen c a s ph c z khác 0 bi t z + z i = z 9) Tìm s ph c z tho mãn z 2 + z = 2 và z = 2 10) Gi i h pt sau trong t p s ph c:  z − 12 5  z1 + z2 = 3 − i  =  2 z − i = z − z + 2i   z − z2 + 1 = 0 z − 8i 3 2    a)  2 b)  1 1 3 + i c)  2 1 d)  z −z =4 z + z = 5  z2 − z1 + 1 = 0 z−4 2    =1  1  z −8 2   z3 + 2z 2 + 2z +1 = 0  e)  2010 z + z +1 = 0 2011  11) Cho phương trình 2 z 3 − (2i + 1) z 2 + (9i − 1) z + 5i = 0 có nghi m th c. Hãy tìm t t c các nghi m c a phương trình. 1 1 12) Tìm ph n th c ph n o c a z = 2011 + w 2011 bi t + w =1 w w 13) Tìm n nguyên dương các s ph c sau là s th c, s o: n  − 2 +i 6   4 + 6i  n  7 + 4i  n  3 − 3i  a) z =     b) z =   c) z =   d )z =   3 − 3i    3 + 3i   −1 + 5i   4 − 3i    www.MATHVN.com 11
  17. www.MATHVN.com 14) Cho n nguyên dương, ch ng minh r ng 2nπ C2 n − 3C2 n + 9C24n − 27C2 n + ..... + ( −3) C2 nn = 22 n cos 0 2 6 n 2 3 15) Tìm s ph c z sao cho z = z − 2 và m t acgumen c a z-2 b ng m t acgumen π c a z+2 c ng v i 2 16) Gi i phương trình 2z 2z a) 0 = z 2 + tan 2 100 + 4i − 2 b) 0 = z 2 + cot 2 120 + 6i − 7 cos10 sin12 M i th c m c xin vui lòng liên h th y Nguy n Trung Kiên 0988844088 www.MATHVN.com 12
  18. Soá phöùc Traàn Só Tuøng CHÖÔNG IV SOÁ PHÖÙC I. SOÁ PHÖÙC 1. Khaùi nieäm soá phöùc · Taäp hôïp soá phöùc: C · Soá phöùc (daïng ñaïi soá) : z = a + bi (a, bÎ R , a laø phaàn thöïc, b laø phaàn aûo, i laø ñôn vò aûo, i2 = –1) · z laø soá thöïc Û phaàn aûo cuûa z baèng 0 (b = 0) z laø thuaàn aûo Û phaàn thöïc cuûa z baèng 0 (a = 0) Soá 0 vöøa laø soá thöïc vöøa laø soá aûo. ìa = a ' · Hai soá phöùc baèng nhau: a + bi = a’ + b’i Û í (a, b, a ', b ' Î R) îb = b ' 2. Bieåu dieãn hình hoïc: Soá phöùc z = a + bi (a, b Î R) ñöôïc bieåu dieãn bôûi ñieåm M(a; b) hay r bôûi u = (a; b) trong mp(Oxy) (mp phöùc) 3. Coäng vaø tröø soá phöùc: · ( a + bi ) + ( a’ + b’i ) = ( a + a’) + ( b + b’) i · ( a + bi ) - ( a’ + b’i ) = ( a - a’) + ( b - b’) i · Soá ñoái cuûa z = a + bi laø –z = –a – bi r r r r r r · u bieåu dieãn z, u ' bieåu dieãn z' thì u + u ' bieåu dieãn z + z’ vaø u - u ' bieåu dieãn z – z’. 4. Nhaân hai soá phöùc : · ( a + bi )( a '+ b ' i ) = ( aa’ – bb’) + ( ab’ + ba’) i · k (a + bi ) = ka + kbi (k Î R) 5. Soá phöùc lieân hôïp cuûa soá phöùc z = a + bi laø z = a - bi æz ö z · z = z ; z ± z ' = z ± z ' ; z.z ' = z.z '; ç 1 ÷ = 1 ; z. z = a2 + b2 è z2 ø z2 · z laø soá thöïc Û z = z ; z laø soá aûo Û z = - z 6. Moâñun cuûa soá phöùc : z = a + bi uuuu r · z = a2 + b2 = zz = OM · z ³ 0, "z Î C , z =0Ûz=0 z z · z.z ' = z . z ' · = · z - z' £ z ± z' £ z + z' z' z' 7. Chia hai soá phöùc: 1 z' z '.z z '. z z' · z -1 = z (z ¹ 0) · = z ' z -1 = = · = w Û z ' = wz 2 z 2 z.z z z z Trang 102
  19. Traàn Só Tuøng Soá phöùc 8. Caên baäc hai cuûa soá phöùc: ì 2 2 · z = x + yi laø caên baäc hai cuûa soá phöùc w = a + bi Û z2 = w Û í x - y = a î 2 xy = b · w = 0 coù ñuùng 1 caên baäc hai laø z = 0 · w ¹ 0 coù ñuùng hai caên baäc hai ñoái nhau · Hai caên baäc hai cuûa a > 0 laø ± a · Hai caên baäc hai cuûa a < 0 laø ± - a .i 9. Phöông trình baäc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C laø caùc soá phöùc cho tröôùc, A ¹ 0 ). D = B 2 - 4 AC -B ± d · D ¹ 0 : (*) coù hai nghieäm phaân bieät z1,2 = , ( d laø 1 caên baäc hai cuûa D) 2A B · D = 0 : (*) coù 1 nghieäm keùp: z1 = z2 = - 2A Chuù yù: Neáu z0 Î C laø moät nghieäm cuûa (*) thì z0 cuõng laø moät nghieäm cuûa (*). 10. Daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc: · z = r (cos j + i sin j) (r > 0) laø daïng löông giaùc cuûa z = a + bi (z ¹ 0) ì ïr = a2 + b2 ï ï a Û ícos j = ï r ïsin j = b ï î r · j laø moät acgumen cuûa z, j = (Ox , OM ) · z = 1 Û z = cos j + i sin j (j Î R) 11. Nhaân, chia soá phöùc döôùi daïng löôïng giaùc Cho z = r (cos j + i sin j) , z ' = r '(cos j '+ i sin j ') : z r · z.z ' = rr '. [ cos(j + j ') + i sin(j + j ')] · = [ cos(j - j ') + i sin(j - j ')] z' r ' 12. Coâng thöùc Moa–vrô: n · [r (cos j + i sin j)] = r n (cos nj + i sin nj) , ( n Î N* ) n · ( cos j + i sin j ) = cos nj + i sin nj 13. Caên baäc hai cuûa soá phöùc döôùi daïng löôïng giaùc: · Soá phöùc z = r (cosj + i sin j ) (r > 0) coù hai caên baäc hai laø: æ j jö r ç cos + i sin ÷ è 2 2ø æ j jö é æj ö æj öù vaø - r ç cos + i sin ÷ = r ê cos ç + p ÷ + i sin ç + p ÷ ú è 2 2ø ë è2 ø è2 øû · Môû roäng: Soá phöùc z = r (cosj + i sin j ) (r > 0) coù n caên baäc n laø: n æ j + k 2p j + k 2p ö r ç cos + i sin ÷ , k = 0,1,..., n - 1 è n n ø Trang 103
  20. Soá phöùc Traàn Só Tuøng VAÁN ÑEÀ 1: Thöïc hieän caùc pheùp toaùn coäng – tröø – nhaân – chia AÙp duïng caùc quy taéc coäng, tröø, nhaân, chia hai soá phöùc, caên baäc hai cuûa soá phöùc. Chuù yù caùc tính chaát giao hoaùn, keát hôïp ñoái vôùi caùc pheùp toaùn coäng vaø nhaân. Baøi 1. Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa caùc soá phöùc sau: æ1 ö æ2 5 ö a) ( 4 – i ) + ( 2 + 3i ) – ( 5 + i ) b) 2 - i + ç - 2i ÷ c) ( 2 - 3i ) - ç - i ÷ è3 ø è3 4 ø æ 1 ö æ 3 ö 1 æ3 1 ö æ 5 3 ö d) ç 3 - i ÷ + ç - + 2i ÷ - i e) ç + i ÷ - ç - + i ÷ f) ( 2 - 3i )( 3 + i ) è 3 ø è 2 ø 2 è4 5 ø è 4 5 ø 3 -i 2 -i 3 1+ i g) - h) i) 1+ i i 1 + 2i 1- i m a+i a 3+ i k) l) m) i m a-i a (1 - 2i )(1 + i ) 1+ i a+i b 2 - 3i o) p) q) 2-i i a 4 + 5i Baøi 2. Thöïc hieän caùc pheùp toaùn sau: 2 2 3 3 2 a) (1 + i ) - (1 – i ) b) ( 2 + i ) - ( 3 - i ) c) ( 3 + 4i ) 3 æ1 ö (1 + 2i) 2 - (1 - i) 2 6 d) ç - 3i ÷ e) f) ( 2 - i ) è2 ø (3 + 2i) 2 - (2 + i ) 2 g) (-1 + i )3 - (2i )3 h) (1 - i)100 i) (3 + 3i )5 Baøi 3. Cho soá phöùc z = x + yi . Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa caùc soá phöùc sau: z+i a) z2 - 2 z + 4i b) iz - 1 Baøi 4. Phaân tích thaønh nhaân töû, vôùi a, b, c Î R: a) a2 + 1 b) 2a2 + 3 c) 4a 4 + 9b2 d) 3a2 + 5b 2 e) a4 + 16 f) a3 - 27 g) a3 + 8 h) a4 + a2 + 1 Baøi 5. Tìm caên baäc hai cuûa soá phöùc: a) -1 + 4 3i b) 4 + 6 5i c) -1 - 2 6i d) -5 + 12i 4 5 e) - - i f) 7 - 24i g) -40 + 42i h) 11 + 4 3.i 3 2 1 2 i) + i k) -5 + 12i l) 8 + 6i m) 33 - 56i 4 2 VAÁN ÑEÀ 2: Giaûi phöông trình treân taäp soá phöùc Giaû söû z = x + yi. Giaûi caùc phöông trình aån z laø tìm x, y thoaû maõn phöông trình. Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình sau (aån z): 2 a) z 2 + z = 0 b) z 2 + z = 0 c) z + 2 z = 2 - 4i d) z 2 - z = 0 e) z - 2 z = -1 - 8i f) ( 4 - 5i ) z = 2 + i Trang 104

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản