CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI
ĐẠI HỌC VỀ SỐ PHỨC
Chuyên đề luyện thi đại học về số phức
Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV trường THPT Trung Giã “Khó hôm nay, dễ ngày mai”
Trang 1
Tính giá trị biểu thức:
1. Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình: z2 + 4z + 13 = 0. Tính giá trị của biểu thức:
A = z1.z2 + |z1|2 + |z2|2
( )( )
2
2
2
121
11 zzzzB ++−−=
2. Gọi z1, z2 là nghiệm phức của phương trình: z2 – 4z + 5 = 0. Tính: A = (z1 – 1)2011 + (z2 – 1)2011.
3. Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình: 2z2 – 4z + 11 = 0. Tính giá trị:
( )
2
21
2
2
2
1
zz
zz
A+
+
=
.
4. Cho phương trình: z3 – 5z2 + 16z – 30 = 0 (1). Gọi z1, z2 và z3 lần lượt là 3 nghiệm của phương trình
(1) trên tập số phức. Tính giá trị biểu thức:
2
3
2
2
2
1
zzzA ++=
.
5. Cho hai số phức z, z’ thoả mãn: |z| = |z’| = 1 và
3' =+ zz
. Tính giá trị biểu thức: A = |z – z’|.
Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức:
6. Trong mp Oxy, tìm quỹ tích các điểm biểu diễn số phức w = z – 1 + i thoả mãn:
121
2
+=−+ ziz
7. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: a) |z + 1 + i| = |z(1 – i)|. b)
8. Cho số phức z1 thoả mãn:
( )
( )
2
3
1
1
21
i
i
z+
+
=
. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: |z + z1| = 4
9. Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức
( )
231
1++= ziz
, biết rằng: |z - 1| = 2.
10. Trong mặt phẳng phức Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w=(1 + i)z+1 biết
11z−≤
11. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = (z + i)(2 + i), trong đó z là số phức thỏa |z - 2| = 3.
Môđun của số phức nhỏ nhất hoặc lớn nhất:
12. Tìm số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện: izz 34 −+= và biểu thức A = |z + 1 – i| + |z –2+3i|
có giá trị nhỏ nhất.
13. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện:
( )
12
1
1=+
−
+
i
zi
. Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất.
14. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thoả mãn điều kiện: a) |iz – 3| = |z – 2 – i| b) |z + 1 + 2i| = 1
15. Tìm số phức z thoả mãn
( )
( )
izz 21 +−
là số thực và |z| nhỏ nhất.
16. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thoả mãn điều kiện: a)
izzz 212 +−=−
b)
1
3
51 =
−+
−+
iz
iz
.
17. Trong tất cả các số phức z thoả mãn: |z – 2 + 2i| = 1, hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
Tìm phần thực, phần ảo:
18. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z = (1 + i)n, trong đó n ∈ N và thoả mãn: log4(n-3) + log5(n+6) =4
19. Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp:
1)
( )
( )
12
16
1
3
i
i
z+
+
=
2) z =
( )
( )
5
10
10
(1 ) 3
13
ii
i
−+
−−
3)
( )
( )
2011
2012
3
1
i
i
z+
+
=
4)
( )
6
31 iz −=
5) z=
( )
10
3
i−
Tìm số phức z thoả mãn điều kiện cho trước:
20. Tìm số phức z thoả mãn: a)
ziiz −=− 13
và
2
9
−z
là số thuần ảo. b)
1
3
1=
−
−
z
z
và
2
2=
+
−
iz
iz
.
21. Tìm số phức z thoả mãn: a)
i
z
z
z
71
200
2
4
−
−=+
b)
3
5
8
12 =
−
−
iz
z
và
1
8
4=
−
−
z
z
c)
( )
2
1
31 z
i
ziiz =
+
+−
22. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: |z – 2 + i| = 2, biết z có phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.
23. Tìm số phức z thoả mãn: a)
izziz 22 +−=−
và 4)( 22 =− zz . b)
8.2 2
2=++ zzzz
và
2
=+
zz
24. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện:
iziz +−=+ 12
và
iz
iz
2
1
+
−+
là một số thuần ảo.
25. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: 1)
( )
2621 =+− iz và
25. =zz
. 2)
( )
izzzz 413. −=−+
Chuyên đề luyện thi đại học về số phức
Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV trường THPT Trung Giã “Khó hôm nay, dễ ngày mai”
Trang 2
26. Cho các số phức: z1 = 1 + 2i, z2 = 3 – 4i. Xác định số phức z ≠ 0 thoả mãn: z1.z là số thực và
1
2
=
z
z
.
27. Tìm số phức z thoả mãn: a)
( )
( )
izz 21 +−
là số thực và 22=z. b)
13. =zz
và |z – 4| + |z + 4| = 10
28. Tìm số phức z thoả mãn: iziz 43|21| ++=−+ và
iz
iz
+
−2
là một số thuần ảo.
29. Tìm số phức z thỏa mãn: 1)
( )
1 2 5 . 34z i va z z+− = =
2)
15z−=
và
17( ) 5 0z z zz+− =
3) 3
zz
=
Hai số phức bằng nhau:
30. Tìm các số thực x, y thoả mãn: 1) x(3 + 5i) + y(1 – 2i)3 = 7 + 32i. 2)
( ) ( )
iiy
i
ix 41121
32
23 3+=−+
+
−
31. Tìm môđun của số phức z, biết: 1)
( )
iziz 2125314 +=++
. 2)
( )
i
z
zi
z
i−+
−
=
−2
.321
2
.
32. Giải phương trình trên tập số phức: 1) (z2 + z)2 + 4(z2 + z) – 12 = 0 2)
( )
( )
0
22 =−+ zziz
3) |z| - iz = 1 – 2i 4) z3 + 2z – 4i = 0 5) (z2 – z)(z + 3)(z + 2) = 10 6)
( )
52 2
4−= zzz
7) z4 – z3 + 6z2 – 8z – 16 = 0 a)
8
35
542
2
=−+ zzz
b)
i
z
z68
25 −=+
33. Giải phương trình trên tập số phức, biết phương trình có nghiệm thực: 2z3 – 5z2 + (3 + 2i)z + 3 + i = 0.
34. Chứng minh rằng phương trình z4 - 4z3 + 14z2 - 36z + 45 = 0 có 2 nghiện thuần ảo. Tìm tất cả nghiệm.
35. Tìm phần thực, phần ảo của số phức: z = 1 + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + … + (1 + i)20.
36. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z thoả mãn: z = 1 + 2i + 3i2 + 4i3 + … + 2009i2008.
37. Cho số phức z thoả mãn: |z| = 1 và
2=+ z
i
z
. Tính tổng: S = 1 + z2 + z4 + … + z2010.
38. Tìm phần thực, phần ảo của số phức:
( ) ( ) ( ) ( )
3000963 3...333 iiiiz −++−+−+−=
39. Chứng minh số phức sau là số thực:
i
i
i
i
z32
323
32
323
−
+−
+
+
+
−=
40. Tìm các số thực x, y thỏa mãn: (x + i)(1 – yi) + (x – i)(y + i) = 6 – 2i.
41. Tìm phần thực của số phức z = (1 + i)n, với n ∈ N* và n là nghiệm của:
( ) ( )
39log3log
44
=++− nn
42. Tìm số phức z có mô đun lớn nhất, biết z thỏa mãn điều kiện:
2
2
3=
+−
+−
iz
iz
43. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z = 1+ (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + … + (1 + i)20.
44. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z + 1 = i2011 + i2012. Tìm môđun của số phức:
ziz +
45. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z, biết rằng:
32 +=− ziz
và |4z – 8 – 9i| nhỏ nhất.
46. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện:
2
18
1−
−
=− z
z
z
. Tính:
iz
iz
2
4
−
+
47. Cho z là số phức thỏa mãn:
( )
( )
iziziz 2=++
. Tính: |z + i|
48. Tìm các số phức z1, z2 thỏa mãn:
24
211
−=− zzz
và
( )
i
ziz
i
z−=
−
−
+1
1
2
1
11
2
49. Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = z + 2i, biết rằng: |z – i| = |z(1 - i)|
50. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z3, biết: z(1 + i) = 2(1 + 2i).
51. Tìm số thực m để phương trình: z3 – 5z2 + (m – 6)z + m = 0 có 3 nghiệm phức phân biệt z1, z2, z3 thỏa
mãn điều kiện: |z1|2 + |z2|2 + |z3|2 = 21.
52. Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn: |z1 – z2| = |z1| = |z2| > 0. Tính giá trị của biểu thức:
4
1
2
4
2
1
+
=z
z
z
z
A
Chuyên đề luyện thi đại học về số phức
Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV trường THPT Trung Giã
Trang 1
Dạng 1: Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp của mỗi số phức:
Bài 1. Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp của mỗi số phức sau:
1) z =
23
(2 )(3 ) (1 2 )ii i− − −− 2) z = (2 + i)3 – (3 - i)3. 3) z =
5(4 2 ) 7 (8 5 )ii i−+ −
4) z = 25
(1 3 )( 2 )(1 )
i
i ii
−+
+−−+
5) z =
7
7
11
2i
ii

−


6) z = 1 31 3
1 21 2
ii
ii
+−
+
−+
7) z =
23
( 3 2 )(1 ) (1 2 ) (3 )ii i i−+ − + − +
8) z =
22
(4 ) (1 3 )
ii
− −− 9) z =
22
( 2 5) (4 8)
ii
−+ +
11) z =
(2 ) (1 )(4 3 )
32
i ii
i
+++ −
−
12) z =
32
1
ii
ii
−+
−
+
13) z =
2
3
( 3 2 )(1 )
(1 2 ) (3 )
ii
ii
−+ −
−+
15) z =
(3 4 )(1 2 ) 43
12
ii i
i
−+
+−
−
16)
(3 )(2 6 )
1
ii
i
++
−
17)
( ) ( )
( ) ( )
22
22
223
121
ii
ii
z+−+
−−+
=
18) z =
44
(2 7 ) [(1 2 )(3 )]i ii+ −− + 19) z =
7
5 (1 )ii−
20) z =
34
(2 ) (2 )
ii+−
Bài 2. Cho số phức z = 2 - 5i. Tìm phần thực, phần ảo và môđun: 1) z2 – 2z + 4i. 2)
1
zi
iz
+
−
.
Bài 3. Cho số phức z thỏa mãn
2
(1 3 )
1
i
zi
−
=−
. Tìm môđun của số phức
z iz+
.
Bài 4. Cho các số phức z1 = 1 + 2i, z2 = -2 + 3i, z3 = 1 – i. Hãy tính và sau đó tìm phần thực, phần ảo,
môđun và số phức liên hợp của mỗi số phức sau:
1)
22
12
22
23
zz
zz
+
+
2)
12 23 31
zz zz zz++
3)
123
zzz 4)
222
123
zzz++
5)
3
12
231
z
zz
zzz
++
Bài 5. Tìm các số thực x, y sao cho:
1) (1 – 2i)x + (1 + 2y)i = 1 + i 2) i
i
y
i
x
=
−
−
+
+
−
3
3
3
3
3)
( ) ( )
( )
iyxyxyxyixi 2222 23
2
1
42343 −+−=++−
Bài 6. Cho ba số phức
12 3
14; 15; 33z iz iz i=+ =−+ =−−
có các điểm biểu diễn lần lượt là A, B, C. Hãy tìm
số phức z có điểm biểu diễn là:
1) trọng tâm G của tam giác ABC. 2) D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD.
3) trực tâm H của tam giác ABC. 4) tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.
Bài 7. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức biểu diễn các số:
1
4
−i
i
; (1 – i)(1 + 2i) ;
i
i
−
+
3
62
.
1) CMR: ∆ABC vuông cân. 2) Tìm số phức biểu diễn điểm D, sao cho ABCD là hình vuông
Tính toán:
1) Cho số phức
i
i
z−
+
=1
1
. Tính z2009. 2) Tính:
2004
1
1
+i
;
21
321
335
−
+
i
i
;
( )
( )
11
5
31
3
i
i
−
+
3) Tính giá trị biểu thức:
816
1
1
1
1
+
−
+
−
+
=i
i
i
i
A
66
2
31
2
31
+
+
+−
=ii
B
Dạng 2: Tìm số phức z thoả mãn điều kiện:
Bài 1. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện:
1)
2 13
12
ii
z
ii
+ −+
=
−+
2)
4
1
zi
zi
+

=

−

. 3)
(9 3 ) (11 6 ) 57
ii
i
z
−−+ = −
4)
8
3
=
−
+
iz
iz
5) (1 + i)z2 = -1 + 7i 6)
( )
1
23 0
2
i z i iz i


+ ++ + =



7)
35 12 (1 )(4 3 )
13 2
ii
z ii
ii
++
+ =−+
−
8) 3
(1 2) (3 4) 2 3iz i i+ − − =−+ 9)
(2 ) 3 4iz i
−=+
10)
2
( 2 5 ) ( 2 7 ) (1 )(1 2 )iz i i i+ =−+ − − −
10) (i+1)2(2– i)z = 8 +i+(1+2i)z (CĐ’09) 11)
5
(1 ) (3 2 )(1 3 )iz i i−=+ +
12)
( 2 7 ) (14 ) (1 2 )iz i iz−+ = − + −
Bài 2. Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau:
1)
2 34zz i−=−
. 2)
2
20zz+=
3) 2z + 3
z
=2+3i 4) z2 =
z
+ 2 5)
2
0zz+=
.
6) (2 ) 10zi−+= và
. 25zz=
(ĐH.B’09) 7) 2i
( )
( )
12z zi−+
là số thực và
15
z−=
Chuyên đề luyện thi đại học về số phức
Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV trường THPT Trung Giã
Trang 2
8)
1z=
và phần thực bằng 2 lần phần ảo. 9)
−=−
=−
|||1|
|||2|
izz
ziz 11) 11
z
zi
−=
− và
31
zi
zi
−=
+
Dạng 3: Giải phương trình bậc hai - tìm số phức z.
Bài 1. Giải phương trình trên tập số phức:
1) z2 – z + 1 = 0. 2) x2 – 6x + 25 = 0 3)
( )
( )
22
21 30zz+ ++ =
4) z2 + 2z +5 = 0
5)
2
50xx− +−=
6) z2 – 3z + 3 + i = 0 7) x4+ 7x2 + 10 = 0 8)
42
5 40xx+ +=
Bài 2. Giải các phương trình sau:
1)
( ) ( )
2
3 6 3 13 0zi zi+− − +− + =
2)
( ) ( )
2
22
4 12 0zz zz+ + +−=
3)
2
33
3. 4 0
22
iz iz
zi zi
++

− −=

−−

Bài 3. (ĐH.A’09) Cho z2 + 2z + 10 = 0 có hai nghiệm phức z1 và z2 là nghiệm. Tính giá trị
22
12
Az z= +
.
Bài 4. Giải phương trình sau trên tập số phức:
1)
2
43
10
2
z
zz z− + ++= 2)
01
23
=+
+
−
+
+
−
+
+
−
iz
iz
iz
iz
iz
iz
3)
10)2)(3)((
2
=++− zzzz
4) z4 + 2z3 – z2 + 2z + 1 = 0 5) z4 – 4z3 + 6z2 – 4z – 15 = 0. 6) 42 2
3 (1 ) 4(1 ) 0zz z z− +− + =
7) (z2 + 3z + 6)2 + 2z(z2 + 3z + 6) - 3z2 = 0 8) z6 + z5 – 13z4 – 14z3 – 13z2 + z + 1 = 0
Bài 5. Giải các phương trình sau, biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
1) z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = 0 2) z3 + (1 + i)z2 + (i – 1)z – i = 0
Dạng 4: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước.
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn các điều kiện:
1)
34zz++ =
2)
12zz i− +− =
3)
(3 4 ) 2zi−− =
. (ĐH.D’09) 4) |z – 2| + |z + 2| = 10
5)
22
() 4zz
−=
6)
32 1zi−+ =
7)
(1 3 ) 3 2z iz i+ − = +−
8)
22
zi zz i−= −+
9) |2i.z – 1| = 2|z+3| 10)
9. =zz
11)
(3 2 )(1 ) 1z ii−+ −=
12) |z + i| = |z – 2 – 3i|
13) |z + 2| = |i – z| 14)
3
(1 ) 1zi−− =
15) 2
()
zi−là một số thực dương 16)
1222 −=− zzi
17)
18)
4
zi
zi
−=
+
19)
11
zi
=
+
20)
iz
z
+
−2
là số thực 21)
zi
zi
+
−
là một số thực dương
22)
2
( 1)zi−+
là một số thuần ảo. 23)
( )
2 ()ziz−+
là số thực tùy ý, 24)
1
1z−
là một số thuần ảo.
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:
23zi z i−= −−
.
Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mô đun nhỏ nhất.
Dạng 5: Dạng lượng giác và Acgumen của số phức.
Dạng lượng giác của số phức:
( )
ϕϕ
sincos irz +=
; r ≥ 0. ϕ được gọi là agumen. r là môđun của z.
Bài 1. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
1)
31 i−
2) 1 + i 3)
)1)(31( ii +−
4)
i
i
+
−
1
31
5)
i22
1
+
6)
)3(2 ii −
Bài 2. Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi trường hợp sau:
1) |z| = 3 và một acgumen của iz là
4
5
π
2)
3
1
=z
và một acgumen của
i
z
+1
là
4
3
π
−
Bài 3. Gọi z1 và z2 là 2 nghiệm phức của phương trình:
0432
2
=−− izz
.Viết dạng lượng giác của z1 và z2
Một số bài tập:
1. Tìm căn bậc hai của số phức: -8 + 6i; 3 + 4i ;
i221−
2. Xác định phần thực của số phức
1
1
−
+
z
z
, biết rằng |z| = 1 và z ≠ 1.
3. Chứng minh rằng: nếu
1
1
−
+
z
z
là số ảo thì |z| = 1.