Tr ng THPT Tân Qu iườ ớ 2008-2009
PH NG TRÌNH-BÂT PH NG TRÌNH-H PH NG TRÌNH VÔ TƯƠ ƯƠ Ệ ƯƠ Ỷ
A. Ph ng trình - b t ph ng trình ch a căn th cươ ấ ươ ứ ứ
I. Ph ng pháp bi n đ i t ng đ ngươ ế ổ ươ ươ
1. Ki n th c c n nh :ế ứ ầ ớ
( )
( )
( )
( )
2 2
2 1 2 1
2 2
2 1 2 1
1.
2. 0
3. ,
4. 0
5. ,
n
n
n n
n n
n n
n n
a a
a b a b ab
a b a b a b
a b a b
a b a b a b
+ +
+ +
=
= ⇔ = >
= ⇔ = ∀
≥ ≥ ⇔ ≥
≥ ⇔ ≥ ∀
2. Các d ng c b n:ạ ơ ả
* D ng 1:ạ
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
0g x
f x g x f x g x
≥
= ⇔ =
(Không c n đ t đi u ki nầ ặ ề ệ
( )
0f x ≥
)
* D ng 2:ạ
( ) ( )
f x g x>
xét 2 tr ng h p:ườ ợ
TH1:
( )
( )
0
0
g x
f x
<
≥
TH2:
( ) ( )
2
( ) 0g x
f x g x
≥
>
* D ng 3:ạ
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
( ) 0
0
f x
f x g x g x
f x g x
≥
≤ ⇔ ≥
≤
L u ý: ư+ g(x) th ng là nh th c b c nh t (ườ ị ứ ậ ấ ax+b) nh ng có m t s tr ng h p ư ộ ố ườ ợ g(x) là tam th c b c haiứ ậ
(ax2+bx+c), khi đó tuỳ theo t ng bài ta có th m nh d n đ t đi u ki n cho ừ ể ạ ạ ặ ề ệ
( )
0g x ≥
r i bình ph ng 2 vồ ươ ế
đ a ph ng trìnhư ươ −b t ph ng trình v d ng quen thu c.ấ ươ ề ạ ộ
+ Chia đa th c tìm nghi m: Ph ng trình ứ ệ ươ
có nghi m ệx=
α
thì chia v trái cho cho ếx–
α
ta đ c ượ
( )
( )
1 2
0 1 2 1
0
n n
n n
x b x b x b x b
α
− − − −
− + + + + =L
, t ng t cho b t ph ngươ ự ấ ươ
trình.
* Ph ng trìnhươ −b t ph ng trình b c 3: N u nh m đ c 1 nghi m thì vi c gi i theo h ng này làấ ươ ậ ế ẩ ượ ệ ệ ả ướ
đúng, n u không nh m đ c nghi m thì ta có th s d ng ph ng pháp hàm s đ gi i ti p và n u ph ngế ẩ ượ ệ ể ử ụ ươ ố ể ả ế ế ươ
pháp hàm s không đ c n a thì ta ph i quay l i s d ng ph ng pháp khác.ố ượ ữ ả ạ ử ụ ươ
* Ph ng trìnhươ −b t ph ng trình b c 4, lúc này ta ph i nh m đ c 2 nghi m thì vi c gi i ph ngấ ươ ậ ả ẩ ượ ệ ệ ả ươ
trình theo h ng này m i đúng, còn n u nh m đ c 1 nghi m thì s d ng nh ph ng trìnhướ ớ ế ẩ ượ ệ ử ụ ư ươ −b t ph ngấ ươ
trình b c 3 và n u không ta ph i chuy n sang h ng khác.ậ ế ả ể ướ
“Cũng nh không ?!ư”
Ví d 1:ụ Gi i ph ng trình: ả ươ
01312 2=+−+− xxx
(ĐH Kh i D – 2006)ố
Bi n đ i ph ng trình thành: ế ổ ươ
2
2 1 3 1x x x− = − + −
(*), đ t đi u ki n r i bình ph ng 2 v ta đ c:ặ ề ệ ồ ươ ế ượ
028116 234 =+−+− xxxx
ta d d ng nh m đ c nghi m ễ ạ ẩ ượ ệ x = 1 sau đó chia đa th c ta đ c:ứ ượ
(*)⇔ (x – 1)2(x2 – 4x + 2) = 0.
Ví d 2:ụ Gi i b t ph ng trình: ả ấ ươ
( ) ( )
( )
2
2
4 1 2 10 1 3 2x x x+ ≥ + − +
, ĐK:
2
3
−≥x
( )
( )
2
2 1 5 2 3 2 ( 5) 3 2 9 5pt x x x x x x x x⇔ + + ≥ + + − + ⇔ + + ≥ +
(1), V i ớ
3
2
x≥ −
hai v (1) đ u khôngế ề
âm nên ta bình ph ng 2 v : ươ ế x3 – x2 – 5x – 3
0
≥
( ) ( )
2
3 1 0x x⇔ − + ≥
b) T ng t v i 2 d ngươ ự ớ ạ : *
( ) ( )
f x g x≥
*
( ) ( )
f x g x<
Ví d 1:ụ Gi i b t ph ng trình ả ấ ươ
( )
2
2 6 1 2 0 1x x x− + − + <
Gi iả
( )
2
1 2 6 1 2x x x⇔ − + < −
b t ph ng trình t ng đ ng v i h :ấ ươ ươ ươ ớ ệ
Chuyên đ : PT – BPT – H PT vô tề ệ ỷ THÁI THANH TÙNG
1
Tr ng THPT Tân Qu iườ ớ 2008-2009
2
2
2
2 0 3 7 3 7 3 7
2 6 1 0 3
2 2 2
2 6 1 2 1 3
x
x
x x x x x
x x x x
>
− >
− + +
− + ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥ ⇔ ≤ ≤
− + < −
− < <
Ví d 2:ụ Tìm m đ ph ng trình ể ươ
2
2 1 2x mx m− + = −
có nghiêm.
Gi iả
* N u ếm < 2 ⇒ ph ng trình vô nghi m.ươ ệ
* N u ếm ≥ 2 ⇒ ph ng trình ươ ⇔ x2−2mx−m2+4m−3=0. Ph ng trình này có ươ ∆=2m2−4m+3>0 v i m i ớ ọ m.
V y v i ậ ớ m ≥ 2 thì ph ng trình đã cho có nghiêm.ươ
Ví d 3:ụ Tìm m đ ph ng trình ể ươ
2
2 3 1x mx x+ − = +
có hai nghi m phân bi t.ệ ệ
Gi i: ả
Cách 1:
( )
2
1
2 4 0,(*)
x
PT x m x
≥ −
⇔+ − − =
, ph ng trình (*) luôn có 2 nghi m:ươ ệ
2 2
1 2
2 4 20 2 4 20
0, 0
2 2
m m m m m m
x x
− + − + − − − +
= > = <
. Ph ng trình đã cho có 2 nghi m ươ ệ
⇔
(*) có
2 nghi m ệ
1x≥ −
⇔
( )
2
22 2
4
1 4 4 20 1
4 4 20
m
x m m m m
m m m
≤
≥ − ⇔ − ≥ − + ⇔ ⇔ ≤ −
− ≥ − +
Chú ý: + x1 > 0, x2 < 0 vì x1 > x2 và a.c < 0 nên pt có 2 nghi m trái d u.ệ ấ
+ Cách 1 th ng dùng khi h s ườ ệ ố a luôn d ng ho c luôn âm.ươ ặ
+ Cách 2: Đ t ặt = x + 1 suy ra x = t – 1, khi đó v i ớ
1 0x t≥ − ⇒ ≥
.
(*) tr thành: ở
( ) ( ) ( )
2
1 2 1 4 0t m t− + − − − =
(**). Đ (*) có 2 nghi m ể ệ
1x≥ −
thì (**) ph i có 2 nghi mả ệ
0≥t
.
Ví d 4:ụ (ĐH Kh i B – 2006). Tìm ốm đ ph ng trình có hai nghi m th c phân bi t: ể ươ ệ ự ệ
2
2 2 1x mx x+ + = +
,
(1)
Gi i: ả
( ) ( )
2
2 1 0
3 4 1 0, 2
x
pt x m x
+ ≥
⇔− − − =
đ (1) có hai nghi m th c phân bi t thì (2) có hai nghi m l n h nể ệ ự ệ ệ ớ ơ
ho c b ng ặ ằ
1
2
−
hay
( )
2
4 12 0
1 9
0
2 2
1
2 2
m
f m
S
∆ = − + >
− ≥ ⇔ ≥
÷
> −
.
Chú ý : Cách 2: đ t ặ
1
2
t x= +
, khi đó đ (2) có hai nghi m l n h n ho c b ng ể ệ ớ ơ ặ ằ
1
2
−
thì
( )
2
1 1
3 4 1 0
2 2
t m t
− − − − − =
÷ ÷
có hai nghi m th c l n h n ho c b ng 0.ệ ự ớ ơ ặ ằ
3. Các k năng:ỹ
a. Đ bình ph ng 2 v ph ng trình – b t ph ng trình thì m t là ta bi n đ i cho 2 vể ươ ế ươ ấ ươ ộ ế ổ ế
không âm hai là đ t đi u ki n cho 2 v không âm.ặ ề ệ ế
Ví d 1:ụ Gi i b t ph ng trình: ả ấ ươ
5 1 1 2 4x x x− − − > −
(ĐH Kh i A – 2005)ố
V ph i không âm, nh ng v trái ch a nh n xét đ c do đó ta ph i bi n đ i thành:ế ả ư ế ư ậ ượ ả ế ổ
5 1 1 2 4x x x− > − + −
khi đó ta bình ph ng 2 v r i đ a v d ng c b n đ gi i.ươ ế ồ ư ề ạ ơ ả ể ả
Ví d 2:ụ Gi i ph ng trình: ả ươ
( ) ( ) ( )
2
1 2 2 1x x x x x− + + =
.
Gi iả
Chuyên đ : PT – BPT – H PT vô tề ệ ỷ THÁI THANH TÙNG
2
Tr ng THPT Tân Qu iườ ớ 2008-2009
Đi u ki n: ề ệ
( )
1
2 *
0
x
x
x
≥
≤ −
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
2
2 2 2
2
1 2 2 1 2 4 2 1 2 2 1
4 2 2 1
8 9 0
x x x x x x x x x x x
x x x x x
x x
⇔ + + − + = ⇔ − + = −
⇔ + − = −
⇔ − =
V y ph ng trình đã cho có hai nghi m ậ ươ ệ x=0,
9
8
x=
.
(Hãy tìm thêm cách gi i khácả)
Ví d 3:ụ Tìm m đ ph ng trình ể ươ
2 2
2 4 0x mx x− − − =
có nghi m.ệ
HD: Chuy n v , đ t đi u ki n, bình ph ng hai v tìm đ c ể ế ặ ề ệ ươ ế ượ
2
1,2
16
2
m m
x± −
=
. K t h p v i đi u ki n taế ợ ớ ề ệ
tìm đ c |ượ m| ≥ 4.
b. Chuy n v ph ng trình – b t ph ng trình tích: ể ề ươ ấ ươ
- Đ t nhân t chung, h ng đ ng th cặ ử ằ ẳ ứ
L u ý:ư Đ s d ng ph ng pháp này ta ph i chú ý đ n vi c thêm, b t, tách, phân tích...ể ử ụ ươ ả ế ệ ớ
Ví d 4:ụ Gi i ph ng trình: ả ươ
2
7 7x x+ + =
.
HD:
•Bình ph ng hai v .ươ ế
•Dùng h ng đ ng th c ằ ẳ ứ a2 − b2=0.
•Nghi m ệ
1 29
2, 2
x x −
= =
.
Ví d 5:ụ Gi i các b t ph ng trình: a. ả ấ ươ
( )
2
2
4
1 1
xx
x
> −
+ +
b.
( )
2 2
3 2 3 2 0x x x x− − − ≥
ĐS: a. −1≤x<8, b.
{ }
[
)
1
; 2 3;
2
−∞ − +∞
U U
.
Ví d 6:ụ (Kh i B – 2007): Ch ng minh r ng v i m i giá tr d ng c a tham s ố ứ ằ ớ ọ ị ươ ủ ố m, ph ng trình sau có haiươ
nghi m th c phân bi t:ệ ự ệ
( )
2
2 8 2x x m x+ − = −
.(1)
Gi i: ĐK: ả
2≥x
, do m > 0.
( )( ) ( )
=−+
=
⇔−=+−⇔ )2(,326
2
242 23 mxx
x
xmxxpt
. Đ ch ng minh ể ứ
0>∀m
, ph ng trình (1)ươ
có 2 nghi m phân bi t thì ch c n ch ng minh ph ng trình (2) có m t nghi m khác 2.ệ ệ ỉ ầ ứ ươ ộ ệ
Th t v y: đ t ậ ậ ặ
( )
3 2
6 32, 2f x x x x= + − ≥
, ta có f(2) = 0,
( ) ( )
' 2
lim , 3 12 0, 2
x
f x f x x x x
→+∞
= +∞ = + > ∀ ≥
nên f(x) là hàm liên t c trên ụ
[
)
2; +∞
và đ ng bi n trên kho ngồ ế ả
đó suy ra
0>∀m
ph ng trình (2) luôn có nghi m ươ ệ x0 mà 2 < x0 <
∞+
.
M t s d ng chuy n thành tích:ộ ố ạ ể
- D ng:ạ
( ) ( )
- -a c x b d
ax b cx d m
+
+ ± + =
Ta bi n đ i thành: ế ổ
( ) ( )
( )m ax b cx d ax b cx d
+ ± + = + − +
Ví d :ụ Gi i ph ng trình: ả ươ
3
4 1 3 2 5
x
x x +
+ − − =
. ĐS: x=2.
- D ng:ạ u+v=1+uv ⇔ (u-1)(v-1)=0
Ví d :ụ Gi i ảph ng trìnhươ :
32
3 3
1 2 1 3 2x x x x+ + + = + + +
. ĐS: x=0, x=−1.
Ví d :ụ Gi i ảph ng trìnhươ :
3 24
4
1 1x x x x+ + = + +
. ĐS: x=0, x=1.
- D ng:ạ au+bv=ab+uv ⇔ (u−b)(v−a)=0
Ví d 1:ụ Gi i ảph ng trìnhươ :
2
3 2 1 2 4 3x x x x x x+ + + = + + +
. ĐS: x=0, x=1.
Ví d 2:ụ Gi i ảph ng trìnhươ :
3 2 2 2
3 3 2 3 2 2x x x x x x x+ + + + = + + +
. ĐS: x=0.
- D ng:ạ a3−b3 ⇔ (a−b)(a2+ab+b2)=0 ⇔ a=b
Chuyên đ : PT – BPT – H PT vô tề ệ ỷ THÁI THANH TÙNG
3
Tr ng THPT Tân Qu iườ ớ 2008-2009
Ví d :ụ Gi i ảph ng trìnhươ :
( ) ( )
2
23
3
2 3 9 2 2 3 3 2x x x x x+ + = + +
. ĐS: x=1.
c. Chuy n v d ng: Aể ề ạ 1 + A2 +....+ An = 0 v i ớ
,0 1
i
A i n≥ ≤ ≤
khi đó pt t ng đ ng v i:ươ ươ ớ
, ,
1 2
0 0 0L
n
A A A= = =
.
Ví d 1:ụ Gi i ảph ng trìnhươ :
2
4 3 3 4 3 2 2 1x x x x x+ + = + + −
.
HD: Ph ng trình t ng đ ng ươ ươ ươ
( ) ( )
2
4 4 3 3 1 2 2 1 2 1 0x x x x x x− + + + − − + − =
. ĐS: x=1.
Ví d 2:ụ Gi i ph ng trình: ả ươ
2 2
4 2 4x y y x y− − + = +
.
Gi iả
Bình ph ng hai v ta đ c ươ ế ượ
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
1
2 1 2 2 2 4 0 , 2.
2
x y y x y x y− + + + + + = ⇔ = = −
d. S d ng l p ph ng:ử ụ ậ ươ
V i d ng t ng quát ớ ạ ổ
3 3 3
a b c± =
ta l p ph ng hai v và s d ng h ng đ ng th cậ ươ ế ử ụ ằ ẳ ứ
( ) ( )
33 3
3a b a b ab a b± = ± ± ±
khi đó ph ng trình t ng đ ng v i h ươ ươ ươ ớ ệ
3 3 3
3
3
a b c
a b abc c
± =
± ± =
. Gi i h này taả ệ
có nghi m c a ph ng trình.ệ ủ ươ
Ví d :ụ Gi i b t ph ng trình ả ấ ươ
3 3 3
1 2 2 3x x x− + − = −
. ĐS:
3
1; 2; 2
x x x= = =
.
e. N u b t ph ng trình ch a n m u:ế ấ ươ ứ ẩ ở ẩ
- TH1: M u luôn d ng ho c luôn âm thì ta quy đ ng kh m uẩ ươ ặ ồ ử ẩ :
Ví d 1:ụ Gi i b t ph ng trình: ả ấ ươ
( )
( )
2
2 16 7
3 1
3 3
xx
x
x x
−−
+ − >
− −
(ĐH Kh i Aố−2004)
Gi iả
ĐK:
4≥x
.
( )
( ) ( )
2 2
1 2 16 3 7 2 16 10 2⇔ − + − > − ⇔ − > −x x x x x
( )
( )
2
2
45
10 2 0
10 2 0 10 34 5
2 16 10 2
xx
x
x
x
x x
≥
⇔ >
− <
⇔− ≥
⇔ − < ≤
− > −
V y t p nghi m c a b t ph ng trình là: ậ ậ ệ ủ ấ ươ
10 34> −x
.
-TH2: M u âm d ng trên t ng kho ng thì ta chia thành t ng tr ng h p:ẩ ươ ừ ả ừ ườ ợ
Ví d 2:ụ Gi i các b t ph ng trình: a. ả ấ ươ
( )
2 2
3 4 9x x x− + ≤ −
b.
2
51 2 1
1
x x
x
− − <
−
.
HD: a. Xét ba tr ng h p ườ ợ x=3, x>3 và x<3. ĐS:
53
6
x x< − ∨ ≥
.
b. Xét hai tr ng h p c a ừ ợ ủ x−1. ĐS:
1 52 5 1x x− ≤ < − ∨ >
.
Bài t pậ
Bài 1: Gi i các ph ng trình sau:ả ươ
a.
( )
2
2 1 1 0x x x x x x− − − − + − =
.
HD: Bình ph ng 2 v và bi n đ i thành: ươ ế ế ổ
2 2 3 2
2 4 4 6 4 0x x x x x x x x− − − + − + − =
.
2 2
( 2)(2 2 2) 0x x x x x⇔ − − + − + =
b.
2 2
4 5 1 2 1 9 3x x x x x+ + − − − = +
. HD: Nhân l ng liên h p.ượ ợ
Bài 2: Gi i b t ph ng trình sau: ả ấ ươ
2
1 2 1 2 2 .x x x− + + ≥ −
HD: Cách 1: Đ t ặ
4 2
2
4
1 2 1 2 16
t t
t x x x −
= − + + ⇒ = −
. Cách 2: Bình ph ng r i đ a v d ng:ươ ồ ư ề ạ A1+A2 = 0,
v i ớA1, A2
0
≥
.
Chuyên đ : PT – BPT – H PT vô tề ệ ỷ THÁI THANH TÙNG
4
Tr ng THPT Tân Qu iườ ớ 2008-2009
Bài 3: Gi i ph ng trình ả ươ
4 3 10 3 2x x− − = −
. (HD: Bình ph ng hai l n ra ph ng trình b c 4 đ yươ ầ ươ ậ ầ
đ _nh m nghi m (ủ ẩ ệ x=3) chia đa th c). ứ
Bài 4: Gi i ph ng trình ả ươ
2
2
1 1
3x x x x+ − = + −
.
Bài 5: Gi i ph ng trình ả ươ
2
2 6 1 1x x x+ + = +
.
Bài 6: Gi i các ph ng trình sau:ả ươ
1.
2
1 1x x− = +
2.
3 3
2 2 3 1x x− + − =
3.
3 3 3
2 2 2 9x x x+ + − =
4.
3
3 3
1 1 2x x x− + + =
5.
2
1 1 2 4
x
x x+ + − = −
6.
2
2 3 3 1 4
x
x x − +
+ = + +
7.
5 3 3 1 1x x x− + − = −
. (HD:Bình ph ng r i s d ng d ng: ươ ồ ử ụ ạ A1+A2 = 0, v i ớA1, A2
0≥
).
Bài 7: Tìm m đ ph ng trình sau có nghi m: ể ươ ệ
m x m x m+ + − =
.
Bài 8: Tìm m sao cho ph ng trình: ươ
2
4x x x m− = +
.
a. Có nghi m.ệ
b. Có hai nghi m phân bi t.ệ ệ
Bài 9: Gi i các b t ph ng trình sau:ả ấ ươ
a.
2
1 1 4 3
x
x
− − <
.
b.
2 2 2
3 2 6 5 2 9 7x x x x x x+ + + + + ≤ + +
.
c.
2 2 2
2 2 3 4 5x x x x x x+ − + + − ≤ + −
.
Bài 10: Gi i các ảph ng trìnhươ :
a.
3 3
2 2
3 3
1x x x x x+ + = + +
. b.
4
3 4
3
x
x x
x
+ + =
+
.
c.
3
4 3 1 4x x x
+ = + +
. d.
2
2 3 9 4x x x+ = − −
.
e.
2 2
2 1 4 3 1 2 2 6x x x x x x− + + + = + +
.
II. Ph ng pháp đ t n ph :ươ ặ ẩ ụ
D ng 1:ạ
( )
( )
0
n
F f x =
, đ t ặ
( )
n
t f x=
(l u ý n u ư ế n ch n ta ph i thêm đi u ki n ẵ ả ề ệ t ≥ 0).
Ví d 1: Gi i các ph ng trình:ụ ả ươ a.
2 2
11 31x x+ + =
. b.
( ) ( )
2
5 2 3 3x x x x+ − = +
.
HD: a. Đ t ặ
2
11, 0t x t= + ≥
. ĐS: x=±5.
b. Đ t ặ
2
3 , 0t x x t= + ≥
. ĐS:
3 109
2
x− ±
=
.
Ví d 2: Tìm m đ ph ng trình sau có nghi m: ụ ể ươ ệ
2 2 2
2 2 5 2x x m x x m+ + − − =
.
Gi iả
Đ t: ặ
( )
2
2
5 2 6 1 0; 6t x x x t
= − − = − + ⇒ ∈
.
Khi đó ph ng trình tr thành ươ ở
( )
2 2
2 5 0 * 5t mt m t m− + − = ⇔ = ±
. Ph ng trình đã cho có nghi m khiươ ệ
(*) có nghi m ệ
0; 6t
∈
hay
0 5 6 5 6 5
0 5 6 5 6 5
m m
m m
≤ + ≤ − ≤ ≤ −
⇔
≤ − ≤ ≤ ≤ +
.
Ví d 3: Tìm ụm đ b t ph ng trình: ể ấ ươ
( )
2
( 2 2 1) 2 0m x x x x− + + + − ≤
, (1) có nghi mệ
0;1 3x
∈ +
.
Gi i: Đ t ả ặ
2 2 2
2 2 2 2t x x x x t= − + ⇒ − = −
. N u ế
[ ]
31;0 +∈x
thì
( )
[ ]
2;111 2∈+−= xt
BPT tr thành: ở
( ) ( )
2
1 2 0, 2m t t+ + − ≤
Khi đó ta có
2
2
1
tm
t
−≥
+
, v i ớ
1 2t≤ ≤
. Đ t ặ
( )
2
2
1
t
f t t
−
=+
, dùng đ th ta tìm đ c ồ ị ượ
2
3
m≤
.
Chuyên đ : PT – BPT – H PT vô tề ệ ỷ THÁI THANH TÙNG
5