CHƯƠNG 5
ÐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA
MẶT CẮT NGANG
I. KHÁI NIỆM
II. MOMEN TĨNH CỦA MẶT CẮT NGANG
1. Momen tĩnh đối với một trục
2. Moment tĩnh đối với những trục song song
3. Trục trung tâm
4. Trọng tâm mặt cắt ngang
III. MOMEN QUÁN TÍNH CỦA MẶT CẮT NGANG
IV. MOMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ MẶT CẮT
NGANG
1. Xác định momen quán tính của mặt cắt ngang hình chữ nhật đối với các
trục trung tâm X, Y
2. Xác định momen quán tính của mặt cắt ngang hình tam giác đối với trục
x đi qua đáy
3. Mặt cắt ngang hình tròn
V. CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG CỦA MOMEN QUÁN TÍNH
VI. HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH - CÔNG THỨC XOAY TRỤC CỦA MOMEN
QUÁN TÍNH
1. Hệ trục quán tính chính
2. Công thức xoay trục của momen quán tính
I. KHÁI NIỆM TOP
Trong thí nghiệm về kéo nén đúng tâm, ta nhận thấy với cùng một loại vật liệu, thanh nào có
diện tích mặt cắt ngang lớn hơn thì chịu được tải trọng lớn hơn.Nhưng đối với thí nghiệm
uốn, xoắn ... thì khả năng chịu lực của chúng không những phụ thuộc diện tích mặt cắt ngang
mà còn phụ thuộc hình dạng và sự bố trí mặt cắt ngang nữa. Thí nhiệm cho thấy, thanh tròn
rỗng như hình 5-1 chịu được momen xoắn lớn gấp hai lần thanh tròn đặc có cùng diện tích
mặt cắt ngang. Ðối với thanh chữ nhật đặt đứng (h 5-1a) chịu lực P thì ứng suất trên mặt cắt
ngang của thanh nhỏ hơn 4 lần khi đặt ngang (h 5-1b), độ võng nhỏ hơn 16 lần khi đặt
ngang.
Vì vậy ngoài diện tích mặt cắt ngang F ta cần xét đến những đại lượng khác đặc trưng cho
hình dạng của mặt cắt ngang về hình học. Ðó là momen tĩnh và momen quán tính.
II- MOMEN TĨNH CỦA MẶT CẮT NGANG
1. Momen tĩnh đối với một trục TOP
Ta gọi momen tĩnh của mặt cắt ngang F đối với các trục x, y là các tích phân sau:
Sx : moment tĩnh của mặt cắt
ngang đối với trục x
Sy : moment tĩnh của mặt cắt
ngang đối với trục y
x,y: khoảng cách từ diện tích vi cấp dF tới các trục tương ứng
Ví dụ: Tính moment tĩnh của mặt cắt ngang chữ nhật chữ nhật đối với trục x, y trùng với các
cạnh của nó.
- Ðối với trục x: dF = b.dy =>Ġ
- Ðối với trục y: dF = h.dx =>Ġ
Ghi chú: Moment tĩnh đối với một trục của mặt cắt hình dạng phức tạp bằng tổng đại số
moment tĩnh của các hình đơn giản thành phần.
Ví dụ:
2. Momen tĩnh đối với những trục song song TOP
Ta tính momen tĩnh của trục với OXY so với hệ trục cũ Oxy song song tương ứng với gốc
Oï(b, a).
Ta có Ġ
3. Trục trung tâm TOP
Ghi chú: mọi trục đối xứng của mặt cắt ngang đều là trục trung tâm
4. Trọng tâm mặt cắt ngang TOP
Trọng tâm mặt cắt ngang là giao điểm của các trục trung tâm.
Gọi xc, yc là tọa độ trọng tâm của mặt cắt ngang (C(xc,yc)) ta có:
Ngược lại nếu biết trọng tâm của mặt cắt ngang đối với hệ trục x, y thì ta có thể biết được
momen tĩnh của mặt cắt ngang đối với hệ trục đó
Vậy mọi trục đi qua trọng tâm mặt cắt đều có momen tĩnh bằng 0
Ví dụ:
1) Xác định trọng tâm của mặt cắt ngang hình chữ nhật:
2) Xác định tọa độ trọng tâm hình tam giác: (chỉ xét tung độ yc)
a) Tính momen tĩnh của mặt cắt ngang so với trục x trùng với cạnh đáy
Xét một dãy song song với trục x. Coi dãy đó là một hình chữ nhật có diện tích b(y).dy
Ta có: b(y) = Ay +B
y = 0 => b(y) = b => B = b
Ta có
Vậy:Ġ
b) Tung độ trọng tâm yc:
Ta có:Ġ
3) Xác định tọa độ trọng tâm hình nữa tròn:
Xác định momen tĩnh của mặt cắt ngang đối với trục x trùng cạnh đáy
Xét một dãy dài b(y) rộng dy
Ta có: y = R.sin( ; b(y) = 2Rcos( ;
d(y) = R.dj.cosj
dF = b(y) dy = 2Rcosj.Rcosj dj
= 2R2cos2j dj
Vì y là trục đối xứng nên Sy = 0
b) Do Sy = 0 nên trọng tâm C nằm trên trục tung => xc = 0
III- MOMEN QUÁN TÍNH CỦA MẶT CẮT NGANG
Momen quán tính đối với một trục TOP
Momen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục x hay y được định nghĩa là các tích phân sau
* Momen quán tính cực
Momen quán tính cực của mặt cắt ngang đối với cực 0 được định nghĩa là tích phân sauĠ
* Momen quán tính ly tâm
Momen quán tính ly tâm của mặt cắt ngang đối với hệ trục xy là tích phân sau
Nhận xét:
a) Momen quán tính đối với một trục và momen quán tính cực luôn luôn dương
b) Tổng hai momen quán tính của một mặt cắt đối với hai trục vuông góc nhau bằng
momen quán tính cực của mặt cắt ngang đó đối với giao điểm của hai trục trên
c) Momen quán tính ly tâm Jxy có thể âm, dương hoặc bằng không. Thật vậy, khi xoay hệ
trục 0xy một góc (/2 hoặc đổi chiều một trục thì trong tọa độ mới 0xy ta có:
y = y ; x = -x hoặc y = -y và x = x