Trường ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Tp HCM Đáp án môn: TOÁN 3 (MATH132601)
Khoa KHCB-Bộ môn Toán Ngày thi: 2/1/2020
Câu
Ý
Nội dung
Thang
điểm
I
1
Hàm véc tơ vị trí
( ) ( ) 3cos 3sin 2t t dt t t t= = − − +
R V i j k +C
3cos 3sin 4,1, 4,4,0
2 2 2

= − − + =
R i j k +C = C
Vậy hàm véc tơ vị trí
( ) ( )
( ) 4 3cos 3sin 4 2t t t t= − − − +R i j k
0.5
0.25
0.25
2
( ) ( )
( ) 3cos 3sint t t=+R" i j
'( ) ( ) 6sin 6cos 9t t t t = − + +R R" i j k
Độ cong tại t là
117 3
13
13 13
k==
0.25
0.25
0.25
0.25
II
1
Xét
( , , ) xz
F x y z xy
zy
= + −
. Ta có
2
22
11
, 2 ,
zx
F y xy
z y z y
= − − − − +
1
( ) , 10,0
2
FM = − −
Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong tại điểm M là
( ) ( )
14 10 1 0 10 24 0
2x y x y− − − − = + − =
0.5
0.25
0.25
2
2
2 6 4 12
4 2 1
x
y
f xy x y
f x x y
= + − −
= − + +
2
02( 2)( 3) 0
04 2 1 0
x
y
fxy
fx x y
=− + =


=− + + =
Điểm dừng
( ) ( )
3
2, , 1, 3 , 5, 3
2
M N P
− − −


Ta có
2 6, 2 4, 2
xx xy yy
f y f x f= + = − =
,
( )
2
.
xx yy xy
D f f f=−
0.5
0.5
0.25
Điểm
dừng
fxx
fxy
fyy
D
Kết luận
M
9
0
2
18>0
f đat cực tiểu tại M
N
0
-6
2
-36<0
f không đat cực trị tại N
P
0
6
2
-36<0
f không đat cực trị tại P
0.75
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại
3
2, 2
M


,
min 17
() 4
fM−
=
III
1
( )
2
32
2
24 4
x
x
I x y dydx
+
−−
=+

( )
2
2
322
24
2
125
4
x
x
I x y y dx
I
+
−−
=+
=
0.5
0.25
0.25
2
Giao tuyến
22 22
22
3 2 2 1
1
z x y xy
z
z x y
= − − +=

=
=+
Đổi biến sang tọa độ trụ
Khi đó
2
2
2 1 3 2
00 .
r
r
K z r dzdrd
−
=
( )
21 2 2 4
00
1(3 2 ) 2
2
K r r r drd

= − − =

0.25
0.25
0.5
IV
1
Công thực hiện
( )
.7
CC
W F dR xydx x y dy= = + −



(1 )
D
W x dA= − −

( ) ( )
0 2 2 2
2 2 0 2
20 4
1 1 8
33
xx
xx
x dydx x dydx
+−
− − − −
= − − − − = − − = −
0.25
0.25
0.5
2
00
0
. . .
S S S S
Flux dS dS dS I I= = − = −
F N F N F N
I=div
V
òòò FdV
=
3
2
10 10. .3 180
3
V
dV

==

0.5
Mặt
0
022
00
: ; 0,0, 1
9S
z dz
Sxy
= =
=−
+
N
( )
( )
( )
( ) ( )
3
0
23
00
2 0, 9 3 , 0 2 . 0,0, 1
2 cos 2 18
D
D
I x x y x dA
x dA r rdrd
= − − − − + −
= − = − = −

Vậy thông lượng cần tìm
0198Flux I I
= − =
0.5
V
12
219 120 20
, 12
23 23
100
xy
Q Q y
x

= − = +


2
500, 25
tt
xy
t
==
12
12
219 120 20 2
. . .500 12 .
23 23
100 25
1095 48 20 4
19 12
23 25
30000 500 115
t x t y t
Q Q x Q y y
xt
t
tt

= + = − + +



−
= + + +


+

(4) 5
t
Q−
. Vậy lượng xe máy bán ra tại thời điểm này đang giảm.
0.25
0.25
0.25
0.25