ĐÁP ÁN MÔN TOÁN KHỐI A – THI THỬ ĐỢT 1 – 2014

1đ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu 1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = x3 - 3x2 + 4

= + ¥ , = - ¥ * TXĐ: R lim y * x fi+¥ lim y x fi-¥

0,25

* y’ = 3x2 - 6x y’ = 0 (cid:219) x = 0, x = 2 * Bảng BT:

0,25 x y’ y -¥ 0 2 +¥ + 0 - 0 + +¥

-¥

0,25

0,25

1đ

x = -1

2

* Trả lời: Khoảng đồng biến (-¥, 0), (2, +¥) Khoảng nghịch biến: (0, 2) Điểm cực đại: (0, 4) Điểm cực tiểu: (2, 0) * Vẽ đồ thị. 2. Tìm k để đường thẳng d: y = kx + k cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A(-1, 0), M, N trong đó MN £ 2 2 . * Phương trình cho hoành độ giao điểm: x3 - 3x + 4 = k(x + 1) (cid:219) (x2 - 4x + 4 - k)(x + 1) = 0

g(x) = x

- 4x + 4 - k = 0

0,25

(cid:219) Đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A(-1, 0), M, N khi g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 „ -1 ' k 0 0,25 0 k 9 (cid:219) (cid:219) < „ D = > g( 1) 9 k 0 - = - „ (cid:236) (cid:237) (cid:238)

0,25

* MN2 = (x2 - x1)2 + [kx2 + k - kx1 - k]2 = (x2 - x1)2 + k2(x2 - x1)2 = (k2 + 1)[(x1 + x2)2 - 4x1x2] MN £ 2 2 (cid:219) (k2 + 1)[16 - 4(4 - k)] £ 8 (cid:219) k3 + k - 2 £ 0 (cid:219) (k - 1)(k2 + k + 2) £ 0 (cid:219) k £ 1 Đối chiếu điều kiện: 0 < k £ 1.

Câu 2 0,25 1đ - + + Giải phương trình: 2 (1) = (1 s inx)(2sin 2x 6 cos x 2sin x 3) + 2cos x 1 +

0,25 k2 * Điều kiện: cosx „ - (cid:219) x „ + p (k ˛ Z) 1 2 2 p – 3 - + + 2 (1) (cid:219) = + + 0,25 - + 2 (cid:219) = (1 s inx)(2sin x 3)(2 cos x 1) 2 cos x 1 (1 s inx)(4sin x cos x 6 cos x 2sin x 3) 2 cos x 1 + +

http://megabook.vn/ (cid:219) (1 - sinx)(2sinx + 3) = 2

0,25 (cid:219) 2sin2x + sinx - 1 = 0

1 s inx

(cid:219) s inx =

k2 = - + p

(thỏa mãn điều kiện) (cid:219) 0,25

k2 + p = - Ø Œ 1 Œ 2 º p Ø x Œ 2 Œ p Œ = + p x k2 Œ 6 Œ 5 p Œ = x Œº 6

2 2

1đ log x - (2x + 5)log2x + 6 ‡ 0 (1)

0,25

0,25

0,25

Câu 3 Giải bất phương trình: (x + 1) * Điều kiện: x > 0 * (1) (cid:219) [(x + 1)log2x - 3](log2x - 2) ‡ 0 Xét f(x) = (x + 1)log2x - 3 0 < x £ 1 (cid:222) f(x) < 0 x > 1 (cid:222) f(x) đồng biến f(2) = 0 x f(x) log2x - 2 Vế trái

1

2

Nghiệm của (1) là: 0,25 0 2 4 +¥ + - 0 + - 0 + - + 0 - 0 + 0 x 2 < £ Ø Œ ‡º x 4

Câu 4 1đ Tính I = ln(x 1)dx +

(cid:242)

1

1

1

2

(2x 1) + x 1 +

0,25 = + * I = ln(x 1)dx + +

(cid:242) 4x ln(x 1)dx

(cid:242)

0 (2x 1) + (cid:242) x 1 +

0

0

0

1

ln(x 1)dx + x 1 +

A = 4x ln(x 1)dx +

(cid:242)

0

dx Đặt u = ln(x + 1) (cid:222) du =

dv = xdx (cid:222) v =

2 x 1 - 2

0

2

1 x 1+ 2x 1 - 2 1 1 ] A = 4[ ln(x 1) + - 0 1 (cid:242) (x 1)dx - 2 0,25

x) ] = 4[- - 1 0 1 x ( 2 2

1

= 1 1 1 + B = = = + +

(cid:242) ln(x 1)d(ln[x 1])

2ln (x 1) 2

0

0 ln(x 1)dx + (cid:242) x 1 +

2 ln 2

0 1 2

0,25 =

2 ln 2

Vậy: I = 1 + 0,25 1 2

http://megabook.vn/

1đ

S

Câu 5 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 600. Biết SA = 2a, BC = a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC. * Hình vẽ:

M

2

= 600 Gọi H là trung điểm AC (cid:222) SH ^ (ABC) Kẻ HI ^ BC (cid:222) SI ^ BC Góc giữa (SBC) và đáy là: SIH—

2 SC

K

C

SI = IC - =

H

A

0,25 (cid:222) SH = SI × sin600 = a 15 2 3a 5 4

HI = SI =

I

1 2

B

(cid:222) AB = 2HI = a 15 4 a 15 2

35a 3 16

V = . AB.BC.SH = 0,25 1 1 3 2

0,25 * Kẻ Ax song song với BC, HI cắt Ax tại K. Kẻ IM vuông góc với SK. AK ^ (SIK) (cid:222) AK ^ IM (cid:222) IM ^ (SAK)

0,25 Tam giác SIK đều (cid:222) IM = SH = 3a 5 4

Câu 6 Xét các số thực a, b, c thõa mãn: a + b + c = 0; a + 1 > 0; b + 1 > 0; 2c + 1 > 0 1đ

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = + + b a 1 b 1 2c 1 + a + c +

* P = + + a +

0,25 + = + + ) - - ( = 1 - + 1 - 1 2 5 2 1 1 a+ 1 1 b+ 1 4c 2+ 1 1 a+

) - P £ 0,25 5 2 5 ( ( ) + = - + 2 c 4c 2 a b 2 4c 2 2 c b a 1 b 1 2c 1 + + 1 1 b+ 1 + 1 + 1 4c 2+ 4 -

Xét f(c) = với c 2 - < < + 2 c 4c 2 1 2 4 + + 4 - 1 +

2

2 20c] 4[15c 2 2 (c 2) (4c 2) + -

+ f’(c) = = - 4 2 (2 c) - 4 (4c 2) +

f’(c) = 0 khi c = 0 c - 0 2 1 2

0,25 f’(c) f(c) - 0 +

http://megabook.vn/ 5 2

= 0 - Vậy: P £ 5 2

0,25 5 2 Dấu = xảy ra khi a = b = c = 0 Kết luận: maxP = 0

1đ

r PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu 7 Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC, phân giác trong góc A có phương trình x + y + 2 = 0, đường cao kẻ từ B có phương trình: 2x - y + 1 = 0. Điểm M(1, -1) nằm trên đường thẳng AB. Tìm tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết tam giác ABC có diện tích bằng 9. * (d): x + y + 2 = 0 (d’): 2x - y + 1 = 0 Kẻ MH ^ (d), MH cắt AC tại M’, H là trung điểm của MM’. uuuur H(t, -2 - t), MH (cid:222) t = 0 (cid:222) H(0, -2) (cid:222) M’(-1, -3) = (t – 1, -1 - t) ^ u(1, 1)- 0,25 uur làm pháp vectơ.

(cid:222) (cid:222) A(3, -5) 0,25

AM: (cid:222) 2x + y - 1 = 0

Tọa độ B: (cid:222) B(0, 1) (cid:222) AB = 3 5 AC qua M’ nhận vectơ u '(1, 2) AC: x + 1 + 2(y + 3) = 0 (cid:219) x + 2y + 7 = 0 x 2y 7 0 + + = (cid:236) (cid:237) x y 2 0 + + = (cid:238) x 1 y 1 + - = 4 2 - 2x y 1 0 + - = 2x y 1 0 - + = (cid:236) (cid:237) (cid:238)

0,25 C˛AC (cid:222) C(-2t – 7, t) (cid:222) h = d(C, AB) = | 3t 15 | + 5

1 7 C (7, 7) 2

C ( 1, 3) - - 3 5 · = 9 (cid:222) S(ABC) = - 1 2 3 | t 5 | + 5 t 3 = - (cid:222) Ø Œ = - (cid:222) t º

Thử lại ta có C ” C1(-1, -3)

0,25 1đ

0,25

Câu 8 Trong không gian tọa độ cho mặt phẳng (α): x + 2y - 2z + 6 = 0. (α) cắt ba trục tọa độ tại A, B, C. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ A, B, C, I. * (α): x + 2y - 2z + 6 = 0 (α) cắt Ox tại A: y = z = 0 (cid:222) x = -6 (cid:222) A(-6, 0, 0) Tương tự: B(0, -3, 0); C(0, 0, 3) * Gọi pt mặt cầu qua 4 điểm OABC là: x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz = 0 (S)

- = a 3 =

A, B, C ˛ S nên ta có: - = (cid:222) =

b 3 / 2 3 / 2 c = - 36 12a 0 (cid:236) (cid:239) 9 6b 0 (cid:237) (cid:239) 9 6c 0 + = (cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238) 0,25 (cid:222) (S): x2 + y2 + z2 + 6x + 3y - 3z = 0

Tâm K của (S) là: K(-3, ) - 3 3 , 2 2

t x 3 = - +

0,25 * I là hình chiếu của K lên (α) (cid:222) IK = -

- (cid:236) (cid:239) y 3 / 2 2t + (cid:237) (cid:239) = z 3 / 2 2t (cid:238)

I ˛ (α) (cid:222) t - 3 + 2(2t - ) - 2( - 2t) + 6 = 0 3 2 3 2 http://megabook.vn/

t = ) (cid:222) I( 0,25 1 3 8 - - , , 3 5 6 5 6

4

4

Câu 9 Cho tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}. Xét các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau thuộc A. 1đ

6A số

4

6A cách.

0,25

3

4

3

0,25

5A cách (cid:222) có

6A + 5 ×

5A

0,25

4 A + 6 6A

Trong các số nói trên hãy lấy 1 số. Tính xác suất để số đó chia hết cho 5. * Gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau là: abcde Chọn a có 6 cách Chọn 4 số còn lại có 6A cách (cid:222) có 6 × * Trong các số trên, số chia hết cho 5 là: TH1: e = 0: chọn 4 số còn lại có TH2: e = 5: chọn a có 5 cách chọn 3 số còn lại có 3 5 0,25 Vậy, xác suất cần tìm P = » 0,306 5A 4 6

1đ

0,25

PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu 7 Trong mặt phẳng tọa độ cho đường trón (C): (x - 3)2 + y2 = 4 và điểm M(0, 3). Viết phương trình đường tròn (C1) tiếp xúc với đường tròn (C) và tiếp xúc với trục tung tại M. * (C) có tâm I(3, 0) và R = 2 (C1) tiếp xúc với Oy tại M (cid:222) tâm I1(a, 3), a > 0, R1 = a TH1. Khi (C1) tiếp xúc ngoài với (C) (cid:222) II1 = a + 2 (cid:222) (a - 3)2 + 9 = (a + 2)2 (cid:222) 10a = 14 (cid:222) a = 7/5 (cid:222) I1(7/5, 3) và R1 = 7/5 0,50 )2 + (y - 3)2 = (cid:222) (C1): (x - 7 5 49 25

0,25 TH2. Khi (C1) tiếp xúc trong với (C) (cid:222) I1I = | a - 2| (cid:222) (a - 3)2 + 9 = (a - 2)2 (cid:222) a = 7 (cid:222) I1(7, 3) và R1 = 7 (cid:222) (C1): (x - 7)2 + (y - 3)2 = 49 1đ

0,25

0,25 Câu 8 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α): x - 2y + 2z + 6 = 0. (α) cắt ba trục tọa độ tại A, B, C. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ của A, B, C, H. * (α) cắt Ox tại A: y = z = 0 (cid:222) x = -6 (cid:222) A(-6, 0, 0) Tương tự B(0, 3, 0), C(0, 0, -3). Ta có: AB ^ OC, AB ^ HC (cid:222) AB ^ (OHC) (cid:222) AB ^ OH Tương tự: AC ^ OH (cid:222) OH ^ (ABC) (cid:222) H là hình chiếu của O lên (α).

t

OH có vectơ chỉ phương 2t - (cid:222) 0,25

x =(cid:236) r (cid:239) n(1, 2, 2) OH y = - (cid:237) (cid:239) =(cid:238) z 2t

, H ˛ (α) (cid:222) t + 4t + 4t + 6 = 0 (cid:222) t = - (cid:222) H(- 0,25 4 , 3 2 3 2 3

5

6

6

4

8

7

2

4 - ) 3 Câu 9 Tìm hệ số x5 trong khai triển của: f(x) = (1 – 2x(1 – x))8 1đ

3 8

1 8

2 8

0 8

0

8C .(-2)5 + 2 1

7C (-2)3 + 4 2

6C (-2)

8C 1

0,25 0,25 + … C (1 2x) C (1 2x) 2x C (1 2x) 4x C (1 2x) 8x + - - + -

0,25 0,25 * f(x) = (1 – 2x(1 – x))8 = [(1 - 2x) + 2x2] = + - Kể từ số hạng thứ tư trở đi của khai triển không chứa x5 8C 3 8C 5 (cid:222) a5 = = -7616 http://megabook.vn/