Dạy học khái niệm
toán học
Việc dạy học các khái niệm toán học ở trường THPT phải dần
dần làm cho học sinh đạt được các yêu cầu sau:
Nắm vững[2] các đặc điểm đặc trưng[3] của một khái niệm
Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một
đối tượng cho trước có thuộc phạm vi một khái niệm nào
đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái niệm, nghĩa là
biết tạo ra một đối tượng thuộc phạm vi một khái niệm cho
trước.
Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số
khái niệm[4]
Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể
trong hoạt động giải toán và ứng dụng vào thực tiễn
Nắm được mối quan hệ của khái niệm này so với khái niệm
khác trong một hệ thống các khái niệm
Các yêu cầu trên đây có quan hệ chặt chẽ với nhau, song vì lí do
sư phạm, các yêu cầu trên không phải lúc nào cũng được đặt ra
với mức độ như nhau với mọi khái niệm. Chẳng hạn, khái niệm
về "hướng của vecto"[5] không được nêu thành định nghĩa một
cách tường minh mà chỉ được diễn tả một cách trực quan dựa
vào kinh nghiệm sống của học sinh. Nhưng với các khái niệm
"hàm số", "hàm số chẵn", "hàm số lẻ",... thì lại yêu cầu học sinh
phải phát biểu được định nghĩa một cách chính xác và vận dụng
được khi giải toán.
II. Các con đường hình thành khái niệm
1) Con đường quy nạp
Theo con đường này, xuất phát từ một số trường hợp cụ thể (như
mô hình, hình vẽ, thí dụ cụ thể,...) giáo viên dẫn dắt học sinh
bằng cách trừu tượng hóa và khái quát hóa[6] tìm ra dấu hiệu đặc
trưng của một khái niệm thể hiện ở những trường hợp cụ thể, từ
đó đi đến định nghĩa của khái niệm.
Cần phải chọn lọc một số lượng thích hợp những hình ảnh, thí
dụ cụ thể, trong đó dấu hiệu đặc cho khái niệm được đọng lại
nguyên vẹn, còn những thuộc tính khác của những đối tượng thì
thay đổi.
Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đường này thường
diễn ra như sau:
Giáo viên đưa ra một số ví dụ cụ thể để học sinh thấy sự
tồn tại của một loạt đối tượng nào đó
Giáo viên dẫn dẫn học sinh phân tích, so sánh và nêu bật
những đặc điểm chung của các đối tượng đang được xem
xét.[7]
Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu định nghĩa khái
niệm bằng cách nêu các tính chất đặc trưng của khái niệm
Con đường này nên thực hiện khi:
trình độ nhận thức học sinh còn thấp[8];
vốn kiến thức còn chưa nhiều và thường được sử dụng
trong điều kiện: chưa phát hiện được một khái niệm nào
làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn;
đã định hình được một số đối tượng thuộc ngoại diên của
khái niệm cần hình thành, do đó đủ vật liệu để thực hiện
phép quy nạp
Ví dụ, để hình thành khái niệm về phép biến hình theo con
đường quy nạp, ta có thể làm như sau:
Cho điểm O cố định, với điểm M tùy ý hãy dựng điểm M'
là điểm đối xứng với M qua O
Cho một vecto , với điểm M tùy ý hãy dựng điểm M' sao
cho
Qua 2 hoạt động trên, học sinh nhận xét những đặc điểm giống
nhau (với mỗi điểm M đều có một quy tắc để chỉ ra điểm M' xác
định) và khác nhau (thể hiện ở nội dung của quy tắc ấy) ở hai
hoạt động trên. Sau đó đi đến định nghĩa phép biến hình là một
quy tắc sao cho ứng với mỗi điểm M ta có thể chỉ ra một điểm
M' hoàn toán xác định.
Xét một ví dụ khác, trước khi phát biểu định nghĩa đường thẳng
song song với mặt phẳng, có thể cho học sinh giải quyết bài toán
sau: "Chứng minh rằng nếu đường thẳng d song song với một
đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và nếu d không nằm
trong (P) thì đường thẳng d và mặt phẳng (P) không có điểm
chung". Sau đó đi đến định nghĩa "Đường thẳng d song song với
mp(P) nếu d song với một đường thẳng nằm trong (P) và d
không nằm trong mp(P)"
Quá trình hình thành khái niệm theo con đường quy nạp có tác
dụng phát triển những năng lực trí tuện như trừu tượng hóa, khái
quá hóa, so sánh thuận lợi cho hoạt động tích cực của học sinh.
Tuy nhiên, con đường này đòi hỏi phải tốn nhiều thời gian và
cần có các điều kiện đã nói trên