ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 10 – HK1 ( 2014 – 2015 ) TRƯỜNG THPT THÀNH NHÂN
Gv Trần Mậu Hạnh 1
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN HỌC KỲ 1.
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I. HÀM SỐ
1. Tập xác định.
Hàm số
1
( )
y
f x
xác định
( ) 0
f x
; Hàm số
( )y f x
xác định
( ) 0
f x
Hàm số 1
( ). ( )
y
f x g x
xác định
( ) 0
( ) 0
f x
g x
; Hàm số
( )
( )
f x
y
g x
xác định
( ) 0
( ) 0
g x
f x
Chú ý: A.B 0 A
B
. 00;,0 22 AAAA ; 00;,0 AAAA
2. Tính chẵn - lẻ. Để xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x) ta tiến hành các bước như sau:
B1. Tìm tập xác định D của hàm số và xét xem D có là tập đối xứng hay không.
B2. Nếu D là tập đối xứng thì so sánh f(–x) với f(x) (x bất kì thuộc D).
+ Nếu f(–x) = f(x), x D thì f là hàm số chẵn.
+ Nếu f(–x) = –f(x), x D thì f là hàm số lẻ.
Chú ý: + Tập đối xứng là tập thoả mãn điều kiện: Với x D thì –x D.
+ Nếu x D mà f(–x) f(x) thì f là hàm số không chẵn không lẻ.
3. Xác định hàm số bậc nhất, hàm số bậc 2.
a. Hàm số bậc nhất: Hàm số bậc nhất y = ax + b (a 0)
+ Tập xác định: D = R.
+ Sự biến thiên:+ Khi a > 0, hàm số đồng biến trên R.
+ Khi a < 0, hàm số nghịch biến trên R.
+ Đồ thị : là đường thẳng có hệ số góc bằng a, cắt trục tung tại điểm B(0; b).
Chú ý: Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b và (d
): y = a
x + b
:
+ (d) song song với (d
)
a = a
và b
b
.
+ (d) trùng với (d
)
a = a
và b = b
.
+ (d) cắt (d
)
a
a
.
b. Hàm số bậc hai : Hàm số bậc 2 có dạng :
y ax bx c
2
(a
0).
+ Tập xác định : D = R
+ Sự biến thiên:
Nếu a> 0 : nghịch biến trên khoảng )
2
;(
a
b
, hàm số đồng biến trên khoảng );
2
(
a
b;
a
y
4
min
tại
a
b
x
2
Nếu a> 0 : hàm số đồng biến trên khoảng )
2
;(
a
b
, nghịch biến trên khoảng );
2
(
a
b;
a
y
4
min
tại
a
b
x
2
+ Đồ thị : Đồ thị là một parabol có đỉnh b
I
a a
;
2 4
, nhận đường thẳng
b
x
a2
làm trục đối xứng,
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 10 – HK1 ( 2014 – 2015 ) TRƯỜNG THPT THÀNH NHÂN
Gv Trần Mậu Hạnh 2
hướng bề lõm lên trên khi a > 0, xuông dưới khi a < 0.
II. PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1. Phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình trùng phương, phương trình đa thức bậc 3.
a. Phương trình có ẩn ở mẫu :
B1. Điều kiện xác định của phương trình ( mẫu khác không)
B2. Qui đồng mẫu
B3. Chuyển phương trình về pt bậc nhấtbậc hai và giải
B4. So với điều kiện xác định nhận loại nghiệm và kết luận.
b. Phương trình trùng phương : là phương trình có dạng : )1(0
24 cbxax
0a(1)
B1. Đặt t = x2 ( 0
t)
B2. PT (1) trở thành : )2(0
2 cbtat .Giải PT(2) , so với điều kiện 0
t, loại nghiệm t<0.
B3. Với t vừa tìm được ở trên, giải tìm x và kết luận.
c. Phương trình bậc 3: là phương trình có dạng : )0(0
23 adcxbxax (1)
B1. Nhẩm nghiệm pt (1) . Giả sử
x
là nghiệm phương trình (1)
B2. Bằng phương pháp chia đa thức hoặc dùng lược đồ Hoocne ta đưa phương trình
về dạng tích : 0))(( 2 cbxaxx
.
B3. Giải phương trình tích :
0
0
0))(( 2
2
cbxax
x
cbxaxx
B4. Kết luận nghiệm
2. Phương trình trị tuyệt đối: Dạng cơ bản và khử trị tuyệt đối.
Dạng 1:
f x g x( ) ( )
Cf x
f x g x
f x
f x g x
1
( ) 0
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
Cg x
f x g x
f x g x
2( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
Dạng 2:
f x g x( ) ( )
C
f x g x
1
2 2
( ) ( )
C
f x g x
f x g x
2
( ) ( )
( ) ( )
Dạng 3:
a f x b g x h x( ) ( ) ( )
. Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp
khoảng để giải.
3. Phương trình căn thức: Cơ bản + Đặt ẩn phụ
Dạng 1. f x g x
f x g x f x hay g x
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0 ( ( ) 0)
Dạng 2.
f x g x( ) ( )
f x g x
g x
2
( ) ( )
( ) 0
Dạng 3. Phương trình có dạng :
f x g x h x
Cách 1: B1. Điều kiện phương trình
0)(
0)(
0
xh
xg
xf
B2. B×nh ph¬ng hai vế đưa về dạng cơ bản .
Cách 2: + Đặt
u f x v g x( ), ( )
với u, v
0.
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 10 – HK1 ( 2014 – 2015 ) TRƯỜNG THPT THÀNH NHÂN
Gv Trần Mậu Hạnh 3
+ Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v.
Dạng 4. Đặt ẩn phụ ( 2 dạng cơ bản )
Dạng 1: 0)((
nxfF , với dạng này ta đặt: nxft )( (nếu n chẵn thì phải có điều kiện )0
tvà
chuyển về phương trình F(t) = 0, giải phương trình này ta tìm được t
.x
Trong dạng này ta
thường gặp dạng bậc hai: .0)()( cxfbxaf
Dạng 2. Phương trình có dạng :
( ) ( ) ( ). ( ) 0 ( 0)
aP x bQ x c P x Q x abc
Cách giải:
Xét
( ) 0 ( ) 0
Q x P x
Xét
( ) 0
Q x
, chia cả hai vế của phương trình cho
( )Q x
và đặt:
( )
( )
P x
t
Q x
, chuyển phương
trình đã cho về dạng: 2
0
at ct b
Lưu ý: Từ cách đặt
( )
( )
P x
t
Q x
( , ) 0
f x t
(
x
là ẩn) từ đó suy ra điều kiện của
t
4. Phương trình bậc hai - Định lý Viet và ứng dụng
a. Phương trình bậc hai
i) Giải và biện luận
ii) Tìm m để phương trình 0
2 cbxax (1) có nghiệm thỏa:
Trường hợp hệ số a là hằng số( không chứa tham số)
+ PT (1) có nghiệm
0
+ PT (1) vô nghiệm
0
+ PT(1) có 2 nghiệm phân biệt
0
+ PT(1) có nghiệm kép
0
Trường hợp hệ số a chứa tham số:
+ PT (1) có nghiệm:
Xét trường hợp a = 0 ?
m. Từ giá trị m tìm được , ta thay vào pt ban đầu và tiến
hành giải bình thường . Kết luận giá trị m có thỏa yêu cầu bài toán không.
Xét trường hợp a
0. Đề PT (1) có nghiệm
0
.
+ PT (1) vô nghiệm
Xét trường hợp a = 0 ?
m. Từ giá trị m tìm được , ta thay vào pt ban đầu và tiến
hành giải bình thường . Kết luận giá trị m có thỏa yêu cầu bài toán không.
ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) (1)
b ac
2
4
Kết luận
> 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt b
x
a
1,2 2
= 0 (1) có nghiệm kép
b
x
a2
< 0 (1) vô nghiệm
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 10 – HK1 ( 2014 – 2015 ) TRƯỜNG THPT THÀNH NHÂN
Gv Trần Mậu Hạnh 4
Xét trường hợp a
0. PT (1) vô nghiệm
0
+ PT (1) vô số nghiệm
0
cba
+ PT(1) có 2 nghiệm phân biệt
0
0a
+ PT(1) có nghiệm kép
0
0a
b. Định lý Viet và ứng dụng
a. Định lý Viet : Giả sử 21,xx là hai nghiệm của phương trình 0
2 cbxax . Khi đó , ta có :
a
c
xxP
a
b
xxS
21
21 (*)
Chú ý quan trọng : Trước khi áp dụng Định lý Viet cần tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm
0
0a
b. Ứng dụng:
i) Tìm hai số khi biết tổng và tich của chúng: cho hai số u và v biết S = u + v, P = uv. Khi đó u, v là
nghiệm của phương trình : 0
2 PSXX (1) . Nếu (1) vô nghiệm thì không có 2 số u, v thỏa yêu
cầu .
ii) Tìm giá trị biểu thức đối xứng của các nghiệm .
Một số biểu thức đối xứng :
x x x x x x S P
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2 2
x x x x x x x x S S P
3 3 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 3 ( 3 )
2
2
2
2
21
2
2
2
2
1
4
2
4
1222 PPSxxxxxx
iii) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số
m
.
iv) Xét dấu các nghiệm: cho pt bậc hai :
)1(00
2 acbxax
có hai nghiệm trái dấu
P < 0
(1) có hai nghiệm cùng dấu
P
(1) có hai nghiệm dương
P
S
(1) có hai nghiệm âm
P
S
Chú ý: Trong các trường hợp trên nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì
> 0.
v) Tìm điều kiện để các nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện K
Lưu ý : Ta luôn phải tìm điều kiện để phương trình có nghiệm và sau đó xử lý điều kiện K.
5. Hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2.
a. Hệ đối xứng loại 1 và cách giải :
Hệ đối xứng loại 1 có dạng: (I) f x y
g x y
( , ) 0
( , ) 0
(với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)).
(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).
Cách giải :
B1. Phân tích các phương trình của hệ về dạng tổ và tích . Chú ý các biến đổi sau :
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 10 – HK1 ( 2014 – 2015 ) TRƯỜNG THPT THÀNH NHÂN
Gv Trần Mậu Hạnh 5
1/
abbaba 2
2
22 2/
abbaba 4
22 3/
baabbaba 3
3
33
4/
22
22
2
1bababa 5/
22
4
1babaab .
B2. Đặt S = x + y, P = xy. Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P. Giải hệ (II) ta tìm được
S và P.
B3. Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: X SX P
2
0
.
Cụ thể nếu
04
.
2
PS
Pyx
Syx thì x, y là nghiệm của phương trình 0.
2 PXSX (1).
Giải (1) , ta có 2 nghiệm
2
1
XX
XX . Khi đó
2
1
Xy
Xx hoặc
1
2
Xy
Xx
b. Hệ đối xứng loại 2 và cách giải :
Hệ đối xứng loại 2 có dạng: (I) f x y
f y x
( , ) 0 (1)
( , ) 0 (2)
(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại).
Cách giải :
B1. Lấy (1) và (2) trừ vế theo vế ta được: (I) f x y f y x
f x y
( , ) ( , ) 0 (3)
( , ) 0 (1)
B2. Biến đổi (3) về phương trình tích: (3)
x y g x y( ). ( , ) 0
x y
g x y
( , ) 0
.
B3. Xét 2 trường hợp :
Trường hợp : x = y (4). Thế (4) vào phương trình (1) hoặc (2) ta còn phương trình 1 biến theo x
hoặc y . Từ đó tìm x, y tương ứng.
Trường hợp : 0),(
yxg . Cách giải 0),(
yxg như sau :
+ Rút x theo y hoặc y theo x và thế vào pt(1) hoặc (2) và giải như trên.
+ Đưa về dạng tích
+ Chứng minh vô nghiệm
B4. Kết luận nghiệm hệ phương trình.
III. BẤT ĐẲNG THỨC
1. Chứng minh bất đẳng thức bằng cách biến đổi tương đương.
Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau:
– Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết.
– Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh.
Một số BĐT thường dùng:
+
A
2
0
+
A B
2 2
0
+
A B. 0
với A, B
0. +
A B AB
2 2
2
Chú ý: – Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức.
– Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra. Khi đó ta có t
hể tìm GTLN, GTNN của biểu thức.
2. Bất đẳng thức Cô si, Bunhakcopky.
Bất đẳng thức Cô–si cho hai số không âm:
Với a, b
0, ta có: a b
ab
2
. Dấu "=" xảy ra
a = b.