SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc (Đề có 01 trang) KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN THỨ II NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn : Toán 12 Khối D Thời gian: 180 phút (Không kể giao đề)
A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
y
=
x 1 - + . + 2x 1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) sao cho tiếp tuyến đi qua giao điểm của
Câu I (2,0 điểm). Cho hàm số
) +
= +
x e
+
+ s inx cos2x - cos x = . 2
2
2
+
x
2) Giải phương trình: đường tiệm cận và trục Ox. ( Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: 3 sin 2x ) ( 1 ln 1 x .
dx
I
=
(cid:242) 1
2x
0
0 60 . Gọi I là trung điểm của
Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân :
+ Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD= 2a, CD = a , góc giữa hai mặt phẳng (SBC) là (ABCD) bằng cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Câu V (1,0 điểm). Cho
+ ab bc
ca
=
3
+
a b c là các số dương thoả mãn , . Tìm giá trị nhỏ nhất của ,
M
=
+
1 abc
4 + a b b c c a )
+
)(
)(
+
(
2
2
biểu thức: .
+ y
=
1)
1)
: (
4
C
-
+
x
(
) ' C
d
x
y - = và tiếp xúc với trục Oy đồng thời tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).
0 ) ' C .
- -
) , song song A 3; 2; 4
(
là đường tròn có tâm . Gọi (
= +
B. PHẦN RIÊNG (3 điểm). Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2) 1.Theo chương trình Chuẩn Câu VIA (2,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn( ) thuộc đường thẳng ( ) : 3 Viết phương trình đường tròn ( 2) Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ( ) D đi qua 2 3t
= - -
4 2t
1 2t
x (cid:236) (cid:239) y (cid:237) (cid:239) = + z (cid:238)
- 1
2
với mặt phẳng (P) : 3x 2 y 3z 7 0 - = và cắt đường thẳng (d) : - -
x e
x
fi 1
3
2
2
2)
=
1)
C
-
+
x
(
+ - - lim 1) 1 . .CâuVIIA (1,0điểm).Tính giới hạn x tan( - x 1
. 12
. 2 3
2.Theo chương trình nâng cao. Câu VI B (2,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) : ( y + Viết phương trình đường tròn (C’) có tâm M (5;1) biết (C’) cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB = 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 2; 2), B(0; 1; 2) và C(2; 2;1). Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua A, song song với BC và cắt các trục Oy, Oz theo thứ tự tại M, N khác với gốc tọa độ O sao cho OM = 3ON. CâuVII B (1,0 điểm). Một chiếc hộp đựng 6 cái bút màu xanh, 6 cái bút màu đen, 5 cái bút màu tím và 3 cái bút màu đỏ được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên ra 4 cái bút. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 bút cùng màu. HẾT
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc (Đáp án có 05 trang) ĐÁP ÁN KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN THỨ II NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn : Toán 12 Khối D Thời gian: 180 phút (Không kể giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM THI (Văn bản này gồm 05 trang)
I) Hướng dẫn chung: 1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng phần như thang điểm quy định. 2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong các giáo viên chấm thi. 3) Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm. Sau khi cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết quả. II) Đáp án và thang điểm: Câu Đáp án Điểm
y
=
- + x 1 + 2x 1
Cho hàm số 1,0 đ
= D R /
(cid:252) (cid:253) (cid:254)
Tập xác định:
y'
=
Sự biến thiên: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. - (cid:236) 1 (cid:237) 2 (cid:238) 3 - 2 + ( 2x 1 ) 0,25
CâuI.1 Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định Đồ thị hàm số không có cực trị
y
=
y
=
y
=
lim fi-¥ x
lim fi+¥ x
1 - ; 2
- 1 2
x
=
y
= +¥ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
= -¥ ;
y
1 - . 2 1 - . 2
lim + 1 fi- x 2
lim - 1 fi- x 2
0,25 . Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
Bảng biến thiên: x –(cid:181) +(cid:181)
- 1 2 ||
- 1 2
– y’ y +(cid:181) 1,0 đ 0.25 ||
- 1 2
–(cid:181)
(cid:246) (cid:247) ł
Đồ thị hàm số có tâm đối xứng
B
(1;0)
- - 1 1 (cid:230) I ; (cid:231) 2 2 Ł , cắt trục hoành tại ) ( A 0;1
0.25 Đồ thị hàm số cắt trục tung tại
1,0
;
+
=
-
y
x
(
) M x y có dạng 0
0
x ) 0
- x
3 +
1)
(2
- 2
+ +
1 1
0
x 0 x 0
0.25 Phương trình tiếp tuyến tại Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) sao cho tiếp tuyến đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox (
N (
; 0)
- 1 2
CâuI.2 1,0 đ Giao điểm của tiệm cận của đồ thị hàm số với trục Ox là
N (
; 0)
(cid:219)
1 -
+
=
0
x ) 0
- 1 2
3 +
- ( 1) 2
(2
- 2
+ +
1 1
- x 0
x 0 x 0
Tiếp tuyến đi qua 0.25
x = 0
5 2
0,25 Giải phương trình được
M (
y
= -
x
-
Phương trình tiếp tuyến tại là 0.25
- 5 1 ) ; 2 4 +
1 12 - cos2x
1 24 cos x
=
3 sin 2x
s inx
(
2
1) Giải phương trình: . 2
) + Phương trình đã cho tương đương với : 2 3 s inx cos x 2 3 sin x cos x
2 sin x
-
+
+
-
cos x
=
+
CâuII 0.25
) 2 sin x
2
( 2 cos x 3 s inx
-
cos x
=
0
3 sin x
-
cos x
3 s inx
-
cos x
-
0
2,0 đ 0.25
(
)
(
) =
3 s inx
-
cos x
=
1
Ø (cid:219) Œ Œ º
=
+ p k
-
=
0
p 6
(cid:246) (cid:247) ł
+
˛
p
) k 2 k Z
(
=
p 6 p 3 = p +
k 2
p
p 6
1 2
(cid:246) (cid:247) ł
Ø (cid:230) sin x (cid:231) Œ Ł Œ (cid:219) Œ (cid:230) - sin x Œ (cid:231) Ł º
Ø x Œ Œ Œ x (cid:219) = Œ Œ x Œ Œ º
= +
x e
+
0.5
> - . 1
x e
-
1,0 KL: Vậy phương trình có ba họ nghiệm: ) ( 1 ln 1 x . 2)Giải phương trình:
x
. 0.25
-
e
1, x D
+
) -
( ) ln 1 x + 1 0 - = ) ( ˛ = - +¥ 1;
x
e
-
˛ , x D
( ) = f ' x
Xét hàm số Đ/K x Phương trình đã cho tương đương ( ) = f x
( ln 1 x 1 + x 1 1
x
e
+
> " ˛
0 x D
( ) = f " x
( ) , f " x
2
( ) + x 1
0.25
( ) f ' x
0 = nên phương trình
0 = có đúng một nghiệm x 0 =
( ) f ' x
Suy ra 0.25 Nhận thấy là hàm đồng biến trên D ( ) f ' 0
Ta có bảng biến thiên
X –1 +(cid:181) 0
-¥
0 + y’ Y +(cid:181) 0.25
0
0 =
2
2
+
x
Từ bảng biến thiên ta có phương trình có một nghiệm duy nhất x
I
=
dx
(cid:242) 1
+
2x
0
2
2
2
+
x
1
+
2x
I
=
dx
=
dx
Tính tích phân : 1,0đ
(cid:242)
1
+
2x
2
2 (cid:242) 1
+
2x
0
0
2
CâuIII 0.25
Đặt t = dx td
t
x
= (cid:222) =
2
t
2
2x x t 2x (cid:222) = (cid:222) = = (cid:222) = 0 0 1,0đ 0.25 Đổi cận:
2
2
1
1
(cid:222) = I
=
+ -
)dt
(cid:242)
(cid:242) ( 1 t
+ ( 2 t )tdt + 1 t
1 + 1 t
2
2
0
0
2
2
0.25
0
= ( + - t + ln | t 1|) = - ( 4 ln 3 ) 0.25 t 2 1 2 1 2
CâuIV 1,0đ
KL Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD= 2a, CD = a , góc giữa hai mặt phẳng (SBC) là (ABCD) bằng 60 0 . Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
1,0đ 0.25
0.25 Nhận xét : SI ^ ABCD Gọi H là hình chiếu của I lên BC. 0 60 Chỉ ra SHI = —
2 3a ; IH
ABCD
0.25 Tính được S = =
S .ABCD
15 3a 5 5 3 3a Suy ra SI = ;V = (đvtt) 3a 15 5 5 0.25
+ ab bc
+
ca
=
3
Cho a b c là các số dương thoả mãn , , . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
M
=
+
1 abc
4 + a b b c c a )
)(
)(
+
+ ( Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
CÂU V 1,0đ thức:
M
=
+
+
‡
3 3
1 abc
2
1 abc
2
4 + a b b c c a
)(
)(
+
+
(
)
+
2 2 2 (
+ 2(
ca )
3
0.25
)(
£
=
2
abc a b b c c a )(
)(
+
+
+
(
)
=
(
+ ac bc ba ca cb ab )
)(
+
+
1 + a b c a b b c c a ) )( )( + + ab bc 3
+
ca
3
3
(1) Có 3 0.25
2 2 2 a b c
=
ab bc ca .
.
£
=
1
+ ab bc 3
M ‡
(2) 0.25
Từ (1) và (2) suy ra
a
3 2 = = = b
c
1
a
= = =
c
b
1
3 2
Dấu bằng xảy ra khi 0.25 Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng khi
2
2
1)
=
4
(
x
+
-
C
1)
: (
+ y
) ' C
y - = và tiếp xúc với trục Oy đồng thời tiếp xúc
x
d
là đường . Gọi (
) ' C .
'
)
1,0đ Câu VI A.1
II
'
R =
+ ' 2
1,0 đ 0.25
;3 ) ' C tiếp xúc Oy nên R’=|a| ) ' C
2
2
(cid:219) - ( a
1)
+
(3
a
+
1)
=
(|
a
2 + | 2)
34
tiếp xúc ngoài với đường tròn (C) nên 1) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn( ) tròn có tâm thuộc đường thẳng ( ) : 3 0 ngoài với đường tròn (C). Viết phương trình đường tròn ( ) ( Đường tròn( ) C có tâm , bán kính R=2 I - 1; 1 ( Đường tròn( ) ' C có tâm I a a , bán kính R’ Do đường tròn ( Do đường tròn ( 0.25 (1)
a =
a
=
2 3
- - 4 9
2
Giải phương trình (1) được hoặc 0.25
(
x
-
)
+
(
y
-
2 2)
=
2 3
2 9
2
Vậy : Phương trình đường tròn cần tìm là :
4
+
34
4
+
34
x
+
+
y
+
=
9
3
+ 50 8 34 81
(cid:230) (cid:231) (cid:231) Ł
(cid:246) (cid:247) (cid:247) ł
(cid:230) (cid:231) (cid:231) Ł
2 (cid:246) (cid:247) (cid:247) ł
0,25 hoặc
- -
2) Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ( ) D đi qua
(
- - - = và cắt đường 0
2 3t
= +
1,0đ
= - -
4 2t
+
=
+
) , song song với mặt phẳng (P) : 3x 2 y 3z 7 A 3; 2; 4 x (cid:236) (cid:239) y (cid:237) (cid:239) = + z 1 2t (cid:238) Giả sử ( ) D cắt (d) tại (
) + (cid:222)
uuuur ) AM 3t 1; 2t 2;2t 5 - - -
(
thẳng (d) :
- - M 2 3t; 4 2t;1 2t r n
0.25
( ) - - 3; 2; 3
( ) D //(P) n.AM 0 =
2
(cid:219)
2t 2
+
0
t
2
( - -
( 3 2t 5
) = (cid:219) =
= Mặt phẳng (P) có vtpt r uuuur 0.25 Câu VI A.2
( 3 3t 1 Khi đó
-
=
-
=
) ) - - - uuuur ) ( AM 5; 6;9 Đường thẳng ( ) D đi qua
(
uuuur ) ( AM 5; 6;9
) - - có vtcp A 3; 2; 4 3 5t
= +
1,0 đ 0.25
2 6t
4 9t
- 1
2
0,25 Suy ra phương trình ( ) D là:
x
fi 1
3
x e (
x (cid:236) (cid:239) = - - y (cid:237) (cid:239) = - + z (cid:238) tan( x - 1)(
x
- 1
2
x
- 1
2
e
+
tan(
x
- -
1) 1
e
-
1
tan(
x
-
1)
lim
+
=
Tính giới hạn lim 1,0 + x 1) 1 - - + 1) x
x
fi 1
fi 1
x
3
3
3
(
x
-
1)(
x
+
1)
(
x
-
1)(
x
+
1)
(
x
-
1)(
x
+
1)
(cid:230) lim (cid:231) Ł
(cid:246) (cid:247) ł
- 1
2
2
2
3
3
3
3
x
+
x
+
1
x
+
1)(
x
+
x
+
1)
=
lim
.
+
1) ( .
Câu 0,25
2
x
fi 1
x e x
- 1 - 1
x - tan( - 1 x
x
+
1
x
+
1
(cid:230) (cid:231) (cid:231) Ł
(cid:246) (cid:247) (cid:247) ł
VII A
= + =
3
0,5
3 2
9 2
2
2
0,25
12
+ y
2)
=
: (
1)
C
-
+
x
(
1,0 đ Câu VI B
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) . Viết phương trình đường tròn (C’) có tâm M (5;1) biết (C’) cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho = AB 2 3 2,0 đ
=
) ( , bán kính R 2 3 I 1; 2 -
(cid:222) =
D (cid:222)
2
2
0,25
1)
=
7
, IM 5 = 7 - y Đường tròn (C) có tâm Do (C) cắt (C’) tại A, B nên AB IM ^ đều Gọi E là trung điểm AB. IAB IE 3 Nếu E nằm giữa I và M = (cid:222) = = EM 2,EA 3 MA Phương trình đường tròn cần lập là: ( ) + - x C ( 5) ' : (
(cid:222)
2
2
67 - y 1)
=
67
0,25
2
2
x
-
5)
+
(
- y
1)
=
7
0,25 Nếu E nằm giữa I và M = (cid:222) = = EM 8,EA 3 MA Phương trình đường tròn cần lập là: ( ) + - x C ( 5) ' : (
) ' : (
KL : Có hai đường tròn thỏa mãn( C
2
2
x
-
5)
+
(
- y
1)
=
67
) ' : (
0,25 hoặc ( C
-
B 0;1; 2 - và
) , A 2; 2; 2
( -
(
)
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
(
M 0;m;0 và
1,0 đ
ur uuuur MN m.u =
0 „ và m
= –
3n
) N 0;0;n
(
)
( r ( ) - - u 0; 1; 3
r ( ) - u 0; 1;3
Từ giả thiết ta có . Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua A, song song với BC và cắt các ) C 2;2; 1 - tia Oy, Oz theo thứ tự tại M, N khác với gốc tọa độ O sao cho OM = 3ON. (cid:222) trong đó mn 0,25 với hoặc
suy r n „ Giả sử ( ) P có vtpt r . Do ( ) P đi qua M, N và song song với BC nên 0 ^ uuur r (cid:236) ^ n BC (cid:239) r r (cid:237) u n (cid:239) (cid:238) 0,25
(cid:222)
( ) - - (cid:222) 2; 3; 1
( = -
) , chọn 4;6; 2
Ø º
với P x ( ): 2 - - + = y z 3 8 0 0,25
(cid:222)
=
( ) = - (cid:222) 1; 3;1
) ( , chọn - 2; 6; 2
uuur r ø , BC u ß uuur r ø BC u , ß
Ø º
với P x ( ): - + + = y z 10 0 3 r = n r n r uuur r Ø ø // ra n , BC u º ß r ( ) - u 0; 1;3 r ) ( - - u 0; 1; 3 0,25
4845
=
C
n
Câu 1,0
( ) W =
4 20
KL : Một chiếc hộp đựng 6 cái bút màu xanh, 6 cái bút màu đen, 5 cái bút màu tím và 3 cái bút màu đỏ được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên ra 4 cái bút. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 bút cùng màu. Số cách lấy bốn chiếc bút bất kì từ 20 chiếc bút đã cho là: 0,25
7B 1,0 đ Gọi A là biến cố lấy được ít nhất hai bút cùng màu
1 3
1 6
1 5
0,25 540 =
( ) n A
( ) = W -
Số cách lấy được 4 bút trong đó không có hai cái nào cùng màu là: ( ) 1 = n A C .C .C .C 6 Số cách lấy được 4 bút mà có ít nhất hai bút cùng màu là: n 4305 0,25
( ) = n A
Xác suất lấy được 4 bút trong đó có ít nhất hai bút cùng màu là:
=
=
( ) = P A
n
4305 4845
287 323
( ) n A ( ) W
Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên ( lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) gửi tới www.laisac.page.tl
0,25
