ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Nguyễn Trường Thanh
ĐIỀU KHIỂN H∞ CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62460103
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2014
Công trình được hoàn thành tại: Bộ môn Giải tích, Khoa Toán
- Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học
Quốc Gia Hà Nội.
Người hướng dẫn khoa học:
1. GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát
2. PGS. TS. Vũ Hoàng Linh
Phản biện:
Phản biện:
Phản biện:
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp
Đại học Quốc gia họp tại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.....................................................................................................
vào hồi giờ ngày tháng năm
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội
MỞ ĐẦU
Lý thuyết không gian H∞ có nguồn gốc từ công trình của G. H. Hardy năm 1915. Sau đó, năm 1981, G. Zames áp dụng thành
công lí thuyết này vào điều khiển, lần đầu tiên đưa bài toán thiết
kế điều khiển cho hệ thống một đầu vào và một đầu ra về bài
toán tối ưu hóa. Bài toán điều khiển H∞ tối ưu có thể hiểu như sau: Tìm điều khiển để ổn định hóa hệ thống khi không có nhiễu
và khi có nhiễu thì điều khiển này đảm bảo tác dụng của nhiễu
là nhỏ nhất. Trên cơ sở quy về bài toán tối ưu, việc tìm điều
khiển H∞ có thể dựa trên nhiều công cụ toán học và phương pháp số, và do đó việc thiết kế điều khiển trở nên đơn giản hơn.
Điều này làm cho bài toán điều khiển H∞ phát triển mạnh mẽ từ thập kỉ 80 cho tới nay, và đã áp dụng thành công trong nhiều
lĩnh vực, các quá trình công nghiệp, và kĩ thuật. Trong thập kỉ
80, nhiều phương pháp được sử dụng nhằm giải các bài toán điều
khiển H∞, như phương pháp hàm giải tích Nevalina-Pick hoặc phương pháp lí thuyết toán tử. Cũng trong giai đoạn này, năm
1984, Doyle lần đầu tiên nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho hệ đa đầu vào và đa đầu ra, và kết quả này được phát triển tiếp
bởi Glover và Francis. Tuy nhiên, điểm hạn chế của các nghiên
cứu này là chúng liên quan tới việc giải phương trình Riccati có
kích thước rất lớn và công thức cho các điều khiển là quá phức
tạp. Năm 1989, Doyle đã mở rộng các nghiên cứu bài toán điều
khiển H∞ từ việc nghiên cứu trễ hằng số sang nghiên cứu trễ biến thiên, từ không gian hữu hạn chiều sang vô hạn chiều, và
cũng thu được một số kết quả nhất định.Trong thập niên 90 cho
tới nay, bằng cách sử dụng phương pháp thứ hai Lyapunov và các
định lí mở rộng của chúng như Lyapunov-Krasovskii, Lyapunov-
1
Razumikhin, phương pháp LMI (bất đẳng thức ma trận tuyến
tính), và các công cụ tính toán tiên tiến khiến việc nghiên cứu
bài toán điều khiển H∞ trở nên dễ dàng hơn và có nhiều kết quả đáng quan tâm.
Trong luận án, chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho một số hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên liên tục
dạng khoảng, không đòi hỏi trễ khả vi và thậm chí có cấu trúc
khá phức tạp. Dựa trên một lớp hàm Lyapunov-Krasovskii và
một số bất đẳng thức mới, một số điều kiện đủ cho sự tồn tại
điều khiển H∞ đã được chỉ ra thông qua các bất đẳng thức ma trận tuyến tính.
Lớp hệ đầu tiên được nghiên cứu trong luận án cho bài toán
điều khiển H∞ là hệ phi tuyến có trễ (2.1). Bằng cách sử dụng hàm Lyapunov-Krasovskii và các bất đẳng thức mới, một điều
kiện đủ cho bài toán điều khiển H∞ được thiết lập thông qua LMI, các LMI này có thể giải được một cách đơn giản thông qua
Matlab. Cách tiếp cận này cho phép áp dụng nghiên cứu bài toán
này cho một lớp hệ không chắc chắn có trễ tương ứng.
Lớp hệ thứ hai được nghiên cứu trong luận án là một lớp
hệ Large-Scale phi tuyến có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng,
không đòi hỏi khả vi, được tạo thành từ nhiều hệ con có liên
kết trong giữa các hệ con, được mô tả bởi phương trình vi phân
(2.21). Kết quả chính thu được là một điều kiện đủ cho sự tồn tại
điều khiển H∞ và tính ổn định hóa dạng mũ cho hệ đóng tương ứng. Đây là kết quả đầu tiên về bài toán điều khiển H∞ cho lớp hệ (2.21).
Phần tiếp theo của luận án, chúng tôi nghiên cứu tính ổn
định của một lớp hệ chuyển mạch Large-Scale được mô tả bởi
2
phương trình vi phân (3.1) với các quy tắc bật nhận giá trị trong
tập hữu hạn cho trước. So sánh với các kết quả đã có, kết quả
của chúng tôi có các ưu điểm sau: (i) hàm trễ liên tục biến thiên
dạng khoảng, không đòi hỏi tính khả vi của hàm trễ, và cận dưới
của trễ có thể khác không; (ii) các điều kiện được thể hiện thông
qua LMI có thể giải số một cách hiệu quả thông qua Matlab; (iii)
một thiết kế hình học đơn giản được sử dụng để tìm các luật
chuyển đổi và cho phép đảm bảo tính ổn định mũ cho hệ thống.
Phần cuối của luận án, chúng tôi mở rộng các kết quả về ổn
định cho hệ chuyển mạch (3.1) để nghiên cứu bài toán điều khiển
H∞ cho một lớp hệ Large-Scale chuyển mạch (3.17). Kết quả đạt được là một điều kiện đủ cho sự tồn tại điều khiển H∞ và là kết quả đầu tiên về điều khiển H∞ cho hệ Large-Scale chuyển mạch có trễ biến thiên dạng khoảng.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các kí hiệu, danh
mục 3 công trình khoa học của tác giả, tài liệu tham khảo, luận
án gồm 3 chương như sau:
Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC
Chương 2. ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN
Chương 3. ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO HỆ LARGE-SCALE CHUYỂN
MẠCH CÓ TRỄ BIẾN THIÊN
3
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ TOÁN HỌC
1.1 Bài toán ổn định và ổn định hóa
1.1.1 Bài toán ổn định Lyapunov
Xét một hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân
˙x(t) = f (t, x(t)), t 0. (1.1) ≥
t Định nghĩa 1.1.2. Giả sử f (t, 0) = 0, 0. Khi đó, nghiệm ∀ ≥ x = 0 của hệ (1.1) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại các số
M > 0, δ > 0 sao cho mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1) với x(t0) = x0 thỏa mãn
x(t) M e−δ(t−t0) t t0. || ≤ ||
, x0|| || Định nghĩa 1.1.3. Giả sử f (t, 0) = 0, ∀ t ≥ ∀ D ≥ 0. Hàm V : R+ t ≥ ∀ → × R khả vi liên tục và thỏa mãn V (t, 0) = 0, 0, với Rn là lân cận mở tùy ý của 0, được gọi là hàm Lyapunov D ⊂ của hệ (1.1) nếu
i) V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa
R+ : V (t, x) a( x ), (t, x) D ) a( · ∃ ∈ K ≥ ∈ ∀ || ||
với R+, × ) : R+ là tập các hàm liên tục không giảm a( · K → a(0) = 0, a(s) > 0, s > 0. ∀
R+ ii) ˙V (t, x) := ∂V 0, (t, x) D.
∂t + ∂V
∂x f (t, x)
≤ ∀ ∈ ×
Nếu hàm V (t, x) là hàm Lyapunov và thỏa mãn thêm các điều
kiện
R+ iii) b sao cho V (t, x) b( x ), (t, x) D; ∃ ∈ K || || ≤ ∀ ∈ ×
4
iv) c c( x ), t R+, x ∃ || || ≤ − ∀ ∈ ∀ ∈ D sao cho ˙V (t, x(t)) ∈ K , 0 } \ {
thì V (t, x) gọi là hàm Lyapunov chặt.
Định lí 1.1.4. Giả sử f (t, 0) = 0, 0. Khi đó, nếu hệ (1.1) t ∀ ≥ có hàm Lyapunov thì nghiệm x = 0 của hệ là ổn định. Hơn nữa,
nếu hàm Lyapunov đó là chặt thì nghiệm x = 0 của hệ là ổn định
tiệm cận đều.
1.1.2 Bài toán ổn định hóa
Xét hệ điều khiển được mô tả bởi phương trình vi phân
˙x(t) = f (t, x(t), u(t)), t 0. (1.2) ≥
→ Định nghĩa 1.1.5. Hệ (1.2) được gọi là ổn định hóa được nếu Rm, h(0) = 0, sao cho với điều khiển tồn tại hàm h : Rn u = h(x), nghiệm x = 0 của hệ ˙x(t) = f (t, x(t), h(x(t))) là ổn
định tiệm cận. Trong trường hợp này, hàm u = h(x) được gọi là
hàm điều khiển ngược ổn định hóa hệ thống.
1.2 Bài toán tồn tại nghiệm của hệ có trễ
Xét hệ phương trình vi phân hàm
0, x(t) = ϕ(t), t (1.3) ˙x(t) = f (t, xt), t τ, t0]. t0 ≥ ≥ [t0 − ∈
Rn Định lí 1.2.3. Cho hàm số f : [0, + ) P C([ r, 0], Rn) ∞ × − → thỏa mãn các điều kiện sau.
i) Với bất kì H > 0, tồn tại M (H) > 0 sao cho
f (t, ϕ) M (H), (t, ϕ) [0, + P C([ r, 0], Rn), ϕ H;
C
|| || ≤ ) × ∞ − || || ≤ ∈
ii) Hàm f (t, ϕ) là hàm liên tục trên tập [0, + ) P C([ r, 0], Rn) ∞ × − với cả hai biến;
5
iii) Hàm f (t, ϕ) thỏa mãn điều kiện Lipschitz với biến thứ hai,
tức là tồn tại hằng số Lipschitz L(H) > 0 sao cho
L(H)
C,
f (t, ϕ1) f (t, ϕ2) || − ϕ2||
với mọi t P C([ || ≤ r, 0], Rn), H, i = 1, 2. 0, ϕi ϕ1 − || ϕi
C
≥ ∈ − || || ≤
iv)
f (t, ϕ) η( ϕ 0, ϕ P C([ r, 0], Rn),
C ), t
|| ≥ ∈ −
|| trong đó η : || ≤ [0, || ) R liên tục, không giảm và sao cho ∞ →
R
.
dr η(r) = +
0 bất kì điều kiện sau thỏa mãn lim R→∞ với r0 ≥ ∞
P C([ − ∈ Rr0 r, 0], Rn) cho trước, hệ ) với điều r, ∞
Khi đó, với t0 ≥ 0 và hàm ϕ (1.3) có duy nhất nghiệm x(t) xác định trên [t0 − kiện ban đầu xt0 = ϕ. 1.3 Bài toán ổn định và ổn định hóa hệ có trễ
1.3.1 Bài toán ổn định hệ có trễ
Định nghĩa 1.3.2. Giả sử f (t, 0) = 0, t ∀ ∈ Khi đó, nghiệm x = 0 của (1.3) được gọi là β R và β > 0 cho trước. ổn định mũ nếu −
tồn tại hằng số M > 0 sao cho mọi nghiệm x(t0, ϕ) của hệ (1.3) M e−β(t−t0) thỏa mãn ϕ || || ≤ ∀ ≥
C , t t0. r, 0], Rn)
H ϕ
C
≤ ∈ ||
→ × || || ϕ C([ . − { } | || R liên tục và x( ) là nghiệm của phương · x(t0, ϕ)(t) Định nghĩa 1.3.3. Đặt QH := Nếu V : R QH trình (1.3), chúng ta định nghĩa
V (t, ϕ)] . [V (t + h, xt+h(t, ϕ)) 1 h − ˙V (t, ϕ) = lim sup h→0+
QH → × Định nghĩa 1.3.4. Hàm V : R t V (t, 0) = 0, R liên tục và thỏa mãn R, được gọi là hàm Lyapunov-Krasovskii của ∀ ∈ hệ (1.3) nếu
6
i) hàm V (t, ϕ) xác định dương, tức là
u : u( ϕ(0) V (t, ϕ), ϕ R, QH, t ∃ ∈ K ) || ≤ || ∀ ∈ ∈
ii) ˙V (t, ϕ) 0, ϕ QH. ∀ ∈ ≤
C R thỏa × → Định lí 1.3.7. Nếu tồn tại hàm liên tục V : R+ mãn
ϕ(0) V (t, ϕ)
2 ||
≤ ϕ λ2||
2 C ||
≤
i) Tồn tại λ1, λ2 > 0 sao cho λ1|| ii) ˙V (t, ϕ) 0, ≤
thì hệ (1.3) là ổn định và nghiệm là bị chặn, tức là tồn tại M > 0 R+ sao cho M ϕ C, t x(t0, ϕ)(t) (t0, ϕ) t0. Nếu || ≤ || || || ∀ ∈ × ≥
C , thay điều kiện (ii) bằng điều kiện
2λ0V (t, ϕ) với mọi ≤ − R+ iii) Tồn tại λ0 > 0 sao cho ˙V (t, ϕ) C, (t, ϕ) ∈ ×
thì hệ (1.3) là ổn định mũ và nghiệm của hệ thỏa mãn
ϕ t e−λ0(t−t0)
C ,
x(t0, ϕ)(t) t0. || || ≤ r || || ∀ ≥ λ2 λ1
1.3.2 Bài toán ổn định hóa cho hệ điều khiển có trễ
Xét hệ điều khiển mô tả bởi phương trình vi phân
t (1.4) ˙x(t) = f (t, xt, u(t)), 0, x0 = ϕ. ≥
→
− Định nghĩa 1.3.8. Cho β > 0. Hệ (1.4) gọi là ổn định hóa được Rm, g(0) = 0, sao cho x = 0 dạng mũ nếu tồn tại hàm g : Rn của hệ ˙x(t) = f (t, xt, g(x(t))) là β ổn định mũ. 1.4 Phương pháp H∞ trong lí thuyết điều khiển
7
1.4.1 Không gian H∞ Định nghĩa 1.4.1. H∞ là không gian các hàm có giá trị ma trận, giải tích trên nửa mặt phẳng Re(s) > 0 và bị chặn trên
trục ảo. Chuẩn H∞ được định nghĩa
F λmax(F ∗(s)F (s)). ||∞ := sup ||
Re(s)>0 p
Định nghĩa 1.4.2. Cho ω L2 ([0, ), Rn) và z ), Rm) . ∞ ∞ ∈ ∈
L2 ([0, Ma trận chuyển Tzω từ ω tới z được định nghĩa Z(s) = Tzω(s)Ω(s), trong đó Z(s), Ω(s) là các biến đổi Laplace của z(t), ω(t).
1.4.2 Bài toán điều khiển H∞
Xét hệ điều khiển được mô tả như sau: Thiết bị P có hai đầu
vào: đầu vào ngoại sinh ω và các biến điều khiển u. Các kết quả
đầu ra, các tín hiệu lỗi z và các biến đo x được sử dụng trong
K để thiết kế biến điều khiển u. Trước hết, chúng ta nhận định
một bộ điều khiển là chấp nhận được nếu nó ổn định hệ
thống khi không có đầu vào ngoại sinh (ω 0). ≡
Hình 1: Sự miêu tả thiết bị cho bài toán điều khiển H∞
H1. Điều khiển H∞ tối ưu. Tìm tất cả các điều khiển chấp nhận được được K sao cho Tzω ||∞ là nhỏ nhất. ||
H2. Điều khiển H∞ tựa tối ưu (suboptimal). Cho γ > 0. Tìm điều khiển chấp nhận được được K sao cho γ. Tzω || ||∞ ≤
8
CHƯƠNG 2
ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho một số lớp hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên liên tục
dạng khoảng, và không khả vi. Nội dung được trình bày trong
chương này dựa vào hai bài báo [1,2] trong danh mục các công
trình khoa học của tác giả.
2.1. Điều khiển H∞ cho một lớp hệ phi tuyến
Xét phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiên
˙x(t) = Ax(t) + Dx(t h(t)) + Bu(t) + Cω(t) −
+f (t, x(t), x(t h(t)), u(t), ω(t)), − (2.1) z(t) = Ex(t) + Gx(t h(t)) + F u(t) −
+g(t, x(t), x(t h(t)), u(t)), 0, t ≥ −
= ϕ, x0
R+ thỏa mãn 0 h(t) h2, → ≤ h1 ≤ trong đó hàm trễ h : R+ F T [E, G] = 0, F T F ≤ I, hàm f và hàm liên tục g thỏa mãn ≤
a + b + c + d f (t, x0, x1, x2, x3) ||
g(t, x0, x1, x2) || || ≤ 2 || x1|| ≤ , x3|| x2|| || || 2. 2 + c1|| x2|| Rm Rn x1|| || 2 + b1|| Rn Rn liên → × × ×
x0|| || x0|| a1|| Ngoài ra, hàm f (t, x0, x1, x2, 0) : R+ tục theo t và Lipschitz địa phương theo (x0, x1, x2). Định nghĩa 2.1.2. Cho β > 0, γ > 0. Bài toán điều khiển H∞ cho hệ (2.1) tương ứng với β, γ được gọi là giải được nếu tồn tại
ma trận hằng K thỏa mãn các điều kiện sau:
9
i) Nghiệm x = 0 của hệ (2.1) khi u 0, ω 0, là β ổn định. ≡ ≡ −
||z(t)||2dt
∞ R 0
γ, với mọi ϕ ii) Tồn tại c0 > 0 sao cho ∈
||ω(t)||2dt ≤
c0||ϕ||2
C1+
∞ R 0
, ω L2 ([0, ), Rr) , ω = 0. C 1 h2, 0], Rn ∈ ∞ 6 (cid:17) [ − (cid:16)
Định lí 2.1.3. Cho β > 0, γ > 0. Giả sử các ma trận hệ số của
hệ (2.1) thỏa mãn điều kiện: tồn tại các ma trận đối xứng xác
định dương P, Q, R, U, Λ và các ma trận S, Y sao cho có bất đẳng
thức ma trận tuyến tính
Ω11 Ω12 < 0. Ω22 ∗
Khi đó, bài toán điều khiển H∞ ứng với các hệ số β, γ cho hệ (2.1) giải được với điều khiển ngược hệ thống u(t) = Y P −1x(t), và nghiệm của hệ thỏa mãn
x(t) 0, e−βt || ≥ ||C1 , t ϕ || || ≤ r α2 α1
trong đó
− (cid:1) P1 = P −1, Q1 = P −1QP −1, R1 = P −1RP −1, U1 = P −1U P −1, Λ1 = P −1ΛP −1, S1 = P −1SP −1, ε = a + b + c + 4d2/γ, T11 = AP + P AT + 2βP +εI e−2βh1 + e−2βh2 Λ + − BY + Y T BT (cid:0) (cid:1) Λ,
2U + S + ST (cid:17) (cid:16) − U ST , T25 = 0, (cid:1) − (cid:0) e−2βh1R e−2βh2U, e−2βh1Q − − − R + 4CC T /γ 2e−4βh2 (h2−h1) (cid:0) + 2Q, h2+h1 T12 = DP, T13 = e−2βh1R, T14 = e−2βh2R, T15 = 2e−4βh2 h2+h1 T16 = P AT + Y T BT , T22 = e−2βh2 , T23 = e−2βh2 (U S) , T24 = e−2βh2 − T26 = P DT , T33 = T34 = e−2βh2ST , T35 = 0, T36 = 0,
10
e−2βh2R T44 = e−2βh2U, T45 = 0, T46 = 0, − − − T55 =
h1)Λ T66 = e−2βh2Q 2e−4βh2 2−h2 h2 − 1 1 + h2 h2 2 (cid:0) Λ, T56 = 0, h1)2U + h2(h2 − R + (h2 − (cid:1) 2P + 4CC T /γ + εI, α1 = λmin(P1), − λmax(R1) α2 = λmax(P1) + β−1λmax(Q1) + (cid:0)
2λmax(Λ1),
1 + h3 h3 2 (cid:1) h1)h2 h1)3λmax(U1) + (h2 −
+(h2 −
I, I, I). Ω22 = diag(
I 3 ,
I 3 ,
− − − − 0 0 − T11 T12 T13 T14 T15 T17 0 0 T22 T23 T24 T25 T26 ∗ 0 0 T33 T34 T35 T36 ∗ ∗ 0 0 T44 T45 T46 ∗ ∗ ∗ , Ω11 = 0 0 T55 T56 ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 T66 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ U S ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − − ∗ U ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − 0 ∗ P ET 0 P √4a1 + 2a Y T √2 + 4c1 + 2c P GT 0 0 0 P √4b1 + 2b
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 . Ω12 = 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
11
2.2. Điều khiển H∞ cho một lớp hệ Large-Scale
Xét một lớp hệ Large-Scale có trễ được tạo nên từ N hệ con
N
˙xi(t) = Aixi(t) + Biui(t) + Diωi(t) + Aijxj(t hij(t)) −
+fi(t, xi(t), −
Pj=1,j6=i N j=1,j6=i, ui(t), ωi(t)) hij(t)) } Gijxj(t hij(t)) xj (t { N zi(t) = Cixi(t) + Fiui(t) + −
+gi(t, xi(t), −
N j=1,j6=i, ui(t)), hij(t)) }
xi(θ) = ϕi(θ), θ Pj=1,j6=i xj (t { h2, 0], [ − ∈ (2.21)
trong đó các hàm trễ thỏa mãn 0 Ii, h2, F T
i Fi
≤ ≤
h1 ≤ hij(t) ≤ ) thỏa mãn ) và các hàm liên tục gi( các hàm fi( · ·
N
+ aij xj + bi ui + di ωi fi(t, xi, ai xi || || || || || , || || xj {
N j6=i,j=1, ui, ωi) }
|| ≤ || || Xj=1,j6=i
N
ci xi ui gi(t, xi, gij xj ||
2 + ei ||
||
2 + ||
≤ || xj {
N 2 j6=i,j=1, ui) || }
||
2. ||
Xj=1,j6=i
Ngoài ra, các hàm
N
Rni Rni Rmi Rnj fi(t, xi, xj {
j6=i,j=1, ui, 0) : R+ N }
× → ×(cid:16) (cid:17)× Yj=1,j6=i
liên tục theo t và Lipschitz địa phương theo (xi, xj {
N j6=i,j=1, ui). } Định lí 2.2.3. Cho β > 0, γ > 0. Giả sử các ma trận hệ số của
hệ (2.21) thỏa mãn điều kiện: tồn tại các ma trận đối xứng xác
định dương Pi, Qi, Ri, Ui, Λi và các ma trận Si, Yi i = 1, ..., N,
12
sao cho có các bất đẳng thức ma trận tuyến tính
H i . . . H i 0 0
1(3N +5)
H i 0 0
11 H i 12 H i
2(3N +5)
22 ∗ ∗ ∗
∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ < 0.
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ H i ∗ 0 ∗ 0
(3N +5)(3N +5)
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Ui Si ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − − Ui ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −
0, thỏa mãn Khi đó, bài toán điều khiển H∞ ứng với các hệ số β, γ cho hệ (2.21) giải được với điều khiển ngược ui(t) = YiP −1 i xi(t), và nghiệm của hệ, khi các nhiễu ωi ≡
x(t) 0, e−βt || ≥ ||C1 , t ϕ || || ≤ r α2 α1
trong đó
, Ri1 = P −1 , Qi1 = P −1
,
i QiP −1 , Λi1 = P −1
i i UiP −1
i
i
e−2βh1 +
i RiP −1 , i , Si1 = P −1 i SiP −1 i + 2βPi + 2Qi
Pi1 = P −1 Ui1 = P −1 11 = PiAT H i
e−2βh2 AijAT Ri Λi +
ij + 4
i + εiIi
− (cid:16) γ DiDT
i i ΛiP −1 i i + AiPi + BiYi + Y T i BT N 2 e−4βh2 (h2−h1) h2+h1
− (cid:17) Pj=1,j6=i
1(N +1) = e−2βh1Ri, i + Y T
i BT i , = j, k, j = 2, ..., N,
k
1(N +3) = PiAT kj = 0,
1k = 0, k = 2, ..., N, H i H i 1(N +2) = e−2βh2Ri, H i H i 1(N +4) = 2e−4βh2 H i Λi, H i
h2+h1
∀ 6
, , H i H i Ui Si 2Ui + Si + ST i
kk = e−2βh2
N −1
N −1
k(N +1) = e−2βh2
− i h − h i
13
, Ui − h
(N +1)(N +2) = e−2βh2ST i ,
− − − e−2βh1Qi e−2βh2Qi e−2βh2Ui, e−2βh2Ui, − − − Ri h1)h2Λi+ h1)2Ui (cid:16) ST i N −1 i k(N +4) = 0, k = 2, N , H i e−2βh1Ri e−2βh2Ri 1+h2 h2 2 N
k(N +2) = e−2βh2 H i k(N +3) = H i H i H i (N +1)(N +1) = H i (N +2)(N +2) = H i (N +3)(N +3) = (h2− + 4
2Pi+(h2− − (cid:17) AijAT ij + εiIi,
i +
γ DiDT
Pj=1,j6=i Λi,
(N +4)(N +4) =
− 2 e−4βh2 h2 2−h2 1 1(N +5) = PiC T i , −
− j = 1, ..., (N + 3 + k), j = k, 6
i, k = 2, ..., N, ≤ 6 = 1, i < k = 2, ..., N, 6 , −
,
− = 1, k ≤ 6 , −
6
Ii 2+2a(k−1)i+(N +2)g(k−1)i i, k = 2, ..., N, Ii 2+2aki+(N +2)gki = 1, i < k = 2, ..., N, I, H i 1(3N +4) = Pi
−
I
H i H i H i H i H i H i H i H i H i H i H i H i H i H i H i ,
(N +3)(N +4) = 0, H i I N +2 , H i (N +5)(N +5) = I (N +4+k)(N +4+k) = N +2, j(N +4+k) = 0, k = 2, ..., N, k(N +4+k) = PiGT ki, i = 1, k = 2, ..., N, k(N +4+k) = PiGT = 1, k (k−1)i, i k(N +4+k) = PiGT ki, i Ii (2N +3+k)(2N +3+k) = 2+2aki+(N +2)gki k(2N +3+k) = Pi, i = 1, k = 2, ..., N, (2N +3+k)(2N +3+k) = k(2N +3+k) = Pi, i (2N +3+k)(2N +3+k) = k(2N +3+k) = Pi, i (3N +4)(3N +4) = (3N +5)(3N +5) =
2ai + (N + 2)ci, p 1(3N +5) = Y T , H i i −
N +2
2bi+
(1+ei)
i
(cid:17) (cid:16) N εi = ai + bi + 4d2 aij, α1 = min λmin(Pi1),
γ +
i=1,...,N
Pj=1,j6=i λmax(Ri1) α2 = max λmax(Pi1)+β−1λmax(Qi1)+
i=1,...,N n
(cid:16)
2λmax(Λi1)
1+h3 h3 2 (cid:17) h1)h2 h1)3λmax(Ui1)+(h2−
+(h2− o
14
CHƯƠNG 3
ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO HỆ LARGE-SCALE CHUYỂN MẠCH CÓ TRỄ BIẾN THIÊN
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định và bài
toán điều khiển H∞ của một lớp hệ Large-Scale chuyển mạch có trễ dạng khoảng. Dựa vào các bất đẳng thức ma trận tuyến
tính, chúng tôi xây dựng các quy tắc chuyển mạch dạng hình học
nhằm đảm bảo tính ổn định của một lớp hệ chuyển mạch, cũng
như thiết kế các điều khiển H∞ tương ứng. Các kết quả chính trong chương này dựa vào bài báo [3] trong danh mục các công
trình khoa học của tác giả.
3.1 Tính ổn định của hệ Large-Scale phi tuyến chuyển
mạch
Xét hệ Large-Scale chuyển mạch được hình thành từ các hệ
con Σi, i = 1, 2, ..., N, có dạng như sau
N
Aσi hij(t)) ˙xi(t) = Aσi
ij xj(t
i xi(t) +
− Pj=1,j6=i (3.1) Σi : t, xi(t), +f σi i
N hij(t)) j=1,j6=i }
− , (cid:17) (cid:16) xi(θ) = ϕi(θ), θ xj (t { h2, 0], [ − ∈ hij(t) h1 ≤ ≤ ≤ 1, 2, ..., s h2, các hàm là quy tắc bật của hệ con thứ i nhận giá
trong đó các hàm trễ thỏa mãn 0 σi : Rni } → { trị trong tập hữu hạn 1, 2, ..., s {
. Quy tắc này lựa chọn cho tất } cả các i sao cho σi(xi(t)) = l suy ra chuyển chế độ thứ l được kích hoạt cho hệ con thứ i. Chính xác hơn,
, σ(x(t)) = = l1, l2, ..., lN i σ1(x1(t)), σ2(x2(t)), ..., σN (xN (t)) i h h
15
nhận giá trị trong tập Al i, Al {
N ij} j=1,j6=i
Aσi N ij } j=1,j6=i { . (cid:17) (cid:16) (cid:17) tức là sự chuyển chế độ thứ li được kích hoạt cho hệ con thứ i. Các Aσi ma trận i , (cid:16) Các hàm f l ), thỏa mãn điều kiện tăng trưởng i ( ·
N
+ xj xi f l i (t, xi, || xj {
N j6=i,j=1) }
al ij|| , || || ≤ al i|| || Xj=1,j6=i
liên tục theo t và Lipschitz địa phương theo (xi, xj { Định nghĩa 3.1.2. Hệ các ma trận vuông cấp n, Rn gọi là đầy đủ nghiêm ngặt nếu với mỗi x ∈
N j6=i,j=1). } s Ll l=1, được } { , tồn tại 0 } \ {
1, 2, ..., s sao cho xT Llx < 0. l ∈ { } Định lí 3.1.4. Cho β > 0. Giả sử các ma trận hệ số của hệ (3.1)
thỏa mãn điều kiện: tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương Pi, Qi, Ri, Ui, Λi, và các ma trận Sl i, i = 1, 2, ..., N, l = 1, 2, ..., s, sao cho:
i) Với mọi i = 1, 2, ..., N, tập các ma trận
s Ll l=1 là đầy đủ i} {
nghiêm ngặt.
ii) Với i = 1, 2, ..., N, l = 1, 2, ..., s, các bất đẳng thức ma trận
tuyến tính sau thỏa mãn
H l H l . . . 0 0
12(i)
H l 0 0
11(i) H l H l
22(i)
1(2N +4)(i) 2(2N +4)(i)
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ < 0.
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 ∗ 0 H l ∗ (2N +4)(2N +4)(i) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Ui Sl i − − ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Ui ∗ − ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
16
Khi đó, hệ (3.1) là ổn định mũ với quy tắc chuyển mạch
nếu x(t) σ(x(t)) = Ωl1 Ωl2 l1, l2, ..., lN ΩlN N . ∈
1 ×
2 × · · · ×
(cid:17) (cid:16)
Hơn thế, nghiệm của hệ thỏa mãn
0, e−βt x(t) ≥ ||C1 , t ϕ || || || ≤ r α2 α1
trong đó
N
aij, i, j = 1, 2, ..., N, aij = max
ij, εl al
i = al
i +
l=1,2,...,s
Pj=1,j6=i , Ri1 = P −1 , Qi1 = P −1
,
i QiP −1 , Λi1 = P −1
i
i i ΛiP −1
i i UiP −1
i
e−4βh2 (h2−h1) h2+h1
−
T
Al i
h2+h1
(cid:17)
i RiP −1 , i iP −1 i1 = P −1 i Sl , Sl i e−2βh1 + e−2βh2 Ri, − (cid:16) (cid:17) 1(N +2)(i) = e−2βh2Ri, 1(N +4)(i) = 2 e−4βh2 Λi, = m,
H l H l Pi1 = P −1 Ui1 = P −1 H l 11(i) = Λi 1(N +1)(i) = e−2βh1Ri, H l H l , H l 1(N +3)(i) = Pi (cid:16) km(i) = 0, k, m = 2, ..., N, k 6
T
, 2Ui + Sl Sl i
N −1
(cid:16) (cid:17) i , Ui
i + Sl i
− h
T
, Ui − (cid:16) h i i Sl i N −1 (cid:17) k(N +4)(i) = 0, k = 2, ..., N, e−2βh1Qi e−2βh1Ri e−2βh2Ui, − − − T ,
Sl i (cid:16) (cid:17) e−2βh2Qi − − h1)2Ui e−2βh2Ri − 1 + h2 h2 2
kk(i) = e−2βh2 H l h − k(N +1)(i) = e−2βh2 H l N −1 k(N +2)(i) = e−2βh2 H l k(N +3)(i) = H l H l H l (N +1)(N +1)(i) = (N +1)(N +2)(i) = e−2βh2 H l H l (N +2)(N +2)(i) = H l (N +3)(N +3)(i) = (h2 −
h1)h2Λi + (cid:16) N
T
2Pi + Al ij
H l Λi, − Pj=1,j6=i (N +3)(N +4)(i) = 0, H l (N +4)(N +4)(i) = e−2βh2Ui, Ri + (h2 − (cid:17) Al + εl iIi, ij (cid:16) (cid:17) 2 e−4βh2 2−h2 h2 1 −
17
, H l
(N +5)1(i) = Pi,
I 2al i
−
, k = 2, ...N, i = 1, − , k = 2, ...N, i = 1, k i,
I 2+2aki I 2+2a(k−1)i
6 − , k = 2, ...N, i ≤ = 1, k > i, H l H l H l H l H l
I 2+2aki
6 −
(N +5)(N +5)(i) = (N +4+k)k(i) = Pi, k = 2, ...N, (N +4+k)(N +4+k)(i) = (N +4+k)(N +4+k)(i) = (N +4+k)(N +4+k)(i) = λmin(Pi1),
α1 = min
i=1,...,N
λmax(Ri1) λmax(Pi1)+β−1λmax(Qi1)+ α2 = max (cid:16)
i=1,...,N n
2λmax(Λi1)
o
T
Ll Λi +(h2− iPi + 2βPi + 2Qi
i = Pi
1+h3 h3 2 (cid:17) h1)h2 h1)3λmax(Ui1)+(h2− e−4βh2 (h2−h1) h2+h1
− + Al N
T
(cid:1) Al i (cid:0) + εl + Al ij Al ij
iIi,
Pj=1,j6=i Rni : Ωl
i =
, l = 1, s, i = 1, N , i x < 0 } ∈ (cid:17) (cid:16) iP −1 xT P −1 i Ll j−1 Ω1 Ωk
i = Ωl
x { i = Ω1
i , j = 2, ..., N, i = 1, 2, ..., N.
, Ωl 0 i ∪ { }
i \
Sk=1 3.2 Điều khiển H∞ cho hệ Large-Scale phi tuyến chuyển mạch
Xét hệ điều khiển Large-Scale chuyển mạch được hình thành
từ các hệ con Σi, i = 1, 2, ..., N, có dạng như sau
N
Aσi hij(t)) + Bσi ˙xi(t) = Aσi
ij xj(t
i uσi
i (t) + Dσi
i xi(t) +
i ωi(t)
− Pj=1,j6=i , t, xi(t), +f σi i
j=1,j6=i, uσi N hij(t)) }
i (t), ωi(t) (cid:17)
− N zi(t) = C σi Gijxj(t hij(t)) (cid:16) i xi(t) + F σi i uσi xj (t { i (t) + − Pj=1,j6=i , t, xi(t), +gσi i xj(t { −
j=1,j6=i, uσi N hij(t)) }
i (t) (cid:17)
xi(θ) = ϕi(θ), θ h2, 0], (cid:16) [ − ∈ (3.17)
18
hij(t) h1 ≤ ≤ ≤ 1, 2, ..., s h2, các hàm là quy tắc bật của hệ con thứ i. Các ma → { } trong đó các hàm trễ thỏa mãn 0 σi : Rni trận
, Dσi ,
i , C σi
i
, F σi i Aσi ij , {
j=1,j6=i, Bσi N i }
Gij {
N j=1,j6=i }
Aσi i , (cid:16) (cid:17)
nhận giá trị trong tập
, i = 1, N , l = 1, s,
i, Dl
i, C l
i, F l i ,
Al i, Gij {
N j=1,j6=i }
Al {
j=1,j6=i, Bl N ij}
(cid:17) (cid:16)
T
Ii, i = 1, 2, ..., N, l = 1, 2, ..., s. F l i ≤
F l i (cid:17) (cid:16) Các hàm f l ), và các hàm liên tục gl i ( ), thỏa mãn i( · ·
N
+ xj ωi xi
i, ωi)
al ij|| || + bl i|| ul i|| + dl i|| , || || ≤ al i|| || f l i (t, xi, || xj {
j6=i,j=1, ul N }
Xj=1,j6=i N
2.
xi xj gl i(t, xi, || xj {
j6=i,j=1, ul N 2 i) || }
cl i||
2 + ||
≤ gl ij||
2 + el i|| ||
ul i|| Xj=1,j6=i
Ngoài ra, giả thiết các hàm
N
i
Rml Rni Rnj Rni
i, 0) : R+
f l i (t, xi, → × xj {
j6=i,j=1, ul N }
(cid:17)× ×(cid:16) Yj=1,j6=i
j6=i,j=1, ul N }
xj {
nếu tồn tại các quy tắc chuyển mạch hằng K l
i). liên tục theo t và Lipschitz địa phương theo (xi, Định nghĩa 3.2.1 Cho β > 0, γ > 0. Bài toán điều khiển H∞ cho hệ (3.17) tương ứng với β, γ được gọi là giải được nếu tồn tại N i=1 và các ma trận ) σi( } · { i, i = 1, 2, . . . , N, l = 1, ..., s, thỏa mãn các điều kiện sau:
xi(t), ωi
i
(t) = K σi(xi(t)) i ≡ i) Nghiệm x = 0 của hệ (3.17) khi uσi(xi(t)) 0, với mọi i = 1, 2, . . . N, là β ổn định. −
19
ii) Tồn tại c0 > 0 sao cho
∞
z(t)
2dt ||
γ,
∞
≤ R0 || ω(t)
2dt + c0|| ϕ ||
2 C1 ||
R0 ||
[0, ), Rri L2 C 1 , ωi với mọi ϕi h2, 0], Rni ∞ ∈ [ − ∈ . 0 } (cid:17) \ { (cid:16) (cid:17) (cid:16)
Trong trường hợp này, ta nói rằng các điều khiển ngược ul i(t) = K l ixi(t), i = 1, 2, ..., N, l = 1, 2, ..., s, ổn định mũ hóa hệ thống. Định lí 3.2.2. Cho β > 0, γ > 0. Giả sử các ma trận hệ số của
i, Y l
hệ (3.17) thỏa mãn tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương Pi, Qi, Ri, Ui, Λi, và các ma trận Sl i , i = 1, N , l = 1, s, sao cho:
i) Với mỗi i = 1, 2, ..., N, tập các ma trận
s Ll l=1 là đầy đủ i} {
nghiêm ngặt.
ii) Với i = 1, 2, ..., N, l = 1, 2, ..., s, các bất đẳng thức ma trận
tuyến tính sau thỏa mãn
H l H l . . . 0 0
12(i)
H l 0 0
11(i) H l H l
22(i)
1(3N +5)(i) 2(3N +5)(i)
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ < 0.
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 ∗ 0 H l ∗ (3N +5)(3N +5)(i) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Ui Sl i ∗ − − ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Ui ∗ ∗ − ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
20
i(t) = Y l
i P −1
Khi đó, bài toán điều khiển H∞ ứng với các hệ số β, γ, cho hệ (3.17) giải được với các điều khiển ngược ul i xi(t) và quy tắc chuyển mạch
σ(x(t)) = l1, l2, ..., lN (cid:17) (cid:16) nếu
x(t) Ωl1 Ωl2 ΩlN N . ∈
1 ×
2 × · · · ×
Hơn thế, nghiệm của hệ thỏa mãn
e−βt 0, x(t) ||C1 , t ϕ || ≥ || || ≤ r α2 α1
trong đó
gl ij,
l=1,2,...,s
l=1,2,...,s
, Ri1 = P −1 , Qi1 = P −1
,
i
i
i
i i UiP −1
al ij, gij = max i QiP −1 , Λi1 = P −1 e−2βh1 + e−2βh2 aij = max Pi1 = P −1 Ui1 = P −1 H l 11(i) = −(cid:16)
T
− T , +Bl Bl i
i i ΛiP −1 Ri (cid:17) Y l i
γ Dl i
(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:0)
T
T
T
, H i Λi,
h2+h1
(cid:1) T ,
N −1
i (cid:1) , Ui − h
T
, k = 2, ...., N,
i e−2βh1Ri e−2βh2Ui, − − (cid:1) − T ,
e−2βh2Ui, − 2Pi Ri − h1)h2Λi + e−2βh2Ri − 1 + h2 h2 2 N
T
T
(cid:16) + +εl h1)2Ui+ 4 − Al ij (cid:17) Al ij
iIi,
Dl i
γ Dl i
i RiP −1 , i i SiP −1 , Si1 = P −1 e−4βh2 (h2−h1) Λi h2+h1 T + 4 Dl iY l i + i (cid:0) (cid:0) H i 1(N +2)(i) = e−2βh2Ri, 1(N +1) = e−2βh1Ri, H l 1(N +4) = 2e−4βh2 H l Bl Y l Al 1(N +3)(i) = Pi + i i i (cid:1) (cid:0) (cid:0) (cid:1) (cid:0) kk(i) = e−2βh2 H l Sl 2Ui + Sl i + i h − (cid:0) k(N +1)(i) = e−2βh2 H l Sl i N −1 i k(N +2)(i) = e−2βh2 Sl H l Ui i N −1 − h (cid:0) e−2βh1Qi H l (N +1)(N +1)(i) = (N +1)(N +2)(i) = e−2βh2 H l Sl i (cid:1) (cid:0) e−2βh2Qi H l (N +2)(N +2)(i) = H l (N +3)(N +3)(i) = (h2 − +(h2−
(cid:16) (cid:17) (cid:1) (cid:0) Pj=1,j6=i
21
H l Λi, H l
I N +2,
(N +5)(N +5)(i) =
−
− C l i (cid:0) − j = 1, ..., (N +3+k), j = k, 6
i, k = 2, ..., N, ≤ 6 = 1, i < k = 2, ..., N, H l H l H l H l H l H l
ki, i = 1, k = 2, ..., N, (k−1)i, i = 1, k ki, i
2 e−4βh2 (N +4)(N +4)(i) = h2 2−h2 1 T , H l k(N +5)(i) = 0, k = 2, ...., (N + 4), 1(N +5)(i) = Pi (cid:1) I (N +4+k)(N +4+k)(i) = N +2 , j(N +4+k)(i) = 0, k = 2, ..., N, k(N +4+k)(i) = PiGT k(N +4+k)(i) = PiGT k(N +4+k)(i) = PiGT 6
, i = 1,
Ii 2+2aki+(N +2)gki
, i = 1, k i, − −Ii 2+2a(k−1)i+(N +2)g(k−1)i ≤ 6 , i = 1, i < k,
Ii 2+2aki+(N +2)gki
− 6 j = 1, ..., (2N +2+k), j = k, H l k(2N +3+k)(i) = Pi, H l (2N +3+k)(2N +3+k)(i) = H l (2N +3+k)(2N +3+k)(i) = H l (2N +3+k)(2N +3+k)(i) = H l j(2N +3+k)(i) = 0, k = 2, N , 6
I, H l 2al −
I
H l H l
i + (N + 2)cl i, T ,
1(3N +4)(i) = Pi , H l
Y l i
(3N +4)(3N +4)(i) = (3N +5)(3N +5)(i) =
q 1(3N +5)(i) = −
2bl
N +2
(1+el i)
i+ (cid:16) N
(cid:1) (cid:0) (cid:17) (4dl aij, α1 = min λmin(Pi1),
i = al εl
i + bl
i +
i)2 γ +
i=1,...,N
Pj=1,j6=i α2 = max λmax(Pi1)+β−1λmax(Qi1)+ λmax(Ri1)
i=1,...,N n
(cid:16)
2λmax(Λi1)
o
T
Ll Λi +(h2− iPi + 2βPi + 2Qi
i = Pi
1+h3 h3 2 (cid:17) h1)h2 h1)3λmax(Ui1)+(h2− e−4βh2 (h2−h1) h2+h1
− + Al N
T
(cid:1) Al i (cid:0) + + εl Al ij Al ij
iIi,
Pj=1,j6=i Rni : Ωl ∈ Ω1 (cid:17) (cid:16) iP −1 xT P −1 i Ll , l = 1, s, i = 1, N , i x < 0 } j−1 Ωk x i = { i = Ω1
i , j = 2, ..., N, i = 1, 2, ..., N.
i = Ωl
, Ωl 0 i ∪ { }
i \
Sk=1
22
KẾT LUẬN
Luận án nghiên cứu tính ổn định và bài toán điều khiển H∞ cho một số hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiên liên
tục dạng khoảng, không đòi hỏi tính khả vi của hàm trễ.
Những kết quả đã được chứng minh trong luận án:
• Đưa ra một số điều đủ cho sự tồn tại điều khiển H∞ và ổn định hóa dạng mũ cho lớp hệ phi tuyến và hệ Large-Scale
có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng xuất hiện trong cả
hàm trạng thái và quan sát (Định lí 2.1.3 và Định lí 2.2.3).
Tiếp đó, áp dụng các định lí này cho các hệ không chắc
chắn tương ứng và thu được các kết quả tương tự.
Đưa ra một điều kiện đủ cho tính ổn định mũ cho hệ Large- • Scale chuyển mạch thông qua các bất đẳng thức ma trận
tuyến tính và thiết kế quy tắc chuyển mạch dạng hình học
(Định lí 3.1.4).
Đưa ra một điều kiện đủ (Định lí 3.2.2) cho sự tồn tại điều •
khiển H∞ cho hệ Large-Scale chuyển mạch trên cơ sở phát triển Định lí 3.1.4. Đây là kết quả đầu tiên của bài toán
điều khiển H∞ cho hệ Large-Scale chuyển mạch có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng.
Điểm mới của luận án so với các kết quả đã có:
Hàm trễ không đòi hỏi tính khả vi và cận dưới của trễ có • thể khác 0.
Hầu hết các hệ được nghiên cứu trong luận án là Large- • Scale, tức là các hệ quy mô lớn có cấu trúc phức tạp được
hình thành từ rất nhiều hệ con.
Các quy tắc chuyển mạch được biểu diễn bằng hình học • một cách đơn giản.
Trên cơ sở áp dụng các kĩ thuật mới nhất, cho phép đánh • giá tính ổn định với độ biến thiên của trễ lớn hơn so với
các kết quả đã có.
Luận án mở ra một số vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu:
• Nghiên cứu tính ổn định và bài toán điều khiển H∞ cho các hệ phương trình vi phân và điều khiển khác có trễ biến
thiên liên tục dạng khoảng.
Nghiên cứu tính ổn định và thiết kế các điều khiển khác • như điều khiển phụ thuộc hàm quan sát cho các hệ phương
trình vi phân và điều khiển có trễ biến thiên liên tục dạng
khoảng.
24
DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ
LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
[1]. Thanh N. T. and Phat V. N. (2012), "Decentralized H∞ Control for Large-Scale Interconnected Nonlinear Time-Varying
Delay Systems via LMI Approach", Journal of Process Control,
22(7), pp. 1325-1339.(SCI)
[2]. Thanh N. T. and Phat V. N. (2013), "H∞ Control for Nonlin- ear Systems with Interval Non-Differentiable Time-Varying De-
lay", European Journal of Control, 19(3), pp. 190-198.(SCI-E)
[3]. Thanh N. T. and Phat V. N. (2014), "Decentralized Stability
for Switched Nonlinear Large-Scale Systems with Interval Time-
Varying Delays in Interconnections", Nonlinear Analysis: Hybrid
Systems, 11, pp. 22-36.(SCI-E)
