t lý thuy t ắ ế
Tóm t
a. Các đ nh lí trung bình. ị
và hàm i thì Đ nh lí Ferma. Cho t p m ở ậ ị . N uế f đ t c c tr t ạ ự ị ạ
i và . kh vi t ả ạ
Đ nh lí Roll. Cho liên t c trên kho ng đóng [a, b] và kh vi trên kho ng m (a, ị ụ ả ả ả ở
b. Gi , khi đó t n t sao cho . s ả ử ồ ạ i m t s ộ ố
Đ nh lí Cauchy. Gi s hai hàm ị ả ử ả liên t c trên kho ng đóng [a, b] và kh vi ụ ả
sao ả ồ ạ ở i m t s ộ ố trên kho ng m (a, b). Khi đó t n t cho
.
thì . N u ế
Đ nh lí Lagrange. N u ế ị ả liên t c trên kho ng đóng [a, b] và kh vi trên kho ng ụ ả ả
m (a, b) thì t n t i m t đi m sao cho . ồ ạ ở ể ộ
b. Công th c Taylor. ứ
s ậ ủ a. Gi ả ử f kh vi đ n c p ả ế ấ n t i ạ a. Kí hi u ệ Cho hàm f xác đ nh trên lân c n nào đó c a ị ế x là đa th c theo bi n ứ
.
có tính ch t sau ấ
Công th c Taylor cho ta m i liên h gi a hàm . ệ ữ ứ ố f(x) và đa th c ứ
kh vi đ n *Công th c Taylor đ ng Peano. Cho t p m ở ạ ứ ậ và n u hàm ế ế n ả
thì i ạ t
.
là vô cung bé b c cao h n trong quá trình . ậ ả ử ậ
. Th thì v i m i f có đ o hàm c p i trong đó, ơ *Công th c Taylor v i s d Lagrange. Gi ớ ố ư ứ c a đi m ộ ớ ế ủ ể ạ ỗ x thu c lân c n đó, t n t ồ ạ s hàm ậ ấ n+1 trong lân c n nào đó n m gi a ằ ữ a và x sao cho v iớ
ta có
.
f t , Các công th c trên g i là khai tri n Taylor c a hàm ọ ứ ủ ể i ạ a. Trong tr ườ ng h p ợ
ể c g i là khai tri n Mac Laurin. ể khai tri n Taylor còn đ ượ ọ Chú ý. Các khai tri n Taylor và Mac Laurin là duy nh t. ể ấ
[ M c l c ụ ụ ]
Các ví d ụ
1. Hàm f kh vi trên khi đó gi a hai nghi m th c c a ph ng trình ả ự ủ ữ ệ ươ
có ít nh t m t nghi m c a ph ng trình ủ ệ ấ ộ ươ
.
Th t v y, g i là hai nghi m khác nhau c a ph ng trình . Theo ậ ậ ọ ủ ệ ươ
i sao cho . đ nh lí Roll thì t n t ị ồ ạ
2. S d ng các đ nh lí trung bình đ ch ng minh các đ ng th c sau ể ứ ử ụ ứ ẳ ị
a. .
Áp d ng đính lí Lagrange cho hàm trên ụ thế
thì t n t i sao cho ồ ạ
.
Suy ra
b. v i ớ
* Ch ng minh ứ v i ớ
. ớ - B t đ ng th c hi n nhiên đúng v i ể ấ ẳ ứ
thì b t đ ng th c đúng. - V i ớ ấ ẳ ứ
. Xét hàm . Hàm th a mãn gi thi - V i ớ ỏ ả ế ủ t c a
i sao cho đ nh lý Lagrange. V y, t n t ị ồ ạ ậ
. V y ậ v i ớ
Ch ng minh . ứ v i ớ
Xét hàm . Ta có .
là hàm đ ng bi n. Suy ra v i ớ . V y ậ ế ồ
, do đó . v i ớ v iớ
. V y ậ v iớ
c. .
Xét hàm . Theo đ nh lí Lagrange, t n t i sao cho ồ ạ ị
.
3. Vi t công th c Cauchy cho hàm ế ứ trên đo nạ
[a,b].
Do hàm và , kh vi trên nên t n t liên t c trên ụ ả ồ ạ i
sao cho
.
4. Ch ng minh r ng ph ng trình ứ ằ ươ có không quá nghi m ệ
th c n u nhiên ch n, có không quá 3 nghi m th c n u nhiên l . ự ế n là s t ố ự ự ế n là s t ố ự ệ ẵ ẻ
ph ng trình tr thành Ph ng trình này có t ươ ở ươ ố ệ i đa 2 nghi m - N uế th c .ự
Ta có - N uế Đ t ặ
l ch có nghi m + N uế ch n thì ẵ và ẻ ệ ỉ
có t i đa 2 nghi m. V y ậ ố ệ
có t i đa 2 nghi m. + N uế lẻ thì ch n ẵ ố ệ
có t i đa 3 nghi m . V y ậ ố ệ
5. Cho liên t c trên đo n và kh vi trên kho ng . ụ ạ ả ả
Gi , ch ng minh r ng t n t i sao cho . s ả ử ồ ạ ứ ằ
. -N uế
. Gi th thì t n t -N uế sả ử ồ ạ i ế
. Do nên t n t liên t c trên ụ ồ ạ i
. M t khác, theo gi thi t thì ặ ả ế
nên t n t i th a mãn Khi đó, t n t ồ ạ ỏ ồ ạ i
liên t c ).ụ
, có đ o hàm trên . Do đó, V y ậ liên t c trên ụ ạ
th a mãn gi thi ỏ ả ế ủ ị t c a đ nh lí Roll. Đi u đó có nghĩa là t n t ề ồ ạ i
. V y ta có đi u ph i ch ng minh. ứ ề ả ậ
6. Khai tri n Mac Laurin các hàm s sau ể ố
a. .
. Ta có
Suy ra
Có th khai tri n tr c ti p v i chú ý ự ế ể ể ớ
b. .
Ta vi t ế
- Xét ấ n Đ o hàm c p ạ
-Xét
V y ậ
7. Vi ế t các khai tri n Mac Laurin v i phân d Peano hàm s ố ư ể ớ
. đ n ế
Ta có
Suy ra
8. Ch ng minh r ng n u ế f có đ o hàm c p ạ ấ 2 t ứ ằ i ạ a thì
.
Do t n t ta có ồ ạ i nên theo công th c khai tri n Taylor ứ ể
V y ậ
i h n. 9. S d ng khai tri n Taylor đ tính gi ể ử ụ ể ớ ạ
a. .
Ta có
b. .
Ta có
10. S d ng công th c Taylor đ tính đ o hàm c p c a các hàm sau. ử ụ ấ n t ứ ể ạ i ạ ủ
a. . .
Ta có
Theo công th c khai tri n Mac Laurin thì h s c a trong khai tri n c a hàm là ệ ố ủ ứ ể ể ủ
. Mà khai tri n Mac Laurin là duy nh t, suy ra . ể ấ
V y ậ
b. .
Ta có
Đ tặ Theo khai tri nể
- Xét ch n hay l thìẻ
- Xét l ẵ hayẻ ch nẵ
+N uế
+N uế
c.
ng t câu b) ta có Ta có T ươ ự
ch n hay l - N u ế ẵ thìẻ
l ch n thì ta đ t -N u ế hayẻ ẵ ặ
11. Vi t đa th c theo lũy th a c a . ế ứ ừ ủ
Đ bi u di n theo lũy th a c a t ể ể ễ ừ ủ ủ ta tìm khai tri n Taylor c a ể iạ
Ta có
Suy ra
12. S d ng công th c tính g n đúng , tính ử ụ ứ ầ
và đánh giá sai s .ố
*Tính *Đánh giá sai s . ố
Ta có khai tri n c a là ể ủ đ n ế
Suy ra sai s là ố
13. Ch ng minh r ng công th c tính g n đúng ứ ứ ằ ầ
có sai s không v ố ượ t quá 0,001 v i các giá tr ị ớ
Ta có khai tri n c a là ể ủ đ n ế
Suy ra sai s là ố
V yậ
[ M c l c ụ ụ ]
Bài t p t gi i ậ ự ả
1. Ch ng minh các b t đ ng th c sau ấ ẳ ứ ứ
a.
HD: Áp đ ng đ nh lí Lagrange cho hàm ụ ị
cho đo n [x, y] v i ạ ớ
b.
HD: Xét .
2. Khai tri n Mac Laurin các hàm s sau ể ố
a. . b.
3. Vi . 4. Vi ế t các khai tri n Mac Laurin v i phân d Peano hàm s ố ư ể ớ đ n ế t đaế
theo lũy th a c a ừ ủ th c ứ
.
ĐS:
i h n. 4. S d ng khai tri n Taylor đ tính gi ể ử ụ ể ớ ạ
a. . b. .
ĐS: a. b.
5. Trong công th c sau công th c nào đúng ứ ứ
. , ĐS: C hai công th c trên đ u đúng. ứ ề ả
6. S d ng công th c tính g n đúng , tính ử ụ ứ ầ
và đánh giá sai s .ố
ĐS: , v i sai s là mà ớ ố
