Đối xứng trong ngôn ngữ: Phần 2

VI<br /> Các nhóm<br /> <br /> G<br /> <br /> alois đã làm đảo lộn cả đại số học. Nếu bạn muốn biết một<br /> phương trình có giải được hay không, bạn đơn giản là hãy<br /> thử giải nó, đúng thế không? Sai, Galois sẽ nói với bạn như vậy.<br /> Tất cả những điều bạn cần làm là kiểm tra những hoán vị của các<br /> nghiệm được giả thiết là tồn tại. Làm thế nào mà những hoán vị<br /> của các nghiệm mà thậm chí chúng ta còn chưa biết lại có thể nói<br /> cho chúng ta về khả năng giải được của nó? Thực tế những hoán<br /> vị có thể cung cấp ít nhất là một số thông tin mới đã được thế giới<br /> phi toán học biết tới từ lâu. Ví dụ, phép đảo chữ (anagram) – tức<br /> những từ hoặc cụm từ được tạo bởi các chữ cái của một từ hoặc một<br /> cụm từ khác nhưng theo một trật tự khác - là như thế. Hãy lấy tên<br /> của Galois làm ví dụ. Tên này cho ta các anagram hai từ, đó là các<br /> tổ hợp như OIL GAS, GOAL IS, GO SAIL, vân vân. Vậy chúng ta<br /> có thể dựng được bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau (bất kể là có ý<br /> nghĩa hay không) của các chữ cái trong cái tên GALOIS? Câu trả lời<br /> không khó, nhưng chúng ta hãy đầu từ một ví dụ đơn giản hơn để<br /> tìm ra quy luật chung. Các chữ cái A và B cho ta hai cách sắp xếp:<br />  <br /> <br /> AB và BA. Ba chữ cái A, B, C có thể lập nên 6 hoán vị: ABC, ACB,<br /> BAC, BCA, CAB, CBA. Hình mẫu xuất hiện thật đơn giản. Với A,<br /> B, C, có ba vị trí để đặt chữ A (thứ nhất, thứ hai và thứ ba). Đối<br /> với mỗi vị trí trong ba lựa chọn của A, chỉ còn đúng hai vị trí dành<br /> cho chữ cái B (ví dụ, nếu A ở vị trí thứ hai thì B chỉ có thể ở vị trí<br /> thứ nhất hoặc thứ ba) và chỉ còn một vị trí còn lại dành cho C. Do<br /> đó, tổng số cách sắp xếp là 3 × 2 × 1 = 6. Với cách suy luận như thế<br /> ta có thể áp dụng cho một số bất kỳ các đối tượng. Đối với sáu chữ<br /> cái trong cái tên GALOIS, ta có tổng cộng 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720<br /> cách sắp xếp khác nhau, và đối với một số n bất kỳ các đối tượng<br /> khác nhau ta có n × (n - 1) × (n - 2) ×... ×1 hoán vị. Để tiết kiệm chỗ,<br /> nhà toán học Pháp Christian Kramp (1760-1826) đã đưa ra ký hiệu<br /> n! (đọc là n giai thừa) để thay cho tích cuối cùng ở trên. Do đó, số<br /> các hoán vị của n đối tượng khác nhau đúng bằng n!.<br /> Một trong những nghiên cứu sớm nhất về các hoán vị còn ghi<br /> chép được lại không phải trong một cuốn sách toán, mà là trong<br /> một cuốn sách thần bí của người Do thái, có niên đại đâu đó giữa<br /> thế kỷ 3 và 6. Sefer yetzira (Sách Sáng thế) là một cuốn sách mỏng<br /> bí ẩn cho rằng để giải được bí mật của sáng thế hãy xem xét những<br /> tổ hợp của các chữ cái trong bảng chữ cái của tiếng Hebrew. Tiền đề<br /> chung của cuốn sách (được truyền thuyết gán cho là của Abraham<br /> – tổ tiên của người Do thái) là những tập hợp khác nhau của các<br /> chữ cái tạo nên những viên gạch thần thánh mà từ đó dựng nên<br /> vạn vật. Theo tinh thần đó, cuốn sách nói, “Hai chữ cái tạo nên hai<br /> từ, ba chữ cái tạo nên 6 từ, bốn tạo nên 24 từ, năm tạo nên 120, sáu<br /> tạo nên 720, bảy tạo nên 5040”.<br /> Để xem làm thế nào có thể phát hiện ra những mối quan hệ giữa<br /> các hoán vị khác nhau và các tính chất của chúng có thể dẫn tới<br /> Ngôn ngữ của đối xứng<br /> <br /> | 233<br /> <br /> cái nhìn mới và sâu hơn, ta hãy xét hoán vị chuyển GALOIS thành<br /> AGLISO. Phép hoán vị này được biểu diễn bởi (theo ký hiệu đã<br /> được đưa vào ở Chương 2):<br /> <br /> trong đó chữ cái ở hàng trên được thay bằng chữ cái nằm ngay<br /> bên dưới nó. Cụ thể, G được thay bằng A, A băng G, L bằng chính<br /> nó, O bằng I, I bằng S và S bằng O.<br /> Điều gì sẽ xảy ra nếu áp dụng phép hoán vị này hai lần? Bạn có<br /> thể dễ dàng kiểm tra rằng bằng cách dùng đúng những thay thế<br /> trên một lần nữa thì AGLISO sẽ biến thành GALSOI. Bây giờ hãy<br /> hình dung rằng xuất phát từ cái tên GALOIS, máy tính sẽ thực hiện<br /> lặp phép hoán vị đó, chẳng hạn, 1327 lần. Liệu chúng ta có thể tiên<br /> đoán được kết cục cuối cùng không? Tất nhiên, ta có thể tìm được<br /> kết quả một cách rất vất vả, bằng cách áp dụng lần lượt phép hoán<br /> vị đó 1327 lần, nhưng đó là một công việc cực nhọc và rất dễ nhầm<br /> lẫn. Vậy liệu có cách nào dễ hơn để tìm ra đáp số không? Bạn nên<br /> dành ra ít phút để suy nghĩ về bài toán này, vì giải mã được nó sẽ<br /> hé lộ cho bạn thấy những tính chất thú vị của các hoán vị này theo<br /> đúng tinh thần trong chứng minh của Galois. Dù sao thì tôi cũng<br /> sẽ giới thiệu lời giải ngay dưới đây.<br /> Về khía cạnh giải trí toán học thì phép hoán vị và các đặc tính<br /> của nó đóng vai trò nổi bật ít nhất là trong hai câu đố nổi tiếng: câu<br /> đố 14-15 và khối vuông Rubik.<br /> Câu đố 14-15 đã được nhà soạn câu đố vĩ đại nhất của Mỹ, Samuel<br /> Loyd (1841-1911), đưa ra trong những năm 1870 và trong một thời<br /> gian nó đã làm cho cả thế giới phát điên lên. Vào thời gian đó, Loyd<br /> đã là nhà biên soạn hàng đầu những bài toán về bàn cờ ở Mỹ, đồng<br /> 234 | M A R I O L I V I O<br /> <br /> (a)<br /> <br /> (b)<br /> <br /> (c)<br /> <br /> Hình 74<br /> <br /> thời ông cũng phụ trách chuyên mục cờ vua trên một số tờ báo.<br /> Tuy nhiên, ngay cả trước khi có câu đố 14-15 nổi tiếng, Loyd đã<br /> cho công bố một số lượng rất phong phú các loại câu đố toán học.<br /> Câu đố 14-15 gồm một lưới hình vuông 4 × 4 viên gạch lát được<br /> đánh số từ 1 đến 15 (hình 74a). Mục tiêu chung ở câu đố này là trượt<br /> các viên gạch này lên, xuống hoặc sang hai bên để xếp lại chúng<br /> theo trật tự, bắt đầu từ một cấu hình ban đầu bất kỳ. Một phiên bản<br /> đặc biệt của câu đố này – phiên bản đã gây ra mọi sự náo loạn – là<br /> phiên bản trong đó tất cả các số đã xếp đúng thứ tự chỉ trừ có hai<br /> viên gạch 14 và 15 là đảo chỗ cho nhau (như trên hình 74b). Loyd<br /> đã treo giải thưởng một ngàn đôla cho người đầu tiên đưa ra được<br /> dãy các phép trượt dẫn tới sự đổi chỗ chỉ của hai viên gạch 14 và<br /> 15. Câu đố đã tạo ra cơn mê cuồng và những người mê mẩn nó<br /> chưa từng có ở mọi tầng lớp xã hội. Con trai của Loyd, người sau<br /> này đã công bố một tuyển tập đầy quyến rũ các câu đố làm điên<br /> đầu của cha mình (có nhan đề Cyclopedia of Puzzles), trong mô tả<br /> về sự mê cuồng chung đã viết rằng “được biết có những nông phu<br /> đã bỏ hoang cả những mảnh ruộng đã cày của mình để vật lộn với<br /> câu đố bướng bỉnh này”. Thực tế, Loyd đã thừa biết rằng ông chẳng<br /> có gì là mạo hiểm khi treo giải thưởng đó, vì ông đã chứng minh<br /> Ngôn ngữ của đối xứng<br /> <br /> | 235<br /> <br /> được rằng câu đố đó không thể giải được. Để hiểu được điểm then<br /> chốt của Loyd, hãy xét, chẳng hạn, hoán vị sau:<br /> <br /> Bạn có thể dễ dàng phát hiện ra rằng phép giao hoán này có thể<br /> thực hiện được từ lưới 1-15 của Loyd, nếu ban đầu được sắp xếp theo<br /> đúng thứ tự (như trên hình 74a). Ngay cả nếu bạn không có lưới của<br /> Loyd trong tay, bạn có thể vạch ra trong óc dãy các bước sau (trong<br /> đó mỗi số biểu diễn viên gạch mang số đó được dịch tới ô trống):<br /> 15, 14, 13, 9, 5, 6, 7, 8, 12, 15 – bạn thấy ngay rằng các nước đi đó sẽ<br /> tạo ra hoán vị trên mà ta mong muốn. Bây giờ chúng ta sẽ đếm xem<br /> trong hoán vị đó có bao nhiêu cặp số không theo trật tự tự nhiên.<br /> Ví dụ, trong trật tự tự nhiên 6 phải đứng sau 5, nhưng trong hoán<br /> vị này thứ tự của 5 và 6 đã bị đảo ngược. Bây giờ chúng ta hãy lần<br /> lượt lấy mỗi chữ số trong hàng thứ hai rồi đếm số cặp đảo ngược:<br /> 1 không đóng góp trong cặp nghịch đảo nào<br /> <br /> 0 cặp nghịch đảo<br /> <br /> 2 không đóng góp trong cặp nghịch đảo nào<br /> <br /> 0 cặp nghịch đảo<br /> <br /> 3 không đóng góp trong cặp nghịch đảo nào<br /> <br /> 0 cặp nghịch đảo<br /> <br /> 4 không đóng góp trong cặp nghịch đảo nào<br /> <br /> 0 cặp nghịch đảo<br /> <br /> 6 đứng trước 5<br /> <br /> 1 cặp nghịch đảo<br /> <br /> 7 đứng trước 5<br /> <br /> 1 cặp nghịch đảo<br /> <br /> 6 đứng trước 5<br /> <br /> 1 cặp nghịch đảo<br /> <br /> 12 đứng trước 5, 10, 11, 9<br /> 5 không đóng góp trong cặp nghịch đảo nào<br /> <br /> 4 cặp nghịch đảo<br /> 0 cặp nghịch đảo<br /> <br /> 10 đứng trước 9<br /> <br /> 1 cặp nghịch đảo<br /> <br /> 11 đứng trước 9<br /> <br /> 1 cặp nghịch đảo<br /> <br /> 236 | M A R I O L I V I O<br /> <br />