Động lực học cơ hệ

Chia sẻ: Danh Ngoc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

175
lượt xem 31
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các khái niệm: Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do của cơ hệ: Chuyển động của cơ hệ thường bị ràng buộc bởi những điều kiện hình học và động học nhất định tập hợp các điều kiện đó gọi là liên kết. Tập hợp những di chuyển vô cùng bé bảo toàn liên kết của hệ gọi là di chuyển khả dĩ của hệ

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Động lực học cơ hệ

Ch−¬ng 3: §éng lùc häc c¬ hÖ 1.C¸C KH¸I NIÖM 1.1. Di chuyÓn kh¶ dÜ vμ sè bËc tù do cña c¬ hÖ - ChuyÓn ®éng cña c¬ hÖ th−êng bÞ r»ng buéc bëi nh÷ng ®iÒu kiÖn h×nh häc vμ ®éng häc nhÊt ®Þnh tËp hîp c¸c ®iÒu kiÖn ®ã gäi lμ liªn kÕt. TËp hîp nh÷ng di chuyÓn v« cïng bÐ b¶o toμn liªn kÕt cña hÖ gäi lμ di chuyÓn kh¶ dÜ cña hÖ. VÝ dô: Sè di chuyÓn kh¶ dÜ cña ®iÓm M. r r δr1 = kδr2 r r r δri = k1δr1 + k 2δr2
Di chuyÓn kh¶ dÜ ®éc lËp r r r r r δr1 = kδ r2 δri = k1δ r1 + k 2δ r2 Sè bËc tù do cña c¬ hÖ b»ng sè di chuyÓn kh¶ dÜ ®éc lËp. 1.2. To¹ ®é suy réng cña c¬ hÖ - TËp hîp c¸c th«ng sè ®ñ ®Ó x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña c¬ hÖ trong mét hÖ quy chiÕu x¸c ®Þnh gäi lμ c¸c to¹ ®é suy réng cña c¬ hÖ ký hiÖu: q1, q2, q3, …qm. - To¹ ®é ®Ò c¸c cña c¸c chÊt ®iÓm cã thÓ biÓu diÔn qua to¹ ®é suy réng. - NÕu c¸c to¹ ®é suy réng lμ ®éc lËp ⇒ to¹ ®é suy réng ®ñ (q1, q2, …qn). - NÕu kh«ng ta cã to¹ ®é suy réng d− (qn+1, qn+2, .. qm), m>n. - Sè to¹ ®é suy réng d− b»ng sè ph−¬ng tr×nh liªn kÕt. VÝ dô: - Kh¶o s¸t hai thanh liªn kÕt b¶n lÒ lo¹i 5 víi nhau vμ víi gi¸ nh− h×nh vÏ: - VÞ trÝ cña cña chóng cã thÓ x¸c ®Þnh nh− sau:
{ϕ, ψ} - Sè to¹ ®é suy réng ®ñ. {xA, yA, xB, yB} m-n = 2 Ph−¬ng tr×nh liªn kÕt: x A + y A = OA2 2 2 ( xB − x A ) + ( y B − y A ) 2 2 = AB 2 Trong tr−êng hîp c¸c ph−¬ng tr×nh liªn kÕt kh«ng chøa c¸c vËn tèc suy réng ⇒ liªn kÕt h×nh häc NÕu kh«ng chøa thêi gian ⇒ liªn kÕt dõng. Trong ph¹m vi gi¸o tr×nh ta chØ kh¶o s¸t c¸c c¬ hÖ chÞu liªn kÕt h×nh häc vμ dõng. 1.3. C¸c ®Æc tr−ng h×nh häc khèi cña vËt r¾n 1.3.1. Khèi t©m cña vËt r¾n
- VÞ trÝ khèi t©m cña vËt r¾n ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: r r lim N →∞ ∑ mk rk 1 r rc = N = ∫ r dm lim N →∞ ∑ mk M v k =1 - ChiÕu ph−¬ng tr×nh nμy lªn c¸c trôc to¹ ®é ⇒ to¹ ®é (xc, yc, zc) cña khèi t©m. 1.3.2. M« men qu¸n tÝnh cña vËt r¾n - M« men qu¸n tÝnh cña vËt r¾n ®èi víi trôc z ký hiÖu Iz, lμ mét ®¹i l−îng v« h−íng x¸c ®Þnh theo c«ng thøc: N I z = lim N →∞ ∑ mk ρ k2 = ∫∫∫ ρ 2 dm k −1 v - Trong tr−êng hîp --------
1.4. C¸c lùc t¸c dông lªn c¬ hÖ - Lùc t¸c dông lªn c¸c chÊt ®iÓm cña c¬ hÖ thay ®æi theo thêi gian, kh«ng nh÷ng phô thuéc vμo vÞ trÝ vμ vËn tèc cña chÊt ®iÓm chÞu lùc mμ cßn phô thuéc vμo vÞ trÝ vμ vËn tèc cña tÊt c¶ c¸c chÊt ®iÓm thuéc c¬ hÖ. r - Gäi Fk lμ lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm Mk. r r r r r r r r Fk = Fk (t , r1 , r2 ,...., rn , v1 , v2 ,..., vn ) Lùc t¸c dông lªn c¬ hÖ gåm: - Ngo¹i lùc: Lùc tõ bªn ngoμi t¸c dông lªn chÊt ®iÓm Mk cña r c¬ hÖ ký hiÖu Fck . - Néi lùc: Lùc r c¸c chÊt ®iÓm thuéc c¬ hÖ t¸c dông lÉn do nhau ký hiÖu Fik . r - Lùc liªn kÕt: Ký hiÖu Rk , lμ lùc liªn kÕt t¸c dông lªn chÊt ®iÓm thuéc c¬ hÖ. - Lùc ho¹t ®éng lμ lùc kh«ng phô thuéc vμo lo¹i lùc liªn kÕt. 1.5. Lùc suy réng 1.5.1. BiÓu thøc c«ng cña r trong di chuyÓn kh¶ dÜ r lùc ∑ δAk = ∑ Fkδrk = ∑ (Fkxδxk + Fkyδyk + Fkzδzk )
- Gi¶ sö sè to¹ ®é suy réng ®ñ cña c¬ hÖ lμ:q1, q2, q3, …qn. V× xk lμ hμm sè cña qi nªn: n ∂xk n ∂yk n ∂z k δxk = ∑ δqi δyk = ∑ δqi δz k = ∑ δqi k =1 ∂qi k =1 ∂qi k =1 ∂qi - Thay vμo biÓu thøc cña ∑ δAk ta cã: n ⎡ n ⎛ ∂xk ∂yk ∂z k ⎞⎤ n ∑ δAk = ∑ ⎢∑ ⎜ Fkx ∂q + Fky ∂q + Fkz ∂q ⎟⎥ = ∑ Qiδqi ⎜ i =1 ⎣ k =1 ⎝ ⎟ i i i ⎠⎦ i =1 1.5.2. Lùc suy réng n r ⎛ ∂xk ∂yk ∂z k ⎞ n r ∂rk - §¹i l−îng: Qi = ∑ ⎜ Fkx + Fky + Fkz ⎟ = ∑ Fk ⎜ ∂qi ∂qi ∂qi ⎟ k =1 ∂qi k =1 ⎝ ⎠ - Thø nguyªn cña lùc suy réng phô thuéc vμo thø nguyªn cña to¹ ®é suy réng (lùc hoÆc m«men). 1.6. Liªn kÕt lý t−ëng Lμ liªn kÕt mμ tæng c«ng cña c¸c lùc liªn kÕt trong mäi di chuyÓn kh¶ dÜ ®Òu b»ng 0, thùc tÕ nÕu bá qua ma s¸t vμ tÝnh ®μn håi c¸c liªn kÕt sau ®©y:
- Hai vËt r¾n lu«n tùa vμo nhau (bá qua ma s¸t); - D©y mÒm kh«ng d·n v¾t qua rßng räc (ma s¸t trôc, tr−ît); - Hai vËt l¨n kh«ng tr−ît víi nhau. r r ∂rk - DÔ dμng thÊy: QR = R i ∑ k =0 ∂qi 2. Nguyªn lý di chuyÓn kh¶ dÜ 2.1. Nguyªn lý di chuyÓn kh¶ dÜ - §èi víi c¸c c¬ hÖ chÞu liªn kÕt h×nh häc, dõng, vμ lý t−ëng ®iÒu kiÖn cÇn vμ ®ñ ®Ó c¬ hÖ c©n b»ng t¹i vÞ trÝ ®ang xÐt lμ tæng c«ng nguyªn tè cña c¸c lùc ho¹t ®éng trong mäi di chuyÓn kh¶ dÜ cña c¬ hÖ tõ vÞ trÝ ®ang xÐt ®Òu triÖt tiªu. r r r ∑ δAk = ∑ Fkδrk = 0 - Fk lμ lùc ho¹t ®éng (hîp lùc) t¸c dông lªn chÊt ®iÓm Mk. r - δr lμ di chuyÓn kh¶ dÜ cña ®iÓm Mk. k 2.2. §iÒu kiÖn c©n b»ng cña c¬ hÖ trong to¹ ®é suy réng ®ñ Tõ nguyªn lý di chuyÓn kh¶ dÜ ta cã:
r r n ∑ δAk = ∑ Fkδrk = ∑ Qiδqi =0 i =1 - Do c¸c to¹ ®é suy réng ®ñ ®éc lËp víi nhau nªn c¸c δqi còng ®éc lËp ®èi víi nhau. VËy: Qi = 0 (i = 1, 2, 3 …n) §Þnh lý: §iÒu kiÖn cÇn vμ ®ñ ®Ó c¬ hÖ chÞu liªn kÕt h×nh häc, dõng vμ lý t−ëng c©n b»ng t¹i mét vÞ trÝ lμ c¸c lùc suy réng cña c¸c lùc ho¹t ®éng øng víi c¸c to¹ ®é suy réng ®ñ ph¶i ®ång thêi triÖt tiªu. r r * δrk th× nguyªn lý di chuyÓn kh¶ dÜ cã thÓ viÕt - NÕu ®Æt:V = rr ∑F v = 0 k dt d−íi d¹ng: * k k - Ph−¬ng tr×nh nμy gäi lμ ph−¬ng tr×nh c«ng suÊt DCKD. 2.3. VÝ dô
3. Nguyªn lý §a l¨m be 3.1. Nguyªn lý §a l¨m be ®èi víi chÊt ®iÓm chÊt ®iÓm t¹o thμnh mét hÖ lùc c©n b»ng. r - C¸c lùc thùc sù ®Æt vμo chÊt ®iÓm cïng lùc qu¸n tÝnh cña r - Theo ®inh luËt c¬ b¶n cña §LH (Niu t¬n 2): r r r F = ma r F − (ma ) = F + Fqt = 0 - BiÕn ®æi ta cã: 3.2. Nguyªn lý §a l¨m be ®èi víi c¬ hÖ - Kh¶o s¸t chÊt ®iÓm thø k thuéc c¬ hÖ: r r r r r F − (ma ) = F + F + F = 0 k k e k i qt - LÊy tæng hai vÕ tõ 1 ®Õn n (hÖ lùc ph¼ng) ta cã: nre r ∑ Fk + Rqt = 0 k =1 ( ) n re ∑ mo Fk + M o qt = 0
3.3. Thu gän hÖ lùc qu¸n tÝnh 3.3.1. VËt r¾n chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn r n r r Rqt = ∑ − mk ak = − Mac k =1 - Hîp lùc qu¸n tÝnh ®Æt t¹i khèi t©m cña vËt. 3.3.2. VËt r¾n chuyÓn ®éng quay quanh trôc cè ®Þnh - Thu gän hÖ lùc qu¸n tÝnh vÒ O ta ®−îc. r n r r Rqt = ∑ − mk ak = − Mac k =1 ( ) ( ) rτ rn ( rτ ) n n n M o qt = ∑ mo Fkqt + ∑ mo Fkqt = ∑ mo − mk ak = − J z ε k =1 k =1 k =1 3.3.3. VËt r¾n chuyÓn ®éng song ph¼ng - Thu gän hÖ lùc qu¸n tÝnh vÒ khèi t©m C ta ®−îc. r r RCqt = − Mac M Cqt = − J Cz ε c 3.4. VÝ dô
4.§éng lùc häc vËt r¾n 4.1. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña vËt r¾n 4.1.1. VËt r¾n chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn - Theo nguyªn lý §a l¨m be: r r r N d 2 rc r N r ∑ Fk + Rqt = 0 M 2 = M&& = ∑ Fk rc k =1 dt k =1 r N N r M&&C = ∑ Fkx x M&&C = ∑ Fky y k =1 k =1 4.1.2. VËt r¾n chuyÓn ®éng quay quanh trôc cè ®Þnh ( ) r ( ) r N J zϕ = ∑ mo Fk N ∑ mo Fk + M o qt = 0 k =1 r && k =1 - Trong ®ã Fk lμ c¸c lùc ngoμi kÓ c¶ ph¶n lùc liªn kÕt. 4.1.3. ChuyÓn ®éng song ph¼ng cña tÊm ph¼ng - Trong hÖ to¹ ®é ®Ò c¸c: r ( ) r N N r M&&C = ∑ Fky J Czϕ = ∑ mo Fk N M&&C = ∑ Fkx x y && k =1 k =1 k =1 - Trong ®ã: xC vμ yC lμ to¹ ®é khèi t©m C.
4.2. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña c¬ hÖ Ph−¬ng tr×nh Lagrange lo¹i 2 - Kh¶o s¸t c¬ hÖ chÞu liªn kÕt h×nh häc vμ lý t−ëng cã vÞ trÝ x¸c ®Þnh nhê n to¹ ®é suy réng ®ñ: q1, q2, q3…qn. - Theo nguyªn lý §a l¨m be: r r r r r r r qt r qt r qt F1 , F2 ...FN , R1 , R2 ...RN , F1 , F2 ...FN ≡ 0 - Do liªn kÕt lý t−ëng nªn c¸c lùc liªn kÕt triÖt tiªu nhau nªn ®iÒu kiÖn c©n b»ng sÏ lμ: QiF + Qiqt = 0 Trong ®ã: i = 1, 2…n -Tõ biÓu thøc ®éng n¨ng T cña c¬ hÖ theo c¸c to¹ ®é suy réng vμ vËn tèc suy réng cã thÓ chøng minh: ⎡ d ∂T ∂T ⎤ Q = −⎢ qt − i &i ∂qi ⎥ ⎣ dt ∂q ⎦ T = T (q1 , q2 ,...qn , q1 , q2 ,...qn ) & & & QiF Lμ lùc suy réng cña c¸c lùc ho¹t ®éng.
- Thay vμo ph−¬ng tr×nh ®iÒu kiÖn c©n b»ng ⎡ d ∂T ∂T ⎤ ⎢ − ⎥ = QiF ⎣ dt ∂qi ∂qi ⎦ & - §©y lμ ph−¬ng tr×nh Lagrange II m« t¶ chuyÓn ®éng cña c¬ hÖ. - NÕu c¸c lùc ho¹t ®éng gåm c¸c lùc cã thÕ víi hμm thÕ n¨ng Π vμ c¸c lùc ho¹t ®éng kh¸c kh«ng thÕ cã lùc suy réng Q*i th× ph−¬ng tr×nh Lagrange lo¹i II cã thÓ viÕt nh− sau: ⎡ d ∂T ∂T ⎤ ∂Π ⎢ − =− + Qi* &i ∂qi ⎥ ⎣ dt ∂q ⎦ ∂qi i = 1, 2,…n 5. VÝ dô