intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Giải bài tập đề cương Xác suất thống kê

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:143

Thêm vào BST
Báo xấu
2
lượt xem 1
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu này giải các bài tập đề cương Xác suất thống kê với những kiến thức như: Sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất, biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất, biến ngẫu nhiên nhiều chiều, ước lượng tham số, kiểm định giả thuyết. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giải bài tập đề cương Xác suất thống kê

  1. VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC School of Applied Mathematics and Informatics Xác su t th ng kê Gi i bài t p đ cương Nhóm ngành 1 MI2020 Nguy n Quang Huy 20185454
  2. Đ cương MI2020 h c kỳ 20192 M cl c L im đ u 2 1 S ki n ng u nhiên và phép tính xác su t 3 1.1 Quan h và phép toán c a các s ki n. Gi i tích k t h p . . . . . . . . . . . 3 1.2 Đ nh nghĩa xác su t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Xác su t đi u ki n. Công th c c ng, nhân xác su t. Công th c Bernoulli . . 13 1.4 Công th c xác su t đ y đ . Công th c Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 Bi n ng u nhiên và lu t phân ph i xác su t 34 2.1 Bi n ng u nhiên r i r c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Bi n ng u nhiên liên t c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3 M t s lu t phân ph i xác su t thông d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3 Bi n ng u nhiên nhi u chi u 71 3.1 Bi n ng u nhiên r i r c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2 Bi n ng u nhiên liên t c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4 Ư c lư ng tham s 94 4.1 Ư c lư ng kho ng cho kỳ v ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.2 Ư c lư ng kho ng cho t l hay xác su t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5 Ki m đ nh gi thuy t 116 5.1 Ki m đ nh gi thuy t cho m t m u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.1.1 Ki m đ nh gi thuy t cho kỳ v ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.1.2 Ki m đ nh gi thuy t cho t l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.2 Ki m đ nh gi thuy t cho hai m u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.2.1 So sánh hai kỳ v ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.2.2 So sánh hai t l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Tài li u tham kh o 142 1 Nguy n Quang Huy 20185454 MI2 K63
  3. Đ cương MI2020 h c kỳ 20192 L im đ u Xác su t th ng kê là m t lĩnh v c mà mình th y r t thú v và đ c bi t nh c não. Nhi u khi dù mình đ c l i gi i r i mà v n không hi u ngư i ta vi t gì, bi t mình ra k t qu sai mà không bi t mình sai đâu Và b n thân mình là m t ngư i s , r t s môn khoa h c c a s không ch c ch n này. Th t trùng h p là v i mình thì đây là môn đ i cương đ u tiên cô giáo ki m tra và ch m đi m đ cương, và cũng là m t h c kì r t đ c bi t, khi mà t t c m i ngư i đ u làm vi c nhà qua Internet. Ch c là n u không có các đi u ki n này, thì mình không bao gi làm đ cương và có th kiên nh n đ gõ h t l i bài t p . . . Trong quá trình hoàn thi n đ cương, có lúc mình b n quá, có lúc g p bi n c trong h c t p và công vi c, có lúc lư i h c chán đ i. . . nên không ít l n mình t ng nghĩ s b d . Nhưng cũng chính nh nh ng kí c không vui, mà mình đã nh n ra r ng cái gì đã kh i đ u t t đ p thì nên c g ng h t s c đ nó k t thúc th t m mãn. Và mình đã quy t đ nh hoàn thành nh ng th mà mình đã b t đ u v n còn đang dang d , k t qu , chính là nh ng trang mà b n đang đ c đây. Trong tài li u này mình gi i đ các bài t p đ cương Xác su t th ng kê năm 2020 nhóm ngành 1, mã h c ph n MI2020 các chương 1, 2, 3, 4 và 5. Tuy nhiên, còn nhi u ch do mình h c chưa k l m, không ghi chép bài đ y đ , ch a bài t p trên l p. . . nên có th s có nhi u bài làm sai, nhi u bài làm không hay. . . R t mong b n đ c b qua không ném đá Xin c m ơn b n Nguy n Minh Hi u, tác gi c a template này đã chia s và cho phép mình s d ng m u L TEX. Con nhà ngư i ta nghĩ ra cái này cái kia còn mình ch đi xin v A thôi L i cu i cùng, mình mu n g i l i c m ơn chân thành và sâu s c nh t t i cô Nguy n Th Thu Th y, cô giáo d y Xác su t th ng kê c a mình. Cô luôn nhi t tình ch b o, giúp đ em hoàn thi n tài li u này và trong c su t quá trình h c t p. Em xin c m ơn cô vì đã d y em, đã luôn t n tình hư ng d n, giúp đ và quan tâm đ n em. Th t may m n khi em đư c ti p xúc v i cô. H c v i cô, em có thêm nhi u đ ng l c, và em h c h i đư c r t r t nhi u t phong cách làm vi c chuyên nghi p c a cô. M t l n n a, em c m ơn cô nhi u l m . Kính chúc cô luôn s c kh e và vui v . Hà N i, ngày 16 tháng 8 năm 2020 Nguy n Quang Huy 2 Nguy n Quang Huy 20185454 MI2 K63
  4. Đ cương MI2020 h c kỳ 20192 1 S ki n ng u nhiên và phép tính xác su t 1.1 Quan h và phép toán c a các s ki n. Gi i tích k t h p Bài t p 1.1. M t h p có 10 qu c u cùng kích c đư c đánh s t 0 đ n 9. T h p ngư i ta l y ng u nhiên 1 qu ra và ghi l i s c a qu đó, sau đó tr l i vào trong h p. Làm như v y 5 l n ta thu đư c m t dãy s có 5 ch s . 1. Có bao nhiêu k t qu cho dãy s đó? 2. Có bao nhiêu k t qu cho dãy s đó sao cho các ch s trong đó là khác nhau? 1. S k t qu cho dãy đó là 105 2. S k t qu cho dãy có các ch s khác nhau là 10.9.8.7.6 = 30240 Bài t p 1.2. Có 6 b n Hoa, Trang, Vân, Anh, Thái, Trung ng i quanh m t bàn tròn đ u ng cà phê, trong đó b n Trang và Vân không ng i c nh nhau. 1. Có bao nhiêu cách x p 6 b n này trên bàn tròn n u t t c các gh là không phân bi t? 2. Có bao nhiêu cách x p 6 b n này trên bàn tròn n u t t c các gh có phân bi t? 1. S cách x p đ Trang và Vân không ng i c nh nhau là 5! − 2.4! = 72 2. S cách x p n u các gh có phân bi t là 6! − 6.2.4! = 432. Ta th y r ng 432 = 6.72 Bài t p 1.3. T m t b bài tú lơ khơ 52 cây rút ng u nhiên và không quan tâm đ n th t 4 cây. Có bao nhiêu kh năng x y ra trư ng h p trong 4 cây đó: 1. đ u là át; 2. có duy nh t 1 cây át; 3. có ít nh t 1 cây át; 4. có đ 4 lo i rô, cơ, bích, nhép. 3 Nguy n Quang Huy 20185454 MI2 K63
  5. Đ cương MI2020 h c kỳ 20192 1. Ch có 1 kh năng do 1 b bài ch có 4 con át 2. Có 4 cách l y ra 1 con át, có C48 cách ch n 3 lá bài còn l i. 3 Như v y, s cách l y ra 4 lá đ có duy nh t 1 con át là 4 × C48 = 69184 3 3. S cách ch n ra 4 lá t b bài là C52 . S cách đ ch n ra 4 lá bài trong đó không có cây 3 át nào là C48 (không l y th t ) 3 Suy ra s kh năng là C52 − C48 = 76145 3 3 4. S cách l y 1 lá bài cơ là C13 = 13. Tương t v i các lo i rô, bích, nhép. Suy ra s kh 1 năng là 13 = 28561 4 Bài t p 1.4. Có 20 sinh viên. Có bao nhiêu cách ch n ra 4 sinh viên (không xét t i tính th t ) tham gia câu l c b Văn và 4 sinh viên tham gia câu l c b Toán trong trư ng h p: 1. m t sinh viên ch tham gia nhi u nh t m t câu l c b ; 2. m t sinh viên có th tham gia c hai câu l c b . 1. Ch n 4 h c sinh tham gia câu l c b Văn có C20 cách. 4 Do 1 sinh viên không th tham gia cùng lúc 2 câu l c b , nên s cách ch n 4 sinh viên tham gia câu l c b Toán là C16 . S kh năng là 4 C20 C16 = 8817900 4 4 2. Ch n 4 h c sinh tham gia câu l c b Văn có C20 cách. 4 Do 1 sinh viên có th tham gia cùng lúc 2 câu l c b , nên s cách ch n 4 sinh viên tham gia câu l c b Toán là C20 . S kh năng là 4 C20 C20 = 23474025 4 4 Bài t p 1.5. Cho phương trình x + y + z = 100. Phương trình đã cho có bao nhiêu nghi m: 1. nguyên dương; 2. nguyên không âm. 1. Ta đánh d u trên tr c s t s 1 đ n 100 b i 100 s 1 cách đ u nhau 1 đơn v . Khi đó, ta có 99 kho ng gi a 2 s 1 liên ti p. 4 Nguy n Quang Huy 20185454 MI2 K63
  6. Đ cương MI2020 h c kỳ 20192 N u chia đo n th ng [1, 100] này b i 2 đi m chia n m trong đo n thì ta s có 3 ph n có đ dài ít nh t là 1. Có th th y r ng ta có song ánh gi a bài toán chia đo n này v i bài toán tìm nghi m nguyên dương c a phương trình x + y + z = 100. 99 Như v y, s nghi m c a phương trình này b ng s cách chia, và b ng 2 2. S d ng ý trên. Đ t a = x + 1, b = y + 1, c = z + 1 thì a, b, c ∈ Z+ và a + b + c = 103 102 Do đó s nghi m x, y, z là 2 Bài t p 1.6. Th c hi n m t phép th tung 2 con xúc x c, r i ghi l i s ch m xu t hi n trên m i con. G i x, y là s ch m xu t hi n tương ng trên con xúc x c th nh t và th hai. Ký hi u không gian m u W = (x, y) | 1 ≤ x, y ≤ 6 . Hãy li t kê các ph n t c a các s ki n sau: 1. A : "t ng s ch m xu t hi n l n hơn 8"; 2. B : "có ít nh t m t con xúc x c ra m t 2 ch m"; 3. C : "con xúc x c th nh t có s ch m l n hơn 4"; 4. A + B, A + C, B + C, A + B + C, sau đó th hi n thông qua sơ đ V enn; 5. AB, AC, BC, ABC, sau đó th hi n thông qua sơ đ V enn. 1. A = (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6) 2. B = (2, 2), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (1, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2) 3. C = (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) 4. A + B, A + C, B + C, A + B + C 5. AB = ∅ AC = (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) BC = (5, 2), (6, 2) ABC = ∅ 5 Nguy n Quang Huy 20185454 MI2 K63
  7. Đ cương MI2020 h c kỳ 20192 1.2 Đ nh nghĩa xác su t Bài t p 1.7. S lư ng nhân viên c a công ty A đư c phân lo i theo l a tu i và gi i tính như sau: Gi i tính Nam N Tu i Dư i 30 120 170 T 30 đ n 40 260 420 Trên 40 400 230 Tìm xác su t đ l y ng u nhiên m t ngư i c a công ty thì đư c: 1. m t nhân viên trong đ tu i 30 – 40; 2. m t nam nhân viên trên 40 tu i; 3. m t n nhân viên t 40 tu i tr xu ng. 1. G i A là "l y đư c m t nhân viên trong đ tu i 30 − 40" 260 + 420 17 P (A) = = = 0.425 120 + 260 + 400 + 170 + 420 + 230 40 2. G i B là "l y đư c nam nhân viên trên 40 tu i" 400 P (B) = = 0.25 120 + 260 + 400 + 170 + 420 + 230 3. G i C là "l y đư c n nhân viên t 40 tu i tr xu ng" 170 + 420 P (C) = 0.3688 120 + 260 + 400 + 170 + 420 + 230 Bài t p 1.8. M t ki n hàng có 24 s n ph m, trong s đó có 14 s n ph m lo i I, 8 s n ph m lo i II và 2 s n ph m lo i III. Ngư i ta ch n ng u nhiên 4 s n ph m đ ki m tra. Tính xác su t trong 4 s n ph m đó: 1. có 3 s n ph m lo i I và 1 s n ph m lo i II; 2. có ít nh t 3 s n ph m lo i I; 3. có ít nh t 1 s n ph m lo i III. Ta tính xác su t theo đ nh nghĩa c đi n. S trư ng h p đ ng kh năng là C24 . 4 6 Nguy n Quang Huy 20185454 MI2 K63
  8. Đ cương MI2020 h c kỳ 20192 1. S cách l y 3 s n ph m lo i I là C14 . S cách l y 1 s n ph m lo i II là C8 . S k t c c 3 1 thu n l i là C14 C8 . Suy ra 3 1 3 1 C14 C8 P (A) = 4 0.2740 C24 2. Đ trong 4 s n ph m ch n ra có ít nh t 3 s n ph m lo i I, ch có 2 kh năng là c 4 đ u lo i I, ho c 3 lo i I, 1 lo i II, ho c lo i III. D dàng tính đư c C14 + C14 C10 4 3 1 P (B) = 4 0.4368 C24 4 C22 3. Ta tính xác su t trong 4 s n ph m không có s n ph m lo i III: P (C) = 4 0.6884. C24 Do đó, ta có P (C) = 1 − P (C) 0.3116 Bài t p 1.9. Có 30 t m th đánh s t 1 t i 30. Ch n ng u nhiên ra 10 t m th . Tính xác su t đ : 1. t t c t m th đ u mang s ch n; 2. có đúng 5 s chia h t cho 3; 3. có 5 t m th mang s l , 5 t m th mang s ch n trong đó ch có m t s chia h t cho 10. S d ng công th c xác su t c đi n. S k t c c đ ng kh năng khi ch n 10 t m th là n = C30 10 1. G i A là "t t c th đ u mang s ch n" thì s k t c c thu n l i cho A là m = C15 . 10 10 C Có P (A) = 15 10 9.995 × 10−5 C30 5 5 C10 C20 2. G i B là "có đúng 5 s chia h t cho 3". Có P (B) = 10 0.13 C30 3. G i C là s ki n c n tính xác su t. D tính đư c s k t c c thu n l i cho C là C3 C12 C15 . Suy ra 1 4 5 1 4 5 C3 C12 C15 P (C) = 10 0.1484 C30 Bài t p 1.10. Vi t Nam có 64 t nh thành, m i t nh thành có 2 đ i bi u qu c h i. Ngư i ta ch n ng u nhiên 64 đ i bi u qu c h i đ thành l p m t y ban. Tính xác su t đ : 1. trong y ban có ít nh t m t ngư i c a thành ph Hà N i; 2. m i t nh có đúng m t đ i bi u trong y ban. 7 Nguy n Quang Huy 20185454 MI2 K63
  9. Đ cương MI2020 h c kỳ 20192 1. G i A là "có ít nh t 1 ngư i t Hà N i". Ta có 64 C126 P (A) = 1 − P (A) = 1 − 64 0.7520 C128 264 2. G i B là "m i t nh có m t đ i di n" ta có P (B) = 64 ≈ 7.5 × 10−19 C128 Bài t p 1.11. M t đoàn tàu có 4 toa đư c đánh s I, II, III, IV đ sân ga. Có 6 hành khách t sân ga lên tàu. M i ngư i đ c l p v i nhau ch n ng u nhiên m t toa. Tính xác su t đ : 1. toa I có 3 ngư i, toa II có 2 ngư i và toa III có 1 ngư i; 2. m t toa có 3 ngư i, m t toa 2 ngư i, m t toa có 1 ngư i; 3. m i toa có ít nh t 1 ngư i. 1. L n lư t ch n 3 ngư i x p vào toa đ u, 2 ngư i x p vào toa II và 1 ngư i x p vào toa III, ta có C 3 C3 C 1 2 15 P (A) = 6 6 1 = 0.0146 4 1024 2. Có ch n ra 3 ngư i x p vào m t toa, r i ch n ra 2 ngư i x p vào m t toa khác, cu i cùng cho ngư i còn l i vào m t toa. Ta có C6 × 4 × C 3 × 3 × C1 × 2 3 2 1 45 P (B) = = 0.3516 46 128 3. G i C "m i toa có ít nh t m t ngư i", khi đó ch có th x y ra 2 kh năng. Kh năng th nh t là có 1 toa 3 ngư i, 3 toa còn l i 1 ngư i. Kh năng th 2 là có 2 toa 2 ngư i và 2 toa 1 ngư i. Theo công th c c đi n ta có C6 × 4 × 3! + C4 × C6 × C4 × 2! 3 2 2 2 195 P (C) = = 0.3809 4 6 512 Bài t p 1.12. Gieo hai con xúc x c cân đ i và đ ng ch t. M t con xúc x c có s ch m các m t là 1, 2, 3, 4, 5, 6, con xúc x c còn l i có s ch m các m t là 2, 3, 4, 5, 6, 6. Tính xác su t: 1. có đúng 1 con xúc x c ra m t 6 ch m; 2. có ít nh t 1 con xúc x c ra m t 6 ch m; 3. t ng s ch m xu t hi n b ng 7. S k t c c đ ng kh năng là 6.6 = 36 8 Nguy n Quang Huy 20185454 MI2 K63
  10. Đ cương MI2020 h c kỳ 20192 1.4 + 5.2 1. P (A) = 0.3889 36 5.4 2. P (B) = 1 − 0.4444 36 3. Đ s ch m xu t hi n t ng b ng 7 thì t p k t c c thu n l i ph i là {(1, 6), (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} 7 suy ra m = 7. Do đó ta có P (C) = 0.1944 36 Bài t p 1.13. Trong m t thành ph có 5 khách s n. Có 3 khách du l ch đ n thành ph đó, m i ngư i ch n ng u nhiên m t khách s n. Tìm xác su t đ : 1. m i ngư i m t khách s n khác nhau; 2. có đúng 2 ngư i cùng m t khách s n. M i ngư i có 5 cách ch n khách s n đ . Do đó s trư ng h p đ ng kh năng có th x y ra là 53 1. G i A là "m i ngư i m t khách s n khác nhau". 60 S k t c c thu n l i cho A là 5.4.3 = 60. T đó có P (A) = = 0.48 53 2. G i B là "có đúng 2 ngư i cùng m t khách s n". Có C3 cách đ ch n ra 2 ngư i. Có 5 cách đ h ch n khách s n. Ngư i còn l i m t 2 trong s 4 cái còn l i. S k t c c thu n l i cho B, theo quy t c nhân, là C3 × 5 × 4. 2 C ×5×4 2 Suy ra P (B) = 3 3 = 0.48 5 Bài t p 1.14. M t l p có 3 t sinh viên: t I có 12 ngư i, t II có 10 ngư i và t III có 15 ngư i. Ch n hú h a ra m t nhóm sinh viên g m 4 ngư i. 1. Tính xác su t đ trong nhóm có đúng m t sinh viên t I. 2. Bi t trong nhóm có đúng m t sinh viên t I, tính xác su t đ trong nhóm đó có đúng m t sinh viên t III. 1. G i A là "trong nhóm có đúng 1 sinh viên t I". Ta có 1 3 C12 C25 1840 P (A) = = 0.4179 4 C37 4403 9 Nguy n Quang Huy 20185454 MI2 K63
  11. Đ cương MI2020 h c kỳ 20192 2. G i B "có đúng 1 sinh viên t III". Theo đ nh nghĩa xác su t đi u ki n, 1 2 1 C12 C10 C15 P (AB) 4 C37 27 P (B | A) = = 1840 = 0.2935 P (A) 92 4403 N u ta tính tr c ti p không qua công th c xác su t đi u ki n, thì v i gi thi t bi t có đúng 1 sinh viên t I, s trư ng h p đ ng kh năng là C25 . 3 2 C C 1 27 S k t c c thu n l i là C10 C15 , suy ra P = 10 3 15 = 2 1 C25 92 Bài t p 1.15. Ba n nhân viên ph c v A, B và C thay nhau r a đĩa chén và gi s ba ngư i này đ u “khéo léo” như nhau. Trong m t tháng có 4 chén b v . Tìm xác su t đ : 1. ch A đánh v 3 chén và ch B đánh v 1 chén; 2. m t trong ba ngư i đánh v 3 chén; 3. m t trong ba ngư i đánh v c 4 chén. S k t c c đ ng kh năng là 34 3 1 C4 C1 1. P (A) = 0.0494 34 2. Ch n m t ngư i đánh v 3 chén, và m t trong 2 ngư i còn l i đánh v 1 chén. C3 C4 C2 1 1 3 1 Suy ra P (B) = 0.2963 34 C3 1 1 3. P (C) = 0.0370 34 Bài t p 1.16. Đ i A có 3 ngư i và đ i B có 3 ngư i tham gia vào m t cu c ch y thi, 6 ngư i có kh năng như nhau và xu t phát cùng nhau. Tính xác su t đ 3 ngư i đ i A v v trí nh t, nhì, ba. Vì ch có 3 gi i nh t, nhì, ba và m i gi i ch có th trao cho 1 trong 6 ngư i, nên s k t c c đ ng kh năng là A3 = 20. 6 M t khác, v i m i cách trao gi i cho 3 ngư i đ i A, ta có m t hoán v c a "nh t, nhì, ba" nên s k t c c thu n l i là 3!. 3! Tóm l i, xác su t c n tính P = 3 = 0.05 A6 10 Nguy n Quang Huy 20185454 MI2 K63
  12. Đ cương MI2020 h c kỳ 20192 Bài t p 1.17. Phân ph i ng u nhiên n viên bi vào n chi c h p (bi t r ng m i h p có th ch a c n viên bi). Tính xác su t đ : 1. H p nào cũng có bi; 2. Có đúng m t h p không có bi. S k t c c thu n l i là nn n! 1. G i A là "h p nào cũng có bi". Khi đó, s k t c c thu n l i là n!. V y P (A) = nn 2. G i B là "Có đúng m t h p không có bi". Khi đó, có m t h p có 2 bi, n − 2 h p ch a 1 bi và 1 h p ch a 0 bi. Ch n 2 trong n h p đ bi có Cn cách. Ch n 2 trong n bi có Cn cách ch n. 2 2 X p 2 bi này vào m t trong 2 h p, có 2! cách x p. X p s bi còn l i vào các h p có (n − 2)! cách x p. Suy ra s k t c c thu n l i là 2! Cn Cn (n − 2)! 2 2 Như v y 2! Cn Cn (n − 2)! 2 2 (n!)2 P (B) = = nn 2 (n − 2)! nn Bài t p 1.18. Hai ngư i h n g p nhau công viên trong kho ng th i gian t 5h00 đ n 6h00 đ cùng đi t p th d c. Hai ngư i quy ư c ai đ n không th y ngư i kia s ch ch trong vòng 10 phút. Gi s r ng th i đi m hai ngư i đ n công viên là ng u nhiên trong kho ng t 5h00 đ n 6h00. Tính xác su t đ hai ngư i g p nhau. G i x, y là th i gian ngư i th nh t và ngư i th hai đ n. Ta có t p k t c c đ ng kh năng là G = (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x, y ≤ 60 G i H "hai ngư i g p đư c nhau". Khi đó t p k t c c thu n l i là H = (x, y) ∈ G : |x − y| ≤ 10 |H| 602 − 502 11 Suy ra P = = = 0.3056 |G| 502 36 Bài t p 1.19. Cho đo n th ng AB có đ dài 10 cm. L y m t đi m C b t kỳ trên đo n th ng đó. Tính xác su t chênh l ch đ dài gi a hai đo n th ng AC và CB không vư t quá 4cm. 11 Nguy n Quang Huy 20185454 MI2 K63
  13. Đ cương MI2020 h c kỳ 20192 y x O G i x là đ dài AC, hi n nhiên CB = 10 − x. S k t c c đ ng kh năng đây là đ dài đo n th ng AB, chính là 10 cm. G i A là "chênh l ch đ dài gi a AC và CB không quá 4 cm", khi đó, A bi u th b i mi n hình h c H = x ∈ [0, 10] mà x − (10 − x) ≤ 4 A B Vì H là đo n th ng có đ dài 7 − 3 = 4 (cm) nên ta d dàng tính P (A) theo đ nh nghĩa hình 4 h c: P (A) = = 0.4 10 Bài t p 1.20. Cho đo n th ng AB đ dài 10 cm. L y hai đi m C, D b t kỳ trên đo n AB (C n m gi a A và D). Tính xác su t đ dài AC, CD, DB t o thành 3 c nh m t tam giác. G i x, y l n lư t là đ dài các đo n th ng AC, CD. Khi đó ta có DB = 10 − x − y, v i đi u ki n x ≥ 0, y ≥ 0, 10 − x − y ≥ 0. Mi n đ ng kh năng là G = (x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, y ≥ 0, 10 − x − y ≥ 0 G i A là "đ dài AC, CD, DB t o thành 3 c nh tam giác" thì mi n k t c c thu n l i cho A là H = (x, y) ∈ G | x + y > 10 − x − y, x + (10 − x − y) > y, y + (10 − x − y) > x |H| 1 Như v y, xác su t c a s ki n A là P (A) = = = 0.25 |G| 4 12 Nguy n Quang Huy 20185454 MI2 K63
  14. Đ cương MI2020 h c kỳ 20192 y x O 1.3 Xác su t đi u ki n. Công th c c ng, nhân xác su t. Công th c Bernoulli Bài t p 1.21. 1 1 Cho các s ki n A, B v i P (A) = P (B) = ; P (AB) = . Tìm: 2 8 1. P (A + B); 2. P (AB), P (A + B). 1. P (A + B) = 1 − P (AB) = 1 − P (A) + P (AB) = 0.625 2. P (AB) = P (B) − P (AB) = P (B) − P (A) + P (AB) = 0.125 và P (A + B) = 1 − P (AB) = 0.875 Bài t p 1.22. Cho ba s ki n A, B, C đ c l p t ng đôi th a mãn P (A) = P (B) = P (C) = p và P (ABC) = 0. 1. Tính P (ABC); P (AB C); P (A B C). 2. Tìm giá tr p l n nh t có th có. 1. P (ABC) = P (AB) − P (ABC) = p2 P (AB C) = P (AB) − P (ABC) = p(1 − p) − p2 = p − 2p2 Chú ý r ng vì A, B, C có vai trò như nhau nên P (ABC) = P (ABC) Suy ra P (A B C) = P (B C) − P (AB C) = (1 − p)2 − p + 2p2 = 3p2 − 3p + 1 13 Nguy n Quang Huy 20185454 MI2 K63
  15. Đ cương MI2020 h c kỳ 20192 2. Các xác su t có th có là  P (A) = P (B) = P (C) = p      P (A) = P (B) = P (C) = 1 − p       P (AB) = P (BC) = P (CA) = p2       P (A B) = P (B A) = P (B C) = P (C B) = P (C A) = P (A C) = p(1 − p)        P (A B) = P (B C) = P (C A)) = 1 − 2p + p2 P (ABC) = 0       P (ABC) = P (BCA) = P (CAB) = p2       P (AB C) = P (BC A) = P (CA B) = p − 2p2       P (A B C) = 3p2 − 3p + 1     1 Ta có 0 ≤ p, 1 − p, p2 , p − p2 , p − 2p2 , (1 − p)2 , 3p2 − 3p + 1 ≤ 1 suy ra p ≤ 2 Bài t p 1.23. 1 1 Trong cùng m t phép th , A và B là các s ki n th a mãn P (A) = , P (B) = . Tính 4 2 xác su t đ A không x y ra nhưng B x y ra trong các trư ng h p sau: 1. A và B xung kh c; 2. A suy ra B; 1 3. P (AB) = . 8 1. A và B xung kh c thì A B = B suy ra P (B) = 0.5 2. A suy ra B thì A B = B \ A suy ra P (A B) = P (B) − P (AB) = P (B) − P (A) = 0.25 3. P (A B) = P (B) − P (AB) = 0.375 Bài t p 1.24. Cho hai s ki n A và B trong đó P (A) = 0, 4 và P (B) = 0, 7. Xác đ nh giá tr l n nh t và nh nh t c a P (AB) và P (A + B) và đi u ki n đ t đư c các giá tr đó. Có 0.7 ≤ P (A + B) ≤ 1 vì P (A) = 0.4, P (B) = 0.7. D u b ng đ t đư c l n lư t t i A ⊂ B và P (AB) = 0.1 Suy ra 0.1 ≤ P (AB) ≤ 0.4. D u b ng đ t đư c l n lư t khi P (A + B) đ t max và min 14 Nguy n Quang Huy 20185454 MI2 K63
  16. Đ cương MI2020 h c kỳ 20192 Bài t p 1.25. Ba ngư i A, B và C l n lư t tung m t đ ng xu. Gi s r ng A tung đ ng xu đ u tiên, B tung th hai và th ba C tung. Quá trình l p đi l p l i cho đ n khi ai th ng b ng vi c tr thành ngư i đ u tiên thu đư c m t ng a. Xác đ nh kh năng mà m i ngư i s giành chi n th ng. G i A, B, C l n lư t là "A, B, C th ng", và Ai , Bi , Ci l n lư t là "A, B, C tung đư c m t ng a l n i", s d ng t ng c a chu i, ho c dùng c p s nhân, ta có 1 1 1 1 1 1 4 P (A) = P (A1 ) + P (A1 B2 C3 A4 ) + . . . = + × 3 + × 6 + . . . = 2 1 = 2 2 2 2 2 1− 7 8 1 1 2 4 8 =1 Tương t P (B) = 1 = 7 , P (C) = 1 1− 1− 7 8 8 Bài t p 1.26. Trong m t thùng kín có 6 qu c u đ , 5 qu c u tr ng, 4 qu c u vàng. L y ng u nhiên l n lư t t ng qu c u cho đ n khi l y đư c c u đ thì d ng l i. Tính xác su t đ : 1. L y đư c 2 c u tr ng, 1 c u vàng. 2. Không có qu c u tr ng nào đư c l y ra. G i Di , Tj , Vk là "l y đư c qu đ , tr ng, vàng l n th i, j, k" 1. Có A = T1 T2 V3 D4 + T1 V2 T3 D4 + V1 T2 T3 D4 suy ra 5 4 4 6 5 4 4 6 4 5 4 6 4 P (A) = . . . + . . . + . . . = 15 14 13 12 15 14 13 12 15 14 13 12 91 đó P (Ti Tj Vk Dl ) = P (Ti ) P (Tj | Ti ) P (Tk | Ti Tj ) P (Dl | Ti Tj Tk ) 2. Có B = D1 + V1 D2 + V1 V2 D3 + V1 V2 V3 D4 + V1 V2 V3 V4 D5 Vì các s ki n trong t ng trên là xung khác, nên áp d ng công th c c ng và xác su t c a m t tích ta có 6 4 6 4 3 6 4 3 2 6 4 3 2 1 6 6 P (B) = + . + . . + . . . + . . . = 15 15 14 15 14 13 15 14 13 12 15 14 13 12 11 11 15 Nguy n Quang Huy 20185454 MI2 K63
  17. Đ cương MI2020 h c kỳ 20192 Bài t p 1.27. Ba x th A, B, C đ c l p v i nhau cùng b n súng vào bia. Xác su t b n trúng bia c a 3 ngư i A, B và C tương ng là 0,7, 0,6 và 0,9. Tính xác su t đ : 1. có duy nh t m t x th b n trúng bia; 2. có đúng hai x th b n trúng bia; 3. có ít nh t m t x th b n trúng bia; 4. x th A b n trúng bia bi t r ng có hai x th b n trúng bia. G i A, B, C l n lư t là "A, B, C b n trúng bia". D th y A, B, C là các s ki n đ c l p. Ta có 1. P (A1 ) = P (A BC) = 0.154 2. P (A2 ) = P (ABC) = 0.456 3. P (A3 ) = 1 − P (A B C) = 0.988 4. G i A4 là "x th A b n trúng bia bi t r ng có hai x th b n trúng bia". Ta có A4 = A | A2 . S d ng xác su t đi u ki n, P (ABC) + P (ACB) P (A4 ) = P (A | A2 ) = = 0.648 P (A2 ) Bài t p 1.28. Trên m t b ng qu ng cáo, ngư i ta m c hai h th ng bóng đèn đ c l p. H th ng I g m 4 bóng m c n i ti p, h th ng II g m 3 bóng m c song song. Kh năng b h ng c a m i bóng trong 18 gi th p sáng liên t c là 0,1. Vi c h ng c a m i bóng c a m i h th ng đư c xem như đ c l p. Tính xác su t đ trong 18 gi th p sáng liên t c: 1. c hai h th ng b h ng; 2. ch có m t h th ng b h ng. G i Ai là "bóng th i c a h th ng I h ng" và Bj là "bóng th j c a h th ng II h ng". H th ng I b h ng khi và ch khi 1 trong 4 bóng c a nó h ng, ta bi u di n s ki n này là A = A1 + A2 + A3 + A4 Có P (A) = 1 − (1 − 0.1)4 = 0.3439 H th ng II h ng khi và ch khi t t c 3 bóng m c song song đ u h ng, s ki n này là B = B1 B2 B3 Có P (B) = 0.13 = 0.001 16 Nguy n Quang Huy 20185454 MI2 K63
  18. Đ cương MI2020 h c kỳ 20192 1. G i C là "c hai h th ng h ng". C x y ra khi và ch khi h th ng I và h th ng II đ u h ng, nói cách khác, C = AB = (A1 + A2 + A3 + A4 )B1 B2 B3 Suy ra P (C) = 0.3439 × 0.001 = 3.439 × 10−4 2. G i D là "ch có m t h th ng h ng" thì ta có D = AB + AB = (A1 + A2 + A3 + A4 )(B1 + B2 + B3 ) + (A1 A2 A3 A4 )B1 B2 B3 Suy ra P (D) = 0.3439 × (1 − 0.001) + (1 − 0.3439) × 0.001 0.3442 Bài t p 1.29. Có 6 kh u súng cũ và 4 kh u súng m i, trong đó xác su t trúng khi b n b ng súng cũ là 0,8, còn súng m i là 0,95. B n hú h a b ng m t kh u súng vào m t m c tiêu thì th y trúng. Đi u gì có kh năng x y ra l n hơn: b n b ng kh u súng m i hay b n b ng kh u súng cũ? G i M là "b n b ng kh u m i" thì M là "b n b ng kh u cũ". Có P (M ) = 0.4 và P (M ) = 0.6. G i T là "b n trúng" thì theo đ bài, ta có P (T | M ) = 0.95 và P (T | M ) = 0.8. Áp d ng công th c xác su t đi u ki n suy ra P (M )P (T | M ) 0.38 P (M )P (T | M ) 0.48 P (M | T ) = = , P (M | T ) = = P (T ) P (T ) P (T ) P (T ) Suy ra s ki n b n b ng kh u cũ có kh năng x y ra cao hơn. Chú ý: đây ta hoàn toàn có th tính đư c P (T ) theo công th c đ y đ , tuy nhiên trong bài toán này là không c n thi t. Bài t p 1.30. Theo th ng kê xác su t đ hai ngày liên ti p có mưa m t thành ph vào mùa hè là 0,5; còn không mưa là 0,3. Bi t các s ki n có m t ngày mưa, m t ngày không mưa là đ ng kh năng. Tính xác su t đ ngày th hai có mưa, bi t ngày đ u không mưa. G i A là "ngày đ u mưa" và B là "ngày th hai mưa" thì ta có P (AB) = 0.5, P (A B) = 0.3. Vì các s ki n có m t ngày mưa, m t ngày không mưa là đ ng kh năng nên 1 − 0.5 − 0.3 P (A B) = P (A B) = = 0.1 2 Xác su t c n tính là P (B | A), có P (B A) P (B A) 0.1 P (B | A) = = = = 0.25 P (A) P (A B) + P (AB) 0.1 + 0.3 17 Nguy n Quang Huy 20185454 MI2 K63
  19. Đ cương MI2020 h c kỳ 20192 Bài t p 1.31. M t h p ch a a qu bóng màu đ và b qu bóng màu xanh. M t qu bóng đư c ch n ng u nhiên và quan sát màu s c c a nó. Sau đó bóng đư c tr l i cho vào h p và k bóng cùng màu cũng đư c thêm vào h p. M t qu bóng th hai sau đó đư c ch n m t cách ng u nhiên, màu s c c a nó đư c quan sát, và nó đư c tr l i cho vào h p v i k bóng b sung cùng m t màu. Quá trình này đư c l p đi l p l i 4 l n. Tính xác su t đ ba qu bóng đ u tiên s có màu đ và qu bóng th tư có màu xanh. G i Di , Xj l n lư t là "l y đư c qu đ l n i" và "l y đư c qu xanh l n j". S ki n c n tính xác su t là A = D1 D2 D3 X4 . S d ng công th c xác su t c a tích P (A) = P (D1 D2 D3 X4 ) = P (D1 ) P (D2 | D1 ) P (D2 | D1 D2 ) P (X4 | D1 D2 D3 ) a a+k a + 2k b = . . . a + b a + b + k a + b + 2k a + b + 3k Bài t p 1.32. M t c a hàng sách ư c lư ng r ng: trong t ng s các khách hàng đ n c a hàng có 30% khách c n h i nhân viên bán hàng, 20% khách mua sách và 15% khách th c hi n c hai đi u trên. G p ng u nhiên m t khách trong nhà sách. Tính xác su t đ ngư i này: 1. không th c hi n c hai đi u trên; 2. không mua sách, bi t r ng ngư i này đã h i nhân viên bán hàng. G i A là "khách h i nhân viên bán hàng" và B là "khách mua sách" 1. P (A B) = 1 − P (A + B) = 1 − P (A) − P (B) + P (AB) = 0.65 P (BA) P (A) − P (AB) 2. P (B | A) = = = 0.5 P (A) P (A) Bài t p 1.33. M t cu c kh o sát 1000 ngư i v ho t đ ng th d c th y có 80% s ngư i thích đi b và 60% thích đ p xe vào bu i sáng và t t c m i ngư i đ u tham gia ít nh t m t trong hai ho t đ ng trên. Ch n ng u nhiên m t ngư i ho t đ ng th d c. N u g p đư c ngư i thích đi xe đ p thì xác su t mà ngư i đó không thích đi b là bao nhiêu? G i A là "ngư i thích đi b ", B là "ngư i thích đi xe đ p" Theo gi thi t, P (A) = 0.8, P (B) = 0.6 và P (A + B) = 1. Ta có P (A B) P (B) − P (AB) P (B) + P (A + B) − P (A) − P (B) P (A | B) = = = P (B) P (B) P (B) P (A + B) − P (A) 1 − 0.8 = = 0.3333 P (B) 0.6 18 Nguy n Quang Huy 20185454 MI2 K63
  20. Đ cương MI2020 h c kỳ 20192 Bài t p 1.34. Đ thành l p đ i tuy n qu c gia v m t môn h c, ngư i ta t ch c m t cu c thi tuy n g m 3 vòng. Vòng th nh t l y 80% thí sinh; vòng th hai l y 70% thí sinh đã qua vòng th nh t và vòng th ba l y 45% thí sinh đã qua vòng th hai. Đ vào đư c đ i tuy n, thí sinh ph i vư t qua đư c c 3 vòng thi. Tính xác su t đ m t thí sinh b t kỳ: 1. đư c vào đ i tuy n; 2. b lo i vòng th ba; 3. b lo i vòng th hai, bi t r ng thí sinh này b lo i. G i Ai là "thí sinh vư t qua vòng th i" thì ta có P (A1 ) = 0.8, P (A2 | A1 ) = 0.7 và P (A3 | A1 A2 ) = 0.45 1. G i A là "thí sinh đư c vào đ i tuy n" thì A x y ra n u thí sinh vư t qua c 3 vòng, nghĩa là A = A1 A2 A3 P (A) = P (A1 A2 A3 ) = P (A1 ) P (A2 | A1 ) P (A3 | A1 A2 ) = 0.8 × 0.7 × 0.45 = 0.252 2. G i B là "thí sinh b lo i vòng th 3" thì B = A1 A2 A3 P (B) = P (A1 ) P (A2 | A1 ) P (A3 | A1 A2 ) = 0.8 × 0.6 × (1 − 0.45) = 0.308 3. G i C là s ki n đang quan tâm: "thí sinh b lo i vòng 2, bi t thí sinh này b lo i". Ta bi u di n C = A1 A2 | A. P (A1 A2 )A P (A1 A2 ) P (C) = = vì A1 A2 ⊂ A P (A) P (A) P (A1 )P (A2 | A1 ) = P (A) 0.8 .(1 − 0.7) = 0.3208 1 − 0.252 Bài t p 1.35. Theo th ng kê các gia đình có hai con thì xác su t đ con th nh t và con th hai đ u là trai là 0,27 và hai con đ u là gái là 0,23, còn xác su t con th nh t và con th hai có m t trai và m t gái là đ ng kh năng. Bi t s ki n khi xét m t gia đình đư c ch n ng u nhiên có con th nh t là gái, tìm xác su t đ con th hai là trai. G i A là "con th nh t là con trai" và B là "con th hai là con trai" thì theo đ , P (AB) = 0.27, P (A B) = 0.23 và P (A B) = P (A B) = 0.25. S ki n quan tâm là B | A. 19 Nguy n Quang Huy 20185454 MI2 K63
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2