1. M đuở ầ
1.1. Lí do ch n đ tàiọ ề
Lu t giáo d c có vi t: ậ ụ ế “Ph ng pháp giáo d c ph thông c n phát huyươ ụ ổ ầ
tính tích c c, t giác, ch đng sáng t o c a h c sinh, phù h p v i đc đi mự ự ủ ộ ạ ủ ọ ợ ớ ặ ể
c a t ng l p h c, môn h c, b i d ng ph ng pháp t h c, rèn ruy n kủ ừ ớ ọ ọ ồ ưỡ ươ ự ọ ệ ỹ
năng v n d ng ki n th c, tác đng đn tình c m, đem l i ni m vui, h ng thúậ ụ ế ứ ộ ế ả ạ ề ứ
h c t p cho h c sinh”.ọ ậ ọ
Toán h c là m t môn h c đòi h i t duy và logic, ph i bi t v n d ngọ ộ ọ ỏ ư ả ế ậ ụ
và k t h p nhi u ki n th c l i v i nhau. Do đó, vi c phân d ng và hình thànhế ợ ề ế ứ ạ ớ ệ ạ
ph ng pháp gi i t ng d ng toán là bi n pháp mang l i hi u qu cao trongươ ả ừ ạ ệ ạ ệ ả
gi ng d y, đc bi t v i đi t ng h c sinh có h c l c trung bình, y u.ả ạ ặ ệ ớ ố ượ ọ ọ ự ế
Trong quá trình gi ng d y tôi th y h c sinh còn g p nhi u lúng túngả ạ ấ ọ ặ ề
trong vi c gi i quy t m t s bài toán tìm gi i h n c a hàm s , m c dù đây làệ ả ế ộ ố ớ ạ ủ ố ặ
bài toán đc đánh giá là t ng đi d , có th có r t nhi u nguyên nhân d nượ ươ ố ễ ể ấ ề ẫ
đn tình tr ng nói trên, nh ng theo tôi, nguyên nhân ch y u là h c sinh ch aế ạ ư ủ ế ọ ư
bi t nh n d ng và l a ch n các ph ng pháp phù h p đ tìm gi i h n c aế ậ ạ ự ọ ươ ợ ể ớ ạ ủ
hàm s .ố
Ph n gi i h n c a hàm s s có trong n i dung c a đ thi THPT Qu cầ ớ ạ ủ ố ẽ ộ ủ ề ố
gia năm 2018, vì v y vi c tìm ra gi i pháp giúp h c sinh (đc bi t là h c sinhậ ệ ả ọ ặ ệ ọ
có h c l c trung bình ho c y u) có th đt đi m ph n này là m t vi c th cọ ự ặ ế ể ạ ể ở ầ ộ ệ ự
s c n thi t.ự ầ ế
T nh ng lí do trên tôi ch n đ tài: “ M t s gi i pháp giúp h c sinhừ ữ ọ ề ộ ố ả ọ
tr ng THPT Th ng Xuân 2 gi i thành th o bài toán ườ ườ ả ạ tìm gi i h n c a hàmớ ạ ủ
s ”.ố
1.2. M c đích nghiên c uụ ứ
Nghiên c u n i dung các tính ch t c a gi i h n hàm s đ tìm raứ ộ ấ ủ ớ ạ ố ể
ph ng pháp cho t ng d ng tìm gi i h n hàm s , ươ ừ ạ ớ ạ ố giúp h c sinh ti p thu dọ ế ễ
dàng. T đó nâng cao ch t l ng h c t p c a h c sinh trong các ti t h c.ừ ấ ượ ọ ậ ủ ọ ế ọ
1.3. Đi t ng nghiên c uố ượ ứ
Đi t ng nghiên c u mà đ tài h ng t i là:ố ượ ứ ề ướ ớ
- Các d ng toán và ph ng pháp tìm gạ ươ i i h n hàm s . Khám phá, phânớ ạ ố
tích l i gi i ờ ả chi ti t ết đó ừh c sinh ọhoàn thi n ki n th c và n m b t bài toánệ ế ứ ắ ắ
m t cách th u đáo và có chi u sâu.ộ ấ ề
- Nghiên c u ng d ng c a máy tính c m tay trong ki m tra k t quứ ứ ụ ủ ầ ể ế ả
các bài toán tìm gi i h n ho c gi i nhanh t p tr c nghi m.ớ ạ ặ ả ậ ắ ệ
1.4. Ph ng pháp nghiên c uươ ứ
+ Ph ng pháp nghiên c u lý lu n: nghiên c u tài li u, sách tham kh oươ ứ ậ ứ ệ ả
liên quan đn gi i h n hàm sế ớ ạ ố, nghiên c u ch ng trình giáo khoa c a bứ ươ ủ ộ
môn.
+ Ph ng pháp nghiên c u th c t : thông qua vi c d y và h c ươ ứ ự ế ệ ạ ọ giúp h cọ
sinh nh n d ng và bi t cách gi i bài toán tìm gi i h n hàm s .ậ ạ ế ả ớ ạ ố
1
+ Ph ng pháp ki m ch ng s ph m: ti n hành d y và ki m tra khươ ể ứ ư ạ ế ạ ể ả
năng
ng d ng c a h c sinh nh m minh ch ng cho hi u qu c a vi c s d ng cácứ ụ ủ ọ ằ ứ ệ ả ủ ệ ử ụ
gi i ả
pháp.
2. N i dung sáng ki n kinh nghi mộ ế ệ
2.1. C s lí lu n c a sáng ki n kinh nghi mơ ở ậ ủ ế ệ
V i xu th đi m i ph ng pháp giáo d c hi n nay c a B giáo d c vàớ ế ổ ớ ươ ụ ệ ủ ộ ụ
đào t o, trong quá trình d y h c đ thu đc hi u qu cao đòi h i ng i th yạ ạ ọ ể ượ ệ ả ỏ ườ ầ
ph i nghiên c u tìm hi u kả ứ ể ỹ ch ng trình, đi t ng h c sinh; đa ra cácươ ố ượ ọ ư
ph ng pháp phù h p v i ki n th c, v i các đi t ng h c sinh c n truy nươ ợ ớ ế ứ ớ ố ượ ọ ầ ề
th . ụ
Các bài toán gi i h nớ ạ là ph n ki n th c r t đa d ngầ ế ứ ấ ạ , phong phú. Đ h cể ọ
t t đc ph n này h c sinh ph i n m ch c các ki n th c c b n. H c sinhố ượ ầ ọ ả ắ ắ ế ứ ơ ả ọ
ph iả th ng xuyên làm bài t p đ h c h i, trau r i ph ng pháp, kĩ năng khiườ ậ ể ọ ỏ ồ ươ
bi n đi. Ki n th c, bài t p ph n này t ng đi d v i đi t ng h c sinhế ổ ế ứ ậ ở ầ ươ ố ễ ớ ố ượ ọ
khá, gi i, nh ng đi v i h c sinh trung bình, y u thì khá khó khăn trong vi cỏ ư ố ớ ọ ế ệ
phân bi t các d ng toán và v n d ng ph ng pháp phù h p.ệ ạ ậ ụ ươ ợ
Do đó tôi luôn có ý đnh tìm ra m t ph ng pháp m i, đ truy n d yị ộ ươ ớ ể ề ạ
cho h c sinh, m t ph ng phápọ ộ ươ h cọ đn gi n, m t ph ng pháp mà h c sinhơ ả ộ ươ ọ
c m th y h ng thú khi h cả ấ ứ ọ .
2.2. Th c tr ng c a v n đ nghiên c u tr c khi áp d ng sáng ki nự ạ ủ ấ ề ứ ướ ụ ế
kinh nghi mệ
Tr ng THPT Th ng Xuân 2 đóng trên đa bàn mi n núi, v i đa sườ ườ ị ề ớ ố
h c sinh là con em dân t c Thái, M ng, còn nhi u h n ch trong vi c ti pọ ộ ườ ề ạ ế ệ ế
thu ki n th c, đc bi t là ki n th c c a các môn đòi h i t duy tr u t ngế ứ ặ ệ ế ứ ủ ỏ ư ừ ượ
nh môn Toán.ư Đi đa s các em đu có h c l c môn Toán là trung bình, y u.ạ ố ề ọ ự ế
V i đc đi m nh trên, đ c i thi n ch t l ng môn Toán cho đi t ng h cớ ặ ể ư ể ả ệ ấ ượ ố ượ ọ
sinh đi trà, chúng tôi th ng t p trung vào giúp các em n m v ng và gi iạ ườ ậ ắ ữ ả
thành th o các bài toán ph n ki n th c đc đánh giá là d h c, d ti p thuạ ở ầ ế ứ ượ ễ ọ ễ ế
và gi i h n hàm s là m t trong s ki n th c c n cung c p cho các em.ớ ạ ố ộ ố ế ứ ầ ấ
L ng ki n th c v ph n gi i h n hàm s trình bày trong sách giáo khoaượ ế ứ ề ầ ớ ạ ố
Đi s & Gi i tích 11 t ng đi nhi u, đa d ng; bài t p phong phú tuy nhiênạ ố ả ươ ố ề ạ ậ
r t ít bài có th áp d ng tr c ti p các tính ch t, mà th ng ph i thông qua vàiấ ể ụ ự ế ấ ườ ả
b c bi n đi. Đi u này th c s là khó khăn đi v i nh ng h c sinh có h cướ ế ổ ề ự ự ố ớ ữ ọ ọ
l c trung bình, y u.ự ế
Qua th c t gi ng d y tr c ti p các l p kh i, tôi th y r ng khi raự ế ả ạ ự ế ớ ố ấ ằ
nh ng bài t p d ng này h c sinh th ng lúng túng trong quá trình bi n đi vàữ ậ ạ ọ ườ ế ổ
áp d ng các tính ch t. C th năm h c 2015-2016 khi ch a áp d ng sáng ki nụ ấ ụ ể ọ ư ụ ế
vào gi ng d y. Tôi cho h c sinh l p 11B5 làm bài kh o sát, k t qu nh sau:ả ạ ọ ớ ả ế ả ư
2
L pớSố
HS
Gi iỏKháTB Y uế
SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%)
11B5 45 4 8.9 15 33.3 14 31.1 12 26.7
Xu t phát t th c t đó, trong năm h c 201ấ ừ ự ế ọ 6-2017 tôi đã ti n hành điế ổ
m i cách d y n i dung này t i l p 1ớ ạ ộ ạ ớ 1B2 (có ch t l ng t ng đng v i l pấ ượ ươ ươ ớ ớ
11B5 trong năm h c tr cọ ướ ).
2. 3. Các gi i pháp đã s d ng đ gi i quy t v n đả ử ụ ể ả ế ấ ề
2.3.1. H th ng các ki n th c c b n c a gi i h n hàm s :ệ ố ế ứ ơ ả ủ ớ ạ ố
a. Gi i h n tai m t đi m:ớ ạ ộ ể
a1. Gi i h n đc bi t:ớ ạ ặ ệ
+)
0
0
lim
x x
x x
=
;
+)
0
lim
x x
c c
=
(c: h ng s )ằ ố
a2. Đnh lí:ị
+) N uế
0
lim ( )
x x
f x L
=
và
0
lim ( )
x x
g x M
=
thì:
[ ]
0
lim ( ) ( )
x x
f x g x L M
+ = +
[ ]
0
lim ( ) ( )
x x
f x g x L M
− = −
[ ]
0
lim ( ). ( ) .
x x
f x g x L M
=
0
( )
lim ( )
x x
f x L
g x M
=
(n u M ế
0)
+) N u f(x) ế
0 và
thì L
0 và
0
lim ( )
x x
f x L
=
+) N u ế
0
lim ( )
x x
f x L
=
thì
0
lim ( )
x x
f x L
=
b. Gi i h n m t bên:ớ ạ ộ
0
lim ( )
x x
f x L
=
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x L
− +
= =
c. Gi i h n vô c c, gi i h n t i vô c c:ớ ạ ự ớ ạ ạ ự
c1. Gi i h n đc bi t:ớ ạ ặ ệ
+)
lim
k
x
x
+
= +
+)
lim
k
x
neu k chan� �
xneu k le� �
−
+
=−
+)
lim
x
c c
=
;
lim 0
k
x
c
x
=
3
+)
0
1
lim
x
x
−
= −
;
0
1
lim
x
x
+
= +
+)
0 0
1 1
lim lim
x x
x x
− +
= = +
c2. Đnh lí:ị
N u ế
0
lim ( )
x x
f x L
=
0 và
0
lim ( )
x x
g x
=
thì:
+)
+
=−
0
0
0
lim ( )
lim ( ) ( ) lim ( )
x x
x x x x
neáu L vaø g x cuøng daáu
f x g x neáu L vaø g x traùi daáu
+)
=
= + = >
− = <
0
0 0
0
0 lim ( )
( )
lim lim ( ) 0 . ( ) 0
( ) lim ( ) 0 . ( ) 0
x x
x x x x
x x
neáu g x
f x neáu g x vaøL g x
g x
neáu g x vaøL g x
2.3.2. Phân d ng và ph ng pháp tìm gi i h n hàm s :ạ ươ ớ ạ ố
Đi v i các bài toán tìm gi i h n ta có th chia thành hai lo i t ng quát:ố ớ ớ ạ ể ạ ổ
Lo i 1ạ: Các d ng gi i h n c b n. Đ gi i các bài t p lo i này ta ch c nạ ớ ạ ơ ả ể ả ậ ạ ỉ ầ
áp d ng tr c ti p các đnh lí v gi i h n t ng, hi u, tích th ng và cănụ ự ế ị ề ớ ạ ổ ệ ươ
c a các hàm s ho c quy t c v tìm gi i h n vô c c, các tính ch t đã h c.ủ ố ặ ắ ề ớ ạ ự ấ ọ
Lo i 2ạ: Các d ng vô đnh g m: ạ ị ồ
0, , 0. ,
0
−
. Đ gi i đc các bàiể ả ượ
t p lo i này c n có ph ng pháp bi n đi đ đa v bài toán lo i 1.ậ ạ ầ ươ ế ổ ể ư ề ạ
a. D ng c b n:ạ ơ ả
D ng 1:ạ
()
=
0
0
lim ( )
x x
u x u x
D u hi u: ấ ệ
( )u x
xác đnh t i ị ạ
0
x x=
( t c là t n t i ứ ồ ạ
0
( )u x
Ph ng pháp:ươ
Thay
0
x
tr c ti p vào bi u th c u(x), n u giá tr ự ế ể ứ ế ị
0
( )u x
t n t i thì ta k tồ ạ ế
lu n:ậ
()
=
0
0
lim ( )
x x
u x u x
Ví d 1ụ. Tìm các gi i h n sau:ớ ạ
a)
( )
3
lim 2 3
x
x
+
b)
2
2
lim ( 5 1)
x
x
−
+ −
c)
2
2
1
3 4 5
lim 2 1
x
x x
x
+ −
−
( Ví d 3- tr155, Sách BTĐS&GT 11)ụ
H ng d nướ ẫ :
a) Nh n th y v i ậ ấ ớ
( ) 2 3f x x= +
thì ta xác đnh đc ị ượ
(3) 9f=
nên:
4
( )
3
lim 2 3 2.3 3 9
x
x
+ = + =
b) Nh n th y v i ậ ấ ớ
2
( ) 5 1f x x= + −
thì ta xác đnh đc ị ượ
( 2) 2f− =
nên:
2 2
2
lim ( 5 1) ( 2) 5 1 2
x
x
−
+ − = − + − =
c) T ng t ta có: ươ ự
2 2
2 2
1
3 4 5 3.1 4.1 5
lim 2
2 1 2.1 1
x
x x
x
+ − + −
= =
− −
Bài t p v n d ng:ậ ậ ụ
Tìm các gi i h n sau:ớ ạ
1)
− +
3
2
lim( 3 1)
x
x x
2)
()
−
+ −
2
2
lim 1
x
x x
3)
+
+
2
2
1
lim 2
x
x
x
4)
()
−
−
2
lim 2 1
x
x
D ng ạ2: D ng ạ
� �
� �
� �
L
0
D u hi u: ấ ệ Tìm gi i h nớ ạ
()
()
0
lim
x x
u x
v x
v i ớ
=
0
lim ( ) 0
x x
u x L
,
=
0
lim ( ) 0
x x
v x
Ph ng pháp:ươ
B c 1: ướ Tính
=
0
lim ( )
x x
u x L
, v i ớ
0L
B c 2: ướ Tính
=
0
lim ( ) 0
x x
v x
và xét d u bi u th c v(x) v iấ ể ứ ớ
0
x x
B c 3: ướ D a vào b ng xét d u sau đ k t lu n ự ả ấ ể ế ậ
()
()
0
lim
x x
u x
v x
=
0
lim ( )
x x
u x L
=
0
lim ( ) 0
x x
v x
()
()
0
lim
x x
u x
v x
L > 0 v(x) > 0
+
L > 0 v(x) < 0
−
L < 0 v(x) > 0
−
L < 0 v(x) < 0
+
Ví d ụ2. Tìm các gi i h n sau:ớ ạ
a)
−
−
−
1
2 7
lim 1
x
x
x
b)
+
−
−
1
2 7
lim 1
x
x
x
5