1
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
Chương trình tổ hợp xác suất được Bộ Giáo Dục và Đào Tạo đưa vào trong
chương trình toán đại số và giải tích lớp 11 nhằm cung cấp kiến thức và hình thành,
phát triễn kỹ năng giải các bài toán đếm, tổ hợp, xác suất thống kê cũng như phát triễn
các phẩm chất tư duy khác cho học sinh. Đặc trưng của môn học là tính logic cao đem
lại nhiều khó khăn thách thức cho thầy và trò nhưng cũng chứa đựng nhiều cơ hội cho
quá trình rèn luyện phát triễn tư duy, trí tưởng tượng, khả năng tìm tòi, óc sáng tạo và
nhiều kỹ năng khác.Trong đó hai vấn đề lớn xuyên suốt là bài toán đếm và bài toán
xác suất.Học sinh để làm được bài toán xác suất thì cần làm được bài toán đếm.Như
vậy bài toán đếm là bài toán cơ bản nhất và quan trọng nhất trong chương trình này.
Khi nghiên cứu sách giáo khoa Đại số giải tích lớp 11 (chương trình hiện hành)
tôi thấy các dạng toán đếm là tương đối đơn giản và sơ lược.Với số lượng ít như vậy
làm cho giáo viên và học sinh lúng túng trong việc tiếp cận và nâng cao năng lực toán
học.Đặc biệt học sinh chưa có cơ hội để phân biệt được sự khác nhau giữa các khái
niệm trong quá trình áp dụng. Học sinh thiếu cơ hội để cọ xát và tiếp cận nhiều dạng
toán mới đáp ứng nhu cầu tìm tòi phát triển tư duy. Bên cạnh đó, với sự đổi mới cách
học và thi như hiện nay lại càng gây thêm khó khăn cho học sinh trong quá trình tự
học, tự sáng tạo. Tuy nhiên khi nghiên cứu kỹ hơn tôi thấy có sự xuất hiện một số bài
toán mặc dù khá đơn giản nhưng nếu tìm hiểu sâu hơn ta sẽ thấy được bản chất và
chứa đựng một số nội dung cực kì quan trọng. Nếu người dạy và người học biết cách
khai thác và phát triển sẽ thu được nhiều vấn đề mới mẻ. Đặc biệt đối với người học,
nếu được khơi nguồn sáng tạo họ sẽ hăng say tìm tòi và cơ hội tốt để họ phát triển tư
duy toán học lên một tầm cao mới.
Với các ý tưởng như vậy đã thúc đẩy tôi nghiên cứu đề tài sáng kiến kinh nghiệm
dạy học cho năm học 2021-2022 có tên:
“ Phát triển, xây dựng một số bài toán trong sách giáo khoa đại số & giải tích lớp
11 về chủ đề đại số tổ hợp để nâng cao năng lực tư duy học sinh”.
2. Mục đích nghiên cứu
Trước những hiện tượng và mâu thuẩn đang tồn tại trong thực tiễn giáo dục trên,
tôi đã tìm tòi và nghiên cứu đề tài nhằm đạt được những mục đích sau:
Thứ nhất: Giúp các em nắm vững lý thuyết về quy tắc đếm, về hoán vị, chỉnh
hợp, tổ hợp và trang bị cho các em một số phương pháp giải bài toán này.
Thứ hai: Củng cố và khắc sâu các kiến thức đại số, hình học có liên quan, rèn
luyện kỷ năng tính toán, lập luận.
2
Thứ ba: Rèn luyện tư duy linh hoạt, sáng tạo, tư duy giải quyết vấn đề, tư duy
biện chứng, xây dựng và phát triển lòng say mê và yêu thích toán học nói riêng và
khoa học nói chung. Nâng cao năng lực tư duy, sáng tạo, năng lực tự học của học sinh
khi học chủ đề đại số tổ hợp.
3. Đối tượng, phạm vi và nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Học sinh khối 11 và khối 12 cấp trung học phổ thông.
- Các bài toán trong sách giáo khoa, sách bài tập đại số và giải tích lớp 11, các đề
thi đại học, cao đẳng thuộc chủ đề đại số tổ hợp.
3.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài sẽ làm rõ các vấn đề sau:
- Cơ sở lí luận và thực tiễn về năng lực tư duy, sáng tạo, năng lực tự học của học
sinh khi học chủ đề đại số tổ hợp.
- Để phát triển năng lực tư duy, sáng tạo, năng lực tự học của học sinh khi học chủ
đề đại số tổ hợp ta cần phải thực hiện những biện pháp nào.
- Kết quả thực nghiệm ra sao?
4. Phương pháp nghiên cứu
4.1. Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về tâm lí giáo dục, tài liệu giáo dục
học, các tài liệu về lí luận và giảng dạy bộ môn toán làm cơ sở để đề đề xuất các biện
pháp nhằm phát triển năng lực tư duy, sáng tạo, năng lực tự học của học sinh.
4.2. Quan sát trao đổi: Thực hiện việc trao đôi với giáo viên và học sinh, tham khảo
các tài liệu để đề xuất các thành tố của năng lực tư duy, sáng tạo, năng lực tự học của
học sinh.
4.3. Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm trên những đối tượng học sinh
cụ thể nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài.
5. Dự báo những đóng góp mới của đề tài
Đề tài đã xây dựng được các thành tố của năng lực tư duy nhằm giúp học sinh
nắm được bản chất của bài toán từ đó học sinh sẻ nâng cao được năng lực tụ học và
sáng tạo hơn.
Đề tài đề xuất các biện pháp nhằm bồi dưỡng năng lực tư duy học sinh thông qua
dạy học chủ đề đại số tổ hợp.
Đề tài có thể dùng để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên trung học phổ thông.
3
PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Chương I. Cơ sở lí luận thực tiển
I. Một số khái niệm, kiến thức cơ bản và thuật ngữ liên quan đến đề tài.
1. Năng lực toán học
Theo Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, “năng lực là thuộc tính cá nhân
được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho
phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân
khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành công một loại hoạt động nhất
định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”.
Thông qua chương trình môn Toán, học sinh cần hình thành và phát triển được
năng lực toán học, biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán. Năng lực toán học
bao gồm các thành tố cốt lõi sau: Năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô
hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học;
năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán.
Tùy vào từng đối tượng học sinh, yêu cầu cần đạt của từng khối lớp, năng lực
toán học của mỗi học sinh được biểu hiện ở các mức độ khác nhau.
Dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh là chuyển đổi từ việc “học sinh cần
phải biết gì” sang việc “phải biết và có thể làm gì” trong các tình huống và bối cảnh
khác nhau. Do đó dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh chú trọng lấy học
sinh làm trung tâm và giáo viên là người hướng dẫn, giúp các em chủ động trong việc
đạt được năng lực theo yêu cầu đặt ra, phù hợp với đặc điểm cá nhân.
2. Tư duy
2.1. Khái niệm
Hiện nay, tư duy còn là một khái niệm chưa thống nhất bởi chưa có một định
nghĩa nào thể hiện được trọn vẹn hết các đặc điểm, tính chất, vai trò ở tư duy. Từ
trước đến nay đã có nhiều công trình nghiên cứu về phát triển tư duy, xong người
nghiên cứu cũng không hề đưa ra một định nghĩa tư duy cụ thể mà chỉ đưa ra cách
hiểu của bản thân bởi như vậy sẽ không làm hạn chế năng lực tư duy hay gói gọn suy
nghĩ trong một phạm vi cụ thể. Mỗi lĩnh vực khác nhau lại nghiên cứu tư duy dưới
những góc nhìn khác nhau. Theo quan điểm của các nhà tâm lý học Mác - xít dựa trên
nền tảng là chủ nghĩa duy vật biện chứng đã khẳng định: tư duy là sản phẩm của một
cơ quan vật chất sống có tổ chức cao là bộ óc con người; được hình thành trong quá
trình hoạt động thực tiễn của con người. Theo “Từ điển bách khoa Việt Nam”, tập 4
(Nhà xuất bản Từ điển bách khoa, Hà Nội): Tư duy là sản phẩm cao nhất của vật chất
được tổ chức một cách đặc biệt – bộ não con người. Tư duy phản ánh tích cực hiện
4
thực khách quan dưới dạng các khái niệm, sự phán đoán, lý luận… Theo Art Costa,
giáo sư danh dự về giáo dục tại Đại học bang California, Sacramento và là đồng sáng
lập của Viện hành vi thông minh ở El Dorado Hills, California thì cho rằng:“Tư duy
là sự cảm nhận của chúng ta khi chúng ta nhận được những dữ kiện, những thông tin
diễn ra trong các mối quan hệ”.
Theo V.I. Lê nin: "Tư duy của người ta - đi sâu một cách vô hạn, từ giả tưởng
tới bản chất, từ bản chất cấp một, nếu có thể như vậy, đến bản chất cấp hai... đến vô
hạn". Tức là tư duy là sự phản ánh thế giới tự nhiên sâu sắc hơn, trung thành hơn, đầy
đủ hơn, đi sâu một cách vô hạn, tiến gần đến chân lý khách quan hơn. Trong “Những
khía cánh tâm lý của quản lý” Mai Hữu Khuê cho rằng: "Tư duy là quá trình tâm lý
phản ánh những mối liên hệ và quan hệ giữa các đối tượng hay các hiện tượng của
hiện thực khách quan". Trong “Tâm lý học đại cương” tập thể tác giả:Trần Minh Đức,
Nguyễn Quang Uẩn, Ngô Công Hoàn, Hoàng Mộc Lan lại cho: "Tư duy là một quá
trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính của bản chất, những mối liên hệ và quan
hệ có tính quy luật của sự vật hiện tượng mà trước đó ta chưa biết”.
Tựu chung lại, tư duy có thể hiểu là quá trình tâm lý thể hiện khả năng nhận
thức bậc cao diễn ra trong não bộ con người. Quá trình này thu nhận thông tin từ xúc
giác, thị giác, vị giác, khứu giác, thính giác qua các dây thần kinh đến được não bộ
giúp con người có được tư duy rõ ràng, sâu sắc, trừu tượng,... về những sự vật, hiện
tượng trong đời sống bằng con đường khái quát hoá, hướng sâu vào nhận thức bản
chất, quy luật của đối tượng.
2.2. Đặc điểm của tư duy
Tư duy ở con người chỉ xuất hiện khi gặp hoàn cảnh hay tình huống có vấn đề.
Những hoàn cảnh hay tình huống này chứa đựng vấn đề đòi hỏi con người phải tư
duy tìm ra cách giải quyết mới do những hiểu biết ban đầu và các phương thức giải
quyết trước không thể giải quyết triệt để vấn đề vừa phát sinh. Tư duy còn mang tính
gián tiếp, thể hiện thông qua việc con người sử dụng ngôn ngữ để tư duy. Không chỉ
vậy, ngôn ngữ và tư duy còn có mối quan hệ khăng khít với nhau, không có ngôn ngữ
con người không thể tư duy và các kết quả của tư duy cũng không thể để cả chủ thể
hay bản thân người khác tiếp nhận. Ngoài ra, tư duy không thể hiện các sự vật, hiện
tượng một cách riêng lẻ mà rút ra khỏi các sự vật, hiện tượng đó những gì cụ thể, cá
biệt và chỉ giữ lại các thuộc tính bản chất chung rồi sắp xếp chúng thành một nhóm,
một loại, một phạm trù. Tư duy dựa vào nhận thức cảm tính nhưng chính nhận thức
cảm tính lại chịu sự tác động ngược lại của tư duy và các sản phẩm của quá trình này
nên ta nhận thấy hoạt động tư duy còn có hiện tượng không chịu chi phối từ những
kinh nghiệm cảm tính.
5
2.3. Các giai đoạn của tư duy
Quá trình tư duy của con người nhằm mục đích giải quyết một nhiệm vụ cụ thể
phát sinh trong quá trình nhận thức hoặc trong hoạt động thực tiễn. Đây là quá trình
gồm nhiều giai đoạn, được nhà tâm lý học K.K.Platonôv sơ đồ hóa.
Như vậy, các giai đoạn của quá trình tư duy bắt đầu từ việc nhận thức được vấn
đề trong các tình huống có vấn đề rồi thông qua các giai đoạn khác nhau nhằm mục
đích giải quyết được vấn đề để từ đó bắt đầu một hành động tư duy mới.
Nhận thức vấn đề là giai đoạn đầu tiên trong các giai đoạn (quá trình) của tư
duy. Nó chỉ nảy sinh trong những tình huống mà con người cho là “có vấn đề”. Nhận
định về tính có vấn đề của mỗi người lại khác nhau, tùy thuộc vào góc nhìn, kinh
nghiệm sống, kiến thức và nhu cầu cá nhân ở mỗi người. Trong cùng một tình huống,
có người thấy có vấn đề thì quá trình tư duy băt đầu và ngược lại nếu không thấy có
vấn đề thì không có quá trình tư duy. Đây là giai đoạn mở đầu và quan trọng nhất của
cả quá trình tư duy. Tiếp đến là giai đoạn cá nhân người tư duy huy động những kinh
nghiệm và kiến thức sẵn có của bản thân và người khác vào vấn đề vừa được nhận
thức để làm xuất hiện các liên tưởng có liên quan đến vấn đề.
Giai đoạn này được gọi là xuất hiện các liên tưởng. Sàng lọc các liên tưởng và
hình thành giả thuyết là giai đoạn thu hẹp phạm vi các kinh nghiệm, kiến thức tìm
được trước đó để phù hợp với nhiệm vụ giải quyết vấn đề. Từ đó, chủ thể tư duy có
thể đưa ra các phương án giải quyết vấn đề một cách nhanh chóng và tiết kiệm thời
gian. Kiểm tra giả thuyết là khâu kiểm tra tính khả thi và phù hợp thực tiễn của các
phương án được đề xuất. Trong quá trình kiểm tra, chủ thể tư duy sẽ phát hiện được
đâu là phương án đem lại hiệu quả cao nhất. Đây cũng là giai đoạn mà sau đó người
kiểm tra đôi khi sẽ phát hiện nhiệm vụ mới cần giải quyết. Giai đoạn cuối cùng là giải
quyết vấn đề. Bằng việc thực hiện phương án tối ưu nhất được lựa chọn trong các giả
thuyết để giải quyết vấn đề thì việc giải quyết vấn đề được đặt ra lúc ban đầu sẽ có kết
quả là câu trả lời hoặc đáp số. Những vấn đề mới có thể nảy sinh sau khi đã giải quyết
vấn đề ban đầu nên để giải quyết vấn đề mới phát sinh thì cũng cần một quá trình tư
duy mới. Những trường hợp khác nhau thì các giai đoạn của quá trình tư duy có thể
đổi khác nhưng không được thay đổi thứ tự của các quá trình tư duy.
2.4. Các thao tác của tư duy
- Coi quá trình tư duy là một hành động thì các giai đoạn của quá trình hành
động đó mới chỉ thể hiện được cấu trúc bên ngoài của việc tư duy. Phần nội dung bên
trong của từng giai đoạn lại diễn ra dựa vào cơ sở các thao tác tư duy. Đây là các thao
tác trí tuệ được chủ thể thực hiện ở trong đầu, nên còn được gọi là những quy luật bên
trong của tư duy, bao gồm:
