- 1 -
ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH NGHỆ AN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN
GIÁO TRÌNH
TOÁN CAO CẤP
LƯU HÀNH NỘI BỘ
- 2 -
ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH NGHỆ AN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN
Th.S Trần Hà Lan
GIÁO TRÌNH
TOÁN CAO CẤP
LƯU HÀNH NỘI BỘ
- 3 -
LỜI NÓI ĐẦU
Toán học được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống, xã
hội. Các bài toán trong kinh tế, kế toán, các bài toán trong khoa học kỹ thuật, đã
được giải nhằm phục vụ lợi ích con người. Toán học đóng vai trò quan trọng
trong việc diễn tả các quy luật kinh tế. Trên thế giới toán học được ứng dụng
trong nghiên cứu kinh tế ngày càng nhiều. Một ngành học được hình thành dựa
trên sự kết hợp của hai ngành toán học và kinh tế học: Ngành kinh tế toán.
Chính vì lý do đó, sinh viên các trường kinh tế đòi hỏi phải biết các kiến thức
toán ngày càng một nhiều hơn và phải biết sử dụng các kiến thức đó để phân
tích kinh tế, phân tích tình huống và nghiên cứu kinh tế.
Để kịp thời phục vụ việc học tập của sinh viên, Khoa cơ sở -
Trường Đại học Kinh tế Nghệ An đã tổ chức biên soạn cuốn giáo trình Toán cao
cấp. Đây là giáo trình dùng chung cho hệ Cao đẳng và hệ Đại học, dựa vào
chương trình giảng dạy bộ môn Khoa học tự nhiên – Khoa cơ sở có thể lựa chọn
nội dung giảng dạy phù hợp với trình độ của mỗi hệ đào tạo. Trong giáo trình
này, chúng tôi cố gắng trình bày kiến thức toán thật đơn giản nhưng không phá
vỡ tính liên tục, tính hệ thống của chúng. Những khái niệm Toán học cơ bản,
những phương pháp cơ bản, những kết quả cơ bản của các chương đều được
trình bày đầy đủ. Một số định lý không được chứng minh, nhưng ý nghĩa của
những định lý quan trọng được giải thích rõ ràng, nhiều ví dụ minh họa được
đưa ra.
Giáo trình gồm 9 chương:
Chương 1: Tập hợp và quan hệ
Chương 2: Hàm số và giới hạn
Chương 3: Đạo hàm và vi phân
Chương 4: Phép toán tích phân
Chương 5: Hàm số nhiều biến số
Chương 6: Phương trình vi phân
- 4 -
Chương 7: Không gian vectơ
Chương 8: Ma trận và định thức
Chương 9: Hệ phương trình tuyến tính
Chương 1 trình bày tóm tắt những nội dung bao quát, thuộc nền tảng toán
học nói chung: tập hợp, các khái niệm cơ bản về phép toán hai ngôi trong tập
hợp, khái niệm ánh xạ.
Chương 2 trình bày những khái niệm cơ bản về hàm số và giới hạn, trong
đó có nói đến việc sử dụng quan hệ hàm số để biểu diễn quan hệ giữa các biến
số kinh tế.
Chương 3, chương 4 có một số kiến thức đã được đề cập ở bậc phổ thông,
những kiến thức này chúng tôi trình bày một cách chính xác và có mở rộng.
Những kiến thức mới được trình bày gọn nhưng kỹ, nhằm giúp sinh viên dễ
dàng lĩnh hội. Một vài ví dụ thực tế cũng được giới thiệu, qua đó sinh viên thấy
được việc cần thiết phải nắm được những kiến thức cơ bản nhất của chương
nhằm phục vụ cho việc học tập và nghiên cứu các môn học chuyên ngành.
Chương 5 gồm những kiến thức mới chưa được học ở bậc phổ thông. Tên
chương là “ Hàm số nhiều biến số ” nhưng nội dung chính trong chương cơ bản
đề cập đến hàm số hai biến số.
Chương 6 chủ yếu đề cập đến phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 và
cấp 2. Mỗi dạng phương trình được nêu đều có các ví dụ minh họa để sinh viên
biết cách giải khi nhận được dạng của phương trình.
Chương 7 trình bày một số khái niệm cơ bản của không gian vectơ
Chương 8, chương 9 trình bày những kiến thức cơ bản nhất về các khái
niệm được nêu trong tên của chương. Các chương này gồm những kiến thức
chưa được học ở bậc phổ thông nên được trình bày khá kỹ, sau mỗi mục đều có
ví dụ minh họa nhằm giúp sinh viên nắm được kiến thức và tạo lập kỹ năng vận
dụng kiến thức để làm bài tập.
Cuốn giáo trình này được biên soạn trong thời gian ngắn, chắc chắn còn
nhiều sai sót. Rất mong được sự góp ý của bạn đọc để cuốn sách ngày càng được
hoàn thiện.
Tác giả
- 5 -
CHƯƠNG 1. TẬP HỢP VÀ QUAN HỆ
1.1. Tập hợp
1.1.1. Các khái niệm cơ bản
1.1.1.1. Tập hợp và phần tử
Thuật ngữ “Tập hợp” được dùng rộng rãi trong toán học. Chúng ta thường
nói về tập hợp các số nguyên, tập hợp các điểm trong mặt phẳng, tập hợp các
nghiệm của phương trình, tập hợp các học sinh trong lớp học ... Tập hợp là một
khái niệm cơ bản của toán học, nó được dùng làm cơ sở cho các khái niệm khác
nhưng bản thân nó không được định nghĩa qua các khái niệm đơn giản hơn.
Khi nói về tập hợp ta chỉ ra các đối tượng có tính chất nào đó. Chẳng hạn
khi nói về tập hợp các số tự nhiên, các đối tượng của tập hợp là các số tự nhiên;
khi nói về tập hợp các học sinh của một lớp học, các đối tượng của tập hợp là
học sinh trong lớp học đó.
Các đối tượng của tập hợp đã cho được gọi là các phần tử của tập hợp đó.
Để phân biệt, ta gọi tên tập hợp bằng các chữ in hoa A, B, C
và ký hiệu các
phần tử bằng các chữ in thường a, b, c
Để nói rằng a là một phần tử của tập
hợp A ta dùng ký hiệu: a A (đọc là: “ a thuộc A ”).
Ngược lại nếu a không phải là phần tử của tập hợp A thì viết: a A (đọc
là “ a không thuộc A ”).
Ví dụ 1.1: Ở trong chương trình phổ thông ta đã biết các tập hợp sau:
Tập hợp
các số tự nhiên;
Tập hợp
các số nguyên;
Tập hợp
các số hữu tỉ;
Tập hợp
các số thực.
Cho tập hợp A nghĩa là xác định tất cả các phần tử của nó. Có hai cách
cho tập hợp:
Cách 1: Cho tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp.
Ví dụ 1.2:
+) Nếu A là tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 6 thì ta viết:
A = {1; 2; 3; 4; 5}.
+) Có thể liệt kê các phần tử của tập hợp
các số tự nhiên và tập
các số
nguyên như sau:
= { 0; 1; 2; 3
}.