Ch ¬ng 6 . Hµm sè hai biÕn sè
6.1. §Þnh nghÜa hµm hai biÕn sè
6.1.1. MiÒn biÕn thiªn cña hai biÕn sè.
Ký hiÖu: R lµ tËp hîp c¸c sè thùc
⇒
R = (−∞;+∞ ).
R2 = {(x,y): x, y ∈ R}.
§Þnh nghÜa 6.1.
(i) Cho M0 =(x0,y0) ∈ R2, M =(x,y) ∈ R2. Th× kho¶ng c¸ch tõ M0 ®Õn M ®îc ký
hiÖu vµ x¸c ®Þnh nh sau:
d(M0; M) =
( ) ( )
x x y y− + −
2 2
0 0
. (6.1)
(ii) Ta nãi ®iÓm M tiÕn dÇn tíi ®iÓm M0 trong R2 (ký hiÖu: M→M0) nÕu
( )
M M
lim d M ,M
→=
0
00
. (6.2)
NhËn xÐt 6.1. Tõ (6.1) vµ (6.2) suy ra: M→ M0 ⇔
x x ,
y y .
→
→
0
0
§Þnh nghÜa 6.2. Cho X, Y lµ hai tËp hîp c¸c sè thùc. TËp hîp trong R2 (cßn ®îc gäi
lµ miÒn biÕn thiªn cña hai biÕn sè x vµ y) ®îc ký hiÖu vµ x¸c ®Þnh nh sau:
D = {(x,y) ∈ R2: x ∈ X, y ∈ Y}.
§Þnh nghÜa 6.3. Cho tËp hîp D ⊂ R2 vµ ®iÓm (x0,y0) ∈ D. Víi mçi sè thùc
δ
> 0
th× l©n cËn
δ
cña ®iÓm (x0,y0) ®îc ký hiÖu vµ x¸c ®Þnh nh sau:
Vδ (x0,y0) = {(x,y) ∈ R2: (x− x0)2 +( y− y0)2 < δ2},
⇔
{(x,y) ∈ R2: d[(x0, y0);(x,y) ] < δ}.
Hay l©n cËn
δ
cña ®iÓm (x0,y0) lµ h×nh trßn më cã t©m t¹i ®iÓm (x0,y0) vµ
b¸n kÝnh
δ
. (vÏ h×nh, gi¶i thÝch).
§Þnh nghÜa 6.4. Cho tËp hîp D⊂ R2 vµ ®iÓm M0(x0,y0) ∈ D.
(i) §iÓm M0 ®îc gäi lµ ®iÓm trong cña D nÕu tån t¹i sè
δ
> 0 sao cho:
1
Vδ (x0,y0) ⊂ D.
TËp D ®îc gäi lµ tËp më nÕu mäi ®iÓm cña nã ®Òu lµ ®iÓm trong.
(ii) §iÓm M0 ®îc gäi lµ ®iÓm biªn cña D nÕu mäi l©n cËn Vδ (x0,y0) ®Òu võa chøa
c¸c ®iÓm thuéc D, võa chøa c¸c ®iÓm kh«ng thuéc D. TËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm biªn
cña tËp D ®îc gäi lµ biªn cña tËp D vµ ký hiÖu lµ:
∂
D.(vÏ h×nh).
(iii) TËp D ®îc gäi lµ tËp ®ãng nÕu D chøa mäi ®iÓm biªn cña nã.
VÝ dô 6.1. VÏ miÒn biÕn thiªn vµ x¸c ®Þnh biªn cña nã cho c¸c trêng hîp sau:
a) D = {(x,y) ∈ R2: x ∈ [0; 3], y ∈ (2; 4]}.
b) D = {(x,y) ∈ R2: x ∈ [0; 3], y ∈ [2; 4]∪{6}}.
c) D = {(x,y) ∈ R2: x − y = 0}.
d) D = {(x,y) ∈ R2: x2 + y2 < 4}.
6.1.2. §Þnh nghÜa hµm hai biÕn sè.
§Þnh nghÜa 6.5. Cho miÒn biÕn thiªn D. NÕu øng víi mçi ®iÓm (x,y) ∈ D, theo
mét quy luËt nµo ®ã cho ta mét gi¸ trÞ x¸c ®Þnh (vµ duy nhÊt) z ∈ R th× z ®îc gäi
lµ hµm cña hai biÕn sè x vµ y. Ngêi ta ký hiÖu z lµ hµm cña hai biÕn sè x vµ y lµ
bëi: z = f(x,y), z = h(x,y),...
Cho hµm hai biÕn sè z = f(x,y).
∗ TËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm (x,y) sao cho f(x,y) cã nghÜa ®îc gäi lµ miÒn x¸c ®Þnh
cña hµm hai biÕn z = f(x,y).
∗ NÕu (x0,y0) lµ ®iÓm thuéc miÒn x¸c ®Þnh cña hµm z =f(x,y) th× f(x0,y0) ®îc
gäi lµ gi¸ trÞ riªng cña hµm z = f(x,y) t¹i ®iÓm (x0,y0).
∗ TËp hîp tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ f(x,y), trong ®ã (x,y) lµ ®iÓm thuéc miÒn x¸c ®Þnh cña
hµm z = f(x,y) ®îc gäi lµ miÒn gi¸ trÞ cña hµm z = f(x,y).
∗ TËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm (x,y, f(x,y)) trong ®ã (x,y) lµ ®iÓm thuéc miÒn x¸c ®Þnh
cña hµm z = f(x,y) ®îc gäi lµ ®å thÞ cña hµm z = f(x,y).
2
VÝ dô 6.2. Cho hµm hai biÕn sè z =
x y− −
2 2
4
. Khi ®ã,
∗ MiÒn x¸c ®Þnh cña hµm sè lµ:
D = {(x,y) ∈ R2: x2 + y2 ≤ 4}.
Hay miÒn x¸c ®Þnh cña hµm sè lµ h×nh trßn cã t©m t¹i ®iÓm (0,0), b¸n kÝnh
b»ng 2, kÓ c¶ biªn (
∂
D lµ ®êng trßn cã t©m t¹i ®iÓm (0,0), b¸n kÝnh b»ng 2).
∗ MiÒn gi¸ trÞ cña hµm sè lµ: [0,2].
∗ §å thÞ cña hµm sè lµ nöa mÆt cÇu (n»m phÝa trªn mÆt ph¼ng z = 0) cã t©m t¹i
®iÓm (0,0), b¸n kÝnh b»ng 2.
6.2. Giíi h¹n vµ sù liªn tôc cña hµm hai biÕn sè
6.2.1. Giíi h¹n cña hµm hai biÕn sè.
§Þnh nghÜa 6.7. Cho ®iÓm M0(x0,y0) ∈ R2 vµ hµm z =f(x,y) = f(M) x¸c ®Þnh trong
mét l©n cËn V0 nµo ®ã cña M0 (cã thÓ trõ ®iÓm M0). H»ng sè b ®îc gäi lµ giíi h¹n
cña hµm z =f(x,y) = f(M) khi M → M0 nÕu víi mäi
ε
> 0, tån t¹i
δ
> 0 sao cho víi mäi
M(x,y) ∈ Vδ (x0,y0) = Vδ (M0) th× | f(x,y) −b| <
ε
. Khi ®ã, ta viÕt:
( )
M M
lim f M b
→=
0
hay
( ) ( )
( )
x ,y x ,y
lim f x , y b
→
=
0 0
.
⇔ (∀
ε
> 0),(∃Vδ (x0,y0):∀(x,y) ∈Vδ (x0,y0)) ⇒ |f(x,y)−b| <
ε
.
3
VÝ dô 6.3. Chøng minh r»ng :
( ) ( )
x ,y ,
xy
lim x y
→=
+
2 2
0 0 0
.
Gi¶i. Víi mçi ε > 0 cho tríc, chän δ =
1
2
ε. Víi (x, y) ≠ (0, 0) ta cã:
VËy (∀
ε
> 0),(∃ δ =
1
2
ε> 0:∀(x,y) ∈Vδ (x0,y0)) ⇒ |f(x,y)−b| < ε.(®pcm)
Chó ý 6.1. (i) Kh¸i niÖm giíi h¹n v« h¹n cña hµm hai biÕn sè còng ®îc ®Þnh nghÜa
t¬ng tù nh ®èi víi hµm mét biÕn.
(ii) C¸c kÕt qu¶ vÒ giíi h¹n cña tæng, hiÖu, tÝch, th¬ng ®èi víi hµm mét biÕn
còng ®óng cho hµm hai biÕn.
NhËn xÐt 6.2.
(i) §Þnh nghÜa 6.7 cßn ®îc ph¸t biÓu díi d¹ng: “H»ng sè b ®îc gäi lµ giíi h¹n cña
hµm f(x,y) khi (x,y) → (x0,y0) nÕu víi mäi d·y ®iÓm V0\{(x0,y0)} ∋ (xn,yn) → (x0,y0) ®Òu
cã:
( )
n n
n
lim f x , y
→+∞
=
b”, trong ®ã f(x,y); (x0,y0) ; V0 t¬ng tù nh trong ®Þnh nghÜa
6.7.
(ii) Qua phÇn (i) cña nhËn xÐt nµy ta thÊy (t¬ng tù nh ®èi víi hµm mét biÕn): §Ó
chøng minh giíi h¹n cña hµm hai biÕn f(M) khi M → M0 kh«ng tån t¹i, ta chØ cÇn
chØ ra hai d·y Mn, Nn cïng → M0 (Mn, Nn ≠ M0) khi n → +∞ mµ f(Mn) → b, f(Nn) → k
vµ b ≠ k.
VÝ dô 6.4. Chøng minh r»ng
( ) ( )
x ,y ,
xy
lim x y
→+
2 2
0 0
kh«ng tån t¹i.
Gi¶i. Chän Mn =
,
n n
÷
1 1
, Nn =
,
nn
÷
2
1 1
.
4
Th× Mn, Nn cïng → M0 =(0,0) khi n → +∞ . Mµ:
( ) ( )
n n
n n n n
n n
lim f M lim lim lim f N
n n n n
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
= = ≠ = =
+ +
2 3
2 2 2 4
1 1
10
1 1 1 1
2
.
¸p dông kÕt qu¶ cña nhËn xÐt 6.2 phÇn (ii) ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.€
6.2.2. Sù liªn tôc cña hµm hai biÕn sè.
§Þnh nghÜa 6.8. Cho hµm z = f(x,y) x¸c ®Þnh trªn miÒn D, ®iÓm M0∈D. hµm z =
f(x,y) ®îc gäi lµ liªn tôc t¹i M0 nÕu:
( ) ( )
( ) ( )
,y x ,y
lim f x, y f x , y
→=
0 0
0 0
.
NÕu D lµ tËp ®ãng vµ M0∈ ∂ D th× trong giíi h¹n trªn ta ph¶i hiÓu theo
nghÜa: M(x,y) → M0 víi M∈ D.
Hµm z = f(x,y) ®îc gäi lµ liªn tôc trªn miÒn D nÕu nã liªn tôc t¹i mäi ®iÓm
thuéc D.
VÝ dô 6.5. XÐt sù liªn tôc t¹i ®iÓm (0,0) cña hµm:
f(x,y) =
( ) ( )
( ) ( )
xy khi x , y , ,
x y
khi x, y , .
≠
+
=
2 2 0 0
0 0 0
Gi¶i. Tõ kÕt qu¶ cña vÝ dô 6.3 vµ tõ ®Þnh nghÜa 6.8 suy ra hµm sè ®· cho liªn tôc
t¹i ®iÓm (0,0).
VÝ dô 6.6. XÐt sù liªn tôc t¹i ®iÓm (0,0) cña hµm:
f(x,y) =
( ) ( )
( ) ( )
xy khi x , y , ,
x y
khi x, y , .
≠
+
=
2 2 0 0
0 0 0
Gi¶i. Tõ kÕt qu¶ cña vÝ dô 6.4 vµ tõ ®Þnh nghÜa 6.8 suy ra hµm sè ®· cho
kh«ng liªn tôc t¹i ®iÓm (0,0).
5