HÌNH KHÔNG GIAN GV: Ph m Văn S nạ ơ
PH NG PHÁP TO Đ TRONG KHÔNG GIANƯƠ Ạ Ộ
I. T A Đ C A VECT VÀ C A ĐI MỌ Ộ Ủ Ơ Ủ Ể
A. Ví d :ụ
VD1: Vi t t a đ c a các vect say đây: ế ọ ộ ủ ơ
2a i j
→ → →
= − +
;
7 8b i k
→ → →
= −
;
9c k
→ →
= −
;
3 4 5d i j k
→ → → →
= − +
VD2: Cho ba vect ơ
→
a
= ( 2;1 ; 0 ),
→
b
= ( 1; -1; 2) ,
→
c
= (2 ; 2; -1 ).
a) Tìm t a đ c a vect : ọ ộ ủ ơ
→
u
= 4
→
a
- 2
→
b
+ 3
→
c
b) Ch ng minh r ng 3 vect ứ ằ ơ
→
a
,
→
b
,
→
c
không đ ngồ
ph ng .ẳ
c) Hãy bi u di n vect ể ể ơ
→
w
= (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vect ơ
→
a
,
→
b
,
→
c
.
VD3: Cho 3 vect ơ
→
a
= (1; m; 2),
→
b
= (m+1; 2;1 ) ,
→
c
= (0 ; m-2 ; 2 ) .Đ nh m đ 3 vect đó đ ng ph ng . ị ể ơ ồ ẳ
VD4: Cho:
( ) ( ) ( )
2; 5;3 , 0;2; 1 , 1;7;2a b c
→ → →
= − = − =
. Tìm t a đ c a vect : a) ọ ộ ủ ơ
b)
4 2e a b c
→ → → →
= − −
VD5: Tìm t a đ c a vect ọ ộ ủ ơ
x
→
, bi t r ng: ế ằ
a)
0a x
→ → →
+ =
và
( )
1; 2;1a
→
= −
b)
4a x a
→ → →
+ =
và
( )
0; 2;1a
→
= −
c)
2a x b
→ → →
+ =
và
( )
5;4; 1a
→
= −
,
( )
2; 5;3 .b
→
= −
VD6: Cho ba đi m không th ng hàng: ể ẳ
(1;3;7), ( 5; 2; 0), (0; 1; 1).A B C
− − −
Hãy tìm t a đ tr ng tâm G c a tamọ ộ ọ ủ
giác ABC.
VD7: Cho b n di m không đ ng ph ng : ố ể ồ ẳ
(2;5; 3), (1;0;0), (3;0; 2), ( 3; 1;2).A B C D
− − − −
Hãy tìm t a đ tr ngọ ộ ọ
tâm G c a t di n ABCD.ủ ứ ệ
VD8: Cho đi m M(1; 2; 3). Tìm t a đ hình chi u vuông góc c a đi m M:ể ọ ộ ế ủ ể
a) Trên các m t ph ng t a đ : Oxy, Oxz, Oyz.ặ ẳ ọ ộ b) Trên các tr c t a đ : Ox,ụ ọ ộ
Oy, Oz.
VD9: Cho đi m M(1 ; 2 ; 3). Tìm t a đ c a đi m đ i x ng v i đi m M:ể ọ ộ ủ ể ố ứ ớ ể
a) Qua g c t a đ O ố ọ ộ b) Qua m t ph ng Oxyặ ẳ c) Qua Tr c Oy.ụ
VD10: Cho hình h p ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). Tìm t a đ c a các đ nhộ ọ ộ ủ ỉ
còn l i.ạ
VD11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). Đ ng th ng AB c t m t ph ng Oyz t i đi m M.ườ ẳ ắ ặ ẳ ạ ể
a) Đi m M chia đo n th ng AB theo t s nào ? ể ạ ẳ ỉ ố b) Tìm t a đ đi m M.ọ ộ ể
B. Bài t pậ
Bài 1. Vi t d i d ng ế ướ ạ
x i y j z k
→ → →
+ +
m i vect sau đây: ỗ ơ
1
0; ; 2 ,
2
a
→
=
( )
4; 5;0 ,b
→
= −
4 1
;0;
33
c
→
=
,
1 1
; ; ,
35
d
π
→
=
( )
0; 3;0 .u
→
= −
Bài 2. Cho hai b ba đi m: A = (1; 3; 1), B = (0; 1; 2), C = (0; 0; 1) và A' = (1; 1; 1), B' = (-4; 3; 1), ộ ể
C' = (-9; 5; 1). H i b nào có ba đi m th ng hàng.ỏ ộ ể ẳ
Bài 3. Cho hình h p ABCD.A'B'C'D', A(xộ1; y1; z1), C(x3; y3; z3), B'(x'2;y'2;z'2), D'(x'4; y'4;z'4). Tìm t a đ c aọ ộ ủ
các đ nh còn l i.ỉ ạ
II. BI U TH C T A Đ C A TÍCH VÔ H NG, TÍCH CÓ H NG C A HAI VECT Ể Ứ Ọ Ộ Ủ ƯỚ ƯỚ Ủ Ơ
A. Ví Dụ:
Bài 1 . Cho ba vect ơ
( ) ( )
1; 1;1 , 4;0; 1 ,a b
→ →
= − = −
( )
3; 2; 1 .c
→
= −
Tìm:
2 2 2 2
) . ; ) . ; ) ;a a b c b a b c c a b b c c a
→ → → → → → → → → → → →
+ +
2 2 2
) 3 2 . ; ) 4 . 5d a a b b c b e a c b c
→ → → → → → → → → →
− + + −
.
Bài 2. Tính góc gi a hai vect ữ ơ
a
→
và
b
→
:
( ) ( )
) 4;3;1 , 1; 2;3a a b
→ →
= = −
( ) ( )
) 2;5; 4 , 6;0; 3 .b a b
→ →
= = −
Bài 3. a) Trên tr c Oy tìm đi m cách đ u hai đi m: A(3; 1; 0) và B(-2; 4; 1).ụ ể ề ể
b) Trên m t ph ng Oxz tìm đi m cách đ u ba đi m: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1).ặ ẳ ể ề ể
- 1 -
HÌNH KHÔNG GIAN GV: Ph m Văn S nạ ơ
Bài 4. Xét s đ ng ph ng c a ba vect ự ồ ẳ ủ ơ
, ,a b c
→→→
trong m i tr ng h p sau đây:ỗ ườ ợ
( ) ( ) ( )
) 1; 1;1 , 0;1; 2 , 4;2;3a a b c
→ → →
= − = =
( ) ( ) ( )
) 4;3; 4 , 2; 1; 2 , 1; 2;1b a b c
→ → →
= = − =
( ) ( ) ( )
) 4; 2;5 , 3;1;3 , 2;0;1c a b c
→ → →
= = =
( ) ( ) ( )
) 3;1; 2 , 1;1;1 , 2;2;1 .d a b c
→ → →
= − − = = −
Bài 5. Cho ba đi m A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).ể
a) Ch ng minh r ng A, B, C là ba đ nh c a m t tam giác. b) Tính chu vi và di n tích ứ ằ ỉ ủ ộ ệ ∆ABC.
c) Tìm t a đ đ nh D đ t giác ABDC là hình bình hành. d) Tính đ dài đ ng cao c a ọ ộ ỉ ể ứ ộ ườ ủ ∆ABC h t đ nhạ ừ ỉ
A.
e) Tính các góc c a ủ∆ABC.
Bài 6. Cho b n đi m A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).ố ể
a) Ch ng minh r ng A, B, C, D là b n đ nh c a m t t di n. ứ ằ ố ỉ ủ ộ ứ ệ
b) Tìm góc t o b i các c nh đ i di n c a t di n ABCD.ạ ở ạ ố ệ ủ ứ ệ
c) Tính th tích t di n ABCD và tính đ dài đ ng cao c a t di n h t đ nh A.ể ứ ệ ộ ườ ủ ứ ệ ạ ừ ỉ
Bài 7. Cho ∆ ABC bi t A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). Hãy tìm đ dài đ ng phân giác trong c a góc B.ế ộ ườ ủ
Bài 8. Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho b n đi m A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1).ớ ệ ọ ộ ố ể
a) Ch ng minh r ng A, B, C, D t o thành t di n. Tính th tích c a kh i t di n ABCD.ứ ằ ạ ứ ệ ể ủ ố ứ ệ
b) Tính đ dài đ ng cao h t đ nh C c a t di n đó.ộ ườ ạ ừ ỉ ủ ứ ệ
c) Tính đ dài đ ng cao c a tam giác ABD h t đ nh B.ộ ườ ủ ạ ừ ỉ
d) Tính góc ABC và góc gi a hai đ ng th ng AB, CD. ữ ườ ẳ
Bài 9. Cho 3 đi m A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).ể
a) Xác đ nh đi m D sao cho t giác ABCD là hình bình hành .ị ể ứ
b) Tìm t a đ giao đi m c a hai đ ng chéo.ọ ộ ể ủ ườ
c) Tính di n tích tam giác ABC, đ dài BC t đó đ ng cao tam giác ABC v t A.ệ ộ ừ ườ ẽ ừ
Tìm t a đ tr ng tâm c a tam giác ABC .ọ ộ ọ ủ
Bài 10. Cho 4 đi m A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).ể
a) Ch ng minh 4 đi m A, B , C , D không đ ng ph ng.Tính th tích t di n ABCDứ ể ồ ẳ ể ứ ệ
b) Tìm t a đ tr ng tâm c a t di n ABCD .ọ ộ ọ ủ ứ ệ
c) Tính di n tích tam giác ABC , t đó suy ra chi u cao c a t di n v t D.ệ ừ ề ủ ứ ệ ẽ ừ
d) Tìm t a đ chân đ ng cao c a t di n v t D . ọ ộ ườ ủ ứ ệ ẽ ừ
Bài 11. Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho ba đi m A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4)ớ ệ ọ ộ ể
a) Tìm đ dài các c nh c a tm giác ABC.ộ ạ ủ b) Tính cosin các góc A,B,C .
c) Tính di n tích tam giác ABCệ
Bài t p: ậ
Bài 1. Cho tam giác ABC, A(1;0;-2), B(2;1;-1), C(1;-2;2).
a) Tìm đ dài các c nh c a tam giác ABCộ ạ ủ b) Tìm to đ trung đi m I c a c nh BCạ ộ ể ủ ạ
c) Tìm to đ tr ng tâm G c a tam giác ABCạ ộ ọ ủ d) Tính di n tích tam giác ABC.ệ
e) Tính đ ng cao c a tam giác h t A.ườ ủ ạ ừ f) Tính các góc c a tam giác ABCủ
g) Tìm đi m M thu c Ox sao cho MA = MBể ộ h) Tìm giao (ABC) và Ox
Bài 2. Cho
( )
2 2
2 2 2
3 1
; ; , 1; ;1 , 4; 4;
2 2
m m
a m m b c m
→ → →
− − −
= = =
a) Ch ng minh v i m i m thì ứ ớ ọ
, ,a b c
→→→
không đ ng ph ng.ồ ẳ b) Phân tích
3
1; 1; .
2
d
→
= −
theo
, ,a b c
→→→
Bài 3. Cho ba véc t : ơ
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
; ; , ; ; , ; ;
2 2 2
a b c b a c c a b
p a a q b b r c c
→ → →
− − − − − −
= = =
V i a, b, c không đ ng th i b ng không thì ớ ồ ờ ằ
, ,p q r
→ → →
có đ ng ph ng khôngồ ẳ
Bài 4. Cho ∆ ABC bi t A(1; 2; -1), B(2; -1; 3), C(-4; 7; 5). Hãy tìm đ dài đ ng phân giác trong c a góc B.ế ộ ườ ủ
Bài 5. Cho ∆ ABC bi t A(-11; 8; 4), B(-1; -7; -1), C(9; -2; 4). ế
a) Ch ng minh tam giác ABC vuông ứb) Tính di n tích tam giác ABCệ
Bài 6. Cho sáu đi m ểA(3; 5; -4), B(-1; 1; 2), C(-5; -5; -2), A’(5; 1; 5), B’(4; 3; 2), C’(-3; -2; 1).
a) Ch ng minh tam giác ABC cân, tam ứgiác A’B’C’ vuông
- 2 -
HÌNH KHÔNG GIAN GV: Ph m Văn S nạ ơ
b) G i G, G’, G’’ là tr ng tâm tam giác ọ ọ ∆ ABC, ∆ A’B’C’và c a t di n A’ABC. Tính ủ ứ ệ
·
tan G'GG''
Bài 7. Ch ng minh 4 đi m A(3; 3; 3), B(1; 2; -1), C(4; 1; 1), D(6; 2; 5) là các đ nh c a hình bình hànhứ ể ỉ ủ
Bài 8. Ch ng minh 4 đi m ứ ể A(5; 2; -3), B(6; 1; 4), C(-3; -2; -1), D(-1; -4; 13) là các đ nh c a hình thang. Tínhỉ ủ
di n tích ệ
Bài 9. Cho hai đi m A(-2; 0; 4), B(5; -2; -14). ể
Tìm đi m E trong m t ph ng Oyx sao cho:ể ặ ẳ
1OE =
,
, ,OA OB OC
uuur uuur uuur
đ ng ph ngồ ẳ
Bài10. Cho hai véc t ơ
( ) ( )
1; 1;3 , 2; 2;1p q
→ →
= − = −
. Tìm véc t ơ
v
r
tho mãn đi u ki n ả ề ệ
; ; , ,v p v q v p q⊥ ⊥
r ur r r r uruur
đ ng ph ng.ồ ẳ
Bài 11. Cho A(-3; 2; 4), B(2; 5; -2), C(1; -2; 2), D(4; 2; 3)
a) Tính cos(
,AB CD
uuur uuur
) b) Tính di n tích tamệ
giác BCD
c) Tính đ dài đ ng cao h t A c a t di n ABCDộ ườ ạ ừ ủ ứ ệ d) Tính cosin góc g a AD và m t ph ngữ ặ ẳ
(BCD)
e) Tính cosin góc g a hai m t ph ng (ABD) và (BCD)ữ ặ ẳ f) Tìm to đ đi m I cách đ u A, B, C, D ạ ộ ể ề
III. M T PH NGẶ Ẳ
Bài toán 1 . Ph ng trình m t ph ngươ ặ ẳ
Bài 1: L p ph ng trình m t ph ng (P) đi qua đi m M và có vtpt ậ ươ ặ ẳ ể
n
r
bi tế
a,
( ) ( )
M 3;1;1 ,n 1;1;2= −
r
b,
( ) ( )
M 2;7;0 ,n 3;0;1− =
r
c,
( ) ( )
M 4; 1; 2 ,n 0;1;3− − =
r
d,
( ) ( )
M 2;1; 2 ,n 1;0;0− =
r
e,
( ) ( )
M 3;4;5 ,n 1; 3; 7= − −
r
f,
( ) ( )
M 10;1;9 , n 7;10;1= −
r
Bài 2: L p ph ng trình m t ph ng trung tr c c a AB bi t:ậ ươ ặ ẳ ự ủ ế
a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5)
c,
1 1
A ; 1;0 , B 1; ;5
2 2
− −
c,
2 1 1
A 1; ; , B 3; ;1
3 2 3
−
Bài 3: L p ph ng trình m t ph ng ậ ươ ặ ẳ
( )
α
đi qua đi m M và song song v i m t ph ng ể ớ ặ ẳ
( )
β
bi t:ế
a,
( ) ( ) ( )
M 2;1;5 , O xyβ =
b,
( ) ( )
M 1;1;0 , :x 2y z 10 0− β − + − =
c,
( ) ( )
M 1; 2;1 , :2x y 3 0− β − + =
d,
( ) ( )
M 3;6; 5 , : x z 1 0− β − + − =
Bài 4 L p ph ng trình c a m t ph ng (P) đi qua đi m M(2ậ ươ ủ ặ ẳ ể ;3;2) và c p VTCP là ặ
(2;1; 2); (3; 2; 1)a b −
r r
Bài 5 : L p ph ng trình c a m t ph ng (P) đi qua M(1ậ ươ ủ ặ ẳ ;1;1) và
a) Song song v i các tr c 0x và 0y.ớ ụ b) Song song v i các tr c 0x,0z.ớ ụ
c) Song song v i các tr c 0y, 0z.ớ ụ
Bài 6 : L p ph ng trình c a m t ph ng đi qua 2 đi m M(1ậ ươ ủ ặ ẳ ể ;-1;1) và B(2;1;1) và :
a) Cùng ph ng v i tr c 0x.ươ ớ ụ b) Cùng ph ng v i tr c 0y.ươ ớ ụ
c) Cùng ph ng v i tr c 0z.ươ ớ ụ
Bài 7 : Xác đ nh ịto đ c a ạ ộ ủ véc t ơ
n
vuông góc v i hai ớvéc t ơ
(6; 1;3); (3; 2;1)a b−
r r
.
Bài 8 : Tìm m t VTPT c a m t ph ng (P) ,bi t (P) có c p VTCP là ộ ủ ặ ẳ ế ặ
)4,2,3( );2,7,2( ba
Bài 9 : L p ph ng trình t ng quát c a m t ph ng (P) bi t :ậ ươ ổ ủ ặ ẳ ế
a) (P) đi qua đi m A(-1ể;3;-2) và nh n ậ
);4,3,2(n
làm VTPT.
b) (P) đi qua đi m M(-1ể;3;-2) và song song v i (Q): x+2y+z+4=0.ớ
Bài 10 : L p ph ng trình t ng qậ ươ ổ uát c a các m t ph ng đi qua I(2ủ ặ ẳ ;6;-3) và song song v i các m t ph ng toớ ặ ẳ ạ
đ .ộ
B ài 11 : (ĐHL-99) :Trong không gian 0xyz cho đi m A(-1ể;2;3) và hai m t ph ng (P): x-2=0 , ặ ẳ
(Q) : y-z-1=0 .Vi tế ph ng trình m t ph ng (R) đi qua đi m A và vuông gươ ặ ẳ ể óc v i hai m t ph ng (P),(Q).ớ ặ ẳ
Bài 12 : L p ph ng trình t ng quát c a m t ph ng (P) trong các tr ng h p sau:ậ ươ ổ ủ ặ ẳ ườ ợ
a) Đi qua hai đi m A(0;-1;4) và có c p VTCP là ể ặ
( )
3;2;1a
r
và
( )
3;0;1b−
r
b) Đi qua hai đi m B(4;-1;1) và C(3;1;-1) và cùng ph ng v i tr c v i 0x.ể ươ ớ ụ ớ
Bài 13: Cho t di n ABCD có A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .ứ ệ
a) Vi t ph ng trình t ng quát các m t ph ng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD).ế ươ ổ ặ ẳ
b) Vi t ph ng trình t ng quát c a m t ph ng (P) đi qua c nh AB và song song vói c nh CD. ế ươ ổ ủ ặ ẳ ạ ạ
- 3 -
HÌNH KHÔNG GIAN GV: Ph m Văn S nạ ơ
Bài 14: Vi t ph ng trình t ng quát c a (P) ế ươ ổ ủ
a) Đi qua ba đi m A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) .ể
b) Đi qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) và vuông góc v i m t ph ng (Q) : x+2y+3z+4=0ớ ặ ẳ
c) Ch a 0x và đi qua A(4;-1;2) ,ứ
d) Ch a 0y và đi qua B(1;4;-3)ứ
Bài 15: Cho hai đi m A(3;2;3) B(3;4;1) trong không gian 0xyz ể
a) Vi t ph ng trình m t ph ng (P) là trung tr c c a AB.ế ươ ặ ẳ ự ủ
b) Vi t ph ng trình m t ph ng (Q) qua A vuông góc v i (P) và vuông góc v i m t ph ng y0z ế ươ ặ ẳ ơ ớ ặ ẳ
c) Vi t ph ng trình m t ph ng (R) qua A và song song v i m t ph ng (P)ế ươ ặ ẳ ớ ặ ẳ .
Bài toán 2. V trí t ng đ i c a hai ị ươ ố ủ m t ph ngặ ẳ
Bài 1: Xét v trí t ng đ i ci a các c p m t ph ng sau:ị ươ ố ủ ặ ặ ẳ
a) (P1): y – z + 4 = 0, và
( )
2
: 3 0P x y z− + − =
b) (P1): 2x+4y-8z+9=0
( )
2
: 2 4 1 0P x y z+ − + =
c) (P1): x+y-z-4=0và
( )
2
: 2 2 2 8 0P x y z+ − − =
Bài toán 3: Chùm m t ph ngặ ẳ
Bài 1: L p ph ng trình m t ph ng qua M(2;1;3) và đi qua đ ng th ng (d):ậ ươ ặ ẳ ườ ẳ
a)
( )
=−+−
=−+−
012
0532
:zyx
zyx
d
b)
( )
+=
+=
−=
tz
ty
tx
d
21
22:
Bài 2:L p ph ng trình m t ph ng đi qua đi m M(2;1;-1) và qua hai giao tuy n c a hai m t ph ng (Pậ ươ ặ ẳ ể ế ủ ặ ẳ 1) và
(P2) có ph ng trình : (Pươ 1): x - y + z - 4 = 0 và (P2) 3x – y + z – 1 = 0
Bài 3: L p ph ng trình m t ph ng ch a đ ng th ng ậ ươ ặ ẳ ứ ườ ẳ
( )
=−
=−+−
02
0323
:zx
zyx
d
và song song v i m tớ ặ
ph ng (Q) có ph ng trình: 11x - 2y - 15z – 6 = 0.ẳ ươ
Bài 4: L p ph ng trình m t ph ng qua giao tuy n c a (Pậ ươ ặ ẳ ế ủ 1): y + 2z – 4 = 0 và (P2) : x + y – z – 3 = 0 và song
song v i m t ph ng (Q): ớ ặ ẳ
- 2 0x y z+ + =
.
Bài 5: L p ph ng trình m t ph ng ch a đ ng th ng ậ ươ ặ ẳ ứ ườ ẳ
( )
=−
=−+−
02
0323
:zx
zyx
d
và vuông góc v i (Q) cóớ
ph ng trình: ươ
a) (ĐHNNI-95): (Q):
- 2 5 0x y z+ + =
. b)
( )
: 3 1 0Q x y z+ − + =
Bài 6: L p ph ng trình c a m t ph ng qua hai giao tuy n c a hai m t ph ng (Pậ ươ ủ ặ ẳ ế ủ ặ ẳ 1):
3 - - 2 0 x y z+ =
và (P2):
4 - 5 0 x y+ =
và vuông góc v i m t ph ng : ớ ặ ẳ
2 - 7 0x z + =
.
Bài 7: L p ph ng trình ch a m t ph ng đ ng th ng : ậ ươ ứ ặ ẳ ườ ẳ
( )
=−
=−+−
02
0323
:zx
zyx
d
và song song v i đ ngớ ườ
th ng (d) có ph ng trình :ẳ ươ
a)
( )
=+−+
=−+−
0323
0723
:zyx
zyx
d
b)
( )
5
5
4
3
2
2
:+
=
−
=
−
−zyx
d
Bài 8:L p ph ng trình ch a m t ph ng đ ng th ng : ậ ươ ứ ặ ẳ ườ ẳ
( )
=−+−
=−
0323
02
:zyx
yx
d
và vuông góc đ ng th ngườ ẳ
(d) có ph ng trình :ươ
a)
( )
=+−+
=−+−
0323
0723
:zyx
zyx
d
b)
( )
5
5
4
3
2
2
:+
=
−
=
−
−zyx
d
Bài 9: L p ph ng trình ch a m t ph ng đ ng th ng và v i m t ph ng (Q) m t góc 60 đ bi t:ậ ươ ứ ặ ẳ ườ ẳ ớ ặ ẳ ộ ộ ế
( )
=−
=−+−
02
0323
:zx
zyx
d
và (Q):3x+4y-6=0
Bài 10: L p ph ng trình m t ph ng (P) ch a đ ng th ng ậ ươ ặ ẳ ứ ườ ẳ
( )
=−+
=−−
015
023
:zy
zx
d
và có kho ng cách t đi mả ừ ể
A(1;-1; 0) t i (P) b ng 1.ớ ằ
- 4 -
HÌNH KHÔNG GIAN GV: Ph m Văn S nạ ơ
Bài 11: Cho đ ng th ng (d) và hai m t ph ng ườ ẳ ặ ẳ
( )
=−+
=−−
01
02
:zy
zx
d
và (P1): 5x+5y-3z-2=0 và (P2):2x-y+z-6=0.
L p ph ng trình m t ph ng (P) ch a đ ng th ng (d) sao cho:ậ ươ ặ ẳ ứ ườ ẳ
( ) ( )
1
PP ∩
và
( ) ( )
2
PP ∩
là hai đ ng vuôngườ
góc.
Bài 12: (ĐHKT-93): cho hai đ ng th ng (dườ ẳ 1) và (d2) có ph ng trình :ươ
( )
,
014
0238
:
1
=+−
=+−
zy
zx
d
( )
=++
=−−
022
032
:
2zy
zx
d
.
a) Vi t ph ng trình các m t ph ng ế ươ ặ ẳ
( )
1
P
,
( )
2
P
song song v i nhau và l n l t ch a ớ ầ ượ ứ
( )
1
d
( )
2
d
b) Tính kho ng cách gi a ả ữ
( )
1
d
,
( )
2
d
c) L p ph ng trình đ ng th ng (D) song song v i tr c Oz và c t c 2 đ ng th ngậ ươ ườ ẳ ớ ụ ắ ả ườ ẳ
( )
1
d
,
( )
2
d
B ài toán 4. Kho ng cách t m t đi m t i ả ừ ộ ể ớ m t ph ngặ ẳ
Bài 1:Tính kho ng cách t đi m M(2;2;1) đ n m t ph ng (P) trong các tr ng h p sau:ả ừ ể ế ặ ẳ ườ ợ
a)
( ) : 2 -3 3 0P x y z+ + =
b)
( )
: 2 3 1 0P x y z− − − + =
Bài 2:Trong không gian v i h to đ Oxyz , cho t di n có 4 đ nh A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) ớ ệ ạ ộ ứ ệ ỉ
a) L p ph ng trình t ng quát m t ph ng (ABC)ậ ươ ổ ặ ẳ
b) Tính chi u dài đ ng th ng cao h t đ nh D c a t di n, t đó suy ra th tích c a t di n ề ườ ẳ ạ ừ ỉ ủ ứ ệ ừ ể ủ ứ ệ
Bài 3:Trong không gian v i h to đ Oxyz , cho t di n có 4 đ nh A(1;1;1) B(-2;0;2) C(0;1;-3) D(4;-1;0) ớ ệ ạ ộ ứ ệ ỉ
a) (ĐH Lu t 1996) Tính chi u dài đ ng th ng cao h t đ nh D c a t di nậ ề ườ ẳ ạ ừ ỉ ủ ứ ệ
b) Vi t ph ng trình m t ph ng phân giác c a 2 m t (ABC) và (BCD) c t đo n ADế ươ ặ ẳ ủ ặ ắ ạ
IV. Đ NG TH NG TRONG KHÔNG GIANƯỜ Ẳ
Bài toán 1 . Ph ng trình ươ đ ng th ngườ ẳ
Bài 1:L p ph ng trình đ ng th ng (d) trong các tr ng h p sau :ậ ươ ườ ẳ ườ ợ
a) (d) đi qua đi m M(1;0;1) và nh n ể ậ
(3; 2;3)a
r
làm VTCP
b) (d) đi qua 2 đi m A(1;0;-1) và B(2;-1;3)ể
Bài 2: Trong không gian Oxyz l p ph ng trình t ng quát c a các giao tuy n c a m t ph ngậ ươ ổ ủ ế ủ ặ ẳ
( ) : - 3 2 - 6 0 P x y z+ =
và các m t ph ng to đặ ẳ ạ ộ
Bài 3: Vi t ph ng trình chính t c c a đ ng th ng đi qua đi m M(2;3;-5) và song song v i đ ng th ngế ươ ắ ủ ườ ẳ ể ớ ườ ẳ
(d) có ph ng trình: ươ
3 2 7 0
3 2 3 0
x y z
x y z
− + − =
+ − + =
Bài 4: Cho đ ng th ng (D) và m t ph ng (P) có ph ng trình là :ườ ẳ ặ ẳ ươ
( )
=+++
=++−
0732
0143
:zyx
zyx
d
và (P):
x+y+z+1=0
Tìm ph ng trình chính t c c a đ ng th ng (t) đi qua A(1;1;1) song song v i m t ph ng (P) và vuông gócươ ắ ủ ườ ẳ ớ ặ ẳ
v i đ ng th ng (D)ớ ườ ẳ
Bài 5: Cho m t ph ng (P) đi qua 3 đi m A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). Vi t ph ng trình tham s c a đ ngặ ẳ ể ế ươ ố ủ ườ
th ng (d) đi qua tr ng tâm tam giác ABC và vuông góc v i m t ph ng ch a tam giác đóẳ ọ ớ ặ ẳ ứ
B ài toán 2. Chuy n d ng ph ng trình đ ng th ngể ạ ươ ườ ẳ
Bài 1:Tìm véc t ch ph ng c a các đ ng th ng sau ơ ỉ ươ ủ ườ ẳ
a)
3
1
4
2
3
1
:)( +
=
+
=
−zyx
d
b)
( )
=+−−
=++−
0642
0104
:zyx
zyx
d
Bài 2: Cho đ ng th ng (d) có ph ng trình : ườ ẳ ươ
( )
=+−−
=++−
0642
0104
:zyx
zyx
d
. Hãy vi t ph ng trình tham s c aế ươ ố ủ
đ ng th ng đó ườ ẳ
Bài 3: Cho đ ng th ng (d) có ph ng trình : ườ ẳ ươ
( )
=+−−
=++−
0642
0104
:zyx
zyx
d
. Hãy vi t ph ng trình chính t cế ươ ắ
c a đ ng th ng đó ủ ườ ẳ
- 5 -