IMO SHORTLIST 2000
Bùi Bá Anh
I.ĐẠI SỐ
Câu 1:Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
(a−1 + 1
b)(b−1 + 1
c)(c−1 + 1
a)≤1
Câu 2: Cho a, b, c là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện b > 2avà c > 2b. Chứng ming rằng
tồn tại một số thực tsao cho các số ta, tb, tc có phần lẻ đều thuộc đoạn (1
3,2
3]
Câu 3 Tìm tất cả các hàm f, g :R−> R thỏa mãn:
f(x+g(y)) = xf(y)−yf(x) + g(x)với mọi số thực x, y
Câu 4 Hàm số fxác định trên tập số tự nhiên, nhận giá trị trên khoảng này thỏa mãn các điều
kiện sau với mọi n≥0
i) f(4n) = f(2n) + f(n)
ii)f(4n+ 2) = f(4n) + 1
iii)f(2n+ 1) = f(2n) + 1
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương m, số số nguyên nthỏa mãn 0≤n < 2mvà f(4n) = f(3n)
là f(2m+1)
Câu 5 Cho n≥2là một số nguyên dương và tlà một số thực dương. Ban đầu có ncon bọ nằm
trên một đường ngang, không trùng thành 1 điểm. Chọn hai vị trí A, B không trùng nhau, Anằm
bên trái B, một nước đi là nước cho Anhảy qua Btới một điểm Cnào đó thỏa BC
AB =t
Xác định tất cả các giá trị của tthỏa mãn, với bất kì điểm Mvà bất kì vị trí xuất phát nào của n
con bọ, luôn tồn tại một số hữu hạn nước đi có thể dời tất cả các điểm về bên phải của M
Câu 6 Một tập khác rỗng Acác số thực gọi là tập B3nếu thỏa điều kiện: a1, a2, a3, a4, a5, a6
thuộc Avà a1+a2+a3=a4+a5+a6với (a1;a2;a3),(a4;a5;a6)là các hoán vị nào đó. Đặt
A=a(0) = 0 < a(1) < a(2) < ...,B=b(0) = 0 < b(1) < b(2) < ... là các tập số thực vô hạn với
D(A) = D(B), trong đó xác định D(X)với Xlà một tập số thực D(X) =|x−y|với x, y thuộc X.
Chứng minh rằng nếu Alà một tập B3thì A=B
Câu 7 Cho đa thức Pcó bậc 2000 với các hệ số thực phân biệt. Gọi M(P)là tập hợp tất cả các
đa thức lập từ Pbởi việc hoán vị các hệ số của nó. Đa thức Pgọi là độc lập nếu P(n) = 0 và ta có
thể lấy bất kì Qthuộc M(P)một đa thức Q1(n) = 0 bằng việc thay đổi ít nhất một cặp hệ số từ Q.
Tìm tất cả các giá trị nguyên của nđể tồn tại đa thức độc lập.
II. SỐ HỌC
Câu 1 Xác định tất cả các số nguyên dương n≥2thỏa mãn điều kiện: Với a, b nguyên tố cùng nhau
với n, ta có a=b(modn)khi và chỉ khi ab = 1(modn)
Câu 2 Với mỗi số nguyên dương n, gọi d(n)là số ước nguyên dương của n. Xác định tất cả các giá
trị nthỏa mãn: d(n)3= 4n
Câu 3 Có tồn tại hay không số nthỏa ncó đúng 2000 ước số nguyên tố dương và nchia hết 2n+ 1
Câu 4 Tìm bộ ba nguyên dương (a, m, n)thỏa am+ 1|(a+ 1)n
Câu 5 Chứng minh rằng tồn tại vô hạn các số nguyên dương nthỏa p=nr với plà nửa chu vi và
rlà bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có độ dài cạnh nguyên.
1
Câu 6 Chứng minh rằng tập các số nguyên dương không thể biểu diễn dưới dạng tổng của các số
chính phương phân biệt là hữu hạn.
III. HÌNH HỌC
Câu 1
2