ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN Số phức có nhiều ứng dụng trong giải toán. Một số bài toán nếu chỉ xét trong tập số thực, việc tìm ra lời giải sẽ rất phức tạp, khó khăn. Sử dụng những tính chất riêng biệt của số phức sẽ giúp ta tìm ra cách giải hiệu quả cho một số dạng toán - Chứng minh đẳng thức, công thức lượng giác - Chứng minh công thức đại số, tổ hợp - Tính tổng - Chứng minh bất đẳng thức - Giải hệ phương trình, phương trình 1. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Ví dụ 1. Chứng minh rằng

Giải

Đặt

Ta có: hay

Vì nên =0 do nên chia hai vế cho ta được

Ta để ý rằng từ đẳng thức trên ta có:

Do x>0 nên

Ví dụ 2. Chứng minh công thức:

Giải

a) Áp dụng công thwcsMoiver ta có:

Khai triển nhị thức:

Đồng nhất phần thực, phần ảo và rút gọn ta được (a) Công thức (b) chứng minh tương tự.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng:

a)

b)

Giải

Các đẳng thức trên ngoài cách chứng minh bằng lượng giác (Nhân vế trái với ) còn

có thể dùng số phức để giải.

a) Đặt hay

Mặt khác

nên và

Vì Suy ra

Do đó:

b) Xét phương trình Dễ thấy các nghiệm của phương trình là các căn bậc 7 của số

-1.

Tập nghiệm của phương trình là:

Mặt khác:

Nên tổng phần thực của nó bằng 0 Do đó:

Ví dụ 3. Cho a, b, c là các số thực sao cho:

Chứng minh rằng:

Giải

Đặt

Ta có x+ y + z=0

Do đó: xy + yz +zx=0 Suy ra:

Từ đó ta có:

2. CHỨNG MINH CÔNG THỨC ĐẠI SỐ, TỔ HỢP Ví dụ 4. Chứng minh rằng:

a)

b)

Giải

Đặt vế trái của (1) là S1, của (2) là S2 Xét khai triển:

Do

Khi đó

và

Từ (3) và (4) ta có:

Ví dụ 5. Chứng minh rằng:

Giải

Đạo hàm hai vế theo x:

Cho x=i:

3. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ 6. Chứng minh rằng các bất đẳng thức:

a)

b)

Giải

a) Đặt

Ta có:

Và

Do nên ta có điều phải chứng minh.

b) Đặt

Làm tương tự như phần a) ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 7. Chứng minh rằng nếu thì

Giải

Giả sử thì

Ta có:

đpcm

vậy ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 8. Cho số phức z khác 0 thỏa mãn điều kiện . CMR:

Giải

Ta có với hai số phức bất kỳ ta có :

Ta có :

Đặt ta có

Vậy ta có điều phải chứng minh.

3. TÍNH TỔNG

Ví dụ 9. Tính tổng

Giải

Đặt

Ta có:

Do đó:

Mặt khác:

Vậy:

Ví dụ 10. Tính tổng (Với n= 4k+1)

a)

b)

Giải

Mặt khác:

Từ đó:

Ví dụ 11. Chứng minh rằng:

Giải

Ta có

Xét:

Ta có:

Khi đó:

4. SỐ PHỨC TRONG VIỆC GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Ví dụ 12. Giải hệ phương trình:

Giải

Điều kiện x>0, y>0

Đặt hệ phương trình trở thành

là bình phương modul số phức z= u+ iv nên nhân phương trình thứ hai với i rồi

Do cộng với phương trình thứ nhất ta được phương trình :

Vì nên phương trình (1) được viết dưới dạng

Suy ra

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

Ví dụ 13. Giải hệ phương trình:

Giải

Xét số phức

Ta tìm được 3 giá trị của z là :

Vậy hệ phương trình có các nghiệm (x, y) là :

Ví dụ 14. Giải hệ phương trình

Giải

Điều kiện

Đặt

Từ hệ phương trình ta có

Hệ phương trình có hai nghiệm (x,y) là (2, -3) và (5, 2)

Ví dụ 15. Giải hệ phương trình

Giải

Điều kiện x> 0, y> 0

ta có hệ phương trình Đặt

Đặt

Từ hệ phương trình ta có

Do u, v > 0 nên

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y) là

Ví dụ 15. Giải phương trình

Giải

Phương trình này có thể giải bằng cách nhân hai vế với 2sinx Ngoài ra có thể

áp dụng với số phức

và

Ta có Phương trình có dạng :

Nếu thì

thì Nếu

Do nên phương trình có nghiệm là

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Giải hệ phương trình

. Đáp số :

Bài 2. Tính tổng a)

b)

Đáp số : a) b)