Ứng dụng số phức trong giải toán

Chia sẻ: Le Van Nhan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

158
lượt xem 34
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Số phức có nhiều ứng dụng trong giải toán như: Chứng minh đẳng thức, công thức lượng giác; chứng minh công thức Đại số, tổ hợp; chứng minh bất đẳng thức;... sẽ được trình bày cụ thể trong tài liệu "Ứng dụng số phức trong giải toán".

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ứng dụng số phức trong giải toán

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN Số phức có nhiều ứng dụng trong giải toán. Một số bài toán nếu chỉ xét trong tập số thực, việc tìm ra lời giải sẽ rất phức tạp, khó khăn. Sử dụng những tính chất riêng biệt của số phức sẽ giúp ta tìm ra cách giải hiệu quả cho một số dạng toán - Chứng minh đẳng thức, công thức lượng giác - Chứng minh công thức đại số, tổ hợp - Tính tổng - Chứng minh bất đẳng thức - Giải hệ phương trình, phương trình 1. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC  1 5 Ví dụ 1. Chứng minh rằng cos  5 4 Giải     Đặt x  cos , y  sin ; z  x  iy  cos  i sin 5 5 5 5 Ta có: z  1 hay  z  1  z  z  z  z  1  0 5 4 3 2 Vì z  1 nên z 4  z 3  z 2  z  1 =0 do z  0 nên chia hai vế cho z 2 ta được  2 1  1  z  2    z   1  0  z   z 2  1  1   z     z   1  0  z  z 1 1 1 5 Ta để ý rằng x   z   từ đẳng thức trên ta có: 4 x 2  2 x  1  0  x  2 z 4 1 5  Do x>0 nên x  cos  5 4 Ví dụ 2. Chứng minh công thức: a) sin 5  16sin 5   20sin 3   5sin  b) cos5  16cos5   20cos3   5cos  Giải a) Áp dụng công thwcsMoiver ta có:  cos  i sin    cos5  i sin 5 5 Khai triển nhị thức:  cos  i sin   5  cos5  5i cos 4  sin   10i 2cos3 sin 2   10i 3 cos 2  sin 3   5i 4 cos  sin 4   i 5 sin 5     cos5   10 cos3  1  cos 2   5cos  1  cos 2       i sin 2  1  sin 2   2    10 1  sin 2  sin 3   sin 5  
Đồng nhất phần thực, phần ảo và rút gọn ta được (a) Công thức (b) chứng minh tương tự. Ví dụ 3. Chứng minh rằng:  3 5 1 a) cos  cos  cos  7 7 7 2  2 3 1 b) cos  cos  cos  7 7 7 2 Giải  Các đẳng thức trên ngoài cách chứng minh bằng lượng giác (Nhân vế trái với 2sin ) còn 7 có thể dùng số phức để giải.   a) Đặt z  cos  i sin  z 7  cos  i sin   1 hay z 7  1  0 7 7 Mặt khác  3 5 1  1 1 1  1 1  z10  z 8  z 6  z 4  z 2  1 cos  cos  cos   z     z3  3    z5  5   7 7 7 2 z  2 z  2 z  2z5 Vì z  1  0 nên z10   z 3 và z8   z 7 Suy ra z10  z 8  z 6  z 4  z 2  1  z 6  z 4  z 3  z 2  z  1 z7 1 5  z6  z5  z 4  z3  z 2  z  1  z5  z  z5 z 1  3 5 z 5 1 Do đó: cos  cos  cos  5 7 7 7 2z 2 b) Xét phương trình x  1  0 Dễ thấy các nghiệm của phương trình là các căn bậc 7 của số 7 -1. i i 3 i13 Tập nghiệm của phương trình là: {e ,e 7 7 ,...,e 7 } 7  i 27  i i 3 i13 i  e  1 7   Mặt khác: e ,e ,...,e 7 7 7 e i 0 e7 Nên tổng phần thực của nó bằng 0 Do đó:  3 5 7 9 11 13 cos  cos  cos  cos  cos  cos  cos 0 7 7 7 7 7 7 7   3 5   2  cos  cos  cos  1  0  7 7 7   2 3 1  cos  cos  cos  7 7 7 2 Ví dụ 3. Cho a, b, c là các số thực sao cho: cos a  cos b  cos c  sin a  sin b  sin c  0
Chứng minh rằng: cos 2a  cos 2b  cos 2c  sin 2a  sin 2b  sin 2c  0 Giải Đặt x  cos a  i sin a y  cos b  i sin b z  cos c  i sin c Ta có x+ y + z=0 1 1 1     cos a  i sin a    cos b  i sin b    cos c  i sin c   0 x y z Do đó: xy + yz +zx=0 Suy ra: x 2  y 2  z 2   x  y  z   2  xy  yz  zx   0 2 hay  cos2a  i sin 2a    cos2c  i sin 2c    cos2b  i sin 2b   0 Từ đó ta có: cos2a  cos2b  cos2c  sin 2a  sin 2b  sin 2b  0 2. CHỨNG MINH CÔNG THỨC ĐẠI SỐ, TỔ HỢP Ví dụ 4. Chứng minh rằng:    a) Cn0  Cn2  Cn4  Cn6  Cn8  ...  2 cos n 1 n 4    b) Cn1  Cn3  Cn5  Cn7  Cn9  ...  2 sin n  2  n 4 Giải Đặt vế trái của (1) là S1, của (2) là S2 Xét khai triển: 1  i  n  Cn0  iCn1  i 2Cn2  i 3Cn3  ...  i nCnn . Do i k  1 khi k  4m i k  i khi k  4m  1 m  Z    i k  1 khi k  4m  2 i k  i khi k  4m  3    Khi đó 1  i   Cn0  Cn2  Cn4  Cn6  ...  i Cn1  Cn3  Cn5  Cn7  ... n   3    2   cos n 4  i sin n 4  n   n và 1  i    4 n n 2  cos  i sin    4 4 Từ (3) và (4) ta có:
 2  cos n 4 n S1     2  sin n n S2 4 Ví dụ 5. Chứng minh rằng:   2 n 1 Cn1  3Cn3  5Cn5  7Cn7  ...  n cos  n  1 4   ...  n  2  n 3 Cn0  2Cn2  4Cn4  6Cn6 sin  n  1 4 Giải 1  x  n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  Cn3 x3  ...  Cnb x n Đạo hàm hai vế theo x: n 1  x  n 1  Cn1  2 xCn2  3x 2Cn3  ...  nx n1Cnb Cho x=i: n 1  i  n 1  Cn1  2iCn2  3i 2Cn3  ...  ni n 1Cnb     Cn1  3Cn3  5Cn5  7Cn7  ...  2i Cn0  2Cn2  4Cn4  ...  3. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ 6. Chứng minh rằng các bất đẳng thức: a) x2  xy  y 2  y 2  yz  z 2  z 2  zx  x 2  3  x  y  z  x, y, z  0 b)   4 cos2 x cos2 y  sin 2  x  y   4sin 2 x sin 2 y  sin 2  x  y   2 x, y  R  Giải a) Đặt y 3 z1  x   yi 2 2 z 3 z2  y   zi 2 2 x 3 z3  z   xi 2 2 Ta có: z1  x 2  xy  y 2 z2  y 2  yz  z 2 Và z1  z2  z3  3  x  y  z  z3  z 2  zx  x 2 Do z1  z2  z3  z1  z2  z3 nên ta có điều phải chứng minh. b) Đặt z1  2 cos x cos y  i sin  x  y  z2  2sin x sin y  i sin  x  y  Làm tương tự như phần a) ta có điều phải chứng minh.
2z  1 Ví dụ 7. Chứng minh rằng nếu z  1 thì 1 2  iz Giải Giả sử z  a  bi  a,b  R  thì z  a2  b 2 z  1  a2  b 2  1  a2  b 2  1 2z  1 2a   2b  1 i 4a2   2b  1 2 Ta có:   2  iz  2  b   ai  2  b   a2 2 4a2   2b  1 2  1  4a2   2b  1   2  b   a2  a2  b 2  1 2 2 đpcm  2  b  2  a2 vậy ta có điều phải chứng minh. 1 1 Ví dụ 8. Cho số phức z khác 0 thỏa mãn điều kiện z 3  3  2 . CMR: z   2 z z Giải Ta có với hai số phức z1, z 2 bất kỳ ta có : z1  z 2  z1  z 2 3 3  1 1  1 1 1 1 1 Ta có :  z    z 3  3  3 z    z   z3  3  3 z   2 3 z   z z  z z z z z  a ta có a3  3a  2  0   a  2 a  1  0 1 2 Đặt z  z Vậy ta có điều phải chứng minh. 3. TÍNH TỔNG Ví dụ 9. Tính tổng S1  sin a  sin 2a  ...  sin na S2  cos a  cos2a  ...  cos na Giải Đặt z  cos a  isin a z n 1 Ta có: S2  iS1  z  z 2  ...  z n  z. z 1
na na na 2sin 2  2i sin cos z  1 cos na  i sin na  1 n 2 2 2   z 1 cos a  i sin a  1 a a 2sin 2  2i sin cos a 2 2 2 na  na na  na sin  cos  i sin  sin   n  1 a  i sin  n  1 a  2  2 2  2   cos  a a a a  2 2  sin  cos  i sin  sin 2 2 2 2 Do đó: na 2 cos  n  1 a  i sin  n  1 a  sin z 1 n S2  iS1  z.   cos a  i sin a  z 1 a   sin  2 2  2 na 2 cos  n  1 a  i sin  n  1 a  sin  a   sin  2 2  2 Mặt khác: S2  iS1  cos a  cos2a  ...  cos na   i sin a  sin 2a  ...  sin na  Vậy: na sin sin  n  1 a S1  2 2 a sin 2 na sin cos  n  1 a S2  2 2 a sin 2 Ví dụ 10. Tính tổng (Với n= 4k+1) a) S1  C 20n 1  C 22n 1  C 24n 1  ...  C 22nn12  C 22nn1 b) S2  C 21n 1  C 23n 1  C 25n 1  ...  C 22nn11  C 22nn11 Giải 1 i  2n 1  C 20n 1  iC 21n 1  i 2C 22n 1  ...  i 2n 1C 22nn11     C 20n 1  C 22n 1  ..  C 22nn1  i C 21n 1  C 23n 1  ..  C 22nn11  Mặt khác:
  2n  1   i sin  2n  1       2 2n 1 1  i  2  cos  i sin   1  i  2n 1  cos  4 4  4 4    2n 2 cos  2n  1   i sin  2n  1    4 4    2n 2 cos  8k  3   i sin  8k  3    4 4   3 3   2n 2 cos  i sin   2n  i 2n  4 4 Từ đó: S1  2n S2  2n 1 n  Ví dụ 11. Chứng minh rằng: 1 C n3  C n6  ...   2n  2cos  3 3  Giải Ta có 2n  C n0  C n1  C n2  ...  C nn 2 2 Xét: z  cos  i sin  z3 1 3 3 Ta có: 1 z  n  C n0  zC n1  z 2C n2  ...  z nC nn  C n0  zC n1  z 2C n2  C n3  zC n4  ... 1 z  n 2  C n0  z 2C n1  zC n2  C n3  z 2C n4  ... 1 z  z 2  0   1  z 2  cos  i sin 3 3   1  z  cos  i sin 3 3 Khi đó: 2n  1  z   1  z 2    3C  C  C  n n 0 n 3 n 6 n  ... n  2n  2cos  3C  C  C  ... 0 n 3 n 6 n 3 1 n   1  C n3  C n6  ...   2n  2cos  3 3  4. SỐ PHỨC TRONG VIỆC GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
  1   3x  1  2   xy  Ví dụ 12. Giải hệ phương trình:   xy  1  1   4 2      xy  Giải Điều kiện x>0, y>0   1  2 u  1  2 2     u  v  3 Đặt u  x ,v  y hệ phương trình trở thành   7y  1  1   4 2      xy  7 Do u 2 v 2 là bình phương modul số phức z= u+ iv nên nhân phương trình thứ hai với i rồi cộng với phương trình thứ nhất ta được phương trình : u  iv u  iv  u 2 v 2  2  i 4 2 1 3 7 u  iv z z 1 Vì  2  nên phương trình (1) được viết dưới dạng u v 2 2 z zz z 1 2 4 2  2 4 2 z  i  z2  i z 1 0 z  3  3 7  7   1 2  2 2  z     i   2  3 21   7    1  Suy ra u,v    2 2 2  ;  2  3   21 7    2 2 2   2 Vậy hệ phương trình có nghiệm là  x , y     1 2   ;   2   3 21   7      x 3  3xy 2  1 Ví dụ 13. Giải hệ phương trình:   y  3x y   3 3 2 Giải Xét số phức  z  x  iy  x , y  R   z 3  x 3  3xy 2  i 3x 2 y  y 3   1  3i  2 2   2  cos  i sin   3 3  Ta tìm được 3 giá trị của z là :  2 2  3  4 4  3  8 8  3 2  cos  i sin  ; 2  cos  i sin  ; 2  cos  i sin   9 9   9 9   9 9 
Vậy hệ phương trình có các nghiệm (x, y) là : 3 2 3 2   3 4 3 4   8 3 8   2cos  2 sin  ;  2cos  2 sin  ;  cos  2 sin   9 9   9 9   9 9   16x  11y x  2 7  x y2 Ví dụ 14. Giải hệ phương trình   y  11x  16y  1  x2  y 2 Giải Điều kiện x 2  y 2  0 1 x  iy Đặt z  x  yi  x , y  R    z x2  y 2 Từ hệ phương trình ta có 16x  11y 16x  11y x  iy  2 i  7 i x y 2 x2  y 2 x  iy x  iy  x  iy  16 2  11i 2  7 i x y 2 x y2 16  11i z  7  i  z 2   7  i  z  16  11i  0 z z  2  3i  z  5  2i Hệ phương trình có hai nghiệm (x,y) là (2, -3) và (5, 2)   3   10x  1  3   5x  y  Ví dụ 15. Giải hệ phương trình  x , y  R  y  1  3   1      5x  y  Giải Điều kiện x> 0, y> 0   3  3 u 1 2 2   u  5x   u v  Đặt  u,v  0 ta có hệ phương trình  2 v  y v  1  3   1   u 2 v 2   1 u  iv Đặt z  u  iv   z u 2 v 2 Từ hệ phương trình ta có
 3   3  3 u 1 2 2   iv  1  2 2   i  u v   u v  2    2z 2  3 2  2i z  6  0 z  2  2i   2 z  2  i  2 Do u, v > 0 nên u  ;v 1 2  1  Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y) là  ;1  10  1 Ví dụ 15. Giải phương trình cosx  cos3x  cos5x  cos7x  cos9x  2 Giải Phương trình này có thể giải bằng cách nhân hai vế với 2sinx  sinx  0 Ngoài ra có thể áp dụng với số phức z  cosx  i sin x  z 1  1 z   cosx  i sin x x  0;2   Ta có z  z 1  2cosx và z n  z  n  2cosnx Phương trình có dạng : 1 1 1 1 1 1 z   z3  3  z5  5  z7  7  z9  9  z z z z z 2  1  z  z  ...  z  z 2 4 18 9  z 20  1  z 11  z 9 z 11  1     z 11  1 z 9  1  0   9 z  1 Nếu z 9  1 thì z 9  cos0  i sin0  z  cos k 2 9  i sin k 2 9  k  0;8  Nếu z 11  1 thì z 11  cos  i sin  z  cos   k 2 11  i sin   k 2 11  k  0;10 Do x   0;2  nên phương trình có nghiệm là k 2 x  m2 , k  { 0,1,...,8} 9   k 2 x=  m2 , k  { 0,1,...,10} 11 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Giải hệ phương trình
 3x  y  x  3  x2  y2  . Đáp số :  x; y    2;1 , 1; 1  y  x  3y  0  x2  y2 Bài 2. Tính tổng a) A  C20090  C2009 2  C2009 4  C2009 6  ...  C2009 2004  C2009 2006  C2009 2008 b) A  C2009 1  C2009 3  C2009 5  C2009 7  ...  C2009 2005  C2009 2007  C2009 2009 Đáp số : a) 21004 b) 21004