Chương hai: Ứng dụng biến đổi z phân tích hệ xử lý số

Chia sẻ: Kk Lee Dong Chul | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

348
lượt xem 78
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong nhiều trường hợp, việc giải các bài toán phân tích hệ xử lý số trong miền thời gian là phức tạp và khó khăn. Để giải các bài toán được dễ dàng hơn, người ta thường sử dụng các phép biến đổi để chuyển bài toán sang miền biến số khác. Biến đổi Laplace được dùng để phân tích hệ tương tự, đối với hệ xử lý số sử dụng biến đổi Z.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương hai: Ứng dụng biến đổi z phân tích hệ xử lý số

Chương hai ứng dụng biến đổi z phân tích hệ xử lý số Trong nhiều trường hợp, việc giải các bài toán phân tích hệ xử lý số trong miền thời gian là phức tạp và khó khăn. Để giải các bài toán được dễ dàng hơn, người ta thường sử dụng các phép biến đổi để chuyển bài toán sang miền biến số khác. Biến đổi Laplace được dùng để phân tích hệ tương tự, đối với hệ xử lý số sử dụng biến đổi Z. 2.1 phép biến đổi z Phép biến đổi Z được sử dụng cho các dãy số. Biến đổi Z thuận để chuyển các dãy biến số nguyên n thành hàm biến số phức z, biến đổi Z ngược để chuyển các hàm biến số phức z thành dãy biến số nguyên n. 2.1.1 Biến đổi Z thuận 2.1.1a Biến đổi Z hai phía Định nghĩa : Biến đổi Z hai phía của dãy x(n) là chuỗi lũy thừa của biến ∞ số phức z : X ( z) = ∑ x(n). z n =−∞ −n [2.1-1] Miền xác định của hàm X(z) là các giá trị của z để chuỗi [2.1-1] hội tụ. Dãy x(n) được gọi là hàm gốc, còn X(z) được gọi là hàm ảnh Z. Biến đổi Z hai phía thường được gọi vắn tắt là biến đổi Z. Chuỗi [2.1-1] là biểu thức biến đổi Z thuận và được ký hiệu như sau : ZT [ x (n)] = X ( z ) [2.1-2] ZT Hay : x( n) → X ( z ) [2.1-3] ( ZT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh : Z - Transform). Ví dụ 2.1 : Hãy xác định biến đổi Z hai phía của các dãy sau : a. δ (n) b. δ (n − k ) c. δ (n + k ) d. x( n) = { 3 , 2 , − 5 , 1} ↑ e. u (n) f. u ( n − 3) g. u ( n + 3) h. u ( − n) ∞ Giải : a. ZT [δ (n)] = ∑ δ (n). z n=−∞ −n =1 [2.1-4] Chuỗi [2.1-4] hội tụ với mọi z, nên ZT [δ (n)] xác định với mọi z. ∞ b. ZT [δ (n − k )] = ∑ δ (n − k ). z n=−∞ −n = z −k [2.1-5] Chuỗi [2.1-5] hội tụ với mọi z > 0, nên ZT [δ (n − k )] xác định với mọi z > 0. ∞ c. ZT [δ (n + k )] = ∑ δ (n + k ). z n=−∞ −n = zk [2.1-6] Chuỗi [2.1-6] hội tụ với mọi z < ∞, nên ZT [δ (n + k )] xác định với mọi z < ∞. ∞ 2 d. X ( z) = ∑ n=−∞ x( n).z − n = ∑ x(n).z n = −1 −n = 3.z 1 + 2 − 5.z −1 + z − 2 Hàm X(z) xác định trong miền 0 < z < ∞. ∞ ∞ 1 z e. ZT [u ( n)] = ∑ n=−∞ u ( n).z − n = (1 − z ) ∑z n =0 −n = −1 = ( z − 1) [2.1-7] Dãy nhân quả vô hạn u (n) có biến đổi Z bằng ∞ tại z = 1 ∞ ∞ ∞ z 1 f. ZT [u ( n − 3)] = n=−∞ ∑ u (n − 3).z n =3 m =0 −n = ∑z ( z − 1) = 2 −n = z ( z − 1) ∑z − ( m + 3) = z −3 Ta đã đổi biến, đặt (n − 3) = m ⇒ n = ( m + 3) và khi n = 3 thì m = 0 Dãy nhân quả vô hạn u ( n − 3) có biến đổi Z bằng ∞ tại z = 1 và z = 0 67
∞ ∞ ∞ z z4 g. ZT [u ( n + 3)] = n =−∞ ∑ n = −3 u ( n + 3).z − n = m =0 ( z − 1) = ( z − 1) ∑ z −n = ∑ z − ( m − 3) = z 3 Ta đã đổi biến, đặt (n + 3) = m ⇒ n = ( m − 3) và khi n = − 3 thì m = 0 Dãy không nhân quả u ( n + 3) có biến đổi Z bằng ∞ tại z = 1 và z = ∞ ∞ 0 ∞ ∞ 1 h. ZT [u ( − n)] = n =−∞ ∑ u(−n).z n =−∞ m =0 m =0 −n = (1 − z ) ∑ u(−n).z −n = ∑ u(m).z m = ∑z m = Ta đã đổi biến, đặt − n = m ⇒ khi n = − ∞ thì m = ∞ Dãy phản nhân quả vô hạn u ( − n) có biến đổi Z bằng ∞ tại z = 1 2.1.1b Biến đổi Z một phía Định nghĩa : Biến đổi Z một phía của dãy x(n) là chuỗi lũy thừa của biến ∞ số phức z : X 1 ( z) = ∑ x(n). z n =0 −n [2.1-8] Miền xác định của hàm X 1 ( z ) là các giá trị của z để chuỗi [2.1-8] hội tụ. Biến đổi Z một phía được lấy theo tổng với n biến thiên từ 0 đến ∞. Chuỗi [2.1-8] là biểu thức của biến đổi Z một phía thuận và được ký hiệu như sau : ZT 1 [ x( n)] = X 1 ( z ) [2.1-9] 1 Hay : x( n) ZT → X 1 ( z )  [2.1-10] Ví dụ 2.2 : Hãy xác định biến đổi Z một phía của các dãy ở ví dụ 2.1 và so sánh kết quả với biến đổi Z hai phía tương ứng. a. δ (n) b. δ (n − k ) c. δ (n + k ) d. x( n) = { 3 , 2 , − 5 , 1} ↑ e. u (n) f. u ( n − 3) g. u ( n + 3) h. u ( − n) ∞ Giải : a. ZT 1 [δ (n)] = ∑ δ (n). z n =0 −n =1 Dãy nhân quả δ (n) có biến đổi Z một phía giống biến đổi Z hai phía. ∞ b. ZT 1 [δ (n − k )] = ∑ δ (n − k ). z n =0 −n = z −k Dãy nhân quả δ (n − k ) có biến đổi Z một phía giống biến đổi Z hai phía. ∞ ∞ c. ZT 1 [δ (n + k )] = ∑ δ (n + k ). z n =0 −n = ∑ 0. z n =0 −n =0 Dãy phản nhân quả δ (n + k ) có biến đổi Z một phía luôn bằng 0. ∞ 2 d. X 1 ( z) = ∑ x(n).z n=0 −n = ∑ x(n).z n =0 −n = 2 − 5.z −1 + z − 2 Dãy không nhân quả x(n) có biến đổi Z một phía khác biến đổi Z hai phía ∞ ∞ z 1 e. ZT 1 [u (n)] = n=0 ∑ n =0 u ( n).z − n = 1− z z −1 ∑z −n = −1 = Dãy nhân quả u (n) có biến đổi Z một phía giống biến đổi Z hai phía. ∞ ∞ ∞ z 1 f. ZT 1 [u (n − 3)] = n =0 ∑ n =3 m=0 u ( n − 3).z − n = z −1 = 2 z ( z − 1) ∑ z −n = ∑z − m −3 = z −3 Dãy nhân quả u ( n − 3) có biến đổi Z một phía giống biến đổi Z hai phía. ∞ ∞ z g. ZT 1 [u (n + 3)] = n =0 ∑ u(n + 3).z n =0 z −1 −n = ∑z −n = Dãy không nhân quả u ( n + 3) có biến đổi Z một phía khác hai phía. ∞ ∞ h. ZT 1 [u (− n)] = ∑ u (−n).z n =0 −n = ∑ 0.z n =0 −n =0 Dãy phản nhân quả vô hạn u ( − n) có biến đổi Z một phía luôn bằng 0. 68
Như vậy, các dãy nhân quả có biến đổi Z một phía và hai phía giống nhau, các dãy không nhân quả có biến đổi Z một phía và hai phía khác nhau, các dãy phản nhân quả có biến đổi Z một phía bằng không. 2.1.1c Miền hội tụ của biến đổi Z Định nghĩa : Tập hợp tất cả các giá trị của biến số phức z mà tại đó các chuỗi [2.1-1] và [2.1-8] hội tụ được gọi là miền hội tụ của biến đổi Z. Miền hội tụ của biến đổi Z được ký hiệu là : RC[X(z)] hoặc RC (RC là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh : Region of Convergence) Có thể thấy ngay rằng các dãy x(n) hữu hạn có biến đổi Z là chuỗi hữu hạn nên sẽ hội tụ trên toàn bộ mặt phẳng z, trừ hai điểm |z|= ∞ và z = 0 là phải xét cụ thể : X ( z ) = ZT [ x( n) N ] có RC[ X ( z )] : 0 < | z | < ∞ Xét trường hợp x(n) là dãy không nhân quả vô hạn xác định trong khoảng (- ∞ , ∞), biến đổi Z hai phía của x(n) theo [2.1-1] là : ∞ X ( z) = ∑ x(n).z n=−∞ −n [2.1-11] Để tìm miền hội tụ của chuỗi [2.1-11], cần sử dụng tiêu chuẩn hội tụ của Cauchy được phát biểu như sau : Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy : Xét chuỗi số vô hạn : ∞ ∑ x(n) n =0 [2.1-12] 1 Nếu lim x(n) n = l , thì chuỗi [2.1-12] hội tụ khi l < 1 , phân kỳ khi l > 1. n→∞ Để sử dụng tiêu chuẩn hội tụ Cauchy xác định miền hội tụ của chuỗi [2.1-11], phải tách X (z ) thành hai chuỗi như sau : −1 ∞ X ( z) = ∑ n=−∞ x( n).z − n + ∑ x(n).z n=0 −n = X 1 ( z) + X 2 ( z) −1 0 Trong đó : X 1 ( z ) = ∑ n=−∞ x( n).z − n = ∑ x(n).z n=−∞ −n − x(0) [2.1-13] ∞ và : X 2 ( z) = ∑ x(n).z n =0 −n Theo tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi X 2 ( z ) sẽ hội tụ nếu thỏa mãn điều kiện : 1 1 lim x( n) . z − n n Rx− [2.1-15] Để tìm miền hội tụ của X 1 ( z ) , đổi biến đặt m = − n thì chuỗi [2.1-13] được đưa về ∞ dạng : X 1 ( z) = ∑ x(−m).z m =0 m − x ( 0) Nếu x(0) hữu hạn thì chuỗi X 1 ( z ) sẽ hội tụ nếu thỏa mãn điều kiện : 1 1 lim x( −m) . z m m
1 Hay trở về biến n : Rx + = lim x ( n) n [2.1-16] n → −∞ Khi đó chuỗi X 1 ( z ) sẽ hội tụ với mọi z thoả mãn điều kiện : | z | < Rx+ [2.1-17] RC[ X ( z )] là giao các miền hội tụ của X 1 ( z ) theo [2.1-17] và X 2 ( z ) theo [2.1-15] : Nếu Rx − < Rx + thì RC[ X ( z )] : R x − < | z | < R x + . Như vậy, dãy không nhân quả vô hạn x(n) có X ( z ) = ZT [ x( n)] với miền hội tụ là hình vành tròn trên mặt phẳng phức, có tâm là gốc tọa độ, bán kính trong R x − , bán kính ngoài Rx + như ở hình 2.1a . Các bán kính hội tụ R x − và Rx + được xác định theo [2.1-14] và [2.1-16] tương ứng. Nếu R x − không hữu hạn hoặc R x − ≥ R x + thì X (z ) không xác định với mọi z, nên trong trường hợp đó dãy không nhân quả x(n) không có biến đổi Z. a. Dãy không nhân quả. b. Dãy nhân quả. c. Dãy phản nhân quả. Hình 2.1 : Miền hội tụ của biến đổi Z. Khi x(n) là dãy nhân quả thì biến đổi Z của nó có thành phần X 1 ( z ) = 0 , nên X ( z ) = X 2 ( z ) , do đó miền hội tụ của X (z ) là miền hội tụ của X 2 ( z ) theo [2.1-15], nên RC[ X ( z )] : | z | > R x − , đó là miền nằm ngoài vòng tròn tâm ở gốc tọa độ, đường kính R x− như ở hình 2.1b. Bán kính hội tụ R x − được xác định theo [2.1-14]. Nếu R x − = ∞ thì X (z ) không xác định với mọi z, nên trong trường hợp đó dãy nhân quả x(n) không có biến đổi Z. Khi x(n) là dãy phản nhân quả thì biến đổi Z của nó có X 2 ( z ) = 0 , nên X ( z ) = X 1 ( z ) , do đó miền hội tụ của X (z ) là miền hội tụ của X 1 ( z ) theo [2.1-17], nên RC[ X ( z )] : | z | < R x + , đó là miền nằm trong vòng tròn tâm ở gốc tọa độ, đường kính Rx + như ở hình 2.1c . Bán kính hội tụ Rx + được xác định theo [2.1-16]. Nếu Rx + = 0 thì X (z ) không xác định với mọi z, nên trong trường hợp đó dãy phản nhân quả x(n) không có biến đổi Z. Biến đổi Z một phía có dạng giống với biến đổi Z hai phía của các dãy nhân quả, do đó miền hội tụ của biến đổi Z một phía là : RC[ X ( z )1 ] : | z | > R x − Đó là miền nằm ngoài vòng tròn tâm là gốc tọa độ, đường kính R x − như ở hình 2.2b. Bán kính hội tụ R x − được xác định theo [2.1-14]. Ví dụ 2.3 : Hãy xác định X i (z ) và RC[ X i ( z )] của các dãy xi (n) sau : a. x1 ( n) = rect 3 ( n) e. x 5 ( n) = a n u ( − n) b. x 2 ( n) = rect 3 ( − n) f. x 6 ( n ) = a n u ( n + 2) c. x3 ( n) = rect 3 (n + 1) g. x 7 ( n ) = a n u ( − n + 2) d. x 4 ( n) = a n u ( n) h. x8 (n) = a n ∞ 2 1 1 Giải : a. X 1 ( z ) = ∑ n =−∞ rect 3 ( n).z − n = ∑z n =0 −n = z 0 + z −1 + z − 2 = 1 + z + z2 Dãy nhân quả hữu hạn rect 3 (n) có ZT với RC[ X 1 ( z )] :| z | > 0 70
∞ 0 b. X 2 ( z) = ∑ n=−∞ rect 3 ( − n).z − n = ∑z n = −2 −n = z 2 + z1 + z 0 = z 2 + z + 1 Dãy phản nhân quả hữu hạn rect 3 (− n) có ZT với RC[ X 2 ( z )] :| z | < ∞ ∞ 1 1 c. X 3 ( z) = ∑ n =−∞ rect 3 ( n + 1).z − n = ∑z n = −1 −n = z 1 + z 0 + z −1 = z + 1 + z Dãy không nhân quả hữu hạn rect 3 (n + 1) có ZT với RC[ X 3 ( z )]: 0 < | z | < ∞ ∞ ∞ ∞ 1 z d. X 4 ( z) = ∑ n=−∞ a n u (n).z − n = ∑ n=0 a n z −n = ∑ (a.z n=0 −1 n ) = (1 − a.z −1 ) = ( z − a) 1 z Vậy : ZT [a n u (n)] = −1 = [2.1-18] (1 − a.z ) ( z − a) 1 n Theo [2.1-14] , bán kính hội tụ R x − = lim | a | n = | a | , vậy dãy nhân quả vô hạn n→∞ a n u (n) có ZT với RC[ X 4 ( z )] :| z | > | a | ∞ 0 e. X 5 ( z) = ∑a n=−∞ n u (− n).z − n = ∑a n=−∞ n z −n Đổi biến, đặt n = - m ⇒ - n = m và khi n = - ∞ thì m = ∞ nhận được : ∞ ∞ 1 a X 5 ( z) = ∑a m =0 −m zm = ∑ m =0 ( a −1 z ) m = −1 = (1 − a z ) ( a − z ) 1 Theo [2.1-16] , bán kính hội tụ R x + = lim | a n | n = | a | , vậy dãy phản nhân quả vô n → −∞ hạn a u ( − n) có ZT với RC[ X 5 ( z )] : | z | < | a | n ∞ ∞ ∞ f. X 6 ( z) = ∑ n = −∞ a n u (n + 2).z − n = ∑ n = −2 a n z − n = a − 2 z 2 + a −1 z + ∑a n=0 n z −n 2 z z z z3 X 6 ( z ) = a − 2 z 2 + a −1 z + X 4 ( z ) = + + = 2 a2 a ( z − a) a ( z − a) Theo [2.1-14] và [2.1-16], xác định được dãy không nhân quả vô hạn a n u (n + 2) với n ∈ [ − 2 , ∞ ) có ZT với RC[ X 6 ( z )] :| a | < | z | < ∞ ∞ 0 ∞ h. X 8 ( z) = ∑a n = −∞ n z −n = − a 0 z −0 + ∑a n = −∞ n z −n + ∑a n=0 n z −n = − 1 + X 5 ( z) + X 4 ( z) Sử dụng kết quả của các câu d và e , dãy không nhân quả vô hạn x8 ( n) = a n có ZT với R x + = R x − = | a | , nên nó không có biến đổi Z . Miền hội tụ của biến đổi Z được tổng kết ở bảng 2.1 trang 114. 2.1.1d Hàm X(z) dạng phân thức hữu tỷ Vì biến đổi Z là chuỗi lũy thừa của z nên có thể biến đổi hàm X(z) về dạng phân thức hữu tỷ : B( z ) A.(b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + ... + bM z − M ) X ( z ) = A. = [2.1-19] D( z ) (1 + a1 z −1 + a 2 z − 2 + ... + a N z − N ) B( z ) A(b0 z M + b1 z M −1 + ... + bM −1 z + bM ).z ( N − M ) Hoặc : X ( z ) = A. = [2.1-20] D( z ) ( z N + a1 z N −1 + ... + a N −1 z + a N ) Trong đó A và các hệ số ar , bk là các hằng số thực. Phương trình B(z) = 0 có M nghiệm là z0kvà tại z = z0k thì X(z) = 0, nên các điểm z0k được gọi là không điểm của hàm X(z). Đa thức ở mẫu D(z) có hệ số a0 = 1 được gọi là đa thức đặc trưng của X(z). Phương trình đặc trưng D(z) = 0 có N nghiệm là zpr và tại z = zpr thì X(z) = ∞, do đó các điểm zpr được gọi là cực điểm của X(z). Ngoài ra, phụ thuộc vào quan hệ giữa N và M, hàm X(z) còn có 71
thể có một không điểm hoặc cực điểm tại z = 0. Trên mặt phẳng phức, các không điểm z0k của hàm X(z) được ký hiệu bằng dấu khuyên tròn nhỏ “ o “ còn các cực điểm zpr được ký hiệu bằng dấu gạch chéo Hình 2.2 : Không và cực của X(z). nhỏ “ x “ như trên hình 2.2. Theo các không điểm z0k và cực điểm zpr của X(z), có thể đưa phân thức hữu tỷ [2.1-20] về dạng : B( z ) A( z − z 01 )( z − z 02 )...( z − z 0 M ).z ( N − M ) X ( z ) = A. = [2.1-21] D( z ) ( z − z p1 )( z − z p 2 )...( z − z pN ) Các cực điểm zpr của hàm X(z) có ý nghĩa rất quan trọng đối với việc phân tích hệ xử lý số trong miền Z. 2.1.2 Biến đổi Z ngược Nếu biến đổi Z thuận [2.1-1] cho phép tìm hàm ảnh X(z) từ dãy gốc x(n), thì biến đổi Z ngược cho phép tìm dãy gốc x(n) từ hàm ảnh X(z). Để tìm biểu thức của biến đổi Z ngược, xuất phát từ biểu thức của biến đổi Z ∞ thuận [2.1-1] : X ( z) = ∑ x(n) z n =−∞ −n [2.1-22] Nhân cả hai vế của [2.1-22] với thừa số z ( m−1) j 2π , rồi lấy tích phân theo chiều dương trên đường cong kín C nằm trong miền hội tụ của X(z) và bao quanh gốc tọa độ, nhận được : ∞ 1 1 ∫ X ( z ) z ( m−1) dz = ∫ ∑x(n)z −n z ( m −1) dz [2.1-23] j 2π C j 2π C n =−∞ Vì tích phân [2.1-23] lấy trong miềm hội tụ của chuỗi [2.1-22], nên có thể đổi vị trí của dấu tổng và dấu tích phân ở vế phải của [2.1-23] : ∞ 1 1 j 2π ∫ X ( z ) z ( m −1) dz = ∑x(n) j 2π ∫ z n =−∞ ( −n +m −1) dz [2.1-24] C C Theo định lý Cauchy về tích phân theo chiều dương trên đường cong khép kín C bao quanh gốc tọa độ trong mặt phẳng phức có : 1 1 khi k = 0 ∫ j 2π C z ( k −1) dz =  0 khi k ≠ 0 Do đó tất cả các số hạng của chuỗi ở vế phải của [2.1-24] đều bằng không, trừ một số hạng ứng với m = n là bằng x(n) , nên từ [2.1-24] có : 1 x( n) = j 2π C ∫ X ( z ) z ( n −1) dz [2.1-25] Tích phân [2.1-25] chính là biểu thức của phép biến đổi Z ngược, nó được ký hiệu như sau : IZT [ X ( z )] = x(n) [2.1-26] IZT hay : X ( z ) → x( n)  [2.1-27] ( IZT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh : Invertse Z Transform). Tính trực tiếp tích phân [2.1-25] là khá phức tạp, vì thế thường sử dụng các phương pháp gián tiếp để tìm biến đổi Z ngược. Khi ứng dụng biến đổi Z để giải các bài toán phân tích và tổng hợp hệ xử lý số, cần sử dụng biến đổi Z thuận để chuyển dãy x(n) sang miền biến số Z. Sau khi thực hiện những biến đổi cần thiết trong miền Z, cần sử dụng biến đổi Z ngược để nhận được kết quả trong miền thời gian. 72