BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI:
HỆ THỐNG HÓA CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC LƢỢNG TỬ
TRONG VIỆC GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER
ỨNG VỚI CÁC TRƢỜNG THẾ NĂNG KHÁC NHAU
SVTH: Huỳnh Trúc Nhƣ
GVHD: TS. Lƣơng Lê Hải
Thành phố Hồ Chí Minh - 2018
Mục lục
Lời cảm ơn 2
Phần mở đầu 3
I Cơ sở của phương pháp Nikiforov–Uvarov 6
Kết luận chương I 10
II Giải phương trình Schr¨odinger cho các hố thế năng khác nhau 11
1 Hạt trong hố thế năng sâu vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Hàng rào thế - Hiệu ứng đường ngầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Dao động tử điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Thế năng Woods–Saxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5 Thế năng Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6 Thế năng P¨oschl–Teller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7 Thế năng Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8 Thế năng Hulthen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9 Thế năng Kratzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
10 Dao động giả điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Kết luận chương II 73
III Kết luận 74
IV Tài liệu tham khảo 76
Phụ chú 77
Lời cảm ơn
Để luận văn đạt kết quả tốt đẹp, trong suốt quá trình thực hiện em đã nhận được
nhiều sự quan tâm, động viên, giúp đỡ của quý thầy cô, gia đình và bạn bè.
Với tấm lòng sâu sắc đó, cho em xin được bày tỏ lòng biết ơn của mình đến:
Trước hết là thầy, TS. Lương Lê Hải, người đã định hướng, chỉ dạy em trong suốt
quá trình thực hiện luận văn. Hơn hết, thầy là người đã truyền cho em sự tự tin và niềm
đam mê, đồng thời thầy luôn là người trực tiếp hướng dẫn em ngay từ những ngày đầu.
Thứ hai, đó là quý thầy, cô trong khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Tp.HCM
đã truyền đạt cho em những kiến thức, kĩ năng và phương pháp sư phạm nền tảng cho
tương lai nghề nghiệp. Đặc biệt, TS. Cao Anh Tuấn trưởng khoa Vật lý, đã tạo điều
kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt luận văn.
Bên cạnh, là những người quan tâm em, luôn giúp đỡ em thật nhiều trong suốt bốn
năm đại học, nhất là thời gian em làm khóa luận.
Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn.
Tp.HCM, ngày 01 tháng 04 năm 2018
Huỳnh Trúc Như
Phần mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình Schr¨odinger là phương trình động lực học cơ bản dùng để mô tả các
tính chất của hệ cơ học lượng tử, tương tự như phương trình của định luật II Newton
trong cơ học cổ điển. Đối với một hệ cổ điển, thông qua việc giải phương trình II Newton
ta có thể biết được tính chất chuyển động của một vật hoặc một hệ vật bất kì. Tuy
nhiên, hạn chế của phương trình định luật II Newton chỉ dùng để mô tả chuyển động
của những vật có kích thước và khối lượng đáng kể (vật lý vĩ mô). Do vậy, khi nghiên
cứu đến tính chất của những vật có kích thước vi mô, điển hình là nghiên cứu chuyển
động của hạt electron (các hạt cơ bản), ta không thể dùng phương trình II Newton để
mô tả mà phải thông qua việc giải phương trình Schr¨odinger để tìm được hàm sóng
(nghiệm của phương trình) cũng như là giá trị năng lượng (trị riêng), từ đó ta sẽ khảo
được các tính chất của hệ đang xét hay tìm ra những tính chất mới. Chính vì vậy mà
việc giải phương trình Schr¨odinger cho đến nay là điều cần thiết và quan trọng [1].
Dựa trên những kiến thức cơ bản trong việc giải phương trình Schr¨odinger với các
hố thế cơ bản như: hố thế sâu vô hạn, hữu hạn hay hạt chuyển động qua hàng rào thế
mà ta có thể xây dựng phương trình Schr¨odinger cho những hố thế phức tạp hơn. Ví
dụ khi xét hạt chuyển động trong trường xuyên tâm, hay khi nghiên cứu đến sự tương
tác giữa neutron với hạt nhân, tán xạ của nguyên tử trên phân tử gồm hai nguyên tử...
Tuy nhiên, ở chương trình đại học, sinh viên lại chưa có cơ hội nhiều để tiếp xúc với các
dạng hố thế này. Do đó, đề tài luận văn mục đích là hệ thống lại việc giải phương trình
Schr¨odinger cho các hố thế các nhau, ngoài những hố thế đã được học ở chương trình
đại học, luận văn sẽ đưa vào những dạng hố thế khác là: Woods–Saxon [5],[12], Morse
[6],[12], P¨oschl–Teller [7],[12], Coulomb [8], Hulthen [9], Kratze [9] và dao động giả điều
hòa [10]. Với mục đích là sẽ đưa đến nhiều dạng hố thế khác nhau đến gần hơn với sinh
viên, như một tài liệu tham khảo bổ ích.
Mặt khác, một vấn đề luôn được quan tâm trong việc giải phương trình Schr¨odinger
chính là phương pháp giải. Ở chương trình đại học, đối với hố thế sâu vô hạn và hàng
rào thế, bài toán được giải bằng cách giải phương trình vi phân cấp hai. Riêng đối
với mô hình dao động tử điều hòa, hai phương pháp được sử dụng là giải tích và áp
dụng toán tử sinh hủy. Tuy nhiên, phương pháp giải tích khi áp dụng cho một số hố
thế khác lại gặp khó khăn trong việc tính toán, hoặc một số phương pháp khác thì chỉ
cho nghiệm gần đúng. Do đó, việc lựa chọn phương pháp phù hợp để giải phương trình
Schr¨odinger cho các hố thế khác nhau là điều cần thiết. Có nhiều phương pháp giải khác
nhau được đưa ra, sẽ cho nghiệm gần đúng hoặc chính xác. Trong số đó, phương pháp
Nikiforov–Uvarov [3] cho nghiệm gần như là chính xác với nhiều hố thế khác nhau, có
hố thế nghiệm là chính xác ứng với mọi mức lượng tử, nhưng cũng có hố thế chỉ cho
nghiệm chính xác ứng với trạng thái cơ bản. Nhưng nhìn chung, phương pháp này lại
đơn giản hóa trong việc tính toán và giải phương trình Schr¨odinger đối với nhiều hố
thế phức tạp. Vì nếu xét kĩ, khi áp dụng phương pháp này, người giải chỉ cần thực hiện
tuần tự những bước làm theo một hệ thống nhất định, quan trọng chỉ cần đổi biến số
từ đầu cho phù hợp và chọn nghiệm sao cho thỏa mãn tính chất vật lý của hàm sóng.
Hơn hết, phương pháp này đã được áp dụng rất nhiều trong những bài toán phức tạp.
Chính vì vậy, đề tài luận văn sẽ đưa vào phương pháp Nikiforov–Uvarov để giải và hệ
thống lại các bài toán cơ học lượng tử trong việc giải phương trình Schr¨odinger ứng với
các hố thế khác nhau. Bên cạnh việc giải để tìm nghiệm (hàm sóng) và trị riêng năng
lượng dưới dạng những biểu thức toán học, trong luận văn cũng sẽ trình bày hình vẽ
minh họa cho các kết quả tính được trên phần mền Maple.
2. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu
Luận văn chủ yếu hệ thống lại một số hố thế năng khác năng khác nhau thông qua
việc giải phương trình Schr¨odinger bằng phương pháp Nikiforov–Uvarov. Các bài toán
được sắp xếp theo thứ tự của các hố thế năng từ đơn giản đến phức tạp. Bên cạnh đó,
luận văn cũng sử dụng phần mềm Maple để giải các bài toán về tán xạ.