CHÖÔNG MOÄT
KHOÂNG GIAN VECTÔ
Ta thöôøng kyù hieäu
KHOÂNG GIAN ÑÒNH CHUAÅN
∑ — : taäp hôïp caùc soá thöïc .
∑ ¬ : taäp hôïp caùc soá phöùc .
gth1
gth1
1
2
∑ : moät trong hai taäp hôïp — vaø ¬ .
Thí duï 1 . Cho n laø moät soá nguyeân döông vaø ñaët
Ñònh nghóa . Cho E laø moät taäp khaùc troáng . Ta noùi E laø moät khoâng gian vectô treân , neáu coù noäi luaät + : E μ E Ø E
vaø E = { x = (x1 , . . . , xn) : x1 , . . . , xn œ — }
ngoaïi luaät . : μ E Ø E coù caùc tính chaát sau noäi luaät + : E μ E Ø E
(x1 , . . . , xn) + (y1 , . . . , yn) = (x1 +y1, . . . , xn +yn)
vaø
ngoaïi luaät . : — μ E Ø E
t. (x1 , . . . , xn) = (t x1 , . . . , t xn) (i) Luaät + coù tính giao hoaùn , phoái hôïp, coù phaàn töû trung hoaø 0, vaø vôùi moïi x trong E \ {0} coù moät phaàn töû ñoái kyù hieäu laø -x , nghóa laø (E, +) laø moät nhoùm coäng giao hoaùn. (ii) Ngoaïi luaät . phoái hôïp vôùi noäi luaät + trong E vaø caùc noäi luaät trong , nghóa laø vôùi moïi x vaø y trong E ; t vaø s trong ta coù
Luùc ñoù E laø moät khoâng gian vectô treân — . t.(x + y) = t.x + t.y ,
gth1
gth1
3
4
Ta thöôøng duøng —n ñeå kyù hieäu khoâng gian vectô naøy . (t+s).x = t.x + s.x ,
(t.s).x = t.(s.x) . (iii) 1.x = x.
Thí duï 2 . Cho n laø moät soá nguyeân döông vaø ñaët Thí duï 3 . Cho E laø taäp hôïp taát caû caùc ña thöùc thöïc treân moät khoaûng ñoùng [a , b] .
E = { x = (x1 , . . . , xn) : x1 , . . . , xn œ ¬ }
noäi luaät + : E μ E Ø E
" t œ [a , b] . (x1 , . . . , xn) + (y1 , . . . , yn) = (x1 +y1, . . . , xn +yn) nghóa laø f œ E neáu vaø chæ neáu coù moät soá nguyeân döông k vaø k +1 soá thöïc a0 , a1 , . . . , ak sao cho f (t) = a0 + a1 t + . . . + ak tk noäi luaät + : E μ E Ø E vaø
(f + g ) (t) = f(t) + g(t) " t œ [a , b] ngoaïi luaät . : ¬ μ E Ø E
gth1
gth1
5
6
vaø ngoaïi luaät . : — μ E Ø E z. (x1 , . . . , xn) = (z x1 , . . . , z xn) (s. f)(t) = sf (t) " t œ [a , b] Luùc ñoù E laø moät khoâng gian vectô treân ¬ . Luùc ñoù E laø moät khoâng gian vectô treân — . Ta thöôøng duøng ¬ n ñeå kyù hieäu khoâng gian vectô naøy . Ta thöôøng duøng P([a , b] ,—) ñeå kyù hieäu khoâng gian vectô naøy .
Thí duï 4 . Cho E laø taäp hôïp taát caû caùc ña thöùc thöïc baäc nhoû hôn hay baèng N treân moät khoaûng ñoùng [a , b] . Thí duï 4 . Cho E laø taäp hôïp taát caû caùc haøm soá thöïc lieân tuïc treân moät khoaûng ñoùng [a , b] .
noäi luaät + : E μ E Ø E nghóa laø f œ E neáu vaø chæ neáu coù N +1 soá thöïc a0 , a1 , . . . , aN sao cho " t œ [a , b] . f (t) = a0 + a1 t + . . . + aN tN (f + g ) (t) = f(t) + g(t) " t œ [a , b]
noäi luaät + : E μ E Ø E vaø ngoaïi luaät . : — μ E Ø E
(f + g ) (t) = f(t) + g(t) " t œ [a , b] (s. f)(t) = sf (t) " t œ [a , b]
vaø ngoaïi luaät . : — μ E Ø E
Luùc ñoù E laø moät khoâng gian vectô treân — . (s. f)(t) = sf (t) " t œ [a , b]
Ta thöôøng duøng C([a , b] ,—) ñeå kyù hieäu khoâng gian vectô naøy .
gth1
gth1
7
8
Luùc ñoù E laø moät khoâng gian vectô treân — . Ta thöôøng duøng PN([a , b] ,—) ñeå kyù hieäu khoâng gian vectô naøy .
Ñònh nghóa . Cho E laø moät khoâng gian vectô F vaø A laø moät taäp hôïp con cuûa E . Ta noùi :
neáu vôùi moïi
† Neáu A laø moät cô sôû cuûa E vaø A coù höõu haïn phaàn töû , ta noùi E laø moät khoâng gian vectô höõu haïn chieàu vaø soá phaàn töû cuûa A ñöôïc goïi laø soá chieàu cuûa E vaø ñöôïc kyù hieäu laø dim (E ) .
† A laø moät taäp ñoäc laäp tuyeán tính taäp con höõu haïn {a1, . . . , an} caùc phaàn töû khaùc nhau trong A vaø . . . , an} trong F sao cho a1 a1 vôùi moïi hoï con höõu haïn {a1, + . . . + an an = 0 thì
† Neáu A laø moät cô sôû cuûa E vaø A coù voâ haïn phaàn töû , ta noùi E laø moät khoâng gian vectô voâ haïn chieàu vaø vieát dim (E ) = ¶ .
a1 = . . . = an = 0 . † A laø moät taäp sinh cuûa E neáu
E = {a1 a1 + . . .+ an an : a1, . . . , anœ A ; a1, . . . ,an œ F}.
gth1
9
gth1
10
† A laø moät cô sôû cuûa E neáu A laø moät taäp ñoäc laäp tuyeán tính vaø taäp sinh cuûa E.
Thí duï 1 . Cho x = (x1 , . . . , xn) trong —n . Ñaët
Ñònh nghóa . Cho E laø moät khoâng gian vectô treân F, cho || || laø moät aùnh xaï töø E vaøo —, ta noùi || || laø chuaån treân E , neáu || || coù caùc tính chaát sau: || x ||1 = | x1| + . . . + | xn|
(i) || x || ¥ 0 " x œ E , vaø || x || = 0 neáu vaø chæ neáu x = 0 .
|| x ||2 = ( | x1| 2 + . . . + | xn|2 )1/2 (ii) || tx || = |t| || x || " x œ E , t œ F .
(iii) || x + y || || x || + || y || " x , y œ E .
|| x ||¶ = max{ | x1| , . . . , | xn| }
Neáu || || laø moät chuaån treân E , ta noùi (E, || ||) laø moät khoâng gian vectô ñònh chuaån , hoaëc moät khoâng gian ñònh chuaån . Neáu khoâng coù gì ñeå sôï laàm laån , ta ghi E theá cho (E, || ||) .
gth1
11
gth1
12
Luùc ñoù || ||1 , || ||2 vaø || ||¶ laø caùc chuaån treân —n .
Ñònh nghóa . Cho E laø moät taäp hôïp khaùc troáng vaø f laø moät aùnh xaï töø taäp hôïp caùc soá nguyeân döông Õ vaøo E. Ñaët Thí duï 2 . Cho C([0,1], —) laø hoï taát caû caùc haøm soá lieân tuïc töø khoaõng [0 , 1] vaøo —. n œ Õ. xn = f(n) C([0,1], —) laø moät khoâng gian vectô vôùi caùc luaät coäng vaø nhaân
Ta goïi {xn} laø moät daõy trong E cuûa caùc haøm soá thöïc.
laø moät khoâng gian ñònh chuaån Ta ñaët
|| f || = sup { | f(t) | : t [0 , 1 ] } Ñònh nghóa . Cho (E,||.||) (treân ) vaø f laø moät aùnh xaï töø taäp hôïp caùc soá nguyeân döông Õ vaøo E. Ñaët
f C([0,1], —) n œ Õ. xn = f(n)
Ta goïi {xn} laø moät daõy trong khoâng gian ñònh chuaån E
gth1
13
gth1
14
Luùc ñoù (C([0,1], —) , ||.||) laø moät khoâng gian ñònh chuaån Thí duï 1. {sin(n3 + 2n)} laø moät daõy trong khoaõng ñoùng [-1 , 1]
2
n
1
t
t
1 2
1 tn !
Ta seõ cho moät thí duï veà moät daõy { un } trong C([0,1], —) Thí duï 2 . Cho C([0,1], —) laø hoï taát caû caùc haøm soá lieân tuïc töø khoaõng [0 , 1] vaøo —. Ñaët C([0,1], —) laø moät khoâng gian vectô vôùi caùc luaät coäng vaø nhaân un(t) cuûa caùc haøm soá thöïc.
t [0 , 1] n Õ Ta ñaët
Luùc ñoù un laø moät haøm soá lieân tuïc töø [0,1] vaøo — . || f || = sup { | f(t) | : t [0 , 1 ] }
f C([0,1], —) Vaäy { un } laø moät daõy trong C([0,1], —)
Luùc ñoù (C([0,1], —) , ||.||) laø moät khoâng gian ñònh chuaån
gth1
15
gth1
16
Ta seõ cho moät thí duï veà moät daõy { un } trong C([0,1], —)
Ñaët Cho { xn } laø moät daõy trong moät khoâng gian ñònh chuaån (E ,||.|| ) vaø moät phaàn töû a trong E . a (t) = t t [0 , 1]
Ta noùi daõy { xn } hoäi tuï veà a neáu vaø chæ neáu
> 0 N() Õ sao cho xn (t) = t + sin(n-1t) n Õ t [0 , 1] Chöùng minh {xn } hoäi tuï veà a trong (C([0,1], ||.||)
- a || < n > N() Chöùng minh > 0 N() Õ sao cho || xn
- a || < n > N() || xn
Cho tröôùc moät soá thöïc döông , tìm moät soá nguyeân döông N() sao cho
gth1
17
gth1
18
- a || < n > N() || xn
Cho tröôùc moät soá thöïc döông , tìm moät soá nguyeân döông N() sao cho Cho tröôùc moät soá thöïc döông , tìm moät soá nguyeân döông N() sao cho
n > N() , t [0 , 1] - a || < n > N() |xn (t) - a(t) | < a (t) = t t [0 , 1] || xn ( || f || = sup { | f(t) | : t [0 , 1 ] } ) n Õ t [0 , 1] xn (t) = t + sin(n-1t) sup { |xn (t) - a(t) | : t [0 , 1 ] } < |t + sin(n-1t) - t | < n > N() t [0 , 1] n > N() | sin(n-1t) | < n > N() t [0 , 1]
|xn (t) - a(t) | < ( n-1 n-1t | sin(n-1t) | t [0 , 1] )
gth1
19
gth1
20
n > N() t [0 , 1] n > N() t [0 , 1] n-1 <
Cho E laø moät taäp hôïp khaùc troáng ,
Ñònh nghóa . Cho g laø moät aùnh xaï töø taäp hôïp caùc soá nguyeân döông Õ vaøo Õ . Ñaët g laø moät aùnh xaï töø Õ vaøo Õ vaø
k Õ. nk = g(k) f laø moät aùnh xaï töø Õ vaøo E.
ta thöôøng kyù hieäu caùc soá Ta duøng {nk } thay cho {xn } vì Ñaët nguyeân döông laø n n œ Õ.
Ta thaáy {nk } laø moät daõy trong Õ n œ Õ. xn = f(n) bn = fog(n)
Ta thaáy fog cuõng laø moät aùnh xaï töø Õ vaøo E .
gth1
21
gth1
22
nx
Vaäy {xn} vaø {bn} laø caùc daõy trong E
k
Neáu g(n) = 2n ta kyù hieäu laø x2n
Cho { xn } laø moät daõy trong moät khoâng gian ñònh chuaån (E ,||.|| ) vaø moät phaàn töû a trong E . Ta noùi daõy { xn } hoäi tuï veà a neáu vaø chæ neáu
nx
k
> 0 N() Õ sao cho Neáu g(n) = 2n+1 ta kyù hieäu laø x2n+1
- a || < n > N() || xn
nx
k
Cho E laø moät taäp hôïp khaùc troáng , g laø moät aùnh xaï töø Õ vaøo Õ Neáu g(n) = 5n+3 ta kyù hieäu laø x5n+3
vaø f laø moät aùnh xaï töø Õ vaøo E. Ñaët
n œ Õ.
nx
n œ Õ. xn = f(n) bn = fog(n)
k
gth1
23
gth1
24
Ta noùi {bn} laø moät daõy con cuûa {xn} neáu g taêng nghieâm caùch. Luùc ñoù ta kyù hieäu bn =
( bn = fog(n) = bn = f (g(n) ) = f(nk ) )
Cho { xn } laø moät daõy hoäi tuï veà a trong moät khoâng gian ñònh chuaån (E ,||.|| ) . Chöùng minh { xn } laø moät daõy Cauchy . Cho { xn } laø moät daõy trong moät khoâng gian ñònh chuaån (E ,||.|| ) > 0 N() Õ sao cho
- a || < n > N() || xn Ta noùi daõy { xn } laø moät daõy Cauchy neáu vaø chæ neáu > 0 N() Õ sao cho > 0 N() Õ sao cho
n > m > N() || xn - xm || < n > m > N() || xn
- xm || < ’ > 0 M(’) Õ sao cho
gth1
25
gth1
26
n > m > M(’) || xn - xm || < ’
Cho moät > 0 ta coù N() Õ sao cho
- a || < n > N() || xn Cho { xn } laø moät daõy hoäi tuï veà a trong moät khoâng gian ñònh chuaån (E ,||.|| ) . Chöùng minh { xn } laø moät daõy Cauchy . > 0 N() Õ sao cho Cho moät ’ > 0 tìm M(’) Õ sao cho - a || < n > N() || xn n > m > M(’) || xn - xm || < ’ ’ > 0 M(’) Õ sao cho
|| xn - xm || § || xn - a || + || a - xm || n > m > M(’) || xn - xm || < ’
n , m > N() Cho moät > 0 ta coù N() Õ sao cho || xn - xm || § +
- a || < n > N() || xn
Cho moät ’ > 0 tìm M(’) Õ sao cho
gth1
27
gth1
28
n > m > M(’) || xn - xm || < ’
Cho moät > 0 ta coù N() Õ sao cho Cho E laø taäp hôïp taát caû caùc ña thöùc vôùi heä soá thöïc
- a || < n > N() || xn
Cho moät ’ > 0 tìm M(’) Õ sao cho
n > m > M(’) || xn Cho f (t) = a0 + a1t + . . . + amtm . Ñaët || f || = max { | a0 | , | a1 | , . . . , | am | } Luùc ñoù (E , ||.||) laø moät khoâng gian ñònh chuaån.
- xm || < ’ - xm || § || xn || xn - a || + || a - xm || Ñaët un (t) = t + 2-1 t 2 + . . . + n -1 t n
n , m > N() || xn - xm || § +
+ V ’ M(’) V N()
Ta thaáy {un } laø moät daõy trong E Ta seõ chöùng minh {un } laø moät daõy Cauchy trong E . Nhöng khoâng coù v trong E sao cho {un } hoäi tuï veà v . Cho moät ’ > 0 , ta choïn = (cid:0) ’ vaø
gth1
29
gth1
30
M(’) = N() . Ta coù - xm || § || xn || xn - a || + || a - xm ||
§ + = ’ n > m > M(’)
Cho moät > 0 , tìm N() Õ sao cho > 0 N() Õ sao cho
n > m > N() n > m > N() || un || un - um || < - um || <
Chöùng minh khoâng coù v trong E sao cho {un } hoäi tuï veà v Cho v trong E . Chöùng minh {un } khoâng hoäi tuï veà v > 0 N() Õ sao cho
|| u || = max { | a0 | , | a1 | , . . . , | ak | } neáu u (t) = a0 + a1t + . . . + aktk - v || > n > N() || un
> 0 sao cho N Õ, n > N
un (t) = t + 2-1 t 2 + . . . + n -1 t n u( t ) = un (t) - um (t) = (m+1)-1 t 2 + . . . + n -1 t n - v || > || un
n > m Tìm > 0 sao cho vôùi moïi N Õ ta tìm ñöôïc moät n > N - um || = (m+1)-1
gth1
31
gth1
32
|| un Cho moät > 0 , tìm N() Õ sao cho - v || > || un
|| un - um || = (m+1)-1 < n > m > N() Suy ra ta caàn choïn N() sao cho N()-1 < Vaäy {un } laø moät daõy Cauchy trong E .
- v || > laø n vectô trong moät khoâng gian ñònh
a1 , a2 , . . . , an Cho chuaån ( E , ||.||) . Ta ñaët
a1 + a2 + a3 = (a1 + a2 ) + a3
a1 + a2 + . . . + an = (a1 + a2 + . . . + an-1) + an
Cho {an } laø moät daõy trong moät khoâng gian ñònh chuaån ( E , ||.||) . Ta ñaët neáu n > k sn = a1 + a2 + . . . + an n Õ Tìm > 0 sao cho vôùi moïi N Õ ta tìm ñöôïc moät n > N ñeå cho || un || u || = max { | a0 | , | a1 | , . . . , | an | } neáu u (t) = a0 + a1t + . . . + amtm un (t) = t + 2-1 t 2 + . . . + n -1 t n v (t) = b0 + b1t + . . . + bkt k u (t) = un (t) - v (t) = - b0 + (1 – b1)t + . . . + + (k -1- bk )t k + (k+1)-1 t k+1 + . . . + n -1 t n || u || = max{ | b0 | , | 1 - b1 | , . . . , | k -1 - bk | , (k+1)-1, . . . , n -1 }
neáu n > k
an
1 n
gth1
33
gth1
34
Luùc ñoù {sn } laø moät daõy trong E . Neáu daõy naøy hoäi tuï veà s , ta noùi s laø giôùi haïn cuûa chuoãi (vectô) - v || neáu n > k
(k+1)-1 (k+1)-1 § || un Choïn = (k+2 )-1 . Ta coù keát quaû
x i
0
i
x i
Chöùng minh chuoãi hoäi tuï veà s trong C([0,1], — )
i
0
n Ñaët sn
Cho C([0,1], —) laø hoï taát caû caùc haøm soá lieân tuïc töø khoaõng [0 , 1] vaøo —.
2
n
Ta coù Ta ñaët
1
t
t
t
1 2
1 n
!
|| f || = sup { | f(t) | : t [0 , 1 ] } sn(t)
f C([0,1], —) t [ 0 ,1] , n Õ
Luùc ñoù (C([0,1], —) , ||.||) laø moät khoâng gian ñònh chuaån . Ñaët trong C([0,1], — ) Chöùng minh {sn} hoäi tuï veà s
nt!
xn (t) t [ 0 ,1] , n œ Ù > 0 N() Õ sao cho
1 n Luùc ñoù {xn} laø moät daõy trong C([0,1], — ) .
n > N() || sn - s || <
x n
1 n
gth1
35
gth1
36
Chöùng minh chuoãi hoäi tuï veà s trong C([0,1], — ) ,
n > N() vôùi s(t) = et t [ 0 ,1] Cho tröôùc moät soá thöïc döông , tìm moät soá nguyeân döông N() sao cho || sn - s || <
n > N() Cho tröôùc moät soá thöïc döông , tìm moät soá nguyeân döông N() sao cho Cho tröôùc moät soá thöïc döông , tìm moät soá nguyeân döông N() sao cho || sn - s || < || f || = sup { | f(t) | : t [0 , 1 ] } f C([0,1], — )
2
n
1
t
t
1 2
1 tn !
i n
n > N() , t [0 , 1 ] sn(t)
i
n
1 1 i
it! 1 | | < 1i i n it! it! i n
1 1 i
1 1 i !
| | = t [0 , 1 ] t [ 0 ,1] , n Õ
i
i n
1 | | < 1 i !
it! 1 s(t) = et = 0 i i
n
1 1 i
Ñeå yù < i
1 0 i !
i n
it!
1 1 i
t [ 0 ,1] n > N()
it! f(t) = sn(t) - s(t) = Cho tröôùc moät soá thöïc döông , tìm moät soá nguyeân döông N() sao cho it! 1 | | < 1 i
gth1
37
gth1
38
n > N() , t [0 , 1 ] sup {| | : t [0 , 1 ] } < n > N() i n
Cho E laø taäp hôïp taát caû caùc ña thöùc vôùi heä soá thöïc. Cho {an } laø moät daõy trong moät khoâng gian ñònh chuaån ( E , ||.||) . Ta ñaët
sn = a1 + a2 + . . . + an n Õ Cho u (t) = a0 + a1t + . . . + amtm . Ñaët || u || = max { | a0 | , | a1 | , . . . , | an | }
a n
1 n
laø moät chuoãi Cauchy Luùc ñoù {sn } laø moät daõy trong E . Neáu daõy {sn } laø moät daõy 1 Cauchy trong E , ta noùi chuoãi n
0 n
Töông töï nhö daõy , moät chuoãi hoäi tuï trong E seõ laø moät chuoãi Cauchy trong E .
i
x n
0
1 0 i
n
Luùc ñoù (E , ||.||) laø moät khoâng gian ñònh chuaån. nt! xn (t) t [ 0 ,1] , n œ Ù Ta thaáy {xn } laø moät daõy trong E . x n Töông töï nhö trong phaàn daõy, ta chöùng minh ñöôïc chuoãi laø moät chuoãi Cauchy trong E nhöng khoâng hoäi tuï trong E .
it! Löu yù . Chuoãi chính laø chuoãi vaø ñaõ ñöôïc chöùng minh hoäi tuï veà s(t) = et trong khoâng gian ñònh chuaån C([0,1], — ) ôû ñoaïn beân treân.
gth1
39
gth1
40
Cho B laø moät taäp con khaùc troáng trong moät khoâng gian ñònh chuaån (E, ||.||) . Cho a laø moät phaàn töû trong E .
Ñònh nghóa. Cho (E, ||.||) laø moät khoâng gian ñònh chuaån (treân ). Vôùi moïi a trong E vaø vôùi moïi soá thöïc döông r ta ñaët B(a,r) = { x E : || x – a || < r }
Ta goïi B(a,r) laø quaû caàu môû taâm a baùn kính r trong (E, ||.||) . Giaû söû coù moät daõy {xn} trong B sao cho {xn} hoäi tuï veà a . Chöùng minh
B(a , r) … B ∫ « " r > 0 .
Cho { xn } laø moät daõy trong moät khoâng gian ñònh chuaån (E ,||.|| ) vaø moät phaàn töû a trong E . Ta noùi daõy { xn } hoäi tuï veà a neáu vaø chæ neáu
> 0 N() Õ sao cho - a || < n > N() Coù moät daõy {xn} trong B sao cho > 0 N() Õ ñeå cho || xn
- a || < n > N() || xn " r > 0 B(a , r) … B ∫ « > 0 N() Õ sao cho
gth1
41
gth1
42
n > N() xn B(a , ) - a || <
Coù moät daõy {xn} trong B sao cho vôùi moåi soá thöïc döông , ta n > coù moät soá nguyeân N() ñeå cho || xn N()Cho moät r > 0 , tìm moät xr œ B(a , r) … B
Coù moät daõy {xn} trong B sao cho vôùi moåi soá thöïc döông , ta coù moät soá nguyeân N() sao cho Coù moät daõy {xn} trong B sao cho vôùi moåi soá thöïc döông , ta coù moät soá nguyeân N() sao cho
n > N() xn œ B(a , ) - a || < n > N() || xn
Cho moät r > 0 , tìm moät xr œ B(a , r) … B
Cho moät r > 0 , tìm moät yr œ B(a , r) … B W r xn W yr
Cho moät r > 0 . Choïn = r Coù moät daõy {xn} trong B sao cho vôùi moåi soá thöïc döông , ta coù moät soá nguyeân N() sao cho
n > N() || xn Xeùt n = N() +1 vaø xn Ñaët yr = xn - a || < Cho moät r > 0 , tìm moät yr œ B(a , r) … B
gth1
43
gth1
44
Ta coù yr = xn œ B(a , ) … B = B(a , r) … B
Cho B laø moät taäp con khaùc troáng trong moät khoâng gian ñònh chuaån (E, ||.||) . Cho a laø moät phaàn töû trong E . Cho moät daõy {xn} trong moät khoâng gian ñònh chuaån (E ,||.||) vaø moät ñieåm a trong E sao cho
" n œ Õ . Giaû söû B(a , r) … B ∫ « " r > 0 . || xn – a || < n-1
Chöùng minh daõy {xn} hoäi tuï veà a trong E . Chöùng minh coù moät daõy {xn} trong B sao cho {xn} hoäi tuï veà a .
" r > 0 B(a , r) … B ∫ « " n œ Õ || xn – a || < n-1
Vôùi moãi soá thöïc döông , ta tìm moät soá nguyeân N() sao cho Cho moät r > 0 , ta coù moät yr œ B(a , r) … B
||xm - a || <
gth1
45
gth1
46
m > N() V m-1 < V m > -1 - a || < n > N() Tìm moät daõy {xn} trong B sao cho > 0 N() Õ sao cho || xn || xm – a || < m-1 < Vôùi moãi soá thöïc döông , ta tìm moät soá nguyeân N() sao cho trong B vôùi || yr – a || < r N() > -1 .
" n œ Õ Luùc ñoù m > N() Cho moät r > 0 , ta coù moät yr Tìm moät daõy {xn} trong B sao cho || xn – a || < n-1 ||xm - a || <
Cho a vaø b laø hai soá thöïc sao cho a < b . Ñaët trong B vôùi Cho moät r > 0 , ta coù moät yr c = (cid:0) (a + b) vaø r = (cid:0)(b - a) || yr – a || < r ( a , b ) = B(c,r) Tìm moät daõy {xn} trong B sao cho ôû ñaây B(c,r) laø quaû caàu taâm c baùn kính r trong ( —, |.|) . " n œ Õ || xn – a || < n-1
r V n-1 yr V xn Ñònh nghóa. Cho (E , ||.||) laø moät khoâng gian ñònh chuaån vaø A laø moät taäp con cuûa E , ta noùi
{
(
,
A laø moät taäp môû trong (E , ||.||) neáu coù moät hoï caùc quaû caàu môû Cho moät soá nguyeân n , ta ñaët
} )
i raB i
Ii
)
,
r = n-1 xn = yr
A =
,
rxB ( x Ex
gth1
47
gth1
48
)
,
trong (E , ||.||) ñeå cho i raB ( i Ii ) E = vôùi rx = 1 " x œ E Ta coù xn = yr œ B vaø || xn – a || = || yr – a || < r = n-1
rxB ( x
x
« = vôùi rx = 1 " x œ «
laø moät khoâng gian ñònh chuaån
Ñònh nghóa. Cho (E, ||.||) (treân ). Cho x trong E vaø A laø moät taäp con cuûa E . Ta noùi Ñònh nghóa. Cho (E , ||.||) laø moät khoâng gian ñònh chuaån vaø A laø moät taäp con cuûa E , ta noùi
taäp ñoùng trong (E , ||.||) neáu E \ A laø moät taäp x laø moät ñieåm dính cuûa A neáu vaø chæ neáu
A laø moät môû trong (E , ||.||) B(x,r)…A ∫ « " r > 0 « = E \ E : « laø moät taäp ñoùng trong E Cho (E, ||.||) = (—, |.|) , A = ( 0 , 1] , E = E \ « : E laø moät taäp ñoùng trong E x = -1 vaø y = 0 . (E, ||.||) B(x,1) … A = (-2 , 0) … ( 0 , 1] = «
B(y,r) … A = (- r , r ) … ( 0 , 1] ∫ « " r > 0 Ñònh nghóa. Cho laø moät khoâng gian ñònh chuaån (treân ). Vôùi moïi a trong E vaø vôùi moïi soá thöïc döông r ta ñaët B’(a,r) = { x E : || x – a || r }
gth1
49
gth1
50
Ta goïi B’(a,r) laø quaû caàu ñoùng taâm a baùn kính r trong (E, ||.||). Ta thaáy x vaø y ñeàu khoâng thuoäc A , nhöng x khoâng laø ñieåm dính cuûa A maø y laø moät ñieåm dính cuûa A
Ta goïi B(0,1) vaø B’(0,1) laø caùc quaû caàu ñôn vò môû vaø ñoùng cuûa (E, ||.||).
laø moät khoâng gian ñònh chuaån laø moät khoâng gian ñònh chuaån Ñònh nghóa. Cho (E, ||.||) (treân ). Cho x trong E vaø A laø moät taäp con cuûa E . Ta noùi Ñònh nghóa. Cho (E, ||.||) (treân ). Cho A laø moät taäp con cuûa E . Ta ñaët
A
x laø moät ñieåm trong cuûa A neáu coù moät thöïc döông r sao cho = {x œ E : x laø moät ñieåm dính cuûa A } B(x,r) Õ A
o A
Cho (E, ||.||) = (—, |.|) , A = (-1 , 1] , = {x œ E : x laø moät ñieåm trong cuûa A }
y = 0 vaø z = 1 .
B(y , 1) = ( 1- , 1) Õ A
B(z , r) = ] 1- r , 1 + r [ Ã A " r > 0
z ñeàu thuoäc A , nhöng z khoâng laø ñieåm trong
gth1
51
gth1
52
Ta thaáy y vaø cuûa A maø y laø moät ñieåm trong cuûa A
Cho f(x) = 4x + sin(x5 + 1) – 2 cos (x3 + 4) Chöùng minh phöông trình sau ñaây coù nghieäm Cho (E, ||.||E ) vaø (F, ||.||F ) laø hai khoâng gian ñònh chuaån . Cho A laø moät taäp con cuûa E vaø f laø moät aùnh xaï töø A vaøo F. Cho x laø moät ñieåm cuûa A . Cho {xn} laø moät daõy trong A vaø hoäi tuï veà x . f(x) = 0
Ñeå yù f laø moät haøm soá lieân tuïc töø [ -1 , 1] vaøo — vaø
f(-1) § - 1 < 0 < 1 § f(1) Giaû söû f lieân tuïc taïi x . Chöùng minh {f(xn)} laø moät daõy hoäi tuï veà f(x) . " e > 0 $ d(x,e) > 0 sao cho Suy ra 0 œ f([ -1, 1]) " y œ A || f(y) - f(x) ||F < e
vôùi || y – x ||E < d(x,e)
Cho moät e > 0 ta coù d(x,e) > 0 sao cho
gth1
53
gth1
54
Ñònh nghóa. Cho (E, ||.||E ) vaø (F, ||.||F ) laø hai khoâng gian ñònh laø moät aùnh xaï töø A chuaån . Cho A laø moät taäp con cuûa E vaø f vaøo F. Cho x laø moät ñieåm cuûa A . Ta noùi f lieân tuïc taïi x neáu vaø chæ neáu " y œ A || f(y) - f(x) ||F < e " e > 0 $ d(x,e) > 0 sao cho vôùi || y – x ||E < d(x,e) || f(y) - f(x) ||F < e " y œ A vôùi || y – x ||E < d(x,e)
" e > 0 $ N(e) œ Õ sao cho Cho moät e’ > 0 ta coù moät N(e’) œ Õ sao cho
" n ¥ N(e) . || xn - x ||E < e || xn - x ||E < e’ " n ¥ N(e’) .
" e’ > 0 $ N(e’) œ Õ sao cho Cho moät e > 0 ta coù d(x,e) > 0 sao cho
" y œ A || f(y) - f(x) ||F < e vôùi || y – x ||E < d(x,e)
|| xn - x ||E < e’ " n ¥ N(e’) . Cho moät e’ > 0 ta coù moät N(e’) œ Õ sao cho Cho moät e” > 0 tìm moät M(e”) œ Õ sao cho
|| xn - x ||E < e’ " n ¥ N(e’) .
" e” > 0 $ M(e”) œ Õ sao cho e V e” || xn - x ||E V || y – x ||E N(e’) V M(e”)
|| f(xn) - f(x) ||F < e” " n ¥ M(e”) . || f(xn) - f(x) ||F < e” " n ¥ M(e”) . || xn - x ||E < e’ V || y – x ||E < d(x,e) e’ V d(x,e) y V xn Cho moät e” > 0 . Ñaët
gth1
55
gth1
56
e = e” , e’ = d(x,e) , M(e”) = N(d(x,e) ) Cho moät e” > 0 tìm moät M(e”) œ Õ sao cho
|| f(xn) - f(x) ||F < e” " n ¥ M(e”) . Neáu n ¥ N(d(x,e) ) thì || xn -x ||E < e’. Suy ra || f(xn)- f(x) ||F < e”
Giaû söû vôùi moïi daõy {xn} hoäi tuï veà x trong A, ta coù {f(xn)} hoäi tuï veà f(x) Cho (E, ||.||E ) vaø (F, ||.||F ) laø hai khoâng gian ñònh chuaån . Cho A laø moät taäp con cuûa E vaø f laø moät aùnh xaï töø A vaøo F. Cho x laø moät ñieåm cuûa A .
Chöùng minh f lieân tuïc taïi x .
Cho moät e > 0 ta coù moät N(e) œ Õ sao cho Giaû söû vôùi moïi daõy {xn} hoäi tuï veà x trong A, ta coù {f(xn)} hoäi tuï veà f(x) .
|| xn - x ||E < e " n ¥ N(e) Chöùng minh f lieân tuïc taïi x .
Cho moät e’ > 0 ta coù moät M(e’) œ Õ sao cho fl
|| f(xn) - f(x) ||F < e’ " n ¥ M(e’) .
Cho moät e” > 0 tìm d(x,e”) > 0 sao cho
gth1
57
gth1
58
vôùi || y – x ||E < d(x,e”)
|| f(y) - f(x) ||F < e” " y œ A Coù e” > 0 sao cho vôùi moãi d > 0 ta coù moät yd œ A vôùi || yd – x ||E < d sao cho || f(yd ) - f(x) ||F > e”
Cho moät e > 0 ta coù moät N(e) œ Õ sao cho
" n ¥ N(e) . || xn - x ||E < e Ñònh nghóa. Cho E laø moät khoâng gian ñònh chuaån . Cho A laø moät taäp con cuûa E . Ta noùi A laø moät taäp compaéc neáu vaø chæ neáu moïi daõy trong A ñeàu coù moät daõy con hoäi tuï .
fl Cho moät e’ > 0 ta coù moät M(e’) œ Õ sao cho
|| f(xn) - f(x) ||F < e’ " n ¥ M(e’) . Cho a vaø b laø hai soá thöïc sao cho a § b . Luùc ñoù [ a , b ] laø moät taäp compaéc trong — .
Coù e” > 0 sao cho vôùi moãi d > 0 ta coù moät yd œ A vôùi || yd – x ||E < d sao cho || f(yd ) - f(x) ||F > e”
gth1
59
gth1
60
Tìm caùc thaønh toá coù veõ maâu thuaãn vôùi nhau
|| f(xn) - f(x) ||F < e’ V || f(yd ) - f(x) ||F > e” yd V xn || yd – x ||E < d V || xn - x ||E < e Choïn d = n-1 vaø xn = y1/n || xn - x ||E < n-1 vaø || f(xn) - f(x) ||F = || f(yd ) - f(x) ||F > e” " n
Cho {xn} laø moät daõy trong moät khoâng gian ñònh chuaån (E, ||.||). Cho J laø moät taäp con trong Õ vaø J coù voâ haïn phaàn töû .
Duøng qui naïp toaùn hoïc ta ñaët
Cho A = {a1 ,, . . . , an } laø moät taäp höõu haïn phaàn töû trong moät ||.||). Chöùng minh A laø moät taäp khoâng gian ñònh chuaån (E, compaéc. Cho {xn} laø moät daõy trong A , tìm moät daõy con } knx { hoäi tuï veà moät phaàn töû x trong A . n1 = min J
Vôùi moïi soá nguyeân k trong {1,. . . , n} ta ñaët
}
Ik = {m œ Õ : xm = ak } n2 = min J \ [ 0 , n1] n3 = min J \ [0 , n2]
knx {
knx = am " k œ Õ
}
gth1
61
gth1
62
nk+1 = min J \ [0 , nk ] " k œ Õ Ta thaáy {nk } laø moät daõy ñôn ñieäu taêng trong Õ Vaäy laø moät daõy con cuûa daõy {xn} laø moät daõy con cuûa daõy {xn} öùng vôùi J
}
knx {
}
hoäi tuï veà am Ta coù Õ = I1 » I2 » . . . » In Vaäy coù moät soá nguyeân m trong {1,. . . , n} sao cho taäp J = Im coù voâ haïn phaàn töû . }{ knx Ñaët Ta thaáy knx { Vaäy
Cho {xn} laø moät daõy trong A , ta coù daõy con hoäi tuï veà moät phaàn töû x trong A Cho {yn} laø moät daõy hoäi tuï veà y trong A . Ta coù {f (yn)} laø moät daõy hoäi tuï veà f (y) trong F .
" z œ A Tìm s > 0 sao cho || f(z) || < s " y œ A vôùi || y – x ||E < d(x,e)
Vôùi moïi s > 0 coù moät z œ A sao cho || f(z) ||F ¥ s
Vôùi moïi n œ Õ coù moät zn œ A sao cho || f(zn) ||F ¥ n
gth1
63
gth1
64
" z œ A
" z œ A Cho (E, ||.||E ) vaø (F, ||.||F ) laø hai khoâng gian ñònh chuaån . Cho A laø moät taäp con compaéc cuûa E vaø f laø moät aùnh xaï lieân tuïc töø A vaøo F. Chöùng minh B ª f (A) laø moät taäp bò chaän trong F. Cho {xn} laø moät daõy trong A , coù daõy con hoäi tuï veà x œ knx { A Cho x œ A vaø e > 0 ta coù d(x,e) > 0 sao cho || f(y) - f(x) ||F < e Cho {xn} laø moät daõy hoäi tuï veà x trong A . Ta coù {f (xn)} laø moät daõy hoäi tuï veà f (x) trong F . Cho {yn} laø moät daõy hoäi tuï veà y trong A . Ta coù {f (yn)} laø moät daõy hoäi tuï veà f (y) trong F . Tìm b œ F vaø r > 0 sao cho { f(z) : z œ A } Õ B(b,r) Tìm b œ F vaø r > 0 sao cho || f(z) - b || < r Ñaët s = || b || +r . Cho z œ A, thì || f(z)|| § || f(z)- b || +|| b ||< r +|| b || = s Tìm s > 0 sao cho || f(z) || < s
knx }{
Ñònh nghóa . Cho E vaø F laø hai khoâng gian ñònh chuaån treân F vaø T laø moät aùnh xaï töø E vaøo F . Ta noùi T tuyeán tính neáu vôùi moïi x vaø y trong E vaø vôùi moïi t trong F ta coù
T(x+y) = T(x) + T(y) vaø T(t x) = t T(x)
}
}
Cho moät khoâng gian ñònh chuaån E vaø moät s trong F , ta ñaët
knz { ) ||F ¥ nk " k œÕ
T(x) = sx " x œ E
knz {f ( )} laø moät daõy hoäi tuï veà f (z) trong F
knz
T(x+y) = s (x+y) = sx + sy = T(x) + T(y) Cho {xn} laø moät daõy trong A , ta coù daõy con hoäi tuï veà moät phaàn töû x trong A Cho {yn} laø moät daõy hoäi tuï veà y trong A . Ta coù {f (yn)} laø moät daõy hoäi tuï veà f (y) trong F . Vôùi moïi n œ Õ coù moät zn œ A sao cho || f(zn) ||F ¥ n Coù daõy con cuûa daõy {zn } sao cho hoäi tuï veà moät knz { phaàn töû z trong A vaø || f ( (1)
T(t x) = s (t x) = (st)x = (ts)x = t (s x) = t T(x) " x,y œ E, t œ F Cho moät e > 0 ta coù moät N(e) œ Õ sao cho
" k ¥ N(e) . (2) || f ( ) - f (z) ||F < e
knz (1) + (2) fl nk § || f (
knz
knz
gth1
65
gth1
66
) ||F § || f ( ) - f (z) ||F + || f (z) ||F Vaäy T laø moät aùnh xaï tuyeán tính töø E vaøo E Cho moät khoâng gian ñònh chuaån E . Ñaët T(x) = x " x œ E T(x+y) = x+y = T(x)+T(y) vaø T(t x) = t x = t T(x) " x,y œ E, t œ F || f(zn) ||F ¥ nk " k œÕ § e + || f (z) ||F " k ¥ N(e)
k § nk § e + || f (z) ||F " k ¥ N(e) Vaäy T laø moät aùnh xaï tuyeán tính töø E vaøo E . Ta goïi aùnh xaï naøy laø aùnh xaï ñoàng nhaát treân E vaø kyù hieäu T laø IdE hoaëc Id
Cho C([0,1], —) laø hoï taát caû caùc haøm soá lieân tuïc töø khoaõng [0 , 1] vaøo —. Ta ñaët
|| f || = sup { | f(t) | : t [0 , 1 ] } f C([0,1], —)
dttf )
(
Luùc ñoù (C([0,1], —), ||.|| ) laø moät khoâng gian ñònh chuaån . Ñònh nghóa . Cho E vaø F laø hai khoâng gian ñònh chuaån treân F vaø T laø moät aùnh xaï tuyeán tính töø E vaøo F . Neáu T lieân tuïc töø E vaøo F . Ta noùi T laø moät aùnh xaï tuyeán tính lieân tuïc töø E vaøo F .Ta ñaët L(E , F) laø taäp hôïp taát caû caùc aùnh xaï tuyeán tính lieân tuïc töø E vaøo F .
1 0
f C([0,1], —) Ñaët T(f ) =
Ñònh lyù 2.1. Cho E vaø F laø hai khoâng gian ñònh chuaån vaø T laø moät aùnh xaï tuyeán tính töø E vaøo F. Caùc tính chaát sau ñaây töông ñöông Cho f vaø g trong C([0,1], —) vaø s trong —. Ta coù
T(f + g) = + )( dttgf
)
dttf )
(
dttg )
(
1 0
1 0
1 0
(i) T lieân tuïc treân E
( = T(f ) + T(g)
(ii) T lieân tuïc taïi 0
dttfs
)(
( dttsf
1 0
1 T(sf ) = ) 0
(iii) Coù haèng soá döông M sao cho = sT(f )
gth1
67
gth1
68
" x œ E. || T(x)||F § M|| x ||E Vaäy T laø moät aùnh xaï tuyeán tính töø C([0,1], —) vaøo —.
dttf )(
Cho E = —n vôùi chuaån
1 0
f C([0,1], —). Xeùt khoâng gian ñònh chuaån (C([0,1], —), || f || ) vôùi || f || = sup { | f(t) | : t [0 , 1 ] }. Ñaët T(f ) = ||x ||E = max {|x1| , . . . , |xn|} " x = (x1,. . .,xn) œ —n
Chöùng minh T œ L(C([0,1], —), —)
j laø caùc soá Kronecker
1,dk
2, . . .,dk
1. Chöùng minh T laø moät aùnh xaï tuyeán tính . Cho T laø moät aùnh xaï tuyeán tính töø E vaøo moät khoâng gian ñònh chuaån (F, ||.||F) . Chöùng minh T lieân tuïc töø E vaøo F . Khai thaùc caùc tính chaát cuûa —n . Ñaët 2. Chöùng minh coù haèng soá döông M sao cho
|T(f )| § M || f || " f œ C([0,1], —).
n) " k = 1 , . . ., n vôùi dk ek = (dk x = x1 e1 + x2 e2 + . . . + xn en " x = (x1,. . .,xn) œ —n T(x) = T(x1 e1 + . . . + xn en ) = T(x1 e1 ) + . . . + T(xn en )
dttf )(
|
( tf
|)
dt
1 | |T(f ) | = | 0
1 0
|| f || = sup { | f(t) | : t [0 , 1 ] }
|
( tf
|)
dt
||
f ||
§ M|| f || " f œ C([0,1], —).
1 0
dt gth1
69
gth1
70
1 |T(f ) | 0 vôùi M = 1
= x1 T(e1 ) + x2 T( e2 ) + . . . + xn T(en ) |f(t)| § || f || " t [0 , 1 ]
||T(x)||F = ||x1 T(e1)+. . .+xn T(en )||F § |x1 | ||T(e1)|| +. . .+ |xn | ||T(en)|| § ||x || ||T(e1 )|| + ||x || ||T(e2 )|| + . . . + ||x || ||T(en )||
|
( tf
|)
dt
1 0
Cho E =F = C([0,1], —) . Vôùi f œ C([0,1], —)
|| f ||E = || f ||F = sup { | f(t) | : t [0 , 1 ] } " f œ C([0,1], —) Ñaët T : E Ø F
T(f ) = f " f œ C([0,1], —) ||T(x)||F = ||x1 T(e1 ) + x2 T( e2 ) + . . . + xn T(en )||F § |x1 | ||T(e1 )|| F + |x2 | ||T(e2 )|| F + . . . + |xn | ||T(en )|| F § ||x || ||T(e1 )|| F + ||x || ||T(e2 )|| F + . . . + ||x || ||T(en )|| F § ||x || [||T(e1 )|| F + ||T(e2 )|| F + . . . + ||T(en )|| F ] ||T(x)||F § M ||x || " x œ —n
vôùi
n dt
t
1 0
n
1
1
gth1
71
gth1
72
M = ||T(e1 )|| F + ||T(e2 )|| F + . . . + ||T(en )|| F
Chöùng minh T laø moät aùnh xaï tuyeán tính töø E vaøo F nhöng T khoâng lieân tuïc töø (E, ||.||E) vaøo (E, ||.||F) Ñaët fn (t) = tn " t œ [0,1], n œ Õ || fn ||E = || T( fn) ||F = || fn ||F = 1 Vaäy daõy {fn} hoäi tuï veà 0 trong E nhöng daõy {T( fn) } khoâng hoäi tuï veà T(0) = 0 trong F .
Cho E vaø F laø hai khoâng gian ñònh chuaån treân F vaø T laø moät aùnh xaï tuyeán tính lieân tuïc töø E vaøo F . Ñaët
" x , y œ E V = T-1({0}) = {x œ E : T(x) = 0 }.
xyxyx
Eyx
,
)x(S
)y(T
y,G
.x
,
x
|| x
||)x(S||
G
x
Ñaët G laø khoâng gian ñònh chuaån thöông E / V
z G||
x
F 1 )(
x
y
}.
||)y(T|| F
(
2
)
||x|| G
||z|| E
inf xz
T
)x(
_ x
Ñaët Chöùng minh S laø moät aùnh xaï lieân tuïc töø G vaøo F ||x||M Tìm M > 0 sao cho ||)x(S|| F 1.3.6. Cho (E, || . ||E ) laø moät khoâng gian ñònh chuaån. Cho V laø moät khoâng gian vectô con ñoùng cuûa E . Treân E ta ñònh nghóa quan heä sau x ~ y ‹ (x - y) œ V Ta chöùng minh ñöôïc ~ laø moät quan heä töông ñöông treân E vaø taäp hôïp thöông G ª E /~ laø moät khoâng gian vectô vôùi caùc caáu truùc ñaïi soá sau x , ôû ñaây = {z + u : u œ V} laø lôùp töông ñöông chöùa z. Ñaët = inf{ || u ||E : u œ Luùc ñoù (G,||.||G ) laø moät khoâng gian ñònh chuaån treân F . Ta goïi khoâng gian naøy laø khoâng gian ñònh chuaån thöông E / V.
x
" y œ X (3)
inf v V
gth1
73
gth2
74
Gx
||y||K X ||x||K G
infK xz
||x + v ||G § ||x ||G " x œ E Coù K > 0 sao cho ||T(y)||F § K || y ||E y ||)x(S|| ||)y(T|| F F ||)x(S|| ||z|| F X Xeùt aùnh xaï T : E Ø G : " x œ E Chöùng minh T laø moät aùnh xaï lieân tuïc töø E vaøo G . ||T(x) ||G = ||x ||G = Vaäy T lieân tuïc töø E vaøo G .
dttf )
( Ñaët T(f ) =
1 0
Xeùt khoâng gian ñònh chuaån (C([0,1], —), || f || ) vôùi || f || = sup { | f(t) | : t [0 , 1 ] }. Ta ñaët L(E , F) laø taäp hôïp taát caû caùc aùnh xaï tuyeán tính lieân tuïc töø moät khoâng gian ñònh chuaån E vaøo moät khoâng gian ñònh chuaån F . f C([0,1], —).
F||)x(T||
1
sup E||x||
Ñaët Ta ñaõ chöùng minh T œ L(C([0,1], —), —) vaø " T œ L(E,F) || T|| = | T(f ) | § || f || f C([0,1], —) (1)
||
||T||
|)f(T|
1
||
sup ||
||
f
1
Luùc ñoù ||.|| laø moät chuaån treân L(E,F)
Chöùng minh || T || = 1 . || || FxT ||)( T sup || Ex (L(E,F), ||.||) || T || § 1 Theo (1) ta coù Ñònh lyù 2.3. Cho E laø moät khoâng gian ñònh chuaån, F laø moät khoâng gian Banach. Luùc ñoù laø moät khoâng gian Banach.
Tìm hai khoâng gian ñònh chuaån E vaø F vaø moät T trong L(E,F) sao cho khoâng coù x trong E ñeå cho : || x || § 1 vaø || T(x)|| = || x ||
gth1
75
gth1
76
Ñaët f (t) = 1 vôùi moïi t trong [0 , 1] . Ta coù F œ C([0,1], —) vaø || f || = 1 vaø |Tf | = 1
Suy ra || T || = 1
{
iT
} i
Cho E vaø F laø hai khoâng gian ñònh chuaån vaø T trong L(E,F) . Ñaët
f (x) = || T(x) || " x œ E .
Chöùng minh f lieân tuïc töø E vaøo — .
T
g
x
xT ||
||)(
xT )( ||.|| z
||
z
||
Vôùi moãi x trong E ta tính f (x) nhö sau
Ñaët g : F Ø —
g(z) = || z || " z œ F .
gth1
77
gth1
78
Ta thaáy f = gT vaø T vaø g lieân tuïc neân f lieân tuïc .
{ IiiT }
{ IiiT }
Ñònh lyù 2.4 ( Banach- Steinhaus) Cho E vaø F laø hai khoâng gian ñònh chuaån vaø laø moät hoï caùc phaàn töû trong I L(E,F). Thì hoaëc ta coù {||Ti ||} bò chaën trong — hoaëc ta coù moät daõy taäp môû truø maät {Gm} trong E sao cho {|Ti(x)|} i œ I khoâng bò chaën vôùi moïi x trong G ª … m œ Õ Gm Luùc ñoù neáu {||Ti ||} khoâng bò chaën trong — thì coù moät daõy taäp môû truø maät {Gm} trong E sao cho {|Ti(x)|} i œ I khoâng bò chaën vôùi moïi x trong G ª … m œ Õ Gm Ñònh Lyù Baire . Neáu {Gm} laø moät daõy taäp môû truø maät trong moät khoâng gian Banach E thì G ª … m œ Õ Gm laø moät taäp truø maät trong E Luùc ñoù neáu E laø moät khoâng gian Banach {||Ti ||} i œ I khoâng bò chaën trong — thì coù moät taäp G truø maät trong E sao cho {|Ti(x)|} i œ I khoâng bò chaën vôùi moïi x trong G .
Ñònh lyù 2.4 ( Banach- Steinhaus) Cho E laø moät khoâng gian Banach vaø F laø moät khoâng gian ñònh chuaån vaø { Ti} i œ I laø moät hoï caùc phaàn töû trong L(E,F).
Luùc ñoù neáu {||Ti ||} i œ I khoâng bò chaën trong — thì coù moät taäp G truø maät trong E sao cho {|Ti(x)|} i œ I khoâng bò chaën vôùi moïi x trong G . Ñònh lyù 2.4 (Banach- Steinhaus) Cho E vaø F laø hai khoâng gian ñònh chuaån vaø laø moät hoï caùc phaàn töû trong L(E,F). Thì hoaëc ta coù {||Ti ||} bò chaën trong — hoaëc ta coù moät daõy taäp môû truø maät {Gm} trong E sao cho {|Ti(x)|} i œ I khoâng bò chaën vôùi moïi x trong G ª … m œ Õ Gm Ñaët Gm,i = {x œ E : || Ti (x) ||F > m}
" m œ Õ , " i œ I Gm = »i œ I Gm,i
Luùc ñoù neáu khoâng coù moät taäp G truø maät naøo trong E sao cho {|Ti(x)|} i œ I khoâng bò chaën vôùi moïi x trong G thì {||Ti ||} i œ I bò chaën trong —
trong E thì
(3)
gth1
79
gth1
80
Luùc ñoù neáu {|Ti(x)|} i œ I bò chaën vôùi moïi x {||Ti ||} i œ I bò chaën trong — (1) (2)
Ta thaáy Gm,i laø caùc taäp môû , do ñoù Gm cuõng môû Cho x œ G ª … m œ Õ Gm Ta coù Vôùi moãi m œ Õ : x œ Gm ª »i œ I Gm,i Vôùi moãi m œ Õ , coù i(m) œ I : x œ Gi(m) Vôùi moãi m œ Õ, coù i(m) œ I : || Ti (m) (x)||F > m Cho x œ G ta coù {|Ti(x)|} i œ I khoâng bò chaën
Ñaët Gm,i = {x œ E : || Ti (x) ||F > m} Ñaët Gm,i = {x œ E : || Ti (x) ||F > m}
" m œ Õ , " i œ I " m œ Õ , " i œ I Gm = »i œ I Gm,i Gm = »i œ I Gm,i
(a) Taát caû caùc Gm ñeàu truø maät trong E (b) Coù k œ Õ , a œ E vaø r > 0 sao cho B(a,r) Õ E \ Gk (b’) Coù k œ Õ , a œ E vaø r > 0 sao cho
B(a,r) Õ {x œ E : || Ti (x) ||F § k} " i œ I
E \ Gk = E \ »i œ I Gk,I = …i œ I E \ Gk,I
= …i œ I E \ {x œ E : || Ti (x) ||F > k}
gth1
81
gth1
82
= …i œ I {x œ E : || Ti (x) ||F § k}
(a) Taát caû caùc Gm ñeàu truø maät trong E (b) Coù moät k sao cho Gk khoâng truø maät trong E (b’) Coù moät k sao cho coù moät a trong E maø a khoâng laø moät ñieåm dính cuûa Gk Gk truø maät trong E ‹ moïi ñieåm trong E ñeàu laø ñieåm dính cuûa Gk (b’’) Coù k œ Õ , a œ E vaø r > 0 sao cho B(a,r) Õ E \ Gk a laø moät ñieåm dính cuûa Gk ‹ B(a,r) … Gk ∫ f " r > 0 a khoâng laø moät ñieåm dính cuûa Gk Coù r > 0 sao cho B(a,r) … Gk = f Coù r > 0 sao cho B(a,r) Õ E \ Gk
(a) Taát caû caùc Gm ñeàu truø maät trong E (b) Coù k œ Õ , a œ E vaø r > 0 sao cho " i œ I Ñònh lyù 2.5. ( Ñònh lyù aùnh xaï môû) Cho E vaø F laø hai khoâng gian Banach vaø T trong L(E,F) . Giaû söû T(E) = F. Luùc ñoù T laø moät aùnh xaï môû, nghóa laø T(O) môû trong F neáu O môû trong E.
Cho E vaø F laø hai khoâng gian Banach vaø T trong L(E,F) . Giaû söû T laø moät song aùnh. Luùc ñoù T –1 laø moät aùnh xaï tuyeán tính lieân tuïc töø F vaøo E. Chöùng minh T –1 laø moät aùnh xaï tuyeán tính
(1) B(a,r) Õ {x œ E : || Ti (x) ||F § k} Cho y œ E vôùi ||y|| = r , ta coù z = a + y œ B(a,r) Õ {x œ E : || Ti (x) ||F § k} Vaäy || Ti (a+y)||F= || Ti (z)||F § k " y œ E , ||y|| = r (2) " i œ I , " y œ E , ||y|| = r
Cho u vaø v trong F chöùng minh T –1(u + v) = T –1(u) + T –1(v) Vì T ñôn aùnh ta coù || Ti(y)||F § || Ti (-a)||F + || Ti (a+y)||F
T(x) = T(y)
x = y ‹ T( T –1(u + v) ) = u + v § || Ti (a)||F + || Ti (a+y)||F § 2k (3)" i œ I , " x œ E , ||x|| ∫ 0 (ñaët y = r||x||-1x )
gth1
83
gth1
84
T( T –1(u) + T –1(v) ) = T( T –1(u) ) + T(T –1(v) )
= u + v ||Ti (x)||F = ||Ti (r-1||x|| r||x||-1x )||F = r-1||x|| || Ti(r||x||-1x )||F § 2k r-1||x|| (4) || Ti || § 2k r -1 " i œ I
Cho E vaø F laø hai khoâng gian Banach vaø T trong L(E,F) . Giaû söû T laø moät song aùnh. Luùc ñoù S ª T –1 laø moät aùnh xaï tuyeán tính lieân tuïc töø F vaøo E. Ñònh lyù 2.5. Cho E vaø F laø hai khoâng gian Banach vaø T trong L(E,F) . Giaû söû T(E) = F. Luùc ñoù T laø moät aùnh xaï môû, nghóa laø T(O) môû trong F neáu O môû trong E.
BTsaB )
(
(
,
))
F
10E ( ,
Cho moät môû O trong E , ta phaûi chöùng minh S-1(O) laø moät taäp môû trong F . (1) Duøng ñònh lyù Baire chöùng minh coù moät a œ F vaø moät s > 0 sao cho
0 ),(
(
10 )),(
BTrB E
F
S-1(O) = T(O) (2) Chöùng minh coù moät r > 0 sao cho
BF(0,r) Õ T(BE(0,1) ) + (cid:0)BF(0,r)
(cid:0)BF(0,r) Õ (cid:0)( T(BE(0,1) ) + (cid:0)BF(0,r) )
gth1
gth1
85
86
Õ T(BE(0, (cid:0)) ) + (cid:0)BF(0,r) )
2-nBF(0,r) Õ T(BE(0, 2-n) ) + 2-n-1BF(0,r) ) (3) BF(0,r) Õ T(B’E(0,2) )
Ñònh lyù 2.6. ( Ñònh lyù ñoà thò ñoùng ) Cho E vaø F laø hai khoâng gian Banach vaø T laø moät aùnh xaï tuyeán tính töø E vaøo F. Ñaët
G = {(x,Tx) : x œ E} Ñònh lyù 2.6. ( Ñònh lyù ñoà thò ñoùng ) Cho E vaø F laø hai khoâng gian Banach vaø T laø moät aùnh xaï tuyeán tính töø E vaøo F. Ñaët G = {(x,Tx) : x œ E} . Luùc ñoù T lieân tuïc treân E neáu vaø chæ neáu G ñoùng trong E μ F .
Luùc ñoù T lieân tuïc treân E neáu vaø chæ neáu G ñoùng trong EμF .
EμF = {(x,y) : x œ E vaø y œ F }
(x,y) + (u,v) = (x+u,y+v) " (x,y), (u,v) œ EμF
" (x,y)œ EμF , t œ F
G laø moät khoâng gian vectô con cuûa E μ F . Cho (x,y), (u,v) œ G , ta coù y = T(x) vaø v = T(u) (x,y)+ (u,v) = (x+u,y+v) = (x+u, T(x) +T(u) )= (x+u, T(x+u) ) œ G Neáu G ñoùng trong E μ F thì G laø moät khoâng gian Banach vôùi chuaån haïn cheá cuûa ||.||E μ F . " (x,y)œ EμF t (x,y) = (tx,ty) ||(x,y)|| = ||x||E + ||y||F
Ñaët S : G Ø E , S(x,y) = x " (x,y) œ G pr1 (x,y) = x
gth1
87
gth1
88
S laø moät song aùnh tuyeán tính lieân tuïc töø G vaøo E S-1 laø moät aùnh xaï tuyeán tính lieân tuïc töø E vaøo G pr2 (x,y) = y " (x,y)œ EμF pr1 laø aùnh xaï tuyeán tính lieân tuïc töø EμF vaøo E
S-1(x) = (x,y) = (x,T(x)) " x œ E . Vaäy pr2 laø aùnh xaï tuyeán tính lieân tuïc töø EμF vaøo F T = pr2o S-1
CHÖÔNG BA
KHOÂNG GIAN HILBERT
vaø Ñònh lyù 2.7. ( Ñònh lyù Hahn- Banach) Cho E laø moät khoâng gian ñònh chuaån treân F , M laø moät khoâng gian vectô con cuûa E vaø f œ L(M, F). Khi ñoù coù g œ L(E, F) sao cho g|M = f
c
iba
Cho c = a+ib vôùi a vaø b trong —, ñaët ||g|| = || f ||
Cho E laø moät khoâng gian ñònh chuaån treân F , a laø moät vectô trong E . Khi ñoù coù f œ L(E, F) sao cho
|| f || = 1 vaø f (a) = || a ||
s
)x,y(f
gth1
89
gth1
90
f(x+x’,y) = f(x,y) + f(x’,y) ,
Ñònh nghóa 3.2. Cho E laø moät khoâng gian vectô treân F , f laø moät aùnh xaï töø EäE vaøo F . Ta noùi f laø moät daïng Hermite döông treân E, neáu vaø chæ neáu f coù caùc tính chaát sau: vôùi moïi x, x’ , y vaø y’ trong E vaø s trong F (i) (ii) f(x,y+y’) = f(x,y) + f(x,y’), (iii) f(sx,y) = sf(x,y), (iv) f(x,sy) = f(x,y) , (v) f(x,y) = , (vi) f(x,x) ¥ 0, (vii) f(x,x) = 0 ‹ x = 0.
( vuf
,
)
dttvtu
(
)
)
(
1 0
Cho E laø khoâng gian —n. Vôùi x =(x1,…, xn) ,y = (y1,…, yn) œ E ñaët Cho E laø khoâng gian caùc haøm soá lieân tuïc töø [0,1] vaøo — . Vôùi moïi u vaø v trong E ñaët f(x,y) = x1y1+ x2y2+. . . + xnyn
dttvtu
( vuf
(
)
)
(
)
1 0
Cho E laø khoâng gian caùc haøm soá lieân tuïc töø [0,1] vaøo ¬ . Vôùi moïi u vaø v trong E ñaët ,
x
y
x
y
x
n y
n
1
1
2
2
f(x,y) thöôøng ñöôïc kyù hieäu laø xÿy hoaëc
x
y
y
x
y
x 11
n
n
n
1
2
2
2
" x œ E.
91
gth1
92
Cho E laø khoâng gian —n vaø n soá thöïc döông a1 , a2 , …, an . Vôùi
moïi x =(x1,…, xn) ,y = (y1,…, yn) œ E ñaët
f(x,y) = a1x1y1 + a2x2y2 + . . . + anxnyn
Cho E laø khoâng gian ¬n vaø n soá thöïc döông a1 , a2 , …, an . Vôùi
moïi x =(x1,…, xn) ,y = (y1,…, yn) œ E ñaët
f(x,y) =
gth1 (ii) Baát ñaúng thöùc Minkowski f(x+y,x+y)(cid:0) § f(x,x) (cid:0) + f(y,y)
(cid:0)
Ñònh nghóa 3.3. Cho f laø moät daïng Hermite döông trong moät
khoâng gian vectô E. Ñaët || x || = f(x,x) (cid:0)
Do ñònh lyù 3.1, (E,||.||) laø moät khoâng gian ñònh chuaån. Neáu
(E,||.||) ñaày ñuû, ta goïi noù laø moät khoâng gian Hilbert vaø vieát
( vuf
(
)
)
)
(
,
1 0
Cho E laø khoâng gian caùc haøm soá lieân tuïc töø [0,1] vaøo — . Vôùi
moïi u vaø v trong E ñaët
dttvtu
vu
,
Ñaët un (t) = 2 1/2 sin npt " n œ Õ , t œ [0,1] Ñònh nghóa 3.4. Cho x vaø y trong E. Ta noùi x thaúng goùc vôùi y
neáu vaø chæ neáu
1
1
b
3
1
0
1 a
0
v
Cho a = (1,0) , b = (0,1) , u = (1,1) vaø v = (3,-1) u
gth1
93
gth1
94
< un , um > = 0 " n ∫ m " n œ Õ . < un , un > = 1 Cho {ui} iœI laø moät hoï vectô trong moät khoâng gian Hilbert E. Ta noùi {ui} iœI laø moät hoï tröïc chuaån neáu vaø chæ neáu < ui , uk > = 0 " i ∫ k < ui , ui > = 1 " i œ I Ta goïi moät hoï tröïc chuaån {ui} iœI laø moät hoï tröïc chuaån toái ña neáu vaø chæ neáu “ vôùi moïi hoï tröïc chuaån {vj} jœJ trong E sao cho
{ui} iœI Õ {vj} jœJ ta coù {ui} iœI = {vj} jœJ “ < a , b >1 = 0 , < u , v >1 ∫ 0 < a , b >2 = 0 , < u , v >2 = 0
Ñònh lyù 3.2. Cho {ui} iœI laø moät hoï tröïc chuaån toái ña trong moät khoâng gian Hilbert E vaø x laø moät vectô trong E. Ñaët Ñònh lyù 3.3. (Riesz) Cho T laø moät aùnh xaï tuyeán tính töø moät khoâng gian Hilbert E vaøo F. Luùc ñoù T lieân tuïc treân E neáu vaø chæ neáu coù duy nhaát moät a trong E sao cho
x
iux i
Ii
2
2
||
x
||
|
ix
| Ii
ux i i
xi = < x , ui > " i œ I. vaø || T|| = || a ||E Luùc ñoù I(x) ª { i œ I : xi ∫ 0} laø moät taäp quaù laém ñeám ñöôïc vaø Tx = < x , a > " x œ E (i) Cho E laø —n . Vôùi moïi x = (x1, …, xn) , y = (y1, …, yn) œ E ñaët (ii)
x
Ii
xIi (
ux i i )
2 nx
2 1
Neáu I(x) laø moät taäp höõu haïn , ta thaáy
laø moät toång höõu haïn caùc vectô .
95
gth1
96
ux i i
ux gth1 i i
ux i i
mm
mm
lim n
1
1
Ii
( xIi
ux i i )
m
n m
Neáu I(x) laø moät taäp voâ haïn , ta coù moät daõy {im } caùc phaàn töû khaùc nhau trong I sao cho I(x) = {im } vaø
Luùc ñoù (E,||.||) laø moät khoâng gian Hilbert. Cho T laø moät aùnh xaï tuyeán tính lieân tuïc töø E vaøo — . Aùp duïng ñònh lyù Riesz ta tìm ñöôïc moät vectô a = (a1, a2,…, an) trong E sao cho ||a|| = || T || vaø T(y) = = a1y1 + a2y2 +. . . + anyn " y = (y1, y2,…, yn) œ E
CHÖÔNG BOÁN
dttvtu
, vu
)
)
(
(
1 0
2
1 2
1 2
uu ,
{
dttu (
)
}
PHOÅ CUÛA TOAÙN TÖÛ COMPAÉC Cho E laø khoâng gian caùc haøm soá lieân tuïc töø [0,1] vaøo — . Vôùi moïi u vaø v trong E ñaët
1 0
|| u || = Cho T trong L(E, E ) vaø l trong — . Ta noùi l laø moät giaù trò rieâng cuûa T neáu coù moät u trong E \ {0} sao cho
f,u
dt)t(f)t(u
1 0
T(u) = lu Cho T trong L(E, —) . Hoûi coù f trong E sao cho || T || = || f || vaø vôùi moïi u trong E
T(u) =
gth1
97
gth1
98
l laø moät giaù trò rieâng cuûa T neáu vaø chæ neáu (l.IdE - T )-1({0}) ∫ {0} , nghóa laø (l.IdE - T ) khoâng laø moät ñôn aùnh
Cho S laø moät aùnh xaï tuyeán tính töø —n vaøo —n . Caùc tính chaát sau ñaây töông ñöông vôùi nhau (i) S laø moät ñôn aùnh . (ii) S laø moät toaøn aùnh . (iii) S laø moät song aùnh .
Ñaët S(u) (t) = a0 + a1t + 2-1a2t2 +. . . + m-1amtm neáu u(t) = a0 + a1t + a2t2 +. . . + amtm
Ta thaáy Cho S laø moät aùnh xaï tuyeán tính töø —n vaøo —n . Caùc tính chaát sau ñaây töông ñöông vôùi nhau (i) S laø moät ñôn aùnh . (ii) S laø moät toaøn aùnh . (iii) S laø moät song aùnh .
S laø moät aùnh xaï tuyeán tính
||S(u) || = max {| a0 |,| a1 | ,2-1| a2 |,. . . , n-1| am | }
§ max { | a0 | , | a1 | , | a2 | ,. . . , | am | } = ||u|| " u œ E
Cho E laø taäp hôïp taát caû caùc ña thöùc vôùi heä soá thöïc. Cho u (t) = a0 + a1t + . . . + amtm . Ñaët || u || = max { | a0 | , | a1 | , . . . , | am | } T(u) (t) = a1 + a2t + . . . + amtm-1 Luùc ñoù (E , ||.||) laø moät khoâng gian ñònh chuaån. Ta thaáy T laø moät aùnh xaï tuyeán tính lieân tuïc töø E vaøo E
gth1
99
gth1
100
T laø moät khoâng ñôn aùnh T laø moät toaøn aùnh ( T(E) khoâng chöùa caùc haøm haèng )
Vaäy S laø moät aùnh xaï tuyeán tính lieân tuïc töø E vaøo E . S laø moät song aùnh vaø S-1(u) (t) = a0 + a1t + 2a2t2 +. . . + mamtm neáu u(t) = a0 + a1t + a2t2 +. . . + amtm S-1 khoâng lieân tuïc treân E .
)A(T
Cho u laø moät aùnh xaï compaéc töø E vaøo E . Ñaët
Cho E laø moät khoâng gian ñònh chuaån vaø T trong L(E,E). Ta noùi T laø moät aùnh xaï tuyeán tính compaéc neáu vaø chæ neáu
compaéc vôùi moïi taäp con A bò chaän trong E .
Cho T laø moät aùnh xaï compaéc töø E vaøo E . Ñaët S = IdE - T . Caùc tính chaát sau ñaây töông ñöông vôùi nhau (i) S laø moät ñôn aùnh . (ii) S laø moät toaøn aùnh . (iii) S laø moät song aùnh .
v = IdE - T , v0 = IdE vaø vm = (IdE - T )m . Ñònh lyù 4.3. Coù soá nguyeân N sao cho vôùi moïi m ¥ N (i) (vm)-1 (0) = (vN)-1(0) ª F (dim(F) < ) , (ii) vm (E) = vN(E) ª R (R ñoùng trong E). (iii) E laø toång tröïc tieáp toâpoâ cuûa R vaø F. (iv) u(R) Õ R vaø u(F) Õ F. (v) v laø ñoàng phoâi töø E vaøo E neáu vaø chæ neáu v ñôn aùnh ( hoaëc toaøn aùnh ). (vi) v|R laø moät ñoàng phoâi töø R leân R.
Cho T laø moät aùnh xaï compaéc töø E vaøo E . Ñaët S = IdE - T . Giaû söû S laø moät song aùnh. Luùc ñoù S-1 lieân tuïc treân E .
gth1
101
gth1
102
E laø toång tröïc tieáp cuûa R vaø F neáu vaø chæ neáu vôùi moïi x trong E coù duy nhaát (u,v) trong RäF sao cho x = u + v .
S = IdE - T ñöôïc goïi laø moät tröôøng vectô compaéc treân E . Ta thaáy tröôøng vectô compaéc coù caùc tính chaát töông töï nhö aùnh xaï tuyeán tính treân —n . E laø toång tröïc tieáp toâpoâ cuûa R vaø F neáu vaø chæ neáu E laø toång tröïc tieáp cuûa R vaø F vaø caùc aùnh xaï x # u vaø x # v lieân tuïc treân
Cho u laø moät aùnh xaï compaéc töø E vaøo E . Cho t trong F \{0}. Ta thaáy t-1u cuõng laø moät toaùn töû compaéc treân E. Vaäy theo ñònh lyù 4.3 , coù soá nguyeân N(t) sao cho Ñònh nghóa 4.1. Cho T trong L(E,E) vaø s trong F. Ta noùi s laø moät giaù trò phoå cuûa T neáu (s.idE - T) khoâng laø moät ñoàng phoâi töø E leân E. Ta kyù hieäu Sp(T) laø taäp caùc giaù trò phoå cuûa T.
(idE - t-1u)m(E) = (idE - t-1u)N(t)(E) ª R(t) vaø ((idE - t-1u)m)-1(0) = (idE - t-1u)N(t))-1(0) ª F(t) Ñònh lyù 4.5. (Riesz) Cho u laø moät aùnh xaï compaéc töø E vaøo E . Cho t trong Sp(u)\{0}. Ta coù
" m ¥ N(t) (i) t laø moät giaù trò rieâng cuûa u
Ñònh lyù 4.5 (Riesz) Cho t trong Sp(u) \ {0}. Ta coù
(ii) Sp(u) quaù laém ñeám ñöôïc vaø chæ coù theå coù moät ñieåm tuï laø 0 . (i) R(t) ñoùng vaø F(t) höõu haïn chieàu.
(ii) E laø toång tröïc tieáp toâpoâ cuûa R(t) vaø F(t) .
gth1
103
gth1
104
(iii) u(R(t) ) Õ R(t) vaø u(F(t)) Õ F(t)
(iv) (t.idE - u)|R(t) laø moät ñoàng phoâi töø R(t) leân R(t) .
