gth1 1
CHÖÔNG MOÄT
KHOÂNG GIAN ÑÒNH CHUAÅN
gth1 2
KHOÂNG GIAN VECTÔ
Ta thöôøng kyù hieäu
∑—: taäp hôïp caùc soá thöïc .
∑¬: taäp hôïp caùc soá phöùc .
∑: moät trong hai taäp hôïp —vaø ¬.
gth1 3
Ñònh nghóa . Cho Elaø moät taäp khaùc troáng . Ta noùi Elaø moät khoâng
gian vectô treân , neáu coù
noäi luaät +: EμEØEvaø
ngoaïi luaät .: μEØEcoù caùc tính chaát sau
(i) Luaät + coù tính giao hoaùn , phoái hôïp, coù phaàn töû
trung hoaø 0, vaø vôùi moïi xtrong E\{0}coù moät phaàn töû ñoái
kyù hieäu laø -x , nghóa laø (E, +) laø moät nhoùm coäng giao hoaùn.
(ii) Ngoaïi luaät .phoái hôïp vôùi noäi luaät +trong Evaø caùc noäi luaät
trong , nghóa laø vôùi moïi xvaø ytrong E; tvaø strong ta
coù
t.(x+y) = t.x +t.y,
(t+s).x= t.x+s.x,
(t.s).x= t.(s.x) .
(iii) 1.x = x.gth1 4
Thí duï 1 . Cho n laø moät soá nguyeân döông vaø ñaët
E = {x = (x1 , . . . , xn) : x1 , . . . , xn œ—}
noäi luaät + : EμEØE
(x1 , . . . , xn) + (y1 , . . . , yn) = (x1 +y1, . . . , xn +yn)
vaø
ngoaïi luaät . : —μEØE
t. (x1 , . . . , xn) = (tx
1 , . . . , t xn)
Luùc ñoù E laø moät khoâng gian vectô treân —.
Ta thöôøng duøng —n ñeå kyù hieäu khoâng gian vectô naøy .
gth1 5
Thí duï 2 . Cho n laø moät soá nguyeân döông vaø ñaët
E = { x= (x1 , . . . , xn) : x1 , . . . , xn œ¬}
noäi luaät +: EμEØE
(x1 , . . . , xn) + (y1 , . . . , yn) = (x1 +y1, . . . , xn +yn)
vaø
ngoaïi luaät .: ¬μEØE
z.(x1 , . . . , xn) = (zx1 , . . . , zxn)
Luùc ñoù E laø moät khoâng gian vectô treân ¬.
Ta thöôøng duøng ¬nñeå kyù hieäu khoâng gian vectô naøy .
gth1 6
Thí duï 3 . Cho E laø taäp hôïp taát caû caùc ña thöùc thöïc treân moät
khoaûng ñoùng [a, b] .
nghóa laø f œE neáu vaø chæ neáu coù moät soá nguyeân döông k vaø
k +1 soá thöïc
a
0,
a
1, . . . ,
a
k sao cho
f(t) =
a
0+
a
1t+ . . . +
a
k tk"t œ[a, b] .
noäi luaät +: EμEØE
(f+ g) (t) = f(t) + g(t) "t œ[a, b]
vaø ngoaïi luaät .: —μEØE
(s.f)(t) = sf(t) "t œ[a, b]
Luùc ñoù E laø moät khoâng gian vectô treân —.
Ta thöôøng duøng P([a, b] ,—)ñeå kyù hieäu khoâng gian vectô naøy .
gth1 7
Thí duï 4 . Cho E laø taäp hôïp taát caû caùc ña thöùc thöïc baäc nhoû hôn
hay baèng N treân moät khoaûng ñoùng [a, b] .
nghóa laø f œE neáu vaø chæ neáu coù N +1 soá thöïc
a
0,
a
1, . . . ,
a
N
sao cho f(t) =
a
0+
a
1t+ . . . +
a
N tN"t œ[a, b] .
noäi luaät +: EμEØE
(f+ g) (t) = f(t) + g(t) "t œ[a, b]
vaø ngoaïi luaät .: —μEØE
(s.f)(t) = sf(t) "t œ[a, b]
Luùc ñoù E laø moät khoâng gian vectô treân —. Ta thöôøng duøng
PN([a, b] ,—)ñeå kyù hieäu khoâng gian vectô naøy .
gth1 8
Thí duï 4 . Cho E laø taäp hôïp taát caû caùc haøm soá thöïc lieân tuïc
treân moät khoaûng ñoùng [a, b] .
noäi luaät +: EμEØE
(f+ g) (t) = f(t) + g(t) "t œ[a, b]
vaø ngoaïi luaät .: —μEØE
(s.f)(t) = sf(t) "t œ[a, b]
Luùc ñoù E laø moät khoâng gian vectô treân —.
Ta thöôøng duøng C([a, b] ,—)ñeå kyù hieäu khoâng gian vectô naøy .
gth1 9
Ñònh nghóa . Cho Elaø moät khoâng gian vectô Fvaø Alaø moät taäp
hôïp con cuûa E. Ta noùi :
†Alaø moät taäp ñoäc laäp tuyeán tính neáu vôùi moïi taäp con
höõu haïn {a1,...,an}caùc phaàn töû khaùc nhau trong Avaø
vôùi moïi hoï con höõu haïn {a1, ...,an}trong Fsao cho a1a1
+...+anan=0 thì
a1= . . . = an= 0 .
†Alaø moät taäp sinh cuûa Eneáu
E= {a1a1+ . . .+ anan: a1, . . . , anœA; a1, . . . ,anœF}.
†Alaø moät cô sôû cuûa Eneáu Alaø moät taäp ñoäc laäp tuyeán tính
vaø taäp sinh cuûa E.
gth1 10
†Neáu Alaø moät cô sôû cuûa E vaø Acoù höõu haïn phaàn töû , ta noùi
Elaø moät khoâng gian vectô höõu haïn chieàu vaø soá phaàn töû cuûa A
ñöôïc goïi laø soá chieàu cuûa Evaø ñöôïc kyù hieäu laø dim (E) .
†Neáu Alaø moät cô sôû cuûa Evaø Acoù voâ haïn phaàn töû , ta noùi
Elaø moät khoâng gian vectô voâ haïn chieàu vaø vieát dim (E) = .
gth1 11
Ñònh nghóa . Cho Elaø moät khoâng gian vectô treân F,
cho || || laø moät aùnh xaï töø Evaøo —, ta noùi || || laø chuaån treân
E, neáu || || coù caùc tính chaát sau:
(i) || x || ¥0 "xœE, vaø || x|| = 0 neáu vaø chæ neáu x= 0 .
(ii) || tx || = |t| || x || "xœE , t œF.
(iii) || x + y|| || x|| + || y|| "x, yœE .
Neáu || || laø moät chuaån treân E, ta noùi (E, || ||) laø moät khoâng gian
vectô ñònh chuaån , hoaëc moät khoâng gian ñònh chuaån . Neáu khoâng
coù gì ñeå sôï laàm laån , ta ghi Etheá cho (E, || ||) .
gth1 12
Thí duï 1 . Cho x= (x1 , . . . , xn) trong —n. Ñaët
|| x||1 = | x1| + . . . + | xn|
|| x||2 = ( | x1| 2+ . . . + | xn|2)1/2
|| x||= max{| x1| , . . . , | xn| }
Luùc ñoù || ||1, || ||2vaø || ||laø caùc chuaån treân —n .
gth1 13
Thí duï 2 . Cho C([0,1],
—
)laø hoï taát caû caùc haøm soá lieân tuïc töø
khoaõng [0 , 1] vaøo
—
.
C([0,1],
—
)laø moät khoâng gian vectô vôùi caùc luaät coäng vaø nhaân
cuûa caùc haøm soá thöïc.
Ta ñaët
|| f|| = sup {| f(t) | : t
[0 , 1 ] }
f C([0,1],
—
)
Luùc ñoù (C([0,1],
—
) , ||.||)laø moät khoâng gian ñònh chuaån
gth1 14
Ñònh nghóa . Cho (E,||.||) laø moät khoâng gian ñònh chuaån
(treân ) vaø flaø moät aùnh xaï töø taäp hôïp caùc soá nguyeân döông
Õ
vaøo E. Ñaët
xn=f(n) nœ
Õ
.
Ta goïi {xn}laø moät daõy trong khoâng gian ñònh chuaån E
Thí duï 1. {sin(n3+ 2n)}laø moät daõy trong khoaõng ñoùng [-1 , 1]
Ñònh nghóa . Cho Elaø moät taäp hôïp khaùc troáng vaø flaø moät
aùnh xaï töø taäp hôïp caùc soá nguyeân döông
Õ
vaøo E. Ñaët
xn=f(n) nœ
Õ
.
Ta goïi {xn}laø moät daõy trong E
gth1 15
Thí duï 2 . Cho C([0,1],
—
)laø hoï taát caû caùc haøm soá lieân tuïc töø
khoaõng [0 , 1] vaøo
—
.
C([0,1],
—
)laø moät khoâng gian vectô vôùi caùc luaät coäng vaø nhaân
cuûa caùc haøm soá thöïc.
Ta ñaët
|| f|| = sup {| f(t) | : t
[0 , 1 ] }
f C([0,1],
—
)
Luùc ñoù (C([0,1],
—
) , ||.||)laø moät khoâng gian ñònh chuaån
Ta seõ cho moät thí duï veà moät daõy {un}trong C([0,1],
—
)
gth1 16
Ñaët
un(t)  11
2
21
tt t
n
n
!
t[0 , 1] n
Õ
Luùc ñoù un laø moät haøm soá lieân tuïc töø [0,1]vaøo
—
.
Ta seõ cho moät thí duï veà moät daõy {un}trong C([0,1],
—
)
Vaäy {un}laø moät daõy trong C([0,1],
—
)
gth1 17
Cho {xn}laø moät daõy trong moät khoâng gian ñònh chuaån
(E ,||.|| )vaø moät phaàn töû atrong E.
Ta noùi daõy {xn} hoäi tuï veà aneáu vaø chæ neáu
> 0 N()
Õ
sao cho
|| xn-a|| < n > N()
gth1 18
Ñaët
a(t) = t t[0 , 1]
xn(t) = t + sin(n-1t) n
Õ
t[0 , 1]
Chöùng minh {xn}hoäi tuï veà atrong (C([0,1], ||.||)
Chöùng minh > 0 N()
Õ
sao cho
|| xn-a|| < n > N()
Cho tröôùc moät soá thöïc döông , tìm moät soá nguyeân döông
N()sao cho
|| xn-a|| < n > N()
gth1 19
Cho tröôùc moät soá thöïc döông , tìm moät soá nguyeân döông
N()sao cho
( || f|| = sup {| f(t) | : t
[0 , 1 ] })
sup {|xn(t) -a(t) | : t
[0 , 1 ] }<
n > N()
|xn(t) -a(t) | <
n > N() t [0 , 1]
|| xn-a|| < n > N()
gth1 20
Cho tröôùc moät soá thöïc döông , tìm moät soá nguyeân döông
N()sao cho
a(t) = t t [0 , 1]
xn(t) = t + sin(n-1t) n
Õ
t [0 , 1]
|t + sin(n-1t) - t| < n > N() t [0 , 1]
| sin(n-1t) | < n > N() t [0 , 1]
( n-1 n-1t | sin(n-1t) | t [0 , 1] )
n-1 < n > N() t [0 , 1]
|xn(t) -a(t) | < n > N() , t [0 , 1]