KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

1.225
lượt xem 229
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Kỹ thuật chọn điểm rơi hay còn được gọi kỹ thuật điều chỉnh và lựa chọn tham số. Đối với một số BĐT đồng dạng không đối xứng thì dấu BĐT trong BĐT thường xảy ra khi giá trị của các biến tướng ứng không bằng nhau. Vì vậy, cần lựa chọn kỹ thuật hợp lý để giải các bài toán BĐT (hay cực trị) dạng không đối xứng là rất cần thiết. Một trong những kỹ thuật cơ bản nhất chính là xây dựng thuật toán sắp thứ tự gần đều. (kỹ thuật điểm rơi). Kỹ thuật chủ yếu...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM

Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM (CAUCHY)  Kỹ thuật chọn điểm rơi hay còn được gọi kỹ thuật điều chỉnh và lựa chọn tham số. Đối với một số BĐT đồng dạng không đối xứng thì dấu BĐT trong BĐT thường xảy ra khi giá trị của các biến tướng ứng không bằng nhau. Vì vậy, cần lựa chọn kỹ thuật hợp lý để giải các bài toán BĐT (hay cực trị) dạng không đối xứng là rất cần thiết. Một trong những kỹ thuật cơ bản nhất chính là xây dựng thuật toán sắp thứ tự gần đều. (kỹ thuật điểm rơi). Kỹ thuật chủ yếu ở đây thường là các giá trị trung gian được xác định theo cách chọn đặc biệt để tất cả các dấu đẳng thức đồng thời xảy ra. Tham số phụ đưa vào một cách hợp lý để phương trình xác định chúng có nghiệm.  Moät soá baát ñaúng thöùc cô baûn  Baát ñaúng thöùc Cauchy Cho n soá thöïc khoâng aâm a1 , a2 ,..., an (n 2) ta luoân coù a1 a2  an n a1a2 ...an . Daáu “=” xaûy ra khi vaø chæ khi a1 a2  an . n  Moät vaøi heä quaû quan troïng: 1 1 1 (a1 a2  an )  n2 vôùi ai 0, i 1, n a1 a2 an 1 1 1 n2  vôùi ai 0, i 1, n a1 a2 an a1 a2  an Cho 2n soá döông ( n Z , n 2 ): a1 , a2 ,..., an , b1 , b2 ,..., bn ta coù: n (a1 b1 )(a2 b2 )...(an bn ) n a1a2 ...an n b1b2 ...bn Bài toán mở đầu: VD1. Cho . Ta có . Khi đó ta có hệ quả với thì Rõ ràng với bài toán trên là kết quả của BĐT Cauchy. Nếu thay điều kiện bởi hay hay … thì lời giải bài toán như nào?? 1 Bài 1: Cho a 3 . Tìm Min của S a a Chuyên đề BĐT cauchy 1
Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải Bình luận và lời giải : +Sai lầm : 1 1 S a 2 a. 2 min S 2 a a +Nguyên nhân : 1 min S 2 a 1 a điều này mâu thuẫn với giả thiết a 3 +Xác định điểm rơi : Ta thấy rằng khi a tăng thì S cũng càng lớn nên dẫn đến dự đoán khi a=3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất . Và 10 min S a 3 . Do BĐT Cauchy xãy ra dấu đẳng thức tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau 3 a 1 nên ta đưa tham số sao cho tại điểm rơi a = 3 thì cặp số và phải bằng nhau. Với a=3 cho cặp số a 3 3 1 9 1 1 3 a 3 +Lời giải đúng : 1 a 1 8a a 1 8.3 10 10 S a 2 . MinS a 9 a 9 9 a 9 3 3 Đẳng thức xãy ra a 3 1 Bài 2: Cho a 2 .Tìm Min của S a a2 +Xác định điểm rơi : a=2 cho cặp số Chuyên đề BĐT cauchy 2
Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải a 2 2 1 8 1 1 4 a2 4 +Sai lầm : 1 a 1 7a a 1 7a 2 7a 2 7.2 9 S a 2 . a2 8 a2 8 8 a2 8 8a 8 8.2 8 4 9 Với a=2 thì min S 4 2 2 +Nguyên nhân : Lời giải trên mắc sai lầm ở việc đánh giá mẫu số : “ Nếu a 2 thì là đánh giá 8a 4 sai “ Ta phải làm sao để khi sử dụng BĐT Cauchy sẽ khử hết biến số a ở cả mẫu số và tử số +Lời giải đúng : 1 a a 1 6a a a 1 6.2 9 9 S a 33 . . min S a2 8 8 a2 8 8 8 a2 8 4 4 Đẳng thức xãy ra a 2 a, b 0 1 Bài 3: Cho .Tìm min của S ab a b 1 ab +Sai lầm : Chuyên đề BĐT cauchy 3
Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải 1 S ab 2 min S 2 ab +Nguyên nhân : 1 a b 1 1 min S 2 ab 1 ab 1 ab 2 2 2 (vô lí ) +Lời giải đúng : Đặt 1 1 1 t t 2 4 ab ab a b 2 điều này dẫn đến một bài toán mới 1 Cho t 4 .Tìm min của S t t Với t 4 4 1 t 4 16 1 1 4 t 4 Ta có : 1 t 1 15t t 1 15.4 17 S t 2 . t 16 t 16 16 t 16 4 1 17 Với t 4 hay a b thì min S 2 4 Lời giải bài 3: Do Chuyên đề BĐT cauchy 4
Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải 1 t 4 a b 2 nên 1 1 15 1 15 17 17 S ab ab 2 ab. 2 min S ab 16ab 16ab 16ab a b 4 4 16 2 1 Đẳng thức xãy ra a b 2 3 Bài 4: Cho a,b,c>0 thoả mãn a b c .Tìm min 2 1 1 1 S a2 b2 c2 b2 c2 a2 +Sai lầm : 1 1 1 1 1 1 S 33 a2 2 . b2 2 . c2 36 2 a 2 . 2 b2. 2 c2. 3.6 8 3 2 min S 3 2 b c a2 b2 c2 a2 +Nguyên nhân : 1 1 1 3 min S 3 2 a b c 1 a b c 3 a b c 2 trái với giả thiết . +Xác định điểm rơi : Chuyên đề BĐT cauchy 5
Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải 1 a2 b2 c2 1 4 1 4 a b c 16 2 1 1 1 4 4 a2 b2 c2 +Lời giải đúng : 1 1 1 1 1 1 S a2 2 ... b2 ... c2 ... 16b   16b 2 16c c 2  2 16 16a 2 a 2 16  16 16 16 a2 a2 a2 a b c 17.17 17.17 17.17 17 17 17 17 1616 b 32 1616 b 32 1616 b 32 16 b16 8 16 c16 8 16 a 16 8 1 3 17 3 17 3 17 3 17.17 16 a 5 b 5 c 5 8 217 (2a.2b.2c) 5 2a 2b 2c 15 2 217 3 1 3 17 Với a b c thì min S . 2 2 Bài 5: Cho a,b,c>0 và a 2b 3c 20 .Tìm min của 3 9 4 S a b c a 2b c Chuyên đề BĐT cauchy 6
Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải Lời giải : Ta dự đoán được S=1 tại điểm rơi a=2 , b=3 , c=4 .Sử dụng BĐT Cauchy ta có : 4 4 3 4 a 2 a. 4 a 3 a a 4 a 9 9 1 9 3a b c 3 9 4 b 2 b. 6 b 3 8 b b 2 b 4 2 4 a 2b c 16 16 1 16 c 2 c. 8 c 2 c c 4 c (1) Mà a b 3c a 2b 3c 20 5 4 2 4 (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế được S 13 min S 13 Đẳng thức xãy ra a 2, b 3, c 4 * Baøi taäp töông töï: Bài 6: Cho a, b, c 0 ab 12; bc 8 Chứng minh rằng: 1 1 1 8 121 S ( a b c) 2 ab bc ca abc 2 Bài 7: Cho a,b,c>0 và a=max{a,b,c} . Tìm min của a b c S 2 1 33 1 b c a Chuyên đề BĐT cauchy 7
Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải Bài 8: Cho tam giác ABC .Tìm min của 1 1 1 T sin A sin B sin C sin A sin B sin C Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn .Tìm min của 1 1 1 T sin 2 A sin 2 B sin 2 C cos2 B cos2 C cos2 A x, y , z 0 1 1 1 Baøi 10. Cho 1 1 1 . Tìm GTLN cuûa P . 4 2x y z x 2y z x y 2z x y z Lời giải Sai lầm 1: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 10 Ta coù P 9 2x y z 9 x 2y z 9 x y 2z 18 x y z 9 10 MaxP 9 Sai lầm 2: 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 10 P 33 2 xyz 33 x.2 yz 33 xy 2 z 3 3 2x y z 33 x 2y z 33 x y 2z 9 Nguyeân nhaân sai laàm: Caû hai lôøi giaûi treân ñeàu ñaõ bieát höôùng “ñích” song chöa bieát choïn ñieåm 2x y z 2y x z 10 10 rôi. MaxP 2z x y (vn) , töùc laø khoâng toàn taïi ( x, y, z ) D : P 9 9 1 1 1 4 x y z 4 Lôøi giaûi ñuùng: Töø hai lôøi giaûi treân vôùi döï ñoaùn MaxP ñaït ñöôïc taïi x y z neân taùch caùc 3 soá 2x x x ra cho daáu baèng xaåy ra. Chuyên đề BĐT cauchy 8
Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải 1 1 1 1 1 1 1 Caùch 1: Ta coù , töông töï vaø ta coù: 2x y z x x y z 16 x x y z 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 4 P 1 , vaäy MaxP 1 khi x y z . 16 x y z x y z x y z 3 1 1 Caùch 2: Ta coù 2 x y z x x y z 4 4 x.x. y.z , maët khaùc: 2x y z 4 4 x yz 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 4 . . . , töông töï ta coù: x x y z 4 x x y z 2x y z 16 x y z 1 1 1 1 1 P .4 1 . Daáu “=” xaûy ra khi x y z , suy ra: 16 x y z 4 1 MaxP 1 khi x y z . 4 Ta có thể thể mở rộng bài toán 10. Thành bài toán tổng quát sau. x, y , z 0 1 1 1 Cho 1 1 1 . Tìm GTLN cuûa P . 4 x y z x y z x y z x y z Vôùi , , N Chuyên đề BĐT cauchy 9