KĨ THU T CHUYÊN SÂU GI I PT CH A N TRONG CĂN NGUY N ĐÌNH HUY(THPT HÀM LONG)Ậ Ả Ứ Ẩ Ễ
KĨ THU T CHUYÊN SÂU GI I PH NG TRÌNH CH A N TRONG CĂNẬ Ả ƯƠ Ứ Ẩ
L I T A: Ờ Ự Ph ng trình ch a n trong căn là m t trong nh ng m ngươ ứ ẩ ộ ữ ả
ki n th c hay c a ch ng trình Toán 10; t n s xu t hi n trong đ thi Đ i h cế ứ ủ ươ ầ ố ấ ệ ề ạ ọ
hàng năm t ng đ i cao.ươ ố V căn b n các em đã đ c h c các ph ng pháp gi iề ả ượ ọ ươ ả
PT ch a n trong căn; trong đó ph i k đ n 3 PP c b n hay g p nh t, đó là: ứ ẩ ả ể ế ơ ả ặ ấ
PP bi n đ i ( bđ tđ, bđ v pt h qu )ế ổ ề ệ ả
PP đ t n ph ( đ i bi n )ặ ẩ ụ ổ ế
PP đánh giá
Tuy nhiên vì v n đ th i l ng các em ch a th lĩnh h i đ c nhi u kĩ thu t gi iấ ề ờ ượ ư ể ộ ượ ề ậ ả
trong m i PP. Đ đáp ng nhu c u tìm tòi, khám phá, sáng t o và đ c bi t là ôn thiỗ ể ứ ầ ạ ặ ệ
Đ i h c c a các em, sau đây chúng ta s nghiên c u chuyên sâu t ng PP gi i trênạ ọ ủ ẽ ứ ừ ả
và khai thác m r ng đ th y đ c cái hay trong t ng tình hu ng, t ng bài toán cở ộ ể ấ ượ ừ ố ừ ụ
th .ể
I )Ph ng pháp bi n đ iươ ế ổ
Tr c đây các em đã đ c làm quen vi c bình ph ng(ho c mũ 3) 2 vướ ượ ệ ươ ặ ế
c a m t ph ng trình trong m t đi u ki n xác đ nh nào đó.ủ ộ ươ ộ ề ệ ị
1/ KĨ THU T 1:Ậ Bình ph ng( mũ hóa ) 2 vươ ế
- Ki n th c c b nế ứ ơ ả :
+)
2
( ) ( 0) ( ) ;f x a a f x a= =��
+)
2
( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x= =�
+)
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) ( )
g x
f x g x f x g x
= =
+)
( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( )
f x hoac g x
f x g x f x g x
= =
+)
3
3
( ) ( ) ( ) ( );f x g x f x g x= =�
+)
3 3
( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x= =�
* Chú ý trong các công th c trên thông th ng ứ ườ
( ) & ( )f x g x
là các hàm
xác đ nh trên R; các tr ng h p khác ph i tìm đi u ki n xác đ nh tr c khi bi nị ườ ợ ả ề ệ ị ướ ế
đ i ổ
Ví d 1: gi i PT ụ ả
2
4 2 2 1x x x− + = −
HS t làm – v n d ng ki n th c quen thu c: bình ph ng 2 v (đi u ki n)ự ậ ụ ế ứ ộ ươ ế ề ệ
KĨ THU T CHUYÊN SÂU GI I PT CH A N TRONG CĂN NGUY N ĐÌNH HUY(THPT HÀM LONG)Ậ Ả Ứ Ẩ Ễ
- có nh ng PT ph i bình ph ng 2 v 2 l n m i kh h t căn b c 2, ta xét các PTữ ả ươ ế ầ ớ ử ế ậ
d i đâyướ
Ví d 2: gi i các PT ụ ả
a/
1 2 2 3x x x+ + − = +
b)
c)
2 3 2 4 1x x x− + + − +
=0
- Hãy luôn nh đ n đi u ki n khi bi n đ i, tìm thao tác d hi u nh t cho mình.ớ ế ề ệ ế ổ ễ ể ấ
- T ng quát: d ng ổ ạ
ax ex 0m b n cx d p f+ + + + + =
(có 3 căn b2 ho c 2 căn và 1 sặ ố
khác không)
PP gi i: PP bi n đ i, kĩ thu t gi i: bình ph ng 2 v 2 l n(đk)ả ế ổ ậ ả ươ ế ầ
- Tình hu ng m i n y sinh: xem bài toán sauố ớ ả
Ví d 3: gi i PT ụ ả
11 1 2x x− − − =
(1)
M t b n HS gi i nh sau:ộ ạ ả ư
(1)
2
2
1 11
1 11 1 11
12 11 9
11 1 2 (11 )( 1) 4 12 11 3
x
xx
x x
x x x x x x
� �
� � �
� � �
− + − =
− + − − − − = − + − =
2
1 11 1 11
2, 10
12 20 0
xx
x x
x x
� �
� � = =
− + =
2, 10x x= =�
2
1 11 1 11
2, 10
12 20 0
xx
x x
x x
� �
� � = =
− + =
V y nghi m c a PT là x=2, x=10ậ ệ ủ
H i l i gi i trên Đúng hay Sai? Vì sao?ỏ ờ ả
V n đ Sai ngay t b c bi n đ i đ u tiên( m r ng đi u ki n xác đ nh d n đ nấ ề ừ ướ ế ổ ầ ở ộ ề ệ ị ẫ ế
th a nghi m ).ừ ệ
Kh c phuc:ắ
(1)
2
1 11
1 11 1 11
11 1 2 4 0
11 1 4 1 4 2 1 4 4 4 8 16
x
x x
x x x
x x x x x x x x
� �
� � �
− = − + − +� � � � �
� � �
− = − + − + − = − +
� �
� � − = − +
2
1 11 1 4
4 2
2, 10
12 20 0
xx
x x
x x
x x
=��
� � = =
− + =
V y nghi m c a PT là x=2./.ậ ệ ủ
KĨ THU T CHUYÊN SÂU GI I PT CH A N TRONG CĂN NGUY N ĐÌNH HUY(THPT HÀM LONG)Ậ Ả Ứ Ẩ Ễ
BT 1 ( v n d ng ): gi i PT ậ ụ ả
4 1 1 2x x x+ − − = −
( đáp s x= 0 )ố
BT 2 ( v n d ng nâng cao ) gi i PT ậ ụ ả
2 2
3 1 9 10 9x x x x x+ − − − = −
- Ti p t c khai thác phát tri n kĩ thu t 1 ta m nh d n đ a vào áp d ng cho PT cóế ụ ể ậ ạ ạ ư ụ
s l ng bi u th c căn nhi u h n sau đây.ố ượ ể ứ ề ơ
Ví d 4: gi i PT ụ ả
3 2 2 3 4 3 2x x x x+ + + = + + +
- T ng quát ví d 4: d ng ổ ụ ạ
ax mx pxb cx d n q+ + + = + + +
a,b,c,d,m,n,p,q là các h s th c th a mãn đk ệ ố ự ỏ
a c m q
b d n q
+ = +
+ = +
PP gi i: PP bi n đ i, kĩ thu t gi i: bình ph ng 2 v 2 l n(đk)ả ế ổ ậ ả ươ ế ầ
BT 3 ( v n d ng ): gi i các PT ậ ụ ả
a)
2 5 3 5 11 4 9x x x x+ − + = + − +
( Đk
11
5
x−
… nghi m là x = - 2)ệ
b)
2 1 7 6 6 16 3 2x x x x+ − + = + − +
c)
10 1 2 2 9 4 3 5x x x x+ − − = + − −
( D b Đ i h c kh i B-2008 )ự ị ạ ọ ố
- Bài t pậ c ng c -v nhàủ ố ề
BT 4: gi i các PT ả
a)
5 1 3 2 1x x x− − − = −
b)
2 2 2
3 2 6 5 2 9 7 0x x x x x x+ + + + + − + + =
c)
8 2 2 3 7 4 5x x x x+ + + = + + +
d)
8 2 7 1 7 4x x x x+ + + + + − + =
e)
3 3 3
1 2 2 3x x x− + − = −
( m r ng nâng cao )ở ộ
BT 5: gi i PT ả
( )
−=
− − +
2
x x 1
1 2 x x 1
( Theo Đ i h c kh i A - 2010ạ ọ ố )
HD:
Ta có:
( ) ( )
� �
� �
� �
− + = − + ∀ − − + < ∀� �
� �
� �
� �
� �
2
2 2
1 3 3
2 x x 1 2 x , x 1 2 x x 1 0, x
2 4 2
pt
( )
− = − − +�
2
x x 1 2 x x 1
( )
( )
− + = + −�
2
2 x x 1 x 1 x
KĨ THU T CHUYÊN SÂU GI I PT CH A N TRONG CĂN NGUY N ĐÌNH HUY(THPT HÀM LONG)Ậ Ả Ứ Ẩ Ễ
( )
( )
( )
� �
− + = + −�� �
� �
2
2
2 1 x x x 1 x
( )
( )
( )
+ −
− − =
2
x 1 x 0
1 x x 0
−
+ −
� �
� � − =
− =
2
1 x 0
x 1 x 0
(1 x) x
1 x x
−
=� � 3 5
... x 2
- BT5 trên đây đã có s k t h p tinh t gi a KT1 v i m t góc nhìn m i mà các emự ế ợ ế ữ ớ ộ ớ
s đ c khai thác m r ng sâu h n trong ph n cu i c a bài vi t và ph n PP đ tẽ ượ ở ộ ơ ầ ố ủ ế ầ ặ
n ph .ẩ ụ
- Sau đây các em hãy nhìn l i ph n c bài t p 3 trên và xét góc đ khác v i m tạ ầ ậ ở ở ộ ớ ộ
cách nhìn khác; l u ý ta đã bi t r ng ư ế ằ
a b
a b a b
−
− = +
và
a b
a b a b
−
+ = −
( nhân v i bi u th c liên h p)ớ ể ứ ợ
T t nhiên các bi n đ i th c hi n trong đi u ki n xác đ nh.ấ ế ổ ự ệ ề ệ ị
2/ KĨ THU T 2:Ậ Nhân liên h pợ
Ví d 5: gi i PT ụ ả
10 1 2 2 9 4 3 5x x x x+ − − = + − −
(1) (D b Đ i h c kh i B-ự ị ạ ọ ố
2008)
Gi i: đk ả
5
3
x
. Khi đó
(1)
( 10 1 9 4) ( 3 5 2 2) 0x x x x+ − + + − − − =�
1 1
( 3)( ) 0
10 1 9 4 3 5 2 2
3 0 3( / )
xx x x x
x x t m
− + =�+ + + − + −
− = =� �
…..(vì
1 1
10 1 9 4 3 5 2 2x x x x
+
+ + + − + −
>0 v i m i x th a mãn đk trên)ớ ọ ỏ
- Hãy tìm cách t ng t đ i v i nh ng bài 3ab, 4c xem sao……ươ ự ố ớ ữ
- Tuy nhiên không ph i bài nào cũng d dàng tìm đ c nhi u l aj ch n trong cáchả ễ ượ ề ơ ọ
gi i, ta xét ví d sau đâyả ụ
Ví d 6: gi i PT ụ ả
2 2 2 2
3 7 3 2 3 5 1 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − +
(1)
Gi i: đk... Khi đóả
(1)
2 2 2 2
( 3 5 1 3 7 3) ( 2 3 4) 0x x x x x x x− − − − + + − − − + =�
2 2 2 2
2 3
( 2)( ) 0
3 5 1 3 7 3 2 3 4
2 0 2( / )
x
x x x x x x x
x x t m
− + =�− − + − + − + − +
− = =� �
KĨ THU T CHUYÊN SÂU GI I PT CH A N TRONG CĂN NGUY N ĐÌNH HUY(THPT HÀM LONG)Ậ Ả Ứ Ẩ Ễ
(Vì ….)
- Th t khó đ tìm đ c cách gi i khác cho ví d 6 trên! Ti p theo đây các emậ ể ượ ả ụ ở ế
hãy suy nghĩ xem KT2 có v n dung đ c cho nh ng bài t p ki u khác hay không?ậ ượ ữ ậ ể
Ví d 7: gi i PT ụ ả
2 1 2 2x x x− − + = −
(1)
Gi i: đk ả
1x
. Khi đó
(1)
2 0(2)
4( 1) ( 2) 3
2 ( 2)( 1) 0 31 0(3)
2 1 2 2 1 2 2 1 2
x
x x x x
x x x x x x
− =
− − −
= − − − =� � � − =
− + + − + + − + +
+) (2)
2( / )x t m=�
+) (3)
2 1 2 3x x− + + =�
( đã bi t cách gi i )ế ả
- T ng quát cho ví d 7: d ng ổ ụ ạ
ax ( )b m cx d n px q+ + + = +
a,b,c,d,m,n,p,q là các h s th c th a mãn đk ệ ố ự ỏ
2
2
, , , 0
p a m c
q b m d
a c m p
= −
= −
PP gi i: PP bi n đ i, kĩ thu t gi i: nhân v i bi u th c liên h p v tráiả ế ổ ậ ả ớ ể ứ ợ ở ế
làm
xu t hi n nhân t .ấ ệ ử
BT 6 ( v n d ng ): gi i các PT ậ ụ ả
a)
3
4 1 3 2 5
x
x x +
+ − − =
b)
3 2 (1 2011 ) 1x x x x− − = − −
- Có nh ng tình hu ng đ bài toán có ch a bi u th c căn l ng(căn trong căn) ho cữ ố ề ứ ể ứ ồ ặ
xu t hi n đan xen căn th c v i giá tr tuy t đ i đòi h i ta ph i chia kho ng và xétấ ệ ứ ớ ị ệ ố ỏ ả ả
t ng tr ng h p có th x y ra c a bi n x. ta xét ví d sau đây v i kĩ thu t đóừ ườ ợ ể ả ủ ế ụ ớ ậ
3/ KĨ THU T 3:Ậ Chia kho ngả
Ví d 8: gi i PT ụ ả
2 2 2
10 9 2 1 4 4x x x x x x+ + = + + + + +
(1)
Gi i: đk ả
2
2 2
2
10 9 0 1
2 1 0 10 9 0 9
4 4 0
x x x
x x x x x
x x
+ + −
+ + + +�� ��
−
+ +
(*)
Khi đó, (1)
2
10 9 1 2x x x x+ + = + + +�
Do (*) nên ta xét 2 tr ng h p sauườ ợ
TH1:
1x −
,