Luận án Tiến sĩ Toán học: Hệ nhân tử trog nhóm phạm trù phân bậc

Chia sẻ: Quỳnh Quỳnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:52

Thêm vào BST

Báo xấu

132
lượt xem 17
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án Tiến sĩ Toán học: Hệ nhân tử trog nhóm phạm trù phân bậc gồm 5 chương, trình bày về một số kiến thức chuẩn bị, phân lớp các hàm tử monoidal và ứng dụng, nhóm phạm trù chặt chẽ và mở rộng nhóm kiểu môđun chéo, nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ và mở rộng nhóm đẳng biến, Ann phạm trù chặt chẽ và mở rộng kiểu E hệ chính quy.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Hệ nhân tử trog nhóm phạm trù phân bậc

§¹i häc huÕ Trêng ®¹i häc s ph¹m ph¹m thÞ cóc HÖ nh©n tö trong nhãm ph¹m trï ph©n bËc Chuyªn ngµnh: §¹i sè vµ Lý thuyÕt sè M· sè: 62. 46. 05. 01 luËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc HuÕ - 2014
LuËn ¸n ®îc hoµn thµnh t¹i: Trêng §¹i häc s ph¹m, §¹i häc HuÕ Ngêi híng dÉn khoa häc: 1. PGS. TS. NguyÔn TiÕn Quang 2. GS. TS. Lª V¨n ThuyÕt Ph¶n biÖn 1: Ph¶n biÖn 2: Ph¶n biÖn 3: LuËn ¸n sÏ ®îc b¶o vÖ t¹i Héi ®ång chÊm luËn ¸n cÊp §¹i häc HuÕ häp t¹i: Vµo håi ... giê ... ngµy ... th¸ng ... n¨m 2014 Cã thÓ t×m hiÓu luËn ¸n t¹i: - Trung t©m häc liÖu - §¹i häc HuÕ - Th viÖn Trêng §¹i häc s ph¹m - §¹i häc HuÕ
Më ®Çu Sau khi kh¸i niÖm ph¹m trï monoidal (hay ph¹m trï tenx¬) ®îc ®Ò xuÊt bëi J. BÐnabou, S. Mac Lane, G. M. Kelly, ... vµo ®Çu nh÷ng n¨m 60 cña thÕ kû tríc, nã ®· ®îc nhiÒu ngêi quan t©m nghiªn cøu vµ ph¸t triÓn kh¸ nhanh. Ph¹m trï monoidal ®îc "mÞn hãa" ®Ó trë thµnh ph¹m trï víi cÊu tróc nhãm khi bæ sung thªm kh¸i niÖm vËt kh¶ nghÞch. Trong trêng hîp ph¹m trï nÒn lµ mét groupoid (nghÜa lµ mäi mòi tªn trong ph¹m trï ®Òu lµ ®¼ng cÊu) th× ta thu ®îc kh¸i niÖm nhãm ph¹m trï. Trong trêng hîp nhãm ph¹m trï cã thªm rµng buéc giao ho¸n th× ta thu ®îc kh¸i niÖm nhãm ph¹m trï ®èi xøng (hay ph¹m trï Picard. Nh÷ng t¸c gi¶ ®Çu tiªn nghiªn cøu vÒ nhãm ph¹m trï mµ ta cã thÓ kÓ ®Õn lµ N. Saavedra Rivano, H. X. SÝnh, M. L. Laplaza, ... Trong luËn ¸n cña m×nh n¨m 1975, H. X. SÝnh ®· m« t¶ cÊu tróc cña nhãm ph¹m trï vµ ph¹m trï Picard vµ ph©n líp chóng bëi nhãm ®èi ®ång ®iÒu chiÒu 3 cña c¸c nhãm. KÕt qu¶ nµy ®· cho phÐp x¸c lËp mèi liªn hÖ gi÷a lý thuyÕt nhãm ph¹m trï, ®èi ®ång ®iÒu nhãm vµ bµi to¸n më réng nhãm cæ ®iÓn cña Schreier - Eilenberg - Mac Lane. Sau ®ã, lý thuyÕt nhãm ph¹m trï víi tÝnh kh¸i qu¸t cña nã ngµy cµng cã nhiÒu øng dông. C¸c nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc ®îc giíi thiÖu lÇn ®Çu tiªn bëi A. Frohlich vµ C. T. C. Wall (1974). Vµo n¨m 2002, A. M. Cegarra vµ c¸c céng sù ®· chøng minh ®Þnh lý ph©n líp chÝnh x¸c cho ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï ph©n bËc vµ c¸c hµm tö monoidal ph©n bËc bëi nhãm ®èi ®ång ®iÒu ®¼ng biÕn chiÒu thø 3. Sau ®ã, c¸c kÕt qu¶ nµy ®· ®îc ¸p dông ®Ó ®a ra lêi gi¶i thÝch hîp cho bµi to¸n më réng ®¼ng biÕn cña nhãm víi h¹t nh©n kh«ng aben. Nhãm ph¹m trï bÖn ®îc xÐt tíi lÇn ®Çu bëi A. Joyal vµ R. Street (1993) nh mét më réng cña ph¹m trï Picard, trong ®ã c¸c nhãm ph¹m trï bÖn ®· 3 ®îc ph©n líp bëi nhãm ®èi ®ång ®iÒu aben Hab (M, N ). Bµi to¸n ph©n líp ®ång lu©n cho ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc, vµ trêng hîp riªng cña nã lµ ph¹m trï c¸c ph¹m trï Picard ph©n bËc ®· ®îc A. M. Cegarra vµ E. Khmaladze gi¶i quyÕt vµo n¨m 2007. Vµo n¨m 2010, N. T. Quang ®· giíi thiÖu mét c¸ch tiÕp cËn kh¸c cho bµi to¸n ph©n líp ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc dùa trªn ph¬ng ph¸p 1
hÖ nh©n tö (hay gi¶ hµm tö theo nghÜa cña A. Grothendieck). Ph¬ng ph¸p nµy cã nhiÒu triÓn väng trong viÖc ¸p dông cho ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï bÖn Γ-ph©n bËc. NÕu nh nhãm ph¹m trï ®îc xem nh lµ mét phiªn b¶n ph¹m trï cña cÊu tróc nhãm th× vµo n¨m 1988 N. T. Quang ®· ®a ra kh¸i niÖm Ann-ph¹m trï, xem nh mét ph¹m trï hãa cña kh¸i niÖm vµnh, víi nh÷ng ®ßi hái vÒ tÝnh kh¶ nghÞch cña c¸c vËt vµ cña c¸c mòi tªn trong ph¹m trï nÒn. §Æc biÖt, líp c¸c Ann-ph¹m trï chÝnh quy (rµng buéc ®èi xøng tháa m·n ®iÒu kiÖn cX,X = id ®èi víi mäi vËtX ) ®· ®îc N. T. Quang ph©n líp bëi nhãm ®èi ®ång ®iÒu cña 3 ®¹i sè kÕt hîp HShu (R, M ) theo nghÜa cña Shukla. Sau ®ã, bµi to¸n ph©n líp c¸c Ann-hµm tö ®· ®îc N. T. Quang vµ D. D. Hanh (2009) gi¶i quyÕt nhê c¸c nhãm ®èi ®ång ®iÒu chiÒu thÊp cña ®èi ®ång ®iÒu vµnh Mac Lane, vµ chØ ra mèi liªn hÖ gi÷a bµi to¸n më réng vµnh vµ lý thuyÕt c¶n trë cña c¸c Ann-hµm tö. GÇn ®©y nhÊt (2013), bµi to¸n ph©n líp c¸c Ann-ph¹m trï trong trêng hîp tæng qu¸t ®· ®îc N. T. Quang gi¶i quyÕt trän vÑn. M«®un chÐo cña c¸c nhãm ®îc J. H. C. Whitehead ®a ra vµo n¨m 1949 trong c«ng tr×nh nghiªn cøu cña «ng vÒ biÓu diÔn 2-d¹ng ®ång lu©n mµ kh«ng cã sù trî gióp cña lý thuyÕt ph¹m trï. Vµo n¨m 1976, R. Brown vµ C. Spencer ®· chØ ra r»ng mçi m«®un chÐo ®Òu x¸c ®Þnh mét G -groupoid (nghÜa lµ, mét nhãm ph¹m trï chÆt chÏ) vµ ngîc l¹i, do ®ã m«®un chÐo cã thÓ ®îc nghiªn cøu bëi lý thuyÕt ph¹m trï. KÕt qu¶ nµy cho phÐp x¸c lËp mèi liªn hÖ gi÷a lý thuyÕt nhãm ph¹m trï víi m«®un chÐo, mét kh¸i niÖm c¬ b¶n vµ cã nguån gèc tõ t«p« ®¹i sè. Bµi to¸n më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo, mét d¹ng kh¸i qu¸t cña bµi to¸n më réng nhãm cæ ®iÓn, ®îc P. Dedeker giíi thiÖu n¨m 1964 ®· ®îc R. Brown vµ O. Mucuk gi¶i quyÕt (1994), trong ®ã c¸c t¸c gi¶ ®· gi¶i thÝch vµ chøng minh ®Þnh lý vÒ sù tån t¹i vµ ph©n líp c¸c më réng lo¹i nµy b»ng c¸ch sö dông ph¬ng ph¸p phøc chÐo, t¬ng tù nh ph¬ng ph¸p phøc xÝch trong ®¹i sè ®ång ®iÒu. Mét d¹ng kh¸i qu¸t kh¸c cña bµi to¸n më réng nhãm cæ ®iÓn lµ bµi to¸n më réng nhãm ®¼ng biÕn ®· ®îc A. M. Cegarra vµ c¸c ®ång t¸c gi¶ gi¶i quyÕt cã sö dông kÕt qu¶ cña lý thuyÕt nhãm ph¹m trï ph©n bËc. Kh¸i niÖm m«®un chÐo cña c¸c nhãm cña J. H. C. Whitehead (1949) còng ®· ®îc tæng qu¸t hãa theo nhiÒu c¸ch kh¸c nhau. Vµo n¨m 2002, H. -J. Baues ®· giíi thiÖu kh¸i niÖm m«®un chÐo trªn c¸c k-®¹i sè (k lµ trêng). Sau ®ã, 2
H. -J. Baues vµ T. Pirashvili (2004) ®· thay thÕ trêng k bëi vµnh giao ho¸n K vµ gäi c¸c m«®un chÐo trªn c¸c K-®¹i sè lµ song m«®un chÐo. §Æc biÖt, víi K = Z th× thu ®îc kh¸i niÖm song m«®un chÐo trªn c¸c vµnh. Kh¸i niÖm m«®un chÐo trªn c¸c nhãm cã thÓ ®îc x¸c ®Þnh trªn vµnh theo mét c¸ch kh¸c, mµ chóng t«i gäi lµ E-hÖ. Trêng hîp ®Æc biÖt cña E-hÖ, E-hÖ chÝnh quy, trïng víi kh¸i niÖm song m«®un chÐo trªn vµnh, vµ do ®ã kh¸i niÖm E-hÖ lµ yÕu h¬n kh¸i niÖm song m«®un chÐo trªn vµnh. T¬ng tù nh m«®un chÐo trªn c¸c nhãm, chóng t«i biÓu diÔn c¸c E-hÖ chÝnh quy th«ng qua c¸c Ann-ph¹m trï chÆt chÏ, vµ tõ ®ã ph©n líp ph¹m trï c¸c E-hÖ chÝnh quy. §ång thêi, chóng t«i ®a ra vµ gi¶i quyÕt bµi to¸n më réng vµnh kiÓu E-hÖ chÝnh quy, xem nh lµ mét øng dông cña kh¸i niÖm E-hÖ còng nh cña lý thuyÕt Ann-ph¹m trï. Mét phiªn b¶n kh¸c cña kh¸i niÖm m«®un chÐo trªn c¸c nhãm lµ kh¸i niÖm m«®un chÐo Γ-®¼ng biÕn (hay Γ-m«®un chÐo). Kh¸i niÖm nµy ®· ®îc B. Noohi ®a ra vµo n¨m 2011 khi so s¸nh c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c nhau ®Ó ®Þnh nghÜa ®èi ®ång ®iÒu nhãm víi c¸c hÖ tö trong mét m«®un chÐo. Víi kh¸i niÖm nµy, chóng t«i giíi thiÖu kh¸i niÖm nhãm ph¹m trï ph©n bËc chÆt chÏ ®Ó biÓu diÔn c¸c Γ-m«®un chÐo, ph¸t biÓu vµ gi¶i bµi to¸n më réng nhãm ®¼ng biÕn kiÓu Γ-m«®un chÐo. Ngoµi c¸c phÇn më ®Çu vµ kÕt luËn, luËn ¸n gåm 5 ch¬ng nh sau. Ch¬ng 1, Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ, tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ ®· biÕt cña lý thuyÕt ph¹m trï víi cÊu tróc sÏ ®îc sö dông cho c¸c ch¬ng sau. Ch¬ng 2, Ph©n líp c¸c hµm tö monoidal kiÓu (ϕ, f ) vµ øng dông, bao gåm mét sè néi dung sau. Tríc hÕt, chóng t«i m« t¶ vÒ c¸c hµm tö monoidal gi÷a c¸c nhãm ph¹m trï kiÓu (Π, A), tr×nh bµy lý thuyÕt c¶n trë vµ ®Þnh lý ph©n líp cho c¸c hµm tö lo¹i nµy. Tõ ®ã chøng minh ®Þnh lý ph©n líp cho ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï vµ ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï bÖn, ®ång thêi giíi thiÖu mét øng dông ®¹i sè cña lý thuyÕt c¶n trë cña c¸c hµm tö monoidal liªn quan ®Õn bµi to¸n më réng nhãm. Còng trong Ch¬ng 2 nµy, chóng t«i chøng minh ®Þnh lý ph©n líp cho ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc b»ng ph¬ng ph¸p hÖ nh©n tö. Ch¬ng 3, Nhãm ph¹m trï chÆt chÏ vµ më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo, nghiªn cøu vÒ mèi liªn hÖ gi÷a m«®un chÐo, nhãm ph¹m trï chÆt chÏ vµ bµi 3
to¸n më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo. Chóng t«i chØ ra mèi liªn hÖ gi÷a c¸c ®ång cÊu m«®un chÐo víi c¸c hµm tö monoidal gi÷a c¸c nhãm ph¹m trï chÆt chÏ liªn kÕt víi c¸c m«®un chÐo ®ã, tõ ®ã thu ®îc ®Þnh lý ph©n líp cho ph¹m trï c¸c m«®un chÐo lµ më réng mét kÕt qu¶ ®· biÕt cña R. Brown vµ C. Spencer. Chóng t«i còng sö dông lý thuyÕt nhãm ph¹m trï chÆt chÏ ®Ó thu l¹i ®îc kÕt qu¶ cña bµi to¸n më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo cña R. Brown vµ c¸c céng sù. Ch¬ng 4, Nhãm ph¹m trï ph©n bËc chÆt chÏ vµ më réng nhãm ®¼ng biÕn kiÓu Γ-m«®un chÐo, tr×nh bµy lý thuyÕt më réng nhãm ®¼ng biÕn kiÓu Γ-m«®un chÐo, mét kh¸i qu¸t chung cho c¶ hai lý thuyÕt më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo cña R. Brown vµ lý thuyÕt më réng nhãm ®¼ng biÕn cña A. M. Cegarra. Chóng t«i còng biÓu diÔn c¸c Γ-m«®un chÐo qua c¸c nhãm ph¹m trï ph©n bËc chÆt chÏ ®Ó tõ ®ã ph©n líp c¸c Γ-m«®un chÐo. Ch¬ng 5, Ann-ph¹m trï chÆt chÏ vµ më réng vµnh kiÓu E-hÖ chÝnh quy, nghiªn cøu vÒ E-hÖ, mèi liªn hÖ cña chóng víi mét sè kh¸i niÖm liªn quan ®· biÕt vµ t×m kiÕm øng dông liªn quan ®Õn bµi to¸n më réng. Chóng t«i giíi thiÖu kh¸i niÖm E-hÖ vµ E-hÖ chÝnh quy nh lµ mét phiªn b¶n cña m«®un chÐo trªn c¸c nhãm cho vµnh, trong ®ã c¸c E-hÖ chÝnh quy ®îc biÓu diÔn th«ng qua c¸c Ann-ph¹m trï chÆt chÏ, ®ång thêi c¸c E-hÖ chÝnh quy chÝnh lµ c¸c song m«®un chÐo trªn vµnh. Chóng t«i ®a ra vµ gi¶i quyÕt bµi to¸n më réng vµnh kiÓu E-hÖ chÝnh quy, xem nh lµ mét øng dông cña kh¸i niÖm E-hÖ còng nh cña lý thuyÕt Ann-ph¹m trï. ViÖc ®¸nh sè c¸c ch¬ng, môc, ®Þnh lý, mÖnh ®Ò, ... trong b¶n tãm t¾t nµy ®îc gi÷ nguyªn nh ë trong luËn ¸n. C¸c kÕt qu¶ cña luËn ¸n ®îc viÕt thµnh 5 bµi b¸o, trong ®ã cã 4 bµi ®· ®îc ®¨ng (víi 3 bµi trªn 3 t¹p chÝ quèc tÕ thuéc danh môc MathSciNet), 1 bµi ë d¹ng tiÒn c«ng bè. 4
Ch¬ng 1 Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ Trong ch¬ng nµy chóng t«i tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ c¬ b¶n nhÊt liªn quan ®Õn nhãm ph¹m trï, nhãm ph¹m trï ph©n bËc, nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc vµ Ann-ph¹m trï. 1.1 Nhãm ph¹m trï (bÖn) ph©n bËc 1.1.1 Nhãm ph¹m trï Mét nhãm ph¹m trï (G, ⊗, I, a, l, r) lµ mét ph¹m trï monoidal trong ®ã tÊt c¶ c¸c vËt ®Òu kh¶ nghÞch (theo nghÜa víi mçi vËt X ®Òu tån t¹i mét vËt Y sao cho X ⊗ Y I Y ⊗ X ) vµ ph¹m trï nÒn lµ mét groupoid, nghÜa lµ tÊt c¶ c¸c mòi tªn ®Òu lµ ®¼ng cÊu. NÕu víi mçi vËt X ®Òu tån t¹i mét vËt Y sao cho X ⊗ Y = I = Y ⊗ X vµ c¸c rµng buéc kÕt hîp a, c¸c rµng buéc ®¬n vÞ l, r ®Òu lµ c¸c phÐp ®ång nhÊt th× G lµ mét nhãm ph¹m trï chÆt chÏ. 1.1.2 Nhãm ph¹m trï thu gän vµ c¸c t¬ng ®¬ng chÝnh t¾c Mçi nhãm ph¹m trï G x¸c ®Þnh hoµn toµn ba bÊt biÕn: mét nhãm Π, mét Π-m«®un tr¸i A vµ mét 3-®èi chu tr×nh k ∈ Z 3 (Π, A). Khi ®ã, ta x©y dùng ®îc mét nhãm ph¹m trï SG t¬ng ®¬ng monoidal víi nhãm ph¹m trï G nhê c¸c t¬ng ®¬ng monoidal chÝnh t¾c, vµ SG ®îc gäi lµ mét thu gän cña nhãm ph¹m trï G. Ta nãi SG cã kiÓu (Π, A, k), hoÆc ®¬n gi¶n lµ kiÓu (Π, A). 1.1.3 Nhãm ph¹m trï ph©n bËc Mét ph¹m trï monoidal Γ-ph©n bËc G = (G, gr, ⊗, I, a, l, r) bao gåm: i) mét ph¹m trï Γ-ph©n bËc æn ®Þnh (G, gr), c¸c hµm tö Γ-ph©n bËc ⊗ : 5
G ×Γ G → G vµ I : Γ → G, ∼ ii) c¸c ®¼ng cÊu tù nhiªn bËc 1 aX,Y,Z : (X ⊗ Y ) ⊗ Z → X ⊗ (Y ⊗ Z), lX : ∼ ∼ I ⊗ X → X, rX : X ⊗ I → X tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn khíp cña mét ph¹m trï monoidal. Mét nhãm ph¹m trï ph©n bËc lµ mét ph¹m trï monoidal ph©n bËc G trong ®ã mäi vËt ®Òu kh¶ nghÞch vµ mäi mòi tªn ®Òu lµ ®¼ng cÊu. 1.1.4 Nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc Mét nhãm ph¹m trï bÖn G lµ mét nhãm ph¹m trï ®îc trang bÞ thªm mét rµng buéc bÖn t¬ng thÝch víi c¸c rµng buéc ®¬n vÞ vµ kÕt hîp. Mét nhãm ph¹m trï bÖn Γ-ph©n bËc (G, gr) lµ mét ph¹m trï monoidal Γ-ph©n bËc tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn khíp cña mét nhãm ph¹m trï bÖn. 1.2 Ann-ph¹m trï 1.2.1 Ann-ph¹m trï Ann-ph¹m trï lµ líp ph¹m trï m« pháng cÊu tróc cña vµnh ®îc N. T. Quang ®a ra vµo n¨m 1988, ®ã lµ mét ph¹m trï A cïng víi hai song hµm tö ⊕, ⊗ : A × A → A tháa m·n mét sè tiªn ®Ò t¬ng tù nh ®èi víi mét vµnh. §Æc biÖt, khi tÊt c¶ c¸c rµng buéc ®èi víi hai phÐp to¸n ⊕, ⊗ ®Òu lµ ®ång nhÊt th× ta thu ®îc kh¸i niÖm Ann-ph¹m trï chÆt chÏ. 1.2.2 Ann-hµm tö Mét Ann-hµm tö lµ mét hµm tö F gi÷a hai Ann-ph¹m trï sao cho F võa lµ mét hµm tö monodial ®èi xøng ®èi víi phÐp to¸n ⊕, võa lµ mét hµm tö monoidal ®èi víi phÐp to¸n ⊗ vµ t¬ng thÝch víi c¸c rµng buéc ph©n phèi. 1.2.3 Ann-ph¹m trï thu gän N. T. Quang ®· chØ ra r»ng mçi Ann-ph¹m trï x¸c ®Þnh hoµn toµn ba bÊt 3 biÕn: mét vµnh R, mét R-song m«®un M vµ mét phÇn tö h ∈ ZM acL (R, M ). Tõ ®ã, x©y dùng ®îc mét Ann-ph¹m trï thu gän SA = (R, M, h) t¬ng ®¬ng víi A, gäi lµ Ann-ph¹m trï kiÓu (R, M ). 6
Ch¬ng 2 Ph©n líp c¸c hµm tö monoidal kiÓu (ϕ, f ) vµ øng dông Trong ch¬ng nµy, chóng t«i m« t¶ kiÓu cña c¸c hµm tö monoidal gi÷a c¸c nhãm ph¹m trï thu gän vµ tr×nh bµy mét vµi øng dông cña chóng. 2.1 Ph©n líp ®èi ®ång ®iÒu c¸c hµm tö monoidal kiÓu (ϕ, f ) MÖnh ®Ò díi ®©y ®îc ®a ra bëi H. X. SÝnh (1975). MÖnh ®Ò 2.1. Gi¶ sö (F, F ) : G → G lµ mét hµm tö monoidal. Khi ®ã (F, F ) c¶m sinh cÆp ®ång cÊu nhãm F0 : π0 G → π0 G , [X] → [F X], −1 F1 : π1 G → π1 G , u → γF I (F u), tho¶ m·n ®iÒu kiÖn F1 (su) = F0 (s)F1 (u), trong ®ã ®¼ng cÊu γX (u) ®îc cho bëi: γX (u) = lX ◦ (u ⊗ id) ◦ l−1 . X Tríc hÕt, chóng t«i lµm m¹nh MÖnh ®Ò 2.1 bëi MÖnh ®Ò 2.4 khi kh¼ng ®Þnh r»ng mçi hµm tö monoidal (F, F ) : G → G c¶m sinh mét hµm tö monoidal SG → SG . Chóng t«i cÇn tíi hai bæ ®Ò sau: Bæ ®Ò 2.2. Cho hai ⊗-ph¹m trï G, G víi c¸c rµng buéc t¬ng øng lµ (I, l, r) vµ (I , l , r ). Gi¶ sö (F, F , F∗ ) : G → G lµ mét ⊗-hµm tö t¬ng thÝch víi c¸c −1 −1 rµng buéc ®¬n vÞ. Khi ®ã, γF I (F u) = F∗ F (u)F∗ . −1 Bæ ®Ò 2.3. Víi c¸c gi¶ thiÕt cña Bæ ®Ò 2.2, ta cã F γX (u) = γF X (γF I F u). Cho S, S lÇn lît lµ c¸c nhãm ph¹m trï kiÓu (Π, A, h) vµ (Π, A, h ). Mét hµm tö F : S → S ®îc gäi lµ hµm tö kiÓu (ϕ, f ) nÕu F (x) = ϕ(x), F (x, a) = (ϕ(x), f (a)), 7
víiϕ : Π → Π , f : A → A lµ mét cÆp ®ång cÊu nhãm tháa m·n f (xa) = ϕ(x)f (a) víi x ∈ Π, a ∈ A. MÖnh ®Ò 2.4. Mçi hµm tö monoidal (F, F ) : G → G c¶m sinh mét hµm tö monoidal SF : SG → SG kiÓu (ϕ, f ), víi ϕ = F0 , f = F1 . H¬n n÷a, SF = G F H, víi H, G lµ nh÷ng t¬ng ®¬ng chÝnh t¾c. MÖnh ®Ò 2.5. Mçi hµm tö monoidal (F, F ) : S → S lµ mét hµm tö kiÓu (ϕ, f ). Ký hiÖu Hom(ϕ,f ) [S, S ] lµ tËp c¸c líp ®ång lu©n cña c¸c hµm tö monoidal kiÓu(ϕ, f ) tõ S = (Π, A, h) vµo S = (Π, A , h ). Ta gäi hµm k = ϕ∗ h − f∗ h lµ mét c¶n trë cña hµm tö F kiÓu (ϕ, f ). §Þnh lý 2.6. Hµm tö F :S→S (ϕ, f ) lµ mét hµm tö monoidal nÕu vµ kiÓu 3 chØ nÕu c¸i c¶n trë k triÖt tiªu trong H (Π, A ). Khi ®ã tån t¹i c¸c song ¸nh: i) Hom(ϕ,f ) [S, S ] ↔ H 2 (Π, A ), ii) Aut(F ) ↔ Z 1 (Π, A ). 2.2 Ph©n líp c¸c nhãm ph¹m trï Ký hiÖu CG lµ ph¹m trï cã vËt lµ c¸c nhãm ph¹m trï, c¸c mòi tªn lµ c¸c hµm tö monoidal gi÷a chóng. Ký hiÖu H3 lµ ph¹m trï cã vËt lµ bé ba (Π, A, h) Gr víi h ∈ H 3 (Π, A), mòi tªn (ϕ, f ) : (Π, A, h) → (Π , A , h ) lµ cÆp (ϕ, f ) sao cho tån t¹i g : Π2 → A ®Ó (ϕ, f, g) lµ mét hµm tö monoidal (Π, A, h) → (Π , A , h ). §Þnh lý 2.7 (§Þnh lý ph©n líp). Tån t¹i mét hµm tö ph©n líp: d: CG → H3 Gr G → (π0 G, π1 G, hG ) (F, F ) → (F0 , F1 ) cã c¸c tÝnh chÊt sau: i) dF lµ mét ®¼ng cÊu khi vµ chØ khi F lµ mét t¬ng ®¬ng. ii) d lµ mét toµn ¸nh trªn tËp c¸c vËt. iii) d lµ ®Çy ®ñ nhng kh«ng trung thµnh. Víi (ϕ, f ) : dG → dG th× cã mét song ¸nh d : Hom(ϕ,f ) [G, G ] → H 2 (π0 G, π1 G ). 8
Cho nhãm Π vµ Π-m«®un A. Ta nãi nhãm ph¹m trï G cã tiÒn ®Ýnh kiÓu (Π, A) nÕu tån t¹i cÆp ®¼ng cÊu nhãm p : Π → π0 G, q : A → π1 G t¬ng thÝch víi t¸c ®éng cña m«®un q(su) = p(s)q(u), víi s ∈ Π, u ∈ A. Ký hiÖu CG[Π, A] lµ tËp c¸c líp t¬ng ®¬ng cña c¸c nhãm ph¹m trï tiÒn ®Ýnh kiÓu (Π, A). Ta thu ®îc kÕt qu¶ sau. §Þnh lý 2.8. Tån t¹i mét song ¸nh: Γ : CG[Π, A] → H 3 (Π, A), [G] → q∗ p∗ hG . −1 2.3 Ph©n líp c¸c nhãm ph¹m trï bÖn Cho nhãm ph¹m trï bÖn B = (B, ⊗, I, a, l, r, c). T¬ng tù nh ®èi víi nhãm ph¹m trï, ta x©y dùng ®îc nhãm ph¹m trï bÖn thu gän SB = (M, N, h, η) (η lµ hµm ®îc c¶m sinh bëi rµng buéc bÖn). HÖ qu¶ 2.9. Mçi hµm tö monoidal bÖn (F, F ) : S → S lµ mét bé ba (ϕ, f, g), trong ®ã ϕ∗ (h , η ) − f∗ (h, η) = ∂ab (g). Ký hiÖu H3 lµ ph¹m trï mµ vËt cña nã lµ c¸c bé ba (M, N, (h, η)), víi BGr 3 (h, η) ∈ Hab (M, N ), vµ BCG lµ ph¹m trï cã vËt lµ c¸c nhãm ph¹m trï bÖn. §Þnh lý 2.10. [§Þnh lý ph©n líp] Tån t¹i mét hµm tö ph©n líp d: BCG → H3 BGr B → (π0 B, π1 B, (h, η)B ) (F, F ) → (F0 , F1 ) cã c¸c tÝnh chÊt sau: i) dF lµ mét ®¼ng cÊu khi vµ chØ khi F lµ mét t¬ng ®¬ng. ii) d lµ mét toµn ¸nh trªn tËp c¸c vËt. iii) d lµ ®Çy ®ñ nhng kh«ng trung thµnh. Víi (ϕ, f ) : dB → dB th× HomBr ) [B, B ] ∼ H 2 (π0 B, π1 B ), = ab (ϕ,f Br trong ®ã Hom(ϕ,f ) [B, B ] lµ tËp c¸c líp ®ång lu©n cña c¸c hµm tö monoidal bÖn tõ B ®Õn B c¶m sinh cÆp (ϕ, f ) . Ký hiÖu BCG[M, N ] lµ tËp c¸c líp t¬ng ®¬ng cña c¸c nhãm ph¹m trï bÖn tiÒn ®Ýnh kiÓu (M, N ). Ta thu ®îc kÕt qu¶ t¬ng tù nh §Þnh lý 2.8. 9
§Þnh lý 2.11. Tån t¹i mét song ¸nh 3 Γ : BCG[M, N ] → Hab (M, N ), [B] → q∗ p∗ (h, η)B . −1 2.4 Ph©n líp c¸c nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc bëi hÖ nh©n tö Kh¸i niÖm hÖ nh©n tö ®îc A. Grothendieck ®a ra vµo n¨m 1971 sau ®ã ®· ®îc nhiÒu t¸c gi¶ ph¸t triÓn (A. M. Cegarra, N. T. Quang, ...). Víi mçi nhãmΓ vµ mét ph¹m trï C, ta gäi Psd(Γ, C) lµ ph¹m trï cña c¸c hÖ nh©n tö (chuÈn t¾c) tõ Γ ®Õn C, vµ gäi Γ BCG lµ ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï bÖn Γ-ph©n bËc. §Þnh lý 2.13. Víi mçi nhãm Γ, tån t¹i mét ®¼ng cÊu: Γ BCG Psd(Γ, BCG). 2.5 ¸p dông vµo bµi to¸n më réng nhãm cæ ®iÓn 2.5.1 Nhãm ph¹m trï cña mét h¹t nh©n trõu tîng Mét h¹t nh©n trõu tîng lµ mét bé ba (Π, G, ψ), víi ψ : Π → AutG/InG lµ (Π, G, ψ) lµ mét phÇn tö k ∈ H 3 (Π, ZG). mét ®ång cÊu nhãm. C¸i c¶n trë cña Chóng ta x©y dùng ®îc mét nhãm ph¹m trï chÆt chÏ AutG , mµ c¸c vËt lµ c¸c phÇn tö cña nhãm c¸c tù ®¼ng cÊu AutG vµ c¸c mòi tªn ®îc cho bëi Hom(α, β) = {c ∈ G|α = µc ◦ β}. Nhãm ph¹m trï nµy cã ba bÊt biÕn lÇn lît lµ: Aut G/InG, ZG vµ ψ ∗ h, trong ®ã ψ ∗ h cïng líp ®èi ®ång ®iÒu víi k. Sö dông kÕt qu¶ nµy ta chøng minh ®îc r»ng mçi nhãm ph¹m trï ®Òu t¬ng ®¬ng víi mét nhãm ph¹m trï chÆt chÏ. §©y lµ ph¬ng ph¸p chøng minh hoµn toµn kh¸c víi phÐp chøng minh cña H. X. SÝnh (1978). 2.5.2 Hµm tö monoidal vµ bµi to¸n më réng nhãm Trong tiÓu môc nµy, chóng t«i ®· sö dông c¸c kÕt qu¶ cña lý thuyÕt nhãm ph¹m trï ®Ó thu l¹i ®îc c¸c kÕt qu¶ vÒ bµi to¸n më réng nhãm cæ ®iÓn. 10
Ch¬ng 3 Nhãm ph¹m trï chÆt chÏ vµ më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo Trong ch¬ng nµy, chóng t«i biÓu diÔn kÕt qu¶ vÒ sù t¬ng ®¬ng cña ph¹m trï c¸c m«®un chÐo vµ ph¹m trï c¸c G -groupoid qua ng«n ng÷ cña nhãm ph¹m trï chÆt chÏ, vµ do ®ã thu ®îc ®Þnh lý ph©n líp c¸c m«®un chÐo lµ më réng mét kÕt qu¶ ®· biÕt cña R. Brown vµ C. Spencer (1976). 3.1 Nhãm ph¹m trï liªn kÕt víi mét m«®un chÐo d §Þnh nghÜa . Mét m«®un chÐo lµ mét bé bèn M = (B, D, d, θ) (hay B → D, B → D), trong ®ã d : B → D, θ : D → AutB lµ c¸c ®ång cÊu nhãm tháa m·n c¸c hÖ thøc sau: C1 . θd = µ, C2 . d(θx (b)) = µx (d(b)), x ∈ D, b ∈ B , trong ®ã µx lµ tù ®¼ng cÊu trong sinh bëi x. MÖnh ®Ò 3.1. Cho m«®un chÐo M = (B, D, d, θ). Khi ®ã: i) Kerd ⊂ Z(B), ii) Imd lµ nhãm con chuÈn t¾c trong D, iii) ®ång cÊu θ c¶m sinh ®ång cÊu ϕ : D → Aut(Kerd) cho bëi ϕx = θx |Kerd , iv) Kerd lµ Cokerd-m«®un tr¸i víi t¸c ®éng sa = ϕx (a), a ∈ Kerd, x ∈ s ∈ Cokerd. Víi mçi m«®un chÐo (B, D, d, θ) chóng t«i x©y dùng ®îc mét nhãm ph¹m trï chÆt chÏ PB→D := P gäi lµ nhãm ph¹m trï liªn kÕt víi m«®un chÐo, vµ ngîc l¹i. 11
3.2 Ph©n líp c¸c m«®un chÐo Chóng t«i thu ®îc c¸c kÕt qu¶ díi ®©y vÒ mèi liªn hÖ gi÷a c¸c ®ång cÊu m«®un chÐo vµ c¸c hµm tö monoidal gi÷a c¸c nhãm ph¹m trï liªn kÕt t¬ng øng. Bæ ®Ò 3.2. Cho ®ång cÊu gi÷a c¸c m«®un chÐo (f1 , f0 ) : (B, D, d, θ) → (B , D , d , θ ). Gäi P, P lµ hai nhãm ph¹m trï liªn kÕt lÇn lît víi c¸c m«®un chÐo (B, D, d, θ) vµ (B , D , d , θ ). Khi ®ã: i) F : P → P x¸c ®Þnh bëi F (x) = f0 (x), F (b) = f1 (b), Tån t¹i mét hµm tö víi x ∈ ObP, b ∈ MorP. ii) §¼ng cÊu tù nhiªn Fx,y : F (x)F (y) → F (xy) cïng víi F lµ mét hµm tö 2 monoidal khi vµ chØ khi Fx,y = ϕ(x, y) víi ϕ ∈ Z (Coker d, Ker d ). Ký hiÖu Cross lµ ph¹m trï cã vËt lµ c¸c m«®un chÐo, cßn mòi tªn lµ c¸c bé ba (f1 , f0 , ϕ), trong ®ã (f1 , f0 ) lµ mét ®ång cÊu m«®un chÐo vµ ϕ ∈ Z 2 (Cokerd, Kerd ). Hµm tö monoidal (F, F ) : P → P ®îc gäi lµ chÝnh quy nÕu: S1 . F (x) ⊗ F (y) = F (x ⊗ y), víi x, y ∈ ObP. S2 . F (b) ⊗ F (c) = F (b ⊗ c), víi b, c ∈ MorP. Bæ ®Ò 3.3. Gi¶ söP vµ P lµ hai nhãm ph¹m trï chÆt chÏ lÇn lît liªn kÕt víi c¸c m«®un chÐo (B, D, d, θ) vµ (B , D , d , θ ), (F, F ) : P → P lµ mét hµm tö monoidal chÝnh quy. Khi ®ã, bé ba (f1 , f0 , ϕ), trong ®ã f1 (b) = F (b), f0 (x) = F (x), ϕ(x, y) = Fx,y , víi b ∈ B, x ∈ D, x ∈ Coker d, lµ mét mòi tªn trong ph¹m trï Cross. Ký hiÖu Grstr lµ ph¹m trï cã c¸c vËt lµ c¸c nhãm ph¹m trï chÆt chÏ vµ mòi tªn lµ c¸c hµm tö monoidal chÝnh quy. Ta thu ®îc ®Þnh lý sau ®©y vÒ sù ph©n líp ph¹m trï c¸c m«®un chÐo. §Þnh lý 3.4 (§Þnh lý ph©n líp). Tån t¹i mét t¬ng ®¬ng Φ : Cross → Grstr, (B → D) → PB→D (f1 , f0 , ϕ) → (F, F ) trong ®ã F (x) = f0 (x), F (b) = f1 (b), Fx,y = ϕ(x, y), víi x, y ∈ D, b ∈ B . 12
3.3 Bµi to¸n më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo: lý thuyÕt c¶n trë vµ ®Þnh lý ph©n líp d §Þnh nghÜa. Cho M = (B → D) lµ mét m«®un chÐo vµ Q lµ mét nhãm. Mét më réng cña B bëi Q kiÓu M lµ mét biÓu ®å c¸c ®ång cÊu nhãm / j / p / / 1, E: 0 B E Q ε d / B D trong ®ã dßng trªn lµ khíp, hÖ (B, E, j, θ0 ) lµ mét m«®un chÐo víi θ0 lµ phÐp lÊy liªn hîp, vµ (idB , ε) lµ mét ®ång cÊu cña c¸c m«®un chÐo. Mçi më réng nh vËy c¶m sinh mét ®ång cÊu ψ : Q → Coker d. Môc ®Ých cña chóng t«i lµ nghiªn cøu tËp ExtB→D (Q, B, ψ) c¸c líp t¬ng ®¬ng c¸c më réng cña B bëi Q kiÓu m«®un chÐo B → D, c¶m sinh ψ : Q → Cokerd. Ký hiÖu Dis Q lµ nhãm ph¹m trï kiÓu (Q, 0, 0) (vµ còng chÝnh lµ nhãm ph¹m trï liªn kÕt víi m«®un chÐo (0, Q, 0, 0)). Bæ ®Ò díi ®©y cho chóng ta thÊy c¸c hµm tö monoidal Dis Q → P lµ hÖ d÷ liÖu phï hîp ®Ó x©y dùng c¸c më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo. Bæ ®Ò 3.5. Cho m«®un chÐo B → D vµ ®ång cÊu nhãm ψ : Q → Coker d. Víi mçi hµm tö monoidal (F, F ) : Dis Q → P tháa m·n F (1) = 1 vµ c¶m sinh cÆp (ψ, 0) : (Q, 0) → (Cokerd, Kerd), tån t¹i më réng EF cña B bëi Q kiÓu m«®un chÐo B → D c¶m sinh ψ . §Þnh lý 3.6 (Lý thuyÕt Schreier cho c¸c më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo). Cã mét song ¸nh Ω : Hom(ψ,0) [DisQ, PB→D ] → ExtB→D (Q, B, ψ). Gi¶ sö P = PB→D lµ nhãm ph¹m trï chÆt chÏ liªn kÕt víi m«®un chÐo B → D. Do π0 P = Coker d vµ π1 P = Ker d nªn nhãm ph¹m trï thu gän SP cã d¹ng SP = (Cokerd, Kerd, k), k ∈ H 3 (Cokerd, Kerd). Khi ®ã, ®ång cÊu ψ : Q → Cokerd c¶m sinh mét c¶n trë ψ ∗ k ∈ Z 3 (Q, Kerd). Vµ ta thu ®îc ®Þnh lý vÒ sù tån t¹i vµ ph©n líp c¸c më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo. §Þnh lý 3.7. Cho m«®un chÐo (B, D, d, θ) vµ ®ång cÊu nhãm ψ : Q → Cokerd. 3 Khi ®ã sù triÖt tiªu cña ψ ∗ k trong H (Q, Kerd) lµ ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó tån t¹i më réng nhãm cña B bëi Q kiÓu m«®un chÐo B → D c¶m sinh ψ . H¬n n÷a, khi ψ ∗ k triÖt tiªu th× tËp c¸c líp t¬ng ®¬ng cña c¸c më réng nh vËy lµ song ¸nh víi H 2 (Q, Kerd). 13
Ch¬ng 4 Nhãm ph¹m trï ph©n bËc chÆt chÏ vµ më réng nhãm ®¼ng biÕn kiÓu Γ-m«®un chÐo Trong ch¬ng nµy, chóng t«i giíi thiÖu kh¸i niÖm nhãm ph¹m trï chÆt chÏ ®Ó biÓu diÔn kh¸i niÖm Γ-m«®un chÐo, tõ ®ã ph©n líp c¸c Γ-m«®un chÐo vµ tr×nh bµy lý thuyÕt më réng nhãm ®¼ng biÕn kiÓu Γ-m«®un chÐo. 4.1 Lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu nhãm ®¼ng biÕn cña Cegarra Lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu nhãm ®¼ng biÕn cña A. M. Cegarra vµ c¸c ®ång t¸c gi¶ (2002) sÏ ®îc chóng t«i sö dông ®Ó chøng minh kÕt qu¶ ph©n líp c¸c hµm tö monoidal Γ-ph©n bËc kiÓu (ϕ, f ) vµ ph©n líp c¸c më réng ®¼ng biÕn kiÓu i Γ-m«®un chÐo. C¸c nhãm ®èi ®ång ®iÒu ®¼ng biÕn ®îc ký hiÖu bëi HΓ (Π, A), i = 1, 2, 3. 4.2 Nhãm ph¹m trï ph©n bËc thu gän vµ hµm tö monoidal ph©n bËc kiÓu (ϕ, f ) Trong tiÓu môc nµy, chóng t«i x©y dùng nhãm ph¹m trï ph©n bËc thu gän cña mét nhãm ph¹m trï ph©n bËc cho tríc, vµ ph©n líp c¸c hµm tö monoidal Γ-ph©n bËc kiÓu (ϕ, f ). 4.2.1 X©y dùng nhãm ph¹m trï ph©n bËc thu gän th«ng qua ph¹m trï khung Tõ mét nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc G, A. M. Cegarra vµ c¸c céng sù ®· x©y dùng ®îc mét nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc, ký hiÖu Γ (Π, A, h), vµ kh¼ng 14
®Þnh (kh«ng chøng minh) r»ng nã t¬ng ®¬ng monoidal víi G. Chóng t«i ®· chøng minh kÕt qu¶ nµy b»ng mÖnh ®Ò díi ®©y. MÖnh ®Ò 4.1. Γ-hµm tö (HΓ , HΓ , id) : Γ (Π, A, h) → G x¸c ®Þnh bëi  HΓ (s) = Xs    (a,σ) γXs (a)◦Υ(r,σ) ˆ  HΓ (r → s) = (Xr − − − − Xs ) − − −→  (H ) = i−1 ,  Γ r,s Xr ⊗Xs víi σr = s, lµ mét t¬ng ®¬ng monoidal Γ-ph©n bËc. 4.2.2 X©y dùng nhãm ph¹m trï ph©n bËc thu gän b»ng ph¬ng ph¸p hÖ nh©n tö Trong tiÓu môc nµy, sö dông ph¬ng ph¸p hÖ nh©n tö ®· ®îc N. T. Quang giíi thiÖu (2010) chóng t«i chØ ra r»ng víi mçi nhãm ph¹m trïΓ-ph©n bËc G, cã thÓ x©y dùng ®îc mét nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc, ký hiÖu ∆F , t¬ng ®¬ng monoidal víi G. H¬n n÷a, nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc ∆F chÝnh lµ nhãm ph¹m trï Γ (Π, A, h). 4.2.3 Ph©n líp c¸c hµm tö monoidal ph©n bËc kiÓu (ϕ, f ) KÕt qu¶ vÒ sù tån t¹i vµ ph©n líp c¸c hµm tö monoidal ph©n bËc kiÓu (ϕ, f ) ®îc tæng kÕt trong mÖnh ®Ò díi ®©y. MÖnh ®Ò 4.5. Cho G, G , S = (Π, A, h), S = (Π , A , h ) lµ c¸c nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc. Khi ®ã: i) Mçi Γ-hµm tö monoidal (F, F ) : G → G thÓ hiÖn mét Γ-hµm tö monoidal SF : SG → SG kiÓu (ϕ, f ), víi ϕ = F0 , f = F1 ®îc cho bëi F0 : π0 G → π0 G , [X] → [F X], ˆ −1 F1 : π1 G → π1 G , u → γF I (F u). H¬n n÷a, SF = GΓ F HΓ , víi HΓ , GΓ lµ nh÷ng Γ-t¬ng ®¬ng chÝnh t¾c. ii) Mçi Γ-hµm tö monoidal (F, F ) : S → S lµ mét Γ-hµm tö kiÓu (ϕ, f ). iii) Γ-hµm tö F : S → S kiÓu (ϕ, f ) cã thÓ hiÖn lµ mét Γ-hµm tö monoidal nÕu 3 vµ chØ nÕu c¸i c¶n trë ξ triÖt tiªu trong HΓ (Π, A ). Khi ®ã tån t¹i song ¸nh 2 Hom(ϕ,f ) [S, S ] ↔ HΓ (Π, A ). (4.1) 15
4.3 Γ-m«®un chÐo vµ nhãm ph¹m trï ph©n bËc liªn kÕt §Þnh nghÜa . Cho B, D lµ c¸c Γ-nhãm. Mét Γ-m«®un chÐo lµ mét bé bèn M = (B, D, d, θ) trong ®ã d : B → D, θ : D → AutB lµ c¸c Γ-®ång cÊu tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: C1 . θd = µ, C2 . d(θx (b)) = µx (d(b)), C3 . σ(θx (b)) = θσx (σb), trong ®ã σ ∈ Γ, x ∈ D, b ∈ B, µx lµ tù ®¼ng cÊu trong sinh bëi x. Kh¸i niÖm nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc chÆt chÏ ®îc ®Þnh nghÜa díi ®©y nh»m biÓu diÔn c¸c Γ-m«®un chÐo. Tríc hÕt, mét hÖ nh©n tö F = (G, F σ , η σ,τ ) trªn Γ víi c¸c hÖ tö trong nhãm ph¹m trï G ®îc gäi lµ chÝnh quy nÕu η σ,τ = id vµ F σ lµ hµm tö monoidal chÝnh quy, víi mäi σ, τ ∈ Γ. §Þnh nghÜa. Nhãm ph¹m trï ph©n bËc (P, gr) ®îc gäi lµ chÆt chÏ nÕu: i) Ker P lµ mét nhãm ph¹m trï chÆt chÏ, ii) P c¶m sinh mét hÖ nh©n tö chÝnh quy F trªn Γ víi c¸c hÖ tö trong nhãm ph¹m trï Ker P. Chóng t«i ®· chØ ra r»ng tõ mét Γ-m«®un chÐo M cho tríc cã thÓ dùng ®îc mét nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc chÆt chÏ liªn kÕt PM := P, vµ ngîc l¹i. 4.4 Ph©n líp c¸c Γ-m«®un chÐo C¸c bæ ®Ò díi ®©y nãi lªn mèi liªn hÖ gi÷a c¸c ®ång cÊu Γ-m«®un chÐo vµ c¸c hµm tö monoidal gi÷a c¸c nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc liªn kÕt. Bæ ®Ò 4.7. Cho ®ång cÊu (f1 , f0 ) : M → M cña c¸c Γ-m«®un chÐo. Khi ®ã, tån t¹i mét Γ-hµm tö monoidal (F, F ) : PM → PM sao cho F (x) = f0 (x), F (b, 1) = (f1 (b), 1) nÕu vµ chØ nÕu f = p∗ ϕ, víi ϕ ∈ ZΓ (Coker d, 2 Ker d ), vµ p : D → Coker d lµ phÐp chiÕu chÝnh t¾c. Ký hiÖu Γ Cross lµ ph¹m trï cã vËt lµ c¸c Γ-m«®un chÐo, cßn mòi tªn lµ c¸c bé ba (f1 , f0 , ϕ), trong ®ã (f1 , f0 ) : M → M lµ mét ®ång cÊu Γ-m«®un 2 chÐo vµ ϕ ∈ ZΓ (Coker d, Ker d ). Hµm tö monoidal Γ-ph©n bËc (F, F ) : P → P gi÷a hai nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc chÆt chÏ ®îc gäi lµ chÝnh quy nÕu: S1 . F (x ⊗ y) = F (x) ⊗ F (y), 16
S2 . F (b ⊗ c) = F (b) ⊗ F (c), S3 . F (σb) = σF (b), S4 . F (σx) = σF (x), víi x, y ∈ Ob P, vµ b, c lµ nh÷ng mòi tªn bËc 1 trong P. Ký hiÖu p : D → Coker d lµ phÐp chiÕu chÝnh t¾c, ta cã: Bæ ®Ò 4.8. Gi¶ sö P, P lµ hai nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc chÆt chÏ, lÇn lît liªn kÕt víi c¸c Γ-m«®un chÐo M, M , (F, F ) : P → P lµ mét vµ hµm tö monoidal Γ-ph©n bËc chÝnh quy. Khi ®ã, bé ba (f1 , f0 , ϕ), trong ®ã i) f0 (x) = F (x), (f1 (b), 1) = F (b, 1), σ ∈ Γ, b ∈ B, x, y ∈ D, ii) p∗ ϕ = f , lµ mét mòi tªn trong ph¹m trï Γ Cross. Ký hiÖu ph¹m trï cña c¸c nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc chÆt chÏ vµ c¸c hµm tö monoidal ph©n bËc chÝnh quy bëi Γ Grstr, ta thu ®îc kÕt qu¶ sau ®©y. §Þnh lý 4.9. [§Þnh lý ph©n líp] Tån t¹i t¬ng ®¬ng Φ : Γ Cross → Γ Grstr, (B → D) → PB→D (f1 , f0 , ϕ) → (F, F ) trong ®ã F (x) = f0 (x), F (b, 1) = (f1 (b), 1), vµ (0,σ) F (x → σx) = (ϕ(px, σ), σ), Fx,y = (ϕ(px, py), 1), víi x, y ∈ D, b ∈ B, σ ∈ Γ. 4.5 Bµi to¸n më réng nhãm ®¼ng biÕn kiÓu Γ-m«®un chÐo: lý thuyÕt c¶n trë vµ ®Þnh lý ph©n líp Trong phÇn nµy, chóng t«i tr×nh bµy lý thuyÕt më réng nhãm ®¼ng biÕn kiÓu Γ-m«®un chÐo, lµ më réng cña c¶ hai lý thuyÕt më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo cña P. Dedeker - R. Brown vµ lý thuyÕt më réng nhãm ®¼ng biÕn cña A. M. Cegarra. d §Þnh nghÜa. Cho Γ-m«®un chÐo B → D vµ mét Γ-nhãm Q. Mét më réng d ®¼ng biÕn cña nhãm B bëi nhãm Q kiÓu Γ-m«®un chÐo B → D lµ mét biÓu − 17
®å c¸c Γ-®ång cÊu / j / p / / 1, E 0 B E Q ε d / B D trong ®ã dßng trªn lµ khíp, hÖ (B, E, j, θ 0 ) lµ mét Γ-m«®un chÐo víi θ 0 lµ phÐp lÊy liªn hîp, vµ (id, ε) lµ mét ®ång cÊu cña c¸c Γ-m«®un chÐo. Mçi më réng nh vËy c¶m sinh mét Γ-®ång cÊu ψ : Q → Cokerd. Môc Γ tiªu cña chóng t«i lµ nghiªn cøu tËp ExtB→D (Q, B, ψ) c¸c líp t¬ng ®¬ng c¸c më réng ®¼ng biÕn cña B bëi Q kiÓu Γ-m«®un chÐo B → D c¶m sinh ψ : Q → Cokerd. Gäi DisΓ Q lµ nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc chÆt chÏ liªn kÕt víi Γ-m«®un chÐo (0, Q, 0, 0). Bæ ®Ò díi ®©y cho thÊy c¸c hµm tö monoidal Γ-ph©n bËc DisΓ Q → PB→D lµ hÖ d÷ liÖu phï hîp ®Ó x©y dùng c¸c më réng nh vËy. d Bæ ®Ò 4.10. Cho B → D lµ mét Γ-m«®un chÐo vµ ψ : Q → Coker d lµ mét Γ-®ång cÊu. Cho hµm tö monoidal Γ-ph©n bËc (F, F ) : DisΓ Q → PB→D , sao cho F (1) = 1 vµ c¶m sinh cÆp Γ-®ång cÊu (ψ, 0) : (Q, 0) → (Coker d, Ker d). Khi ®ã, tån t¹i më réng ®¼ng biÕn EF cña B bëi Q kiÓu Γ-m«®un chÐo B → D c¶m sinh ψ . §Þnh lý 4.11. [Lý thuyÕt Schreier cho c¸c më réng ®¼ng biÕn kiÓu Γ-m«®un chÐo] Cã mét song ¸nh Ω : Hom(ψ,0) [DisΓ Q, PB→D ] → ExtΓ (Q, B, ψ). B→D Ta thu ®îc hÖ qu¶ sau ®èi víi c¸c më réng nhãm ®¼ng biÕn. HÖ qu¶ 4.12. §èi víi c¸c Γ-nhãm B, Q, tån t¹i mét song ¸nh HomΓ [DisΓ Q, HolΓ B] → ExtΓ (Q, B). Do nhãm ph¹m trï ph©n bËc thu gän cña PB→D lµ SP = (Cokerd, Kerd, h), 3 h ∈ ZΓ (Cokerd, Kerd), nªn Γ-®ång cÊu ψ : Q → Cokerd c¶m sinh mét c¶n ∗ 3 trë ψ h ∈ ZΓ (Q, Kerd). Víi kh¸i niÖm c¶n trë nµy, ta cã: §Þnh lý 4.13. Cho Γ-m«®un chÐo (B, D, d, θ) vµ Γ-®ång cÊu ψ : Q → Cokerd. 3 Khi ®ã sù triÖt tiªu cña ψ ∗ h trong HΓ (Q, Kerd) lµ ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó tån t¹i më réng ®¼ng biÕn cña B bëi Q kiÓu Γ-m«®un chÐo B → D c¶m sinh ψ . H¬n n÷a, khi ψ∗h triÖt tiªu th× tËp c¸c líp t¬ng ®¬ng cña c¸c më réng nh 2 vËy lµ song ¸nh víi HΓ (Q, Kerd). 18