Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số phương pháp giải bài toán cân bằng giả đơn điệu và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:107

Thêm vào BST

Báo xấu

31
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của đề tài nghiên cứu nhằm xây dựng phương pháp giải bài toán cân bằng giả đơn điệu và áp dụng vào một lớp bài toán cân bằng hai cấp; xây dựng phương pháp giải bài toán cân bằng hai cấp. Mời các bạn tham khảo nội dung chi tiết đề tài!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số phương pháp giải bài toán cân bằng giả đơn điệu và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ BÙI VĂN ĐỊNH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ BÙI VĂN ĐỊNH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. PGS. TS. NGUYỄN ĐỨC HIẾU 2. GS. TSKH. LÊ DŨNG MƯU HÀ NỘI - 2014
1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết chung với các tác giả khác, đều đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất cứ một công trình nào khác. NCS. Bùi Văn Định
2 LỜI CẢM ƠN Bản luận án này được hoàn thành tại Bộ môn Toán, Khoa Công nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Đức Hiếu và đặc biệt là GS. TSKH. Lê Dũng Mưu. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất đến các Thầy về sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tình trong suốt thời gian tác giả làm nghiên cứu sinh. Trong quá trình học tập, nghiên cứu thông qua các bài giảng và xêmina tại Bộ môn Toán và tại Phòng Tối ưu và Điều khiển Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Việt Nam, tác giả thường xuyên nhận được sự quan tâm giúp đỡ và đóng góp những ý kiến quý báu của GS. TSKH. Phạm Thế Long, PGS. TS. Đào Thanh Tĩnh, PGS. TS. Nguyễn Xuân Viên, PGS. TS. Tô Văn Ban, TS. Nguyễn Hữu Mộng, TS. Nguyễn Trọng Toàn, GS. TSKH. Nguyễn Đông Yên. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất đến các Thầy. Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám đốc, Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Công nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự; đặc biệt là các thầy cô giáo trong Bộ môn Toán và các thầy trong Phòng Tối ưu và Điều khiển, Viện Toán học đã luôn giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Bản luận án này sẽ không thể hoàn thành nếu không có sự thông cảm, chia sẻ và giúp đỡ của những người thân trong gia đình tác giả. Tác giả thành kính dâng tặng món quà tinh thần này lên các bậc sinh thành và toàn thể gia đình thân yêu của mình với tấm lòng trân trọng và biết ơn sâu sắc. Tác giả
3 Mục lục Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2. Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5. Kết quả của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 6. Cấu trúc của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1. Các khái niệm và các kết quả cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2. Bài toán cân bằng và các trường hợp riêng . . . . . . . . . . . . 21 1.3. Bài toán cân bằng tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4. Bài toán cân bằng hai cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Chương 2. MỘT PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO MỘT LỚP BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI CẤP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2. Thuật toán chiếu cho bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . 41
4 2.3. Áp dụng vào bài toán cân bằng Nash-Cournot trong mô hình cân bằng thị trường điện bán độc quyền . . . . . . . . . . . . . 49 2.4. Áp dụng vào bài toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn Euclide trên tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu . . . . . . . . . 53 2.5. Áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Chương 3. KẾT HỢP PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT VÀ HÀM ĐÁNH GIÁ GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI CẤP . . . . . . . . . . 77 3.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2. Phương pháp hàm phạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.3. Hàm đánh giá và hướng giảm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.4. Áp dụng vào phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov . . . . . . . . 91 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 1. Kết quả đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2. Kiến nghị một số hướng nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . 96 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4
5 Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt N tập số tự nhiên R tập số thực R = R ∪ {±∞} tập số thực mở rộng Rn không gian Euclide n chiều H không gian Hilbert thực X không gian véc tơ tô pô thực MT chuyển vị của ma trận M hx, yi = xT y tích vô hướng của hai véc tơ x và y chuẩn của véc tơ x p kxk = hx, xi I ánh xạ đồng nhất dom f miền hữu hiệu của hàm số f im F miền ảnh của ánh xạ F epi f trên đồ thị của hàm số f graph F đồ thị của ánh xạ F ϕ′ (x) = ∇ϕ(x) đạo hàm của ϕ tại x ϕ′ (x; d) đạo hàm theo hướng d của ϕ tại x ∂ϕ(x) dưới vi phân của ϕ tại x ∇x f (x, y) đạo hàm của hàm f (., y) tại x ∇y f (x, y) đạo hàm của hàm f (x, .) tại y
6 ∂f (x, x) dưới vi phân của hàm f (x, .) tại x C bao đóng của tập C int C phần trong của tập C ri C phần trong tương đối của tập C lim = lim sup giới hạn trên lim = lim inf giới hạn dưới xk → x dãy xk hội tụ tới x PC (x) hình chiếu của x lên tập C NC (x) nón pháp tuyến ngoài của C tại x EP(C, f ) bài toán cân bằng VIP(C, F ) bài toán bất đẳng thức biến phân (đơn trị) Sf tập nghiệm của bài toán EP(C, f ) SF tập nghiệm của bài toán VIP(C, F ) BEP(C, f, g) bài toán cân bằng hai cấp MNEP(C, f ) bài toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn trên tập Sf VIEP(C, f, F ) bài toán VIP(Sf , F ) BVIP(C, F, G) bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp u.s.c. nửa liên tục trên l.s.c. nửa liên tục dưới
7 MỞ ĐẦU 1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài Sự cân bằng (equilibrium) thường được hiểu như là một trạng thái đồng đều nhau giữa những lực lượng đối lập nhau hay giữa những đối tượng có ảnh hưởng qua lại lẫn nhau, phụ thuộc lẫn nhau. Thuật ngữ này được sử dụng rộng rãi trong nhiều ngữ cảnh khoa học và kỹ thuật như trong Vật lí, Hóa học, Sinh học, Kinh tế, Kỹ thuật, v.v... Trong Vật lí, trạng thái cân bằng của một hệ, theo thuật ngữ cơ học cổ điển, xảy ra khi hợp lực tác động lên hệ bằng không và trạng thái này được duy trì trong một khoảng thời gian dài. Trong Hóa học, cân bằng hóa học xảy ra khi tốc độ của phản ứng thuận bằng với tốc độ của phản ứng nghịch, trong Sinh học, cân bằng sinh thái là trạng thái ổn định tự nhiên của hệ sinh thái, hướng tới sự thích nghi cao nhất với điều kiện sống, trạng thái này thường xảy ra khi tương quan lực lượng giữa con mồi và thú săn mồi trong hệ sinh thái đó có tỉ lệ tương đồng với nhau. Trong Kinh tế học, cân bằng kinh tế là một khái niệm cơ bản nhưng đồng thời cũng là động lực và là mục đích của mỗi nền kinh tế. Một ví dụ đơn giản về lĩnh vực này là ở một thị trường xác định có sản xuất và tiêu thụ đồng nhất một loại hàng hóa. Sức mua của thị trường phụ thuộc vào giá cả của mặt hàng đó trên thị trường, nói một cách chính xác hơn, nếu mặt hàng được bán ở mức giá p thì hàm cầu của thị trường là D(p), trong khi đó các nhà sản xuất có thể cung cấp lượng hàng ở mức giá p là S(p) và ta có hàm vượt cầu là E(p) = D(p) − S(p). Sự cân bằng xảy ra ở mức giá p∗ nếu E(p∗ ) = 0, tức là lượng cung bằng lượng cầu, điều này cũng giống như sự cân bằng xảy ra trong
8 cơ học khi hợp lực tác động lên hệ bằng không. Có nhiều bài toán liên quan đến sự cân bằng có thể được nhìn nhận trong một thể thống nhất qua các mô hình toán học khác nhau của nó, chẳng hạn như bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng Nash trong các trò chơi không hợp tác, v.v... Ngược lại, nếu có nhiều mô hình cùng nằm trong một cấu trúc thống nhất sẽ cho phép thiết lập một công thức chung cho cấu trúc thống nhất đó và do vậy chúng ta có thể phát triển các nghiên cứu về lý thuyết cũng như thuật toán cho thể thống nhất chung đó mang lại khả năng ứng dụng rộng lớn hơn các mô hình riêng lẻ. Mô hình chung cho bài toán cân bằng EP(C, f ) đó là Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , y) ≥ 0 với mọi y ∈ C, trong đó C ⊆ H là một tập lồi đóng và f : C × C → R ∪ {+∞} là song hàm cân bằng, tức là f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C. Công thức này được đưa ra lần đầu tiên bởi H. Nikaido và K. Isoda năm 1955 [53] khi tổng quát hóa bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác, được Ky Fan giới thiệu năm 1972 [29] và thường được gọi là bất đẳng thức Ky Fan, tuy nhiên nó có tên gọi là bài toán cân bằng (equilibrium problem) theo cách gọi của các tác giả L. D. Muu và W. Oettli [49] năm 1992, E. Blum và W. Oettli [16] năm 1994. Bài toán cân bằng bao hàm nhiều lớp bài toán quen thuộc như bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động, bài toán cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi không hợp tác, bài toán tối ưu véc tơ, v.v... [15, 16, 33, 49]. Nó là một mô hình toán học thống nhất cho nhiều lớp bài toán quan trọng riêng lẻ. Vì vậy, các kết quả thu được về bài toán cân bằng được áp dụng trực tiếp cho các bài toán đặc biệt của nó, ngược lại, nhiều kết quả của mỗi bài toán riêng lẻ nói trên có thể mở rộng cho bài toán cân bằng với những điều chỉnh phù hợp nhờ đó nó có thể mang lại nhiều ứng dụng hơn. Các hướng nghiên cứu thường được đặt ra đối với bài toán cân bằng là:
9 nghiên cứu những vấn đề định tính như sự tồn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm, tính ổn định [13, 27, 36, 49, 65] và nghiên cứu định lượng bao gồm xây dựng các thuật toán để giải, tốc độ hội tụ của các thuật toán [9, 18, 41, 44, 46, 47, 54, 55, 56] và áp dụng bài toán này vào trong các bài toán thực tế [46, 48]. Trong các vấn đề nêu trên, thì việc nghiên cứu xây dựng các phương pháp giải chiếm một tỉ trọng lớn trong các hướng nghiên cứu về bài toán cân bằng. Tính đến nay, đã có nhiều kết quả đạt được cho một số lớp bài toán cân bằng lồi và đơn điệu, trong đó phải kể đến các phương pháp: phương pháp hàm đánh giá (gap function method), phương pháp sử dụng nguyên lý bài toán phụ (auxiliary subproblem principle method), phương pháp điểm gần kề (proximal point method), phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov (Tikhonov regularization method), phương pháp điểm trong và các phương pháp chiếu (projection methods). Trong các phương pháp đó thì phương pháp chiếu đóng một vai trò quan trọng vì sự đơn giản và thuận tiện khi tính toán. Các thuật toán chiếu cho bài toán cân bằng thường được phát triển từ các thuật toán chiếu cho bài toán bất đẳng thức biến phân và một số bài toán khác [15, 47], trong các thuật toán chiếu đó thì thuật toán chiếu cho bài toán bất đẳng thức biến phân được đề xuất bởi M. V. Solodov và B. F. Svaiter [59] (gọi là thuật toán Solodov-Svaiter) có nhiều đặc điểm nổi bật, đó là nó có thể áp dụng được cho một lớp khá rộng các bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(C, F ) với toán tử F chỉ cần đòi hỏi tính giả đơn điệu theo tập nghiệm, tính liên tục, mà không nhất thiết phải có tính chất Lipchitz. Ngoài ra, cũng theo [59] thì nói chung, số các bước lặp giải bài toán VIP(C, F ) theo thuật toán này là ít hơn đáng kể so với các thuật toán khác. Từ những đặc điểm nổi bật của thuật toán Solodov-Svaiter cho bài toán VIP(C, F ) ở trên, dẫn đến việc mở rộng thuật toán này cho bài toán cân bằng EP(C, f ) là hết sức cần thiết. Đây là một vấn đề sẽ được giải quyết trong luận án.
10 Ngoài các phương pháp chiếu cho bài toán cân bằng thì các phương pháp hiệu chỉnh đóng một vai trò quan trọng vì nó cho phép giải quyết các bài toán đặt không chỉnh (ill-posed problem) theo nghĩa nghiệm của nó không duy nhất, hoặc không phụ thuộc liên tục theo các dữ kiện ban đầu, tức là một thay đổi nhỏ của các dữ liệu đầu vào của bài toán có thể dẫn đến sự sai khác rất lớn của nghiệm, thậm chí làm cho bài toán trở nên vô nghiệm hoặc vô định. Người có công đặt nền móng cho lý thuyết các bài toán đặt không chỉnh đó là A. N. Tikhonov [63, 64], do tầm quan trọng của lý thuyết này mà đã có nhiều nhà toán học nước ngoài như A. N. Tikhonov, V. Y. Arsenin [63, 64], v.v... và các nhà toán học trong nước như P. K. Anh, N. Bường [1], L. D. Mưu [32], N. D. Yên [62], v.v..., dành nhiều công sức nghiên cứu. Năm 2006, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov (Tikhonov regularization method) đã được áp dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu trong không gian hữu hạn chiều bởi N. T. Hao [31] và đã được nhóm các tác giả N. N. Tâm, J. C. Yao và N. D. Yên [62] mở rộng các kết quả đó ra trong không gian Hilbert. Gần đây, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov đã được mở rộng cho bài toán cân bằng giả đơn điệu bởi các tác giả P. G. Hưng và L. D. Mưu [32]. Việc áp dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov vào các bài toán cân bằng hay bất đẳng thức biến phân dẫn đến bài toán tối ưu MNEP(C, f ) sau min{kx − xg k : x ∈ Sf } với xg ∈ C là một điểm chọn trước (đóng vai trò là nghiệm phỏng đoán) và Sf là tập nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f ). Với các giả thiết về tính liên tục và tính đơn điệu của song hàm f thì tập ràng buộc Sf là một tập lồi đóng. Nhưng vì nó không được cho dưới dạng tường minh nên theo S. Boyd và L. Vandenberghe (xem [17, section 4.2]), MNEP(C, f ) là một bài toán tối ưu không lồi. Bằng cách kết hợp giữa thuật toán chiếu cho bài toán cân bằng với kỹ thuật siêu phẳng cắt [61] ta thu được thuật toán cho bài toán MNEP(C, f ). Cùng với việc nghiên cứu xây dựng các phương pháp giải bài toán bất đẳng
11 thức biến phân, các nhà toán học còn quan tâm tới bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BVIP(C, F, G) Tìm x∗ ∈ SF sao cho hG(x∗ ), y − x∗ i ≥ 0, ∀y ∈ SF . Bằng cách phát triển các kỹ thuật lai ghép giữa phương pháp đạo hàm tăng cường với kỹ thuật siêu phẳng cắt (hybrid extragradient-viscosity methods), P. E. Maingé (xem [38, 39]) vào năm 2008 đã xây dựng được các thuật toán giải bài toán bất đẳng thức biến phân liên tục Lipschitz và đơn điệu mạnh trên tập S là giao giữa tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu và liên tục Lipschitz với tập các điểm bất động của ánh xạ demicontractive. Do đó, việc mở rộng các thuật toán này cho những lớp bài toán tổng quát hơn như bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh và Lipschitz trên tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu là hết sức cần thiết. Vấn đề này cũng sẽ được nghiên cứu trong luận án. Một phương pháp hiệu chỉnh quen thuộc khác là phương pháp điểm gần kề. Phương pháp này được đề xuất bởi B. Martinet [40] vào năm 1970 cho bài toán bất đẳng thức biến phân và được phát triển bởi R. T. Rockafellar [58] năm 1976 cho bao hàm thức đơn điệu cực đại. Năm 1999, A. Moudafi [44] đã mở rộng phương pháp điểm gần kề cho bài toán cân bằng đơn điệu và đến năm 2010, A. Moudafi [45] đã áp dụng phương pháp này cho lớp bài toán cân bằng hai cấp đơn điệu. Ý tưởng chính của phương pháp này là kết hợp giữa phương pháp hàm phạt và phương pháp điểm gần kề để đưa việc giải bài toán cân bằng hai cấp về việc giải một dãy các bài toán cân bằng với song hàm cân bằng là f + ǫk g. Để chứng minh sự hội tụ của thuật toán đã đưa ra, tác giả A. Moudafi đòi hỏi các giả thiết về tính đơn điệu, tính liên tục và tính lồi của các song hàm, và đặc biệt là giả thiết kxk+1 − xk k = o(ǫk ) với xk là nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f + ǫk g), đây là giả thiết rất khó kiểm chứng vì chúng không liên quan tới các dữ liệu đầu vào của bài toán. Do đó, việc tiếp
12 tục nghiên cứu và đề xuất các thuật toán giải bài toán cân bằng hai cấp (hoặc các trường hợp riêng của nó) với các giả thiết như trên hoặc các giả thiết yếu hơn là rất cần thiết. Những vấn đề này sẽ được giải quyết trong luận án. 2. Mục đích nghiên cứu Trong luận án này chúng tôi tập trung nghiên cứu những vấn đề sau về bài toán cân bằng và bài toán cân bằng hai cấp: • Xây dựng phương pháp giải bài toán cân bằng giả đơn điệu và áp dụng vào một lớp bài toán cân bằng hai cấp. • Xây dựng phương pháp giải bài toán cân bằng hai cấp. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Với các mục đích đặt ra như trên, trong luận án này chúng tôi nghiên cứu các nội dung sau về bài toán cân bằng và bài toán cân bằng hai cấp: • Nội dung 1. Nghiên cứu xây dựng thuật toán giải bài toán cân bằng giả đơn điệu và bài toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn trên tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu. • Nội dung 2. Nghiên cứu xây dựng thuật toán cho bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh trên tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu. • Nội dung 3. Nghiên cứu xây dựng phương pháp giải bài toán cân bằng hai cấp. 4. Phương pháp nghiên cứu Cùng với các phương pháp cơ bản của giải tích lồi, giải tích hàm, giải tích đa trị và giải tích phi tuyến, chúng tôi còn sử dụng các phương pháp sau:
13 • Để xây dựng phương pháp giải bài toán cân bằng chúng tôi mở rộng phương pháp chiếu của Solodov-Svaiter, kết hợp với quy tắc tìm kiếm theo tia của Armijo; • Để xây dựng thuật toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn trên tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu chúng tôi sử dụng phương pháp chiếu kết hợp với kỹ thuật siêu phẳng cắt (chiếu siêu phẳng cắt) và quy tắc tìm kiếm theo tia của Armijo; • Để tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng chúng tôi sử dụng kỹ thuật lai ghép giữa thuật toán đạo hàm tăng cường với phương pháp siêu phẳng cắt (hybrid extragradient- viscosity methods) kết hợp với quy tắc tìm kiếm theo tia của Armijo; • Để xây dựng phương pháp giải bài toán cân bằng hai cấp chúng tôi sử dụng phương pháp hàm phạt, kết hợp với phương pháp hàm đánh giá và nguyên lý bài toán phụ. 5. Kết quả của luận án Luận án đã đạt được những kết quả chính sau đây: • Xây dựng được thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng giả đơn điệu, đã kết hợp thuật toán này với kỹ thuật siêu phẳng cắt để thu được thuật toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn trên tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu. Đã chứng minh được tính đúng đắn và sự hội tụ của các thuật toán đề xuất, đồng thời đã áp dụng vào mô hình Nash-Cournot trong vấn đề cân bằng thị trường điện bán độc quyền. • Xây dựng được thuật toán lai ghép giữa thuật toán đạo hàm tăng cường với phương pháp siêu phẳng cắt và kỹ thuật tìm kiếm theo tia Armijo cho bài toán bất đằng thức biến phân đơn điệu mạnh trên tập nghiệm
14 của bài toán cân bằng giả đơn điệu. Chứng minh được tính đúng đắn và sự hội tụ của thuật toán đã đưa ra. Áp dụng thuật toán đã đề xuất vào bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp. • Đề xuất phương pháp hàm phạt cho bài toán cân bằng hai cấp. Chứng minh định lý về sự hội tụ của dãy nghiệm của các bài toán phạt tới nghiệm của bài toán cân bằng hai cấp ban đầu. Đề xuất phương pháp hàm đánh giá giải bài toán phạt, mở rộng khái niệm giả ∇-đơn điệu từ khái niệm ∇-đơn điệu. Chứng minh được bất kỳ điểm dừng nào của hàm đánh giá cũng là nghiệm của bài toán cân bằng nếu song hàm cân bằng thỏa mãn giả thiết giả ∇-đơn điệu chặt. Đồng thời chỉ ra hướng giảm của hàm đánh giá tại những điểm không phải là điểm dừng, cùng tính chất "độc lập" của hướng giảm đối với tham số phạt ǫ. Áp dụng các phương pháp đề xuất vào bài toán nảy sinh khi sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán cân bằng giả đơn điệu. Các kết quả chính của luận án đã được công bố và gửi đăng trong 3 bài báo trên các tạp chí khoa học chuyên ngành và đã được báo cáo tại: • Xêmina của Khoa Công nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự; • Xêmina của Phòng Tối ưu và Điều khiển, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam; • Hội nghị Khoa học các nhà nghiên cứu trẻ, Học viện Kỹ thuật Quân sự, các năm 2010, 2011; • Hội Thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 9, Ba Vì, Hà Nội, 2011; • The 5th International Conference on High Performance Scientific Com- puting, Hanoi 2012.
15 6. Cấu trúc của luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 3 chương: • Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị. • Chương 2. Một phương pháp chiếu cho bài toán cân bằng giả đơn điệu và áp dụng vào một lớp bài toán cân bằng hai cấp. • Chương 3. Kết hợp phương pháp hàm phạt và hàm đánh giá giải bài toán cân bằng hai cấp.
16 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các khái niệm cũng như các kết quả bổ trợ cần thiết được sử dụng ở các chương sau. Chương này gồm bốn phần. Phần thứ nhất trình bày một số khái niệm và các kết quả cần thiết nhất về giải tích hàm, giải tích lồi. Phần thứ hai dành để giới thiệu về bài toán cân bằng và các trường hợp riêng của nó cùng một số điều kiện về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng. Phần tiếp theo trình bày về bài toán cân bằng tương đương. Phần cuối cùng trình bày về bài toán cân bằng hai cấp và một số trường hợp riêng của bài toán này. 1.1. Các khái niệm và các kết quả cơ bản 1.1.1. Một số khái niệm về tập lồi và hàm lồi Các khái niệm về tập lồi và hàm lồi là các khái niệm cơ bản của giải tích lồi và lý thuyết tối ưu, các khái niệm này có thể tìm thấy trong các tài liệu tham khảo [2, 3, 6, 10, 12, 57, 66]. Định nghĩa 1.1. Giả sử X là một không gian véc tơ trên R, tập C ⊂ X được gọi là: (a) lồi nếu ∀x, y ∈ C và 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C; (b) nón có đỉnh tại 0 nếu ∀λ > 0, ∀x ∈ C ⇒ λx ∈ C; (c) nón lồi nếu nó vừa là nón có đỉnh tại 0 vừa là một tập lồi. Các tập lồi là đóng kín đối với một số phép toán như phép giao, phép cộng, phép nhân với một số thực. Tức là, nếu C và D là hai tập lồi trong X thì C ∩ D, λC + βD cũng là các tập lồi với mọi λ, β ∈ R.
17 Định nghĩa 1.2. Giả sử C là một tập lồi khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và x0 ∈ C. Khi đó tập NC (x0 ) = {ω ∈ H : hω, x − x0 i ≤ 0, ∀x ∈ C} được gọi là nón pháp tuyến (ngoài) của C tại x0 và tập −NC (x0 ) được gọi là nón pháp tuyến (trong) của C tại x0 . Hiển nhiên 0 ∈ NC (x0 ) và từ định nghĩa trên ta thấy NC (x0 ) là một nón lồi đóng. Định nghĩa 1.3. Giả sử C 6= ∅ (không nhất thiết lồi) là một tập con của không gian Hilbert H và y ∈ H là một véc tơ bất kỳ, gọi dC (y) = inf kx − yk. x∈C Ta nói dC (y) là khoảng cách từ y đến C. Nếu tồn tại PC (y) ∈ C sao cho dC (y) = ky − PC (y)k, thì ta nói PC (y) là hình chiếu của y trên C. Từ định nghĩa trên ta thấy hình chiếu PC (y) của y trên C là nghiệm của bài toán tối ưu 1 2 min kx − yk . x∈C 2 Nói cách khác, việc tìm hình chiếu của y trên C có thể đưa về việc tìm cực tiểu của hàm ||x − y||2 trên C. Mệnh đề 1.1. (xem [10, Theorem 3.14, Proposition 4.8 ]) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H. Khi đó (a) với mọi y ∈ H và w ∈ C thì w = PC (y) khi và chỉ khi y − w ∈ NC (w) hay hy − w, x − wi ≤ 0 ∀x ∈ C; (b) hình chiếu PC (y) của y trên C luôn tồn tại và duy nhất; (c) kPC (x) − PC (y)k ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ H (tính không giãn); (d) kPC (x) − PC (y)k2 ≤ hPC (x) − PC (y), x − yi, ∀x, y ∈ H (tính đồng bức). Định nghĩa 1.4. Giả sử X là không gian véc tơ tô pô lồi địa phương thực, C ⊂ X là một tập lồi và f : C → R ∪ {+∞}, khi đó