Đa Thức Tâm Trên Đại Số Ma Trận: Luận Văn và Ứng Dụng Mới Nhất

Ña thöùc taâm treân ñaïi soá caùc ma traän vaø

öùng duïng treân caùc ñaïi soá khaùc

Nguyễn Thị Hồng

ĐHSP Tp.HCM, 2004

MÔÛ ÑAÀU

Ngöôøi ta ñaõ ñöa ra khaùi nieäm "Moät ña thöùc f(x1,… , xn) ñöôïc goïi laø ña

thöùc taâm treân A neáu f khoâng laø moät ñoàng nhaát thöùc trong A nhöng giao hoaùn töû

[f(x1,…, xn ),xn+1] laø moät ñoàng nhaát thöùc trong A".

Döïa vaøo ñònh nghóa vaø töø caùch xaây döïng ñoàng nhaát thöùc cuûa Wagner

thì f (x1, x2)= (x1 x2 - x2 x1 )2 laø moät ña thöùc taâm treân ñaïi soá caùc ma traän M2(K).

Trong moät thôøi gian daøi baøi toaùn ñaët ra laø xaây döïng caùc ña thöùc taâm

cho Mn(K), vôùi n >2 ñeå töø ñoù tìm ra ñoàng nhaát thöùc thoûa maõn cho caùc ñaïi soá

ma traän Mn(K). Vaán ñeà naøy ñaõ ñöôïc giaûi quyeát moät caùch caën keû bôûi Formanek .

Luaän vaên naøy trình baøy heä thoáng laïi phöông phaùp xaây döïng ña thöùc

taâm treân Mn(K) cuûa Formanek vaø moät soá öùng duïng – aùp duïng cuûa ña thöùc taâm

treân caùc ñaïi soá khaùc.

Luaän vaên goàm 03 chöông :

*Chöông I : Caùc vaán ñeà cô sôû

Trong phaàn naøy chuû yeáu trình baøy moät soá khaùi nieäm,ñònh lyù, boå

ñeà ( coù vaø khoâng coù chöùng minh ) laøm cô sôû cho chöông II vaø

chöông III nhö : ma traän, ñaïi soá ñôn taâm , ñaïi soá nguyeân toá ,ñoàng

nhaát thöùc , PI ñaïi soá ,..., caùc ñònh lyù quan troïng cuûa Pi Ñaïi soá nhö

Ñònh lyù Kaplanski, Wederburn....

*Chöông II : Ña thöùc taâm treân Ñaïi soá caùc ma traän caáp n treân vaønh giao hoaùn coù

ñôn vò

Trong chöông naøy neâu leân ñònh nghóa cuûa ña thöùc taâm, moät soá

khaùi nieäm duøng laøm cô sôû cho vieäc xaây döïng ña thöùc taâm treân

Mn(K).Phaàn trọng taâm cuûa chöông naøy laø caùch xaây döïng ña thöùc

Formanek , töø ñoù xaây döïng ñöôïc ña thöùc taâm cho Mn(K) vôùi n > 2

qua ñònh lyù Formanek.

*Chöông III : Moät soá aùp duïng – öùng duïng cuûa ña thöùc taâm trong lyù thuyeát caùc

PI Ñaïi soá

Trong phaàn naøy neâu 2 öùng duïng vaø aùp duïng cuûa ña thöùc taâm vaøo

vieäc chöùng minh moät soá keát quûa treân ñaïi soá ñôn taâm vaø ñaïi soá

nguyeân toá

Toâi xin traân troïng caùm ôn taát caû caùc Thaày, Coâ Toå Ñaïi Soá cuûa Tröôøng Ñaïi

Hoïc Sö Phaïm TP.HCM, Tröôøng Ñaïi hoïc Khoa Töï nhieân TP.HCM, Phoøng

Nghieân cöùu Khoa hoïc Sau ñaïi hoïc tröôøng ÑHSP cuøng taát caû caùc baïn hoïc vieân

Cao hoïc Ñaïi soá ñaõ nhieät tình giaûng daïy, taïo ñieàu kieän vaø giuùp ñôõ toâi hoaøn thaønh

khoaù hoïc.

Toâi xin ñaëc bieät tri aân PGS. TS Buøi Töôøng Trí ñaõ taän tình höôùng daãn toâi

trong suoát quùa trình thöïc hieän luaän vaên naøy.

Do trình ñoä coøn haïn cheá neân luaän vaên seõ khoâng traùnh khoûi sai soùt, kính

mong ñöôïc söï thoâng caûm vaø goùp yù xaây döïng.

Traân troïng caùm ôn.

Hoïc vieân NGUYEÃN THÒ HOÀNG

Cao hoïc Ñaïi soá Khoaù 12

(2001-2004)

Tröôøng Ñaïi hoïc Sö Phaïm TP. Hoà Chí Minh

CHÖÔNG I

CAÙC KIEÁN THÖÙC CÔ SÔÛ

1.1- Ma traän

1.1.1- Ñònh nghóa :

Moät ma traän caáp mxn treân K laø moät heä thoáng goàm mn soá aij

thuoäc moät truôøng K ñöôïc ñaùnh soá theo hai chæ soá i, j ( với i =1, m

a .... a ....

vaø j = 1, n ) ñöôïc saép thaønh moät baûng chöõ nhaät:

m 1

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

a a a a n 22 ...................... a a

a ... 2

A= goàm m doøng , n coät , kyù hieäu A=( aij)mxn

Taäp hôïp taát caû caùc ma traän caáp mxn kyù hieäu laø M m,n(K)

Khi m = n ta coù ma traän vuoâng caáp n , kyù hieäu A = ( aij)n .

Taäp hôïp taát caû caùc ma traän vuoâng caáp n , kyù hieäu laø Mn(K).

Ñoái vôùi ma traän vuoâng A = ( aij)n , caùc phaàn töû coù hai chæ soá baèng

nhau a11,… , ann naèm treân moät ñöôøng cheùo maø ta goïi laø ñöôøng cheùo

chính cuûa A. Ñöôøng cheùo coøn laïi cuûa hình vuoâng goïi laø ñöôøng

cheùo phuï cuûa A.

1.1.2- Ma traän cheùo caáp n

Laø ma traän vuoâng caáp n maø taát caû caùc phaàn töû naèm ngoaøi

0 . . . . . 0

ñöôøng cheùo chính ñeàu baèng 0.

a 0

. . . . . 0

a

2 . . . . . . . . . . . . .

0 0 . . . . .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

a

1.1.3 – M a traän ñôn vò caáp n (Kyù hieäu I n )

Laø ma traän cheùo caáp n maø taát caû caùc phaàn töû treân ñöôøng cheùo

1 0 . . . . . 0

0 1 . . . . . 0

chính ñeàu baèng 1

. . . . . . . . . .

0 0 . . . . . 1

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

In =

1.1.4 – Giaù trò rieâng

Cho ma traän a∈ Mn(K), soá λ ñöôïc goïi laø giaù trò rieâng cuûa a

neáu toàn taïi vectô x = (x1,…, xn) ∈ Kn\ { }0 sao cho

x x .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

. . x

a = λ

Vectô x goïi laø vectô rieâng cuûa A öùng vôùi giaù trò rieâng λ . Ñeå

thuaän tieän coù theå vieát ax =λx

1.1.5 – Veát cuûa moät ma traän vuoâng a caáp n

Laø toång caùc phaàn töû treân ñöôøng cheùo chính cuûa noù , kyù hieäu

Tr(a)

1.1.6- Ma traän ñaëc tröng

Cho a laø ma traän vuoâng caáp n treân K (n ≥ 1).Ma traän a-λI n laø

ma traän ñaëc tröng cuûa a.

Tính toaùn tröïc tieáp ñònh thöùc cuûa ma traän (a- λ I n ) laø moät ña

thöùc baäc n cuûa bieán λ vôùi heä soá treân K goïi laø ña thöùc ñaëc tröng

cuûa ma traän a, kyù hieäu laø χa(λ) (hoaëc χ(λ) neáu khoâng coù söï hieåu

laàm)

χa(λ)=det(a - λ I n)=(-1)nλn + (-1)n-1 tr(a) λn-1+….+det a

Phöông trình χa(λ)=0 laø phöông trình ñaëc tröng cuûa a.

1.1.7 – Ñònh lyù Hamilton – Caley

∀ a∈Mn(K) , χa(a)=0

Moïi ma traän vuoâng ñeàu laø nghieäm cuûa ña thöùc ñaëc tröng cuûa noù.

⇔ (-1)nan + (-1)n-1 tr(a) an-1+….+det aIn = 0

1.2 - Ña thöùc

1.2.1 - Ña thöùc ñoái xöùng

1.2.1.1- Ña thöùc f ( x1,…, xn ) ñöôïc goïi laø ñoái xöùng neáu vôùi moïi

hoaùn vò σ cuûa {1,…,n } ta coù

f ( x1,…, xn ) = f (x σ (1) ,…, x σ (n) )

Caùc ña thöùc ñoái xöùng cô baûn :

σ 1 = x1 + x2+…. + xn

σ 2 = x1 x2 + x1 x3+…. + xn-1xn

σ 3 = x1 x2 x3 + x1x2 x4+…. + xn-2 xn-1xn

………..

Moïi ña thöùc ñoái xöùng f ( x1,…, xn ) thuoäc A[x1,.,xn ] trong ñoù A

σ n = x1 x2 x3 ….xn-2 xn-1xn

laø moät mieàn nguyeân ñeàu coù theå bieåu dieãn duy nhaát döôùi daïng

moät ña thöùc Q(σ 1,…, σ n) cuûa caùc ña thöùc ñoái xöùng cô baûn vôùi heä

töû trong A.

1.2.2 - Ña thöùc taùch

Moät ña thöùc P cuûa K[X] goïi laø ña thöùc phaân raõ treân K khi vaø

)

chæ khi toàn taïi λ ∈ K\ {0}, n ∈N* ; x1,….xn ∈ K sao cho

−∏ (

X x

1 =

P= λ ( caùc xi khoâng nhaát thieát phaûi khaùc nhau )

1.2.3 – Ña thöùc toái tieåu

Cho a∈Mn(K). Khi ño ùtập hợp J= { f(λ) ∈ K [λ] / f (a) = 0}

laø một ideal chính khaùc 0 của K [λ]. Phần tử sinh của J với hệ số

cao nhaát baèng 1 ñöôïc goïi laø ña thöùc toái tieåu cuûa ma traän a, kyù

hieäu pa(λ).

-Nhaän xeùt : Ña thöùc toái tieåu pa(λ) laø öôùc trong K[λ] cuûa moïi ña

thöùc g(λ) ∈K[λ] nhaän a laø nghieäm.

1.2.4- Dạng song tuyến tính

Vôùi K laø tröôøng có đặc số khác 2 (tức là 2.1K ≠ 0K),

E là một K- không gian vectơ

Ta gọi mọi ánh xạ ϕ : E x E → K sao cho :

(i) ∀α∈K , ∀ (x,x',y)∈ E3 , ϕ(αx+x',y)= αϕ(x,y) +ϕ(x',y)

(ϕ là tuyến tính đối với vị trí thứ nhất )

(ii) ∀β∈K , ∀ (x,y,y')∈ E3 , ϕ(x,βy+y')= βϕ (x,y) + ϕ(x,y')

(ϕ là tuyến tính đối với vị trí thứ hai )

là dạng song tuyến tính trên E x E

1.3 - Moät soá ñònh nghóa vaø keát quûa

- M laø moät R -Moñun trung thaønh neáu Mr = (0) thì r = 0.

- M ñöôïc goïi laø R- moñun baát khaû quy neáu MR ≠ (0) vaø neáu caùc

modun con cuûa M chæ laø (0) vaø M.

- Neáu M laø moät R-moñun baát khaû quy thì C(M) laø moät theå(Boå ñeà

Schur)

- Vaønh R ñöôïc goïi laø nöûa ñôn neáu J(R) = (0)

- Moät vaønh R ñöôïc goïi laø nguyeân thuûy neáu noù coù moät modun baát

khaû quy trung thaønh.

- Moät vaønh ñöôïc goïi laø vaønh Artin neáu moïi taäp con khaùc roãng caùc

ideal cuûa A ñeàu coù phaàn töû toái tieåu.

1.4- Ñaïi soá ñôn taâm

1.4.1 – Ñònh nghóa

Moät vaønh R ñöôïc goò laø ñôn neáu R2 ≠(0) vaø R khoâng coù ideal

thaät söï naøo ngoaøi (0) vaø chính noù.

1.4.2 – Ñònh nghóa

A laø moät ñaïi soá treân vaønh K neáu :

-A laø moät K-modun

-A laø vaønh

- ∀ k∈K , ∀ a,b ∈ A : k(ab)=(ka)b=a(kb)

1.4.3– Ñònh nghóa

Moät ñaïi soá A ñöôïc goïi laø ñôn taâm treân tröôøng K neáu A laø moät

ñaïi soá ñôn coù taâm ñaúng caáu vôùi K. (Ta coù theå xem nhö C=K.1)

1.4.4 –Ñònh nghóa

Neáu A laø moät ñaïi soá ñôn taâm höõu haïn chieàu treân K. Khi ñoù F/K

(vôùi F laø moät tröôøng chöùa K hay F laø tröôøng môû roäng cuûa K) ñöôïc

A⊗

goïi laø moät tröôøng taùch ñöôïc ñoái vôùi A neáu :

AF= ≅ Mn(K)

1.4.5 – Ñònh lyù

- Bao ñoùng ñaïi soá K cuûa K laø tröôøng taùch ñöôïc.

- Neáu A ≅ Mr (Δ) vôùi Δ laø moät theå vaø F laø tröôøng con toái ñaïi cuûa Δ,

thì F laø tröôøng taùch ñöôïc.

Chöùng minh :

Vôùi moïi tröôøng F / K thì AF laø ñaïi soá treân F . Neáu A laø ñôn taâm

höõu haïn chieàu treân F thì AF laø ñôn taâm höõu haïn chieàu vôùi :

[AF : F ] = [A: K ]

Theo ñònh lyù Wedderburn thì :AF ≅ Mn (Δ) trong ñoù Δ laø ñaïi soá coù

pheùp chia treân F.

Neáu F = K laø ñaïi soá höõu haïn chieàu coù pheùp chia treân F laø K , vaäy

thì :

KA ≅ Mn( K )

trong ñoù K laø tröôøng taùch ñöôïc.

Trong phaùt bieåu thöù hai ta caàn ñeán ñònh lyù Kaplanski –Atmitsur .

Ta bieát neáu A laø ñaïi soá daøy ñaëc cuûa caùc pheùp bieán ñoåi tuyeán tính

treân V/ Δ, vôùi K laø ñaïi soá coù pheùp chia vaø F laø tröôøng con toái ñaïi

cuûa Δ thì :

A’= FLA laø ñaïi soá daøy ñaëc caùc pheùp bieán ñoåi treân V/ F .

AÙp duïng vaøo tröôøng hôïp ñaëc bieät A laø ñôn taâm höõu haïn chieàu , ta

coù theå laáy V laø höõu haïn chieàu treân Δvaø Δ laø höõu haïn chieàu treân K.

Theo boå ñeà thì :

K⊗ A

A’= FLA ≅ F

Cuõng theá ta ñaõ bieát A laø ñaïi soá ñaày ñuû caùc pheùp bieán ñoåi tuyeán

tính treân V/F. Vaäy laø neáu :

K⊗ A ≅ Mn(F)

[V : F ]= n ⇒ F

Suy ra F laø tröôøng taùch ñöôïc .

Töø keát quûa naøy ta suy ra heä quûa sau

Heä quûa : Soá chieàu cuûa ñaïi soá ñôn taâm höõu haïn chieàu laø moät soá

chính phöông.

1.5 – Ñònh lyù Wedderburn – Artin :

Giaû söû R laø moät vaønh ñôn Artin, khi ñoù R ñaúng caáu vôùi Dn (laø

vaønh cuûa taát caû caùc ma traän vuoâng nxn treân theå D). Hôn theá nöõa n laø

duy nhaát. Ngöôïc laïi, ñoái vôùi moïi theå D, Dn laø moät vaønh Artin ñôn.

1.6 – Khaùi nieäm daøy ñaëc

1.6.1- Ñònh nghóa AM = { aM / a ∈ A} laø moät ñaïi soá daøy ñaëc cuûa caùc pheùp bieán ñoåi

tuyeán tính trong M treân ∆ neáu:cho tröôùc moät taäp höõu haïn caùc

vectô x1,..,xn thuoäc M ñoäc laäp tuyeán tính treân ∆ vaø caùc vectô töông öùng baát kyø y1,…., yn ñeàu toàn taïi a ∈ A sao cho

axi = yi vôùi 1 ≤ i ≤ n

1.6.2 – Ñònh nghóa

Moät taäp caùc pheùp bieán ñoåi tuyeán tính cuûa khoâng gian vectô ñöôïc

goïi laø daøy ñaëc neáu noù coù tính chaát ñaõ ñeà caäp ôû 1.6.1 :cho baát kyø

daõy höõu haïn caùc vectô ñoäc laäp tuyeán tính {xi} vaø {yi}vôùi 1≤ i≤n

thì toàn taïi a thuoäc A sao cho :

axi = yi vôùi 1 ≤ i ≤ n

1.6.3- Ñònh lyù daøy ñaëc

Giaû söû R laø vaønh nguyeân thuûy, M laø R-modun baát khaû quy trung

thaønh. Neáu Δ = C(M ) thì R laø vaønh daøy ñaëc caùc pheùp bieán ñoåi

tuyeán tính cuûa khoâng gian vectô M treân theå Δ ( noùi taét : R daøy ñaëc

treân M )

(YÙ nghóa : R daøy ñaëc trong HomΔ(M,M) vaø neáu dimΔM laø höõu haïn

thì R ñaúng caáu vôùi HomΔ(M,M))

Chöùng minh:

Tröôùc heát ta coù nhaän xeùt : ñeå chöùng minh tính daøy ñaëc cuûa R treân

M hay R daøy ñaëc trong HomΔ(M,M) ta chæ caàn chöùng minh raèng

neáu V laø khoâng gian con höõu haïn chieàu cuûa M treân Δ vaø m ∈M, m

∉ V thì toàn taïi r ∈ R sao cho Vr = (0) nhöng mr ≠ 0 ( nghóa laø r

linh hoaù toaøn boä V maø khoâng linh hoaù m). Thaät vaäy, neáu ñieàu

kieän treân thoûa thì suy ra mrR ≠ (0)vaø mrR laø modun con cuûa M

treân R, vì M baát khaû quy ⇒ mrR = M . Do ñoù ta tìm ñöôïc s ∈ R

sao cho mrs laø baát kyø phaàn töû naøo cuûa M ( mrs chaïy khaép M ).

Löu yù : Vrs = (0). Giaû söû v1, v2,…, vn ∈ M laø heä ñoäc laäp tuyeán tính

treân Δ vaø w1, w2,…, wn ∈ M tuyø yù . Goïi Vi laø khoâng gian cuûa M

treân Δ sinh bôûi caùc vj vôùi i ≠ j . Vì i∉Vi vaø heä { vi}ñoäclaäp tuyeán

tính neân toàn taïi ti∈ R sao cho viti =wi, Viti = (0).

Neáu ñaët t = t1+…+tn ∈R thì ta coù vit = wi (i =1,2,…,n).Theo ñònh

nghóa R daøy ñaëc treân M.

Ñeå chöùng minh ñònh lyù ta chöùng minh nhaän xeùt treân baèng quy naïp

theo soá chieàu cuûa khoânggian vectô V treân Δ.

*Neáu dim V = (0) ⇔ V = (0)

∀ m ∈M, m ∉V ⇒ m ≠ 0 ⇒ mR ≠ (0) ( vì M baát khaû quy )

(Neáu ∀ m ∈M, m ≠ 0 ⇒ mR = (0) thì MR = (0) voâ lyù vôùi tính chaát

baát khaû quy cuûa M )

⇒ ∃ r ∈ R : mr ≠ 0 vaø V r = (0) : nhaän xeùt ñuùng.

*Giaû söû meänh ñeà ñaõ ñuùng với các không gian có số chiều ≤

dim(V) . Ta chứng minh nhận xét đúng với không gian có số chiều =

số chiều của V. Giả sử V=V0 + ωΔ trong đó dim(V0 )= dim V -1 vaø

ω ≠ V0 ( ω Δ laø ideal chính sinh bôûi phaàn töû ω ). Theo giaû thieát

quy naïp thì vôùi A(V0) = {x ∈V / V0x=(0)} thì ∀ m ≠ V0, ∃r ∈ A(V0)

sao cho mr ≠ 0. Maët khaùc, neáu mA(V0) = (0) thì m ∈ V0.

Taäp hôïp A(V0) laø ideal phaûi cuûa vaønh R vaø do ω ∉V0 neân ω A(V0)

≠ (0) laø modun con cuûa M ⇒ ω A(V0)=M . Giaû söû raèng laáy m ∈M,

m ∉V coù tính chaát laø baát kyø khi naøo Vr = (0) thì mr = 0.Ta caàn

chöùng minh raèng ñieàu naøy khoâng theå xaûy ra baèng phaûn chöùng .

Giaû söû ∃m ∈M, m ∉V maø Vr = (0) thì mr = 0.

Xeùt töông öùng τ : M → M

x → xτ = ma

trong ñoù a ñöôïc xaùc ñònh bôûi x = ωa vôùi a ∈ A(V0).

Ta coù ñònh nghóa cuûa τ laø ñuùng ñaén.

Thaät vaäy,giaû söû x =ωa vôùi a ∈ A(V0) vaø giaû söû x =ωa1 vôùi a1∈

A(V0) ⇒ ω(a- a1)=0 suy ra (a-a1)linh hoaù ω vaø do ñoù linh hoaù

toaøn boä V. Theo giaû thieát phaûn chöùng suy ra(a- a1 )cuõng linh hoaù

m hay m(a - a1 )= 0⇒ ma =m a1 .Vaäy ñònh nghóa treân laø ñuùng ñaén.

Ta chöùng minh raèng τ giao hoaùn ñöôïc vôùi r,∀r∈R.

Roõ raøng τ∈E(M). Hôn nöõa, neáu x = ωa vôùi a ∈ A(V0)thì ∀ r ∈ R,

vì ar ∈ A(V0), xr =(ωa)r =ω (ar) do ñoù (xr)τ = m(ar) = (ma)r =

(xτ)r . Ñieàu naøy daãn ñeán τ∈Δ =C(M).

Vôùi ∀a∈A (V0), ma= (ωa)τ = (ωτ)a suy ra (m -ωτ)a = 0.

Theo giaû thieát quy naïp thì m -ωτ ∈ V0

Do ñoù m ∈ V0+ωτ ⊂ V0+ωΔ =V . Voâ lyù .

Ñònh lyù ñaõ ñöôïc chöùng minh.

1.6.5- Ñònh lyù

Moät ñaïi soá nguyeân thuûy thì ñaúng caáu vôùi moät ñaïi soá daøy ñaëc cuûa

caùc pheùp bieán ñoåi tuyeán tính trong moät khoâng gian vectô treân

moät ñaïi soá chia ñöôïc.

1.7 – PI Ñaïi soá

Ñeå ñònh nghóa khaùi nieäm ñoàng nhaát thöùc ña thöùc cuûa moät ñaïi soá

vaø cuûa moät PI ñaïi soá tröôùc tieân ta xeùt ñaïi soá töï do trong moät taäp sinh

ñeám ñöôïc treân vaønh giao hoaùn coù ñôn vò K.

Giaû söû X laø vò nhoùm töï do sinh bôûi taäp ñeám ñöôïc caùc phaàn töû

.......

. 1

x x x i i

x cuûa caùc ñôn thöùc phaân bieät i

x1,x2,… thì X laø taäp 1,

.......

x ⇔ ( r=s vaø i1 = j1 ……)

x x x j

. 1

....... 3

x x x i i

x = i

. 1

Hai ñôn thöùc baèng nhau

Pheùp nhaân ñöôïc ñònh nghóa sao cho 1 laø phaàn töû ñôn vò vaø

.......

x x x j

x ) = j

x x x j

x j

. 1

....... 3

. 1

....... 3

x x x i i

x ) ( i

x x x i i

. 1

(

Xeùt K[x] laø ñaïi soá vò nhoùm cuûa X treân K .

K[x] vöøa coù caáu truùc vaønh vöøa coùcaáu truùc modun ⇒ K[x] ñöôïc

goïi laø moät ñaïi soá töï do vôùi taäp ñeám ñöôïc caùc phaàn töû sinh xi .

Tính chaát cô baûn cuûa K[x] laø neáu A laø moät ñaïi soá baát kyø treân K vaø

δ laø aùnh xaï töø X → A thì toàn taïi duy nhaát ñoàng caáu η töø K[x] → A sao

cho bieåu ñoà sau giao hoaùn

X i K[X]

δ η A

Neáu f ∈ K[x], f ∈ K[x1 ,…, xm ] ñaïi soá con sinh bôûi taäp con höõu

haïn ⎨x1,x2,…xm ⎬ vôùi m naøo ñoù. Ta vieát f = f(x1,x2,…xm ) aûnh cuûa ña

thöùc naøy döôùi ñoàng caáu K[x] → A bieán xi → ai ( 1 ≤ i < ∞ ) ñöôïc kyù

hieäu f(a1, a2,….,am) , ∀ ai ∈ A

.....

1.7.1- Moät soá ñònh nghóa

x x i

x goò laø coù maët trong f neáu noù i

1.7.1.1-Moät ñôn thöùc

coù heä soá khaùc 0 trong bieåu dieãn cuûa f theo cô sôû cuûa X.

1.7.1.2-Moät ña thöùc f ñöôïc goïi laø tuyeán tính theo xi , neáu moïi

ñôn thöùc coù trong f ñeàu laø baäc nhaát theo xi.

1.7.1.3-Moät ña thöùc f ñöôïc goò laø ña tuyeán tính neáu f laø tuyeán

tính ñoái vôùi moïi xi coù maët trong f.

*Neáu f laø ña tuyeán tính thì

** f coù daïng :

2.....

1 2... π π π

π π

x x

α∑

f =

1... mπ πα ∈ K vaø π laø moät pheùp theá cuûa Sm.

vôùi

**f(x1,x2,,xj-1,xj+ xm+1, xj+1,…, xm)=f(x1,x2,…,xj-1,xj ,xj+1,…, xm)

+f (x1, x2,…, xj-1, xm+1, xj+1,…, xm)

** f (x1, x2,…, xj-1, βxj, xj+1,…, xm)= βf (x1,…, xm) ∀ β ∈ K

Nhöõng tính chaát naøy daãn ñeán neáu { ui } laø taäp sinh cuûa ñaïi

soá A nhö laø moät K- module thì f laø ñoàng nhaát thöùc treân A khi

vaø chæ khi :

1iu ,

2iu ,…,

miu )= 0

f (

jiu trong { ui }

vôùi moïi söï löïa choïn caùc

1.7.1.5-Moät ña thöùc f (x1, x2,…,xm) ñöôïc goïi laø thay phieân neáu

f (x1, x2,…, xi-1, xi, xj+1,…, xj-1, xi , xj+1…….)= 0 vôùi moïi söï löïa

choïn i

** Neáu laø ña tuyeán tính vaø thay phieân, thì f laø ñoàng nhaát

thöùc khi vaø chæ khi

1iu ,

2iu ,…,

miu )= 0

f (

jiu trong moät taäp sinh{ui } cuûa K.

ñoái vôùi taát caû caùch choïn caùc

Do ñoù neáu A coù moät module höõu haïn sinh { u1,…., un } thì moïi

ña thöùc ña tuyeán tính thay phieân coù baäc m > n laø ñoàng nhaát

thöùc cuûa A.

1.7.1.6 –f laø ña thöùc chính quy chaët neáu f ≠ 0 vaø caùc heä soá

khaùc 0 cuûa f laø ñôn vò hoaëc khaû nghòch trong K.

1.7.1.7 – Ña thöùc chuaån

+Định nghĩa

..... 2 π π

k π

π∑ sg x x ( )

Ña thöùc Sk+1(x1, x2,…, xk+1)=

trong ñoù toång ñöôïc laáy treán nhoùm ñoái xöùng vaø Sgπ laø daáu

cuûa pheùp hoaùn vò π , ñöôïc goïi laø ña thöùc chuaån baäc k.

+Ña thöùc chuaån coù caùc tính chaát sau

*Sk+1(x1, x2,…, xk+1)= x1Sk+1(x2,…, xk+1)- x2Sk+1(x1 ,x3,…, xk+1)

+…..+ (-1)k xk+1Sk+1(x1 ,…, xk)

Do ñoù neáu Sk laø ñoàng nhaát thöùc treân ñaïi soá thì Sk+1cuõng laø

ñoàng nhaát thöùc treân ñaïi soá ñoù.

..... 2 π π

π ) = Sg(π)Sk(x1, x2,…, xk)

x x

* Sk(

* Neáu i1 ,….., ir phaân bieät vaø i ≤ j ≤ k , 0 < r < k vaø S’ laø toång

1ix ,

2ix , …..,

nix laø thöøa

caùc haïng töû cuûa Sk(x1, x2,…, xk) coù

.....

soá traùi thì :

1 +

) S’= ± i1…..ir Sk-r (

Nhö vaäy Sk-r seõ laø ñoàng nhaát thöùc treân moïi K – ñaïi soá höõu

haïn sinh vôùi taäp sinh coù soá phaàn töû beù hôn k.

Vì Mn(K) ñöôïc sinh ra bôûi n2 ma traän ñôn vò eij (coi nhö laø K

1nS +

laø ñoàng nhaát thöùc laø ñoàng nhaát thöùc treân module ) do ñoù

Mn(K) . Sau naøy ta bieát S2n cuõng laø ñoàng nhaát thöùc treân

1.7.2- Ñoàng nhaát thöùc

Mn(K).

1.7.2.1- f laø moät ñoàng nhaát thöùc cuûa A neáu

f (a1, a2,…., am) = 0 , ∀ ai ∈ A

1.7.2.2 –Ña thöùc f ñöôïc goïi laø ñoàng nhaát thöùc thaät söï neáu f laø

ñoàng nhaát thöùc cuûa A vaø toàn taïi moät heä soá cuûa f khoâng linh hoaù

A .

Nhaän xeùt :

-Neáu K laø moät tröôøng thì f laø ñoàng nhaát thöùc thaät söï cuûa A

töông ñöông vôùi f laø ñoàng nhaát thöùc treân A vaø f ≠ 0

-Neáu f laø moät ñoàng nhaát thöùc maø trong noù coù moät heä soá laø 1

hoaëc -1 thì f laø ñoàng nhaát thöùc thaät söï.

1.7.2.3 - f goïi laø ñoàng nhaát thöùc chính quy chaët treân ñaïi soá A,

neáu f laø ñoàng nhaát thöùc treân A vaø f laø chính quy chaët.

Neáu f laø ñoàng nhaát thöùc chính quy chaët treân ñaïi soá A thì noù

cuõng laø ñoàng nhaát thöùc chính quy chaët treân ñaïi soá con cuûa ñaïi

soá con cuûa ñaïi soá A vaø ñieàu naøy coøn ñuùng ñoái vôùi moïi aûnh ñoàng

caáu.

1.7.3- Ñònh nghóa PI – ñaïi soá

Moät ñaïi soá A treân vaønh giao hoaùn coù ñôn vò K ñöôïc goïi laø PI

ñaïi soá hay ñaïi soá vôùi ñoàng nhaát thöùc ña thöùc neáu toàn taïi moät ña

thöùc f(a1, a2,….,am) ∈ K[x] laø ñoàng nhaát thöùc thöïc söï cuûa A.

Ví duï :

1.7.3.1 – Moïi ñaïi soá giao hoaùn ñeàu laø PI ñaïi soá vì thoûa maõn

ñoàng nhaát thöùc :

f = x1x2 – x2x1

1.7.3.2 - M2(K) laø moät PI ñaïi soá vì thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc

Wargner nhö sau :

f(x1,x2,x3 )= (x1x2-x2x1)2 x3 - x3 (x1x2-x2x1)2

...

1.7.3.3 - Trong F [x1,x2,…,xn ] ñoàng nhaát thöùc chuaån n bieán laø

( 1) sg

(1)

( ) n

−∑

∑

( ) Sym n

σ∈

j= 1

f (x1, x2,…xn) = Sn (x1, x2,…xn) =

Chuù yù : toång naøy coù n! ñôn thöùc ; Sym(n) laø nhoùm ñoái xöùng baäc

n (⎜Sym(n) ⎢=n!) ; σ chaïy khaép trong Sym(n); (-1) sgσ baèng 1

hoaëc -1 tuyø thuoäc vaøo oheùp theá chaün hay leû.

Ví duï :

+f(x1,x2) = s2 (x1,x2) = x1x2 - x2x1

+f (x1,x2,x3) = s3(x1,x2,x3)= x1x2x3 – x1x3x2 - x2x1x3 + x2x3x1

+ x3x1x2 –x3x2x1

Nhö vaäy taát caû caùc ñôn thöùc baäc 1 theo töøng bieán vaø neáu ta ñoåi

choã 2 bieán cuûa ñôn thöùc naøo thì ñôn thöùc ñoù ñoåi daáu.

Giaû söû ta coù ñaïi soá A vaø caùc bieán x1= a , x2 = a,x3 = b .

Khi ñoù s3(a,a,b) = - s3 (a,a,b) ( do ñoåi choã x1, x2 cho nhau)

Suy ra s3(a,a,b) = 0 . Do ñoù ñoàng nhaát thöùc chuaån coù 2 bieán

gioáng nhau thì baèng 0

+Boå ñeà : Neáu A laø ñaïi soá n chieàu treân tröôøng F thì A thoûa maõn

ñoàng nhaát thöùc chuaån Sn+1 (x1, x2,…,xn+1)

Chöùng minh :

Töø ñònh nghóa ta thaáy Sn+1 (x1, x2,…,xn+1) laø ña tuyeán tính ñoái vôùi

caùc bieán vaø neáu coù 2 bieán nhaän cuøng giaù trò thì seõ trieät tieâu.

Giaû söû {u1,u2 ,….,un } laø moät cô sôû cuûa A treân F

vaø neáu a1, a2,…,an+1∈A do tính ña tuyeán tính cuûa Sn+1 (x1,

x2,…,xn+1) neân ∀ ai ∈A ta coù

ai=

∑ kijuj

nS +

j =

Do đó nếu ta thay xi bởi ai thì Sn+1( a1,a2,…., an+1) = 0 thì ta suy

ra Sn+1( a1,a2,…., an+1) laø ñoàng nhaát thöùc chuaån cuûa A

nS +

nx +

) +Heä quûa : Fn thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc (x1,x2,…,

Chöùng minh

Vì Fn laø ñaïi soá n2 chieàu neân

nS +

nx +

) = 0 (x1,x2,…,

nS +

nx +

nghóa laø Fn thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc (x1,x2,…, )

1.7.3.4 –

(A ñöôïc goïi laø moät ñaïi soá coù baäc bò chaën treân F neáu toàn taïi

moät soá nguyeân n sao cho vôùi a ∈A, toàn taïi moät ña thöùc xn+

α1xn-1+....+α n ∈F [x] nhaän a laø nghieäm).

Neáu A laø ñaïi soá coù baäc bò chaën treân F thì A laø moät PI ñaïi soá .

Chöùng minh

Giaû söû ñoái vôùi moãi phaàn töû b thuoäc A ñeàu toàn taïi moät ña thöùc f

coù daïng xn + α1xn-1+....+αn ∈ F[x] nhaän b laø nghieäm nghóa laø

f(b) =0 vôùi n coá ñònh.

∀a∈A , ta coù [ f(b), a] =0

αi∈F neân noù giao hoaùn ñöôïc vôùi a

[f(b),a]= [bn,a]+ α1 [bn-1,a]+...+ αn [b,a] = 0

Laáy giao hoaùn töû laàn nöõa

[[bn,a],[b,a]]+ α1 [[bn-1,a],[b,a]]+...+ αn [[b,a],[b,a]] =0

Tieáp tuïc nhö vaäy cho ñeán khi maát heát toaøn boä αi , cuoái cuøng ta

coù [[bn,a],[b,a]] = 0 khoâng phuï thuoäc vaøo αi

Suy ra A laø moät PI ñaïi soá.

P.I ñaïi soá toàn taïi raát phong phuù . Tuy nhieân coù nhöõng ñaïi soá khoâng

phaûi laø Pi ñaïi soá .

Ñieàu naøy theå hieän baèng caùc boå ñeà sau :

**Boå ñeà 1

Neáu d laø moät soá nguyeân vaø f laø moät ña thöùc khaùc khoâng trong ñaïi

soá töï do F [x1,x2,…,xd] thì toàn taïi moät soá n sao cho Fn khoâng thoûa

maõn f.

**Boå ñeà 2

F n khoâng thoûa maõn caùc ñoàng nhaát thöùc coù baäc < 2n

Chöùng minh

Neáu Fn thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc coù baäc < 2n thì theo boå ñeà ( neáu A

thoûa maõn moät ñoàng nhaát thöùc baäc d thì noù seõ thoûa maõn moät ñoàng

nhaát thöùc ña tuyeán tính coù baäc nhoû hôn hay baèng d) noù thoûa maõn

moät ñoàng nhaát thöùc ña tuyeán tính coù baäc < 2n.

Ta giaû thieát raèng noù thuaàn nhaát ñaúng caáp ( baäc cuûa caùc ñôn thöùc laø

nhö nhau) . Coù theå vieát

f = x1x2...xd +

∑ ασ xσ(1).... xσ(d) (σ ≠ 1) dSα∈

f thoûa maõn treân Fn , heä soá thuoäc tröôøng F , khaùc 0 neân coù nghòch

phaûi.

Ta coù theå theá x1, x2,...,xd baèng moät daõy caùc ma traän vuoâng caáp n

maø taïi ñoù f ≠ 0.

Xeùt eij laø caùc ma traän ñôn vò . Ta thay theá

x1 = e11, x2 = e12, x3= e22, x4 = e23, x5 = e33.......

Neáu d chaün xd = e(d/2)(d/2+1)

d/2 +1 < 2n/ 2 +1 = n+1 ⇒ d/ 2+1 ≤ n

Neáu d leû xd = e(d+1/2 )(d+1 / 2)

d+1/2 < 2n+1/ 2 = n+1/ 2

Vì d < 2n neân khi thay nhö theá thì ñôn thöùc ñaàu tieân x1x2...xd ≠ 0 vaø

hôn theá nöõa xσ(1).... xσ(d) = 0 neáu σ ≠ 1 do caùch choïn x laøm neân.

Do ñoù

f(e11, e12,e22,.....) = e11, e12,e22,..... ≠ 0

Do vaäy, Fn khoâng thoûa maõn f

**Boå ñeà 3

Mn(K) khoâng coù ñoàng nhaát thöùc thöïc söï coù baäc d < 2n

Chöùng minh

Tröôùc heát ta coù nhaän xeùt : vôùi 0< n ∈ N ta coù daõy e11, e22,…,enn coù n

phaàn töû vaø daõy e12, e23,…,e (n-1) n coù (n -1) phaàn töû.

Khi ñoù taäp {e11, e12,e22,e23,e33,e34,…,e(n-1)n, enn } seõ coù (2n-1) phaàn töû

trong ñoù eij laø ma traän coù phaàn töû ôû haøng I coät j baèng 1 coøn caùc phaàn

töû khaùc ñeàu baèng 0 thuoäc Mn(K).

Ta chöùng minh boå ñeà baèng phöông phaùp phaûn chöùng nhö sau :

Giaû söû Mn(K) thoûa maõn moät ñoàng nhaát thöùc thaät söï f coù baäc d < 2n.

Theo boå ñeà 1.8.3 ta coù theå xem f laø ñoàng nhaát thöùc thöïc söï ña

tuyeán tính. Do ñoù ta coù theå vieát f döôùi daïng :

∑ ασ xσ (1) xσ (1)….. xσ (1) dSα≠ ∈ 1

f = α x1x2…xd +

vôùi α Mn(K) ≠ 0 (1)

Do d <2n vaø theo nhaän xeùt treân ta choïn ñöôïc taäp goàm d ma traän

vuoâng caáp n thuoäc Mn(K) :

{e11,e12,e22,e23,….} ⊆ { e11, e12,e22,e23,…, e(n -1) n,enn}

Töø (1) ⇒ neáu σ (i) ≠ 1 thì eσ (1) eσ (2) ….eσ (d) = 0.

∑ dSα≠ ∈ 1

Khi ñoù ta cuõng coù

ασ xσ (1) xσ (2)….. xσ (d) = 0

vaø do f laø ñoàng nhaát thöùc treân Mn(K) neân suy ra :

f (e11,e12,e22,e23,…) = α e1k = 0 vôùi k naøo ñoù maø k ≤ n .

Suy ra

α eij = α (ei1e1kekj ) = ei1 (α e1k )ekj = 0 vôùi ∀ i,j

Neân α Mn(K) = 0 (!) maâu thuaãn vôùi giaû thieát.

Maâu thuaãn naøy cho ta ñieàu phaûi chöùng minh

**Boå ñeà 4

Giaû söû F laø moät tröôøng treân K vaø V laø khoâng gian vectô voâ haïn chieàu

treân F thì ñaïi soá caùc pheùp bieán ñoåi tuyeán tính End F V khoâng thoûa maõn

ñoàng nhaát thöùc thaät söï .

Chöùng minh

Goïi f laø ñoàng nhaát thöïc treân End F V coù baäc laø d.

Vôùi baát kyø phaàn töû x ∈ V, ta xeùt M laø khoâng gian con höõu haïn chieàu

cuûa V chöùa x sao cho 2[M:F] > d

Ñaët M ‘ = V/M vaø ta xaùc ñònh ñaïi soá con B (khoâng coù ñôn vò) cuûa

EndFV nhö sau

B = { ϕ ∈ End F V / ∀ m ∈M , ϕ(m) ∈M vaø ∀ m’ ∈ M’, ϕ (m’) = 0 }

Theo ñònh lyù Weddeburn ta coù B ≅ Mn(F) trong ñoù n = [ M: F ] .

Maët khaùc do f laø ñoàng nhaát thöùc treân End F V coù baäc laø d neân f laø ñoàng

nhaát thöùc treân B coù baäc laø d.

Suy ra f laø ñoàng nhaát thöùc treân Mn(F) coù baäc laø d < 2n.

Töø keát quûa cuûa boå ñeà 1.7.4 ta suy ra

neáu α laø heä soá baát kyø cuûa f thì ta coù

α Mn(F) = 0 ⇒ α B = 0 ⇒ (αϕ) (x) = 0

⇒ ϕ (αx) = 0 ⇒ (α1)x=0 ∀ x ∈ V.

Do ñoù α (End F V) = 0.

Vaäy f khoâng laø ñoàng nhaát thöùc thaät söï cuûa End F V.

1.8 - Ñònh lyù Kaplansky – Amisur – Levitzky

Giaû söû A laø ñaïi soá nguyeân thuûy coù moät ñoàng nhaát thöùc thöïc söï baäc d

thì taâm C cuûa A laø moät tröôøng , A laø ñôn vaø [A : C ] ≤ [ d/2 ]2

1.9 - Ñònh lyù Amitsur – Levitzky

Ña thöùc chuaån taéc S2n laø moät ñoàng nhaát thöùc cuûa Mn(K)

Chöùng minh

Tröôùc heát ta coù moät vaøi nhaän xeùt veà ña thöùc chuaån taéc :

1) Sk+1(x1, x2,…, xk+1)= x1Sk+1(x2,…, xk+1)- x2Sk+1(x1 ,x3,…, xk+1)

+…..+ (-1)k xk+1Sk+1(x1 ,…, xk)

Do ñoù neáu Sk laø ñoàng nhaát thöùc treân ñaïi soá thì Sk+1cuõng laø ñoàng nhaát

thöùc treân ñaïi soá ñoù.

2.....

π π

π ) = Sg(π)Sk(x1, x2,…, xk)

x x

2) Sk(

3) Neáu i1 ,….., ir phaân bieät vaø i ≤ j ≤ k , 0 < r < k vaø S’ laø toång caùc haïng

1ix ,

2ix , …..,

nix laø thöøa soá traùi thì :

.....

töû cuûa Sk(x1, x2,…, xk) coù

1 +

) S’= ± i1…..ir Sk-r (

4) Giaû söû r laø soá leû, 0 < r < k vaø goïi S laø toång caùc töø trong Sk(x1,x2,…,

xk) coù daïng ± ayb vôùi y = xi+1xi+2….xi+r coøn a vaø b laø caùc ñôn thöùc thì

S= S k-r+1 (x1,…, xi, y, xi+r+1,…, xk)

Ta chöùng minh ñònh lyù baèng phöông phaùp quy naïp theo n

Hieån nhieân ñònh lyù khi n = 1

Giaû söû ñònh lyù ñuùng cho n-1

Do tính ña tuyeán tính va thay phieân cuûa ña thöùc ña chuaån taéc neân ta chæ

caàn chöùng minh raèng :

i j

2ji

,e ,...., e neáu { e } (*) laø taäp 2n ma traän ñôn vò eij khaùc nhau

( eij laø ma traän coù phaàn töû ôû haøng thöù i , coät j baèng 1, coøn caùc phaàn töû

khaùc ñeàu baèng 0)

i j

2ji

,e ,...., e ) = 0 (**) thì S2n (e

Vôùi 1≤ k ≤ n ta kyù hieäu f(k) laø soá laàn k coù maët ôû chæ soá trong taäp (*) .

∑

∑ f(k) = 4n.

j r= + 1

k = 1

Khi ñoù

Neáu k laø soá sao cho f(k) = 0 thì k khoâng coù maët trong (*) .

Trong tröôøng hôïp naøy caùc ma traän ñôn vò trong (*) coù theå xem nhö caùc

ma traän ñôn vò cuûa Mn-1(K)laø ñoàng nhaát thöùc cuûa Mn-1 (K), do tính chaát

(1) cuûa ña thöùc chuaån thì S2n cuõng laø ñoàng nhaát thöùc cuûa Mn-1(K).

Do ñoù (**) ñuùng.

Neáu f(k) >0, 1 ≤ k ≤ n :

Ñeå giuùp cho vieäc trình baøy pheùp chöùng minh ñònh lyù ñöôïc suùc tích, deã

hieåu tröôùc heát ta chöùng minh boå ñeà sau

Boå ñeà

Giaû söû euu coù maët trong (*) vaø f(u) ≤ 4 thì (**) ñuùng

Chöùng minh

a) Neáu f(u) = 2 thì u coù maët ôû chæ soá cuûa caùc phaàn töû trong taäp

i j

2ji

,e ,...., e {e } (*) chæ vôùi phaàn töû euu.

i j

2ji

,e ,...., e )ñeàu Do ñoù moïi ñôn thöùc trong ña thöùc S2n (e

baèng 0.

Vaäy ta coù (**).

b) Neáu f(u)=3 thì coù 2 khaû naêng xaûy ra :

+Khaû naêng 1 :

Neáu u coù maët trong caùc phaàn töû euu vaø euv trong ñoù u ≠ v, thì

i j

2ji

,e ,...., e ) laø baét ñaàu caùc ñôn thöùc khaùc 0 trong S2n (e

i j

2ji

,e ,...., e )baét ñaàu vôùi euueuv.Toång caùc töø trong S2n (e

i j

2ji

,e vôùi euueuv laø ± euueuv S2n-2 (e ,....,eâuu, ….)

(ôû ñaây kyù hieäu ^ coù nghóa laø xoùa ñi chæ soá ghi ôû döôùi)

Do u khoâng coù maët trong S2n-2 neân theo giaû thieát quy naïp ta coù

i j

2ji

,e ñöôïc S2n-2 (e ,....,eâuu, ….) = 0 .Vaäy ta coù (**)

+Khaû naêng 2 :

Neáu u coù maët trong caùc phaàn töû euu vaø euv trong ñoù u ≠ v thì

i j

2ji

,e ,...., e ) laø keát caùc ñôn thöùc khaùc 0 trong S2n (e

thuùc vôùi euveuu .

Laäp luaän nhö treân ta cuõng coù (**)

c) Neáu f(u) = 4 thì coù 3 khaû naêng xaûy ra

+Khaû naêng 1:

Neáu u coù maët trong caùc phaàn töû euu, euv, euw trong ñoù u ≠ v, u ≠

i j

2ji

,e ,...., e ) ñeàu w thì taát caû caùc ñôn thöùc trong S2n (e

baèng 0 neân ta coù ñaúng thöùc (**)

+Khaû naêng 2 :

Neáu u coù maët trong caùc phaàn töû euu, evu, ewu trong ñoù u ≠ v, u ≠

i j

2ji

,e ,...., e ) ñeàu w thì taát caû caùc ñôn thöùc trong S2n (e

baèng 0 neân ta coù (**).

+Khaû naêng 3 :

Neáu u coù maët trong caùc phaàn töû euu, evu, ewu trong ñoù u ≠ v, u ≠

i j

2ji

,e ,...., e ) w thì taát caû caùc ñôn thöùc khaùc 0 trong S2n (e

coù moät trong caùc daïng : euueuvaewu ,euvaewueuu , a ewueuueuvb.

Do soá caùc phaàn töû eij trong aewu laø leû cho neân euueuvaewu vaø

euvaewueuu coù daáu traùi nhau cho neân seõ bò trieät tieâu.

Ñoàng thôøi theo nhaän xeùt 2) vaø 4) veà ña thöùc chuaån taéc thì toång

caùc töø daïng a ewueuueuvb (= a. ewv.b ) laø trong S2n-2 (ewv,…).

Do u khoâng xuaát hieän ôû chæ soá cuûa caùc phaàn töû trong S2n-2 cho

neân theo giaû thieát quy naïp ta coù S2n-2 (ewv,…) = 0.

Vì vaäy ta coù (**) .

Ta trôû laïi chöùng minh ñònh lyù

Ta thaáy raèng nhaân töû eij luõy ñaúng ⇔ i=j

i j

2ji

,e ,...., e } . Goïi α laø soá caùc phaàn töû luõy ñaúng trong heä {e

Giaû söû α = n .

Khi ñoù taát caû caùc phaàn töû e11,e22,….,enn ñeàu coù maët trong heä

i j

2ji

,e ,...., e {e } .

∑ f(k) =4n cho neân phaûi ∃ u , 1 ≤ u ≤ n sao cho f(u) ≤ 4. Aùp

k = 1

duïng boå ñeà 1.8.1 ta suy ra (**)

Giaû söû α = r trong ñoù r < 4 vaø giaû söû keát quûa ñuùng khi α = s ,∀ s ≥ r+1 .

Do S2n laø ña tuyeán tính neân ta coù :

1u u e

1 +

u u

u u+

,….,e S2n (e , a r+2, ar+3,…., a2n ) = 0

ñoái vôùi moïi (r+1) phaàn töû khaùc nhau ui vaø moïi a r+2, ar+3,…., a2n ∈

Mn(K)

Ta xeùt tröôøng hôïp ñaëc bieät khi K laø moät tröôøng.

Giaû söû raèng heä {e1,e2,…,e(r+1)} laø heä trong Mn(K) goàm caùc phaàn töû luõy

ñaúng sao cho eiej = 0 ∀ i≠ j .

Khi ñoù toàn taïi töï ñaúng caáu η cuûa Mn(K) sao cho :

iu u = ei ∀ i, 1≤ i ≤ r+1.

η e i

Suy ra :

1u u e

1 +

u u+

u u

,….,e S2n (e , a r+2, ar+3,…., a2n ) = 0

ñoái vôùi moïi ar+2,ar+3,…,a2n ∈ Mn(K) .

Töông töï ta thaáy raèng chæ caàn chöùng minh (**) khi

i1=j1=1, i2=j221, ir=jr=r vaø ik ≠ jk neáu k > r .

Xaûy ra caùc khaû naêng sau :

i j

2ji

,e ,...., e 1) Heä { e } chöùa moät phaàn töû eij vôùi i> r, j>r, i≠

j. Khoâng maát tính toång quaùt ta coù theå giaû thieát eij laø phaàn töû thöù

(r+1) cuûa heä treân.

Khi ño ùta coù 2 taäp {e1,…,er, e’r+1} vaø { e1,…,er, e’’r+1}

trong ñoù e1 = e11,.., er = err coøn e’r+1 = eii, e’’r+1 = eii+eij .

Roõ raøng 2 taäp treân ñeàu goàm caùc phaàn töû luõy ñaúng

vaø et e’r+1 = 0, ete’’r+1=0, etes=0

vôùi ∀ t ,s , 1 ≤ t, s ≤ r, t ≠ s.

Cho neân :

S2n (e1,..,er, e’r+1,…) = 0

vaø S2n (e1,..,er, e’’r+1,…) = 0

Tröø töøng veá cuûa 2 ñaúng thöùc naøy cho nhau ta coù :

S2n (e1,..,er , eij,…) = 0

i +

1 +

,…., e 2) Heä {e11, e22, …, err, e } khoâng chöùa eij

trong ñoù i> r, j>r, i≠ j .

Neáu taát caû chæ soá cuûa heä treân ñeàu ≤ r < n thì

f(k) = 0 ∀ k > r

traùi vôùi vieäc f(k) ≥ 1 ñoái vôùi 1 ≤ k ≤ n.

Ñoàng thôøi, tröôøng hôïp r = 0 laø taàm thöôøng cho neân ta chæ xeùt r ≥ 1.

Ta cuõng thaáy raèng moät tích cuûa caùc ma traän eij laø khaùc 0 khi vaø chæ

khi chæ soá thöù hai cuûa moãi nhaân töû trong tích ñoù baèng chæ soá thöù

nhaát cuûa nhaân töû tieáp theo.

Vì vaäy deã daøng kieåm tra ñöôïc ñaúng thöùc (**) laø ñuùng ngoaïi tröø

caùc tröôønghôïp sau :

a) f(k) chaün ∀ k

b) coù ñuùng hai trong soá chuùng laø leû

Theo boå ñeà 1.8.1 ta coù theå giaû thieát f(i) > 4 , ∀ i ≤ r .

∑ f(j) > 4r +

∑ f(j)

∑ f(k) = 4n =

∑ f(i) +

j r= + 1

k = 1

Theá thì vì

neân ∃ i,j > r sao cho f (j ) ≤ 3.

Ta seõ chöùng minh raèng ∃ i,j > r sao cho f (j ) ≤ 2 .

⊕ Trong tröôøng hôïp a) ñieàu ñoù laø hieån nhieân .

⊕ Trong tröøông hôïp b) giaû söû traùi laïi f(j ) >2 , ∀ j > r.

Khi ñoù coù hai khaû naêng xaûy ra :

+Khaû naêng b1

Coù hai chæ soá j1, j2 > r ñeå

f(j1) = f(j2)= 3 coøn f(j) ≥ 4 vôùi caùc j>r coøn laïi.

Theá thì f(i) ≥ 6 ∀ i≤ r. Khi ñoù

∑ f(j) ≥ 6r +6 + 4 (n -

∑ f(k) =

∑ f(i) + f(j1) + f(j2) +

j r= + 1

k = 1

4n =

r-2 ) vôùi j ≠ j1 , j ≠ j2 ⇒ r ≤ 1 maø r ≥ 1 suy ra r =1

+Khaû naêng b2

Coù moät chæ soá j1 > r ñeå

f (j1) = 3, coøn f (j ) ≥ 4 vôùi caùc j> r coøn laïi.

Khi ñoù khoâng theå xaûy ra f(i) ≥ 6 ∀ i≤ r vì neáu vaäy

∑ f(j) ≥ 6r +3 + 4 (n-r-

∑ f(k) =

∑ f(i) + f(j1) + f(j2) +

j r= + 1

k = 1

4n =

1 ) vôùi j ≠ j1

⇒ 2r ≤ 1 voâ lí vì ñang xem r ≥ 1.

Do vaäy phaûi ∃ i1 ≤ r ñeå f(i) =5.

Suy ra f(i) ≥ 6 ∀ i ≠ i1 , i ≤ r . Khi ñoù

∑ f(j)

∑ f(k) =

∑ f(i) + f(i1) + f(j1) +

j r= + 1

k = 1

4n =

≥ 6 (r-1) +5+3 +4(n – r – 1 ) vôùi i ≠ i1, j ≠ j1 ⇒ r ≤ 1.

Nhö vaäy trong tröôøng hôïp b ta suy ra r = 1.

i j

2ji

,e ,...., e Theá thì trong heä { e } caùc phaàn töû eij coù maët

trong heä naøy laø e11,eij , eji vôùi j > 1.

Do ñoù heä naøy coù (2n-1) phaàn töû . Voâ lyù.

Vaäy ∃ j> r sao cho f(j) ≤ 2.

Vôùi j nhö vaäy

i j

2ji

,e ,..,e }. ∃i ≤ r sao cho eij hoaëc eji thuoäc taäp {e

i j

2ji

,e ,...., e ⊕ Neáu eij ∈ { e }ta thay eii vaø eij trong heä naøy

bôûi e’i=eii – eij vaø e’r+1 = eij + eji .

Ta ñöôïc heä goàm r+1 phaàn töû luõy ñaúng maøtích hai phaàn khaùc nhau

baát kyø cuûa heä laø 0 sau ñaây:

e1=e11, e2= e22,…, ei-1= ei-1,i-1, e’i, ei+1=ei+1,i+1,…., er = err, e’r+1,…..

Khi ñoù ta coù S2n(e1,e2,…,ei-1, e’i, ei+1,…., er e’r+1,…..) =0 .

Vì e’i = eii-eij vaø e’r+1 = eij+eji cho neân

S2n(…,eii,…,eij,..) - S2n(…,eij,…,eij,..) +

+ S2n(…,eii,…,ejj ,..) - S2n(…,eii,…,eij,..) = 0

Nhöng :

- S2n (…,eij ,…,eij,..) = 0 vì eij ñöôïc laëp laïi .

- S2n (…,eii ,…,ejj,..) = 0 vì chöùa (r+1) phaàn töû luõy ñaúng maø tích hai

phaàn khaùc nhau baát kyø laø 0.

- S2n (…,eij,…,ejj,..) = 0 do aùp duïng boå ñeà 1.8.1

vôùi ejj luõy ñaúng vaø f(j) ≤ 4.

Do vaäy S2n(…,eii,…,eij,..) =0 laø ñieàu phaûi chöùng minh.

i j

2ji

,e ,...., e } ⊕ Neáu eji ∈{ e

Ta ñaët e’i= eii – eji vaø e’r+1= eji +ejj.

Khi ñoù ñöôïc heä goàm r+1 phaàntöû luyõ ñaúng maø tích hai phaàn khaùc

nhau baát kyø cuûa heä laø 0.

Laäp luaän töông töï ta ñöôïc ñieàu phaûi chöùng minh.

Toùm laïi ta ñaõ chöùng minh ñöôïc tröôøng hôïp khi K laø tröôøng.

Trôû laïi tröôøng hôïp toång quaùt :

Do Q laø tröôøng maø Mn(Z) ⊂ Mn(Q)neân keát quûa ñuùng vôùi Mn(Q)

thì cuõng ñuùng vôùi Mn(Z) .

Laïi do Mn(K) ≅ Mn(Z) ⊗Z K vaø do S2n ña tuyeán tính vôùi Mn(K).

Nhaän xeùt 1: neáu A laø ñaïi soá ñôn taâm cuûa ñaïi soá E treân tröôøng F vaø giaû

söû B = CE (A) laø caùi taâm hoaù cuûa A trong E thì AB seõ laø tích Tensor

cuûa A vaø B.

Nhaän xeùt 2 : giaû söû A laø ñaïi soá daøy ñaëc caùc pheùp bieán ñoåi tuyeán tính

trong khoâng gian vectô V ( xem laø khoâng gian vectô treân Δ ).

Khi ñoù goïi F laø tröôøng con toái ñaïi cuûa Δ thì theo chöùng minh trong ñònh

lyù Kaplanski – Atmisur (1.7) ta coù A’=FLA daøy ñaëc trong End F V.

Ta xeùt tröôøng hôïp ñaëc bieät khi A laø ñôn taâm höõu haïn chieàu treân

tröôøng K .

Theo chöùng minh trong ñònh lyù Kaplanski – Amitsur vaø nhaän xeùt 1 noùi

treân thì A’= FLA ≅ F ⊗ K A

ñoàng thôøi laø ñaïi soá caùc pheùp bieån ñoåi tuyeán tính trong V ( xem laø

khoâng gian vectô treân F ) cuûa caùc ñaïi soá ñôn taâm höõu haïn chieàu luoân

laø soá chính phöông.

1.10 – Ñònh lyù Kaplanski – Amitsur – Levitzki

Giaû söû A laø ñaïi soá nguyeân thuûy . Khi ñoù A thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc

thöïc söï khi vaø chæ khi A laø ñaïi soá ñôn vaø höõu haïn chieàu treân taâm C cuûa

noù . Neáu d laø baäc nhoû nhaát cuûa ñoàng nhaát thöùc thöïc söï treân A thì d =

2n laø soá chaün vaø {A:C ] = n2 , ñoàng thôøi A thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc

chuaån taéc Sd.

Chöùng minh:

Neáu A laø ñaïi soá nguyeân thuûy vaø thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc thöïc söï baäc

d thì theo ñònh lyù Kaplanski- Amitsur ⇒ A laø ñaïi soá ñôn höõu haïn chieàu

treân taâm C cuûa noù vaø [ A : C ] ≤ [d/2]2

Ngöôïc laïi, giaû söû A laø ñaïi soá ñôn vaø [ A : C ] höõu haïn.Khi ñoù roõ raøng

A laø ñaïi soá ñôn taâm treân tröôøng C.

Theo nhaän xeùt ôû treân thì [ A : C ] = n2

vaø ta coù K sao cho K ⊗C A ≅ Mn(K).

Nhöng theo ñònh lyù Amitsur – Levitzki thì Mn(K) thoûa maõn ñoàng nhaát

thöùc chuaån taéc S2n.

Do ñoù K ⊗C A cuõng thoûa S2n vaø vì vaäy A thoûa maõn S2n.

1.11 - Ñaïi soá nguyeân toá

Trong phaàn naøy ta vaãn kyù hieäu K laø vaønh giao hoaùn coù ñôn vò 1, A laø

ñaïi soá treân K.

1.11.1- Moät soá ñònh nghóa

-Moät ñaïi soá A ñöôïc goïi laø nil neáu moïi phaàn töû cuûa A ñeàu luõy linh.

-Moät ñaïi soá A ñöôïc goïi laø luõy linh ( nilpotent) neáu toàn taïi soá

nguyeân m sao cho Am = (0 ).

∏ ai = 0 vôùi ∀ ai ∈ A.

i= 1

A luõy linh ⇔ ∃ m ∈ N :

-Ñaïi soá A ñöôïc goïi laø luõy linh ñòa phöông ( locally nilpotent ) neáu

moïi taäp con höõu haïn cuûa A ñeàu sinh ra ñaïi soá con luõy linh.

-Moät ideal phaûi ( traùi , hai phía ) ñöôïc goïi laø luõy linh ñòa phöông

neáu moïi taäp con höõu haïn cuûa noù ñeàu sinh ra moät ideal phaûi

(traùi,hai phía) luõy linh.

-Nil -ideal toái ñaïi cuûa ñaïi soá A ñöôïc goïi laø upper nil - radical cuûa

A , kyù hieäu unA

-Ideal luõy linh ñòa phöông, toái ñaïi cuûa ñaïi soá A ñöôïc goïi laø

Levitzki nil ideal cuûa A, kyù hieäu L(A).

-Neáu f ∈ K [X] ñöôïc goïi laø chính quy maïnh neáu f ≠ 0 vaø caùc heä töû

khaùc 0 cuûa f laø caùc phaàn töû khaû nghòch cuûa K.

Neáu f laø ñoàng nhaát thöùc chính quy maïnh cuûa A thì f cuõng laø ñoàng

nhaát thöùc cuûa moïi ñaïi soá con vaø aûnh ñoàng caáu cuûa A.

Neáu A thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc chính quy maïnh f thì A cuõng

thoûa maõn moät ñoàng nhaát thöùc ña tuyeán tính coù baäc khoâng vöôït

quaù baäc cuûa f.

-Ñaïi soá A laø nil thoûa maõn moät ñoàng nhaát thöùc chính quy thì A laø

luõy linh ñòa phöông.

1.11.2 -Ñònh nghóa

*Moät ideal P cuûa moät ñaïi soá laø nguyeân toá neáu vôùi ideal B vaø C

maø BC=0 (mod P) thì hoaëc B =0 hoaëc C=0 ( mod P)

*A laø ñaïi soá nguyeân toá neáu 0 laø moät ideal nguyeân toá treân A.

*Neáu A laø ñaïi soá nguyeân thuûy thì A laø nguyeân toá.

1.11.3-Ñònh nghóa

*Moät ñaïi soá ñöôïc goïi laø nöûa nguyeân toá neáu noù khoâng coù ideal

luõy linh khaùc 0.

*Moät ideal B trong A ñöôïc goïi laø nöûa nguyeân toá neáu A/B laø

nöûa nguyeân toá.

Roõ raøng neáu A laø nguyeân toá thì A laø nöûa nguyeân toá .

*A laø ñaïi soá nöûa nguyeân toá khi vaø chæ khi noù laø tích tröïc tieáp

con cuûa caùc ñaïi soá nguyeân toá.

1.11.4 - Ñònh lyù

Giaû söû A laø ñaïi soá thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc chính quy coù baäc d thì

baát kyø nil ñaïi soá con B cuûa A ñeàu thoûa B [d/2] ⊂ N(0) , trong ñoù N(0)

laø toång caùc ideal luõy linh cuûa A.

Toàn taïi duy nhaát moät nil ideal toái ñaïi cuûa ñaïi soá A, chöùa moïi nil

ideal cuûa ñaïi soá A. Toàn taïi duy nhaát moät ideal toái ñaïi luõy linh ñòa

phöông cuûa ñaïi soá A, chöùa moïi ideal moät phía luõy linh ñòa phöông.

CHÖÔNG II

ÑA THÖÙC TAÂM TREÂN ÑAÏI SOÁ CAÙC MA TRAÄN CAÁP n

TREÂN VAØNH GIAO HOAÙN COÙ ÑÔN VÒ

2.1 – Ñònh nghóa :

Moät ña thöùc f(x1,… , xn) ñöôïc goïi laø ña thöùc taâm treân A neáu f khoâng laø

moät ñoàng nhaát thöùc trong A nhöng [f(x1,… , xn ),xn+1] laø moät ñoàng nhaát

thöùc treân A.

2.2- Ví duï :

Ta coù nhaän xeùt sau

Neáu cho ma traän a ∈ M2(K) coù daïng sau

p q ⎛ ⎜ r p −⎝

⎞ ⎟ ⎠

(*) a =

khi ñoù

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

a2 =

giao hoaùn vôùi moïi ma traän thuoäc M2(K) nghóa laø

a2b = b a2 hay [a2, b]=0 ∀ b ∈ M2(K)

∀ a, b ∈M2(K) thì [a,b] coù daïng (*)

Treân M2(K), ñaët

f (x1,x2 ) = [x1,x2] 2 = (x1x2 – x2x1 )2

thì f khoâng laø ñoàng nhaát thöùc treân M2(K)

Theo nhaän xeùt treân,ta coù [x1,x2]2 giao hoaùn vôùi moïi x3 ∈ M2(K)

⇒ [[x1,x2]2, x3]=0

Hay [f (x1,x2 ), x3 ] = 0 vôùi ∀ x1,x2 , x3 ∈ M2(K)

⇒ [f (x1,x2 ), x3 ] laø moät ñoàng nhaát thöùc treân M2(K).

Theo ñònh nghóa 2.1 thì f (x1,x2 ) laø moät ña thöùc taâm treân M2 (K).

[f(x1,x2),x3] = (x1x2-x2x1)2 x3 - x3 (x1x2-x2x1)2 chính laø ñoàng nhaát thöùc

Wagner ñöôïc tìm ra naêm 1936.

Baøi toaùn ñaët ra laø xaây döïng ña thöùc taâm treân Mn(K) vôùi n>2. Phaàn

troïng taâm cuûa luaän vaên chính laø giôùi thieäu phöông phaùp xaây döïng ña thöùc taâm

treân Mn(K) vôùi n >2 cuûa Formanek.Töø ñoù coù theå tìm ñöôïc ñoàng nhaát thöùc cho ñaïi

soá caùc ma traän vaø caùc öùng duïng, aùp duïng ña thöùc taâm ñeå chöùng minh moät soá vaán

ñeà treân caùc ñaïi soá khaùc.

2.3 – Moät soá khaùi nieäm

2.3.1- Haøm ña thöùc f treân moät khoâng gian vectô höõu haïn chieàu V

treân moät tröôøng voâ haïn K

Ñoù laø moät haøm f : V → K ñöôïc cho bôûi moät ña thöùc,

nghóa laø : neáu cho (e1,…, en ) laø moät cô sôû cuûa V thì f coù daïng

∑ α i ei → f(α 1,…, α n)

vôùi f (ξ1,…, ξ n)∈ K [ξ1,…, ξ n], ξ i ñoäc laäp.

(caùc bieán ξ i giao hoaùn)

Roõ raøng ñònh nghóa naøy khoâng phuï thuoäc vaøo vieäc choïn cô sôû

2.3.2 – Taäp caùc haøm ña thöùc P(V )

P(V) laø moät ñaïi soá treân K vôùi pheùp coäng,pheùp nhaân thoâng thöôøng

cuûa caùc haøm vaø tích voâ höôùng cuûa moät phaàn töû cuûa tröôøng K vaø

moät haøm .

Ñoái vôùi cô sôû (ei) ta coù ñaúng caáu :

K [ξ1,…, ξ n] → P (V )

f (ξ1,…, ξ n) →f

Thöïc teá , ñaúng caáu naøy töông ñöông vôùi ñònh lyù noåi tieáng

“ Neáu K laø moät tröôøng voâ haïn vaø f (ξ1,…, ξ n) laø moät ña thöùc thì neáu f(α 1,…, α n ) = 0 vôùi moò α i ∈ K daãn ñeán f (ξ1,…, ξ n)=0 "

Do coù ñaúng caáu treân neân coù theå ñoàng nhaát K[ξ1,…, ξ n] vôùi P(V).

2.3.3- Ngöôøi ta ñònh nghóa topo Zariski cuûa V baèng caùch chæ ra caùc

taäp ñoùng

Cho { fi (ξ1,…, ξ n) }i ∈I thuoäc K [ξ1,…, ξ n] ≅ P(V)

Ta ñoàng nhaát V vôùi Kn

Khi ñoù taäp ñoùng A laø taäp hôïp caùc (a1,…, a n) ∈V ≅ Kn

sao cho ∀i∈I thì fi (a1,…,a n) = 0 .

(A ⊂ Kn ≅V vaø A laø taäp caùc nghieäm chung )

Do ñònh nghóa ta coù ∅ vaø K laø taäp ñoùng .

Khi n=1 thì K[ξ1] ≅ P(V) vaø V≅ K neân coù theå ñoàng nhaát taäp caùc ña

thöùc vôùi taäp caùc haøm ña thöùc(1 bieán).

Khi ñoù ñoái vôùi K thì caùc taäp ñoùng laø taäp caùc nghieäm cuûa moät ña

thöùc.

Caùc taäp ñoùng cuûa K laø K vaø caùc taäp con höõu haïn.

Taäp con môû baát kyø trong topo Zariski ñeàu daøy ñaëc (theo nghóa bao

ñoùng cuûa noù truøng vôùi V).

Do ñoù moät haøm ña thöùc maø trieät tieâu treân moät taäp con môû cuûa V thì

cuõng trieät tieâu khaép nôi trong V .

Tieáp theo ta tìm hieåu vieäc xaây döïng ña thöùc taâm treân ñaïi soá caùc ma traän

Mn(K) theo phöông phaùp cuûa Formanek

Giaû söû K laø moät vaønh giao hoaùn vaø Mn(K) laø taäp caùc ma traän vuoâng

caáp n treân K.

Neáu a=(aij ) laø moät phaàn töû thuoäc Mn(K)

thì ña thöùc ñaëc tröng cuûa ma traän a laø :

χ a(λ) = det (λ I –a) = λ n – (tra) λ) n-1 +…..+ (-1)n det a. (1)

Xeùt vaønh ña thöùc Z[ η1,…, η n ] treân vaønh caùc soá nguyeân, η j ñoäc laäp.

Giaû söû g (η 1,…, η n) trong Z[η 1,…, η n] laø moät ña thöùc ñoái xöùng thì

g(η1,…, η n) = h (p1,…,p n)

trong ñoù h (p1,…,p n) thuoäc Z [η 1,…, η n]

vôùi p1 = ∑η i ,..,

pn =η 1…..η n

laø caùc ña thöùc ñoái xöùng cô baûn

vaø h laø duy nhaát vì p1,…,p n laø ñoäc laäp ñaïi soá .

Ta duøng g ñeå ñònh nghóa aùnh xaï sau

G : Mn(K) (cid:5) K

a → h ( tr a,…, det a) (2)

Ñaëc bieät neáu laáy

∏ ( ηi -ηj )2

thì ta thu ñöôïc aùnh xaï bieät soá D

• Neáu K laø moät tröôøng voâ haïn thì caùc aùnh xaï a (cid:5) tr a ,…., a(cid:5) det a

laø caùc haøm ña thöùc treân Mn(K). Do ñoù G ñöôïc ñònh nghóa theo (2)

laø moät haøm ña thöùc.

• Neáu K laø moät tröôøng ñoùng ñaïi soá vaø ρ1,…., ρn laø caùc nghieäm ñaëc

tröng cuûa ma traän a thì

tr a = ∑ ρi ,…,

det a = ρ1…. ρn

do ñoù

G (a) = h (∑ ρi ,…,ρ1…. ρn ) = g (ρ1,…., ρn )

Nhö vaäy G truøng vôùi aùnh xaï

a → g (ρ1,…., ρn ) (3)

ñöôïc ñònh nghóa bôûi ña thöùc ñoái xöùng g.

Ñaëc bieät , neáu g = d thì aùnh xaï töông öùng D laø

∏ (ρi-ρj)2

(4) a →

Roõ raøng D(a)≠0 khi vaø chæ khi caùc nghieäm ñaëc tröng cuûa ma traän a laø

phaân bieät .

Taäp hôïp caùc ma traän cheùo coù caùc phaàn töû treân ñöôøng cheùo phaân bieät laø

moät taäp con môû trong topo Zariski.

2.4- Ña thöùc Formanek

Giaû söû Z[ η1,…,η n+1 ] laø moät ñaïi soá ña thöùc treân vaønh soá nguyeân Z ,

trong ñoù η 1,…, η n+1 laø aån.

Goïi Z[ x,y1,…, yn ] laø ñaïi soá töï do treân Z sinh bôûi x,y1,…, yn .

Xeùt aùnh xaï sau :

Z[η1,…, η n+1 ] → Z[ x,y1,…, yn ]

f → pf

ν η

ν ...η

ν + n 1 n +

∑ α(ν)η

( )r

Neáu f = (5) XZ[η1,...,η n+1 ]

vôùi (ν)=(ν 1,…,ν n+1)

ta ñònh nghóa

(6) pf =

∑ α(ν) x 1ν .y1. x 2ν .y2..... x nν . yn .x 1nν +

( )r

pfXZ[x,y]=Z[x,y1,…, yn ]

Ta löu yù raèng f (cid:5) pf laø coäng tính

vaø pf laø moät ña thöùc tuyeán tính ñoái vôùi moãi y i .

Ñaëc bieät neáu coù caùc aùnh xaï

x (cid:5) ∑ρieii

1jie

, y1 (cid:5)

….

njie

(7) yn (cid:5)

....

→

ν x

e ...

ν x

ν ν ρ ρ ρ ρ ... j i

thì

= ∂

∂

∂ ....

−

ν ν i i ν ν ρ ρ ρ ρ ... j i

ν ν i i

(8)

vaø khi ñoù ta coù :

∂ ....

∂ ∂ j i

i−

nji

1ji

nji

,….,e ) = f (ρ ,ρ ,...,ρ ,ρ )e pf (∑ ρieii, e

(9)

1ji

nji

Ñaúng thöùc (9) baèng 0 ñoái vôùi taát caû caùc daõy (e ,….,e )

1 2

i i

i−

nji

ngoaïi tröø daõy (e ,…., e ,e )

Trong tröôøng hôïp naøy thì :

1 2

i i

i−

nji

, …., e ,e ) = f (ρ ,ρ ,...,ρ ,ρ )e pf (∑ ρieii ,e

(10)

Ta caàn löu yù raèng vì chæ coù n caùch choïn cuûa chæ soá döôùi neân coù hai soá

trong daõy (i1,…., in, jn) laø baèng nhau.

Giaû söû f thoûa :

(i) f (η1,…,η n,η n+1)chia heát cho moïi (η i -η j) vôùi i ≠ j,

ngoaïi tröø (η 1-η n+1 ).

(ii)g(η 1,…, η n)= f (η 1,…,η n ,η 1) laø ñoái xöùng vôùi η 1,…,η n.

1ji

nji

,….,e ) = 0 Khi ñoù pf (∑ ρieii, e

1ji

nji

ñoái vôùi moïi caùch choïn (e ,….,e )

1 2

i i

i−

1ni i

,…,e ,e ) vôùi caùc i,j phaân bieät . ngoaïi tröø (e

Trong tröôøng hôïp naøy thì :

1 2

i i

i−

1ni i

1 1i i

,…,e ,e ) = f (ρ ,ρ ,...,ρ ,ρ )e pf (∑ ρieii, e

1 1i i

,ρ ,...,ρ ,ρ )e = f (ρ

1 1i i

,ρ ,...,ρ )e = g (ρ

1 1i ie .

(10' ) = g (ρ1,…., ρn )

1 −

)

Ta ñònh nghóa

xp ( ,

(11) qf (x,y1,…, yn ) =

∑

,..., 1 +

i n +

1 −

)

vôùi caùc chæ soá döôùi ñöôïc vieát theo mod n , nghóa laø

xp ( ,

qf (x,y1,…, yn ) =

∑

,..., 1 +

i n +

= pf(x,y1,y2,..,yn)+pf(x,y2,y3,..,yn,, y1)+

+pf(x,y3,y4,..,yn,,y1,y2)+...+ pf(x,yn,y1,y2,,...,yn-1)

1ji

nji

1ji

nji

,….,e )=0 ñoái vôùi moïi caùch choïn (e ,….,e ) Khi ñoù qf (∑ ρieii, e

1 2

i i

i−

1ni i

,…,e ,e ) vôùi caùc i,j phaân bieät . ngoaïi tröø (e

Trong tröôøng hôïp naøy thì :

1 2

2 3

i i

i−

1ni i

,e ,...,e ,e )+ qf (x,y1,…, yn ) = pf(∑ρieii ,e

2 3

1 2

i i

i−

1ni i

i i

,...,e , e ) + ,e + pf(∑ρieii , e

1 2

2 3

3 4

i−

1ni i

i i

,...,e , e , e )+ ,e + pf(∑ρieii , e

1 2

2 3

3 4

1ni i

i i

i−

, e , e , e ,...,e ) +...+ pf(∑ρieii , e

2 2

3 3

1 1i i

i i

= g(ρ1,..., ρn )e +g(ρ1,..., ρn ) e +g(ρ1,..., ρn ) e

n n

i i

theo ( 10' ) +.....+ g(ρ1,..., ρn ) e

1 2

2 2

3 3

n n

i i

+ e + e +....+ e ] = g(ρ1,..., ρn )[ e

(12) = g(ρ1,..., ρn ).In

Caùch choïn f ñôn giaûn nhaát thoûa (i) vaø (ii) laø cuûa Formanek :

Choïn f(η1,…,η n,η n+1) = c(η1,…,η n,η n+1) nhö sau

∏ (ηi- ηj)2

(13) c(η1,…,η n,η n+1) =

∏ (η1- ηi) (ηn+1- ηi).

i i

= j

, j <

= (η1- η2)(ηn+1- η2)(η1- η3)(ηn+1- η3)... (η1- ηn)(ηn+1- ηn).

Roõ raøng c(η1,…,η n,η n+1) chia heát cho (ηi- ηj) vôùi i ≠ j

(η2- η3)2 (η3- η4)2(η4- η5)2.....(ηn-1- ηn)2

ngoaïi tröø (η1- ηn+1) nghóa laø thoûa (i)

Khi ñoù c coù caùc heä soá nguyeân, moät soá trong caùc heä soá ñoù baèng ±1

Neáu laáy d (η1,…,η n) = c (η1,…,ηn ,η 1) thì ta coù :

∏ (ηi- ηj)2

d(η1,…,η n) =

∏ (η1- ηi) (η1- ηi).

i i

= j

j , <

∏ (ηi- ηj)2

∏ (η1- ηi)2.

i i

= j

, j <

= (η1- η2)2(η1- η3)2... (η1- ηn)2(η2- η3)2(η3- η4)2.....(ηn-1- ηn)2

Do ñoù :

d(η1,…,η n) = c(η1,…,η n,η n+1)

∏ (ηi- ηj)2

j< = 1

(14) =

Theo treân ta thaáy d(η1,…,η n) chính laø ña thöùc ñoái xöùng ñoái vôùi caùc bieán

η1,…,η n neân d(η1,…,η n) thoûa (ii)

(14) chính laø ña thöùc bieät soá maø ta ñaõ bieát .

Trong tröôøng hôïp ñaëc bieät naøy ta coù ñöôïc tính chaát sau :

(iii)Vôùi moïi tröôøng K toàn taïi moät ma traän a ∈Mn(K) sao cho G(a) ≠0

vôùi G laø aùnh xaï ñöôïc ñònh nghóa bôûi (2).

Thaät vaäy,

*Neáu K laø tröôøng voâ haïn, ta coù theå laáy a laø moät ma traän cheùo vôùi

caùc heä soá treân ñöôøng cheùo phaân bieät.

* Neáu K laø tröôøng höõu haïn : khi ñoù toàn taïi moät ña thöùc taùch ñöôïc

baát khaû quy h(l) coù baäc n treân K[l] vaø toàn taïi moät ma traän a

nhaän h(l) laøm ña thöùc ñaëc tröng.

Vì h(l) laø taùch ñöôïc neân a coù caùc nghieäm ñaëc tröng phaân bieät

vôùi nhau treân ñaïi soá ñoùng K cuûa K. Vì aùnh xaï (2) khoâng ñoåi treân

môû roäng cuûa K neân roõ raøng G(a)≠0 .

Ta seõ chöùng minh keát quûa sau maø noù giuùp laøm roõ hôn ñònh lyù Formanek.

2.5 - Ñònh lyù 1 :

1. Giaû söû f ∈ Z[η1,…,η n+1 ] thoûa maõn (i),(ii ) vaø (iii ).

Khi ñoù qf (x,y1,…, yn ) ñöôïc ñònh nghóa bôûi (11) vaø (12) laø caùc ña

thöùc taâm treân ñaïi soá caùc ma traän vuoâng Mn (K), vôùi moïi vaønh giao

hoaùn K.

2. Toàn taïi moät ma traän a ∈ Mn(K) sao cho G(a) khoâng luõy linh, vaø

vôùi a nhö vaäy toàn taïi b1,…, bn ∈ Mn(K) sao cho qf (a, b1,…, bn) ≠ 0

3. Neáu f thoûa (1) vaø l (η 1,…, η n) ∈ Z[η1,…,ηn] vaø l laø moät ña thöùc

ñoái xöùng thì :

(15) qlf (a, b1,…, bn)= L(a) qf (a, b1,…, bn)

vôùi ∀ a,bi ∈Mn(K), L ñöôïc ñònh nghóa theo (2) bôûi l (η 1,…,ηn)

Chöùng minh

Ta giaû söû raèng K laø moät tröôøng ñoùng ñaïi soá vaø ta chæ ra raèng

[qf (a, b1,…, bn),z] laø moät ñoàng nhaát thöùc treân Mn(K) vaø (15) ñuùng.

Ñieàu naøy töông ñöông vôùi vieäc chöùng minh caùc aùnh xaï sau baèng 0

(16) (a, b1,…, bn,c) → [ qf (a, b1,…, bn),c]

(17) (a, b1,…, bn) → qlf (a, b1,…, bn) - L(a) qf (a, b1,…, bn)

Vì qf (x, y1,…, yn) vaø [qf (x, y1,…, yn),z] laø tuyeán tính ñoái vôùi caùc yi vaø

ñoái vôùi z, chæ caàn chöùng minh ñieàu naøy ñuùng ñoái vôùi moïi caùch choïn

bi vaø c trong moät cô sôû naøo ñoù cuûa Mn(K) treân K.

Vôùi bi vaø c thích hôïp thì caùc aùnh xaï (16) vaø (17) laø caùc aùnh xaï ña

thöùc ñoái vôùi a, nghóa laø toàn taïi caùc ña thöùc Pij, Qij vôùi n2 aån ξij sao

cho caùc aùnh xaï (16) vaø (17) laàn löôït laø : (vôùi a=∑aijeij)

(a, b1,…, bn,c) →

∑ Pij (a11,a12,..)eij

,i j

(a, b1,…, bn) →

∑ Qij (a11,a12,..)eij

,i j

Do ñoù ta phaûi chæ ra raèng caùc haøm ña thöùc

(a, b1,…, bn,c) → Pij (a)

vaø (a, b1,…, bn) → Qij (a) baèng 0

(Vôùi caùc bi vaø c thích hôïp trong cô sôû cuûa chuùng ta).

Chæ caàn chæ ra ñieàu naøy ñuùng vôùi taát caû caùc ma traän a trong taäp caùc

taäp con môû Zariski cuûa Mn(K)ñöôïc xaùc ñònh bôûi G(a)≠0.

Vì g(λ1,…, λ n)=f(λ 1,…, λ n, λ 1) chia heát cho moïi (λ i -λ j) vôùi i≠j cuøng

vôùi ñieàu kieän G(a)≠0 daãn ñeán a coù caùc nghieäm ñaëc tröng phaân bieät.

Do ñoù a töông ñöông vôùi moät ma traän cheùo vaø do ñoù coù moät töï

ñoàng caáu cuûa Mn(K) .

Ta coù theå giaû söû a laø moät ma traän cheùo a= ∑eij vaø coù theå laáy cô sôû

laø taäp caùc ma traän ñôn vò {eij}.

Löu yù raèng G(a)=g(ρ1,…, ρn) vaø keát quûa coù ñöôïc töø (12) vaø caùc ñieàu

caàn chuù yù ñaõ ñeà caäp.

Nhö vaäy, ta ñaõ coù (16), (17) laø caùc aùnh xaï 0 neáu K laø moät tröôøng

ñoùng ñaïi soá .

Neáu K laø moät tröôøng baát kyø vaø K laø bao ñoùng ñaïi soá cuûa K. Ta coù

moät pheùp nhuùng töø Mn(K) vaøo Mn( K )

Do ñoù caùc keát quûa treân ñuùng cho Mn (K)

Ngoaøi ra, theo giaû thieát, ta coù moät ma traän a ∈ Mn (K) sao cho

G(a)≠0.

Vì K laø moät tröôøng thì ñieàu naøy töông ñöông vôùi G(a) khoâng luyõ

linh.

Giaû söû raèng a laø ma traän coù tính chaát naøy.

Ta coù a töông ñöông vôùi moät ma traän cheùo trong Mn( K ) .

Töø (12) chæ ra raèng ta coù theå choïn b1,..., bn ∈ Mn ( K ) sao cho

qf (a, b1,…, bn) ≠0 .

Do tính tuyeán tính cuûa qf ñoái vôùi caùc yi vaø thöïc teá raèng baát kyø côû sôû

naøo cuûa Mn(K) ñeàu laø cô sôû cuûa Mn( K ), do ñoù ta cuõng coù theå choïn

caùc bi sao cho

qf (a, b1,…, bn) ≠0 .

Nhö vaäy khi K laø moät tröôøng baát kyø thì taát caû cuõng ñuùng ñoái vôùi

Mn(K).

Baây giôø giaû söû K laø moät vaønh giao hoaùn tuøy yù.

ij ,..., η ( )n

Xeùt vaønh ña thöùc sau Z[ξij,η (1) ,ζ ij]

ij ,..., η ( )n

vôùi m = (n+2)n2 aån ξij,η (1) ,ζ ij, 1 ≤ i 1j ≤ n.

ij ), c = (cij) X Mn(K).

ij ),…, bn=(b (

Khi ñoù neáu a=(aij), b1=(b (1)

Ta coù moät ñoàng caáu vaønh:

ij ,..., η ( )n

Ν : Z[ξij,η (1) ,ζ ij ] → K

ξij → aij

ij → b (1)

η (1)

.... ζ ij → cij

Ñoàng caáu naøy coù theå ñöôïc môû roäng thaønh moät ñoàng caáu vaønh

ij ,..., η ( )n

Μ : Mn (Z[ξij,η (1) ,ζ ij ]) → Mn (K)

X=( ξij) → a

ij )→b1

Y1 = (η (1)

…………

Z=(ζ ij) → c

Vì G vaø L ñöôïc xaùc ñònh bôûi caùc ña thöùc vôùi caùc heä soá nguyeân trong

caùc heä soá cuûa caùc ña thöùc ñaëc tröng daãn ñeán raèng ñoàng caáu cuûa ta bieán

L(X) vaøo L(a).

)n ij

ij ,..., η (

Vì Z[ξij,η (1) ,ζ ij ] coù theå nhuùng vaøo moät tröôøng neân theo keát quûa

ôû treân ta coù

[qf(X,Y1,…, Yn),Z]=0 vaø qlf (X,Y1,…, Yn)=L(X) qf(X,Y1,…, Yn).

Khi aùp duïng vaøo ñoàng caáu Μ ta cuõng coù keát quaû töông töï ñoái vôùi a,b1,…,

bn,c.

Baây giôø ta giaû söû P laø moät ideal trong K vaø ñaët F=K/ P.

Theo giaû thieát , toàn taïi moät a XMn(F) sao cho G( a )≠0 .

Choïn ñoàng caáu chính taéc

Mn(K) → Mn(F)

( )G a =G( a ) .

a → a

thì

Do ñoù neáu G(a) laø luõy linh daãn ñeán G( a )=0

thì maâu thuaãn vôùi vieäc choïn a .

Vaäy G( a ) khoâng luyõ linh.

Laáy a laø moät ma traän baát kyø trong Mn(K) sao cho G(a) khoâng luõy linh

trong K.

Vì Nil radical cuûa K laø giao cuûa taát caû caùc ideal nguyeân toá cuûa K, neân

( )G a = G(a)+P ≠0.

toàn taïi moät ideal nguyeân toá P trong K sao cho

Khi ñoù G( a )≠0 vôùi a =a+ Mn(P).

Ñaët D=K/ P vaø giaû söû F laø tröôøng caùc phaân thöùc cuûa D.

1b ,

2b ,…,

nb X Mn(F) sao cho qf ( a ,

1b ,….,

nb )≠0.

Khi ñoù toàn taïi

1b ,…,

nb X Mn (D).

Do söï roõ raøng cuûa caùc phaân thöùc ta coù theå giaû söû

Choïn aùnh xaï sao cho Mn (K ) → Mn (D)

bi →

thì ta coù

qf (a, b1,…, bn) ≠0

Laáy f laø ña thöùc Formanek, c vaø l ñöôïc laáy moät caùch thích hôïp vôùi caùc

thaønh phaàn laø caùc ña thöùc ñoái xöùng

p1 = ∑ηi ,

p2 =

∑ ηiηi,….,

pn = η1….ηn

thì ñöôïc muïc 3 trong ñònh lyù 1, nghóa laø

qlf (a, b1,....,bn ) = L(a) qf (a, b1,....,bn )

Vôùi muïc 3 trong ñònh lyù 1 vaø ñònh lyù Hamilton - Caley cho ta keát quûa

nhôø vaøo Amitsur theå hieän qua ñònh lyù sau

2.6- Ñònh lyù 2

Cho q0 (x,y1,…, yn )= qc (x,y1,…, yn ).

Khi ñoù toàn taïi caùc ña thöùc taâm q1 (x,y1,…, yn ),…., qn (x,y1,…, yn )treân

Mn(K) sao cho ∀ a,bi X Mn (K)

q0 (a,b1,…, bn )ln – q1 (a,b1,…, bn ) ln-1 +…+ (-1)n qn (a,b1,…, bn )

= q0 (a,b1,…, bn )χa(l)

vôùi χa(l) laø ña thöùc ñaëc tröng cuûa a.

Do ñoù :

q0 (x,y1,…, yn ) ln – q1 (x,y1,…, yn ) ln-1 +…+ (-1)n qn (x,y1,…,yn )

laø moät ñoàng nhaát thöùc treân Mn(K).

Chöùng minh

Do q0 (x,y1,…, yn )= qc (x,y1,…, yn ) neân q0 (x,y1,…, yn ) cuõng laø moät ña

thöùc taâm cuûa Mn(K)

∀ a, bi ∈ Mn(K) (i = 1,2,…,n)

Ña thöùc ñaëc tröng cuûa a laø

χa(λ) = λ n - tr(a) λ n-1 +......+(-1)n det (a)

Ñaët q1(a,b1,…,yn ) = tr (a) q0 (a,b1,…, bn )

..........

qn(a,b1,…, bn ) = det (a) q0 (a,b1,…, bn )

thì q1(a,b1,…, bn ),...., qn(a,b1,…,bn ) cuõng laø ña thöùc taâm treân Mn(K)

do muïc 3 trong ñònh lyù 2.5

q0(a,b1,…,bn)λn - q1(a,b1,…,bn)λn-1+...+(-1)n qn (a,b1,…,bn)

= q0(a,b1,…,bn)χa(λ)

Vaø theo ñònh lyù Hamilton - Caley thì χa(a)=0 ∀ a∈Mn(K) do ñoù

q0(a,b1,…,bn)λn - q1(a,b1,…,bn)λn-1+...+(-1)n qn (a,b1,…,bn) = 0

Suy ra q0(x,y1,…,yn)λn-q1(x,y1,…,yn)λn-1+...+(-1)n qn (a,b1,…,bn) laø ñoàng

nhaát thöùc treân Mn(K).

Moät nhaän xeùt thoâng duïng veà ña thöùc taâm cuûa Procesi theå hieän qua meänh

ñeà sau:

2.7-Meänh ñeà

Moïi ña thöùc taâm coù soá haïng töï do baèng 0 cuûa Mn(K) ñeàu laø ñoàng nhaát

thöùc cuûa Mn-1(K) .

Chöùng minh

Giaû söû q(x1,…xm) laø moät ña thöùc taâm vôùi soá haïng töï do baèng 0 vaø ñònh

moãi giaù trò xi = yi X Mn-1(K) ñöôïc xem nhö laø taäp hôïp cuûa K – toå hôïp

tuyeán tính cuûa caùc eij vôùi i,j = 1,…,n-1.

Khi ñoù ta coù ñöôïc moät phaàn töû cuûa Mn-1(K).

Noùi caùch khaùc phaàn töû naøy laø moät phaàn töû taâm cuûa Mn(K) vaø do ñoù coù

daïng k1,k ∈ Mn-1(K).

Noù daãn ñeán laø k=0 vaø q laø moät ñoàng nhaát thöùc cuûa Mn-1(K).

Toùm laïi, ñeå xaây döïng moät ña thöùc taâm treân Mn(K) thöïc chaát laø tìm

ñöôïc moät haøm f ∈ Z[ η1,…, ηn+1 ] (laø moät ñaïi soá treân vaønh soá nguyeân )

thoûa maõn caùc tính chaát sau :

(i) f ( η1,…, η n+1 ) chia heát cho (ηi –ηj) vôùi i≠j ngoaïi tröø (η1 –ηn+1)

(ii) g ( η1,…, η n ) = f (η1,…, η n,η 1)

laø ña thöùc ñoái xöùng ñoái vôùi η1,..,η n

(iii) ∃ a ∈ Mn(K) : G (a) ≠ 0

Ñeå cuï theå hoaù quùa trình treân ta xeùt ví duï sau

2.8- Ví duï

Xaây döïng moät ña thöùc taâm treân M3(K) theo phöông phaùp cuûa

Formanek.

Choïn f(η1,η 2,η 3,η 4)∈ Z [η1,η 2,η 3,η 4] nhö sau

∏ (ηi- ηj)2

f(η1,η 2,η 3,η 4) =

∏ (η1- ηi) (η4- ηi).

2i=

i i

= j

, j <

= (η1- η2)(η4- η2)(η1- η3)(η4- η3)(η2- η3)2

Roõ raøng f(η1,η 2,η 3,η 4) chia heát cho (ηi - ηj) vôùi i ≠ j ngoaïi tröø (η1- η4)

nghóa laø thoûa ñieàu kieän (i) trong ñoù i,j =1,2,3.

Laáy g(η1,η 2,η 3) = f(η1,η 2,η 3,η 1) thì ta coù :

∏ (ηi- ηj)2

∏ (η1- ηi) (η1- ηi).

2i=

i i

= j

, j <

g(η1,η 2,η 3) =

∏ (ηi- ηj)2

∏ (η1- ηi)2.

2i=

i i

= j

, j <

=(η1- η2)2(η1- η3)2(η2- η3)2

Ta coù g(η1,η 2,η 3) laø ña thöùc ñoái xöùng ñoái vôùi caùc bieán η1,η 2,η 3 hay

g(η1,η 2,η 3,) thoûa ñieàu kieän (ii)

Duøng g treân ñeå ñònh nghóa aùnh xaï sau :

G : M3(K) → K

a → h (tra,...., det a)

vôùi g (η1,η 2,η 3) = h ( p1,p2,p3) ∈Z [p1,p2,p3], trong ñoù

p1 = η1 + η 2 +η 3

p2 = η1 η 2 + η1η 3+η 2 η3

Neáu goïi ρ1, ρ2 , ρ 3 laø caùc nghieäm ñaëc tröng cuûa ma traän a thì

p1 = ρ1+ ρ2 + ρ 3

p3 = η1 . η 2 .η 3

p2 = ρ1.ρ2 + ρ1.ρ 3+ρ2.ρ 3

p3 = ρ1.ρ2 .ρ 3

khi ñoù

Roõ raøng G (a) ≠ 0 khi vaø chæ khi a coù caùc nghieäm ñaëc tröng phaân bieät.

G(a) = g (ρ1, ρ2 , ρ 3 ) = (ρ1 - ρ2 )2 (ρ1 - ρ3)2(ρ2 - ρ3 )2

Do ñoù ta coù theå choïn a laø moät ma traän cheùo coù caùc phaàn töû treân

ñöôøng cheùo phaân bieät.

Nghóa laø toàn taïi a ∈ M3(K) sao cho G(a) ≠ 0 ( thoûa (iii))

f xaây döïng nhö vaäy laø moät ña thöùc Formanek.

Xaây döïng pf (x,y1,y2,y3) nhö sau :

i,j =1,2,3. Goïi { eij}laø hoï ma traän cô sôû cuûa M3(K)

Laäp caùc aùnh xaï sau :

∑ ρi eii

1i=

x→ ρ1 e11 + ρ2 e22 +ρ3 e33 =

1 2

i i

y1→ e

2 3

i i

y2→ e

i j

y3→ e

Khi ñoù laáy pf nhö sau

∑ ρi eii , e

1 2

2 3

i j

i i

1i=

,e , e ) pf (x,y1,y2,y3) = pf (

i j

= f (ρ ,ρ ,ρ ,ρ ) e

Trong tröôøng hôïp ñaëc bieät , laáy j3 = i1

∑ ρi eii , e

1 2

2 3

3 1

i i

1i=

,e ,e ) pf (x,y1,y2,y3) = pf (

1 1i i

= f (ρ ,ρ ,ρ ,ρ )e

1 1i i

,ρ ,ρ )e ( theo ñònh nghóa cuûa g) = g (ρ

1 1i i

( do g ñoái xöùng) = g(ρ1, ρ2, ρ3) e

Theo định nghĩa cuûa qf ta coù

∑ pf (x,yi+1,yi+2,yi+3) (vôùi caùc chæ soá ñöôïc vieát theo modun n)

0i=

qf =

= pf (x,y1,y2,y3) + pf (x,y2,y3,y4) + pf (x,y3,y4,y5)

= pf (x,y1,y2,y3) + pf (x,y2,y3,y1) + pf (x,y3,y1,y2)

= g(ρ1, ρ2, ρ3) e11 + g(ρ1, ρ2, ρ3) e22 + g(ρ1, ρ2, ρ3) e33

= g(ρ1, ρ2, ρ3) [e11 + e22 + e33 ]

= (ρ1 - ρ2 )2(ρ1 - ρ3 )2(ρ2 - ρ3 )2 .I3

vôùi I3 laø ma traän coù daïng

1 0 0 0 1 0 0 0 1

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(theo 2.5) qf chính laø ña thöùc taâm cuûa M3(K)

CHÖÔNG III

MOÄT SOÁ AÙP DUÏNG – ÖÙNG DUÏNG CUÛA ÑA THÖÙC TAÂM

TRONG LYÙ THUYEÁT CUÛA CAÙC PI ÑAÏI SOÁ

Ña thöùc taâm ñöôïc aùp duïng – öùng duïng trong lyù thuyeát cuûa caùc PI Ñaïi

soá nhö treân ñaïi soá ñôn taâm höõu haïn chieàu, treân ñaïi soá nguyeân toá, treân ñaïi soá

nguyeân thuûy…

Trong luaän vaên naøy chæ xeùt 02 öùng duïng cuûa ña thöùc taâm trong vieäc

môû roäng ñònh lyù Hamilton – Caley treân ñaïi soá ñôn taâm höõu haïn chieàu vaø chöùng

minh moät keát quûa treân ñaïi soá nguyeân toá.

3.1- Söï môû roäng cuûa Ñònh lyù Hamilton Caley treân ñaïi soá ñôn taâm

höõu haïn chieàu

3.1.1 - Trong ñaïi soá tuyeán tính , Ñònh lyù Hamilton Caley ñöôïc

phaùt bieåu nhö sau :

“Moïi ma traän vuoâng ñeàu laø nghieäm cuûa ña thöùc ñaëc tröng cuûa

noù

∀ a∈Mn(K) , χa (a)=0 ”

Ta xeùt söï môû roäng cuûa Ñònh lyù Hamilton –Caley cho ñaïi soá ñôn taâm

höõu haïn chieàu treân moät tröôøng K.

3.1.2 - Neáu K laø tröôøng höõu haïn thì chæ coù duy nhaát moät ñaïi soá

taâm höõu haïn chieàu coù pheùp chia chính laø baûn thaân K.

Ñieàu naøy thu ñöôïc töø ñònh lyù cuûa Wedderburn laø moïi vaønh chia

(theå ) höõu haïn laø giao hoaùn.

Vì moïi ñaïi soá ñôn taâm höõu haïn chieàu coù daïng Mn(D) vôùi D laø moät

theå neân caùc ñaïi soá ñôn taâm höõu haïn chieàu treân K laø Mn(K)

n=1,2….

Trong tröôøng hôïp naøy , ta coù ña thöùc ñaëc tröng cuûa moãi phaàn töû

cuûa Mn(K), ñònh lyù Hamilton – Caley vaø caùc keát quûa cuûa Chöông

II .

3.1.3 - Neáu K laø voâ haïn , ta coù ñònh lyù sau

Ñònh lyù

Giaû söû K laø moät tröôøng voâ haïn, A laø moät ñaïi soá ñôn taâm coù soá

chieàu laø n2 treân K . Khi ñoù :

1.Toàn taïi moät ña thöùc baäc n duy nhaát

(20) χA(l) = ln –T ln-1 + …+(-1)n N

vôùi T,..,N laø caùc haøm ña thöùc treân A sao cho

an –T(a) an-1 + …+(-1)n N(a)=0 (21) ∀aXA

Ña thöùc

χa(l) = ln –T(a)ln-1 + …+(-1)n N(a)

ñöôïc goïi laø ña thöùc caûm sinh toái thieåu cuûa a .

T(a) vaø N(a) ñöôïc goïi laø veát caûm sinh vaø chuaån caûm sinh cuûa a.

2. Veát caûm sinh T laø moät haøm tuyeán tính treân A trieät tieâu vôùi caùc

giao hoaùn töû [ab]=ab -ba.

Chuaån caûm sinh laø moät haøm thuaàn nhaát baäc n :

N(α a)= αnN(a)

vaø laø haøm nhaân tính.

Cuõng coù T(1)=n vaø N(1)=1.

3.Goïi moät phaàn töû aXA laø coù theå taùch neáu χa(l) coù caùc nghieäm phaân

bieät treân ñaïi soá ñoùng K cuûa K .

Khi ñoù taäp hôïp caùc phaàn töû naøy laø moät taäp môû khaùc roãng trong topo

Zariski cuûa A.

4.Giaû söû q0 (x,y1,…, yn ) laø ña thöùc Formanek treân Mn(K) thì q0 laø ña

thöùc taâm cuûa A vôùi heä soá nguyeân maø moät soá trong caùc heä soá naøy

baèng E1 vaø q 0 laø tuyeán tính ñoái vôùi moïi yi .

Hôn theá nöõa,khi ñoù toàn taïi caùc ña thöùc taâm

q1(x,y1,..,yn ),…..., qn (x,y1,…, yn )

coù tính chaát ban ñaàu nhö q0 sao cho :

q0 (a,b1,…, bn )ln – q1 (a,b1,…, bn ) ln-1 +…+ (-1)n qn (a,b1,…, bn )

(22) = q0 (a,b1,…, bn )χa(l)

do ñoù :

q0 (x,y1,…, yn ) xn - q1 (x,y1,…, yn ) xn-1 +…..+ (-1)n qn (x,y1,…, yn )

(23)

laø moät ñoàng nhaát thöùc cuûa A.

Sau cuøng neáu a laø taùch ñöôïc thì toàn taïi bi XA sao cho

q0 (a,b1,…, bn )≠0.

Chöùng minh

Ñeå chöùng minh ñònh lyù 1 tröôùc heát ta chöùng minh boå ñeà sau

Boå ñeà

Cho V laø moät khoâng gian vectô höõu haïn chieàu treân treân moät

tröôøng voâ haïn K, F laø moät tröôøng môû roäng cuûa K vaø ñaët V’=V F .

Ñoàng hoùa V vôùi taäp con caùc phaàn töû daïng 1 ⊗ v , vXV

(i) Giaû söû O’ laø moät taäp con môû khoâng roãng cuûa V’ thì khi ñoù

O = O’∩ V cuõng laø moät taäp con khoâng roãng cuûa V.

(ii) Giaû söû f laø moät haøm ña thöùc treân V’ sao cho f(v’)X K ñoái vôùi moïi

v’ trong moät taäp con môû cuûa V .

Khi ñoù f | V laø moät haøm ña thöùc treân V

Chöùng minh

Giaû söû (e1,.., en)laø moät cô sôû cuûa V treân K, do ñoù cuõng laø cô sôû ñoái vôùi

V’ treân F vaø giaû söû (εi) laø moät cô sôû cuûa K/F .

Cho f laø moät haøm ña thöùc treân treân V’.

Giaû söû f(ξi,…, ξn) XF [ξi,…, ξn] .

Ñònh nghóa f trong moái quan heä vôùi cô sôû (e1,.., en) nhö sau

f : nα’i ei → f(α’1,…, α’n) .

Ta coù theå vieát : f(ξ1,…, ξn) = n f i(ξ1,…, ξn)εi

vôùi fi(ξ1,…, ξn)XK [ξ1,…, ξn ]

vaø chæ moät soá höõu haïn caùc fi(ξ1,..,ξn) ≠0.

Neáu v XV thì v = Σ αiei , αi XK

vaø f(v)= nf i(α1,…, αn) εi .

Vì f i(α1,…, αn) X K neân

f v ≠ ( ')

f(v)=0 khi vaø chæ khi moïi f i(α1,…, αn) = 0 .

} 0

∪

. thì O’f ∩V= Do ñoù neáu ñaët O’f = { v

Moät taäp môû khaùc roãng laø hôïp cuûa caùc taäp Of , f≠0.

. Do ñoù giao cuûa noù vôùi V laø hôïp caùc taäp

Nhö vaäy (i) laø roõ raøng .

Ñeå chöùng minh (ii ) ta giaû söû moät trong caùc εi , chaúng haïn ε o

= 1. Khi ñoù ñieàu kieän f(v) XK laø fi (α1,…, αn) = 0 vôùi moïi

i≠0 . Vaø neáu ñieàu naøy ñuùng treân moät taäp con môû cuûa V thì

moïi fi =0 vôùi moïi i≠0 vaø khi ñoù f |V laø haøm ña thöùc ñöôïc

xaùc ñònh bôûi f0 (ξ1,…, ξn) X K [ξ1,…, ξn]

Trôû laïi chöùng minh ñònh lyù 1:

Giaû söû F laø moät tröôøng cheû ñoái vôùi A neân AF = Mn(F). ta coù caùc

haøm ña thöùc tr ,… det treân AF sao cho :

a’n = tr (a’) a’n + …. + (-1) n det a’ = 0 vôùi a’ X AF .

Ñaët T=tr ∗ A ,…., N= det ∗ A khi ñoù ta coù (21) vôùi moïi a X A.

Ta ñaõ bieát raèng caùc ma traän vôùi caùc nghieäm ñaëc tröng taïo thaønh

moät taäp con môû cuûa Mn(F) = AF .

Do ñoù theo boå ñeà (i ) caùc phaàn töû a XA sao cho

χa( l)= ln –T(a) ln-1 +…+(-1) n N(a)

coù caùc nghieäm phaân bieät taïo thaønh moät taäp môû O cuûa A.

Ñoái vôùi moät a nhö vaäy thì χa(l) laø ña thöùc toái tieåu cuûa a trong A’

(theo moät ñònh lyù cô baûn cuûa ma traän).

Vì A’= AF , χa( l) laø moät ña thöùc toái thieåu cuûa a treân A.

Neáu T’,.., N’ laø caùc haøm ña thöùc sao cho

an –T’(a) an-1 +….+(-1) n N’(a) =0 vôùi moïi a XA.

thì ña thöùc

ln –T’(a) ln-1 +….+(-1) n N’(a)

chia heát cho ña thöùc toái thieåu cuûa a.

Neáu aXO thì ña thöùc treân laø ln –T(a) ln-1 +….+(-1) n N(a)

suy ra T’(a) = T(a) ,…,N’(a)=N(a) .

Ñieàu naøy cuõng ñuùng vôùi moïi a.

Do ñoù tính duy nhaát cuûa χa( l) ñaõ ñöôïc chöùng minh.

Tính chaát cuûa T vaø N neâu ra trong meänh ñeà 2.(cuûa ñònh lyù ) laø roõ

raøng töø caùc tính chaát cuûa veát vaø caùc haøm ñònh thöùc cuûa ma traän.

Vieäc chöùng minh meänh ñeà 3 vaø 4 ñöôïc suy töø Ñònh lyù 2 Chöông

II(2.7)

Trong tröôøng hôïp K laø höõu haïn ,A=Mn(K)thì ña thöùc toái thieåu,veát

vaø chuaån laø ña thöùc ñaëc tröng, veát, ñònh thöùc .

Baây giôø giaû söû A laø ñaïi soá ñôn taâm höõu haïn chieàu tuyø yù,ñaët T(a,b)=T(ab).

Ñaây laø moät daïng song tuyeán tính treân A vaø do coù ñieàu sau T(a,b)-

T(b,a)=T([ab]) neân noù laø ñoái xöùng. T(a,b) ñöôïc goïi laø daïng veát caûm sinh

song tuyeán tính treân A. Vaø ta coù ñònh lyù thöù hai

3.1.4.- Ñònh lyù thöù hai

Daïng veát caûm sinh song tuyeán tính cuûa moät ñaïi soá ñôn taâm höõu

haïn chieàu laø khoâng suy bieán.

Chöùng minh

Neáu (e1,…,en)laø moät cô sôû cuûa khoâng gian vectô V vaø f(x,y) laø moät

daïng ñoái xöùng song tuyeán tính treân V thì f khoâng suy bieán khi vaø

chæ khi

det (f(ei, ej))≠0.

Do ñoù f laø khoâng suy bieán treân V khi vaø chæ khi môû roäng cuûa noù

laø khoâng suy bieán treân VF ñoái vôùi F laø moät tröôøng môû roäng cuûa

tröôøng cô sôû .

Do ñoù chæ caàn chöùng minh raèng daïng veát song tuyeán tính tr(a,b) laø

khoâng suy bieán treân ñaïi soá caùc ma traän Mn(K).

Neáu a=naij eij ta coù tr(a, elk)= alk .

Do ñoù tr(a , elk )=0. vôùi moïi k,l daãn ñeán a=0.

Do ñoù tr(,) laø khoâng suy bieán.

3.2- Treân ñaïi soá nguyeân toá

Treân ñaïi soá nguyeân toá , ta coù moät keát quûa sau

“Giaû söû A laø tích tröïc tieáp con cuûa caùc ñaïi soá nguyeân toá thoûa maõn caùc

ñoàng nhaát thöùc thöïc söï coù baäc bò chaën vaø neáu taâm C cuûa noù laø moät

tröôøng thì A laø moät ñaïi soá ñôn”

Keát quûa naøy thöïc chaát laø moät heä quûa cuûa ñònh lyù Rowen. Vaø ña thöùc

taâm ñöôïc söû duïng ñeå chöùng minh ñònh lyù Rowen.

Giaû söû A laø moät ñaïi soá treân K . Goïi C laø taâm cuûa A vaø S laø nöûa nhoùm

con cuûa nöûa nhoùm nhaân cuûa C .

Vieäc ñòa phöông hoaù As ñöôïc xaùc ñònh bôûi pheùp nhaân ngoaøi nhö sau :

∀ k ∈ K, ∀ s ∈ A, ∀ a ∈ A

k (s-1 a) = s -1 (ka)

Suy ra As laø K ñaïi soá

3.2.1 – Boå ñeà

Neáu A laø ñaïi soá nguyeân toá thì vaø S chöùa 0 thì As laø nguyeân toá

Chöùng minh

Giaû söû s-1x, t-1a, u -1y ∈ As sao cho

(s-1x)( t-1a)( u -1y)=0 .

Suy ra

(uts )-1(xay) = 0

⇒ xay = 0

⇒ x=0 hoaëc y = 0

⇒ s-1x =0 hoaëc u-1y=0 .

Do ñoù As laø nguyeân toá.

Neáu S = C \ { 0 } thì ñaïi soá töông öùng seõ kyù hieäu laø A0

(Ap vôùi p = <0>) vaø A0 goïi laø ñaïi soá taâm caùc thöông cuûa A

Neáu F laø tröôøng caùc thöông cuûa C thì

A0 ≈ A F = F ⊗K A ( F = C 0 )

Vaø F chính laø taâm cuûa A0

3.2.2 – Ñònh lyù Rower

Moïi ñoàng nhaát thöùc f treân ñaïi soá A cuõng laø ñoàng nhaát thöùc treân

ñaïi soá As ( As ñöôïc xem laø ñaïi soá treân K ).

Ñaûo laïi neáu moïi phaàn töû cuûa S ñeàu laø phaàn töû chính quy cuûa A thì

ñoàng nhaát thöùc f treân As cuõng laø ñoàng nhaát thöùc treân ñaïi soá A.

Vaán ñeà caàn laø moâ taû caáu truùc cuûa A0, neáu A0 thoûa maõn ñoàng nhaát

thöùc thaät söï .

Ñeå tieán tôùi muïc tieâu ñoù ta caàn caùc boå ñeà sau :

3.2.3 – Boå ñeà Amitsur

Neáu A laø ñaïi soá nguyeân toá thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc thaät söï baäc n

thì A thoaû maõn ñoàng nhaát thöùc chuaån S 2{n/2]

Chöùng minh :

Xem A nhö laø moät ñaïi soá treân taâm C cuûa noù.

Thaät vaäy neáu k ∈ K thì k.1 ∈ C vaø k.a = (k.1)a

Do ñoù ta thay keä soá k cuûa f bôûi k.1 ta seõ ñöôïc ñoàng nhaát thöùc

khaùc 0 thaät söï f0 treân ñaïi soá A, xem nhö laø ñaïi soá treân C .

Theo ñònh lyù Rower (3.2.2)thì f0 cuõng laø ñoàng nhaát thöùc treân

A0=A F treân tröôøng F .

Vaäy A thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc chính quy chaët suy ra caùc radical

sau ñaây ñeàu truøng nhau :

ln(A0) = L (A0) = Un(A0)

Vì A0 laø ñaïi soá nguyeân toá neân A0 khoâng coù nil – ideal khaùc <0>

Vaäy thì A0[ λ ] laø ñaïi soá nöûa nguyeân thuûy

(theo keát quûa cuûa ñònh lyù Amitsur).

Vì ta coù theå giaû söû f vaø f0 laø ña tuyeán tính neân A0 [λ] thoûa maõn

ñoàng nhaát thöùc khaùc 0 baäc n.

Goïi P laø ideal nguyeân thuûy cuûa A0 [λ]

vaäy thì A0 [λ] / P laø ñaïi soá nguyeân thuûy treân tröôøng, thoûa maõn

ñoàng nhaát khaùc 0 baäc n.

Vaäy thì S 2{n/2] laø ñoàng nhaát treân A0 [λ] / P

(theo ñònh lyù Kaplansky – Atmisur – Levitsky )

Vaäy neáu : a1,a2,…, a 2{n/2 ∈ A0 [λ] thì :

S 2{n/2] (a1,a2,…, a 2{n/2 ) ∈ P

( ∀ P, P laø ideal nguyeân toá cuûa A )

∩ P = < 0>

Vì

Neân S 2{n/2] (a1,a2,…, a 2{n/2 ) = 0

Vì A nhuùng vaøoA0[λ] neân S2{n/2] cuõng laø ñoàng nhaát thöùc treân ñaïi

soá A.

3.2.4 – Boå ñeà

Neáu A laø tích tröïc tieáp con caùc ñaïi soá nguyeân toá thoûa maõn ñoàng

nhaát thöùc thöïc söï thì A khoâng chöùa nil – ideal khaùc < 0 > .

Chöùng minh

Trong tröôøng hôïp naøy ta chæ caàn chöùng minh keát quûa ñuùng cho A

ñaïi soá nguyeân toá laø ñuû .

Thaät vaäy, vì A laø ñaïi soá nguyeân toá thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc thöïc

söï , theo 3.2.3 thì A thoûa maõn moät ña thöùc chuaån maø ña thöùc naøy

laø ña thöùc naøy laø chính quy maïnh.

Giaû söû ngöôïc laïi A chöùa moät nil – ideal khaùc 0 , theo ñònh lyù

1.11.4 thì noù phaûi chöùa ideal luõy linh = 0.

Ñieàu naøy maâu thuaãn vôùi tính chaát nguyeân thuûy.

Ta chöùng minh ñònh lyù Rowen ñöôïc phaùt bieåu nhö sau

Ñònh lyù Rowen

Giaû söû A laø tích tröïc tieáp con cuûa caùc ñaïi soá nguyeân toá thoûa maõn

caùc ñoàng nhaát thöùc thöïc söï coù baäc bò chaën thì moïi ideal I ≠ 0 cuûa A

giao vôùi taâm C khaùc 0

Chöùng minh :

Töø giaû thieát ñaàu cuûa ñònh lyù suy ra A laø nöûa nguyeân thuûy vaø thoûa

maõn ñoàng nhaát chuaån S2n .

Neáu P laø ideal nguyeân toá thì A / P laø ñôn taâm coù soá chieàu # d2 treân

taâm cuûa noù .

Maët khaùc (I+P)/ P laø ideal cuûa A/P nhö theá thì

hoaëc (I+P) / P = A hoaëc I ⊂ P.

Do I ≠0 vaø 1P=0 neân toàn taïi P sao cho I+P =A.

Trong soá caùc ideal naøy ta choïn P0 sao cho baäc n0 cuûa A/ P0 laø lôùn

nhaát.

(K) Giaû söû q laø ña thöùc taâm coù haïng töû töï do baèng 0 cuûa M

(ví duï ña thöùc cuûa Formanek )

Khi ñoù q laø ñoàng nhaát thöùc ñoái vôùi moïi ñaïi soá nguyeân toá coù baäc n

vôùi n ≤ n0 vaø q laø ña thöùc taâm cuûa A/ P0.

Nhö vaäy ñoái vôùi baát kyø a1,…., am X A thì

(q(a1,…., am )+P)/ P thuoäc taâm A/ P.

Do ñoù q(a1,…., am )≠ 0

Vì q laø ña thöùc taâm cuûa A/ P 0 vaø I+P0 =A

neân ta coù theå choïn a1,…., am X I sao cho

q(a1,…., am )∉ P0 thì q(a1,…., am ) XI vaø q(a1,…., am )≠ 0

Vaäy C ∩ I ≠ 0

Ta chöùng minh keát quûa ñöôïc neâu ban ñaàu nhôø vaøo ñònh lyù Rowen

Neáu I ≠ 0 laø ideal cuûa A thì C ∩ I ≠ 0 (theo ñònh lyù Rowen).

Vì C ∩ I ≠ 0 laø ideal cuûa C vaø C laø moät tröôøng neân C ∩ I = C.

Suy ra phaàn töû ñôn vò 1 ∈ I .

Suy ra I = A.

Vaäy A laø ñaïi soá ñôn.

Keát quûa ñaõ ñöôïc chöùng minh.

Luận văn: Đa thức tâm trên đại số các ma trận và ứng dụng trên các đại số khác

Chủ đề:

Ña thöùc taâm treân ñaïi soá caùc ma traän vaø

öùng duïng treân caùc ñaïi soá khaùc

Nguyễn Thị Hồng

ĐHSP Tp.HCM, 2004

MÔÛ ÑAÀU

CAÙC KIEÁN THÖÙC CÔ SÔÛ

a 0

a

a

∑ kijuj

∑ ασ xσ(1).... xσ(d) (σ ≠ 1) dSα∈

ÑA THÖÙC TAÂM TREÂN ÑAÏI SOÁ CAÙC MA TRAÄN CAÁP n

TREÂN VAØNH GIAO HOAÙN COÙ ÑÔN VÒ

∑ α(ν) x 1ν .y1. x 2ν .y2..... x nν . yn .x 1nν +

∑

∑

∏ (η1- ηi) (ηn+1- ηi).

∏ (η1- ηi) (η1- ηi).

∏ (η1- ηi)2.

∑ Pij (a11,a12,..)eij

∑ Qij (a11,a12,..)eij

∑ ηiηi,….,

∏ (η1- ηi) (η4- ηi).

MOÄT SOÁ AÙP DUÏNG – ÖÙNG DUÏNG CUÛA ÑA THÖÙC TAÂM

TRONG LYÙ THUYEÁT CUÛA CAÙC PI ÑAÏI SOÁ

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi