Luận văn: Đa thức tâm trên đại số các ma trận và ứng dụng trên các đại số khác

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:61

Thêm vào BST

Báo xấu

70
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn: Đa thức tâm trên đại số các ma trận và ứng dụng trên các đại số khác bao gồm những nội dung về các vấn đề cơ sở; đa thức tâm trên đại số các ma trận cấp n trên vành giao hoán có đơn vị; một số áp dụng, ứng dụng của đa thức tâm lý trong lý thuyết các Pi đại số.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: Đa thức tâm trên đại số các ma trận và ứng dụng trên các đại số khác

Ña thöùc taâm treân ñaïi soá caùc ma traän vaø öùng duïng treân caùc ñaïi soá khaùc Nguyễn Thị Hồng ĐHSP Tp.HCM, 2004
MÔÛ ÑAÀU Ngöôøi ta ñaõ ñöa ra khaùi nieäm "Moät ña thöùc f(x1,… , xn) ñöôïc goïi laø ña thöùc taâm treân A neáu f khoâng laø moät ñoàng nhaát thöùc trong A nhöng giao hoaùn töû [f(x1,…, xn ),xn+1] laø moät ñoàng nhaát thöùc trong A". Döïa vaøo ñònh nghóa vaø töø caùch xaây döïng ñoàng nhaát thöùc cuûa Wagner thì f (x1, x2)= (x1 x2 - x2 x1 )2 laø moät ña thöùc taâm treân ñaïi soá caùc ma traän M2(K). Trong moät thôøi gian daøi baøi toaùn ñaët ra laø xaây döïng caùc ña thöùc taâm cho Mn(K), vôùi n >2 ñeå töø ñoù tìm ra ñoàng nhaát thöùc thoûa maõn cho caùc ñaïi soá ma traän Mn(K). Vaán ñeà naøy ñaõ ñöôïc giaûi quyeát moät caùch caën keû bôûi Formanek . Luaän vaên naøy trình baøy heä thoáng laïi phöông phaùp xaây döïng ña thöùc taâm treân Mn(K) cuûa Formanek vaø moät soá öùng duïng – aùp duïng cuûa ña thöùc taâm treân caùc ñaïi soá khaùc. Luaän vaên goàm 03 chöông : *Chöông I : Caùc vaán ñeà cô sôû Trong phaàn naøy chuû yeáu trình baøy moät soá khaùi nieäm,ñònh lyù, boå ñeà ( coù vaø khoâng coù chöùng minh ) laøm cô sôû cho chöông II vaø chöông III nhö : ma traän, ñaïi soá ñôn taâm , ñaïi soá nguyeân toá ,ñoàng nhaát thöùc , PI ñaïi soá ,..., caùc ñònh lyù quan troïng cuûa Pi Ñaïi soá nhö Ñònh lyù Kaplanski, Wederburn.... *Chöông II : Ña thöùc taâm treân Ñaïi soá caùc ma traän caáp n treân vaønh giao hoaùn coù ñôn vò Trong chöông naøy neâu leân ñònh nghóa cuûa ña thöùc taâm, moät soá khaùi nieäm duøng laøm cô sôû cho vieäc xaây döïng ña thöùc taâm treân Mn(K).Phaàn trọng taâm cuûa chöông naøy laø caùch xaây döïng ña thöùc Formanek , töø ñoù xaây döïng ñöôïc ña thöùc taâm cho Mn(K) vôùi n > 2 qua ñònh lyù Formanek.
*Chöông III : Moät soá aùp duïng – öùng duïng cuûa ña thöùc taâm trong lyù thuyeát caùc PI Ñaïi soá Trong phaàn naøy neâu 2 öùng duïng vaø aùp duïng cuûa ña thöùc taâm vaøo vieäc chöùng minh moät soá keát quûa treân ñaïi soá ñôn taâm vaø ñaïi soá nguyeân toá Toâi xin traân troïng caùm ôn taát caû caùc Thaày, Coâ Toå Ñaïi Soá cuûa Tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm TP.HCM, Tröôøng Ñaïi hoïc Khoa Töï nhieân TP.HCM, Phoøng Nghieân cöùu Khoa hoïc Sau ñaïi hoïc tröôøng ÑHSP cuøng taát caû caùc baïn hoïc vieân Cao hoïc Ñaïi soá ñaõ nhieät tình giaûng daïy, taïo ñieàu kieän vaø giuùp ñôõ toâi hoaøn thaønh khoaù hoïc. Toâi xin ñaëc bieät tri aân PGS. TS Buøi Töôøng Trí ñaõ taän tình höôùng daãn toâi trong suoát quùa trình thöïc hieän luaän vaên naøy. Do trình ñoä coøn haïn cheá neân luaän vaên seõ khoâng traùnh khoûi sai soùt, kính mong ñöôïc söï thoâng caûm vaø goùp yù xaây döïng. Traân troïng caùm ôn. Hoïc vieân NGUYEÃN THÒ HOÀNG Cao hoïc Ñaïi soá Khoaù 12 (2001-2004) Tröôøng Ñaïi hoïc Sö Phaïm TP. Hoà Chí Minh
CHÖÔNG I CAÙC KIEÁN THÖÙC CÔ SÔÛ 1.1- Ma traän 1.1.1- Ñònh nghóa : Moät ma traän caáp mxn treân K laø moät heä thoáng goàm mn soá aij thuoäc moät truôøng K ñöôïc ñaùnh soá theo hai chæ soá i, j ( với i = 1, m vaø j = 1, n ) ñöôïc saép thaønh moät baûng chöõ nhaät: ⎛ a 11a 12....a 1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a 21a 22....a 2 n ⎟ A= ⎜ ⎟ goàm m doøng , n coät , kyù hieäu A=( aij)mxn ⎜ ...................... ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ a m1a m 2 a mn ⎠ ... Taäp hôïp taát caû caùc ma traän caáp mxn kyù hieäu laø M m,n(K) Khi m = n ta coù ma traän vuoâng caáp n , kyù hieäu A = ( aij)n . Taäp hôïp taát caû caùc ma traän vuoâng caáp n , kyù hieäu laø Mn(K). Ñoái vôùi ma traän vuoâng A = ( aij)n , caùc phaàn töû coù hai chæ soá baèng nhau a11,… , ann naèm treân moät ñöôøng cheùo maø ta goïi laø ñöôøng cheùo chính cuûa A. Ñöôøng cheùo coøn laïi cuûa hình vuoâng goïi laø ñöôøng cheùo phuï cuûa A. 1.1.2- Ma traän cheùo caáp n Laø ma traän vuoâng caáp n maø taát caû caùc phaàn töû naèm ngoaøi ñöôøng cheùo chính ñeàu baèng 0. ⎡ a 10 .....0 ⎤ ⎢ ⎥ A= ⎢⎢ a 2 0 .....0 ⎥ ⎥ ⎢ ............. ⎥ ⎢ 0 0 . . . . .a ⎥ ⎣ n ⎦ 1.1.3 – M a traän ñôn vò caáp n (Kyù hieäu I n )
Laø ma traän cheùo caáp n maø taát caû caùc phaàn töû treân ñöôøng cheùo chính ñeàu baèng 1 ⎡1 0 .....0 ⎤ ⎢ 0 1 .....0 ⎥ In = ⎢ ⎥ ⎢ .......... ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 0 .....1 ⎦ 1.1.4 – Giaù trò rieâng Cho ma traän a∈ Mn(K), soá λ ñöôïc goïi laø giaù trò rieâng cuûa a neáu toàn taïi vectô x = (x1,…, xn) ∈ Kn\ {0} sao cho ⎡x1⎤ ⎡x1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x 2⎥ ⎢ x 2⎥ a ⎢. ⎥ =λ ⎢. ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢. ⎥ ⎢. ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢. ⎥ ⎢. ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ x n⎦ ⎣ x n⎦ Vectô x goïi laø vectô rieâng cuûa A öùng vôùi giaù trò rieâng λ . Ñeå thuaän tieän coù theå vieát ax =λx 1.1.5 – Veát cuûa moät ma traän vuoâng a caáp n Laø toång caùc phaàn töû treân ñöôøng cheùo chính cuûa noù , kyù hieäu Tr(a) 1.1.6- Ma traän ñaëc tröng Cho a laø ma traän vuoâng caáp n treân K (n ≥ 1).Ma traän a-λI n laø ma traän ñaëc tröng cuûa a. Tính toaùn tröïc tieáp ñònh thöùc cuûa ma traän (a- λ I n ) laø moät ña thöùc baäc n cuûa bieán λ vôùi heä soá treân K goïi laø ña thöùc ñaëc tröng cuûa ma traän a, kyù hieäu laø χa(λ) (hoaëc χ(λ) neáu khoâng coù söï hieåu laàm) χa(λ)=det(a - λ I n)=(-1)nλn + (-1)n-1 tr(a) λn-1+….+det a Phöông trình χa(λ)=0 laø phöông trình ñaëc tröng cuûa a.
1.1.7 – Ñònh lyù Hamilton – Caley Moïi ma traän vuoâng ñeàu laø nghieäm cuûa ña thöùc ñaëc tröng cuûa noù. ∀ a∈Mn(K) , χa(a)=0 ⇔ (-1)nan + (-1)n-1 tr(a) an-1+….+det aIn = 0 1.2 - Ña thöùc 1.2.1 - Ña thöùc ñoái xöùng 1.2.1.1- Ña thöùc f ( x1,…, xn ) ñöôïc goïi laø ñoái xöùng neáu vôùi moïi hoaùn vò σ cuûa {1,…,n } ta coù f ( x1,…, xn ) = f (x σ (1) ,…, x σ (n) ) Caùc ña thöùc ñoái xöùng cô baûn : σ 1 = x1 + x2+…. + xn σ 2 = x1 x2 + x1 x3+…. + xn-1xn σ 3 = x1 x2 x3 + x1x2 x4+…. + xn-2 xn-1xn ……….. σn = x1 x2 x3 ….xn-2 xn-1xn Moïi ña thöùc ñoái xöùng f ( x1,…, xn ) thuoäc A[x1,.,xn ] trong ñoù A laø moät mieàn nguyeân ñeàu coù theå bieåu dieãn duy nhaát döôùi daïng moät ña thöùc Q(σ 1,…, σ n) cuûa caùc ña thöùc ñoái xöùng cô baûn vôùi heä töû trong A. 1.2.2 - Ña thöùc taùch Moät ña thöùc P cuûa K[X] goïi laø ña thöùc phaân raõ treân K khi vaø chæ khi toàn taïi λ ∈ K\ {0}, n ∈N* ; x1,….xn ∈ K sao cho n P= λ ∏(X − x ) i =1 i ( caùc xi khoâng nhaát thieát phaûi khaùc nhau ) 1.2.3 – Ña thöùc toái tieåu Cho a∈Mn(K). Khi ño ùtập hợp J= { f(λ) ∈ K [λ] / f (a) = 0} laø một ideal chính khaùc 0 của K [λ]. Phần tử sinh của J với hệ số
cao nhaát baèng 1 ñöôïc goïi laø ña thöùc toái tieåu cuûa ma traän a, kyù hieäu pa(λ). -Nhaän xeùt : Ña thöùc toái tieåu pa(λ) laø öôùc trong K[λ] cuûa moïi ña thöùc g(λ) ∈K[λ] nhaän a laø nghieäm. 1.2.4- Dạng song tuyến tính Vôùi K laø tröôøng có đặc số khác 2 (tức là 2.1K ≠ 0K), E là một K- không gian vectơ Ta gọi mọi ánh xạ ϕ : E x E → K sao cho : (i) ∀α∈K , ∀ (x,x',y)∈ E3 , ϕ(αx+x',y)= αϕ(x,y) +ϕ(x',y) (ϕ là tuyến tính đối với vị trí thứ nhất ) (ii) ∀β∈K , ∀ (x,y,y')∈ E3 , ϕ(x,βy+y')= βϕ (x,y) + ϕ(x,y') (ϕ là tuyến tính đối với vị trí thứ hai ) là dạng song tuyến tính trên E x E 1.3 - Moät soá ñònh nghóa vaø keát quûa - M laø moät R -Moñun trung thaønh neáu Mr = (0) thì r = 0. - M ñöôïc goïi laø R- moñun baát khaû quy neáu MR ≠ (0) vaø neáu caùc modun con cuûa M chæ laø (0) vaø M. - Neáu M laø moät R-moñun baát khaû quy thì C(M) laø moät theå(Boå ñeà Schur) - Vaønh R ñöôïc goïi laø nöûa ñôn neáu J(R) = (0) - Moät vaønh R ñöôïc goïi laø nguyeân thuûy neáu noù coù moät modun baát khaû quy trung thaønh. - Moät vaønh ñöôïc goïi laø vaønh Artin neáu moïi taäp con khaùc roãng caùc ideal cuûa A ñeàu coù phaàn töû toái tieåu. 1.4- Ñaïi soá ñôn taâm 1.4.1 – Ñònh nghóa
Moät vaønh R ñöôïc goò laø ñôn neáu R2 ≠(0) vaø R khoâng coù ideal thaät söï naøo ngoaøi (0) vaø chính noù. 1.4.2 – Ñònh nghóa A laø moät ñaïi soá treân vaønh K neáu : -A laø moät K-modun -A laø vaønh - ∀ k∈K , ∀ a,b ∈ A : k(ab)=(ka)b=a(kb) 1.4.3– Ñònh nghóa Moät ñaïi soá A ñöôïc goïi laø ñôn taâm treân tröôøng K neáu A laø moät ñaïi soá ñôn coù taâm ñaúng caáu vôùi K. (Ta coù theå xem nhö C=K.1) 1.4.4 –Ñònh nghóa Neáu A laø moät ñaïi soá ñôn taâm höõu haïn chieàu treân K. Khi ñoù F/K (vôùi F laø moät tröôøng chöùa K hay F laø tröôøng môû roäng cuûa K) ñöôïc goïi laø moät tröôøng taùch ñöôïc ñoái vôùi A neáu : AF= F ⊗ K A ≅ Mn(K) 1.4.5 – Ñònh lyù - Bao ñoùng ñaïi soá K cuûa K laø tröôøng taùch ñöôïc. - Neáu A ≅ Mr (Δ) vôùi Δ laø moät theå vaø F laø tröôøng con toái ñaïi cuûa Δ, thì F laø tröôøng taùch ñöôïc. Chöùng minh : Vôùi moïi tröôøng F / K thì AF laø ñaïi soá treân F . Neáu A laø ñôn taâm höõu haïn chieàu treân F thì AF laø ñôn taâm höõu haïn chieàu vôùi : [AF : F ] = [A: K ] Theo ñònh lyù Wedderburn thì :AF ≅ Mn (Δ) trong ñoù Δ laø ñaïi soá coù pheùp chia treân F. Neáu F = K laø ñaïi soá höõu haïn chieàu coù pheùp chia treân F laø K , vaäy thì :
A K ≅ Mn( K ) trong ñoù K laø tröôøng taùch ñöôïc. Trong phaùt bieåu thöù hai ta caàn ñeán ñònh lyù Kaplanski –Atmitsur . Ta bieát neáu A laø ñaïi soá daøy ñaëc cuûa caùc pheùp bieán ñoåi tuyeán tính treân V/ Δ, vôùi K laø ñaïi soá coù pheùp chia vaø F laø tröôøng con toái ñaïi cuûa Δ thì : A’= FLA laø ñaïi soá daøy ñaëc caùc pheùp bieán ñoåi treân V/ F . AÙp duïng vaøo tröôøng hôïp ñaëc bieät A laø ñôn taâm höõu haïn chieàu , ta coù theå laáy V laø höõu haïn chieàu treân Δvaø Δ laø höõu haïn chieàu treân K. Theo boå ñeà thì : A’= FLA ≅ F ⊗ K A Cuõng theá ta ñaõ bieát A laø ñaïi soá ñaày ñuû caùc pheùp bieán ñoåi tuyeán tính treân V/F. Vaäy laø neáu : [V : F ]= n ⇒ F ⊗ K A ≅ Mn(F) Suy ra F laø tröôøng taùch ñöôïc . Töø keát quûa naøy ta suy ra heä quûa sau Heä quûa : Soá chieàu cuûa ñaïi soá ñôn taâm höõu haïn chieàu laø moät soá chính phöông. 1.5 – Ñònh lyù Wedderburn – Artin : Giaû söû R laø moät vaønh ñôn Artin, khi ñoù R ñaúng caáu vôùi Dn (laø vaønh cuûa taát caû caùc ma traän vuoâng nxn treân theå D). Hôn theá nöõa n laø duy nhaát. Ngöôïc laïi, ñoái vôùi moïi theå D, Dn laø moät vaønh Artin ñôn. 1.6 – Khaùi nieäm daøy ñaëc 1.6.1- Ñònh nghóa AM = { a M / a ∈ A} laø moät ñaïi soá daøy ñaëc cuûa caùc pheùp bieán ñoåi tuyeán tính trong M treân ∆ neáu:cho tröôùc moät taäp höõu haïn caùc
vectô x1,..,xn thuoäc M ñoäc laäp tuyeán tính treân ∆ vaø caùc vectô töông öùng baát kyø y1,…., yn ñeàu toàn taïi a ∈ A sao cho axi = yi vôùi 1 ≤ i ≤ n 1.6.2 – Ñònh nghóa Moät taäp caùc pheùp bieán ñoåi tuyeán tính cuûa khoâng gian vectô ñöôïc goïi laø daøy ñaëc neáu noù coù tính chaát ñaõ ñeà caäp ôû 1.6.1 :cho baát kyø daõy höõu haïn caùc vectô ñoäc laäp tuyeán tính {xi} vaø {yi}vôùi 1≤ i≤n thì toàn taïi a thuoäc A sao cho : axi = yi vôùi 1 ≤ i ≤ n 1.6.3- Ñònh lyù daøy ñaëc Giaû söû R laø vaønh nguyeân thuûy, M laø R-modun baát khaû quy trung thaønh. Neáu Δ = C(M ) thì R laø vaønh daøy ñaëc caùc pheùp bieán ñoåi tuyeán tính cuûa khoâng gian vectô M treân theå Δ ( noùi taét : R daøy ñaëc treân M ) (YÙ nghóa : R daøy ñaëc trong HomΔ(M,M) vaø neáu dimΔM laø höõu haïn thì R ñaúng caáu vôùi HomΔ(M,M)) Chöùng minh: Tröôùc heát ta coù nhaän xeùt : ñeå chöùng minh tính daøy ñaëc cuûa R treân M hay R daøy ñaëc trong HomΔ(M,M) ta chæ caàn chöùng minh raèng neáu V laø khoâng gian con höõu haïn chieàu cuûa M treân Δ vaø m ∈M, m ∉ V thì toàn taïi r ∈ R sao cho Vr = (0) nhöng mr ≠ 0 ( nghóa laø r linh hoaù toaøn boä V maø khoâng linh hoaù m). Thaät vaäy, neáu ñieàu kieän treân thoûa thì suy ra mrR ≠ (0)vaø mrR laø modun con cuûa M treân R, vì M baát khaû quy ⇒ mrR = M . Do ñoù ta tìm ñöôïc s ∈ R sao cho mrs laø baát kyø phaàn töû naøo cuûa M ( mrs chaïy khaép M ). Löu yù : Vrs = (0). Giaû söû v1, v2,…, vn ∈ M laø heä ñoäc laäp tuyeán tính treân Δ vaø w1, w2,…, wn ∈ M tuyø yù . Goïi Vi laø khoâng gian cuûa M
treân Δ sinh bôûi caùc vj vôùi i ≠ j . Vì i∉Vi vaø heä { vi}ñoäclaäp tuyeán tính neân toàn taïi ti∈ R sao cho viti =wi, Viti = (0). Neáu ñaët t = t1+…+tn ∈R thì ta coù vit = wi (i =1,2,…,n).Theo ñònh nghóa R daøy ñaëc treân M. Ñeå chöùng minh ñònh lyù ta chöùng minh nhaän xeùt treân baèng quy naïp theo soá chieàu cuûa khoânggian vectô V treân Δ. *Neáu dim V = (0) ⇔ V = (0) ∀ m ∈M, m ∉V ⇒ m ≠ 0 ⇒ mR ≠ (0) ( vì M baát khaû quy ) (Neáu ∀ m ∈M, m ≠ 0 ⇒ mR = (0) thì MR = (0) voâ lyù vôùi tính chaát baát khaû quy cuûa M ) ⇒ ∃ r ∈ R : mr ≠ 0 vaø V r = (0) : nhaän xeùt ñuùng. *Giaû söû meänh ñeà ñaõ ñuùng với các không gian có số chiều ≤ dim(V) . Ta chứng minh nhận xét đúng với không gian có số chiều = số chiều của V. Giả sử V=V0 + ωΔ trong đó dim(V0 )= dim V -1 vaø ω ≠ V0 ( ω Δ laø ideal chính sinh bôûi phaàn töû ω ). Theo giaû thieát quy naïp thì vôùi A(V0) = {x ∈V / V0x=(0)} thì ∀ m ≠ V0, ∃r ∈ A(V0) sao cho mr ≠ 0. Maët khaùc, neáu mA(V0) = (0) thì m ∈ V0. Taäp hôïp A(V0) laø ideal phaûi cuûa vaønh R vaø do ω ∉V0 neân ω A(V0) ≠ (0) laø modun con cuûa M ⇒ ω A(V0)=M . Giaû söû raèng laáy m ∈M, m ∉V coù tính chaát laø baát kyø khi naøo Vr = (0) thì mr = 0.Ta caàn chöùng minh raèng ñieàu naøy khoâng theå xaûy ra baèng phaûn chöùng . Giaû söû ∃m ∈M, m ∉V maø Vr = (0) thì mr = 0. Xeùt töông öùng τ : M → M x → xτ = ma trong ñoù a ñöôïc xaùc ñònh bôûi x = ωa vôùi a ∈ A(V0). Ta coù ñònh nghóa cuûa τ laø ñuùng ñaén.
Thaät vaäy,giaû söû x =ωa vôùi a ∈ A(V0) vaø giaû söû x =ωa1 vôùi a1∈ A(V0) ⇒ ω(a- a1)=0 suy ra (a-a1)linh hoaù ω vaø do ñoù linh hoaù toaøn boä V. Theo giaû thieát phaûn chöùng suy ra(a- a1 )cuõng linh hoaù m hay m(a - a1 )= 0⇒ ma =m a1 .Vaäy ñònh nghóa treân laø ñuùng ñaén. Ta chöùng minh raèng τ giao hoaùn ñöôïc vôùi r,∀r∈R. Roõ raøng τ∈E(M). Hôn nöõa, neáu x = ωa vôùi a ∈ A(V0)thì ∀ r ∈ R, vì ar ∈ A(V0), xr =(ωa)r =ω (ar) do ñoù (xr)τ = m(ar) = (ma)r = (xτ)r . Ñieàu naøy daãn ñeán τ∈Δ =C(M). Vôùi ∀a∈A (V0), ma= (ωa)τ = (ωτ)a suy ra (m -ωτ)a = 0. Theo giaû thieát quy naïp thì m -ωτ ∈ V0 Do ñoù m ∈ V0+ωτ ⊂ V0+ωΔ =V . Voâ lyù . Ñònh lyù ñaõ ñöôïc chöùng minh. 1.6.5- Ñònh lyù Moät ñaïi soá nguyeân thuûy thì ñaúng caáu vôùi moät ñaïi soá daøy ñaëc cuûa caùc pheùp bieán ñoåi tuyeán tính trong moät khoâng gian vectô treân moät ñaïi soá chia ñöôïc. 1.7 – PI Ñaïi soá Ñeå ñònh nghóa khaùi nieäm ñoàng nhaát thöùc ña thöùc cuûa moät ñaïi soá vaø cuûa moät PI ñaïi soá tröôùc tieân ta xeùt ñaïi soá töï do trong moät taäp sinh ñeám ñöôïc treân vaønh giao hoaùn coù ñôn vò K. Giaû söû X laø vò nhoùm töï do sinh bôûi taäp ñeám ñöôïc caùc phaàn töû x1,x2,… thì X laø taäp 1, xi xi xi xi . . ....... cuûa caùc ñôn thöùc phaân bieät 1 2 3 r Hai ñôn thöùc baèng nhau xi xi xi xi . . ....... = xj xj xj xj . . ....... ⇔ ( r=s vaø i1 = j1 ……) 1 2 3 r 1 2 3 s Pheùp nhaân ñöôïc ñònh nghóa sao cho 1 laø phaàn töû ñôn vò vaø (x ) ( x j . x j . x j ....... x j ) = i1. x i 2. x i 3....... x i r 1 2 3 s xi xi xi xi x j x j x j x j 1 . 2 . ....... 3 r . 1 2 . 3 ....... s
Xeùt K[x] laø ñaïi soá vò nhoùm cuûa X treân K . K[x] vöøa coù caáu truùc vaønh vöøa coùcaáu truùc modun ⇒ K[x] ñöôïc goïi laø moät ñaïi soá töï do vôùi taäp ñeám ñöôïc caùc phaàn töû sinh xi . Tính chaát cô baûn cuûa K[x] laø neáu A laø moät ñaïi soá baát kyø treân K vaø δ laø aùnh xaï töø X → A thì toàn taïi duy nhaát ñoàng caáu η töø K[x] → A sao cho bieåu ñoà sau giao hoaùn i X K[X] δ η A Neáu f ∈ K[x], f ∈ K[x1 ,…, xm ] ñaïi soá con sinh bôûi taäp con höõu haïn ⎨x1,x2,…xm ⎬ vôùi m naøo ñoù. Ta vieát f = f(x1,x2,…xm ) aûnh cuûa ña thöùc naøy döôùi ñoàng caáu K[x] → A bieán xi → ai ( 1 ≤ i < ∞ ) ñöôïc kyù hieäu f(a1, a2,….,am) , ∀ ai ∈ A 1.7.1- Moät soá ñònh nghóa 1.7.1.1-Moät ñôn thöùc xi xi .....x i goò laø coù maët trong f neáu noù 1 2 r coù heä soá khaùc 0 trong bieåu dieãn cuûa f theo cô sôû cuûa X. 1.7.1.2-Moät ña thöùc f ñöôïc goïi laø tuyeán tính theo xi , neáu moïi ñôn thöùc coù trong f ñeàu laø baäc nhaát theo xi. 1.7.1.3-Moät ña thöùc f ñöôïc goò laø ña tuyeán tính neáu f laø tuyeán tính ñoái vôùi moïi xi coù maët trong f. *Neáu f laø ña tuyeán tính thì ** f coù daïng : f= ∑ π απ π1 2...π m x π x π .....xπ 1 2 m vôùi α π 1...π m ∈ K vaø π laø moät pheùp theá cuûa Sm. **f(x1,x2,,xj-1,xj+ xm+1, xj+1,…, xm)=f(x1,x2,…,xj-1,xj ,xj+1,…, xm) +f (x1, x2,…, xj-1, xm+1, xj+1,…, xm)
** f (x1, x2,…, xj-1, βxj, xj+1,…, xm)= βf (x1,…, xm) ∀ β ∈ K Nhöõng tính chaát naøy daãn ñeán neáu { ui } laø taäp sinh cuûa ñaïi soá A nhö laø moät K- module thì f laø ñoàng nhaát thöùc treân A khi vaø chæ khi : f ( u , u ,…, u )= 0 i1 i2 im vôùi moïi söï löïa choïn caùc ui trong { ui } j 1.7.1.5-Moät ña thöùc f (x1, x2,…,xm) ñöôïc goïi laø thay phieân neáu f (x1, x2,…, xi-1, xi, xj+1,…, xj-1, xi , xj+1…….)= 0 vôùi moïi söï löïa choïn i n laø ñoàng nhaát thöùc cuûa A. 1.7.1.6 –f laø ña thöùc chính quy chaët neáu f ≠ 0 vaø caùc heä soá khaùc 0 cuûa f laø ñôn vò hoaëc khaû nghòch trong K. 1.7.1.7 – Ña thöùc chuaån +Định nghĩa Ña thöùc Sk+1(x1, x2,…, xk+1)= ∑ π ( sgπ ) x π x π .....x π 1 2 k trong ñoù toång ñöôïc laáy treán nhoùm ñoái xöùng vaø Sgπ laø daáu cuûa pheùp hoaùn vò π , ñöôïc goïi laø ña thöùc chuaån baäc k.
+Ña thöùc chuaån coù caùc tính chaát sau *Sk+1(x1, x2,…, xk+1)= x1Sk+1(x2,…, xk+1)- x2Sk+1(x1 ,x3,…, xk+1) +…..+ (-1)k xk+1Sk+1(x1 ,…, xk) Do ñoù neáu Sk laø ñoàng nhaát thöùc treân ñaïi soá thì Sk+1cuõng laø ñoàng nhaát thöùc treân ñaïi soá ñoù. * Sk( x π 1 x π 2.....x π k ) = Sg(π)Sk(x1, x2,…, xk) * Neáu i1 ,….., ir phaân bieät vaø i ≤ j ≤ k , 0 < r < k vaø S’ laø toång caùc haïng töû cuûa Sk(x1, x2,…, xk) coù xi , xi , ….., xi laø thöøa 1 2 n soá traùi thì : S’= ± i1…..ir Sk-r ( x .....x ) i r +1 ik Nhö vaäy Sk-r seõ laø ñoàng nhaát thöùc treân moïi K – ñaïi soá höõu haïn sinh vôùi taäp sinh coù soá phaàn töû beù hôn k. Vì Mn(K) ñöôïc sinh ra bôûi n2 ma traän ñôn vò eij (coi nhö laø K module ) do ñoù Sn 2 laø ñoàng nhaát thöùc laø ñoàng nhaát thöùc treân +1 Mn(K) . Sau naøy ta bieát S2n cuõng laø ñoàng nhaát thöùc treân Mn(K). 1.7.2- Ñoàng nhaát thöùc 1.7.2.1- f laø moät ñoàng nhaát thöùc cuûa A neáu f (a1, a2,…., am) = 0 , ∀ ai ∈ A 1.7.2.2 –Ña thöùc f ñöôïc goïi laø ñoàng nhaát thöùc thaät söï neáu f laø ñoàng nhaát thöùc cuûa A vaø toàn taïi moät heä soá cuûa f khoâng linh hoaù A. Nhaän xeùt : -Neáu K laø moät tröôøng thì f laø ñoàng nhaát thöùc thaät söï cuûa A töông ñöông vôùi f laø ñoàng nhaát thöùc treân A vaø f ≠ 0
-Neáu f laø moät ñoàng nhaát thöùc maø trong noù coù moät heä soá laø 1 hoaëc -1 thì f laø ñoàng nhaát thöùc thaät söï. 1.7.2.3 - f goïi laø ñoàng nhaát thöùc chính quy chaët treân ñaïi soá A, neáu f laø ñoàng nhaát thöùc treân A vaø f laø chính quy chaët. Neáu f laø ñoàng nhaát thöùc chính quy chaët treân ñaïi soá A thì noù cuõng laø ñoàng nhaát thöùc chính quy chaët treân ñaïi soá con cuûa ñaïi soá con cuûa ñaïi soá A vaø ñieàu naøy coøn ñuùng ñoái vôùi moïi aûnh ñoàng caáu. 1.7.3- Ñònh nghóa PI – ñaïi soá Moät ñaïi soá A treân vaønh giao hoaùn coù ñôn vò K ñöôïc goïi laø PI ñaïi soá hay ñaïi soá vôùi ñoàng nhaát thöùc ña thöùc neáu toàn taïi moät ña thöùc f(a1, a2,….,am) ∈ K[x] laø ñoàng nhaát thöùc thöïc söï cuûa A. Ví duï : 1.7.3.1 – Moïi ñaïi soá giao hoaùn ñeàu laø PI ñaïi soá vì thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc : f = x1x2 – x2x1 1.7.3.2 - M2(K) laø moät PI ñaïi soá vì thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc Wargner nhö sau : f(x1,x2,x3 )= (x1x2-x2x1)2 x3 - x3 (x1x2-x2x1)2 1.7.3.3 - Trong F [x1,x2,…,xn ] ñoàng nhaát thöùc chuaån n bieán laø n sgσ f (x1, x2,…xn) = Sn (x1, x2,…xn) = ∑j=1 σ ∑ (−1) xσ ∈Sym ( n ) ... x σ ( n ) (1) Chuù yù : toång naøy coù n! ñôn thöùc ; Sym(n) laø nhoùm ñoái xöùng baäc n (⎜Sym(n) ⎢=n!) ; σ chaïy khaép trong Sym(n); (-1) sgσ baèng 1 hoaëc -1 tuyø thuoäc vaøo oheùp theá chaün hay leû. Ví duï :
+f(x1,x2) = s2 (x1,x2) = x1x2 - x2x1 +f (x1,x2,x3) = s3(x1,x2,x3)= x1x2x3 – x1x3x2 - x2x1x3 + x2x3x1 + x3x1x2 –x3x2x1 Nhö vaäy taát caû caùc ñôn thöùc baäc 1 theo töøng bieán vaø neáu ta ñoåi choã 2 bieán cuûa ñôn thöùc naøo thì ñôn thöùc ñoù ñoåi daáu. Giaû söû ta coù ñaïi soá A vaø caùc bieán x1= a , x2 = a,x3 = b . Khi ñoù s3(a,a,b) = - s3 (a,a,b) ( do ñoåi choã x1, x2 cho nhau) Suy ra s3(a,a,b) = 0 . Do ñoù ñoàng nhaát thöùc chuaån coù 2 bieán gioáng nhau thì baèng 0 +Boå ñeà : Neáu A laø ñaïi soá n chieàu treân tröôøng F thì A thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc chuaån Sn+1 (x1, x2,…,xn+1) Chöùng minh : Töø ñònh nghóa ta thaáy Sn+1 (x1, x2,…,xn+1) laø ña tuyeán tính ñoái vôùi caùc bieán vaø neáu coù 2 bieán nhaän cuøng giaù trò thì seõ trieät tieâu. Giaû söû {u1,u2 ,….,un } laø moät cô sôû cuûa A treân F vaø neáu a1, a2,…,an+1∈A do tính ña tuyeán tính cuûa Sn+1 (x1, x2,…,xn+1) neân ∀ ai ∈A ta coù n ai= S n 2 +1 ∑ j =1 kijuj Do đó nếu ta thay xi bởi ai thì Sn+1( a1,a2,…., an+1) = 0 thì ta suy ra Sn+1( a1,a2,…., an+1) laø ñoàng nhaát thöùc chuaån cuûa A +Heä quûa : Fn thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc S (x1,x2,…, x ) n 2 +1 n2 +1 Chöùng minh Vì Fn laø ñaïi soá n2 chieàu neân S (x1,x2,…, x )=0 n 2 +1 n2 +1
nghóa laø Fn thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc S (x1,x2,…, x ) n 2 +1 n2 +1 1.7.3.4 – (A ñöôïc goïi laø moät ñaïi soá coù baäc bò chaën treân F neáu toàn taïi moät soá nguyeân n sao cho vôùi a ∈A, toàn taïi moät ña thöùc xn+ α1xn-1+....+α n ∈F [x] nhaän a laø nghieäm). Neáu A laø ñaïi soá coù baäc bò chaën treân F thì A laø moät PI ñaïi soá . Chöùng minh Giaû söû ñoái vôùi moãi phaàn töû b thuoäc A ñeàu toàn taïi moät ña thöùc f coù daïng xn + α1xn-1+....+αn ∈ F[x] nhaän b laø nghieäm nghóa laø f(b) =0 vôùi n coá ñònh. ∀a∈A , ta coù [ f(b), a] =0 αi∈F neân noù giao hoaùn ñöôïc vôùi a [f(b),a]= [bn,a]+ α1 [bn-1,a]+...+ αn [b,a] = 0 Laáy giao hoaùn töû laàn nöõa [[bn,a],[b,a]]+ α1 [[bn-1,a],[b,a]]+...+ αn [[b,a],[b,a]] =0 Tieáp tuïc nhö vaäy cho ñeán khi maát heát toaøn boä αi , cuoái cuøng ta coù [[bn,a],[b,a]] = 0 khoâng phuï thuoäc vaøo αi Suy ra A laø moät PI ñaïi soá. P.I ñaïi soá toàn taïi raát phong phuù . Tuy nhieân coù nhöõng ñaïi soá khoâng phaûi laø Pi ñaïi soá . Ñieàu naøy theå hieän baèng caùc boå ñeà sau : **Boå ñeà 1 Neáu d laø moät soá nguyeân vaø f laø moät ña thöùc khaùc khoâng trong ñaïi soá töï do F [x1,x2,…,xd] thì toàn taïi moät soá n sao cho Fn khoâng thoûa maõn f. **Boå ñeà 2
F n khoâng thoûa maõn caùc ñoàng nhaát thöùc coù baäc < 2n Chöùng minh Neáu Fn thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc coù baäc < 2n thì theo boå ñeà ( neáu A thoûa maõn moät ñoàng nhaát thöùc baäc d thì noù seõ thoûa maõn moät ñoàng nhaát thöùc ña tuyeán tính coù baäc nhoû hôn hay baèng d) noù thoûa maõn moät ñoàng nhaát thöùc ña tuyeán tính coù baäc < 2n. Ta giaû thieát raèng noù thuaàn nhaát ñaúng caáp ( baäc cuûa caùc ñôn thöùc laø nhö nhau) . Coù theå vieát f = x1x2...xd + ∑ ασ xσ(1).... xσ(d) (σ ≠ 1) α∈ Sd f thoûa maõn treân Fn , heä soá thuoäc tröôøng F , khaùc 0 neân coù nghòch phaûi. Ta coù theå theá x1, x2,...,xd baèng moät daõy caùc ma traän vuoâng caáp n maø taïi ñoù f ≠ 0. Xeùt eij laø caùc ma traän ñôn vò . Ta thay theá x1 = e11, x2 = e12, x3= e22, x4 = e23, x5 = e33....... Neáu d chaün xd = e(d/2)(d/2+1) d/2 +1 < 2n/ 2 +1 = n+1 ⇒ d/ 2+1 ≤ n Neáu d leû xd = e(d+1/2 )(d+1 / 2) d+1/2 < 2n+1/ 2 = n+1/ 2 Vì d < 2n neân khi thay nhö theá thì ñôn thöùc ñaàu tieân x1x2...xd ≠ 0 vaø hôn theá nöõa xσ(1).... xσ(d) = 0 neáu σ ≠ 1 do caùch choïn x laøm neân. Do ñoù f(e11, e12,e22,.....) = e11, e12,e22,..... ≠ 0 Do vaäy, Fn khoâng thoûa maõn f **Boå ñeà 3 Mn(K) khoâng coù ñoàng nhaát thöùc thöïc söï coù baäc d < 2n Chöùng minh
Tröôùc heát ta coù nhaän xeùt : vôùi 0< n ∈ N ta coù daõy e11, e22,…,enn coù n phaàn töû vaø daõy e12, e23,…,e (n-1) n coù (n -1) phaàn töû. Khi ñoù taäp {e11, e12,e22,e23,e33,e34,…,e(n-1)n, enn } seõ coù (2n-1) phaàn töû trong ñoù eij laø ma traän coù phaàn töû ôû haøng I coät j baèng 1 coøn caùc phaàn töû khaùc ñeàu baèng 0 thuoäc Mn(K). Ta chöùng minh boå ñeà baèng phöông phaùp phaûn chöùng nhö sau : Giaû söû Mn(K) thoûa maõn moät ñoàng nhaát thöùc thaät söï f coù baäc d < 2n. Theo boå ñeà 1.8.3 ta coù theå xem f laø ñoàng nhaát thöùc thöïc söï ña tuyeán tính. Do ñoù ta coù theå vieát f döôùi daïng : f = α x1x2…xd + ∑ ασ xσ (1) xσ (1)….. xσ (1) Sd α ≠1∈ vôùi α Mn(K) ≠ 0 (1) Do d