LUẬN VĂN: Phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi

Chia sẻ: Paradise_12 Paradise_12 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:75

Thêm vào BST

Báo xấu

184
lượt xem 47
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài luận văn đề cập tới các hàm lồi một biến và nhiều biến, cùng với các tính chất cơ bản của chúng. Hàm lồi có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu: qui hoạch toán học, lý thuyết điều khiển tối ưu, lý thuyết trò chơi, kinh tế toán ...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: LUẬN VĂN: Phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG………………….. LUẬN VĂN Phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi
1 Mu c Lu c . . Mo. d` u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 ’ ¯ˆa Chu.o.ng 1. Phu.o.ng pha p su. dung tı o˜ ’. ` ´ ´nh chˆt ham lˆi (lo m) . . . . . . . . . . 5 a` 1.1 Th´. tu. s˘p d .o.c cua da y bˆ t d ˘ng th´.c sinh bo.i ham lˆi (lo m) 5 ´ ’˜ ´’ ’``˜ u . a ¯u . a ¯a u o .c Karamata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 ´’ 1.2 Bˆ t d ˘ng th´ a ¯a u .i thiˆu mˆt sˆ ham lˆi va ham lo m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 oo` ``` ˜ .´ 1.3 Gi´o e o . oo` ` .´ 1.3.1 Mˆt sˆ ham lˆi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 o oo` ˜ .´ 1.3.1 Mˆt sˆ ham lo m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Bai tˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 `a . Chu.o.ng 2 Phu.o.ng pha p lu.a chon tham sˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ´ ´ o . . .a tham sˆ d ˆc lˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ´.. 2.1 Cac dang toan ch´ ´. ´ u o ¯o a 2.1.1 Tham sˆ chı thuˆc mˆt vˆ cua bˆ t d ˘ng th´.c . . . . . . . . . . . 25 ´’ ´ .´ o’ o e ’ a ¯a o u . .c . . . . . . . . . . . . . 30 ´’ ´ ´ e ’ a ¯a 2.1.2 Tham sˆ co trong hai vˆ cua bˆ t d ˘ng th´ o´ u .a tham phu thuˆc vao tham sˆ khac . . . . . . . . . 36 ´ 2.2 Cac dang toan ch´ ´. ´ u o` o´ . . 2.3 Bai tˆp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 `a . Chu.o.ng 3 Phu.o.ng pha p su. dung tı ´nh chˆ t cua ham d o.n d iˆu . . . . 45 ’. ´ ’ ´ a `¯ ¯e . .n d eu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1 Ham d o ¯iˆ `¯ . .n d eu cua ham cac d ai lu.o.ng trung bı . . . . . . . . . . . . . . 49 ´nh ¯o ¯iˆ ’ ` 3.2 Tı d ´ ¯. `nh . . .o.ng trung bı 3.2.1 Cac d . i lu . ´ ¯a `nh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.2 Cac d . i lu.o.ng trung bı suy rˆng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ´ ¯a `nh o . . .n d eu cua ham cac d a th´.c d ˆ i x´.ng so. cˆ p . . . . . . . . . . 55 ´ ´ ´nh ¯o ¯iˆ ’ ` 3.3 Tı d ´¯ u ¯o u a . Chu.o.ng 4 Phu.o.ng pha p hı ´ `nh hoc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 . .o.ng trung bı 4.1 Hı hoc hoa cac d . i lu . `nh . ´ ´ ¯a `nh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 .o.ng phap khac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 .´ 4.2 Mˆt sˆ phu oo ´ ´ 4.1 Bai tˆp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72 `a . ´ ’ Kˆ t luˆn cua luˆn v˘n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73 e a a a . . ’ Tai liˆu tham khao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 `e .
2 Mo. d` u ’ ¯ˆa Bˆ t d ang th´.c (BDT) la mˆt trong nh˜.ng nˆi dung quan trong trong chu.o.ng - ´’ a ¯˘ u `o u o . . . ’ thˆng, no v`.a la d o i tu.o.ng d e nghiˆn c´.u ma cu ng v`.a la mˆt ’ `˜ ´ trı `nh toan phˆ o ´ o ´ u ` ¯ˆ ¯ˆ eu u`o . . .c, v´.i nh˜.ng u.ng dung trong nhiˆu lı nh vu.c khac nhau cua toan hoc. ´ `˜ ’ cˆng cu d ˘c lu o . ¯a . o u´ e ´ ´ . . . . cac cˆ p, nh˜.ng bai toan vˆ ch´.ng minh Trong cac d` thi chon hoc sinh gioi toan o ´ a ´ `´`u ’ ´’ ´ ¯ˆ e u e . . - T thu.`.ng xuˆ t hiˆn nhu. mˆt dang toan kha quen thuˆc, nhu.ng d e tı ra l`.i ’ ´ BD o a e o. ´ ´ o ¯ˆ `m o . . . e ˜` ’ ’`o giai khˆng phai la mˆt viˆc dˆ dang. o .e . .o.c kha nhiˆu tai liˆu d` cˆp va cac bai tˆp vˆ BDT cu ng ´ - ¯a ¯ ` ` e ¯ˆ a ` ´ ` a ` - Ly thuyˆ t BDT d˜ d u . ˜ ´ e ´ e e. e . . kha phong phu, d dang, trong d´ cac phu.o.ng phap ch´.ng minh BDT la phˆn nˆi - `` ´ ´ ¯a . ¯o ´ ´ u ao . .`.ng g˘p trong nhiˆu tai liˆu. ``e dung quan trong thu o a e . . . .ng phu.o.ng phap ch´.ng minh BDT ho˘c sang tao ra nh˜.ng BDT - - Mˆt trong nh˜ o u ´ u a´ u . . . m´.i la viˆc lam ch˘t BDT. a- o`e` . . . ta co (ho˘c cˆn ch´.ng minh) BDT A < B (tu.o.ng tu. v´.i BDT A > B, A ≤ - .o - a` ’’ Gia su ´ .a u .o.c biˆ u th´.c C sao cho A < C < B , thı ta noi r˘ ng BDT - ’ ` ´ B, A ≥ B ). Nˆ u tı d . e `m ¯u e u ` ´a th´. nhˆ t d˜ d u.o.c lam ch˘t (nghiˆm ng˘t) bo.i BDT th´. hai va hiˆ n nhiˆn, BDT - - ’ ´ ’ u a ¯a ¯ . ` a e a u `e e . . th´. nhˆ t d .o.c suy ra t`. BDT th´. hai. Viˆc ch´.ng minh d .o.c BDT th´. hai cho u- - ´ u a ¯u . u e u ¯u . u . .ng minh BDT th´. nhˆ t va d` ng th`.i sang tao ra nh˜.ng BDT m´.i. - - ´ ta mˆt cach ch´ o´ u u a ` ¯ˆ o o´ u o . . Do d´ , viˆc tı ra cac phu.o.ng phap d e lam ch˘t BDT la rˆ t co ´ nghı a. a- ’ ˜ ´ ¯o e `m ´ ´ ¯ˆ ` ` a ´y . . -o ˜ D´ cu ng la nˆi dung ma luˆn v˘n nay d` cˆp. `o ` a a ` ¯ˆ a e. . . Luˆn v˘n day 74 trang, gˆm cac phˆn muc luc, Mo. d` u, 4 chu.o.ng nˆi dung, Kˆ t ` ` ´ ’ ¯ˆ aa` o´ a a o e . .. . ’ luˆn va Tai liˆu tham khao. a ``e . . Chu.o.ng 1: Phu.o.ng phap su. dung tı chˆ t cua ham lˆi (lo m) . ´nh a ’ ` ` ˜ ´ ’. ´ o Dˆy la phu.o.ng phap co. ban va quan trong nhˆ t dˆ lam ch˘t BDT ma mˆt sˆ -a ` - ’ ´ .´ ’` ´ a ¯e ` a `oo . . tai liˆu hiˆn hanh cu ng d˜ d` cˆp, d ac biˆt la tai liˆu [1]. Phˆn d´ ng gop cua luˆn ˜ ` ¯o ’ `e e` ¯a ¯ˆ a ¯˘ e. e `` e a ´ a . . . . . . .o.ng phap nay b˘ ng nh˜.ng vı du ’ ` ´ ´ ’e ` e . e´ ´ e’ v˘n, chu yˆ u la viˆc cu thˆ hoa ly thuyˆ t cua phu a ´ `a u ´. . ’, co thˆ tach riˆng thanh nh˜.ng bai tˆp vˆ BDT kha phong phu. `a`- ’ va bai tˆp cu thˆ ´ e ´ ``a . e e ` u e ´ ´ . . .`.ng ho.p riˆng cua cac BDT d˜ d u.o.c tao ra t`. - - ¯a ¯ . . ` ’´ Kha nhiˆu BDT quen thuˆc, la tru o ´ e o` e u . . .ng minh hoa nay. Trong phˆn cuˆ i chu.o.ng, luˆn v˘n cu ng d˜ d u.a ra d .o.c kha aa˜ ` ´ nh˜u .` a o ¯a ¯ ¯u . ´ .
3 - ’ ’ e``˜ ` ` nhiˆu ham lˆi (lo m) dˆ ban d . c co thˆ ´ p dung sang tao ra nhiˆu BDT khac. o ¯e . ¯o ´ e a ´ e ´ . . .o.ng 2: Phu.o.ng phap lu.a chon tham sˆ . ´ Chu ´. o . .o.ng cua phu.o.ng phap nay bo.i mˆt vı du sau d ay: Gia su. ’ Co thˆ minh hoa ´ tu ’ ’ ’ ’’ ´e .y ´ ` o´. ¯ˆ . a, b, c la 3 sˆ khˆng ˆm co tˆ ng b˘ ng 3. Dˆ dang ch´.ng minh d .o.c bˆ t d ˘ng th´.c ’ ` ˜` ´’ ´oa ` o ´o a e u ¯u . a ¯a u √ √ √ a + b + c ≥ ab + bc + ca. 1 Nhu. vˆy, v´.i k ≥ thı BDT sau d ay luˆn d´ ng `- a o ¯ˆ o ¯u . 2 ak + bk + ck ≥ ab + bc + ca. 1 Mˆt cˆu hoi tu. nhiˆn d u.o.c d ˘t ra, v´.i k < thı khi nao BDT trˆn vˆn d´ ng? - ˜ ’. oa e ¯ . ¯a o ` ` e a ¯u . . 2 1 Viˆc tı d .o.c sˆ k (k < ) nho nhˆ t sao cho BDT trˆn vˆn d´ ng cho ta mˆt - ˜ ´ ´ ’ e `m ¯u . o a e a ¯u o . . 2 .o.ng phap d e lam ch˘t BDT. - ’ phu ´ ¯ˆ ` a . D´ cu ng la nˆi dung ma luˆn v˘n d` cˆp trong chu.o.ng nay, trong d´ tham sˆ -o ˜ ´ `o ` a a ¯ˆ a e. ` ¯o o . . k d u.o.c xet o. hai dang, la tham sˆ d ˆc lˆp ho˘c con phu thuˆc vao mˆt tham sˆ khac. ´.. ´ ¯. ´’ ` o ¯o a a` o` o o´ . . . . . Chu.o.ng 3: Phu.o.ng phap su. dung tı chˆ t cua ham d o.n d iˆu. ´ ’. ´nh a ’ ` ¯ ´ ¯e . .o.ng phap nay cu ng d˜ d u.o.c mˆt sˆ tai liˆu d` cˆp, d ac biˆt la tai liˆu [1]. ˜ ´ ` e ¯ˆ a ¯˘ Phu ´ ` ¯a ¯ . oo e. e `` e . . . . . . chu.o.ng nay chu yˆ u la viˆc hˆ thˆ ng hoa mˆt sˆ ` ¯o ´ ..´ .´ ’ a a’ ’e `e e o Phˆn d´ ng gop cua luˆn v˘n o a ´ ` ´ oo . .o.ng phap s˘p th´. tu. cac d i lu.o.ng trung bı ’ ´ ´’ phu ´a u . ´ ¯a `nh va cu thˆ hoa ly thuyˆ t cua `. e´ ´ e . . phu.o.ng phap b˘ ng nh˜.ng vı du va bai tˆp cu thˆ . Kha nhiˆu BDT m´.i d .o.c luˆn - ’ ` ` ´ a u ´.``a . e ´ e o ¯u . a . . . dung phu.o.ng phap nay. a- ` ’ v˘n sang tac, thˆng qua viˆc lam ch˘t BDT b˘ ng cach su . a´ ´ o e` a ´ ´ ` . . Chu.o.ng 4: Phu.o.ng phap hı hoc.´ `nh . .o.ng nay d` cˆp dˆ n mˆt sˆ phu.o.ng phap lam ch˘t BDT d ai sˆ - ´ .´ ´ Nˆi dung chu o ` ¯ˆ a ¯e e. oo ´` a ¯. o . . .ng u.´.c lu.o.ng tru.c quan t`. hı hoc, v´.i nh˜.ng vı du minh hoa kha thˆng qua nh˜ o u o u `nh . o u ´. ´ . . . ’ cu thˆ . .e Luˆn v˘n d u.o.c hoan thanh du.´.i su. hu.´.ng dˆn khoa hoc cua Tiˆ n sy Trinh ˜ e˜ ´ ’ a a ¯. ` ` o. o a . . . .`.i Thˆy rˆ t nghiˆm kh˘c va tˆn tˆm trong cˆng viˆc, ngu.`.i Thˆy -a ´ ´ `a a´ ` D`o Chiˆ n - Ngu o e e a `a a o e o a . . khˆng chı giup d ˜., cung cˆ p tai liˆu, go.i mo. cho tac gia nhiˆu ´ tu.o.ng hay va ´ `y ’ ´ ¯o ’ ’ ’ o a`e ´ e ` . . .c quı bau, cu ng nhu. nh˜.ng kinh nghiˆm nghiˆn c´.u khoa ˜ ` ¯. ` ´ truyˆn d at nhiˆu kiˆ n th´ e e e u ´´ u e eu . ´ ’’ ’ ’ hoc ma con chı bao cho tac gia trong tac phong lam viˆc, thˆng cam, khuyˆ n khı `` ´ ´ ` e o e ´ch . . d ˆng viˆn tac gia vu.o.t qua nh˜.ng kho kh˘n trong chuyˆn mˆn va cuˆc sˆ ng. Chı .´ ’ ¯o e´ u ´a e o`oo ´nh . . .n chˆn thanh va su. kı phuc sˆu s˘c d ˆ i v´.i ´´ ´ ’ o ’` vı vˆy ma tac gia luˆn to long biˆ t o `a `´ e a ` ` . ´nh . a a ¯o o . .´.ng dˆn - Tiˆ n sy Trinh Dao Chiˆ n. e ˜ . -` ˜ ` ´ ´ thˆy giao hu o a ´ a e Nhˆn d ˆy, tac gia cu ng xin bay to long biˆ t o.n chˆn thanh d e n Ban Giam Hiˆu ’˜ ´ ´ ` ’` a ¯a ´ e a ` ¯ˆ ´ e .
4 tru.`.ng Dai hoc Quy Nho.n, Phong d `o tao Dai hoc va sau Dai hoc, khoa Toan, quı -. . ` ¯a . - . . ` -. . o ´ ´ .c tiˆ p giang day d˜ tao moi d ` u kiˆn thuˆn lo.i trong th`.i gian tac ` o´ ´ ’ Thˆy cˆ giao tru e a . ¯a . . ¯iˆe e a. o ´ . . . ’ gia tham gia khoa hoc.´ . - ` ng th`.i tac gia cu ng xin bay to long biˆ t o.n d e n UBND Tı nh Gia Lai, So. ’˜ ´ ´ ` ’` ’ ’ Dˆ o o´ e ¯ˆ .`.ng THPT Ia Grai, d˜ d ˆng ’ Giao duc va d ao tao Tı nh Gia Lai, Ban Giam Hiˆu tru o ´ . ` ¯` . ´ e ¯a ¯o . . .i dˆ tac gia co nhiˆu th`.i gian nghiˆn c´.u va ’ ¯` ` ’´ viˆn va tao moi d iˆu kiˆn thuˆn lo ¯e ´ e `. e e a. e o eu` . . . hoan thanh d` tai. ` ` ¯ˆ ` e Trong qua trı hoan thanh luˆn v˘n nay, tac gia con nhˆn d .o.c su. quan tˆm ’` ´ `nh ` ` aa`´ a ¯u . . a . . ., cac anh chi em trong gia d`nh, cac ban d` ng nghiˆp, cac anh e’ d ˆng viˆn cua me , vo ´ ¯o ¯ı ´ . ¯ˆ o e´ . .. . . .p cao hoc khoa VII, VIII, IX cua tru.`.ng Dai hoc Qui Nho.n. Tac gia -. . ’ ’ chi em trong l´ o ´ o ´ . . .n tˆ t ca su. quan tˆm va d ˆng viˆn d´ . ´ xin chˆn thanh cam o a ’ . ’ a ` a ` ¯o e ¯o . Dˆ hoan thanh luˆn v˘n, tac gia d˜ rˆ t cˆ g˘ng tˆp trung nghiˆn c´.u, song do -e ` ’ ´ ´´ ’ ¯a a o a ` aa´ a eu . . ´t nhiˆu han chˆ vˆ th`.i gian, cu ng nhu. vˆ n˘ng lu.c nˆn ch˘c ch˘n trong luˆn v˘n ˜ ´ ´ ` e` o ´e `a ı e. e .e a a aa . .a d` cˆp d e n va kho tranh khoi nh˜.ng thiˆ u sot nhˆ t d inh. con nhiˆu vˆ n d` chu ¯ˆ a ¯ˆ ` ´ ´ ` ´e ´ ´ ´ ’ ` e a ¯ˆ e. u e´ a ¯. .o.c su. chı bao cua quı thˆy cˆ va nh˜.ng gop ´ cua ban ´ ´ ` o` u ’a ’’ ’ ´y’ Tac gia rˆ t mong nhˆn d . . ´ a ¯u a . . ¯. ` a a ` d oc vˆ luˆn v˘n nay. e. Quy Nho.n, thang 02 n˘m 2008 ´ a ’ Tac gia ´
5 Chu.o.ng 1 Phu.o.ng ph´p su. dung t´ ´ ˙’ a ınh chˆt a . a` h`m lˆi (l˜m) oo Th´. tu. s˘p d .o.c cua da y bˆ t dang th´.c ´ ˜ ’ ´ ’ 1.1 u . a ¯u . a ¯˘ u sinh bo.i ham lˆi (lo m) o˜ `` ’ Tru.´.c hˆ t, v´.i hai sˆ thu.c a ≥ b, ta su. dung kı hiˆu I (a; b) d e ngˆm d .nh mˆt ’a ´ ´. ¯ˆ ` ¯i ’. oe o o ´e o . . .p (a; b), [a; b), (a; b] va [a; b]. ´. trong bˆ n tˆp ho oa ` . Trong [1], hai kˆ t qua sau d ˆy d˜ d u.o.c ch´.ng minh: ´ ’ e ¯a ¯a ¯ . u Dinh ly 1.1.1. Gia su. cho tru.´.c ham sˆ y = f (x) co f (x) ≥ 0 (ham lˆi) trˆn -. ´ `` ’’ ´ o` o ´ o e . x , x ∈ I (a; b) v´.i x < x . Khi d´ , v´.i moi da y sˆ t˘ng dˆn {u } . ˜ oa ´ ` `’’ I (a; b) va gia su 1 2 o1 ¯o o a 2 k x1 + x2 trong x1 ; : 2 x1 + x2 x1 = u0 < u1 < u2 < ... < un < (1.1) 2 x1 + x2 `˜ o ’ ´ ` va da y sˆ giam dˆn {vk } trong a ; x2 : 2 x1 + x2 < vn < vn−1 < ... < v1 < v0 = x2 (1.2) 2 sao cho uj + vj = x1 + x2, ∀j = 0, 1, ..., n (1.3) ta d` u co ¯ˆ ´ e f (u0 ) + f (v0 ) ≥ f (u1 ) + f (v1 ) ≥ ... ≥ f (un ) + f (vn ). (1.4) ˜ `o˜ ’ Noi cach khac: Da y f (uj ) + f (vj ) , j = 0, 1, ..., n, la mˆt da y giam. ´´ ´ .
6 Dinh ly 1.1.2. Gia su. cho tru.´.c ham sˆ y = f (x) co f (x) 0 (ham lo m) trˆn -. `˜ ´ ’’ ´ o` o ´ e . x , x ∈ I (a; b) v´.i x < x . Khi d´ , v´.i moi da y sˆ t˘ng dˆn {u } . ˜ oa ´ ` `’’ I (a; b) va gia su 1 2 o1 ¯o o a 2 k x1 + x2 trong x1 ; : 2 x1 + x2 x1 = u0 < u1 < u2 < ... < un < 2 x1 + x2 `˜ o ’ ´ ` va da y sˆ giam dˆn {vk } trong a ; x2 : 2 x1 + x2 < vn < vn−1 < ... < v1 < v0 = x2 2 sao cho uj + vj = x1 + x2, ∀j = 0, 1, ..., n, ta d` u co ¯ˆ ´ e f (u0 ) + f (v0 ) f (u1 ) + f (v1 ) ... f (un ) + f (vn ). (1.5) ˜ `o˜a Noi cach khac: Da y f (uj ) + f (vj ) , j = 0, 1, ..., n, la mˆt da y t˘ng. ´´ ´ . Nhˆn xe r˘ ng, d e co d u.o.c nh˜.ng kˆ t qua t`. Dinh lı 1.1.1 ho˘c Dinh lı 1.1.2, ’ u -. a -. ’ ` ´ a ´t a ¯ˆ ´ ¯ . u e ´ ´ . . .´.c hˆ t la phai xˆy du.ng trˆn I (a; b) hai da y {u } va {v } thoa ˜ ¯` ´ ’a ’ d iˆu quan trong tru o e ` e e `k . . k ma n nh˜.ng d ` u kiˆn cua d .nh lı Sau d´ la viˆc tı nh˜.ng ham sˆ y = f (x) co ˜ ´ ’ ¯i u ¯iˆe e ´. ¯o ` e `m u ` o ´ . . ’ f (x) ≥ 0 ho˘c f (x) 0 trˆn I (a; b) d e ´ p dung. a e ¯ˆ a . . .´.i d ay la mˆt vai minh hoa cho hai d nh lı trˆn, v´.i nh˜.ng da y sˆ va ham ˜ o``´ Du o ¯ˆ ` o ` ¯i ´e o u . . . sˆ d o.n gian nhˆ t. Ban d . c co thˆ tı ra nh˜.ng kˆ t qua khac, phong phu ho.n. ’ ´ ´ ´ ’ ’´ o¯ a . ¯o ´ e `m u e ´ .i hai sˆ thu.c cho tru.´.c x < x , hı `nh anh cua cac d iˆ m uj va vj lˆn lu.o.t ’ ´. ` ’ ’ ´ ¯e V´o o o1 ` a . 2 x1 + x2 .ng ’ ”tiˆ n d` u” vˆ trung d iˆ m cua d . n [x1x2 ] la ´e ` ´ ’ ¯oa e ¯ˆ e ¯e ` trˆn truc sˆ giup ta xˆy du e .o´ a . 2 .o.c hai da y {u } va {v } thoa ma n nh˜.ng d ` u kiˆn cua Dinh lı 1.1.1 va Dinh lı ’ -. -. ˜ ’˜ du . ¯ `k u ¯iˆe e ´ ` ´ . k . sau: 1.1.2 nhu Vı du 1.1. ´. x2 − x1 x2 − x1 (n + 2)x1 + nx2 u0 = x1 , u1 = x1 + , . . . , u n = x1 + n = ; 2.(n + 1) 2(n + 1) 2(n + 1) x2 − x1 x2 − x1 nx1 + (n + 2)x2 v0 = x2, v1 = x2 − , . . . , vn = x 2 − n = . 2.(n + 1) 2(n + 1) 2(n + 1) Bˆy gi`., xe ham sˆ ´ a o ´t ` o f (x) = x2; x ∈ R. Ta co ´ f (x) = 2 > 0; ∀x ∈ R. -. Do d´ , theo Dinh lı 1.1.1, ta co ¯o ´ ´
7 Bˆ t d ˘ng th´.c 1.1. ’ ´ a ¯a u (2n + 1)x1 + x2 x1 + (2n + 1)x2 2 2nx1 + 2x2 2 2x1 + 2nx2 2 2 x2 + x2 ≥ + ≥ + ··· 1 2 2(n + 1) 2(n + 1) 2(n + 1) 2(n + 1) (n + 2)x1 + nx2 nx1 + (n + 2)x2 x1 + x2 2 2 2 ; ∀x1, x2 ∈ R. ≥ + ≥ 2(n + 1) 2(n + 1) 2 ´ ´ ´ Tiˆ p tuc, nˆ u xe ham sˆ e. e ´t ` o 1 f ( x) = ; x > 0. x Ta co ´ 2 f ( x) = > 0; ∀x > 0. x3 -. Do d´ , theo Dinh lı 1.1.1, ta co ¯o ´ ´ Bˆ t d ˘ng th´.c 1.2. ’ ´ a ¯a u 1 1 2(n + 1) 2(n + 1) 2(n + 1) 2(n + 1) + ≥ + ≥ + ≥ ··· x1 x2 (2n + 1)x1 + x2 x1 + (2n + 1)x2 2nx1 + 2x2 2x1 + 2nx2 2(n + 1) 2(n + 1) 4 ≥ + ≥ ; ∀x1, x2 > 0, n ≥ 1. (n + 2)x1 + nx2 nx1 + (n + 2)x2 x1 + x2 Bˆy gi`., xe ham sˆ ´ a o ´t ` o √ f ( x) = x; x > 0. Ta co ´ 1 √ > 0; ∀x > 0. f ( x) = − 4x x -. Do d´ , theo Dinh lı 1.1.1, ta co ¯o ´ ´ Bˆ t d ˘ng th´.c 1.3. ’ ´ a ¯a u √ √ (2n + 1)x1 + x2 x1 + (2n + 1)3x2 2nx1 + 2x2 2x1 + 2nx2 x1 + x2 + + 2(n + 1) 2(n + 1) 2(n + 1) 2(n + 1) (n + 2)x1 + nx2 nx1 + (n + 2)x2 x1 + x2 ··· + ≤ ; ∀x1, x2 > 0 n ≥ 1. 2(n + 1) 2(n + 1) 2 ´ ´ ´ Tiˆ p tuc, nˆ u xe ham sˆ e. e ´t ` o sinx f ( x) = ; x ∈ (0; π ). 1 + sinx Ta co ´ sinx + 1 + cos2 x f ( x) = − < 0; ∀x ∈ (0; π ). (1 + sinx)3 -. Do d´ , theo Dinh lı 1.1.1, ta co ¯o ´ ´
8 Bˆ t d ˘ng th´.c 1.4. ’ ´ a ¯a u (2n + 1)x1 + x2 x1 + (2n + 1)x2 sin sin sinx1 sinx2 2(n + 1) 2(n + 1) + ≤ + ··· (2n + 1)x1 + x2 x1 + (2n + 1)x2 1 + sinx1 1 + sinx2 1 + sin 1 + sin 2(n + 1) 2(n + 1) (n + 2)x1 + nx2 nx1 + (n + 2)x2 sin sin 2(n + 1) 2(n + 1) + (n + 2)x1 + nx2 nx1 + (n + 2)x2 1 + sin 1 + sin 2(n + 1) 2(n + 1) x1 + x2 sin 2 ≤2 x1 + x2 ; ∀x1, x2 ∈ (0; π ), n ≥ 1 1 + sin 2 Bˆy gi`., tro. lai v´.i Dinh lı 1.1.1 va Dinh lı 1.1.2. Co thˆ ch´.ng minh d u.o.c ’ . o -. ` -. ’ a o ´ ´ ´eu ¯. .i mˆt gia thiˆ t manh ho.n. ` ˜ ´ ´ ´ ’ ’ ’ r˘ ng kˆ t qua (1.4) va (1.5) vˆn d´ ng nˆ u thay (1.3) bo a e ` a ¯u e o e . . ´ ’ Ta co cac kˆ t qua sau d ˆy: ´´ e ¯a Dinh ly 1.1.3. Gia su. cho tru.´.c ham sˆ y = f (x) co f (x) ≥ 0 (ham lˆi) trˆn -. ´ `` ’’ ´ o` o ´ o e . x , x ∈ I (a; b) v´.i x < x . Khi d´ , v´.i moi da y sˆ t˘ng dˆn {u } . ˜ oa ´ ` `’’ I (a; b) va gia su 1 2 o1 ¯o o a 2 k x1 + x2 trong x1 ; : 2 x1 + x2 x1 = u0 < u1 < u2 < ... < un < 2 x1 + x2 `˜ o ’ ´ ` va da y sˆ giam dˆn {vk } trong a ; x2 : 2 x1 + x2 < vn < vn−1 < ... < v1 < v0 = x2 2 sao cho x1 + x2 = u0 + v0 ≥ u1 + v1 ≥ · · · ≥ un + vn , (1.6) ta d` u co ¯ˆ ´ e f (u0) + f (v0 ) ≥ f (u1 ) + f (v1 ) ≥ · · · ≥ f (un ) + f (vn ). ˜ `o˜ ’ Noi cach khac: Da y f (uj ) + f (vj ) , j = 0, 1, · · · , n, la mˆt da y giam. ´´ ´ . Ch´.ng minh. V´.i mˆi j ∈ {0, 1, · · · , n}, t`. cac gia thiˆ t, ta co ˜ ´ ’ u oo u´ e ´ uj +1 + vj +1 u0 + v0 x1 + x2 uj < uj +1 < = < vj +1 < vj . 2 2 2
9 Bˆy gi`., v´.i mˆi j ∈ {0, 1, ..., n}, d at ˜ a oo o ¯˘ .  u j +1 − uj = j +1 vj − vj +1 = δj +1 . ´ Thˆ thı e` 0< δj +1 ; ∀j ∈ {0, 1, ..., n}. j +1 Bˆy gi`., v´.i mˆi j ∈ {0, 1, ..., n}, theo Dinh lı Lagrange, ta co -. ˜ a oo o ´ ´ .i c f (uj +1 ) − f (uj ) = f (cj +1 )(uj +1 − uj ) = f (cj +1 ) j +1 , v´ j +1 ∈ (uj ; uj +1); o f (vj ) − f (vj +1 ) = f (dj +1 )(vj − vj +1 ) = f (dj +1 )δj +1 , v´.i dj +1 ∈ (vj +1 ; vj ). o .n n˜.a, vı c Ho u ` j +1 < dj +1 ; ∀j ∈ {0, 1, ..., n} va f (x) ≥ 0, nˆn ta co ` e ´ f (cj +1 ) f (dj +1 ); ∀j ∈ {0, 1, ..., n}. Do d´ , ta co ¯o ´ f (uj +1 ) − f (uj ) f (vj ) − f (vj +1 ); ∀j ∈ {0, 1, ..., n}, hay f (uj ) + f (vj ) ≥ f (uj +1 ) + f (vj +1 ); ∀j ∈ {0, 1, ..., n}. Ta co d ` u phai ch´.ng minh. ’ ´ ¯iˆ e u Tu.o.ng tu., ta co ´ . Dinh ly 1.1.4. Gia su. cho tru.´.c ham sˆ y = f (x) co f (x) 0 (ham lo m) trˆn -. `˜ ´ ’’ ´ o` o ´ e . x , x ∈ I (a; b) v´.i x < x . Khi d´ , v´.i moi da y sˆ t˘ng dˆn {u } . ˜ oa ´ ` `’’ I (a; b) va gia su 1 2 o1 ¯o o a 2 k x1 + x2 trong x1 ; : 2 x1 + x2 x1 = u0 < u1 < u2 < · · · < un < 2 x1 + x2 `˜ o ’ ´ ` va da y sˆ giam dˆn {vk } trong a ; x2 : 2 x1 + x2 < vn < vn−1 < · · · < v1 < v0 = x2 2 sao cho x1 + x2 = u0 + v0 ≥ u1 + v1 ≥ · · · ≥ un + vn , ta d` u co ¯ˆ ´ e f (u0) + f (v0 ) f (u1 ) + f (v1 ) ··· f (un ) + f (vn ). ˜ `o˜a Noi cach khac: Da y f (uj ) + f (vj ) , j = 0, 1, · · · , n, la mˆt da y t˘ng. ´´ ´ .
10 Bˆy gi`., v´.i hai sˆ thu.c cho tru.´.c x1 < x2 , hı anh cua cac d e m uj va vj lˆn ’ ´. ` `nh ’ ’ ´ ¯iˆ a oo o o ` a .o.t ”tiˆ n chˆm dˆn d` u” vˆ trung d e m cua d n [x x ] la x1 + x2 trˆn truc sˆ ’ ´ ` ¯ˆ ` ´ ’ ¯oa lu . e a a e e ¯iˆ 12 ` e .o . . 2 giup ta xˆy du.ng d u.o.c hai da y {uk } va {vk } thoa ma n nh˜.ng d ` u kiˆn cua Dinh e ’ -. ˜ ’˜ ´ a ¯. ` u ¯iˆ e . . . sau: - inh lı 1.1.4 nhu lı 1.1.3 va D. ´ ` ´ Vı du 1.2. ´. x2 − x1 u0 = x1, u1 = x1 + , ..., 22 (2n+1 − 2n + 1)x1 + (2n − 1)x2 x2 − x1 x2 − x1 un = x1 + + · · · + n+1 = ; 22 2n+1 2 x2 − x1 v0 = x2 , v1 = x2 − ,··· , 22 (2n − 1)x1 + (2n+1 − 2n + 1)x2 x2 − x1 x2 − x1 vn = x2 − − · · · − n+1 = . 22 2n+1 2 Ngoai ra, co thˆ phˆ i ho.p cac cach tao da y nhu. trˆn, ta thu d .o.c cac c˘p da y ’´ .˜ ¯u . ´ a ˜ ` ´eo.´´ e . .ng d ` u kiˆn cua Dinh lı 1.1.3 va Dinh lı 1.1.4, ch˘ng ’ -. ` -. ’˜ ’ {uk } va {vk } thoa ma n nh˜ ` u ¯iˆ e e ´ ´ a . han: . Vı du 1.3. ´. x2 − x1 x2 − x1 u0 = x1 , u1 = x1 + −2 ,··· , 2(n + 1) 2 (n + 1) x2 − x1 x2 − x1 x2 − x1 x2 − x1 un = x1 + n − +3 + · · · + n+1 2 (n + 1) 2(n + 1) 2 2 (n + 1) 2 (n + 1) (n + 1)2n+1 − (n − 1)2n − 1 x1 + (n − 1)2n + 1 x2 = ; (n + 1)2n+1 x2 − x1 x2 − x1 nx1 + (n + 2)x2 v0 = x2, v1 = x2 − , · · · , vn = x2 − n = . 2(n + 1) 2(n + 1) 2(n + 1) Cuˆ i cung, v´.i viˆc chon cac ham sˆ y = f (x) co f (x) ≥ 0 ho˘c f (x) ´ ´ o` o e .´` o ´ a 0 . . trˆn I (a; b), ta se thu d u.o.c kha nhiˆu vı du phong phu. ˜ `´. e ¯. ´ e ´ - ˆ i v´.i cac ham sˆ lˆi ho˘c lo m, ngoai cac d .nh lı nˆu trˆn, cac dang cua Bˆ t a˜ ´ o` ´o ´ ’ Do o ´ ` ` ´ ¯i ´e e´. a . .c Karamata con cho ta nh˜.ng phu.o.ng phap lam ch˘t bˆ t d ˘ng th´.c rˆ t ’ .´’ ´ d ˘ng th´ ¯a u ` u ´` a a ¯a ua hiˆu qua. Sau d ay la cac kˆ t qua cˆ d iˆ n, d˜ d u.o.c trı ’’ ´ ’ ’ o ¯ e ¯a ¯ . e ¯ˆ ` ´ e `nh bay trong [1], ma ta co ` ` ´ . ’ .´ e o’ o thˆ mˆ ta thˆng qua mˆt sˆ vı du. o o´ .
11 Bˆ t dang th´.c Karamata ’ ´ 1.2 a ¯˘ u Dinh ly 1.2.1. (Bˆ t d a ng th´.c Karamata) -. ´’ ´ a ¯˘ u ´ ´ Cho ham sˆ y = f (x) co d ao ham cˆ p hai tai moi x ∈ (a; b) sao cho f (x) > 0 ` o ´ ¯. ` a . . .i moi x ∈ (a; b). v´ o . Gia su. a1, a2, · · · , an va x1 , x2, · · · , xn la cac sˆ thuˆc [a;b], thoa ma n d iˆu kiˆn ’ ˜ ¯` ´ ’’ ` `´ o o e e . . x 1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn , a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an va `  x1 ≥ a1     x + x ≥ a + a 1  2 1 2  ...    x1 + x2 + ... + xn−1 ≥ a1 + a2 + ... + an−1      x1 + x2 + ... + xn = a1 + a2 + ... + an Khi d´ , ta luˆn co ¯o o´ n n f ( xk ) ≥ f (ak ). k =1 k =1 Nhˆn xe r˘ ng, cac gia thiˆ t cua hai da y {xk } va {ak } la kha nhiˆu. V´.i nh˜.ng a ´t ` ˜ ´ ` ’ e’ a ´ ` `´ e o u . .c co. ban vˆ d ai sˆ tuyˆ n tı .ng minh kˆ t qua sau d ˆy ’ ´ ’ ` ¯. o ´ ´ ´ ’ kiˆ n th´ e u e e ´nh, ta co thˆ ch´ ´eu e ¯a -. Dinh ly 1.2.2. (I.Schur) ´ Diˆu kiˆn cˆn va d u dˆ hai bˆ da y sˆ d o.n d iˆu giam {xk , ak ; k = 1, 2, · · · , n}, -` ’ o ˜ o¯ e ` ` ¯ ’ ¯e ´ ’ e .a ¯e . . ’ ˜ ´ ¯` thoa ma n cac d iˆu kiˆn e e .  x1 ≥ a1     x + x ≥ a + a 1  2 1 2  ...    x1 + x2 + · · · + xn−1 ≥ a1 + a2 + · · · + an−1      x1 + x2 + · · · + xn = a1 + a2 + · · · + an la gi˜.a chung co mˆt phe biˆ n d o i tuyˆ n tı dang ’ ´ ´ `u ´ ´o ´p e ¯ˆ e ´nh . . n ai = tij xj ; i = 1, 2, · · · , n, j =1
12 trong d´ ¯o n n tkl ≥ 0, tkj = 1, tjl = 1; k, l = 1, 2, · · · , n. j =1 j =1 ’ ´ e o’ Co thˆ mˆ ta ma trˆn (tij ) qua mˆt vı du sau d ˆy: a o´. ¯a . . ’ ´t ˜ o o a ` ´ ´ Vı du 1.4. ´. Xe da y sˆ khˆng ˆm bˆ t ky α1 , α2 , · · · , αn co tˆ ng b˘ ng α > 0. a` ´o a V´.i mˆi i = 1, 2, · · · , n, ta d ˘t ˜ o o ¯a. αi = ai α Thˆ thı ma trˆn (aij ); i, j = 1, 2, · · · , n, co thˆ xac d. nh nhu. sau ’ ´ e` a ´ e ´ ¯i . ´ aij = ai+j −1 ; nˆ u i + j n + 1 e ´ aij = ai+j −n−1 ; nˆ u i + j > n + 1. e Gia su. la 3 sˆ du.o.ng co tˆ ng b˘ ng 1. Chon k thoa ma n ’ ` ’˜ ´ ’’ Vı du 1.5. ´. 1, 2, ` o ´o a . 3 1 1 1 0 k min{ ; ; }. 1 (1 − 1) 2 (1 − 2) 3 (1 − 3) Thˆ thı ma trˆn (aij ); i, j = 1, 2, · · · , n, co thˆ xac d. nh nhu. sau ’ ´ e` a ´ e ´ ¯i . aij = k 2 − k i + 1 ; nˆ u i = j ´ e i ´ aij = k i j ; nˆ u i = j. e Tu.o.ng tu. Dinh lı 1.2.5, ta co . -. ´ ´ -. ´ ´ Dinh ly 1.2.3. ´ Cho ham sˆ y = f (x) co d ao ham cˆ p hai tai moi x ∈ (a; b) ` o ´ ¯. ` a . . .i moi x ∈ (a; b). sao cho f (x) < 0 v´ o . ’ su. a1, a2, · · · , an va x1 , x2, · · · , xn la cac sˆ thuˆc [a;b], thoa ma n d iˆu kiˆn ’ ˜ ¯` ´ ’ Gia ` `´ o o e e . . x1 x2 ··· xn , a1 a2 ··· an va `  x1 a1     x + x 1 a1 + a2  2  ...    x1 + x2 + · · · + xn−1 a1 + a2 + · · · + an−1      x1 + x2 + · · · + xn = a1 + a2 + · · · + an Khi d´ , ta luˆn co ¯o o´ n n f ( xk ) f (ak ). k =1 k =1
13 ´ ´ ’ Tuy nhiˆn, khi gia thiˆ t cuˆ i cung e e o` x1 + x2 + · · · + xn = a1 + a2 + · · · + an trong Dinh lı 1.2.1 va Dinh lı 1.2.2 bi pha v˜., cˆn phai co nh˜.ng kˆ t qua manh ho.n -. ´ `-. ´ . ´o` ´ ’´ u ’. a e ’ ´ ´ ’ dˆ thay thˆ . Ta co hai kˆ t qua sau d ˆy ¯e e ´ e ¯a -. ´ ´ Dinh ly 1.2.4. ´ Cho ham sˆ y = f (x) co d ao ham cˆ p hai tai moi x ∈ (a; b) ` o ´ ¯. ` a . . .i moi x ∈ [a; b] va f (x) > 0 v´.i moi x ∈ (a; b). sao cho f (x) ≥ 0 v´ o ` o . . . a , a , · · · , a va x , x , · · · , x la cac sˆ thuˆc [a;b], d` ng th`.i thoa ma n ’˜ ´ ’’ Gia su 1 2 `12 `´ o o ¯ˆ o o . n n ´ ¯` cac d iˆu kiˆn e e . a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an , x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn va `  x1 ≥ a1     x + x ≥ a + a 1 2 1 2 ...      x1 + x2 + · · · + xn ≥ a1 + a2 + · · · + an Khi d´ , ta luˆn co ¯o o´ n n f ( xk ) ≥ f (ak ). k =1 k =1 -. ´ ´ Dinh ly 1.2.5. ´ Cho ham sˆ y = f (x) co d ao ham cˆ p hai tai moi x ∈ (a; b) ` o ´ ¯. ` a . . .i moi x ∈ [a; b] va f (x) < 0 v´.i moi x ∈ (a; b). sao cho f (x) ≥ 0 v´ o ` o . . . a , a , · · · , a va x , x , · · · , x la cac sˆ thuˆc [a;b], d` ng th`.i thoa ma n ’˜ ´ ’’ Gia su 1 2 `12 `´ o o ¯ˆ o o . n n ´ ¯` cac d iˆu kiˆn e e . a1 a2 ··· an , x1 x2 ··· xn va `  x1 a1     x + x a1 + a2 1 2 ...      x1 + x2 + · · · + xn a1 + a2 + · · · + an Khi d´ , ta luˆn co ¯o o´ n n f ( xk ) f (ak ). k =1 k =1
14 Ta thˆ y r˘ ng, d o i v´.i cac dang cua bˆ t d ˘ng th´.c Karamata, viˆc tı ra cac a` ´’ ´a ´ ’ a ¯a ¯ˆ o ´ . u e `m ´ . a˜ ’ ˜ ¯iˆ c˘p da y {ak } va {xk } thoa ma n d ` u kiˆn cua d .nh lı la rˆ t quan trong. Sau d ay ´ ’ ¯i ` e e ´`a ¯ˆ . . . .ng cac da y nay. ´˜ ` o o´ .` e a .´ la mˆt sˆ vı du vˆ viˆc xˆy du e. ` . Gia su. cho tru.´.c da y sˆ giam o˜o’ ´ ’’ Vı du 1.6. ´. x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn . ¯o o ` . ˜ o o a ´ Khi d´ , luˆn tˆn tai da y sˆ khˆng ˆm α1 , α2 , · · · , αn−1 sao cho o x 1 − α 1 ≥ x 2 + α 1 − α 2 ≥ · · · ≥ x n −1 + α n −2 − α n −1 ≥ x n + α n −1 . Thˆt vˆy, ta chı cˆn chon da y α1 , α2, · · · , αn−1 nhu. sau .˜ ’` aa a .. x1 − x2 x2 − x3 x n −1 − x n 0 α1 , 0 α2 , · · · , 0 α n −1 . 2 2 2 Ch˘ng han, xe da y sˆ {xn }, v´.i xn = −n, n = 1, 2, · · · ’ ´t ˜ o ´ a o . Khi d´ , ta co x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn . ¯o ´ .i moi n ≥ 2, ta co Ngoai ra, v´ ` o ´ . x n −1 − x n 1 =. 2 2 .˜o ´ ´ Vˆy, nˆ u chon da y sˆ α1 , α2 , · · · , αn−1 , trong d´ a e ¯o . 1 αn = ;n ≥ 2 2n thı ta co ` ´ 1 0 < αn ; ∀n ≥ 2 2 va ` 1 α n −2 − α n −1 = ; ∀n ≥ 3. 2(n − 2)(n − 1) ´ Thˆ thı ta co e `, ´ x 1 − α 1 ≥ x 2 + α 1 − α 2 ≥ · · · ≥ x n −1 + α n −2 − α n −1 ≥ x n + α n −1 . Bˆy gi`., xe ham lˆi f (x) = x2 ; x ∈ R. Thˆ thı theo nhˆn xe trˆn, ta co kˆ t o ´t ` ` ´ ´ a o e `, a ´t e ´e . ’ qua sau d ˆy ¯a Bˆ t d ˘ng th´.c 1.5. ’ ´ a ¯a u 1 1 2 2 x2 + x2 + · · · + x2 ≥ x1 − + x2 + +··· 1 2 n 2 4 1 1 2 2 + x n −1 + + xn + 2(n − 2)(n − 1) 2(n − 1) v´.i moi sˆ thu.c x1 , x2, · · · , xn . ´ o .o.
15 Gia su. a1, a2, · · · , an la cac sˆ thu.c du.o.ng. ´ ’’ Vı du 1.7. ´. `´ o . ˜ .’ Ta xe bˆ b = b1, b2, · · · , bn la bˆ hoan vi cua da y lna1, lna2, · · · , lnan ´t o `o ´ . . . tu. giam dˆn. V´.i mˆi i ∈ {1, · · · , n}, co thˆ coi b = lna , v´.i ’ ˜ ´ ` ’ xˆ p theo th´ . e u a o o ´e o i ki ` ´ . ` ¯o ’ k1 , k2 , · · · , kn la hoan vi nao d´ cua (1, 2, · · · , n). ., ta lai xe bˆ c = c , c , · · · , c la bˆ hoan vi cua da y `o ´ .’ ˜ Bˆy gi` a o . ´t o . . 12 n a2 −1 a2 2 2 a1 a2 n ,ln n ln ,ln , · · · ,ln a2 a3 an a1 a2 xˆ p theo th´. tu. giam dˆn. V´.i mˆi i ∈ {1, · · · , n}, co thˆ coi ci = ln i , v´.i k ’ ˜ ´ ` ’ e u. a o o ´e o a ki +1 ` ´ . ` ¯o ’ k1 , k2 , · · · , kn la hoan vi nao d´ cua (1, 2, · · · , n). Dˆ dang kiˆ m tra d u.o.c r˘ ng c˘p da y {ck } va {bk } thoa ma n d iˆu kiˆn cua D. nh e ’ -i ’ ˜` ` a˜ ’ ˜ ¯` e e ¯. a ` e . . lı 1.2.1. ´ Bˆy gi`., xe ham lˆi f (x) =ln 1 + ex , x ∈ R. Thˆ thı theo Dinh lı 1.2.1, ta -. o ´t ` ` ´ a o e `, ´ co ´ Bˆ t d ˘ng th´.c 1.6. ’ ´ a ¯a u a2 a2 a2 1+ 1 2 ··· 1 + n 1 + a1 1 + a2 · · · 1 + an 1+ a2 a3 a1 v´.i moi sˆ thu.c du.o.ng a1 , a2, · · · , an. ´ o .o. ’ Hˆ qua 1.2.1. e . a2 a2 a2 1 2 ··· 1 + n 1 + a1 1 + a2 · · · 1 + an 1+ 1+ a2 a3 a1 a4 a3 a4a4 a4 a2 1 2 · · · 1 + n4 1+ 1+ ··· a4 a4 a1 2 3 v´.i moi sˆ thu.c du.o.ng a1 , a2, · · · , an. ´ o .o. Ta thˆ y r˘ ng, v´.i c˘p da y {ck } va {bk } trˆn, nˆ u chon ham sˆ phu ho.p, ta a` oa˜ ´a ´ ´ ` e e ` o `. . . √ se thu d u.o.c nhiˆu bˆ t d ang th´.c khac. Ch˘ng han, xe ham lˆi f (x) = 1 + ex, ˜ ´’ ’ ` ´t ` ` ¯. e a ¯˘ u ´ a o . x ∈ R, ta d u.o.c ¯. Bˆ t d ˘ng th´.c 1.7. ’ ´ a ¯a u a2 a2 a2 √ √ √ 1 2 n 1 + a1 + 1 + a2 + · · · + 1 + an 1+ + 1+ + ··· + 1+ , a2 a3 a1 v´.i moi sˆ thu.c du.o.ng a1 , a2, · · · , an. ´ o .o.
16 ’ Hˆ qua 1.2.2. e . a2 a2 a2 √ √ √ 1 2 n 1 + a1 + 1 + a2 + · · · + 1 + an 1+ + 1+ + ··· + 1+ a2 a3 a1 a4a3 a4a4 a4 a2 1 2 n 1+ + 1+ + ··· + 1+ ··· a4 a4 a4 2 3 1 v´.i moi sˆ thu.c du.o.ng a1 , a2, · · · , an. ´ o .o. Tru.´.c hˆ t, ta co nhˆn xe r˘ ng: Nˆ u hai da y sˆ {xk , yk ∈ ` ˜ ´ ´ ´ Vı du 1.8. ´. o e ´ a ´t a e o . ’ ˜ ´ ¯` I (a; b); k = 1, 2, · · · , n} thoa ma n cac d iˆu kiˆn e e . x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn , y1 ≥ y2 ≥ · · · ≥ yn va ` xi yi ≥ ; ∀i < j, xj yj ’ -i ´ ’ ˜ ¯` thı chung thoa ma n d iˆu kiˆn cua D. nh lı 1.2.1. `´ e e . Ch´.ng minh. .´ u Thˆt vˆy, xet hai bˆ sˆ (x1 , x2, · · · , xn ) va (y1, y2, · · · , yn ). aa´ oo ` .. .i i lˆn lu.o.t b˘ ng 1, 2, · · · , n, ta co .` V´ ` o a a ´ xi yi ≥. x1 y1 Cˆng cac bˆ t d ˘ng th´.c nay theo vˆ , ta co ´’ ´ o ´ a ¯a u` e ´ . x1 + x2 + · · · + xn y1 + y2 + · · · + yn ≥ . x1 y1 Suy ra x1 ≥ y1 . Bˆy gi`., tiˆ p tuc xet hai bˆ sˆ (x1 + x2, x3 , · · · , xn ) va (y1 + y2, y3 , · · · , yn ). ´ .´ a oe.´ oo ` Ch´.ng minh tu.o.ng tu., ta co u ´ . x1 + x2 ≥ y1 + y2. Tiˆ p tuc qua trı tu.o.ng tu., ta co ´ e. ´ `nh ´ . x1 + x2 + · · · + xn−1 ≥ y1 + y2 + · · · + yn−1
17 Nhu. vˆy, cung v´.i nh˜.ng gia thiˆ t ban d` u, nhˆn xet trˆn d˜ d u.o.c kh˘ng d inh. ’ ´ ’ a` o u e ¯ˆ a a´ e ¯a ¯ . a ¯. . . Bˆy gi`., xe a1, a2, ..., an la cac sˆ thu.c du.o.ng. V´.i mˆi i ∈ {1, ..., n}, ta d ˘t ˜ ´. a o ´t `´ o oo ¯a. ai yi = , a1 + a2 + · · · + an a2 i xi = 2 . 2 a1 + a2 + · · · + a2 n Khi d´ ¯o x1 + x2 + · · · + xn = y1 + y2 + · · · + yn = 1. Khˆng mˆ t tı tˆ ng quat, gia su. a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an . Khi d´ ’ ´ ’’ o a ´nh o ´ ¯o x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn , y1 ≥ y2 ≥ · · · ≥ yn . Ngoai ra, v´.i moi i ≥ j , ta co ` o ´ . a2 xi ai yi = i≥ =. 2 xj aj aj yj Nhu. vˆy, theo nhˆn xe trˆn, c˘p da y sˆ {xk } va {yk } thoa ma n d ` u kiˆn cua a˜o ’ ˜ ¯iˆ ´ e’ a a ´t e ` e . . . . .i ham sˆ lˆi - inh lı 1.2.1 va do d´ , v´ ` ´` D. ´ ` ¯o o oo x f ( x) = ; x > 0, 1−x ´ ’ ta co kˆ t qua sau ´e Bˆ t d ˘ng th´.c 1.8. ’ ´ a ¯a u a2 a2 a1 an 1 n +...+ +· · ·+ 2 , a2 + a2 + · · · + a2 a1 + a2 + · · · + a2 −1 a2 + a3 + · · · + an a1 + a2 + · · · + an−1 2 3 n 2 n v´.i moi sˆ thu.c du.o.ng a1 , a2, · · · , an. ´ o .o. ’ Hˆ qua 1.2.3. e . a2 a2 a1 an 1 n +· · ·+ +...+ 2 2 2 a1 + a2 + ... + a2 −1 2 2 a2 + a3 + · · · + an a1 + a2 + · · · + an−1 a2 + a3 + · · · + an n a4 a4 1 n + ··· + 4 ··· , a4 + a4 + · · · + a4 a1 + a4 + · · · + a4 −1 2 3 n 2 n .i moi sˆ thu.c du.o.ng a , a , · · · , a . ´ v´ o .o. 1 2 n
18 Lu.u ´ : Ngu.`.i ta d˜ ch´.ng minh d .o.c r˘ ng, cac kˆ t qua cua Dinh lı 1.2.1 ’ ’ -. ` ´ y o ¯a u ¯u . a ´e ´ `-. ˜ ` ¯ˆ a´ ´ ’ va Dinh lı 1.2.4 vˆn d´ ng ma khˆng cˆn d e n gia thiˆ t ´ a ¯u `o e x 1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn . Diˆu nay cu ng tu.o.ng tu. d ˆ i v´.i gia thiˆ t -`e`˜ ´ ´ ’ . ¯o o e x1 x2 ··· xn ´ -. `-. trong cac Dinh lı 1.2.3 va Dinh lı 1.2.5. ´ ´ Khi d´ , ta quy u.´.c goi cac d .nh lı tu.o.ng tu. lˆn lu.o.t la Dinh lı 1.2.1a, Dinh lı . `-. -. .` ¯o o . ´ ¯i ´ a ´ ´ -. `-. 1.2.3a, Dinh lı 1.2.4a va Dinh lı 1.2.5a. ´ ´ -. Ngoai ra, trong [1] cu ng d˜ trı ˜ . ´´ ’`´ ` ¯a `nh bay mˆt sˆ kˆ t qua vˆ cac dang Dinh lı ` ooe e ´ . Karamata mo. rˆng ma ban d . c co thˆ tham khao. ’ ’o ’ ` . ¯o ´ e . .n n˜.a, kha nhiˆu kˆ t qua vˆ d ˆ gˆn d` u va th´. tu. s˘p d .o.c cua mˆt da y ´ o˜ ` ´ ’ ` ¯o ` ¯ˆ ` u . a ¯u . ’ Ho u ´ ee e.a e . .o.c d` cˆp trong [1]. Dˆy chı la mˆt phu.o.ng phap kha -a cac tam giac cu ng d˜ d u . ¯ˆ a ´˜ ´ ¯a ¯ e. ´nh ` o ´ ´ . h˜.u hiˆu d e lam ch˘t cac bˆ t d ˘ng th´.c lu.o.ng giac cua tam giac. Vı du sau d ˆy ’ ´’ ’ u e ¯ˆ ` a ´ a ¯a u ´ ´ ´. ¯a . . . .n gian vˆ vˆ n d` nay. ˜ ’ ` a ¯ˆ ` e´ e se cho ta mˆt minh hoa d o o .¯ . Xe tam giac ABC . Khˆng mˆ t tı tˆ ng quat, co thˆ gia su. ’ ’ ´ ´ ´e’’ Vı du 1.9. ´. ´t ´ o a ´nh o A ≥ B ≥ C. -a D˘t A = 2A − B , B = 2B − C , C = 2C − A. . Ro rang A > 0 va B > 0. Do d´ , nˆ u thˆm gia thiˆ t C > 0 (t´.c la A < 2C ), ˜` ´ ´ ’ ` ¯o e e e u` .n n˜.a, ta co thı A , B , C c˜ ng la 3 goc cua mˆt tam giac. Ho ’ ` u ` ´ o ´ u ´ . A ≥A A +B ≥ A+B A +B +C =A+B+C o˜ o ’ ˜ ´ ¯` ´ ’ Do d´ , hai bˆ da y sˆ {A, B, C } va {A , B , C } thoa ma n cac d iˆu kiˆn cua ¯o ` e e . . -i ´ D. nh lı 1.2.1a. Bˆy gi`., nˆ u xe ham sˆ lˆi f (x) = sinx; x ∈ (0; π ), thı ta co kˆ t qua sau ´ o` ´o ´ ’ a o e ´t ` ` ´e Bˆ t d a ng th´.c 1.9. Gia su. tam giac ABC co goc l´.n nhˆ t nho ho.n hai lˆn ’ ´ ´ ` ’’ ’ a ¯˘ u ´ ´´ o a a ´ ´ ’a goc nho nhˆ t. Thˆ thı ta co ´ e `, ´ sin(2A − B ) + sin(2B − C ) + sin(2C − A) ≥ sinA + sinB + sinC. Phˆn nay se d u.o.c khep lai v´.i viˆc gi´.i thiˆu mˆt sˆ ham lˆi, lo m d e ban d . c ’ a ` ˜¯ . o o ` ` ˜ ¯ˆ . ¯o ` .´ ´.oe o e o . . ’ co thˆ ´ p dung. ´ ea .
19 Gi´.i thiˆu mˆt sˆ h`m lˆi v` h`m l˜m ooa`aa ´ 1.3 o e o o . . oo` ` ´ 1.3.1 Mˆt sˆ ham lˆi o . f (x) = xα ; x > 0, α < 0. f (x) = (S − x)α ; S > 0, x ∈ (0; S ), α < 0. 1α f ( x) = x + ; x > 0, α > 1. x x2 f ( x) = ; S > 0, x ≥ 0. x+S 1 f (x) = 2 ; x > 0. x x f ( x) = ; S > 0, x ∈ (0; S ). S−x f (x) = eαx ; x ∈ R, α > 0. 1 f ( x) = ; x ≥ 0, α ≥ 1. 1 + eαx 12 f (x) = ex + x ; x ∈ R. e 1 f (x) =ln 1 + ; x > 0. x f (x) =ln 1 + eαx ; x ∈ R, α > 0. 1 f (x) =ln ex + x ; x ∈ R. e f (x) =sink x ; x ∈ (0; π ), k < 0. 1 f (x) =ln 1 + ; x ∈ (0; π ). sin2 x π f (x) =cosk x ; x ∈ 0; , k < 0. 2 π f (x) =tank x ; x ∈ 0; , k ≥ 1. 2 f (x) =arcsinx ; x ∈ (0; 1). f (x) =arctan(ex ) ; x < 0. x f (x) =arctan ; S > 0, x ∈ (0; S ). S−x ˜ ´ 1.3.2 Mˆt sˆ ham lo m oo` . f (x) = xα ; x > 0, 0 < α < 1. f (x) = (S − x)α ; S > 0, x ∈ (0; S ), 0 < α < 1. f (x) =lnx1/n ; x > 1, n = 1, 2, ... f (x) =ln eαx − 1 ; x > 0, α > 0. f (x) =lnx ; x > 0. f (x) =sink x ; x ∈ (0; π ), k ∈ (0; 1]. f (x) =ln(sinx) ; x ∈ (0; π ).