BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Vũ Quốc Toàn
ĐÁNH GIÁ KHUYẾT TẬT BẰNG KỸ THUẬT
CHỤP ẢNH CẮT LỚP
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT
Thành phố Hồ Chí Minh - 2019
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Vũ Quốc Toàn
ĐÁNH GIÁ KHUYẾT TẬT BẰNG KỸ THUẬT
CHỤP ẢNH CẮT LỚP
Chuyên ngành: Vật lí nguyên tử
Mã số: 60440106
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. TRẦN THIỆN THANH
Thành phố Hồ Chí Minh - 2019
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này được viết và trình bày bởi chính tôi. Những tài
liệu tham khảo được tôi trích dẫn đầy đủ. Các kết quả nghiên cứu của luận văn được
chính tôi thực hiện.
Người thực hiện
Nguyễn Vũ Quốc Toàn
LỜI CẢM ƠN
Lời cảm ơn đầu tiên, tôi xin được dành tặng cho ba mẹ tôi vì họ đã là những
người không ngại khó khăn, nuôi sống và cho tôi có đủ điều kiện để hoàn thành con
đường học vấn của mình. Con xin chân thành cảm ơn ba mẹ và con thiết nghĩ,
không có những từ ngữ nào có thể cảm ơn hết được công lao của ba mẹ đã giành
cho con. Con chỉ biết để ba mẹ xuất hiện trong cuốn luận văn này như một lời tri ân
đến ba mẹ vì đã giúp con hoàn thành được việc học của con.
Lời cảm ơn thứ hai, tôi xin được dành tặng cho PGS.TS. Trần Thiện Thanh, là
người thầy đã không ngại số lượng học viên mà nhận tôi làm ''đệ'' của thầy vào
những giờ phút chót. Có những lúc, vì những thiếu sót mắc phải của việc lần đầu
làm luận văn mà thầy đã suýt chút nữa không nhận tôi, nhưng thầy đã tha thứ cho
tôi, và tôi coi đó là một điều cực kì lớn lao. Tôi cực kì quý trọng điều đó ở thầy. Em
xin tri ân thầy một cách sâu sắc nhất.
Lời cảm ơn thứ ba, tôi xin được gửi đến TS. Trần Nhân Giang, người thầy trực
tiếp đồng hành cùng tôi trên chặng đường làm luận văn. Có những lúc, tôi đã tưởng
chừng công việc này sẽ không thể hoàn thành, nhưng bằng một cách nào đó, thầy đã
vực dậy tôi, trao cho tôi nghị lực vươn lên và không bỏ cuộc. Tôi cực kì tâm tắc câu
nói động viên của thầy: "Dù thế nào cũng nhất quyết không được gia hạn'', chính
câu nói ấy đã cho tôi niềm tin vững mạnh, rằng luận văn tôi sẽ hoàn thành đúng thời
hạn.
Sau cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến Phòng sau Đại học, Trường Đại học
Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh vì đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi được
hoàn tất các thủ tục cần thiết cho việc làm luận văn.
Cầu chúc sức khỏe, hạnh phúc và thành đạt đến tất cả mọi người.
Xin trân trọng cám ơn!
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 27 tháng 09 năm 2019
Nguyễn Vũ Quốc Toàn
MỤC LỤC
Trang
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục chữ viết tắt
Danh mục các bảng
Danh mục hình ảnh
LỜI MỞ ĐẦU ................................................................................................... 1
Chương 1. TỔNG QUAN ................................................................................ 3
1.1. Tổng quan về lịch sử hình thành và phát triển của kỹ thuật chụp ảnh
cắt lớp điện toán (Computed Tomography - CT) ................................... 3
1.1.1. Lịch sử hình thành ............................................................................. 3
1.1.2. Các thế hệ máy ghi hình cắt lớp điện toán ........................................ 4
1.2. Phép biến đổi Radon ................................................................................ 7
1.2.1. Khái niệm .......................................................................................... 7
1.2.2. Tính chất ........................................................................................... 9
1.2.3. Phép biến đổi Radon ngược ............................................................ 10
1.3. Nguyên lý chụp ảnh cắt lớp điện toán ................................................... 11
1.4. Tổng kết chương 1 ................................................................................. 13
Chương 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP DỰNG ẢNH TRONG KỸ THUẬT
CHỤP ẢNH CẮT LỚP ĐIỆN TOÁN ...................................... 14
2.1. Phương pháp phân tích .......................................................................... 14
2.1.1. Phương pháp biến đổi Fourier ........................................................ 15
2.1.2. Phương pháp chiếu ngược có lọc (Filtered Backprojection -
FBP)................................................................................................ 17
2.2. Phương pháp lặp .................................................................................... 19
2.3. Cơ sở lý thuyết của một số bộ lọc ......................................................... 24
2.3.1. Bộ lọc Ram-Lak .............................................................................. 24
2.3.2. Bộ lọc Shepp-Logan ....................................................................... 25
2.3.3. Bộ lọc Cosin .................................................................................... 25
2.3.4. Bộ lọc Hann và Hamming ............................................................... 25
2.4. Tổng kết chương 2 ................................................................................. 25
Chương 3. KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN .................................................... 26
3.1. Số liệu thực nghiệm. .............................................................................. 26
3.2. Kết quả phục hồi ảnh bằng phương pháp Fourier ................................. 30
3.3. Kết quả phục hồi ảnh bằng phương pháp FBP ...................................... 32
3.4. Kết quả phục hồi ảnh bằng phương pháp EM ....................................... 35
3.5. Kết luận ................................................................................................. 37
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ....................................................................... 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 40
DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT
Chữ viết Tiếng Anh Tiếng Việt tắt
NDT Non-Destructive Testing Kiểm tra không phá hủy
CT Computed Tomography Chụp ảnh cắt lớp điện toán
FBP Filtered Backprojection Chiếu ngược có lọc
Algebraic Reconstruction Kỹ thuật tái tạo đại số ART Technique
Simulataneous Algebraic Kỹ thuật tái tạo đại số đồng SART Reconstruction Technique thời
EM Expectation Maximization Cực đại hóa kỳ vọng
Vietnam National University Đại học Quốc Gia Thành Phố VNUHCM Ho Chi Minh City Hồ Chí Minh
DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1.Tính chất phép biến đổi Radon ................................................................... 10
Bảng 3.1.Tham số của hệ chụp CT ............................................................................. 26
DANH MỤC HÌNH ẢNH
Hình 1.1. Ảnh chụp đầu người từ máy CT năm 1975 ............................................... 3
Hình 1.2. Nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ nhất ...................................... 4
Hình 1.3. Nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ hai ........................................ 5
Hình 1.4. Nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ ba .......................................... 6
Hình 1.5. Nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ tư .......................................... 7
Hình 1.6. Phép chiếu ................................................................................................. 9
Hình 1.7. Nguyên lý ghi hình cắt lớp điện toán thể hiện thông qua bốn thế hệ
máy chụp ................................................................................................. 11
Hình 3.1. Giao diện người dùng của chương trình điều khiển hệ quét gamma CT . 28
Hình 3.2. Cấu trúc sinogram của ba bộ số liệu ....................................................... 29
Hình 3.3. Ảnh của phantom 1 được phục hồi bằng phương pháp Fourier khi
không có bộ lọc và có bộ lọc .................................................................. 30
Hình 3.4. Ảnh phantom 2 được phục hồi bằng phương pháp Fourier khi không
có bộ lọc và có bộ lọc ............................................................................. 31
Hình 3.5. Ảnh phantom 3 được phục hồi bằng phương pháp Fourier khi không
có bộ lọc và có bộ lọc ............................................................................. 32
Hình 3.6. Ảnh phantom 1 được phục hồi bằng phương pháp FPB khi không có
bộ lọc và có bộ lọc .................................................................................. 33
Hình 3.7. Ảnh thu được của phantom 2 khi sử dụng phương pháp FBP khi
không có bộ lọc và có bộ lọc .................................................................. 34
Hình 3.8. Ảnh phantom 3 được phục hồi bằng phương pháp FBP khi không có
bộ lọc và có bộ lọc .................................................................................. 35
Hình 3.9. Ảnh phantom 1 được phục hồi bằng phương pháp EM khi không có
bộ lọc và có bộ lọc .................................................................................. 36
Hình 3.10. Ảnh phantom 2 được phục hồi bằng phương pháp EM khi không có
bộ lọc và có bộ lọc .................................................................................. 37
1
LỜI MỞ ĐẦU
Kiểm tra không phá hủy (Non-Destructive Testing – NDT) [1] đóng vai trò
quan trọng trong nghiên cứu và ứng dụng. Phương pháp này giúp xác định được các
khuyết tật bên trong các cấu trúc vật liệu, nhờ đó có thể biết được sản phẩm sản
xuất ra có đạt chất lượng hay không? Có đáp ứng được nhu cầu hay không? Có
nhiều kỹ thuật được sử dụng trong phương pháp NDT, trong đó kỹ thuật chụp ảnh
cắt lớp điện toán (Computed Tomography – CT) là một trong những phương pháp
phổ biến, được sử dụng nhiều trong NDT. Trong phương pháp này, dữ liệu chiếu
ghi nhận được bằng detector sẽ được sử dụng để phục hồi lại ảnh của mẫu vật mà
không cần phá hủy mẫu.
Kỹ thuật chụp ảnh cắt lớp điện toán ngày nay đang trở nên phổ biến, không
những trong y học, mà còn cả trong công nghiệp bởi những ưu điểm mà phương
pháp này mang lại. Dựa vào khả năng đâm xuyên của các tia bức xạ, ta có thể tái
tạo lại hình ảnh của sản phẩm mà không cần trực tiếp tiếp xúc, hơn nữa việc làm
này còn giúp nâng cao năng suất công việc.
Kỹ thuật chụp ảnh cắt lớp điện toán đã có một khoảng thời gian xây dựng và
phát triển rất dài. Từ những phương pháp thô sơ cho đến hiện đại và hiện nay vẫn
đang được tiếp tục phát triển. Nhiều công trình nghiên cứu đã ra đời, các công trình
nghiên cứu khoa học này tập trung vào việc phát triển các phương pháp chiếu bức
xạ từ một nguồn bức xạ đến vật thể sao cho phù hợp nhất. Bên cạnh đó, thuật toán
phục hồi ảnh cũng được cải thiện và phát triển song song.
Có nhiều thuật toán được sử dụng trong phương pháp phục hồi ảnh. Tuy
nhiên, có ba thuật toán đang được sử dụng phổ biến bao gồm thuật toán Fourier [2]
thuật toán chiếu ngược có lọc [2] và thuật toán cực đại hóa kỳ vọng [2]. Mỗi thuật
toán có những ưu và nhược điểm khác nhau, việc chọn lựa thuật toán thích hợp tùy
thuộc vào mục đích và điều kiện thực nghiệm.
Bên cạnh các thuật toán, quá trình phục hồi ảnh cũng cần phải được kết hợp
với các bộ lọc xử lý ảnh khác nhau để nhằm làm tăng chất lượng ảnh. Việc kết hợp
2
giữa các thuật toán và các bộ lọc cũng cần phải được thay đổi thích hợp nhằm đạt
được ảnh với chất lượng như mong muốn.
Trong luận văn này, tác giả sẽ lần lượt áp dụng các thuật toán khác nhau để
phục hồi ảnh từ các số liệu thực nghiệm khác nhau. Quá trình này được thực hiện
trước và sau khi sử dụng bộ lọc nhằm mục đích đánh giá và so sánh tính hiệu quả
của mỗi thuật toán đối với các bộ số liệu khác nhau. Thông qua kết quả đạt được,
luận văn sẽ đề xuất phương pháp hợp lý để áp dụng vào việc phục hồi ảnh từ số liệu
thực nghiệm. Cụ thể, tác giả sẽ so sánh các thuật toán đối với các số liệu khác nhau,
nêu ra những ưu điểm cũng như những hạn chế của mỗi loại, để từ đó chọn ra một
phương pháp hiệu quả. Điều này giúp cho việc ứng dụng trở nên dễ dàng hơn.
Với mục đích trên, luận văn sẽ bao gồm các chương chính sau,
Chương 1 giới thiệu một cách tổng quan về lịch sử hình thành và phát triển
của phương pháp chụp ảnh cắt lớp điện toán. Bên cạnh đó tác giả cũng trình bày cơ
sở toán học được áp dụng trong phương pháp này.
Chương 2 trình bày cơ sở lý thuyết về các thuật toán được áp dụng trong quá
trình phục hồi ảnh của phương pháp chụp ảnh cắt lớp điện toán.
Chương 3 trình bày các kết quả thu được khi áp dụng các thuật toán dựng ảnh
đối với các bộ số liệu thực nghiệm, đánh giá các kết quả, rút ra ưu điểm và nhược
điểm của từng phương pháp, từ đó đề xuất phương pháp hiệu quả.
Cuối cùng là phần kết luận và kiến nghị, trong phần này, tác giả khái quát lại
các kết quả đã đạt được trong luận văn từ đó đề xuất những hướng nghiên cứu có
thể thực hiện tiếp theo trong tương lai.
3
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN
Trong chương này, luận văn sẽ trình bày tổng quan về quá trình phát triển của
kỹ thuật chụp ảnh cắt lớp và nền tảng toán học của các thuật toán phục hồi ảnh được
sử dụng trong kỹ thuật này.
1.1. Tổng quan về lịch sử hình thành và phát triển của kỹ thuật chụp ảnh cắt
lớp điện toán (Computed Tomography - CT)
1.1.1. Lịch sử hình thành
Computed Tomography (CT) được phát minh vào năm 1972 [3] bởi kỹ sư
người Anh, Godfrey Hounsfield, thuộc phòng thí nghiệm EMI Vương Quốc Anh và
nhà Vật lý người Nam Phi, Allan Cormack, thuộc trường đại học Massachusetts.
Trong suốt 25 năm phát triển, kỹ thuật CT đã được cải tiến, phát triển rất nhanh và
có nhiều đóng góp quan trọng trong các lĩnh vực nghiên cứu và ứng dụng như y
học, công nghiệp,…
Hình 1.1. Ảnh chụp đầu người từ máy CT năm 1975 [4]
Thế hệ máy CT đầu tiên trên thế giới ra đời vào khoảng giữa những năm
1974 và 1976 [4]. Hệ thống máy CT đầu tiên này chỉ chụp các bức ảnh về phần đầu
của người được thể hiện thông qua hình 1.1, đến khoảng năm 1976 các bức ảnh toàn
bộ cơ thể người mới được ghi nhận. Đến những năm 1980, CT mới trở nên phổ biến
rộng rãi. Hiện nay có khoảng 6000 máy CT có mặt trên nước Mỹ và hơn 30000 máy
trên toàn thế giới [4].
4
Thế hệ máy CT đầu tiên được phát triển bởi Hounsfield tại phòng thí nghiệm
EMI. Hệ thống này mất khoảng vài giờ để thu được dữ liệu thô cho một lần quét và
với một lát cắt thì mất đến nhiều ngày mới có thể phục hồi lại ảnh từ nguồn dữ liệu
này. Sau này, những hệ thống CT đa lát cắt có thể cho ra tới bốn lát cắt trong
khoảng 350 ms [4] và tái tạo lại hình ảnh với kích thước 512 x 512 từ hàng triệu
điểm dữ liệu trong chưa đầy một giây [4], từ đó các bức ảnh được tạo thành cho
chất lượng tốt hơn và thời gian để tiến hành phương pháp này cũng giảm đi đáng
kể.
1.1.2. Các thế hệ máy ghi hình cắt lớp điện toán
Từ khi xuất hiện lần đầu cho đến nay, các máy CT đã không ngừng được cải
tiến cả về phần cứng lẫn phần mềm. Mục đích của việc cải tiến này là nhằm nâng
cao chất lượng hình ảnh đồng thời giảm thời gian chiếu chụp. Trải qua hơn 40 năm
hình thành và phát triển, thời gian chiếu chụp đã được rút ngắn còn khoảng 0,001
giây [5]. Sự phát triển này có được nhờ sự cải tiến kỹ thuật chiếu chụp qua các thế
hệ máy CT được trình bày sau đây.
Thế hệ đầu tiên của máy CT sử dụng một chùm tia hẹp và có duy nhất một
detector để ghi hình.
Hình 1.2. Nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ nhất
5
Hình 1.2 mô tả nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ nhất. Hệ nguồn phát
bức xạ và đầu dò được di chuyển để quét hết bề rộng của đối tượng, sau đó hệ được
quay đi một góc và quá trình quét này được lặp lại. Với cách quét này, thế hệ máy
CT thứ nhất mất hơn 200 giây để chụp một lát cắt [5].
Để giảm thời gian chiếu chụp, thay vì sử dụng một chùm tia và một đầu dò, ở
thế hệ máy CT thứ hai, người ta sử dụng nhiều chùm tia kết hợp với nhiều đầu dò
để chiếu chụp đồng thời. Hình 1.3 thể hiện nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT
thứ hai. Hệ nguồn và đầu dò được di chuyển quét theo bề ngang của đối tượng. Sau
đó hệ được quay đi một góc và quá trình quét được lặp lại tương tự như máy CT thế
hệ thứ nhất.
Hình 1.3. Nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ hai
Với việc sử dụng nhiều chùm tia và nhiều đầu dò, số lượng góc cần chiếu chụp
giảm đi, đồng nghĩa với thời gian chiếu chụp sẽ giảm rất đáng kể. Tuy nhiên, nếu ta
cần chụp nhiều lát cắt thì thời gian chụp tổng cộng vẫn còn rất lớn. Một hạn chế nữa
của máy CT thế hệ thứ hai đó là máy này vẫn sử dụng cơ chế quét ngang - xoay của
thế hệ trước đó.
6
Hình 1.4. Nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ ba
Hình 1.4 cho biết cấu tạo cũng như nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ
ba. Phần đầu dò ở đây được thay thế bằng một dãy các đầu dò đặt trên một cung
tròn có tâm là nguồn điểm phát bức xạ. Nguồn sẽ phát một chùm tia hình quạt sao
cho độ mờ của chùm tia bao trùm đối tượng cần quét.
Với cơ chế mới này, hệ nguồn - đầu dò được quay quanh đối tượng mà không
cần chuyển động quét ngang. Điều này giúp giảm thời gian chiếu chụp xuống còn
dưới 0,5 giây cho mỗi lát cắt [5]. Hơn nữa, các máy CT thế hệ thứ ba còn cho phép
ghi hình trong chế độ CT xoắn ốc (helical CT). Chế độ này cho phép chụp đa lát cắt
trong khi đối tượng ghi hình được di chuyển đều theo trục dọc và hệ nguồn - đầu dò
vẫn quay xung quanh đối tượng với tốc độ không thay đổi. Điều này giúp giảm thời
gian chiếu chụp đi rất nhiều lần. Chính vì những ưu điểm này mà hiện nay, hầu hết
các máy CT đều là các máy thế hệ thứ ba.
Mặc dù đã giảm đáng kể thời gian chiếu chụp, các máy CT thế hệ thứ ba vẫn
còn hạn chế về xảo ảnh do mật độ lấy mẫu thấp. Để tăng mật độ lấy mẫu, ta cần
giảm tiết diện của các đầu dò. Tuy nhiên, luôn có một giới hạn mà ở đó tiết diện của
đầu dò không thể giảm thêm được nữa. Chính vì lẽ đó mà thế hệ máy CT thứ tư đã
được phát triển và ra đời nhằm cải tiến máy CT thế hệ thứ ba.
7
Hình 1.5. Nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ tư
Hình 1.5 cho biết nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ tư. Máy CT thế
hệ thứ tư thực chất chỉ là một cải tiến nhỏ so với thế hệ thứ ba. Thay vì dãy đầu dò
trên một cung tròn di chuyển, người ta thiết kế một vòng các đầu dò cố định thay
cho dãy đầu dò quay. Mỗi đầu dò trong thế hệ máy thứ tư có thể nhìn đối tượng
dưới một góc hình quạt, trong đó các đường tia phân bố liên tục, tức là mật độ lấy
mẫu chỉ phụ thuộc vào tốc độ quay của nguồn [5]. Nguồn phát bức xạ hình quạt và
quay xung quanh đối tượng với tốc độ không đổi.
Hạn chế của máy CT thế hệ thứ tư là vẫn còn phải đối mặt với nhiều thách
thức kỹ thuật lớn như đảm bảo tính đồng nhất về phẩm chất giữa tất cả các đầu dò
được bố trí trên vòng, đảm bảo tính ổn định của các đầu dò vì tại nhiều thời điểm
chúng phải nhận tia trực tiếp từ nguồn phát. Hiệu chỉnh hiện tượng tán xạ giữa các
đầu dò bằng thuật toán cực kì phức tạp. Chi phí cao do sử dụng một lượng lớn đầu
dò.
1.2. Phép biến đổi Radon
1.2.1. Khái niệm
Khảo sát nguồn bức xạ có cường độ 𝐼0, chiếu tới vật thể cần chụp, mỗi tia
chiếu có cường độ 𝐼0 sẽ gặp các phần khác nhau của vật thể. Các phần này khuếch
đại hoặc làm giảm cường độ của tia bức xạ chiếu tới, hay nói cách khác, cường độ
các tia chiếu bị thay đổi khi đi qua những phần khác nhau của vật thể. Gọi hàm
8
𝑓(𝑥, 𝑦) là hàm đặc trưng cho tính chất vùng tọa độ (𝑥, 𝑦) trên một lát cắt cần chụp.
Cường độ bức xạ suy giảm khi đi qua vùng này được miêu tả như sau,
𝐿
(1.1) 𝐼 = 𝐼0𝑒− ∫ 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑠
trong đó 𝑑𝑠 là vi phân đường tia chiếu, 𝐿 là đường tia chiếu.
Như vậy, thông qua biểu thức (1.1), ta thấy rằng cường độ bức xạ đến đầu dò
bị suy giảm theo hàm mũ khi đi qua vật thể được chụp.
𝐿
Chia hai vế biểu thức (1.1) cho 𝐼0 ta được
= 𝑒− ∫ 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑠 (1.2) 𝐼 𝐼0
Lấy logarit cơ số tự nhiên hai vế biểu thức (1.2) ta được
𝐿
(1.3) ln ( ) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠 𝐼0 𝐼
Xét một chùm tia chiếu từ máy phát đến máy thu. Chọn tia chiếu ở giữa máy
phát làm mốc, ta gọi đó là tia chiếu gốc. Khoảng cách từ một tia chiếu bất kỳ đến tia
chiếu gốc là 𝑟. Hai máy thu và phát quay xung quanh đối tượng cần chụp và chụp
đối tượng ở nhiều góc độ khác nhau. Chọn một góc làm mốc, ta gọi đó là góc chiếu
gốc. Gọi góc giữa một góc chiếu bất kỳ với góc chiếu gốc là 𝜃.
) ta được Đặt 𝑔(𝑟, 𝜃) = 𝑙𝑛 (𝐼0 𝐼
𝐿
(1.4) 𝑔(𝑟, 𝜃) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠
Như vậy ta có thể nói 𝑔(𝑟, 𝜃) là tổng của tất cả tia chiếu sau khi đã đi qua vật
thể dọc theo tia chiếu ở khoảng cách 𝑟 và góc chiếu 𝜃.
9
Hình 1.6. Phép chiếu
Công thức chuyển đổi từ tọa độ (𝑥, 𝑦) sang (𝑟, 𝜃) hoặc từ (𝑟, 𝜃) sang (𝑥, 𝑦)
được minh họa trên hình 1.6 và được biểu diễn dưới dạng toán học như sau,
(1.5) 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑠𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑠𝑐𝑜𝑠𝜃
và
(1.6) 𝑟 = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠 = −𝑥𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃
Kết hợp các công thức (1.4), (1.5) và (1.6), phép biến đổi Radon được định
+∞
nghĩa như sau,
−∞
(1.7) 𝑔(𝑟, 𝜃) = 𝑅(𝑓(𝑥, 𝑦)) = ∫ 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑠𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑠𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑑𝑠
phép biến đổi Radon ''biến'' dữ liệu của đối tượng thành dữ liệu chiếu.
Sau khi đã có dữ liệu chiếu, ta thực hiện các tính toán và xử lý trên dữ liệu
chiếu này, rồi dùng các phương pháp phục hồi ảnh để xây dựng lại ảnh của đối
tượng được chụp với tín hiệu vào là kết quả của phép biến đổi Radon.
1.2.2. Tính chất
Phép biến đổi Radon có sáu tính chất được trình bày thông qua bảng 1.1 sau
10
Bảng 1.1. Tính chất phép biến đổi Radon
Công thức ban đầu Công thức sau khi biến đổi Tính chất 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑔(𝑟, 𝜃) = 𝑅(𝑓(𝑥, 𝑦))
Tuyến tính 𝐴1𝑓1(𝑥, 𝑦) + 𝐴2𝑓2(𝑥, 𝑦) 𝐴1𝑔1(𝑟, 𝜃) + 𝐴2𝑔2(𝑟, 𝜃)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 0; |𝑥| > Hạn chế về 𝐷 2 𝑔(𝑟, 𝜃); 𝑠 > không gian 𝐷√2 2 |𝑦| > 𝐷 2
Đối xứng 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑔(𝑟, 𝜃) = 𝑔(−𝑟, 𝜃 ± 𝜋)
Chu kỳ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑔(𝑟, 𝜃) = 𝑔(𝑟, 𝜃 + 𝑘2𝜋), 𝑘 ∈ 𝑁
Dịch 𝑓(𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0)
Đổi tỷ lệ 𝑓(𝐴𝑥, 𝐴𝑦) 𝑔(𝐴𝑟, 𝜃), 𝐴 ≠ 0 𝑔(𝑟 − 𝑥0𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑦0𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝜃) 1 |𝐴|
1.2.3. Phép biến đổi Radon ngược
Phép chiếu ngược được dùng để phục hồi ảnh từ dữ liệu chiếu và được định
𝜋
nghĩa như sau,
0
𝜇(𝑥, 𝑦) = 𝐵(𝑔(𝑟, 𝜃)) = ∫ 𝑔(𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝜃)𝑑𝜃 (1.8)
Dữ liệu chiếu chụp sau khi được xử lý tính toán sẽ được ''chiếu ngược'' lại
thành dữ liệu đối tượng 𝜇(𝑥, 𝑦). Tuy nhiên, dữ liệu này còn bị nhiễu rất nhiều so với
ảnh của đối tượng ban đầu. Để xây dựng lại chính xác ảnh của đối tượng, cần thông
qua một phép nhân chập (quá trình này được xem như là quá trình lọc),
1 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝜇(𝑥, 𝑦)Θ (1.9) √x2 + y2
Như vậy phép biến đổi Radon ngược không thể sử dụng riêng lẻ để phục vụ
cho việc phục hồi ảnh vì ảnh thu được có độ tin cậy không cao. Quá trình này cần
được kết hợp với các phương pháp phục hồi ảnh khác để tạo nên ảnh có chất lượng
tốt. Sự kết hợp này sẽ được trình bày cụ thể ở chương 2.
11
1.3. Nguyên lý chụp ảnh cắt lớp điện toán
Ghi hình cắt lớp điện toán (Computed Tomography, CT) được định nghĩa là
phương pháp ghi hình dựa vào sự suy giảm khác nhau của cường độ chùm tia X
hoặc gamma (gọi chung là bức xạ) khi truyền qua các môi trường vật chất khác
nhau trên cùng một lát cắt của đối tượng.
Hình 1.7. Nguyên lý ghi hình cắt lớp điện toán thể hiện thông qua bốn thế
hệ máy chụp
Quan sát trên hình 1.7 ta thấy các tia bức xạ truyền qua đối tượng cần ghi hình
và sau đó được ghi nhận bởi đầu dò tương ứng. Việc chiếu này được lặp lại ở nhiều
góc khác nhau bằng cách quay hệ nguồn và đầu do xung quanh đối tượng, quá trình
này được gọi chung là quá trình quét vật thể.
Như ta đã biết, các bức xạ sau khi đi xuyên qua một vật thể sẽ bị suy giảm
cường độ theo công thức,
(1.10) 𝐼(𝑟, 𝜃) = 𝐼0(𝑟, 𝜃)𝑒−𝜇̅(𝑟,𝜃)𝐷
trong đó là hệ số suy giảm tuyến tính trung bình của đối tượng, D là khoảng cách
từ nguồn đến đầu dò ghi nhận bức xạ. Công thức (1.10) chỉ đúng trong trường hợp
12
nguồn phát bức xạ đơn năng và giả sử bỏ qua các hiệu ứng tán xạ khi bức xạ truyền
qua đối tượng [6]. Cường độ bức xạ sẽ được thu nhận tại đầu dò.
Lấy logarit cơ số tự nhiên theo hai vế của phương trình (1.10), ta được,
(1.11) 𝜇̅(𝐼, 𝜃) = 𝑙𝑛 ( ) 1 𝐷 𝐼0(𝑟, 𝜃) 𝐼(𝑟, 𝜃)
Công thức (1.11) cho thấy hệ số suy giảm tuyến tính trung bình của phần đối
tượng phụ thuộc vào khoảng cách từ nguồn đến đầu dò ghi nhận bức xạ và tỉ số của
cường độ bức xạ ban đầu và cường độ của bức xạ sau khi đi qua vật thể.
Độ tương phản giữa các chi tiết trên ảnh dựng bởi phương pháp chụp ảnh cắt
lớp điện toán có được nhờ sự khác biệt về hệ số suy giảm tuyến tính giữa chúng, do
đó nguyên lý cơ bản của ghi hình CT là chia nhỏ đối tượng cần ghi. Mỗi đối tượng
chia nhỏ được gọi là voxel. Sự khác nhau về giá trị giữa các voxel cho ta độ
tương phản giữa các chi tiết.
Trên một đường tia bất kỳ ta luôn có,
đườ𝑛𝑔 𝑡𝑖𝑎(𝑟,𝜃)
(1.12) 𝜇̅ = ∫ 𝜇(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠 1 𝐷
với ds là vi phân trên đường tia sao cho hệ số suy giảm của phần vật
chất trong giới hạn của ds là một hằng số [2]. Ta có quan hệ sau,
(1.13)
𝐷 2
Biểu thức (1.12) được viết lại như sau,
𝐷 2
(1.14) 𝜇̅(𝑟, 𝜃) = 1 𝐷 ∫ 𝜇(𝑟, 𝑠, 𝜃)𝑑𝑠 −
Ta mở rộng vùng lấy tích phân nằm ngoài khoảng , những vùng nằm
ngoài khoảng này đều có tức vùng không có dữ liệu chiếu, việc mở
13
rộng vùng lấy tích phân sẽ cho ta kết quả chính xác hơn, thuận tiện cho việc dựng
ảnh sau này. Để viết gọn biểu thức (1.14) kết hợp với mở rộng vùng lấy tích phân,
+∞
ta đặt . Biểu thức (1.14) được viết lại như sau,
−∞
(1.15) 𝑃(𝑟, 𝜃) = ∫ 𝜇(𝑟, 𝑠, 𝜃)𝑑𝑠
Thông qua phép biến đổi Radon, biến (là ảnh CT của đối tượng cần chụp)
thành hình chiếu theo các góc khác nhau mà có thể đo đạc được bằng hệ ghi
hình CT. Ta phân tích trên ảnh , thu thông tin cần thiết rồi sau đó dùng phép
biến đổi ngược để dựng lại từ ảnh . Các phép biến đổi ngược từ ảnh sang
gốc được gọi là thuật toán dựng ảnh.
1.4. Tổng kết chương 1
Trong chương này, luận văn đã trình bày tổng quan về lịch sử hình thành và
phát triển của kỹ thuật chụp ảnh cắt lớp, phân loại các loại kỹ thuật ghi hình hiện
nay. Bên cạnh đó, tác giả cũng trình bày khái quát cơ sở toán học của phương pháp
chụp ảnh cắt lớp làm nền tảng cho quá trình phục hồi ảnh.
14
CHƯƠNG 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP DỰNG ẢNH TRONG KỸ THUẬT
CHỤP ẢNH CẮT LỚP ĐIỆN TOÁN
Trong chương này, luận văn sẽ trình bày các thuật toán cơ bản được sử dụng
trong việc phục hồi ảnh được áp dụng trong phương pháp chụp ảnh cắt lớp, nhằm
làm cơ sở lý thuyết cho việc phục hồi ảnh từ các số liệu thực nghiệm được trình bày
trong chương 3. Thông qua các kết quả tính toán cũng như những thuật toán đi kèm
đối với từng phương pháp, ta có thể chia thành hai loại phương pháp dựng ảnh như
sau [7]: phương pháp phân tích (Analytical method) và phương pháp lặp (Iterative
method).
2.1. Phương pháp phân tích
Đối với phương pháp này, ảnh sẽ được dựng lại thông qua một phép biến đổi
ngược so với phép biến đổi Radon [2]. Phép biến đổi Radon được định nghĩa là các
hàm làm việc trên những lớp hàm tốt của những hàm giảm nhanh khả vi mọi cấp.
Đổi ngược ở đây được hiểu là một biến đổi toán học tường minh từ dữ liệu chiếu
thành ảnh CT dựa trên một mô hình liên tục [7]. ''Định lý lát cắt Fourier'' là nền tảng
chính của phương pháp.
Ưu điểm của phương pháp phân tích là thời gian thực hiện thuật toán ngắn,
phù hợp cho các lĩnh vực đòi hỏi tốc độ ghi hình cao, chẳng hạn như trong y tế.
Ngoài ra đây là một phương pháp trực quan, dễ thực hiện nên thường được sử dụng
để khởi tạo kết quả ban đầu cho các thuật toán sử dụng phương pháp lặp trên các
mô hình thống kê [8].
Bên cạnh những ưu điểm vừa trình bày, phương pháp này cũng chứa đựng
những nhược điểm. Hạn chế lớn nhất của phương pháp này là việc không có mô
hình tương ứng để loại bỏ nhiễu trong quá trình dựng ảnh. Hơn nữa, phương pháp
phân tích dựa trên mô hình dữ liệu chiếu liên tục mà ta không thể đạt được điều này
trong chiếu chụp thực tế.
15
Trong nội dung của luận văn này, hai phương pháp phân tích được sử dụng
trong việc phục hồi ảnh từ số liệu thực nghiệm là phương pháp biến đổi Fourier và
phương pháp chiếu ngược có lọc (Filtered Backprojection - FBP).
2.1.1. Phương pháp biến đổi Fourier
Nguyên lý cơ bản của phương pháp dựa trên định lý lát cắt Fourier. Công thức
(1.6) cho ta mối quan hệ toán học giữa dữ liệu hình chiếu theo các góc khác nhau
𝑃(𝑟, 𝜃) và ảnh của đối tượng 𝜇(𝑥, 𝑦). Sử dụng biến đổi Fourier một chiều cho
+∞
𝑃(𝑟, 𝜃), ta được
−∞
(2.1) 𝑆(𝜔, 𝜃) = ∫ 𝑃(𝑟, 𝜃)𝑒−𝑖2𝜋𝜔𝑟𝑑𝑟
+∞
Thay biểu thức (1.6) vào (2.1) ta được
−∞
(2.2) 𝑆(𝜔, 𝜃) = ∬ 𝜇(𝑟, 𝑠, 𝜃)𝑒−𝑖2𝜋𝜔𝑟 𝑑𝑟𝑑𝑠
Các biến số trong công thức (2.2) có biến nằm trong tọa độ cực, ta đổi sang tọa
độ Descartes để xuất hiện đại lượng 𝜇(𝑥, 𝑦).
(2.3) 𝑑𝑟𝑑𝑠 = 𝐽𝑑𝑥𝑑𝑦 = || || 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑟 𝑑𝑥 𝑑𝑟 𝑑𝑦 𝑑𝑠 𝑑𝑥 𝑑𝑠 𝑑𝑦
với { 𝑟 = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠 = −𝑥𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃
và J là một lượng Jacobian. Với
= 𝑐𝑜𝑠𝜃; = 𝑠𝑖𝑛𝜃; = −𝑠𝑖𝑛𝜃; = 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝑥 𝑑𝑟 𝑑𝑦 𝑑𝑠 𝑑𝑥 𝑑𝑠 𝑑𝑦
ta có thể tính được J = 1
Biếu thức (2.2) sau đó trở thành
+∞
16
−∞
(2.4) 𝑆(𝜔, 𝜃) = ∬ 𝜇(𝑥, 𝑦)𝑒−𝑖2𝜋𝜔(𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑑𝑥𝑑𝑦
Ta đặt
(2.5) { 𝜉 = 𝜔𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜂 = 𝜔𝑠𝑖𝑛𝜃
+∞
Biểu thức (2.4) trở thành
−∞
(2.6) 𝑆(𝜔, 𝜃) = ∬ 𝜇(𝑥, 𝑦)𝑒−𝑖2𝜋(𝜉𝑥+𝜂𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
+∞
Đặt
−∞
(2.7) 𝐹(𝜉, 𝜂) = ∬ 𝜇(𝑥, 𝑦)𝑒−𝑖2𝜋(𝜉𝑥+𝜂𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
Khi đó ta có
(2.8) 𝑆(𝜔, 𝜃) = 𝐹(𝜉, 𝜂)
Mà 𝜉 và 𝜂 phụ thuộc vào hai biến 𝜔 và 𝜃 theo hệ thức (2.5), khi đó ta có
(2.9) 𝑆(𝜔, 𝜃) = 𝐹(𝜔, 𝜃)
Biểu thức (2.4) và (2.9) được gọi chung là định lý lát cắt Fourier. Ý nghĩa vật
lý, định lý lát cắt Fourier cho phép chuyển từ dữ liệu chiếu thu nhận được trên hệ
ghi hình thành biến đổi Fourier của ảnh đối tượng. Để tái tạo lại ảnh, ta lấy phép
biến đổi Fourier ngược của 𝐹(𝜉, 𝜂).
Phương pháp biến đổi Fourier có thể được thực hiện theo các bước sau,
Bước 1: Thực hiện biến đổi Fourier lên dữ liệu chiếu thu được từ hệ
ghi hình 𝑃(𝑟, 𝜃). Kết quả thu được là 𝐹(𝜔, 𝜃) của ảnh chụp đối tượng
𝜇(𝑥, 𝑦) qua phép biến đổi Fourier hai chiều.
Bước 2: Nội suy 𝐹(𝜔, 𝜃) từ hệ tọa độ cực sang hệ tọa độ Descartes,
𝐹(𝜉, 𝜂).
17
Bước 3: Lấy biến đổi Fourier ngược của 𝐹(𝜔, 𝜃), kết quả chính là ảnh
+∞
cần dựng của đối tượng,
−∞
(2.10) 𝜇(𝑥, 𝑦) = ∬ 𝐹(𝜉, 𝜂)𝑒𝑖2𝜋(𝜉𝑥+𝜂𝑦)𝑑𝜉𝑑𝜂
Ưu điểm của phương pháp là cho ảnh trực quan, đơn giản và đòi hỏi ít chi phí
tính toán vì chỉ bằng cách thực hiện biến đổi Fourier và phép nội suy, ta có thể dựng
được ảnh của đối tượng.
Nhược điểm của phương pháp là chưa có mô hình để loại bỏ nhiễu và các đặc
tính bất ổn của hệ ghi hình.
2.1.2. Phương pháp chiếu ngược có lọc (Filtered Backprojection - FBP)
Phương pháp này cũng dựa trên định lý lát cắt Fourier. Ở biểu thức (2.10), ta
có ảnh của đối tượng sau khi đã dựng lại bằng phương pháp Fourier, tuy nhiên ảnh
này còn nhiễu và còn một số đặc tính bất ổn định. Ta tiến hành chuyển biểu thức
(2.10) từ hệ tọa độ (𝜉, 𝜂) sang hệ tọa độ (𝜔, 𝜃). Mục đích của việc chuyển đổi này
là làm cho dạng biểu diễn của tích phân (2.10) được chuyển về tọa độ thực
(𝜔, 𝜃)trong đó dữ liệu được ghi nhận.
Tương tự, ta có
(2.11) 𝑑𝜉𝑑𝜂 = 𝐽𝑑𝜔𝑑𝜃 = | | 𝑑𝜔𝑑𝜃
𝑑𝜉 𝑑𝜔 𝑑𝜉 𝑑𝜃 𝑑𝜂 𝑑𝜔 𝑑𝜂 𝑑𝜃
với J là Jacobian biến đổi.
= 𝑐𝑜𝑠𝜃; = 𝜔𝑠𝑖𝑛𝜃; = 𝑠𝑖𝑛𝜃; = −𝜔𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜉 𝑑𝜔 𝑑𝜉 𝑑𝜃 𝑑𝜂 𝑑𝜔 𝑑𝜂 𝑑𝜃
Sử dụng mối quan hệ ở biểu thức (2.5), ta dễ dàng tính được 𝐽 = 𝜔. Biểu thức
2𝜋
+∞
(2.10) trở thành
0
0
𝜇(𝑥, 𝑦) = ∫ ∫ 𝐹(𝜔, 𝜃)𝜔𝑒𝑖2𝜋𝜔(𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑑𝜔𝑑𝜃
𝜋
+∞
18
0
0
2𝜋
+∞
𝜇(𝑥, 𝑦) = ∫ ∫ 𝐹(𝜔, 𝜃)𝜔𝑒𝑖2𝜋𝜔(𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑑𝜔𝑑𝜃
𝜋
0
𝜋
+∞
+ ∫ ∫ 𝐹(𝜔, 𝜃)𝜔𝑒𝑖2𝜋𝜔(𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑑𝜔𝑑𝜃
0
0
(2.12)
𝜋
+∞
= ∫ ∫ 𝐹(𝜔, 𝜃)𝜔𝑒𝑖2𝜋𝜔(𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑑𝜔𝑑𝜃
0
0
+ ∫ ∫ 𝐹(𝜔, 𝜃 + 𝜋)𝜔𝑒𝑖2𝜋𝜔(𝑥𝑐𝑜𝑠(𝜃+𝜋)+𝑦𝑠𝑖𝑛(𝜃+𝜋)𝑑𝜔𝑑𝜃
Theo tính chất đối xứng của phép biến đổi Fourier,
(2.13) 𝐹(𝜔, 𝜃 + 𝜋) = 𝐹(−𝜔, 𝜃)
và tính chất hàm lượng giác
(2.14) cos(𝜃 + 𝜋) = −𝑐𝑜𝑠𝜃 sin(𝜃 + 𝜋) = −𝑠𝑖𝑛𝜃
Biểu thức ở dấu tích phân thứ hai của (2.12) thành
(2.15) 𝐹(−𝜔, 𝜃)𝜔𝑒𝑖2𝜋(−𝜔)(𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃)
Thay biểu thức (2.15) vào biểu thức (2.12), chỗ 𝜔 trong tích phân thứ hai được
𝜋
+∞
thay bằng −𝜔, ta được
0
0
𝜇(𝑥, 𝑦) = ∫ ∫ 𝐹(𝜔, 𝜃)𝜔𝑒𝑖2𝜋𝜔(𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑑𝜔𝑑𝜃
𝜋
0
(2.16)
0
−∞
+ ∫ ∫ 𝐹(𝜔, 𝜃)(−𝜔)𝑒𝑖2𝜋𝜔(𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑑𝜔𝑑𝜃
Dấu trừ trước 𝜔 trong tích phân thứ hai có ý nghĩa là giá trị tuyệt đối của 𝜔
trên miền (−∞, 0). Ta vẫn có thể phát biểu điều tương tự cho tích phân thứ nhất,
𝜋
+∞
như vậy biểu thức (2.16) được viết lại hoàn chỉnh như sau
0
0
𝜋
0
𝜇(𝑥, 𝑦) = ∫ ∫ 𝐹(𝜔, 𝜃)|𝜔|𝑒𝑖2𝜋𝜔(𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑑𝜔𝑑𝜃
0
−∞
+ ∫ ∫ 𝐹(𝜔, 𝜃)|𝜔|𝑒𝑖2𝜋𝜔(𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑑𝜔𝑑𝜃
𝜋
+∞
19
0
−∞
(2.17) = ∫ ∫ 𝐹(𝜔, 𝜃)|𝜔|𝑒𝑖2𝜋𝜔(𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑑𝜔𝑑𝜃
𝜋
+∞
Thay (2.9) và (1.6) vào biểu thức (2.17), ta được
0
−∞
(2.18) 𝜇(𝑥, 𝑦) = ∫ ∫ 𝑆(𝜔, 𝜃)|𝜔|𝑒𝑖2𝜋𝜔𝑟𝑑𝜔𝑑𝜃
+∞
Đặt
−∞
(2.19) 𝑔(𝑟, 𝜃) = ∫ 𝑆(𝜔, 𝜃)|𝜔|𝑒𝑖2𝜋𝜔𝑟𝑑𝜔
Phương trình (2.18) trở thành,
𝜋 𝜇(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑔(𝑟, 𝜃)𝑑𝜃 0
(2.20)
Biểu thức (2.19) là biến đổi Fourier ngược của 𝑆(𝜔, 𝜃)|𝜔|. Do đó, ta có thể
nói 𝑔(𝑟, 𝜃) chính là dữ liệu chiếu thu được sau khi đã áp dụng bộ lọc |𝜔|. Ý nghĩa
của biểu thức (2.20) ở đây là hình ảnh 𝜇(𝑥, 𝑦) cần dựng tại vị trí (x,y) bằng tổng tất
cả những dữ liệu chiếu đã lọc mà có đường tia đi qua điểm đó [2].
Phương pháp chiếu ngược có lọc là phương pháp đơn giản, trực quan, đòi hỏi
chí phí tính toán thấp. Nhược điểm của phương pháp được thể hiện thông qua biểu
thức tích phân (2.19). Biểu thức (2.19) đòi hỏi dữ liệu chiếu phải là dữ liệu liên tục.
Trong thực tế ta chỉ thu được dữ liệu rời rạc và có độ mịn tùy thuộc vào hệ ghi hình.
2.2. Phương pháp lặp
Nguyên tắc chung của phương pháp lặp là lặp đi lặp lại một thuật toán để đạt
được hình ảnh có chất lượng tốt nhất. Phương pháp lặp được chia thành hai loại
nhỏ, phương pháp lặp đại số và lặp thống kê.
Đối với phương pháp lặp đại số, ta tìm cách giải nghiệm x của phương trình,
(2.21) 𝐴𝑥 = 𝑏
trong đó x là ảnh cần dựng, b là dữ liệu chiếu chụp từ thực tế, A là ma trận mô tả
phép chiếu. Vì số lượng tia chiếu và góc chiếu trong dữ liệu chiếu thực tế là lớn nên
20
phương trình (2.21) không thể giải được bằng các phương pháp giải hệ phương
trình tường minh, ngay cả khi sử dụng máy tính diện tử. Nghiệm x được giải bằng
phương pháp lặp,
(2.22) 𝑥(𝑘+1) = 𝑥(𝑘) + 𝜆𝑛𝛿𝑥(𝑘)
Ở phương trình (2.22), nghiệm ở lần lặp thứ k+1 thu được bằng cách thêm một
lượng tương ứng với nghiệm của lần lặp ngay trước đó [9]. Cách tìm
𝜆𝑛𝛿𝑥(𝑘) khác nhau khi các thuật toán lặp đại số khác nhau. Có thể kể đến một số thuật toán được sử dụng phổ biến như Algebraic Reconstruction Technique (Kỹ
thuật tái tạo đại số), Simulataneous Algebraic Reconstruction Technique (Kỹ thuật
tái tạo đại số đồng thời)...
Với phương pháp lặp thống kê, ta sử dụng mô hình sau
(2.23) 𝐴𝑥 + 𝑝 = 𝑏
trong đó x là ảnh cần dựng, b là dữ liệu chiếu chụp thực tế, A là ma trận mô tả phép
chiếu, p là đại lượng mô tả những đặc tính không ổn định của hệ chụp, chẳng hạn
như nhiễu [10]. Áp dụng mô hình thống kê thích hợp, ta có thể tìm được nghiệm x
sao cho thỏa mãn phương trình (2.23). Một số thuật toán được sử dụng để tìm ra
nghiệm x có thể kể đến như thuật toán cực đại hóa kỳ vọng (EM) [2], cực đại hóa
kỳ vọng theo thứ tự tập hợp con [11], cực đại hóa kỳ vọng trên không gian phổ quát
luân phiên [12], gradient liên hợp [13], ...
Ưu điểm mà phương pháp lặp mang lại đó là cho hình ảnh với chất lượng tốt.
Tuy nhiên phương pháp này đòi hỏi chi phí tính toán rất cao do phải thực hiện lặp đi
lặp lại nhiều lần trước khi có kết quả tối ưu.
Một trong các phương pháp lặp phổ biến là phương pháp cực đại hóa kỳ vọng
(EM) [2]. Nguyên lý cơ bản của phương pháp này là những đặc tính không ổn định
của hệ ghi hình được mô tả bởi một mô hình thống kê. Ảnh thu được từ những lần
lặp đầu tiên không ổn định, vẫn còn nhiều nhiễu. Trải qua nhiều lần lặp, nhiễu và
những đặc điểm không ổn định sẽ bị loại bỏ dần và trở thành ảnh tin cậy.
21
Trong phương pháp EM, gọi 𝜇𝑥,𝑦 để chỉ điểm ảnh tại vị trí (𝑥, 𝑦) trên ảnh CT
𝜇(𝑥, 𝑦), 𝑝𝑟,𝜃 để chỉ dữ liệu chiếu thu nhận được tại detector cách tâm một đoạn 𝑟,
tại góc chiếu 𝜃 [2]. Vì phương pháp cực đại hóa kỳ vọng thuộc loại phương pháp
lặp nên bước đầu tiên ta mô hình hóa phép biến đổi từ ảnh 𝜇(𝑥, 𝑦) thành dữ liệu
chiếu 𝑃(𝑟, 𝜃). Sau đó, một thuật toán lặp được sử dụng để tìm nghiệm 𝜇(𝑥, 𝑦) phù
hợp nhất với mô hình cực đại hóa kỳ vọng.
Bước thứ nhất là mô hình hóa biến đổi từ ảnh 𝜇(𝑥, 𝑦) thành dữ liệu chiếu
𝑃(𝑟, 𝜃). Ta giả sử phép biến đổi này có dạng,
(2.24) 𝐴𝜇 + 𝑏 = 𝑃
với 𝐴 = {𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦} là xác xuất để một bức xạ đi xuyên qua điểm (𝑥, 𝑦) và đến được
detector ở vị trí góc chiếu 𝜃; 𝑏 là tham số diễn tả các tính chất không ổn định của
hệ. A được diễn tả là một toán tử sao cho khi toán tử này tác dụng lên ảnh 𝜇, cộng
thêm các tác động khác từ tính bất ổn định của hệ 𝑏 sẽ cho ra dữ liệu chiếu thực tế
𝑃. Vì thế, nếu ta không xét tới tính bất ổn định của hệ, thì dữ liệu chiếu sẽ là
(2.25) 𝑃 = 𝐴𝜇
Trong toán học thống kê, mối quan hệ giữa dữ liệu chiếu thực tế 𝑃 với dữ liệu
lý tưởng 𝑃̃ được cụ thể hóa bằng một phân bố xác suất sao cho 𝑃̃ là kỳ vọng của 𝑃
[2]. Trong các quá trình hạt nhân, phân bố Poisson thường được sử dụng để diễn tả
mối quan hệ này [14],
(2.26) 𝑃 = 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝑃̃) = 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝐴𝜇)
Gọi 𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦 là số photon đến được detector sau khi đi qua vị trí (𝑥, 𝑦). Hay nói
cách khác 𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦 là số photon đóng góp bởi sự có mặt của vị trí (𝑥, 𝑦) cho dữ liệu
chiếu thu được tại detector. Ta có
(2.27) 𝑝𝑟,𝜃 = ∑ 𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦 𝑥,𝑦
𝑍 = {𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦} là biến ngẫu nhiên trong mối quan hệ, nghĩa là,
22
(2.28) 𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦 = 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇𝑥,𝑦)
và kỳ vọng của Z là,
(2.29) 𝐸(𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦) = 𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦
Ta đưa vào dạng tường minh của phân bố Poisson,
𝑟,𝜃
(2.30) [𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇𝑥,𝑦]𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦 𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦! 𝑃(𝑍|𝜇) = ∏ ∏ 𝑒−𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇𝑥,𝑦 𝑥,𝑦
với đại lượng 𝑃(𝑍|𝜇) là xác suất để có 𝑍 hay còn được gọi là hàm phân bố mật độ
xác suất của 𝑍. Do dạng tích phức tạp nên người ta không sử dụng trực tiếp mà sẽ
lấy logarit cơ số tự nhiên của hàm phân bố này,
𝑟,𝜃
𝑥,𝑦
𝐿(𝑃(𝑍|𝜇)) = ∑ ∑[−𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇𝑥,𝑦 + 𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦 ln(𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇𝑥,𝑦)
(2.31)
− ln(𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦!)]
Ta tìm nghiệm µ = 𝜇̂ sao cho 𝑃(𝑍|𝜇) đạt giá trị lớn nhất. Khi đó, 𝜇̂ chính là
ảnh tốt nhất có thể dựng được.
Để giải quyết vấn đề này, ta sử dụng thuật toán cực đại hóa kỳ vọng, tức là
thay vì đi tìm cực trị của làm 𝐿(𝑃(𝑍|𝜇)), ta đi tìm điểm cực trị của kỳ vọng
𝐿(𝑃(𝑍|𝜇̂)),
(2.32) 𝜇̂ = 𝑎𝑟𝑔𝑚𝑎𝑥𝐸(𝐿|𝑃, 𝜇̂)
Thuật toán cực đại hóa kỳ vọng sẽ giải (2.32) thông qua hai bước:
Bước tìm kỳ vọng
𝑟,𝜃
𝑥,𝑦
𝐸(𝐿|𝑃, 𝜇̂) = 𝐸 (∑ ∑ (−𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇𝑥,𝑦 + 𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦ln (𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇𝑥,𝑦)
(2.33)
− ln (𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦!)| 𝑃, 𝜇̂)
theo tính chất tuyến tính của phép kỳ vọng, ta có
23
𝑟,𝜃
𝑥,𝑦
𝐸(𝐿|𝑃, 𝜇) = ∑ ∑[(𝐸(−𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇𝑥,𝑦|𝑃, 𝜇̂)
(2.34) + 𝐸(𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦ln (𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇𝑥,𝑦)|𝑃, 𝜇̂)
− 𝐸(ln (𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦!)|𝑃, 𝜇̂)]
Do không có phân bố thống kê của 𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇𝑥,𝑦 và kỳ vọng thứ hai có thể được
tính bằng cách đưa hằng số ln (𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇𝑥,𝑦) ra khỏi phép tính kỳ vọng, kết hợp với
định nghĩa (2.27), ta có,
𝑥,𝑦
(2.35) 𝐸(𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦|𝑃, 𝜇̂) = 𝑝𝑟,𝜃 𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇̂𝑥,𝑦 ∑ 𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇̂𝑥,𝑦
khi đó (2.34) trở thành,
𝑟,𝜃
𝑥,𝑦
𝐸(𝐿|𝑃, 𝜇) = ∑ ∑[−𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇𝑥,𝑦 + ln (𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇𝑥,𝑦)𝐸(𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦|𝑃, 𝜇̂)]
(2.36)
− 𝐸(ln (𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦!)|𝑃, 𝜇̂)]
Bước cực đại hóa:
Ta lấy đạo hàm cấp một của kỳ vọng 𝐸(𝐿|𝑃, 𝜇̂) theo biến 𝜇𝑥,𝑦
𝑟,𝜃
(2.37) 𝐸(𝐿|𝑃, 𝜇̂) = ∑ [−𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦 + 𝐸(𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦|𝑃, 𝜇̂)] 𝜕 𝜕𝜇𝑥,𝑦 1 𝜇𝑥,𝑦
Cho đạo hàm cấp một trên bằng 0 để tìm cực trị 𝜇̂𝑥,𝑦
𝐸(𝐿|𝑃, 𝜇̂) = 0 (2.38) 𝜕 𝜕𝜇𝑥,𝑦
ta được
𝑟,𝜃
(2.39) 𝜇̂𝑥,𝑦 = ∑ 𝐸(𝐿|𝑃, 𝜇̂) 𝑟,𝜃 ∑ 𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦
(𝑛−1)
Thay (2.35) vào (2.38) ta được
(𝑛) = 𝜇̂𝑥,𝑦 𝜇̂𝑥,𝑦
(𝑛−1)
𝑟,𝜃
𝑥,𝑦
𝑟,𝜃
∑ (2.40) 1 ∑ 𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦 𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝑝𝑟,𝜃 ∑ 𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇̂𝑥,𝑦
(𝑛−1) là ảnh thu được của lần
24
(𝑛) là ảnh thu được của lần tính toán hiện tại, 𝜇̂𝑥,𝑦
với 𝜇̂𝑥,𝑦
tính toán ngay trước đó. Bước tính toán cực đại hóa đòi hỏi việc lặp lại phép tính
(2.40) nhiều lần để thu được kết quả tốt nhất bằng cách sử dụng kết quả trước đó.
Quá tình lặp kết thúc khi đạt điều kiện hội tụ
(2.41) |𝐿𝑛 − 𝐿𝑛−1| ≤ 𝜀
trong đó 𝐿𝑛 và 𝐿𝑛−1 là hàm logarit phân bố xác suất được tính theo công thức (2.31)
lần lượt ở lần lặp hiện tại và lần lặp trước đó.
Ưu điểm của việc dựng ảnh bằng phương pháp cực đại hóa kỳ vọng là giúp cải
thiện hình ảnh thu được sau mỗi lần lặp. Nhược điểm của phương pháp này là việc
lặp đi lặp lại nhiều lần sẽ làm tăng chi phí tính toán, đòi hỏi bộ nhớ có dung lượng
lớn.
2.3. Cơ sở lý thuyết của một số bộ lọc
Bộ lọc thực chất là một trọng số mà khi ta nhân vào hàm cần lọc, hàm này bị
biến dạng sao cho giảm bớt tỉ trọng của nhiễu. Khi biên độ dữ liệu đầu vào có biên
độ ở vùng tần số cao rất lớn, ta sử dụng bộ lọc để triệt tiêu toàn bộ. Dữ liệu sau khi
lọc không còn vùng tần số cao này. Dưới đây, tác giả giới thiệu một số bộ lọc thông
dụng cho quá trình dựng ảnh CT.
2.3.1. Bộ lọc Ram-Lak
Ở công thức (2.18) của phần chiếu ngược có lọc, một cách rất tự nhiên, thành
phần |𝜔| xuất hiện và phần tử này chính là hàm lọc
(2.42) 𝑓 = |𝜔|
Bộ lọc Ram-Lak là một dạng bộ lọc thông cao, nghĩa là giữ lại vùng tần số cao
và giảm vùng tần số thấp. Vì vậy, việc sử dụng đơn thuần bộ lọc này sẽ không loại
bỏ được nhiễu cao tần. Ta có thể giải quyết vấn đề này bằng cách kết hợp với một
số bộ lọc thông thấp (tần số thấp đi qua còn tần số cao thì làm giảm xuống) [15].
25
2.3.2. Bộ lọc Shepp-Logan
Bộ lọc Shepp-Logan được tạo ra bằng cách kết hợp giữa bộ lọc Ram-Lak với
hàm Sin [2],
|𝜔| 𝑠𝑖𝑛 ( 𝜋) = 𝑠𝑖𝑛 ( 𝜋) , 𝜔 ≤ 𝜔𝑚 𝜔𝑚 𝜔𝜋 (2.43) 𝑓 = { 𝜔 𝜔𝑚 𝜔 𝜔𝑚
𝜔𝑚 𝜋 0, 𝜔 > 𝜔𝑚
với 𝜔𝑚 là tần số cắt cụt, nghĩa là giới hạn dưới của vùng tần số cần giảm biên độ.
Trong công thức (2.43) dễ thấy bắt đầu từ 𝜔𝑚 trở đi bộ lọc trả về giá trị 0, giúp loại
bỏ hoàn toàn vùng tần số cao hơn 𝜔𝑚.
2.3.3. Bộ lọc Cosin
Bộ lọc Cosin được tạo thành từ bộ lọc Ram-Lak và hàm Cosin [2],
(2.44) |𝜔|𝑐𝑜𝑠 ( ) , 𝜔 ≤ 𝜔𝑚 𝑓 = { 𝜔 𝜔𝑚
𝜋 2 0, 𝜔 > 𝜔𝑚
với 𝜔𝑚 là tần số cắt cụt.
2.3.4. Bộ lọc Hann và Hamming
Hai bộ lọc này thực chất là bộ lọc Cosin có thêm hằng số và trọng số [2],
|𝜔| (𝑎 + 𝑏𝑐𝑜𝑠 ( )) , 𝜔 ≤ 𝜔𝑚 (2.45) 𝑓 = {
𝜔 𝜋 𝜔𝑚 2 0, 𝜔 > 𝜔𝑚
với 𝜔𝑚 là tần số cắt cụt, (a,b) = (0,54; 0,46) tương ứng với bộ lọc Hamming; (a,b) =
(0,5; 0,5) tương ứng với bộ lọc Hann.
2.4. Tổng kết chương 2
Trong chương này, luận văn đã trình bày tổng quan về quá trình dựng ảnh và
miêu tả các thuật toán phổ biến được sử dụng trong việc dựng ảnh nhằm làm cơ sở
cho việc xử lý số liệu thực nghiệm được trình bày ở chương tiếp theo.
26
CHƯƠNG 3. KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN
Trong chương này, tác giả trình bày các kết quả thu được sau khi đã áp dụng
các thuật toán miêu tả ở chương 2 vào các số liệu thực nghiệm hay còn gọi là
sinogram.
3.1. Số liệu thực nghiệm.
Tác giả sử dụng ba bộ số liệu có tên gọi lần lượt phantom 1, phantom 2 và
phantom 3 [2]. Mô tả chi tiết về số liệu được liệt kê thông qua bảng 3.1.
Bảng 3.1. Tham số của hệ chụp CT
Bán Góc Số góc Số tia Bước Tên file Vật chụp kính giữa chiếu chiếu xoay khoang detector
Phantom1.txt 450 cm 100 101 1,800 0,900
Phantom2.txt 450 cm 200 101 0,900 0,900
Phantom3.txt 450 cm 200 201 0,900 0,450
27
Bảng 3.1 thể hiện vật chụp ở đây là những khối kim loại làm bằng thép có
đường kính khác nhau.
Đối với phantom 1, có ba khối thép có đường kính lần lượt là 3,2 cm; 2,2 cm
và 1,2 cm. Phantom 2 gồm 5 khối 4,5 cm; 3,2 cm; 2,2 cm; 2 cm và 1,2 cm. Với
phantom 3, có 5 khối có đường kính lần lượt là 4,5 cm; 3,2 cm; 2,2 cm, 2,0 cm và
1,2 cm được bố trí xung quanh khối đường kính 4,5 cm. Ở phantom 1 và phantom
3, còn bố trí thêm một khối trụ thép lớn rỗng bao quanh các vật thể, đường kính của
ống trụ lớn này là 27 cm.
Bán kính khoang là khoảng cách từ nguồn đến vật mẫu. Góc giữa detector là
bước chạy giữa vị trí lúc đầu và lúc sau của detector và nguồn.
Số liệu thực nghiệm thu được tại hệ chụp gamma CT tại Bộ môn Vật lý Hạt
nhân - Kỹ thuật Hạt nhân, Khoa Vật lý - Vật lý Kỹ thuật, Trường Đại học Khoa học
Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành Phố Hồ Chí Minh (VNUHCM) [2]. Hệ quét
gamma CT được xây dựng từ nguyên lý thiết bị CT thế hệ thứ ba với cấu hình một
nguồn - một đầu dò. Trong đó quá trình dịch chuyển nguồn - đầu dò và ghi nhận số
liệu của từng hình chiếu được điều khiển bởi thiết bị NI MyRIO và phần mềm
LabVIEW.
Hệ quét gamma CT có khả năng quét vật thể và ghi nhận số liệu cho dựng ảnh
hai chiều. Các thông số của hệ thống
Quá trình quét được tự động hóa, đầu dò và nguồn được dịch chuyển tự
động.
Góc quay tối thiểu của nguồn và đầu dò là 0,090.
Cho phép ghi nhận dữ liệu theo thời gian thực, hiển thị xung tín hiệu,
phổ độ cao xung.
Dữ liệu số đếm bức xạ được ghi nhận tự động theo vị trí tương ứng của
nguồn và đầu dò và lưu trữ dưới dạng tập tin Text.
Kết nối với máy tính và có giao diện điều khiển như hình 3.1.
28
Dữ liệu thu được từ hệ quét có thể tái tạo lại ảnh hai chiều của vật thể
bằng chương trình MATLAB.
(1) Bảng điều khiển tọa độ. (4) Hiển thị dạng xung tín hiệu.
(2) Bảng điều khiển ghi phổ. (5) Hiển thị phổ độ cao xung.
(3) Đường dẫn lưu file số liệu. (6) Sinogram của IComet.
Hình 3.1. Giao diện người dùng của chương trình điều khiển hệ quét gamma CT
Các bộ số liệu này tương ứng với các hình dạng mẫu khác nhau. Hình chiếu
tương ứng với ba bộ số liệu được phục hồi lại từ số liệu ghi nhận bởi đầu dò được
trình bày lần lượt thông qua hình 3.2.
Trên hình 3.2 các giá trị nằm theo chiều dọc biểu thị số góc chiếu, còn giá trị
theo chiều ngang là cường độ chiếu. Tại một vị trí góc chiếu xác định, vật thể sẽ
được quét toàn bộ, quá trình này sẽ được lặp lại ở giá trị góc chiếu tiếp theo.
Quá trình dựng ảnh được thực hiện bằng việc áp dụng các thuật toán như đã
trình bày ở chương 2 kết hợp với các bộ lọc xử lý ảnh khác nhau. Luận văn sẽ kết
hợp các bộ lọc tiền xử lý để nâng cao chất lượng ảnh. Các phương pháp phục hồi
ảnh khác nhau sẽ được kết hợp với các bộ lọc khác nhau nhằm đạt được kết quả tối
ưu nhất. Cụ thể,
29
phantom 1 phantom 2 phantom 3
Hình 3.2. Cấu trúc sinogram của ba bộ số liệu
Phương pháp Fourier được kết hợp với năm bộ lọc tiền xử lý ảnh Ram-Lak;
Shepp-Logan; Cosin; Hann; Hamming.
Phương pháp FBP (chiếu ngược có lọc) kết hợp với các bộ lọc tiền xử lý ảnh
gồm Cosin; Hann; Hamming; Ram-Lak; Shepp-Logan.
Phương pháp EM (cực đại hóa kỳ vọng) tương ứng với các bộ lọc tiền xử lý
ảnh có trong chương trình dựng ảnh gồm Ram-Lak; Shepp-Logan; Cosin; Hann;
Hamming.
Để phục vụ cho việc đánh giá kết quả thu được, trước hết tác giả trình bày kết
quả của từng phương pháp, sau đó tiến hành đánh giá về mặt ưu cũng như nhược
điểm của từng phương pháp. Trên cơ sở đó, tác giả tiếp tục tiến hành so sánh những
ưu điểm của phương pháp này với những ưu điểm của phương pháp kia, nhược
điểm của phương pháp này với những nhược điểm phương pháp kia, làm cơ sở cho
30
việc đề xuất một phương án dựng ảnh tối ưu nhất, phù hợp với hệ gamma CT thực
nghiệm hiện có.
3.2. Kết quả phục hồi ảnh bằng phương pháp Fourier
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
Hình 3.3. Ảnh của phantom 1 được phục hồi bằng phương pháp Fourier khi
không có bộ lọc và có bộ lọc. (a) Không sử dụng bộ lọc, (b) bộ lọc Ram-Lak, (c)
bộ lọc Shepp-Logan, (d) bộ lọc Cosin, (e) bộ lọc Hann, (f) bộ lọc Hamming
Ở hình 3.3a, với phương pháp Fourier khi không sử dụng bộ lọc, kết quả thu
được khá tốt, hiển thị đầy đủ chi tiết của vật thể. Tuy nhiên, mức độ đồng nhất giữa
vùng có tín hiệu và vùng không có tín hiệu không cao. Tại vùng có tín hiệu, chi tiết
vật thể xuất hiện nhiễu, nền không đồng nhất. Vùng nền xung quanh chi tiết vật thể
không được mịn, có xuất hiện nhiễu.
Khi sử dụng bộ lọc Ram-Lak và Shepp-Logan được thể hiện lần lượt trên các
hình 3.3b và 3.3c, kết quả thu được tốt hơn các bộ lọc còn lại. Tuy nhiên, chất
lượng ảnh thay đổi không quá nhiều so với trước khi sử dụng bộ lọc. Hình ảnh chi
tiết của vật thể không được cải thiện nhiều. Do vậy, đối với phantom 1, chất lượng
ảnh thu được thay đổi không nhiều khi kết hợp phương pháp Fourier với các bộ lọc
31
khác nhau, thậm chí chất lượng ảnh thu được còn bị suy giảm khi sử dụng các bộ
lọc Cosin, Hann và Hamming như được trình bày lần lượt trên các hình 3.3d, 3.3e,
3.3f.
Trên hình 3.4a, chi tiết vật thể có kích thước lớn được phục hồi bởi phương
pháp Fourier khi không sử dụng bộ lọc được tái tạo tốt hơn so với chi tiết có kích
thước nhỏ.
Khi sử dụng bộ lọc, kết quả cho thấy chỉ có hai bộ lọc Ram-Lak và Shepp-
Logan, hình 3.4b và 3.4c, cho kết quả tương đương với trước khi sử dụng bộ lọc.
Ngược lại, các bộ lọc Cosin, Hann và Hamming, được trình bày lần lượt trên các
hình 3.4d, 3.4e, 3.4f, làm cho chất lượng ảnh giảm đi, nhiễu xuất hiện nhiều hơn so
với khi không sử dụng bộ lọc.
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
Hình 3.4. Ảnh phantom 2 được phục hồi bằng phương pháp Fourier khi không
có bộ lọc và có bộ lọc. (a) Không sử dụng bộ lọc, (b) bộ lọc Ram-Lak, (c) bộ lọc
Shepp-Logan, (d) bộ lọc Cosin, (e) bộ lọc Hann, (f) bộ lọc Hamming
Đối với phantom 3, phương pháp Fourier phục hồi hoàn toàn chi tiết của vật
thể và cho kết quả không thay đổi nhiều so với trước khi sử dụng bộ lọc được thể
32
hiện thông qua các hình 3.5a, 3.5b và 3.5c. Tuy nhiên, nên hạn chế sử dụng các bộ
lọc Cosin, Hann, Hamming vì ảnh thu được khi sử dụng các bộ lọc này có chất
lượng kém, có thể thấy rõ điều này như trên các hình 3.5d, 3.5e và 3.5f.
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
Hình 3.5. Ảnh phantom 3 được phục hồi bằng phương pháp Fourier khi không
có bộ lọc và có bộ lọc. (a) Không sử dụng bộ lọc, (b) bộ lọc Ram-Lak, (c) bộ lọc
Shepp-Logan, (d) bộ lọc Cosin, (e) bộ lọc Hann, (f) bộ lọc Hamming
3.3. Kết quả phục hồi ảnh bằng phương pháp FBP
Với phương pháp FBP, khi không sử dụng bộ lọc, ảnh thu được thể hiện đầy
đủ chi tiết vật thể được sử dụng trong thí nghiệm. Tuy nhiên, ảnh bị nhòe, hình ảnh
chi tiết vật thể bị mờ và không rõ như trên hình 3.6a.
Dựa vào kết quả được trình bày trên hình 3.6b, 3.6c, 3.6d, 3.6e và 3.6f có thể
thấy chất lượng ảnh thu nhận được cải thiện rất rõ rệt, ngoài việc ảnh không còn bị
nhòe thì chất lượng vùng nền ảnh cũng được cải thiện. Tất cả các bộ lọc được sử
dụng đều có khả năng lọc nhiễu nền để làm tăng chất lượng ảnh, điều này được thể
hiện rõ ở cả vùng nền và vùng chi tiết vật thể. Điều đó cho thấy rằng phương pháp
33
FBP cho ảnh chất lượng tốt và vì vậy rất hiệu quả khi được kết hợp với các bộ lọc
tiền xử lý.
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
Hình 3.6. Ảnh phantom 1 được phục hồi bằng phương pháp FPB khi không có
bộ lọc và có bộ lọc. (a) Không sử dụng bộ lọc, (b) bộ lọc Ram-Lak, (c) bộ lọc
Shepp-Logan, (d) bộ lọc Cosin, (e) bộ lọc Hann, (f) bộ lọc Hamming
Với phantom 2, kết quả thu được từ phương pháp FBP khi không sử dụng bộ
lọc vẫn có hiện tượng bị nhòe, có thể quan sát rõ hiện tượng này như trên hình 3.7a.
Khi sử dụng các bộ lọc, phương pháp FBP vẫn cho thấy sự cải thiện rõ rệt
được thể hiện thông qua các hình 3.7b, 3.7c, 3.7d, 3.7e và 3.7f. Cụ thể độ mịn giữa
các bức ảnh tương đồng nhau, chi tiết vật thể được phục hồi hoàn toàn, hiện tượng
nhòe ảnh đã bị loại bỏ. Chất lượng ảnh đều được nâng lên và không có nhiều khác
biệt giữa các bộ lọc.
34
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
Hình 3.7. Ảnh thu được của phantom 2 khi sử dụng phương pháp FBP khi
không có bộ lọc và có bộ lọc. (a) Không sử dụng bộ lọc, (b) bộ lọc Ram-Lak, (c)
bộ lọc Shepp-Logan, (d) bộ lọc Cosin, (e) bộ lọc Hann, (f) bộ lọc Hamming
Trên hình 3.8a, ảnh phantom 3 thu được nhìn chung có kết quả tương đồng với
các nhận xét đã được trình bày đối với phantom 1 và 2. Khi không sử dụng bộ lọc,
ảnh có hiện tượng bị nhòe và không rõ ràng.
Khi sử dụng các bộ lọc, chất lượng ảnh được cải thiện rõ rệt, phần nhòe không
còn, các chi tiết vật thể được thể hiện rõ hơn, điều này được thể hiện trên các hình
3.8b, 3.8c, 3.8d, 3.8e, 3.8f. Các kết quả thu được phù hợp với lý thuyết phục hồi ảnh
bằng phương pháp FBP đã được nêu ở trên.
35
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
Hình 3.8. Ảnh phantom 3 được phục hồi bằng phương pháp FBP khi không có
bộ lọc và có bộ lọc. (a) Không sử dụng bộ lọc, (b) bộ lọc Ram-Lak, (c) bộ lọc
Shepp-Logan, (d) bộ lọc Cosin, (e) bộ lọc Hann, (f) bộ lọc Hamming
3.4. Kết quả phục hồi ảnh bằng phương pháp EM
Hình 3.9a thể hiện ảnh được phục hồi bằng phương pháp EM khi không sử
dụng bộ lọc. Có thể thấy, đối với phương pháp EM, ảnh thu được không bị nhòe,
các chi tiết vật thể được phục hồi hoàn toàn. Tuy nhiên, ảnh xuất hiện nhiễu, mức
độ đồng nhất không cao.
Khi sử dụng bộ lọc cho phương pháp EM, cụ thể ở đây là các bộ lọc Ram-Lak,
Shepp-Logan, Hamming như được thể hiện trên hình 3.9b, 3.9c và 3.9f, kết quả thu
được tốt hơn các bộ lọc Hann và Cosin, hình 3.9e và 3.9d. Tuy nhiên, xét một cách
tổng quan thì chất lượng ảnh thu được khi sử dụng bộ lọc cho phương pháp EM
không được cải thiện nhiều và thậm chí không tốt bằng trước khi sử dụng bộ lọc.
Điều này phù hợp với lý thuyết vì ở phương pháp cực đại hóa kỳ vọng, ảnh thu
được sau khi trải qua nhiều lần lặp, nên nếu dữ liệu ban đầu bị thay đổi do sử dụng
bộ lọc, kết quả thu được sẽ không còn chính xác nữa.
36
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
Hình 3.9. Ảnh phantom 1 được phục hồi bằng phương pháp EM khi không có
bộ lọc và có bộ lọc. (a) Không sử dụng bộ lọc, (b) bộ lọc Ram-Lak, (c) bộ lọc
Shepp-Logan, (d) bộ lọc Cosin, (e) bộ lọc Hann, (f) bộ lọc Hamming
Đối với phantom 2, ở hình 3.10a, tương tự như phantom 1, phương pháp EM
cho kết quả tốt nhất ở vùng không có tín hiệu, nền không bị nhiễu sáng. Tuy nhiên,
chi tiết vật thể không rõ ràng, độ sáng của vật thể không cao và bị ảnh hưởng bởi
nhiễu, xuất hiện các chấm đen trong ảnh chi tiết vật thể.
Trên hình 3.10b và 3.10c, các bộ lọc Ram-Lak, Shepp-Logan cho kết quả lọc
ảnh tương đương với trước khi sử dụng bộ lọc, vùng nền ảnh có độ mịn cao, ít
nhiễu. Các bộ lọc khác cho kết quả kém hơn, có thể thấy được ở các hình 3.10d,
3.10e và 3.10f, điều này phù hợp với kết quả thu được đối với phantom 1.
Với phantom 3, vì hạn chế về cấu hình máy, do phương pháp EM sử dụng
thuật toán lặp để phục hồi ảnh yêu cầu máy có cấu hình cao, bộ nhớ lớn. Bộ dữ liệu
phantom 3 được phục hồi bằng phương pháp EM không thể thực hiện được.
37
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
Hình 3.10. Ảnh phantom 2 được phục hồi bằng phương pháp EM khi không có
bộ lọc và có bộ lọc. (a) Không sử dụng bộ lọc, (b) bộ lọc Ram-Lak, (c) bộ lọc
Shepp-Logan, (d) bộ lọc Cosin, (e) bộ lọc Hann, (f) bộ lọc Hamming
3.5. Kết luận
Trong chương 3, tác giả đã hoàn tất so sánh đặc điểm tính chất ảnh được phục
hồi từ ba bộ dữ liệu sử dụng các phương pháp khác nhau kết hợp với các bộ lọc xử
lý khác nhau.
Nhìn chung, trước khi sử dụng bộ lọc, ảnh thu được từ ba bộ dữ liệu khi sử
dụng phương pháp Fourier là tốt nhất, phương pháp FBP tuy vẫn phục hồi lại hoàn
toàn chi tiết vật thể nhưng ảnh thu được bị nhòe và chất lượng không tốt.
Đối với phương pháp EM, nhiễu xuất hiện trên các chi tiết vật thể, làm giảm
chất lượng của ảnh. Sau khi sử dụng bộ lọc, cả hai phương pháp Fourier và EM đều
cho kết quả không thay đổi nhiều so với trước khi sử dụng bộ lọc, thậm chí có
trường hợp chất lượng ảnh trở nên kém đi.
38
Ngược lại, phương pháp FBP cho ảnh được cải thiện rõ rệt khi được kết hợp
với các bộ lọc. Do vậy, từ các kết quả trên có thể kết luận rằng, khi sử dụng các
phương pháp EM và Fourier, cần hạn chế sử dụng bộ lọc tiền xử lý, còn đối với
phương pháp FBP, các bộ lọc khác nhau cần được áp dụng để làm tăng chất lượng
ảnh.
39
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Thông qua luận văn này, tác giả đã đạt được các kết quả như sau:
Áp dụng các thuật toán dựng ảnh Fourier, FBP, EM và các bộ lọc Ram-
Lak, Shepp-Logan, Cosin, Hann và Hamming vào dữ liệu thực nghiệm
nhằm mục đích kiểm tra và so sánh khả năng phục hồi ảnh của các
phương pháp này để tìm ra phương pháp hiệu quả đối với số liệu thực
nghiệm.
So sánh đặc điểm, tính chất ảnh được phục hồi từ ba bộ dữ liệu sử dụng
các phương pháp phục hồi ảnh khác nhau kết hợp với các bộ lọc tiền xử
lý khác nhau.
So sánh kết quả trước khi sử dụng bộ lọc. Cụ thể, trước khi sử dụng bộ
lọc, ảnh thu được từ ba bộ dữ liệu khi sử dụng phương pháp Fourier là
tốt nhất, phương pháp FBP tuy vẫn phục hồi lại hoàn toàn chi tiết vật
thể nhưng ảnh thu được bị nhòe và chất lượng không tốt. Đối với
phương pháp EM, nhiễu xuất hiện trên các chi tiết vật thể, làm giảm
chất lượng của ảnh.
Đánh giá kết quả sau khi sử dụng bộ lọc. Từ kết quả thu được có thể
thấy rằng, cả hai phương pháp Fourier và EM đều cho kết quả không
thay đổi nhiều so với trước khi sử dụng bộ lọc, thậm chí có trường hợp
chất lượng ảnh trở nên kém đi. Ngược lại, phương pháp FBP cho ảnh
được cải thiện rõ rệt khi được kết hợp với các bộ lọc.
Bên cạnh những kết quả đã đạt được, thông qua nghiên cứu này, tác giả đề
nghị một số hướng nghiên cứu và phát triển trong tương lai,
Để có kết quả chính xác hơn nữa, ta có thể tăng số góc chiếu để
hạn chế hiện tượng xảo ảnh.
Cải thiện tính ổn định của chương trình dựng ảnh đối với
phương pháp cực đại hóa kỳ vọng.
Thiết lập các công cụ dành cho việc đo đạc, khai thác ảnh đầu
ra của chương trình dựng ảnh.
40
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Cantatore Angela, Muller Pavel, Introduction to computed tomography, [1]
Kgs.Lyngby, DTU Mechanical Engineering, 2011.
Nguyễn Tấn Được, “Xây dựng chương trình dựng ảnh cho hệ chụp cắt lớp [2]
điện toán (CT) gamma,” Luận văn thạc sĩ Vật lý, chuyên ngành Vật lý
Nguyên tử - Hạt nhân, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc
Gia Thành Phố Hồ Chí Minh, Thành phố Hồ Chí Minh, 2018.
[3] C. Richmond, “Sir Godfrey Hounsfield,” BMJ, 2004.
The Women's Health & Wellness Resource Network. (2019) [Online]. [4]
Available: https://www.imaginis.com/ct-scan/brief-history-of-ct
J. Hsieh, Computed tomography: principles, design, artifacts, and recent [5]
advances, WA: Spie Press Book, Bellingham, 2015.
J. Hsieh, Adabtive statistical iterative reconstruction: GE white paper, Wis: [6]
GE Heathcare, Waukesha, 2008.
A. Ouaddah and D. Boughaci, “Harmony search algorithm for image [7]
reconstruction from projections,” Applied Soft Computing, 46, 924-935,
2016.
J. Fressler, “Analytical tomographic image reconstruction methods,” Image [8]
Reconstruction: Algorithms and Analysis, 66,67, 2009.
[9] M. Soleimani and T. Pengpen, ''Introduction: a brief overview of iteractive
algorithms in X-ray computed tomograph'', Phil. Trans. R. Soc. A, 373,
20140399, 2015.
[10] A. Meaney, Design and construction of an X-ray computed tomography
imaging system, Physics master thesis, University of Helsinki, Finland,
41
2015.
[11] A. M. Katua, A. O. Ankrah, M. Vorster, A. v. Gelder and M. M. Sathekge,
“Optimization of Odered Subset Expection Maximization Reconstruction
for Reducing Urinary Bladder Artifacts in Single-photon Emission
Computed Tomography Imaging,” World Journal of Nuclear Medicine, vol.
10, no. 1, pp. 3-8, 2011.
J. A. Fressler and A. O. Hero, “Space-alternating generalized expectation- [12]
maximization algorithm,” IEEE Transactions on Signal Processing, vol.
42, 10, 2664-2677, 1994.
[13] C. T. Kelley, Iteractive Methods for Linear and Nonlinear Equations,
Philadelphia: Siam, 1995.
[14] Y. Vardi, A. Shepp and L. Kaufman, “A statistical model for positron
emission tomography,” Journal of the American statistical Association, no.
80(389), 8-20, 1985.
[15] L. Maria and A. Ploussi, “Filtering in SPECT image reconstruction,”
Journal of Biomedical Imaging, 10, 2011.
