Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học "Suy luận và chứng minh trong Hình học: một nghiên cứu so sánh sách giáo khoa Trung học cơ sở ở Pháp và Việt Nam"

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾ

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGUYỄN THỊ UYÊN NHI

SUY LUẬN VÀ CHỨNG MINH TRONG HÌNH HỌC:

MỘT NGHIÊN CỨU SO SÁNH SÁCH GIÁO KHOA

TRUNG HỌC CƠ SỞ Ở PHÁP VÀ VIỆT NAM

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN

Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Huế, Năm 2015

i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số liệu và kết quả

nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, đƣợc các đồng tác giả cho phép sử

dụng và chƣa từng đƣợc công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.

Tác giả

Nguyễn Thị Uyên Nhi

ii

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến cô Lê Thị

Hoài Châu, thầy Trần Kiêm Minh đã nhiệt tình hƣớng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành

luận văn này.

Tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu trƣờng Đại học Sƣ phạm

Huế, Phòng đào tạo sau đại học, các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy

cô thuộc chuyên ngành Lý luận và Phƣơng pháp dạy học môn Toán đã tận tình

giảng dạy và truyền thụ cho tôi nhiều kiến thức, kinh nghiệm quý báu trong hai năm

học vừa qua.

Tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, các thầy cô trong tổ chuyên

môn trƣờng THPT Trần Hƣng Đạo-Thành phố Huế đã tạo điều kiện cho tôi đi học.

Sau cùng tôi xin chân thành cám ơn gia đình và bạn bè đã luôn ủng hộ, quan

tâm, động viên và giúp đỡ tôi mọi mặt để tôi hoàn thành luận văn này.

Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận đƣợc sự hƣớng

dẫn và góp ý.

Chân thành cám ơn!

Huế, tháng 04 năm 2015.

Nguyễn Thị Uyên Nhi

iii

Bảng 2.1. Khung nội dung suy luận và chứng minh trong các sách giáo khoa hình

DANH MỤC BẢNG

học của Otten và cộng sự .......................................................................................... 21

Bảng 3.1. Phân phối chƣơng trình Hình học cấp THCS ở Việt Nam ....................... 25

Bảng 3.2. Phân phối chƣơng trình Hình học cấp THCS ở Pháp ............................... 26

Bảng 3.3. Số liệu về các chƣơng, bài, bài tập trong SGK Hình học Việt Nam ........ 37

Bảng 3.4. Số liệu về các chƣơng, bài, bài tập, bài tập trong SGK Hình học Pháp. .. 38

Bảng 3.5. So sánh định lý tổng ba góc trong tam giác của SGK hai nƣớc ............... 42

Bảng 3.6. So sánh định lý Pythagore của SGK hai nƣớc .......................................... 46

Bảng 3.7. So sánh định lý Thalès của SGK hai nƣớc ............................................... 59

iv

Hình 3.1. Ví dụ chứng minh trong sách giáo khoa lớp 7 Triangle của Pháp. ........... 28

DANH MỤC HÌNH

Hình 3.2. Ví dụ chứng minh trong sách giáo khoa lớp 8 Triangle của Pháp. ........... 29

Hình 3.3. Ví dụ làm quen chứng minh Hình học trong SGK lớp 6 Transmath ........ 30

Hình 3.4. Ví dụ kiểu chứng minh điền vào chỗ trống trong SGK lớp 7 Transmath . 31

Hình 3.5. Ví dụ về lập luận trong chứng minh SGK lớp 7 Transmath ..................... 32

Hình 3.6. Ví dụ điển hình về bài toán chứng minh trong SGK Việt Nam. ............... 34

v

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

: Sách giáo khoa SGK

: Trung học phổ thông THPT

: Trung học cơ sở THCS

ATD : Thuyết nhân học didactic

vi

MỤC LỤC

...................................................................................................... i

LỜI CAM ĐOAN ...................................................................................................... ii

LỜI CẢM ƠN ........................................................................................................... iii

DANH MỤC BẢNG ................................................................................................. iv

DANH MỤC HÌNH .................................................................................................... v

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT ............................................ vi

MỤC LỤC ................................................................................................................... 1

LỜI GIỚI THIỆU ........................................................................................................ 3

Chƣơng 1. ĐẶT VẤN ĐỀ ......................................................................................... 7

1.1. Tổng quan hệ thống giáo dục phổ thông ở Việt Nam và Pháp ............................ 7

1.1.1. Hệ thống giáo dục phổ thông ở Việt Nam ........................................................ 7

1.1.2. Hệ thống giáo dục phổ thông ở Pháp ................................................................ 8

1.2.Vai trò của sách giáo khoa trong hệ thống dạy học ............................................ 10

1.2.1. Vai trò của sách giáo khoa trong hệ thống dạy học ở Việt Nam .................... 10

1.2.2. Vai trò của sách giáo khoa trong hệ thống dạy học ở Pháp ............................ 10

1.3. Phân môn Hình học trong chƣơng trình và sách giáo khoa THCS ở Việt Nam

và Pháp ...................................................................................................................... 11

1.4. Suy luận và chứng minh toán học ...................................................................... 12

1.4.1. Khái niệm chứng minh .................................................................................... 12

1.4.2. Phân loại chứng minh ...................................................................................... 14

1.4.3. Chức năng của chứng minh ............................................................................. 15

1.4.4. Dạy và học chứng minh trong Hình học ở THCS ........................................... 16

1.5. Ghi nhận và đặt vấn đề ....................................................................................... 17

Chƣơng 2. KHUNG LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP LUẬN NGHIÊN

CỨU .......................................................................................................................... 19

2.1. Sơ lƣợc Thuyết nhân chủng didactic và Tiếp cận sinh thái học trong nghiên cứu

chứng minh ................................................................................................................ 19

2.2. Mô hình phân tích bản chất chứng minh trong sách giáo khoa hình học .......... 20

2.3. Khung lý thuyết phân tích hoạt động suy luận và chứng minh trong sách giáo

khoa hình học ............................................................................................................ 20

1

2.4. Câu hỏi nghiên cứu ............................................................................................ 22

2.5. Phƣơng pháp nghiên cứu .................................................................................... 23

2.5.1. Lựa chọn sách giáo khoa ................................................................................. 23

2.5.2. Mô hình phân tích ........................................................................................... 23

Chƣơng 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU .................................................................. 24

3.1. Định hƣớng phân tích kết quả ............................................................................ 24

3.2. Bản chất, hình thức, chức năng của chứng minh trong sách giáo khoa hình học

THCS ở Việt Nam và Pháp ....................................................................................... 24

3.2.1. Phân phối và trình tự nội dung phần hình học ............................................... 24

3.2.1.1. Sách giáo khoa Việt Nam ............................................................................. 24

3.2.1.2. Sách giáo khoa Pháp. ................................................................................... 26

3.2.1.3. Nhận xét ....................................................................................................... 26

3.2.2. Các hình thức khác nhau của chứng minh ...................................................... 27

3.2.2.1. Sách giáo khoa Pháp .................................................................................... 27

3.2.2.2. Sách giáo khoa Việt Nam ............................................................................. 33

3.2.3. Mối tƣơng quan giữa các đối tƣợng hình học ................................................. 35

3.2.4. Chức năng của chứng minh ............................................................................. 36

3.3. Hoạt động và cơ hội phát triển suy luận và chứng minh cho học sinh trong sách

giáo khoa hình học ở Việt Nam và Pháp ................................................................... 37

3.3.1. Bảng số liệu về các chƣơng, bài, bài tập trong sách giáo khoa hình học Việt

Nam và Pháp ............................................................................................................. 37

3.3.2. Các ví dụ về chứng minh định lý ở hai sách giáo khoa Pháp và Việt Nam ....... 38

3.3.2.1. Định lý về tổng ba góc trong một tam giác .................................................. 38

3.3.2.2. Định lý Pythagore ........................................................................................ 43

3.3.2.3. Định lý Thalès .............................................................................................. 47

Chƣơng 4. KẾT LUẬN ........................................................................................... 62

4.1. Kết luận .............................................................................................................. 62

4.2. Đóng góp của nghiên cứu và hƣớng phát triển của đề tài .................................. 63

TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 65

2

LỜI GIỚI THIỆU

Nghiên cứu về dạy và học chứng minh (proof) hay cơ hội suy luận và chứng

minh (reasoning-and-proving opportunities) là một chủ đề lớn của giáo dục toán

trong những năm gần đây. Điều này đƣợc thể hiện qua một số lƣợng lớn các công

trình nghiên cứu về lĩnh vực này (De Villiers, 1990, [12]; Herbst, 2002, [20];

Mariotti, 2006, [25]; Stylianides & Stylianides, 2008, [34]; Stylianides, 2009, [33];

Reid & Knipping, 2010, [31]; Hanna & de Villiers, 2012, [14]; Miyakawa, 2012,

[27]; Thompson, Senk & Johnson, 2012, [35]; Otten, Gilbertson, Males & Clark,

2014, [29]; Otten, Males & Gilbertson, 2014), [30].

Balacheff (2008, [5]) nhấn mạnh rằng có nhiều quan niệm khác nhau về

nghĩa của từ ―chứng minh toán học‖ trong cộng đồng các nhà nghiên cứu giáo dục

toán, tùy theo quan điểm tri thức luận của mỗi tác giả. Reid và Knipping (2010,

[31]) cũng mô tả nhiều cách sử dụng khác nhau của thuật ngữ ―chứng minh‖ (proof

and proving) và những cách tiếp cận khác nhau về dạy và học chứng minh trong nhà

trƣờng. Tính đa dạng này còn đƣợc thể hiện trong bản chất và hình thức của chứng

minh trong các sách giáo khoa hình học nhƣ: dạng của chứng minh (dạng chứng

minh theo 2 cột trong sách giáo khoa ở Mỹ), chức năng của chứng minh, tính chất

và đối tƣợng hình học liên quan đến chứng minh…

Từ quan điểm của thuyết nhân học didactic (Anthropological Theory of

Didactics, ATD) và đặc biệt là tiếp cận có tính sinh thái học (Chevallard, 1994;

Artaud, 1998, [11]), tính đa dạng của các tiếp cận dạy học chứng minh trong nhà

trƣờng có thể đƣợc xem nhƣ là một hệ quả tự nhiên. Theo ATD, tri thức luôn tồn tại

gắn liền với thể chế, và trong những thể chế dạy học khác nhau, tri thức đƣợc dạy

và cần dạy có thể khác nhau. Một đối tƣợng toán học không tồn tại một cách đơn lẻ,

mà luôn tồn tại trong các mối liên hệ và ràng buộc với các đối tƣợng toán học khác,

với những chức năng đặc biệt nào đó (điều này giống với ý tƣởng của sinh thái học,

trong đó một loài sống trong một nơi nào đó của hệ sinh thái, với một vài chức năng

đặc biệt liên quan đến các loài khác). Trên quan điểm sinh thái học này, chứng minh

đƣợc dạy trong các hệ thống dạy học khác nhau giữa các nƣớc có thể có bản chất,

hình thức và chức năng khác nhau.

3

Từ quan điểm của ATD và cách tiếp cận có tinh sinh thái học nhƣ trên,

Miyakawa (2012), [27], đã đề xuất một mô hình gồm bốn bƣớc để phân tích các

khái cạnh liên quan đến bản chất của chứng minh trong các SGK hình học ở Pháp

và Nhật Bản. Bốn bƣớc này bao gồm:

Nhận dạng và làm rõ khái niệm ―chứng minh‖ đƣợc sử dụng trong SGK

thông qua việc tìm hiểu các thuật ngữ nhƣ minh chứng (justify), giải thích

(explain)…

Nhận ra các đặc trƣng chủ yếu của hình thức của chứng minh (the form of

proof)

Nhận ra các mối quan hệ qua lại giữa các đối tƣợng hay tính chất hình học

đƣợc hình thành qua chứng minh

Nhận ra chức năng của chứng minh trong các SGK.

Miyakawa (2012), [27], sử dụng mô hình bốn bƣớc trên để rút ra những điểm

khác biệt liên quan đến bản chất, hình thức và chức năng của chứng minh trong

SGK hình học THCS ở Pháp và Nhật Bản.

Stylianides (2009), [33], cho rằng sự phát triển của chứng minh trong

chƣơng trình toán học phổ thông thƣờng đƣợc xem nhƣ một quá trình mang tính

hình thức và tách biệt với các hoạt động toán học có liên quan đến chứng minh nhƣ

nhận ra quy luật, hình thành giả thuyết, kiểm chứng giả thuyết. Những hoạt động

toán học nhƣ vậy tạo nên nền tảng của sự phát triển chứng minh toán học.

Stylianides (2009), [33], sử dụng thuật ngữ hoạt động suy luận và chứng minh

(reasoning-and-proving activity) để chỉ các hoạt động liên quan và hỗ trợ trong quá

trình chứng minh nhƣ nhận ra quy luật, hình thành giả thuyết, kiểm chứng giả

thuyết, đƣa ra các lập luận không có chứng cứ, và chứng minh.

Dựa trên khái niệm về hoạt động suy luận và chứng minh của Stylianides

(2009), [33], với mục tiêu tập trung vào các hoạt động và cơ hội cho học sinh phát

triển suy luận và chứng minh hơn là bản chất của chứng minh, Otten et al. (2014),

[29], đã phát triển một khung lý thuyết cho phép phân tích các hoạt động và cơ hội

cho học sinh suy luận và chứng minh trong các SGK hình học.

4

Dựa trên hai cách tiếp cận về chứng minh trong các SGK hình học của

Miyakawa (2012), [27], và Otten et al. (2014), [29], chúng tôi sẽ nghiên cứu các đặc

trƣng liên quan đến bản chất của chứng minh và phân tích các cơ hội cho học sinh

phát triển suy luận và chứng minh trong các SGK hình học THCS ở Việt Nam và

Pháp. Chúng tôi sẽ vận dụng các mô hình phân tích của Miyakawa (2012), [27], và

Otten et al. (2014), [29], để phân tích những đặc trƣng khác nhau liên quan đến bản

chất của chứng minh và cơ hội cho học sinh chứng minh trong SGK hình học ở Việt

Nam và Pháp.

Mục tiêu của nghiên cứu này là :

Phân tích các đặc trƣng khác nhau về bản chất, hình thức và chức năng

của chứng minh trong các sách giáo khoa hình học ở bậc THCS ở Việt Nam và

Pháp

Phân tích các cơ hội cho học sinh phát triển suy luận và chứng minh trong

sách giáo khoa hình học THCS ở Việt Nam và Pháp.

Luận văn này bao gồm 4 chƣơng :

Chƣơng 1 : Đặt vấn đề.

Trong chƣơng này chúng tôi giới thiệu tổng quan về : hệ thống dạy học ở

Việt Nam và Pháp; vai trò của sách giáo khoa trong hệ thống dạy học; phân môn

Hình học trong chƣơng trình và sách giáo khoa THCS ở Việt Nam và Pháp; suy

luận và chứng minh toán học : khái niệm chứng minh, phân loại chứng minh, chức

năng của chứng minh, dạy và học chứng minh trong Hình học ở THCS.

Chƣơng 2 : Khung lý thuyết và phƣơng pháp luận nghiên cứu.

Trong chƣơng này chúng tôi giới thiệu sơ lƣợc Thuyết nhân chủng didactic

(ATD); ATD và Tiếp cận sinh thái học trong nghiên cứu chứng minh; mô hình phân

tích bản chất chứng minh trong SGK hình học. Ở đây chúng tôi sử dụng mô hình

bốn bƣớc của Miyakawa (2012), [27], để phân tích các đặc trƣng khác nhau về bản

chất, hình thức và chức năng của chứng minh trong các sách giáo khoa hình học ở

bậc THCS ở Việt Nam và Pháp; Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu và phân tích khung

lý thuyết đề xuất bởi Otten et al. (2014), [29], để phân tích các hoạt động và cơ hội

cho học sinh suy luận và chứng minh trong các sách giáo khoa hình học THCS ở

Việt Nam và Pháp. Từ đó đƣa ra hai câu hỏi nghiên cứu.

5

Chƣơng 3 : Kết quả nghiên cứu.

Chƣơng này trình bày các kết quả của nghiên cứu. Trong phần đầu tiên,

chúng tôi điểm qua phần phân phối nội dung, trình tự chƣơng trình hình học trong

mỗi lớp ở sách giáo khoa Pháp và Việt Nam. Điều này nhằm làm rõ về trình tự và

nội dung hình học ở Pháp và Việt Nam. Phần này cũng đƣa ra các ví dụ để so sánh

bản chất, hình thức, chức năng của chứng minh trong sách giáo khoa hình học ở

Pháp và Việt Nam.

Trong phần thứ hai, chúng tôi nêu những phát hiện quan trọng về cơ hội

phát triển suy luận và chứng minh cho học sinh đƣợc thể hiện trong SGK hình học ở

Việt Nam và Pháp. Những phát hiện này đƣợc xác định dựa vào khung lý thuyết

phân tích. Phần này cũng đƣa ra ba so sánh về cách tiếp cận, chứng minh, vận dụng

của các tính chất, định lý ở sách giáo khoa của hai nƣớc. Từ đó, góp phần so sánh

cơ hội phát triển suy luận và chứng minh cho học sinh của hai nƣớc.

Chƣơng 4 : Kết luận.

Trong chƣơng này, chúng tôi nêu các yếu tố cho phép đƣa đến các câu trả lời

ban đầu đối với các câu hỏi nghiên cứu. Đồng thời chúng tôi cũng nêu lên hạn chế

cũng nhƣ những đóng góp và hƣớng phát triển của đề tài trong tƣơng lai.

6

Chƣơng 1

ĐẶT VẤN ĐỀ

1.1. Tổng quan hệ thống giáo dục phổ thông ở Việt Nam và Pháp

1.1.1. Hệ thống giáo dục phổ thông ở Việt Nam

Hệ thống giáo dục phổ thông ở Việt Nam gồm các cấp :

Cấp nhà trẻ - mẫu giáo :

Là nơi giữ trẻ không bắt buộc dành cho trẻ dƣới độ tuổi đi học chính thức

(dƣới 6 tuổi). Nhà trẻ và mẫu giáo dành cho trẻ dƣới 6 tuổi (thậm chí trẻ mới sinh

vài tháng đã vào nhà trẻ) nhằm mục đích hình thành tƣ duy cho trẻ : tạo những thói

quen, tập tính ngay trong giai đoạn này hay là nơi giúp trẻ vui chơi để ba mẹ đi làm.

Cấp tiểu học:

Cấp tiểu học hay còn đƣợc gọi là cấp I, bắt đầu năm 6 tuổi đến hết năm 11

tuổi. Cấp I gồm có 5 trình độ, từ lớp 1 đến lớp 5. Đây là cấp học bắt buộc đối với

mọi công dân. Học sinh phải học các môn sau: Toán, Tiếng Việt, Tự nhiên và Xã

hội (lớp 1, 2, và 3), Khoa học (lớp 4 và 5), Lịch sử (lớp 4 và 5), Địa lý (lớp 4 và 5),

Âm nhạc, Mỹ thuật, Đạo đức, Thể dục, Tin học (tự chọn), Tiếng Anh (lớp 3, 4, và 5

một số trƣờng cho học sinh học tiếng Anh bắt đầu từ năm lớp 1, lớp 2). Để kết thúc

bậc tiểu học, học sinh phải trải qua kỳ thi tốt nghiệp tiểu học. Từ 2005, kỳ thi này

đã chính thức bãi bỏ.

Cấp trung học cơ sở:

Cấp II gồm có 4 trình độ, từ lớp 6 đến lớp 9, bắt đầu từ 11 đến 15 tuổi. Đây

là một cấp học bắt buộc để công dân có thể có một nghề nghiệp nhất định (tốt

nghiệp cấp |IIcó thể học nghề hay trung cấp chuyên nghiệp mà không cần học tiếp

bậc Trung học phổ thông).

Học sinh đến trƣờng phải học các môn sau: Toán, Vật lý, Hoá học (lớp 8 và

9), Sinh học, Công nghệ, Ngữ văn, Lịch sử, Địa lý, Giáo dục Công dân, Ngoại ngữ

(Anh, Pháp, Nga, Trung, Nhật), Thể dục, Âm nhạc, Mỹ thuật, Tin học (máy vi tính

hoặc điện toán).

Ngoài ra học sinh có thêm một số tiết bắt buộc nhƣ: giáo dục ngoài giờ lên

lớp, giáo dục hƣớng nghiệp (lớp 9), sử ca học đƣờng...

7

Hết cấp trung học cơ sở, học sinh đƣợc xét tốt nghiệp dựa trên thành tích học

tập tích lũy trong bốn năm. Trƣớc đây hết cấp Trung học cơ sở học sinh phải trải

qua kỳ thi tốt nghiệp, nhƣng từ năm 2006 đến nay đã chính thức đƣợc bãi bỏ. Muốn

theo học tiếp trình độ cao hơn (cấp III) học sinh phải tham dự các kỳ thi tuyển sinh.

Giáo dục tiểu học và giáo dục trung học cơ sở là các cấp học phổ cập.

Cấp trung học phổ thông:

Cấp III gồm 3 trình độ, từ lớp 10 đến lớp 12, bắt đầu từ 15 đến 18 tuổi. Để

tốt nghiệp cấp III, học sinh phải tham gia kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông tại

Việt Nam của Bộ Giáo dục và Đào tạo Việt Nam.

1.1.2. Hệ thống giáo dục phổ thông ở Pháp

Hệ thống giáo dục phổ thông của nƣớc Pháp đƣợc chia ra hai cấp:

- Giáo Dục Bậc Tiểu Học

- Giáo Dục Bậc Trung Học

Tất cả các chƣơng trình giáo dục ở Pháp đều do Bộ Giáo Dục Quốc Gia điều

động và quản lý. Đứng đầu là Bộ Trƣởng Bộ Giáo Dục, một trong những bộ trƣởng

hàng cao cấp nhất trong nội các. Giáo viên và giáo sƣ trong hệ thống giáo dục Pháp

là những công chức. Ngay cả giáo sƣ đại học và những nhà nghiên cứu cũng đƣợc

nhà nƣớc thâu nhận và trả lƣơng.

Ở cấp tiểu học và trung học, nhà nƣớc Pháp cho ra một chƣơng trình giáo

dục đồng đều cho mọi học sinh, mọi cấp lớp nhƣ nhau. Các chƣơng trình giáo dục

này đƣợc áp dụng cho các trƣờng công lập, bán công hay những cơ sở giáo dục

hoàn toàn đƣợc cấp ngân sách của nhà nƣớc. Tuy vậy, có tất cả 6 phân bộ chuyên

biệt mà các học sinh có thể chọn lựa. Các nhà giáo dục Pháp phải theo dõi và áp

dụng những chƣơng trình học trong Bộ Bulletin officiel de l’education nationale, de

l’enseignement supérieur et de la recherche để tuân thủ.

- Bậc Tiểu Học:

Bậc tiểu học bao gồm các trƣờng Mầm non và Tiểu học. Việc học ở nƣớc

Pháp là bắt buộc bắt đầu từ 6 tuổi, năm đầu tiên của bậc tiểu học. Nhiều phụ huynh

cho con học sớm hơn lúc 3 tuổi và sau đó đƣa lên học mẫu giáo trong vùng phụ cận.

Nhiều gia đình còn gởi các em sớm một năm, tức là lúc mới 2 tuổi, mà thực tế là

những trƣờng giữ trẻ (day care). Dù vậy khi các em học năm cuối trong trƣờng tiền

8

mẫu giáo này, các em đã đƣợc đọc hiểu. Sau những lớp tiền mẫu giáo, các em tiến

lên học tiểu học, chính ở năm đầu tiên học này là các em sẽ học những năng khiếu

cơ bản về đọc và viết. Cũng giống nhƣ đa phần các hệ thống giáo dục khác, các học

sinh học tiểu học chỉ có một thầy cô đứng lớp, hay chỉ là hai. Giáo viên này sẽ dạy

toàn bộ chƣơng trình cấp lớp cho các em nhƣ Pháp Văn, Toán, khoa học và khoa

học nhân bản…

Các trƣờng công lập không dạy về tôn giáo. Ý niệm dân sự là những điều cần

phải có trong nền giáo dục công, vì thế học sinh còn có những lớp về công dân giáo

dục về nền Cộng Hòa Pháp, vai trò của đất nƣớc, tổ chức và ba điều quan yếu trong

đời sống tinh thần dân tộc Pháp: Tự Do, Bình Đẳng và Bác Ái. Vào năm 2004,

chính phủ Pháp ra đạo luật cấm mọi hình tƣợng tôn giáo ở trƣờng học và những nơi

công cộng với dụng ý là để tạo một tinh thần khoan thứ và chấp nhận giữa những

sắc dân sống trên nƣớc Pháp.

- Bậc Trung Học:

Các trƣờng trung học của Pháp đƣợc chia ra hai loại trƣờng:

 Trƣờng collège là cấp trung học cơ sở, với thời gian học là bốn năm ngay

sau khi rời tiểu học

 Trƣờng lycée, hay là trƣờng trung học phổ thông, kéo dài ba năm sau

trung học cơ sở.

Khi hoàn tất học trình sẽ hƣớng đến lấy bằng Tú tài (Baccalauréat).

Bằng tiểu học là bằng chính thức đầu tiên mà học sinh sẽ thi. Nhƣng không

nhất thiết phải đậu bằng này mới vào đƣợc trung học. Để đƣợc vào trung học, bắt

đầu từ 2007, điểm học bạ của năm thứ ba sẽ đƣợc xem xét để học sinh đƣợc vào

trung học. Những kỳ thi sát hạch cho học sinh là các môn Pháp văn, Lịch Sử, Địa

Dƣ, Công dân giáo dục. Từ 2011, học sinh đƣợc sát hạch thêm Lịch Sử của Nghệ

Thuật, và một kỳ thi khẩu vấn.

Bằng Trung Học phổ thông đƣợc cấp sau khi học sinh vƣợt qua kỳ thi Tú tài.

Thƣờng là học sinh thi kỳ thi này năm 18 tuổi nếu trƣớc đó chƣa từng bị ở lại lớp.

Kỳ thi Tú tài là một kỳ thi sát hạch ba ban ngành. Ban Khoa Học tập chú vào

các ngành khoa học tự nhiên, khoa học vật lý, và toán học. Ban Kinh Tế và Xã Hội

tập chú kinh tế học, khoa học xã hội và toán. Ban Văn Chƣơng tập chú vào Pháp

9

Văn, ngoại ngữ, triết học, sử địa và nghệ thuật (tùy lựa chọn). Mặc dầu học sinh thi

ba ngành khác nhau, sự chuyên biệt trong bằng cấp không hạn chế quyền lựa chọn

ban ngành trên đại học. Ở giáo dục bậc đại học, sinh viên có quyền lựa chọn ban

nhiệm ý nào ở đại học thích hợp với sở nguyện của họ.

Ngoài ra còn có những bằng tú tài kỹ thuật và tú tài hƣớng nghiệp. Trong khi

tú tài kỹ thuật kết hợp huấn luyện thực hành và lý thuyết về ngành nghề để chuẩn bị

cho sinh viên lên học cao hơn thì tú tài hƣớng nghiệp tập trung vào huấn nghệ và

chuẩn bị cho học sinh đi thẳng vào thi trƣờng lao động.

1.2.Vai trò của sách giáo khoa trong hệ thống dạy học

1.2.1. Vai trò của sách giáo khoa trong hệ thống dạy học ở Việt Nam

Sách giáo khoa là tài liệu quan trọng trong dạy và học. Có một thời, trong

các nhà trƣờng luôn tuyệt đối hóa vai trò của sách giáo khoa, với quan niệm không

đƣợc lệch sách, dù chỉ một dấu phẩy. Tuy nhiên, trong thời đại bùng nổ thông tin

nhƣ hiện nay, quan niệm về sách giáo khoa đã có nhiều thay đổi.

Trong giáo dục phổ thông, chƣơng trình là văn bản mang tính pháp lý, còn

sách giáo khoa là tài liệu chính đƣợc sử dụng trong dạy học, chỉ có tính hƣớng dẫn.

Những ngƣời tham gia xây dựng chƣơng trình sách giáo khoa cho rằng không nên

―nặng nề‖ quá với sách giáo khoa mà nên coi sách giáo khoa là tài liệu soạn bài của

giáo viên, tài liệu học của học sinh, vì bên cạnh đó còn có nhiều nguồn tham khảo

khác. Sách giáo khoa là tài liệu giáo khoa đƣợc sử dụng chính thức, thống nhất, ổn

định trong giảng dạy, học tập và chỉ là một kênh cung cấp thông tin có tính chuẩn

mực cho mọi đánh giá và thi cử trong các nhà trƣờng. Từ quan niệm thay đổi đó sẽ

dẫn đến thay đổi cách nhìn nhận, đánh giá về sách giáo khoa. Vì vậy, không tuyệt

đối hóa vai trò của sách giáo khoa trong dạy và học, càng không nên có quan niệm

sai lầm coi sách giáo khoa là ―pháp lệnh‖.

1.2.2. Vai trò của sách giáo khoa trong hệ thống dạy học ở Pháp

Ở Pháp, chƣơng trình phổ thông đƣợc công bố trên trang web của Bộ Giáo

dục quốc gia, các vùng giáo dục (Académie) và nhiều tổ chức liên quan khác.

Riêng đối với môn toán THPT, phần chính của chƣơng trình là một bảng

gồm ba cột: nội dung cần giảng dạy (cột 1), phƣơng thức đƣa nội dung tƣơng ứng

10

vào giảng dạy (cột 2) và chú thích (cột 3). Trong trƣờng hợp một khái niệm toán

học có nhiều cách tiếp cận hoặc định nghĩa khác nhau, cột thứ hai chỉ ra cách tiếp

cận hoặc định nghĩa cần sử dụng. Điều này giúp tất cả sách giáo khoa về cơ bản đều

có nội dung thống nhất và phù hợp với tinh thần chƣơng trình dù đƣợc nhiều nhóm

tác giả khác nhau biên soạn. Cột thứ ba quy định một số điều đƣợc phép hoặc không

đƣợc phép, giúp tác giả sách giáo khoa loại bỏ những trƣờng hợp gây tranh cãi về

dạng bài tập hoặc kỹ thuật giải.

Bộ Giáo dục quốc gia Pháp không quy định đối tƣợng đƣợc viết sách giáo

khoa. Trên thực tế, tác giả sách giáo khoa trung học thƣờng là giáo viên trung học

cao cấp, thanh tra sƣ phạm vùng, hoặc các nhà nghiên cứu sƣ phạm.

Sách giáo khoa Pháp không chỉ trình bày phần bài học mà còn giới thiệu các

hoạt động tiếp cận bài học và hệ thống hóa bài tập theo chủ đề lẫn cấp độ khó. Theo

nghĩa của nƣớc ta hiện nay, nó không chỉ đơn thuần là sách giáo khoa mà còn là

một quyển sách bài tập và tham khảo đáng tin cậy. Điều này là một trong những

nguyên nhân khiến học sinh Pháp không phải tham gia học thêm vì sợ không giải

đƣợc bài tập. Một môn học ở một khối lớp có nhiều bộ sách giáo khoa của nhiều

nhóm tác giả khác nhau. Giáo viên bộ môn là ngƣời quyết định học sinh của mình

nên chọn bộ sách nào. Giáo viên bộ môn nào sử dụng hai bộ sách giáo khoa cho

một khối lớp thì học sinh phải mua hai bộ sách giáo khoa tƣơng ứng để có thể theo

dõi bài giảng của thầy. Do đƣợc toàn quyền quyết định tiến độ giảng dạy các nội

dung của sách giáo khoa miễn sao kết thúc nội dung quy định trong thời hạn năm

học, giáo viên Pháp không bị ràng buộc bởi phân phối chƣơng trình nhƣ ở ta (quy

định số tiết dạy dành cho từng bài và thời điểm kiểm tra viết).

1.3. Phân môn Hình học trong chƣơng trình và sách giáo khoa THCS ở Việt

Nam và Pháp

Chƣơng trình toán THCS nƣớc Cộng hòa Pháp có đặc điểm sau:

- Toán học gắn với nhu cầu cuộc sống

- Xây dựng tinh thần học tích hợp: kết hợp giữa hình, đại số, hàm số, xử lý số

liệu thống kê một cách hợp lí theo từng lớp. Hình học phẳng và hình học không

gian đƣợc học rải rác từ lớp 6 đến lớp 9.

11

- Coi trọng thao tác thực hành, tính toán, nhiều định lý toán học đƣợc công

nhận.

- Thể hiện tính hiện đại

- Làm rõ nét phƣơng pháp dạy học toán là tổ chức hoạt động cho học sinh.

Ở Việt Nam, chƣơng trình cũng nhằm phát triển tƣ duy cho học sinh theo

các hƣớng:

Phát triển khả năng suy luận

Kích thích trí tƣởng tƣợng

Tạo thói quen diễn đạt rõ ràng

Tạo tính thứ tự, cẩn thận.

Mục tiêu môn Toán ở trƣờng THCS :

- Cung cấp cho học sinh những kiến thức phƣơng pháp toán học phổ thông

cơ bản thiết thực : những kiến thức ban đầu về hình học phẳng, quan hệ bằng nhau,

quan hệ đồng dạng giữa hai hình phẳng, một số yếu tố về lƣợng giác, một số vật thể

trong không gian

- Hình thành và rèn luyện kĩ năng : Vẽ hình, đo đạc, ƣớc lƣợng

- Bƣớc đầu hình thành khả năng vận dụng các kiến thức toán học vào đời

sống và các môn học khác.

- Rèn luyện khả năng suy luận hợp lí và lôgic, khả năng quan sát dự đoán,

phát triển trí tƣởng tƣợng không gian. Rèn luyện khả năng sử dụng ngôn ngữ chính

xác, bồi dƣỡng các phẩm chất của tƣ duy nhƣ: linh hoạt, độc lập, sáng tạo. Bƣớc

đầu hình thành thói quen tự học, diễn đạt chính xác và sáng sủa ý tƣởng của mình

và hiểu đƣợc ý tƣởng của ngƣời khác. Góp phần hình thành các phẩm chất lao động

khoa học cần thiết của ngƣời lao động mới.

1.4. Suy luận và chứng minh toán học

1.4.1. Khái niệm chứng minh

Trong toán học, một chứng minh là một cách trình bày nhằm thuyết phục (sử

dụng những chuẩn mực đã đƣợc chấp nhận trong lĩnh vực đó) rằng một phát biểu

toán học là đúng đắn. Chứng minh có đƣợc từ lập luận suy diễn, chứ không phải là

lập luận kiểu quy nạp hoặc theo kinh nghiệm. Có nghĩa là, một chứng minh phải

12

cho thấy một phát biểu là đúng với mọi trƣờng hợp, không có ngoại lệ. Một

mệnh đề chƣa đƣợc chứng minh nhƣng đƣợc chấp nhận đúng đƣợc gọi là một

phỏng đoán.

Phát biểu đã đƣợc chứng minh thƣờng đƣợc gọi là định lý. Một khi định lý

đã đƣợc chứng minh, nó có thể đƣợc dùng làm nền tảng để chứng minh các phát

biểu khác. Một định lý cũng có thể đƣợc gọi là bổ đề, đặc biệt nếu nó đƣợc dự định

dùng làm bƣớc đệm để chứng minh một định lý khác.

Các tranh luận về sự hợp lý bằng cách sử dụng các vật dụng có sẵn nhƣ hình

ảnh hay vật tƣơng tự là tiền đề cho các chứng minh toán học chính xác. Sự phát

triển của chứng minh toán học chủ yếu là sản phẩm của nền văn minh Hy Lạp.

Thales (624–546 TCN) đã chứng minh một số định lý trong hình học. Eudoxus

(408–355 TCN) và Theaetetus (417–369 TCN) đã công thức hóa các định lý nhƣng

không chứng minh. Aristoteles (384–322 TCN) nói rằng các định nghĩa cần đƣợc

mô tả bằng những khái niệm đã biết. Euclid (300 TCN) đã bắt đầu từ những thuật

ngữ chƣa đƣợc định nghĩa là các tiên đề (các mệnh đề sử dụng những thuật ngữ

chƣa định nghĩa đƣợc giả thiết là hiển nhiên đúng, nguyên từ Hy Lạp là "axios" có

nghĩa là "một thứ giá trị") và đã dùng những thứ này để chứng minh các định lý

bằng luận lý suy diễn. Lý thuyết chứng minh hiện đại xem các chứng minh là những

cấu trúc dữ liệu đƣợc định nghĩa một cách quy nạp. Ngƣời ta không còn giả thiết

rằng các tiên đề lúc nào cũng "đúng đắn"; điều này cho phép các lý thuyết toán học

đƣợc xây dựng song song nhau dựa trên những tập tiên đề khác nhau (Lý thuyết tập

hợp tiên đề và Hình học phi Euclid là các ví dụ).

Để thực hiện một chứng minh toán học, việc xem xét một trƣờng hợp cụ thể

là không đủ. Thậm chí việc chứng minh còn nhằm đƣa ra các luận cứ cho các phát

biểu (cf. Jaffe & Quinn, 1993; Thurston, 1994). Ở trƣờng học, sự chặt chẽ của các

chứng minh toán học không nhất thiết phải nghiêm ngặt nhƣ đối với các nhà toán

học. Mặc dù có một số ngƣời ủng hộ sự chặt chẽ của toán học, nó có thể khác nhau

tùy thuộc vào đối tƣợng (ví dụ, các nhà toán học và học sinh) hoặc các ngữ cảnh.

Chứng minh hợp lệ thƣờng đƣợc kết hợp với ý tƣởng của sự chặt chẽ. Trong nhiều

lớp học, có một định nghĩa không chính thức rằng : một chứng minh là nghiêm ngặt

nếu từng bƣớc suy luận đều có căn cứ. Tuy nhiên, đối với các nhà toán học, sự chặt

13

chẽ thay đổi tùy theo thời gian và hoàn cảnh, và vài suy luận trong các tạp chí toán

học đáp ứng các tiêu chí của các giáo viên dạy hình học trung học cơ sở. Thông

thƣờng, tính nghiêm ngặt đòi hỏi phải tăng lên khi kết quả có vẻ không đƣợc chính

xác. (Usiskin, 1987, p. 25, [36]).

1.4.2. Phân loại chứng minh

Balacheff (1988, [5]) phân thành bốn loại chứng minh khác nhau của học

sinh trong hai nhóm :

Chứng minh võ đoán, bao gồm :

(1) dựa vào kinh nghiệm đơn thuần, trong đó bao gồm việc khẳng định tính

đúng đắn của một phát biểu sau khi kiểm tra một số trƣờng hợp

(2) dựa vào kinh nghiệm để khẳng định nếu một phát biểu đúng trong mẫu

nghiên cứu thì sẽ đúng trong các trƣờng hợp còn lại.

Chứng minh dựa trên khái niệm, bao gồm :

(3) từ ví dụ chung nhằm mở rộng để làm rõ tính đúng đắn của khẳng định

hay phép biến đổi gián tiếp bằng chính khả năng của mình

(4) tách ra khỏi một trƣờng hợp đặc biệt.

Theo định nghĩa của Balacheff, chứng minh thực tiễn là những chứng minh

dựa vào các hành động thực tế, trong khi chứng minh khái niệm là những chứng

minh không liên quan đến hành động và dựa vào công thức, các tính chất trong câu

hỏi và mối quan hệ giữa chúng.

Harel và Sowder (1998, [16]) đƣa ra ba mức khác nhau của một chứng minh

: dựa vào các yếu tố bên ngoài, chứng minh thực nghiệm, và các chứng minh suy

diễn. Phụ thuộc các yếu tố bên ngoài nhƣ giáo viên hoặc sách giáo khoa; các lập

luận (ví dụ, một định dạng hai cột trong chứng minh hình học); hoặc trên các thao

tác biểu tƣợng. Chứng minh thực nghiệm dựa vào hoặc là các ví dụ của các phép đo

trực tiếp về số lƣợng, thay thế cho con số cụ thể trong các biểu thức đại số ... hay

nhận thức. Các chứng minh suy diễn liên quan đến các quá trình tính tổng quát, suy

nghĩ vận hành, và suy luận logic.

Stylianides (2009, [33]) phân biệt lập luận không chứng minh từ chứng minh

toán học. Ông đã sử dụng hai tiêu chí, lập luận thực nghiệm để xác định chúng nhƣ

là lập luận không chứng minh. Ông định nghĩa khái niệm về một lập luận thực

14

nghiệm trình bày cách học sinh tham gia lập luận thực nghiệm nhƣ sau : một lập

luận thực nghiệm ngụ ý cho thấy tính đúng đắn của một phát biểu toán học bằng

cách kiểm tra tất cả các trƣờng hợp có thể xảy ra theo kinh nghiệm của học sinh,

điều đó là không hợp lệ, có khả năng củng cố các quan niệm sai lầm phổ biến : một

ví dụ cụ thể có thể chứng minh cho một phát biểu toán học. (Stylianides, 2009, p.

266, [33]).

1.4.3. Chức năng của chứng minh

Các nghiên cứu trong giáo dục toán đã nhận ra và xác định đƣợc vai trò của

chứng minh trong các hoạt động toán học (de Villiers, 1990, [12] ; Miyakawa,

2012, [27]). Chứng minh trong toán học không chỉ nhằm mục đích xác minh một

phát biểu là đúng, mà còn để giải thích tại sao phát biểu đó lại đúng, để trao đổi các

ý tƣởng toán học, để hệ thống hóa các kiến thức khác nhau… Các nhà nghiên cứu

giáo dục toán (de Villiers, 1990, [12]) đã phân loại vai trò và chức năng của chứng

minh nhƣ sau :

Chức năng xác minh : xác minh (thuyết phục và biện minh) tính đúng đắn

của một phát biểu (mệnh đề)

Chức năng giải thích : giải thích tính chất đƣợc khẳng định ; cho thấy tính

gắn kết của tính chất đó với các tính chất toán học khác liên quan ; cho thấy chứng

minh có thể giúp học sinh hiểu hơn ý nghĩa của các nội dung toán học

Chức năng khám phá, phát hiện : tham gia vào một chứng minh có thể

giúp học sinh khám phá, phát hiện thêm các tính chất mới, mệnh đề mới

Chức năng hệ thống hóa kiến thức : vì chứng minh liên quan đến việc rút

ra một kết luận từ một tập hợp các tiên đề, định nghĩa, định lý… nên chứng minh

cũng đóng vai trò hệ thống hóa và kết nối các kiến thức đó với nhau.

Xem xét sự khác nhau về bản chất, vai trò và chức năng của chứng minh

trong chƣơng trình và sách giáo khoa ở các nƣớc khác nhau là một vấn đề đƣợc

nhiều nhà nghiên cứu quan tâm. Sự khác nhau này có thể đƣợc thể hiện qua dạng

trình bày chứng minh (chứng minh dạng 2 cột, 3 cột…), các mệnh đề cần phải

chứng minh, các tính chất đƣợc sử dụng (định nghĩa, định lý…).

15

1.4.4. Dạy và học chứng minh trong Hình học ở THCS

Toán học là một môn khoa học chứng minh, và điều này phân biệt toán học

với tất cả các ngành khác. Chứng minh cũng là một phần cơ bản trong các lớp học

toán học (Heinze & Reiss, 2007, [19]). Tuy nhiên, nhiều nghiên cứu thực nghiệm

cho thấy rằng học sinh ở tất cả các nƣớc có những khó khăn đáng kể trong việc biểu

diễn chứng minh toán học, (ví dụ, Healy & Hoyles, 2000, [17]; Heinze, 2004, [18];

Lin và Cheng, 2003, [23]; Lin, Yang, và Chen, 2004, [24]; Reiss, Hellmich, &

Thomas, 2002, [32]).

Các cơ hội để học sinh học suy luận và chứng minh toán học là khác nhau

giữa các quốc gia, liên quan đến tài liệu giảng dạy (ví dụ, sách giáo khoa), các lĩnh

vực toán học khác nhau (ví dụ, hình học, đại số) và phƣơng pháp giảng dạy. Tất cả

những yếu tố ảnh hƣởng đến việc học tập của học sinh phụ thuộc lẫn nhau. Làm

sách giáo khoa chủ yếu là phản ánh các chƣơng trình dự định, ngoài ra cũng phản

ánh các cơ hội cho học sinh học chứng minh toán học. Thật vậy, Mayer (1989, [26])

tìm thấy rằng các tài liệu học tập là một trong những thành phần quan trọng nhất

ảnh hƣởng đến giảng dạy và học tập. Đặc biệt, sách giáo khoa thƣờng đƣợc các giáo

viên mới vào nghề sử dụng. (Ball & Feiman-Nemser, 1988, [7]). Begle (1973, [8])

cũng nhận thấy rằng sách giáo khoa có một ảnh hƣởng mạnh mẽ đến những nội

dung học sinh sẽ tìm hiểu : học sinh sẽ tìm hiểu nếu một chủ đề xuất hiện trong sách

giáo khoa, còn nếu các chủ đề không có trong sách giáo khoa thì đa số học sinh

không tìm hiểu nó.

Mặc dù đã có sự đồng thuận về tầm quan trọng của suy luận và chứng minh

toán học giữa nghiên cứu học thuật và chƣơng trình giảng dạy, các lập luận về

những loại suy luận/chứng minh toán học cần đƣợc cung cấp trong các trƣờng học

đã đƣợc thảo luận sâu hơn những năm gần đây (ví dụ, Balacheff, 1988, [5]; Ball &

Bass, 2003, [6]; Chazan, 1993, [10]; Moore, 1994, [28]). Những loại nội dung và

các suy luận toán học đƣợc coi là thích hợp cho học sinh cũng có thể phụ thuộc vào

truyền thống giảng dạy hoặc các nền văn hóa của mỗi một quốc gia.

Dạy và học chứng minh toán học là những hoạt động phức tạp. Có nhiều

khía cạnh khác nhau cần đƣợc xem xét. Ví dụ, những khó khăn trong việc học

16

chứng minh toán học của học sinh (nhƣ việc xây dựng bài toán chứng minh, các yếu

tố đã cho và các yếu tố còn thiếu trong bài toán chứng minh, Boero, Garuti, Lemut,

& Mariotti, 2006, [25]; Chazan, 1993, [10]; Weber, năm 2001, [37]; Zaslavsky,

Nickerson, Stylianides, Kidron, & Wincki-Landman, 2012, [18]), cũng nhƣ kiến

thức của giáo viên về chứng minh toán học đƣợc thảo luận rộng rãi.

Hơn nữa, có rất nhiều chức năng khác nhau mà chứng minh toán học và có

nhiều cách khác nhau để trình bày chứng minh toán học. Tuy nhiên, các nguyên tắc

cần thiết cho chứng minh toán học là "xác định rõ các giả thiết và lý giải hợp lý để

rút ra kết luận cần thiết "(Hanna & de Villiers, 2012, p. 329, [14]).

Ngoài ra, hình học đƣợc xem nhƣ là một lĩnh vực then chốt để giới thiệu cho

học sinh nội dung suy luận và chứng minh trong nhà trƣờng. Hình học không chỉ

liên quan đến trực giác (sự hiểu biết trực quan), chịu ảnh hƣởng bởi thị giác về các

con số, mà còn liên quan đến các lập luận logic (trừu tƣợng), sử dụng các quy tắc và

nguyên tắc để chứng minh một loạt các tính chất của các định lý khác nhau. Mặc dù

hình học không phải là chủ đề duy nhất cung cấp cơ hội cho học sinh học hỏi chứng

minh toán học, nhƣng nó là cách đặc biệt để tìm hiểu cách thức học sinh phát triển

khả năng chứng minh toán học từ giai đoạn bắt đầu chứng minh hình thức. Ngoài

ra, hình học ở cấp Trung học cơ sở có thể xem là bƣớc chuyển tiếp giữa hình học tự

nhiên và mang tính thực nghiệm ở Tiểu học sang hình học tiên đề. Vì vậy, hầu hết

chƣơng trình hình học cấp Trung học cơ sở ở các nƣớc đều chú trọng giới thiệu một

cách ngầm ẩn hoặc tƣờng minh khái niệm chứng minh, thế nào là một chứng minh

trong hình học… nhằm giúp học sinh dần dần làm quen với một cách lập luận xác

minh chân lý mới trong hình học mà không cần đến trực giác hay đo đạc. Vì vậy,

nghiên cứu đối tƣợng tri thức « chứng minh » trong hình học ở cấp Trung học cơ sở

là hợp lý và thu hút nhiều nhà nghiên cứu quan tâm.

1.5. Ghi nhận và đặt vấn đề

Chứng minh là hoạt động toán học quan trọng và thƣờng gặp trong dạy học

toán. Nghiên cứu sự khác nhau về bản chất, vai trò và chức năng của chứng minh

trong hình học là vấn đề đã và đang đƣợc nhiều nhà nghiên cứu quan tâm

(Miyakawa, 2012, [27]; Otten, 2014, [29] ; Stylianides, 2009, [33] ; Jones & Fujita,

17

2013, [40]). Nhiều nghiên cứu về so sánh bản chất và vai trò của chứng minh trong

sách giáo khoa ở các nƣớc đã đƣợc tiến hành. Chẳng hạn, Miyakawa (2012 ; 2014,

[27]) đã bƣớc đầu tìm hiểu sự khác nhau về bản chất và vai trò của chứng minh

trong sách giáo khoa hình học Trung học cơ sở ở Pháp và Nhật Bản. Chang (2013,

[9]) nghiên cứu so sánh các cơ hội cho việc học chứng minh trong sách giáo khoa

hình học ở Đức và Đài Loan. Jones & Fujita (2013, [40]) tập trung phân tích so

sánh việc dạy và học suy luận và chứng minh trong sách giáo khoa hình học ở Anh

và Nhật Bản… Tuy nhiên, các nghiên cứu so sánh về chủ đề chứng minh trong hình

học ở Pháp và Việt Nam hầu nhƣ chƣa có tác giả nào thực hiện. Đây là một khía

cạnh mới và cần đƣợc nhiều nhà nghiên cứu giáo dục toán quan tâm tìm hiểu.

Một trong những vấn đề quan trọng khi tiếp cận chủ đề phân tích so sánh suy

luận và chứng minh giữa các sách giáo khoa là phƣơng pháp luận hay khung nội

dung phân tích. Trong chƣơng 2, chúng tôi sẽ trình bày và làm rõ khung nội dung

phân tích so sánh chủ đề chứng minh trong sách giáo khoa mà chúng tôi lựa chọn.

Khung nội dung phân tích này cũng đóng vai trò phƣơng pháp luận đính hƣớng

cách chúng tôi phân tích so sánh khía cạnh suy luận và chứng minh trong sách giáo

khoa ở Pháp và Việt Nam trong chƣơng Kết quả nghiên cứu.

18

Chƣơng 2

KHUNG LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP LUẬN NGHIÊN CỨU

2.1. Sơ lƣợc Thuyết nhân chủng didactic và Tiếp cận sinh thái học trong

nghiên cứu chứng minh

Theo Thuyết nhân chủng học didactic (ATD) khởi xƣớng bởi Chevallard

(1994, [11]), tri thức luôn tồn tại gắn liền với thể chế, và trong những thể chế dạy

học khác nhau, tri thức đƣợc dạy và cần dạy có thể khác nhau. Một đối tƣợng toán

học không tồn tại một cách đơn lẻ, mà luôn tồn tại trong các mối liên hệ và ràng

buộc với các đối tƣợng toán học khác, với những chức năng đặc biệt nào đó (điều

này giống với ý tƣởng của sinh thái học, trong đó một loài sống trong một nơi nào

đó của hệ sinh thái, với một vài chức năng đặc biệt liên quan đến các loài khác).

Trên quan điểm sinh thái học này, chứng minh đƣợc dạy trong các hệ thống dạy học

khác nhau giữa các nƣớc có thể có bản chất, hình thức và chức năng khác nhau.

Lý do của việc tập trung nghiên cứu chức năng của chứng minh xuất phát từ

sự thừa nhận rằng các chức năng của chứng minh là những yếu tố chủ yếu lập nên

bản chất của chứng minh. Theo một tiếp cận sinh thái học đề xuất trong Thuyết

nhân học didactic (Chevallard, 1994, [11]), hệ thống các tri thức toán học đƣợc dạy

trong nhà trƣờng đƣợc hình thành dƣới những điều kiện cho phép chúng tồn tại, và

cả những ràng buộc cản trở sự tồn tại đó trong một thể chế hoặc một hệ thống giáo

dục. Chúng tôi cũng đồng ý với quan điểm này khi vận dụng vào xem xét đối tƣợng

tri thức ―chứng minh‖ trình bày trong các sách giáo khoa. Các bản chất khác nhau

của chứng minh tìm thấy trong các thể chế dạy học (chƣơng trình, sách giáo khoa) ở

các nƣớc khác nhau đƣợc hình thành từ ảnh hƣởng của một hệ thống các điều kiện

và ràng buộc. Chứng minh đƣợc dạy trong các nƣớc khác nhau có thể có bản chất

khác nhau. Những gì học sinh sẽ đƣợc học, những gì học sinh thực sự đƣợc học,

những khó khăn học sinh gặp phải… có thể khác nhau giữa các nƣớc.

Trong giáo dục toán, một số tác giả cũng đã tìm hiểu nghiên cứu sự khác

nhau về bản chất của chứng minh đƣợc giảng dạy trong toán học nhà trƣờng. Chẳng

hạn, Knipping (2002, [22]) thấy rằng trong trƣờng hợp định lý Pythagore, các quá

19

trình chứng minh có các chức năng khác nhau trong sách giáo khoa lớp 8 ở Đức và

ở Pháp. Trong sách giáo khoa lớp 8 ở Đức, chứng minh nghĩa là làm cho rõ nghĩa

của định lý, trong khi đó ở Pháp đòi hỏi phải giải thích tại sao. Yu-Ping Chang

(2005, [41]) nhận xét rằng chứng minh là một đối tƣợng dạy học đƣợc trình bày một

cách tƣờng minh trong các trƣờng phổ thông ở Pháp và các trƣờng phổ thông chất

lƣợng cao ở Đức (German Gymnasium), trong khi đó chứng minh không phải đối

tƣợng dạy học đƣợc trình bày rõ ràng trong các trƣờng phổ thông chất lƣợng thấp

hơn ở Đức (German Realschule and Hauptschule).

2.2. Mô hình phân tích bản chất chứng minh trong sách giáo khoa hình học

Từ quan điểm của ATD và cách tiếp cận có tính sinh thái học nhƣ trên,

Miyakawa (2012, [27]) đã đề xuất một mô hình gồm bốn bƣớc để phân tích các khía

cạnh liên quan đến bản chất của chứng minh trong các sách giáo khoa hình học ở

Pháp và Nhật Bản. Bốn bƣớc này bao gồm:

Nhận dạng và làm rõ khái niệm ―chứng minh‖ đƣợc sử dụng trong sách

giáo khoa thông qua việc tìm hiểu các thuật ngữ nhƣ minh chứng (justify), giải thích

(explain)…

Nhận ra các đặc trƣng chủ yếu về dạng chứng minh (the form of proof)

Nhận ra các mối quan hệ qua lại giữa các đối tƣợng hay tính chất hình học

đƣợc hình thành qua chứng minh

Nhận ra chức năng của chứng minh trong các sách giáo khoa.

Miyakawa (2012, [27]) sử dụng mô hình bốn bƣớc trên để rút ra những điểm

khác biệt liên quan đến bản chất, hình thức và chức năng của chứng minh trong

sách giáo khoa hình học THCS ở Pháp và Nhật Bản.

2.3. Khung lý thuyết phân tích hoạt động suy luận và chứng minh trong sách

giáo khoa hình học

Stylianides (2009, [33]) cho rằng sự phát triển của chứng minh trong chƣơng

trình toán học phổ thông thƣờng đƣợc xem nhƣ một quá trình mang tính hình thức

và tách biệt với các hoạt động toán học có liên quan đến chứng minh nhƣ nhận ra

quy luật, hình thành giả thuyết, kiểm chứng giả thuyết. Những hoạt động toán học

nhƣ vậy tạo nên nền tảng của sự phát triển chứng minh toán học. Stylianides (2009,

20

[33]) sử dụng thuật ngữ hoạt động suy luận và chứng minh (reasoning-and-proving

activity) để chỉ các hoạt động liên quan và hỗ trợ trong quá trình chứng minh nhƣ

nhận ra quy luật, hình thành giả thuyết, kiểm chứng giả thuyết, đƣa ra các lập luận

không có chứng cứ, và chứng minh.

Dựa trên khái niệm về hoạt động suy luận và chứng minh của Stylianides

(2009, [33]), với mục tiêu tập trung vào các hoạt động và cơ hội cho học sinh phát

triển suy luận và chứng minh hơn là bản chất của chứng minh, Otten et al. (2014,

[29]) đã phát triển một khung lý thuyết cho phép phân tích các hoạt động và cơ hội

cho học sinh suy luận và chứng minh trong các sách giáo khoa hình học nhƣ trong

bảng dƣới đây:

Bảng 2.1. Khung nội dung suy luận và chứng minh trong các sách giáo khoa hình

học của Otten và cộng sự

Phần trình bày Phần bài tập

Tính chất, định lý, Liên quan đến Liên quan đến lập

mệnh đề mệnh đề toán học luận toán học

Dạng tổng quát Dạng tổng quát

Dạng đặc biệt Dạng đặc biệt Phát biểu hoặc Dạng tổng quát Dạng tổng quát Dạng tổng quát tình huống toán Dạng đặc biệt với một trƣờng hợp hóa với một trƣờng học cụ thể đƣợc minh hợp cụ thể đƣợc

họa minh họa

Đƣa ra một giả Xây dựng một

thuyết, chắt lọc chứng minh

thành một phát Phát triển một lý

biểu, hoặc đƣa ra Hoạt động của lẽ hoặc một lập luận

kết luận học sinh đƣợc không có chứng

mong đợi Điền vào chỗ minh

trống của một giả Phác thảo chứng

thuyết cho trƣớc minh hoặc xây

Khảo sát, khám dựng chứng minh

21

phá một giả thuyết dựa vào một phác

thảo cho trƣớc

Điền vào các chỗ

trống của một lập

luận hoặc chứng

minh

Đánh giá hoặc

sửa chữa một chứng

minh cho trƣớc

Tìm một phản ví

dụ

Kiểu suy diễn Kiểu suy diễn Kiểu suy diễn Mang tính kinh (tƣờng minh) (tƣờng minh) nghiệm, thực Minh chứng Mang tính kinh Mang tính kinh nghiệm (hoặc môi trƣờng nghiệm, thực nghiệm, thực Dạng phác thảo cho khám phá) nghiệm (tƣờng nghiệm (tƣờng Dành cho học minh) minh) sinh Ngầm ẩn Ngầm ẩn Không có

Phát biểu về suy Bài tập về suy luận và chứng minh luận và chứng minh

Dựa trên hai cách tiếp cận về chứng minh trong các sách giáo khoa hình học

của Miyakawa (2012, [27]) và Otten et al. (2014, [29]), chúng tôi sẽ nghiên cứu các

đặc trƣng liên quan đến bản chất của chứng minh và phân tích các cơ hội cho học

sinh phát triển suy luận và chứng minh trong các sách giáo khoa hình học THCS ở

Việt Nam và Pháp.

2.4. Câu hỏi nghiên cứu

Mục tiêu của nghiên cứu này là xem xét các bản chất và chứng năng khác

nhau của chứng minh có thể có trong các sách giáo khoa hình học bậc Trung học cơ

sở ở Pháp và Việt Nam, cũng nhƣ phân tích cơ hội phát triển suy luận và chứng

22

minh cho học sinh đƣợc trình bày trong các sách giáo khoa này. Từ đó, chúng tôi

đặt ra các câu hỏi nghiên cứu sau đây:

Câu hỏi 1. Đặc trƣng khác nhau về hình thức, bản chất, và chức năng của

chứng minh trong các sách giáo khoa hình học ở bậc THCS ở Việt Nam và Pháp

đƣợc thể hiện nhƣ thế nào?

Câu hỏi 2. Các cơ hội cho học sinh phát triển suy luận và chứng minh trong

sách giáo khoa hình học THCS ở Việt Nam và Pháp đƣợc trình bày nhƣ thế nào?

Các đặc điểm giống nhau và khác nhau nhƣ thế nào?

2.5. Phƣơng pháp nghiên cứu

Để làm rõ những khác nhau có thể có về bản chất và chức năng của chứng

minh, chúng tôi tiến hành so sánh các sách giáo khoa bậc Trung học cơ sở ở Pháp

và Việt Nam. Đối tƣợng nghiên cứu của chúng tôi là vấn đề chứng minh đƣợc trình

bày trong các sách giáo khoa ở Pháp và Việt Nam, chứ không phải đối tƣơng tri

thức chứng minh đƣợc thực sự dạy học trên lớp.

2.5.1. Lựa chọn sách giáo khoa

Pháp và Việt Nam đều có chung đặc điểm là bậc Trung học cơ sở kéo dài 4

năm. Ở Việt Nam, chỉ có duy nhất một bộ sách giáo khoa đƣợc sử dụng, trong khi ở

Pháp có nhiều bộ sách giáo khoa khác nhau. Trong phần phân tích đối tƣợng tri thức

chứng minh trong sách giáo khoa Pháp, chúng tôi sử dụng các sách giáo khoa phổ

biến sau: Transmath (lớp 6), Transmath, Triangle (lớp 7), Transmath, Triangle (lớp

8), Sésamath (lớp 9). Sách giáo khoa Việt Nam đƣợc lựa chọn là các sách giáo khoa

hiện hành.

2.5.2. Mô hình phân tích

Dựa trên mô hình bốn bƣớc của Miyakawa (2012, [27]) để phân tích các

đặc trƣng khác nhau về bản chất, hình thức và chức năng của chứng minh trong các

sách giáo khoa hình học ở bậc THCS ở Việt Nam và Pháp

Sử dụng khung lý thuyết đề xuất bởi Otten et al. (2014, [29]) để phân tích

các hoạt động và cơ hội cho học sinh suy luận và chứng minh trong các sách giáo

khoa hình học THCS ở Việt Nam và Pháp.

23

Chƣơng 3

KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

3.1. Định hƣớng phân tích kết quả

Chƣơng này trình bày các kết quả nghiên cứu trong hai phần khác nhau.

Trong phần đầu tiên, chúng tôi điểm qua phân phối nội dung, trình tự chƣơng trình

hình học trong mỗi lớp ở sách giáo khoa Pháp và Việt Nam. Điều này nhằm thể

hiện quan điểm về trình tự và nội dung hình học ở Pháp và Việt Nam. Phần này

cũng đƣa ra các ví dụ để so sánh bản chất, hình thức, chức năng của chứng minh

trong sách giáo khoa hình học ở Pháp và Việt Nam.

Trong phần thứ hai, chúng tôi nêu những phát hiện quan trọng về cơ hội phát

triển suy luận và chứng minh cho học sinh trong sách giáo khoa hình học ở Việt

Nam và Pháp. Những phát hiện này căn cứ vào khung phân tích chúng tôi đã giới

thiệu. Cuối cùng, phần thứ ba đƣa ra một số kết luận tổng quan về suy luận và

chứng minh trong hình học trung học cơ sở ở Việt Nam và Pháp.

3.2. Bản chất, hình thức, chức năng của chứng minh trong sách giáo khoa hình

học THCS ở Việt Nam và Pháp

3.2.1. Phân phối và trình tự nội dung phần hình học

3.2.1.1. Sách giáo khoa Việt Nam

24

Bảng 3.1. Phân phối chƣơng trình Hình học cấp THCS ở Việt Nam

Nội dung Số tiết LỚP

Đoạn thẳng 14 6

(29/140 Tiết) Góc 15

Đƣờng thẳng vuông góc. Đƣờng thẳng song song 17 7

(70/140 Tiết) Tam giác 27

Quan hệ giữa các yếu tố của tam giác. Các đƣờng 26

đồng qui trong tam giác

Tứ giác 25 8

(70/140 Tiết) Đa giác. Diện tích của đa giác 10

Tam giác đồng dạng 20

Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều 15

Hệ thức lƣợng trong tam giác vuông 19 9

(70/140 Tiết) Đƣờng tròn 15

Góc với đƣờng tròn 24

Hình trụ. Hình nón. Hình cầu 12

239

25

3.2.1.2. Sách giáo khoa Pháp.

Bảng 3.2. Phân phối chƣơng trình Hình học cấp THCS ở Pháp

LỚP Nội dung Số trang

Điểm, Đoạn thẳng, Tia 14

Chu vi 15

Góc 15

Đối xứng trục 15 6

Hình đối xứng 17

Diện tích 15

Thể tích 15

Tam giác 17

Đối xứng tâm 27

Góc và song song 26 7 Hình bình hành và các trƣờng hợp đặc biệt 16

Diện tích của đa giác 14

Hình lăng trụ. Hình trụ. Thể tích 40

Định lý Pythagore 25

Tam giác và các đƣờng thẳng song song 10 8 Tam giác vuông 15

Hình học không gian ( Hình nón ) 19

Định lý Talet 19

Lƣợng giác 15 9 Hình học không gian 24

Góc và đa giác 12

385

3.2.1.3. Nhận xét

Bảng trên cho thấy sự phân bố các nội dung Hình học ở sách giáo khoa Pháp

và Việt Nam là khác nhau. Cùng một nội dung nhƣng có thể đƣợc phân bố ở các lớp

khác nhau. Ví dụ, phần đối xứng trục và đối xứng tâm đƣợc trình bày trong năm lớp

26

8 ở Việt Nam trong khi vào năm lớp 6 và 7 ở Pháp; phần tứ giác đƣợc trình bày

trong năm lớp 8 ở Việt Nam trong khi vào năm lớp 7 ở Pháp; định lý Pythagore và

định lý Talet đƣợc trình bày trong năm lớp 7 và 8 ở Việt Nam trong khi ở Pháp là

vào năm lớp 8, 9. Ở Việt Nam, hình không gian đƣợc đƣa vào học kỳ II năm lớp 8,

9 trong khi nó rải đều từ lớp 6 đến lớp 9 ở Pháp.

Đặc biệt phần đƣờng tròn đƣợc trình bày sâu hơn ở Việt Nam, nó gồm 2

chƣơng : ―Đƣờng tròn‖ ở học kỳ I lớp 9 và ―Góc với đƣờng tròn‖ ở học kỳ II lớp 9.

Còn ở Pháp, chủ đề đƣờng tròn không phải là một chủ đề độc lập. Các khái niệm,

tính chất liên quan của đƣờng tròn đƣợc trình bày rải rác trong phần ―tam giác

vuông‖ ở lớp 8 và phần ―góc và đa giác‖ ở cuối năm lớp 9.

Ở Pháp, không có phần riêng lẻ hoặc chƣơng giới thiệu chứng minh toán

học. Còn ở Việt Nam, thông qua bài ―Định lý‖ năm lớp 7, khái niệm chứng minh và

định hƣớng chứng minh phần nào đƣợc giới thiệu một cách tƣờng minh. Từ sau bài

này, chƣơng trình bắt đầu đi vào chứng minh các định lý có trong bài học và từng

bƣớc chứng minh các bài tập trong sách giáo khoa.

3.2.2. Các hình thức khác nhau của chứng minh

3.2.2.1. Sách giáo khoa Pháp

Các hình thức khác nhau của chứng minh trong sách giáo khoa Pháp : Trong

phần Tam giác, ta có thể xác định ít nhất hai yếu tố trong biện minh của một phát

biểu : ―chứng minh‖ và ―biểu diễn chứng minh Toán học‖. Những thuật ngữ này có

thể tìm thấy trong sách giáo khoa của năm đầu tiên cấp trung học, năm lớp 6. Tuy

nhiên, ở lớp 7 và 8, những thuật ngữ này đƣợc giới thiệu một cách rõ ràng hơn.

Trong Chƣơng 9 (Chƣơng ―Tam giác‖) ở sách lớp 7 trong phần "Giới thiệu lập luận

suy diễn ", thuật ngữ ―chứng minh‖ đƣợc giới thiệu. Chƣơng này cũng giới thiệu

bốn quy tắc của ―lập luận toán học‖ để xem xét tính đúng sai của một phát biểu toán

học. Đó là: (1) một phát biểu toán học là đúng hoặc sai ; (2) những phát hiện từ đo

đạc trên hình vẽ không thể dùng để chứng minh rằng một phát biểu hình học là

đúng ; (3) từ kiểm tra một vài trƣờng hợp cụ thể không dẫn đến kết luận tính đúng

đắn của phát biểu ; (4) nếu phát biểu không đúng trong một trƣờng hợp cụ thể thì

kết luận ngay đƣợc phát biểu đó là sai. Trƣờng hợp cụ thể đó đƣợc gọi là ―phản

ví dụ‖.

27

Chứng minh sau đó là kết quả của cuộc ―tranh luận toán học‖. Hình 3.1

cho thấy một chứng minh đƣợc đƣa ra nhƣ một ví dụ điển hình trong sách giáo

khoa. Vì nó là một phát biểu đơn giản, chỉ có một bƣớc suy luận duy nhất, nên cấu

trúc của chứng minh cũng đơn giản. Kết luận đƣợc theo sau bởi một dấu hai chấm

và tính chất đƣợc dùng để suy ra nó. Phát biểu dƣới dạng : "nếu ... thì ...". Hầu hết

các chứng minh khác có thể đƣợc tìm thấy trong phần ―Tam giác‖ ở lớp 7, đặc biệt

là trong các phƣơng pháp giải bài tập ở phần cuối của sách giáo khoa.

Bài tập: (d) là đường trung trực của đoạn thẳng [EF]. Đường thẳng (d) cắt

đường thẳng (EF) tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng [EF].

Lời giải : Điểm I là trung điểm của đoạn [EF] theo tính chất : « Nếu một đường

thẳng là đường trung trực của một đoạn thẳng, thì đường thẳng đó vuông góc với

đoạn thẳng này và đi qua trung điểm của nó ».

Hình 3.1. Ví dụ chứng minh trong sách giáo khoa lớp 7 Triangle của Pháp.

Trong Chƣơng 8 "Hình học và Giới thiệu chứng minh toán học" của sách

Triangle, thuật ngữ "chứng minh toán học" đƣợc giới thiệu một cách rõ ràng. Định

nghĩa của nó là: "Một chứng minh toán học trong hình học là một chuỗi suy luận

mà bắt đầu từ giả thiết cho trƣớc nhằm đi đến kết luận ".

Một chuỗi suy luận bao gồm ba yếu tố : giả thiết cho trƣớc, tính chất sử dụng

và kết luận của chuỗi. Cách viết các yếu tố này đƣợc nhấn mạnh trong sách giáo

khoa. Đầu tiên, bắt đầu bằng cụm từ ―Ta có‖ theo sau một giả thiết cho trƣớc. Thứ

hai là một câu điều kiện có hình thức "Nếu ... thì ..." nhƣ trong các chứng minh ở

lớp 7. Và thứ ba bắt đầu với một sự liên kết "Vì vậy ..." theo sau là một kết luận của

chuỗi suy luận này. Các sách giáo khoa cũng đề cập rằng các tính chất đôi khi bị bỏ

sót theo mức độ quen thuộc và nhu cầu của giáo viên.

Hình 3.2 dƣới đây cho thấy một chứng minh toán học đƣợc đƣa ra nhƣ một

ví dụ điển hình trong sách giáo khoa, ở đó ba yếu tố của một chuỗi suy luận có thể

đƣợc tìm thấy dễ dàng. Ta cũng có thể nhận thấy rằng các chứng minh toán học

đƣợc viết nhƣ một đoạn văn, mà không có nhiều ký hiệu toán học. Hầu hết các

chứng minh toán học đƣợc coi là ví dụ trong sách giáo khoa hoặc các phƣơng pháp

giải bài tập ở phần cuối của sách giáo khoa đều áp dụng hình thức này.

28

Bài tập : ABCD là một hình thoi tâm O. Gọi (d) là đường thẳng song song với

đường thẳng (AC) và đi qua D. Chứng minh rằng đường thẳng (d) và đường thẳng

(BD) vuông góc nhau.

Lời giải : Chúng ta biết rằng ABCD là một hình thoi. Nếu một tứ giác là hình thoi

thì các đường chéo của nó vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi

đường.

Vì vậy hai đường thẳng (AC) và (BD) vuông góc nhau.

Chúng ta cũng biết rằng (AC) và (BD) là vuông góc nhau và rằng (d) và (AC) là

song song. Nếu hai đường thẳng song song với nhau và một đường thẳng thứ ba

vuông góc với đường thẳng này thì nó sẽ vuông góc với đường thẳng kia.

Vì vậy (d) và (BD) vuông góc nhau.

Hình 3.2. Ví dụ chứng minh trong sách giáo khoa lớp 8 Triangle của Pháp.

Để giúp học sinh bắt đầu làm quen thế nào là một chứng minh trong hình

học, sách giáo khoa lớp 6 Transmath đƣa ra ví dụ sau đây nhằm dẫn dắt học sinh

chuyển từ một khẳng định trong hình học tự nhiên mang tính đo đạc và thực nghiệm

sang một khẳng định dựa vào tính chất hình học. Học sinh bắt đầu làm quen (một

cách ngầm ẩn) rằng để biết chắc chắn một khẳng định nào đó thì ta cần phải lập

luận dựa vào các tính chất, định nghĩa chứ không phải dựa vào trực quan hay đo

đạc :

29

81 Chứng minh

1. Dựng một hình

a. Dựng một tam giác ABC với AB =

4cm, AC = 6cm và BC = 3cm.

b. Lấy điểm K thuộc nửa đƣờng thẳng

[CA) sao cho CK = 10cm.

c. Kẻ đƣờng tròn tâm A và đi qua B.

2. Quan sát, rồi chứng minh

Dƣờng nhƣ đƣờng tròn này cũng đi qua

điểm K, nhƣng ta không biết chắc chắn

điều đó. Có thể rằng điểm K ở gần

đƣờng tròn nhƣng không thuộc đƣờng

tròn đó. Để biết đƣợc thực sự điều đó,

hãy trả lời các câu hỏi sau :

a. Tính độ dài AK với các dữ liệu đã cho

trong đề bài.

b. Ta có thể nói gì về độ dài AK và

AB ?

c. Viết lại và hoàn thành câu sau : « Mọi

điểm nằm cách đều điểm A thì… »

d. Điểm K có thuộc đƣờng tròn không ?

Hình 3.3. Ví dụ làm quen chứng minh Hình học trong SGK lớp 6 Transmath

Sách giáo khoa cũng đƣa ra những ví dụ còn chỗ trống để học sinh hoàn

thành cũng nhƣ dẫn dắt học sinh đi đến các giải thích. Ví dụ sau đây đƣa ra trong

sách giáo khoa lớp 7 Transmath :

30

7. Một chứng minh

Trên hình bên, các đƣờng trung trực của các đoạn thẳng

[AB] và [AC] cắt nhau tại O.

a. Viết lại và hoàn thành các câu sau bằng cách bổ sung

thêm các biện minh :

- O thuộc đƣờng trung trực của đoạn [AB] nên OA = …

- O thuộc đƣơng trung trực của đoạn [AC] nên ….

b. Giải thích tại sao :

- Đƣờng tròn (C) têm O và đi qua A thì cũng đi qua B và

C ;

- Điểm O thuộc đƣơng trung trực của đoạn [BC].

Hình 3.4. Ví dụ kiểu chứng minh điền vào chỗ trống trong SGK lớp 7 Transmath

Để dẫn dắt học sinh làm quen với chứng minh trong hình học, sách giáo khoa

đƣa ra các ví dụ mẫu về trình bày một chứng minh. Chứng minh đƣợc trình bày chủ

yếu nhƣ một đoạn văn với ít ký hiệu logic. Điều này giúp học sinh lớp 7 dễ dàng

làm quen với cách lập luận trong một chứng minh. Ngoài ra, sách giáo khoa còn chỉ

rõ các căn cứ của mỗi khẳng định trong quá trình chứng minh. Sau đây là một ví dụ

minh họa điều này, đƣợc trình bày trong sách giáo khoa Toán lớp 7 Transmath :

31

2. Nhận ra một hình bình hành

Đề bài :

(C) và (C‘) là hai đƣờng tròn có tâm O nhƣ hình bên.

Đoạn [JI] là một đƣờng kính của (C).

Đoạn [UN] là một đƣờng kính của (C‘).

Chứng minh rằng tứ giác JUIN là một hình bình hành.

Lời giải :

[JI] và [UN] là hai đƣờng kính của các đƣờng tròn tâm O nên tròn chứng có cùng trung điểm O.

Tâm của một là đường trung điểm của mỗi đường kính của nó

Nhƣ vậy hai đƣờng chéo [JI] và [UN] của tứ giác JUIN cắt nhau

tại trung điểm O của chúng.

Ta giải thích tại sao chúng ta có thể áp dụng tính chất phát biểu ngay sau đây

Mà nếu một tứ giác có các đƣờng chéo cắt nhau tại trung điểm

Ta đi đến kết luận.

của chúng thì đó là một hình bình hành.

Vậy JUIN là một hình bình hành.

Hình 3.5. Ví dụ về lập luận trong chứng minh SGK lớp 7 Transmath

32

3.2.2.2. Sách giáo khoa Việt Nam

Thuật ngữ ―Chứng minh‖ đƣợc tìm thấy trong sách giáo khoa lớp 8 và 9.

Trong sách giáo khoa lớp 7, bài tập chứng minh ở dạng yêu cầu giải thích hoặc mô

tả trình tự các bƣớc của bài toán chứng minh. Các bài tập loại này nhằm rèn luyện

cho học sinh trình bày một bài toán chứng minh hình học : điền vào chỗ trống để

hoàn thành bài chứng minh (Bài 52, 53 trang 101, 102 SGK Toán 7 tập 1); sắp xếp

các lập luận cho sẵn để có bài chứng minh hoàn chỉnh (Bài 18 trang 114 SGK Toán

7 tập 1). Đa số các bài tập chứng minh trong sách giáo khoa lớp 8 và 9 đều yêu cầu

lời giải thích cho sự biện minh (―giải thích lý do vì sao...‖). Các lời giải thích có thể

xuất hiện trƣớc khi kết luận hoặc sau lời khẳng định. Tuy nhiên, cách thức giải thích

là ngầm ẩn trong sách giáo khoa. Thuật ngữ ―định lý‖, ―giả thiết-kết luận‖, ―chứng

minh‖ đƣợc giới thiệu khá rõ ràng trong bài ―Định lý‖, Sách giáo khoa Toán 7, tập

1, trang 99, 100.

Định lý là một khẳng định suy ra từ những khẳng định được coi là đúng

Khi định lý được phát biểu dưới dạng “Nếu...thì...”, phần nằm giữa từ

“Nếu” và từ “thì” là phần giả thiết, phần sau từ “thì” là phần kết luận.

Chứng minh định lý là dùng lập luận để từ giả thiết suy ra kết luận.

33

Hình 3.6. Ví dụ điển hình về bài toán chứng minh trong SGK Việt Nam.

(Sách giáo khoa Toán 7, tập I, trang 100).

Đôi khi trong chứng minh, phần giả thiết đề cho là ngầm hiểu, không cần

phải chỉ ra cụ thể. Ví dụ, chứng minh trƣờng hợp bằng nhau về cạnh huyền và cạnh

góc vuông (Sách giáo khoa Toán 7, tập 1, trang 136), giả thiết BC = EF, AC = DF

không cần phải nêu ra. Trong các bài chứng minh, sách giáo khoa luôn chú trọng

34

đến ý : ―Điều đó có đƣợc là do...‖ trong quá trình chứng minh. Yếu tố này là quá

trình chuyển đổi từ giả thiết đến tính chất hình học liên quan. Cần lƣu ý hình thức

―Nếu...thì...‖ không đƣợc sử dụng để nêu tính chất mà chỉ dùng để phát biểu một

mệnh đề cần chứng minh.

Nhìn chung, ở cả hai quốc gia, ―chứng minh‖ là một đối tƣợng của dạy học

toán ở bậc Trung học cơ sở. Về hình thức : bài toán chứng minh trong sách giáo

khoa Pháp cho dƣới dạng đoạn văn hơn so với sách giáo khoa Việt Nam.

3.2.3. Mối tƣơng quan giữa các đối tƣợng hình học

Sách giáo khoa Pháp: Các tính chất hình học chủ yếu đã đƣợc chứng

minh trong lớp 8, bao gồm : song song, vuông góc và trung điểm.

Hai tính chất trƣớc (song song, vuông góc) đƣợc chứng minh khá nhiều cả

trong hoạt động trên lớp lẫn trong các bài tập của chƣơng. Ngoài ra, ở phần cuối của

sách giáo khoa lớp 8, có những trang đƣợc gọi là "Trang phƣơng pháp", ở đó các

phƣơng pháp chứng minh quan trọng đƣợc tóm tắt. Ba trong số năm phƣơng pháp

đó là : "Chứng minh hai đƣờng thẳng song song", "Chứng minh hai đƣờng thẳng

vuông góc", và "Chứng minh một điểm là trung điểm của đoạn thẳng". Đây là

những kiểu nhiệm vụ chính liên quan đến thể loại nhiệm vụ "chứng minh" trong

sách giáo khoa Pháp. Và một loạt các tính chất đƣợc sử dụng cho từng phƣơng

pháp. Và một danh sách nhiều tính chất đƣợc đƣa ra cho mỗi phƣơng pháp. Ví dụ,

đối với chứng minh song song, sáu tính chất đƣợc đƣa ra: "tính chất của các đƣờng

thẳng cùng song song với một đƣờng thẳng thứ ba", "tính chất của các đƣờng thẳng

cùng vuông góc với một đƣờng thẳng thứ ba", "tính chất về cạnh đối diện của hình

bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông ", "tính chất của đƣờng thẳng đi

qua trung điểm của hai cạnh của một tam giác", "tính chất của tâm đối xứng", và

"tính chất của góc so le trong hoặc góc đồng vị". Đây là những tính chất dùng để

hoàn thành ba loại nhiệm vụ đã đề cập ở trên.

Sách giáo khoa Việt Nam : Trong Sách giáo khoa lớp 8, nhiều tính chất

đƣợc đƣa ra, một trong số đó đã đƣợc chứng minh. Ngoài ra, nội dung tam giác

đồng dạng đóng vai trò quan trọng trong chƣơng trình, chiếm nửa thời lƣợng của

học kỳ II năm lớp 8. Trong chƣơng này, tất cả các định lý đều đƣợc chứng minh. Vì

35

vậy, phần này có nhiều mối tƣơng quan với các định lý và tính chất hình học khác :

liên quan chặt chẽ với định lý Talet, các tứ giác đặc biệt, trong khi không tồn tại các

mối tƣơng quan tƣơng tự ở sách giáo khoa Pháp, bởi vì phần ―Tam giác đồng dạng‖

không đƣợc giảng dạy ở Pháp. Bên cạnh nội dung ―Tam giác đồng dạng‖, nội dung

song song cũng thƣờng đƣợc chứng minh trong sách giáo khoa Pháp và Việt Nam.

Có thể nói, song song có mối quan hệ chặt chẽ với nhiều đối tƣợng : vuông góc, góc

so le trong, góc đồng vị (ở Việt Nam còn liên quan chặt chẽ với tam giác đồng

dạng).

3.2.4. Chức năng của chứng minh

Sách giáo khoa Pháp : chức năng của chứng minh trong sách giáo khoa

Pháp là để biện minh cho một phát biểu toán học đƣợc viết trong sách giáo khoa :

"Để chứng minh cho các phát biểu hình học là đúng, ta phải thực hiện một số

chứng minh toán học " (Sách Triangle lớp 8). Các nhận xét tƣơng tự đƣợc đƣa ra

trong các kết quả của ―tranh luận toán học‖. Vì chứng minh toán học đƣợc giới

thiệu nhƣ là một phần mở rộng của bằng chứng hoặc tranh luận toán học, ngƣời ta

có thể thấy rằng các chức năng thông tin là một trong những chức năng chính của

các chứng minh toán học. Phát hiện này phù hợp với kết quả của việc phân tích các

chứng minh trong các lớp học toán ở Pháp. (Knipping, 2002, [22]).

Các phát biểu toán học đƣợc chứng minh trong sách giáo khoa Pháp hoặc là

một định lý có thể sử dụng trong những chứng minh khác hoặc là một phát biểu chỉ

xuất hiện trong một bài tập cụ thể.

Nói chung, đó là bằng chứng cho phép sử dụng các định lý trong những

chứng minh khác. Tuy nhiên, chức năng của chứng minh trong sách giáo khoa

Pháp là chƣa rõ ràng.

Một định lý đôi khi trƣớc hết là đƣợc thừa nhận mà không cần chứng minh

và sau đó chứng minh nó xem nhƣ là một bài tập ở cuối chƣơng (Ví dụ : định lý về

trung điểm trong sách Triangle lớp 8).

Định lý hoặc tính chất hoặc chứng minh hoặc không chứng minh đƣợc tóm

tắt trong các bài học ở mỗi chƣơng. Mặt khác, chức năng này có thể đƣợc xác định

rõ ràng trong sách giáo khoa Việt Nam. Hầu hết các định lý xuất hiện sau phần giới

36

thiệu chứng minh trong sách giáo khoa đều đƣợc chứng minh, và các hoạt động

chứng minh đƣợc thực hiện trên lớp học.

Sách giáo khoa Việt Nam : các chức năng của chứng minh trong sách giáo

khoa Việt Nam là để biện minh cho một phát biểu toán học, không phải là một phát

biểu cụ thể mà là một phát biểu tổng quát. Tính tổng quát luôn đƣợc nhấn mạnh. Ví

dụ, có một dẫn về tổng của ba góc trong một tam giác: "Hai tam giác có thể khác

nhau về kích thước và hình dạng, nhưng tổng ba góc của tam giác này luôn bằng

tổng ba góc của tam giác kia" (Sách giáo khoa lớp 7 tập I, trang 106). Các số liệu

đƣợc sử dụng trong chứng minh định lý này cũng thể hiện chức năng này. Ngƣời ta

không cụ thể cho một trƣờng hợp nào, mà là chứng minh trên trƣờng hợp tổng quát.

Mặt khác, trong sách giáo khoa Pháp, trƣờng hợp tổng quát không thƣờng

xuyên đƣợc nhấn mạnh, và thậm chí là một hình với kích thƣớc cụ thể cũng đƣợc sử

dụng để chứng minh bài toán. Ví dụ, trong Chƣơng 9 "Tam giác vuông và định lý

Pythagore của sách Triangle lớp 8, một ví dụ điển hình đƣợc đƣa ra cho việc chứng

minh các đƣờng (AI) và (AB) vuông góc với nhau (p. 164), trong đó chiều dài của

ba cạnh của tam giác ABI là 32, 24, và 40. Lời giải cho bài tập này đƣợc gọi là

"chứng minh toán học" trong sách giáo khoa Pháp, trong khi đó không phải là một

lời giải thích trong sách giáo khoa Việt Nam.

3.3. Hoạt động và cơ hội phát triển suy luận và chứng minh cho học sinh trong

sách giáo khoa hình học ở Việt Nam và Pháp

3.3.1. Bảng số liệu về các chƣơng, bài, bài tập trong sách giáo khoa hình học

Việt Nam và Pháp

Bảng 3.3. Số liệu về các chương, bài, bài tập trong SGK Hình học Việt Nam

SGK Hình Số lƣợng Số chƣơng Số bài tập Bài tập chứng minh

học Việt bài học Số lƣợng Tỉ lệ %

Nam

19 2 128 0 0 Lớp 6

25 3 214 54 25 Lớp 7

36 4 267 52 19 Lớp 8

26 4 248 60 24 Lớp 9

37

Bảng 3.4. Số liệu về các chương, bài, bài tập, bài tập trong SGK Hình học Pháp.

SGK Hình học Số chƣơng Số bài tập Bài tập chứng minh

Pháp Số lƣợng Tỉ lệ %

7 665 0 0 Lớp 6

6 658 26 4 Lớp 7

5 492 49 10 Lớp 8

4 219 16 7 Lớp 9

Nhìn vào bảng số liệu trên có thể thấy sách giáo khoa Pháp không tách ra

từng bài học trong mỗi chƣơng nhƣ sách giáo khoa Việt Nam. Số lƣợng bài tập

trong sách giáo khoa Pháp là nhiều so với sách giáo khoa Việt Nam. Tuy nhiên,

dạng bài tập chứng minh trong sách giáo khoa hình học Pháp chiếm tỉ lệ thấp so với

sách giáo khoa Việt Nam. Điều này cũng chứng tỏ sách giáo khoa hình học Pháp

không cung cấp nhiều cơ hội cho học sinh tham gia chứng minh so với sách giáo

khoa Việt Nam.

3.3.2. Các ví dụ về chứng minh định lý ở hai sách giáo khoa Pháp và Việt Nam

Trong phần này, chúng tôi so sánh một số định lý điển hình trong chƣơng

trình học của hai nƣớc theo các tiêu chí của Yu-Ping Chang, 2013, [41]: tiếp cận

định lý, lý thuyết đƣợc sử dụng, chứng minh định lý, ứng dụng và mở rộng định lý,

số lƣợng bài tập của định lý

3.3.2.1. Định lý về tổng ba góc trong một tam giác

Có nhiều cách tiếp cận khác nhau để chứng minh tổng các góc bên trong của

một tam giác bằng 180 độ. Một trong số đó là tiến hành tự nghiệm trong những

trƣờng hợp cụ thể để chấp nhận kết quả; số khác có thể áp dụng tính chất tổng của

các góc ngoài của một tam giác để suy ra; hay sử dụng một số ý tƣởng Euclide của

đƣờng thẳng song song (định đề song song) để chứng minh điều đó. Tuy nhiên, một

số phƣơng pháp trong đó không thể đƣợc xem nhƣ là một chứng minh mà chỉ là

một ứng dụng. Vì vậy, trong phần tiếp theo, chúng tôi tiến hành so sánh cách tiếp

cận, chứng minh, ứng dụng trong sách giáo khoa ở cả hai nƣớc.

Giới thiệu và chứng minh định lý ở sách giáo khoa Việt Nam :

- Giới thiệu định lý.

38

- Chứng minh định lý

Sách giáo khoa cung cấp cách chứng minh sử dụng lập luận suy diễn với lý

thuyết song song, góc so le trong tạo bởi cặp đƣờng thẳng song song và đƣờng

thẳng thứ ba. Quá trình chứng minh bị chi phối bởi hai ý tƣởng toán học: cặp góc so

39

le trong nói trên là bằng nhau và một góc bẹt bằng 180° (Góc bẹt bằng 180° không

đƣợc đề cập trong bài). Các hoạt động đƣợc trình bày bao gồm cả đo đạc, thăm dò,

tự nghiệm, nhằm hỗ trợ cho vấn đề đƣợc đặt ra. Sau đó đƣa ra định lý về góc ngoài

của tam giác (không chứng minh).

Giới thiệu và chứng minh định lý ở sách giáo khoa Pháp:

- Giới thiệu định lý:

Định lý chỉ đƣợc xem nhƣ là một tính chất, gồm 2 hoạt động :

1/ Đối với tam giác bất kì : yêu cầu chỉ ra góc bằng góc ACB, ABC rồi tính

tổng ba góc ACB, ABC, BAC. Giải thích. Phát biểu tính chất.

2/ Đối với tam giác đặc biệt : dựng các tam giác và tính các góc của nó.

a/ Cho tam giác EFG cân tại E có góc FEG bằng 110 .

b/ Tam giác ABC đều, cạnh 3cm.

c/ Tam giác MNP vuông tại N, có MN=2cm, góc MNP bằng 30 .

-Chứng minh định lý

40

Sách giáo khoa sử dụng lý thuyết góc bẹt, góc so le trong tạo bởi cặp đƣờng

thẳng song song và đƣờng thẳng thứ ba. Tuy nhiên sách giáo khoa chỉ định hƣớng

chứ không chứng minh cụ thể, vì định lý này nằm trong bài ―Góc và song song‖,

nên tính chất của cặp góc so le trong tạo bởi cặp đƣờng thẳng song song và đƣờng

thẳng thứ ba đã nêu rõ ngay trƣớc đó. Sau đó, nêu hệ quả của định lý : đối với tam

giác đều, tam giác vuông và tam giác vuông cân.

41

Bảng 3.5. So sánh định lý tổng ba góc trong tam giác của SGK hai nước

So sánh SGK Pháp SGK Việt Nam

Tiếp cận

Tự nghiệm bằng cách :

- Đo đạc trong trƣờng hợp cụ thể

- Cắt dán

Góc bẹt, góc so le trong Đƣờng thẳng song song, Góc so le Lý thuyết trong, Góc bẹt

Ý tƣởng nhƣ sách giáo khoa Pháp

nhƣng trình bày chi tiết Chứng

minh

Tính các góc trong một tam Tính các góc trong một tam giác Ứng dụng giác

Tổng các góc trong của tứ giác Tính chất góc ngoài của tam giác Mở rộng Tổng các góc trong của n-giác

25 9 Bài tập

- Phần tiếp cận trong sách giáo khoa Việt Nam tự nhiên, gợi mở, tạo điều

kiện cho học sinh khám phá tự nghiệm nhiều hơn sách giáo khoa Pháp.

- Về chứng minh : sách giáo khoa Pháp chứng minh theo lối quy nạp. Vì

phần này nằm trong chƣơng ―Góc và song song‖, nên việc đƣa vào định lý tổng các

góc trong tam giác xem nhƣ là ứng dụng của chƣơng này. Sách giáo khoa Việt Nam

chứng minh theo lập luận suy diễn, đi chứng minh một kết quả đã đƣợc dự đoán

trƣớc đó. Việc kẻ thêm đƣờng thẳng song song hoàn toàn tự nhiên dựa vào phần cắt

dán tạo thành góc bẹt trong phần tự nghiệm trƣớc đó. Học sinh đƣợc ứng dụng phần

―Tiên đề Ơclit về đƣờng thẳng song song‖ đã học trƣớc đó.

42

- Về ứng dụng và mở rộng :

Sách giáo khoa Pháp có nhiều bài tập ứng dụng hơn SGK Việt Nam. Sách

giáo khoa Pháp mở rộng định lý này để chứng minh tổng các góc trong một tứ giác

bằng 360 , từ đó suy ra công thức tính tổng các góc trong của một n-giác. Các mở

rộng này chính là các bài tập trong sách. Hai mở rộng này không có ở sách giáo

khoa Việt Nam ngay sau đó.

Sách giáo khoa Việt Nam lại có một ứng dụng của định lý này mà sách giáo

khoa Pháp không nêu ra, đó là định lý về tính chất góc ngoài của tam giác : “Mỗi

góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với nó”. Còn hai

mở rộng nhƣ sách giáo khoa Pháp thì phải đến năm lớp 8 trong bài ―Đa giác. Đa

giác đều‖ chƣơng II, sách giáo khoa 8 Tập I, trang 113 mới đề cập đến trong bài tập

4, trang 115, không yêu cầu chứng minh. Việc không đƣa phần mở rộng này ngay

sau đó nhằm mục đích giảm tải cho học sinh, nhƣng bù lại học sinh không thấy

đƣợc ứng dụng sâu sắc của định lý vào việc giải quyết những yêu cầu khác cao hơn.

3.3.2.2. Định lý Pythagore

Trong toán học, định lý Pythagore (còn gọi là định lý Pythagoras theo tiếng

Anh) là một liên hệ trong hình học phẳng giữa ba cạnh tam giác của một tam giác

vuông.

Định lý này đƣợc đặt tên theo nhà vật lí học và nhà toán học Hy Lạp

Pythagore sống vào thế kỷ 6 TCN, mặc dù định lý toán học này đã đƣợc biết đến

bởi các nhà toán học La Mã (trong quyển Sulbasutra của Baudhayana và

Katyayana), Trung Quốc và Babylon từ nhiều thế kỷ trƣớc.

Giới thiệu và chứng minh định lý trong sách giáo khoa Pháp:

- Giới thiệu định lý:

43

- Chứng minh định lý:

Định lý Pythagore đƣợc trình bày trong sách giáo khoa Pháp tƣơng tự nhƣ

trong sách giáo khoa Việt Nam. Việc tiếp cận và chứng minh định lý dựa vào 2 hoạt

động :

- Hoạt động 1. Đo đạc các cạnh của 3 tam giác vuông rồi điền vào bảng số

liệu, từ đó có nhận xét gì?

- Hoạt động 2. Giới thiệu 1 cách chứng minh định lý dựa vào đo đạc, tính

toán, so sánh.

a/ Ba tứ giác màu xanh trong hình là gì?

b/ Giải thích tại sao diện tích của tứ giác màu xanh trong hình 1 bằng tổng

diện tích của hai tứ giác màu xanh trong hình 2?

44

c/ Cho cụ thể các giá trị a, b, c rồi kiểm tra kết quả câu b.

d/ Tính chất đã đƣợc chứng minh dựa vào cạnh góc vuông và cạnh huyền.

Tính chất này gọi là định lý Pythagore.

Giới thiệu và chứng minh định lý trong sách giáo khoa Việt Nam:

- Giới thiệu định lý

Sách giáo khoa nhấn mạnh hoạt động tự nghiệm của học sinh : tự vẽ hình,

cắt ghép để đi đến kết quả.Sau đó, giáo viên là ngƣời chốt lại định lý, sách giáo

khoa không đề cập đến chứng minh định lý. Học sinh tiếp cận và thừa nhận định lí

bằng phƣơng pháp thực hành; Khắc sâu định lí bằng kí hiệu toán học và thông qua

các bài tập

45

Bảng 3.6. So sánh định lý Pythagore của SGK hai nước

So sánh Sách giáo khoa Pháp Sách giáo khoa Việt Nam

- Cho ABC vuông tại A. Đo các

cạnh, tính AB , AC , AB +AC , Tiếp cận BC .

- Rút ra nhận xét.

Cạnh huyền, cạnh góc vuông, diện Cạnh huyền, cạnh góc Lý thuyết tích vuông, diện tích

Chứng

minh

Định lý Pythagore đảo Mở rộng Định lý Pythagore đảo

Chứng minh một tam giác là tam Chứng minh một tam giác

giác vuông, đi tìm độ dài các cạnh là tam giác vuông, đi tìm

của một tam giác vuông, bài toán độ dài các cạnh của một

thực tế tam giác vuông, chứng Ứng dụng minh đƣợc trƣờng hợp

bằng nhau về cạnh huyền

và cạnh góc vuông của hai

tam giác vuông

9 bài 123 bài Bài tập

Định lý Pythagore là một định lý quan trọng và đƣợc nhấn mạnh trong sách

giáo khoa Pháp. Định lý này chiếm 1 chƣơng trong tổng số 5 chƣơng của sách giáo

khoa lớp 8 ở Pháp. Phần bài tập đƣợc chia làm nhiều phần :

1/ Bài tập cơ bản : 12 bài

- Kiểm tra định lý Pythagore có thể áp dụng cho loại tam giác nào?

- Cho tam giác vuông, viết kết quả của định lý.

- Tìm cạnh còn lại của tam giác vuông.

46

- Chứng minh một tam giác là tam giác vuông. Dựng tam giác khi biết ba cạnh.

2. Bài tập ứng dụng:

a. Ứng dụng định lý Pythagore : 36 bài

- Tính cạnh còn lại của tam giác vuông.

- Bài toán thực tế.

- Vận dụng tính các kích thƣớc của hình hộp trong không gian.

b. Định lý đảo của định lý Pythagore : 26 bài

3. Bài tập nâng cao : 13 bài

4. Kiểm tra một phát biểu là đúng hay sai : 8 bài

5. Những thách thức : 2 bài

Yêu cầu không cần tính toán, dựng hình vuông mới có diện tích bằng tổng

diện tích hai hình vuông cho trƣớc.

6. Bài tập về nhà : 9 bài

Trong khi đó, sách giáo khoa Việt Nam chỉ có 9 bài tập về định lý Pythagore

với dạng : tìm cạnh còn lại của tam giác vuông, kiểm tra một tam giác là tam giác

vuông. Lƣợng bài tập trong sách giáo khoa Việt Nam khá khiêm tốn so với sách

giáo khoa Pháp về số lƣợng lẫn độ gắn kết với các đối tƣợng hình học khác nhƣ : tứ

giác, hình hộp, từ vuông góc đến song song. Điều này là do định lý Pythagore đƣợc

đƣa vào từ năm lớp 7 ở Việt Nam, trong khi ở lớp 8 ở Pháp.

3.3.2.3. Định lý Thalès

Giới thiệu và chứng minh định lý Thalès trong sách giáo khoa Pháp : gồm

5 hoạt động:

47

48

49

50

51

52

- Hoạt động 1.

1. Sử dụng phần mềm Tracenpoche

a/ Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Vẽ ba đƣờng thẳng AB, BC, CA.

Lấy điểm M trên đƣờng thẳng AB, dựng đƣờng thẳng qua M, song song với BC.

Gọi N là giao điểm của đƣờng thẳng vừa vẽ và AC.

b/ Nêu các vị trí có thể có của M? Hãy vẽ trên máy của em

c/ Tính toán các độ dài AM, AB, AN, AC, MN và BC trong hình.

Từ cửa sổ phân tích, tính tỉ số AM/AB, AN/AC, MN/BC.

Cũng với yêu cầu trên nhƣng thay đổi vị trí điểm M.

2. Trường hợp M thuộc đoạn thẳng AB

Em có thể kết luận đƣợc gì về độ dài cạnh của tam giác AMN và

ABC?

3. Trường hợp M thuộc tia AB nhưng không thuộc đoạn AB

a. Chứng minh

53

b. Giải thích vì sao

4. Trường hợp M thuộc tia đối của tia AB

a. Cho tam giác ABC, điểm M nằm trên tia đối của tia AB.

Dựng đƣờng thẳng qua M song song với BC, đƣờng thẳng này cắt đƣờng

thẳng AC tại N.

Dựng M‘ đối xứng với M qua A, N‘ đối xứng với N qua A.

b. Chỉ ra MN song song với M‘N‘. Suy ra BC song song với M‘N‘.

c. Kết luận gì về tỉ số độ dài AM và AM‘; AN và AN‘; MN và M‘N‘? Giải

thích.

d. Từ đó chỉ ra rằng

5. Thảo luận

Điền vào chỗ trống để đƣợc định lý (gọi là định lý Thalès).

- Hoạt động 2:

1. Dựng hình

Trên một tờ giấy trắng, kẻ 15 đƣờng thẳng song song cách đều nhau 1cm. Vẽ

một đƣờng thẳng cắt các đƣờng song song đó, các đoạn cát tuyến tạo thành có độ

dài bằng nhau.

2. Giải thích. Dựa vào hoạt động 1

3. Vận dụng

Trên một tờ giấy, vẽ đoạn thẳng AB=5cm. Dựa vào tính chất các đoạn cát

tuyến bằng nhau nói trên, chia đoạn AB thành 3 đoạn thẳng bằng nhau.

Lấy điểm M trên đoạn AB sao cho

Chia đoạn thẳng CD dài 8cm thành 7 đoạn bằng nhau. Lấy P trên CD sao cho

Dựng đoạn thẳng EF dài 6,3cm. Lấy R trên EF sao cho . Điểm R nằm

ở đâu?

54

4. Sử dụng phần mềm TracenPoche

- Hoạt động 3:

1. Em thấy đƣợc gì từ hình trên?

2. Khi nào thì sử dụng đƣợc định lý nói trên

- Hoạt động 4: Định lý đảo

1. Phỏng đoán

a/ Phát biểu định lý đảo của định lý Thalès.

b/ Vẽ trên máy đƣờng thẳng d và d‘ cắt nhau tại O.

Trên d và d‘, lấy A và B sao cho OA=9cm, OB=8cm.

c/ Lấy M trên tia OA, N trên tia OB sao cho , . Rút ra

nhận xét gì?

d/ Lấy M trên tia OA, N trên tia OB sao cho . Rút ra nhận

xét gì?

e/ Lấy M thuộc tia đối của tia OA, N thuộc tia đối của tia OB sao cho

. Rút ra nhận xét gì?

f/ Kết quả này đúng hay sai?

55

2. Chứng minh

Giả sử ba điểm O, M, A ở trên cùng một đƣờng thẳng và O, N, B ở trên cùng

một đƣờng thẳng sao cho . Gọi K là giao điểm của đƣờng thẳng OB với

đƣờng thẳng qua M song song với AB.

a/ Khi M thuộc tia OA thì K nằm ở đâu? Vẽ hình.

Khi M thuộc tia đối của tia OA? Vẽ hình.

b/ Với điều kiện nào thì áp dụng đƣợc định lý Thalès? Hãy viết các tỉ số bằng

nhau.

c/ Kết luận đƣợc gì về ? Giải thích?

d/ Nhận xét gì về điểm K và N?

e/ Nhận xét gì về hai đƣờng thẳng MN và AB?

f/ Em có kết luận gì?

3. Lưu ý đến vị trí của điểm

a/ Nhận xét về các giá trị ?

b/ Nhận xét gì về hai đƣờng thẳng MN và AB? Giải thích.

c/ Nhận xét gì về hai đƣờng thẳng MN và AB? Khi nào không sử dụng

đƣợc định lý đảo. Nêu kết luận.

56

- Hoạt động 5: Với dụng cụ thƣớc vẽ truyền (pantographe)

a/ Theo ý kiến của em, dụng cụ trên dùng để làm gì?

b/ Mô phỏng thƣớc sao đồ trong phần mềm Tracenpoche, cho điểm M di

chuyển.

c/ Thay đổi giá trị với con trỏ. Những thay đổi tƣơng ứng?

Một số trƣờng hợp đơn giản.

a/ Điều gì xảy ra khi điểm M trùng với điểm A?

b/ Biết rằng O, M, C thẳng hàng, F là trung điểm của OH sao cho FHIM là

hình bình hành, chứng minh M là trung điểm của OC.

c/ Dƣới đây là vị trí của M khi di chuyển trên đoạn thẳng M M . Chứng

minh độ dài đoạn thẳng C C gấp đôi M M .

57

Giới thiệu và chứng minh định lý Thalès trong sách giáo khoa Việt Nam:

- Giới thiệu tỉ số của hai đoạn thẳng; Đoạn thẳng tỉ lệ; Đoạn chắn;

- Sử dụng giấy kẻ ngang xem nhƣ các đƣờng thẳng song song cách đều. Nếu

có đƣờng thẳng cắt các đƣờng thẳng song song nói trên thì sẽ tạo ra những đoạn

chắn có độ dài bằng nhau. Sách giáo khoa cũng chỉ nêu một trƣờng hợp B‘ nằm trên

đoạn thẳng AB trƣớc khi đi đến trƣờng hợp tổng quát.

58

Bảng 3.7. So sánh định lý Thalès của SGK hai nước

So sánh Sách giáo khoa Pháp Sách giáo khoa Việt Nam

Tiếp cận

Tỉ số đoạn thẳng, đoạn thẳng tỉ lệ, Tỉ số đoạn thẳng, đoạn thẳng tỉ

các đoạn chắn bằng nhau, tam giác lệ, các đoạn chắn bằng nhau Lý thuyết

bằng nhau, chứng minh song song.

Dựa vào tính chất đoạn chắn để

kiểm tra một trƣờng hợp cụ thể

Chứng

minh

59

Định lý Thalès đảo Mở rộng Định lý Thalès đảo

Tính toán độ dài cạnh; chứng minh Tính toán độ dài cạnh; chứng

các tỉ số bằng nhau; kiểm tra hai minh các tỉ số bằng nhau; tam

đƣờng thẳng không song song; giác đồng dạng Ứng dụng kiểm tra hai đƣờng thẳng song

song; phóng to hay thu nhỏ một

hình;

52 bài (20 bài chứng minh) 13 bài (2 bài chứng minh) Bài tập

Cả sách giáo khoa Pháp và Việt Nam đều không chứng minh định lý Thalès

trong trƣờng hợp tổng quát và cách tiếp cận có nét tƣơng đồng. Sách giáo khoa cả

hai nƣớc đều chú trọng đến việc sử dụng đoạn chắn bằng nhau cho phần tiếp cận

định lý. Tuy nhiên, mức độ tiếp cận của sách giáo khoa hai nƣớc lại khác nhau.

Sách giáo khoa Pháp nêu đầy đủ 3 trƣờng hợp trong khi sách giáo khoa Việt Nam

chỉ nêu ra 1 trƣờng hợp. Các hoạt động tự nghiệm trong sách giáo khoa Pháp đều

yêu cầu mỗi học sinh thực hiện trên máy tính với phần mềm TracenPoche, nên đạt

đƣợc kết quả vừa nhanh, vừa đầy đủ trƣờng hợp, từ đó dễ phát hiện ra định lý hơn ở

Sách giáo khoa Việt Nam. Định lý này nằm trong chƣơng trình lớp 9 ở Pháp trong

khi ở Việt Nam là lớp 8, do đó tính kết nối giữa định lý với các kiến thức khác ở

Sách giáo khoa Việt Nam là không nhiều so với sách giáo khoa Pháp. Ở Pháp, các

bài tập cho định lý này gồm nhiều dạng, gắn với nhiều đối tƣợng : góc nội tiếp (Bài

tập 1, SGK 3e, trang 165); tam giác nội tiếp đƣờng tròn (Bài tập 2, SGK 3e, trang

165); hình nón (Bài tập 9, SGK 3e, trang 166); hình hộp (Bài tập 22, SGK 3e, trang

168); hình chóp (Bài tập 30, SGK 3e, trang 169); hình trụ (Bài tập 47, SGK 3e,

trang 171). Điều này không có ở sách giáo khoa Việt Nam.

60

Ở Việt Nam, số lƣợng bài tập cho định lý này chỉ là 13 bài, trong đó có 2 bài

chứng minh các tỉ số bằng nhau (Bài 4, 10, SGK lớp 8 tập II , trang 59, 63).

Định lý Thalès là một nội dung chính trong sách giáo khoa lớp 9 của Pháp, là

1 trong 4 chƣơng của phần Hình học. Vì vậy, ở sách giáo khoa Pháp, số lƣợng bài

tập cho định lý này là nhiều hơn sách giáo khoa Việt Nam : 52 bài, trong đó gồm 20

bài chứng minh.

Nhƣ vậy, định lý Thalès đƣợc giới thiệu trong sách giáo khoa Pháp và sách

giáo khoa Việt Nam có nhiều điều khác nhau.

61

Chƣơng 4

KẾT LUẬN

Chƣơng này xem xét các kết quả chủ yếu của nghiên cứu này, những hạn chế

của nghiên cứu, và hƣớng phát triển của nghiên cứu trong tƣơng lai.

4.1. Kết luận

Nghiên cứu này có mục tiêu phân tích bản chất và chức năng của chứng

minh cũng nhƣ các cơ hội học chứng minh toán học thể hiện trong các sách giáo

khoa bậc Trung học cơ sở ở Pháp và Việt Nam. Chúng tôi chủ yếu dựa trên mô hình

bốn bƣớc của Miyakawa (2012, [27]) và khung lý thuyết đề xuất bới Otten et al

(2014, [29]) để làm rõ những khác nhau có thể có trong các sách giáo khoa. Sau khi

phân tích các nội dung hình học trong sách giáo khoa Pháp và Việt Nam, kết quả

cho thấy việc trình bày các chứng minh toán học là khác nhau trong sách giáo khoa

mỗi nƣớc.

Tuy nhiên, các khái niệm toán học và các ý tƣởng chính đƣợc giới thiệu

trong sách giáo khoa cả hai nƣớc là tƣơng tự nhau. Hơn nữa, nghiên cứu này cho

thấy rằng mục đích của các chứng minh toán học là khác nhau ở Pháp và Việt Nam.

Mỗi quốc gia có một cách tiếp cận cũng nhƣ chứng minh, vận dụng tính chất theo

cách riêng của mình để chứng minh toán học.

Nghiên cứu này đã tìm thấy bốn sự khác biệt lớn giữa sách giáo khoa Pháp

và Việt Nam :

(1) Phân phối chƣơng trình hình học ở cả hai nƣớc là khác nhau

(2) Các hoạt động, công cụ (thiết bị dạy học) đƣợc sử dụng trong các tiếp cận

định lý, tính chất cần chứng minh là khác nhau. Sách giáo khoa Pháp có kiểu tiếp

cận dựa nhiều vào việc sử dụng phần mềm trên máy tính để kiểm tra tính đúng đắn

của điều cần chứng minh. Sách giáo khoa Việt Nam nặng về kiểu tính toán con số.

(3) Vai trò của chứng minh toán học thể hiện trong nội dung hình học ở hai

nƣớc là khác nhau. Nếu nhƣ ở Việt Nam, chứng minh nhằm làm rõ ý nghĩa của một

định lý thì ở Pháp chứng minh là để nhằm giải thích tại sao.

(4) Số lƣợng bài tập trong Sách giáo khoa Pháp nhiều hơn ở sách giáo khoa

Việt Nam.

62

Điểm giống nhau giữa sách giáo khoa của hai nƣớc là kĩ năng chứng minh

không đƣợc chú trọng so với các kĩ năng khác. Điều này thể hiện ở số lƣợng bài tập

chứng minh ở sách giáo khoa của hai nƣớc là khá khiêm tốn.

Các phân tích của ba ví dụ toán học cho thấy, cách tiếp cận cũng nhƣ phƣơng

pháp chứng minh phù hợp với bối cảnh giáo dục của mỗi nƣớc. Sách giáo khoa Việt

Nam tập trung nhiều vào chứng minh hơn sách giáo khoa Pháp, trong khi sách giáo

khoa của Pháp nhấn mạnh hơn vào sự vận dụng định lý hay tính chất đã chứng

minh. Điều này thể hiện ở số lƣợng bài tập trong mỗi chƣơng của sách giáo khoa

Pháp nhiều hơn hẳn Sách giáo khoa Việt Nam. Hai cách này cung cấp những hiểu

biết khác nhau vào chứng minh toán học cho học sinh. Sách giáo khoa Việt Nam có

thể hỗ trợ việc thực hành xác nhận các tính chất cho học sinh còn sách giáo khoa

Pháp có thể cung cấp nhiều phƣơng pháp để thực hành, giải quyết nhiều vấn đề

khác nhau cho học sinh, sách giáo khoa Pháp sau mỗi chƣơng hay sau mỗi chứng

minh định lý, tính chất đều đƣa ra các phƣơng pháp để hoàn thành những yêu cầu

đặt ra. Do đó, sự chặt chẽ của các chứng minh toán học quan trọng hơn ở Việt Nam,

trong khi hiệu quả của việc áp dụng các ý tƣởng toán học quan trọng hơn ở Pháp.

4.2. Đóng góp của nghiên cứu và hƣớng phát triển của đề tài

Nghiên cứu của chúng tôi đã :

Bƣớc đầu phân tích đƣợc vai trò của chứng minh trong hình học ở các sách

giáo khoa bậc Trung học cơ sở ở Pháp và Việt Nam. Đây có thể xem nhƣ là một

trong những nghiên cứu đầu tiên về vấn đề này.

Nêu lên cái nhìn so sánh về chủ đề suy luận và chứng minh trong hình học

ở các sách giáo khoa Trung học cơ sở ở Pháp và Việt Nam, đặc biệt là qua so sánh

chứng minh các định lý cơ bản nổi tiếng trong hình học (Định lý Pitago, Định lý

Thalès).

Nghiên cứu này cho thấy rằng các chuỗi kiến thức toán học, cách học sinh

tiếp cận, vận dụng kiến thức là khác nhau giữa các quốc gia. Đây cũng đƣợc xem

nhƣ là một đóng góp nhỏ vào các nghiên cứu phân tích so sánh sách giáo khoa giữa

các nƣớc với nhau.

63

Nghiên cứu này cung cấp thêm thông tin cho giáo viên về nội dung toán học

sách giáo khoa. Sách giáo khoa định hình cho giáo viên những gì sẽ thực hiện trong

lớp học, qua đó gián tiếp ảnh hƣởng đến việc học của học sinh. Vì thế, sách giáo

khoa đóng một phần không thể thiếu trong việc học nói chung và học suy luận-

chứng minh nói riêng. Hơn nữa, cách giáo viên lựa chọn phƣơng pháp tiếp cận, liên

kết giữa các nhiệm vụ thiết kế ảnh hƣởng đến sự tham gia của ngƣời học với toán

học. Nghiên cứu này cung cấp thông tin hữu ích cho giáo viên trong việc sử dụng

sách giáo khoa và so sánh nội dung toán học từ các sách giáo khoa khác nhau. Vì

vậy, việc hiểu làm thế nào để sử dụng sách giáo khoa là quan trọng đối với giáo

viên toán học, đặc biệt là đối với các giáo viên tƣơng lai và giáo viên mới./.

64

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tài liệu tiếng Việt

1. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) – Tôn Thân (Chủ biên) – Vũ Hữu Bình

– Phạm Gia Đức – Trần Luận (2014), Sách giáo khoa Toán 6 Tập hai, Nhà xuất bản

giáo dục.

2. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) – Tôn Thân (Chủ biên) – Vũ Hữu Bình

– Phạm Gia Đức – Trần Luận (201), Sách giáo khoa Toán 7 Tập một-Tập hai, Nhà

xuất bản giáo dục.

3. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) – Tôn Thân (Chủ biên) – Nguyễn Huy

Đoan – Lê Văn Hồng – Trƣơng Công Thành – Nguyễn Hữu Thảo (2015), Sách

giáo khoa Toán 8 Tập một-Tập hai, Nhà xuất bản giáo dục.

4. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) – Tôn Thân (Chủ biên) – Nguyễn Huy

Đoan – Trƣơng Công Thành – Nguyễn Duy Thuận (2014), Sách giáo khoa Toán 9

Tập một-Tập hai, Nhà xuất bản giáo dục.

Tài liệu nƣớc ngoài

5. Balacheff, N. (2008). The role of the researcher‘s epistemology in

mathematics education : an essay on the case of proof. ZDM-The International

Journal on Mathematics Education, 40(3), 501-512.

6. Ball, D. L., & Bass, H. (2003). Making mathematics reasonable in

school. In J. Kilpatrick, W. G. Martin, & D. Schifter (Eds.). A research companion

to Principles and Standards for School Mathematics (pp.27–44). Reston, VA:

National Council of Teachers of Mathematics.

7. Ball, D. L., & Feiman-Nemser, S. (1988). Using textbooks and teachers‘

guides: A dilemma for beginning teachers and teacher educators. Curriculum

Inquiry, 18(4), 401–423.

8. Begle, E. G. (1973). Some lessons learned by SMSG. Mathematics

Teacher, 66(3), 207–214.

9. Chang, Y.-P., Lin, F.-L., & Reiss, K. (accepted). How do students learn

mathematical proof? A comparison of geometry designs in German and Taiwanese textbooks. In the Proceedings of the 22nd International Commission on

Mathematical Instruction Study: Task design in mathematics education. Oxford, UK: ICMI (July 22nd –26th , 2013).

65

10. Chazan, D. (1993). High school geometry students‘ justification for their

views of empirical evi-dence and mathematical proof. Educational Studies in

Mathematics, 24(4), 359–387.

11. Chevallard, Y. (1994). Les processus de tránposition didactique et leur

théorisation, In G. Arsae et al. (Eds.) La tránposition didactique à l’épreuve (pp.

135-180). Grenoble : La Pensée Sauvage.

12. De Villiers, M. (1990). The role and function of proof in mathematics.

Pythagoras, 24, 17–24.

13. Duval, R. (1995). Geometrical pictures: Kinds of representation and

specific processings. In R. Sutherland & J. Mason (Eds.), Exploiting mental

imagery with computers in mathematics education (pp.142–157). Berlin: Springer.

14. Hanna, G., & De Villiers, G. (2012). Proof and Proving in Mathematics

Education : the 19th ICMI Study. New York: Springer.

15. Hardy, G. H. (1929). Mathematical proof. Mind, 38(149), 1–25.

16. Harel, G. (1998). Two dual assertions: The first on learning and the

second on teaching (or vice versa). American Mathematical Monthly, 105(6), 497–

507.

17. Healy, L. & Hoyles, C. (2000). Proof conceptions in algebra. Journal for

Research in Mathemat-ics Education, 31(4), 396–428.

18. Heinze, A. (2004). Schülerprobleme beim Lösen von geometrischen

Beweisaufgaben––eine In-terviewstudie [Student‘s problems in solving

geometric proof tasks—an interview study]. ZDM––The International Journal on

Mathematics Education, 36(5), 150–161.

19. Heinze, A., & Reiss, K. (2007). Reasoning and proof in the

mathematics classroom. Analysis-International Mathematical Journal of Analysis

and Its Applications, 27, 333–357.

20. Herbst, P. G. (2002). Establishing a custom of proving in American

school geometry: Evolution of the two-column proof in the early twentieth century.

Educational Studies in Mathematics, 49, 283–312.

21. Hoyles, C. (1997). The curricular shaping of students‘ approach to

proof. For the Learning of Mathematics, 17(1), 7–16.

22. Knipping, C. (2002). Proof and proving processes: Teaching geometry

in France and Germany.

66

23. Lin, F.-L., & Cheng, Y.-H. (2003). The competence of geometric

argument in Taiwan adoles-cents. Presentation in International Conference on

Science & Mathematics Learning, Na-tional Taiwan Normal University, Taipei, 16–

18 December, 2003.

24. Lin, F.-L., Yang, K.-L., & Chen, C. Y. (2004). The features and

relationships of reasoning, prov-ing and understanding proof in number patterns.

International Journal of Science and Mathematics Education, 2, 227–256.

25. Mariotti, M. A. (2006). Proof and proving in mathematics education. In

A. Gutiérrez & P. Boero (Eds.), Handbook of research on the psychology of

mathematics education: Past, present and future (pp. 173–204). Rotterdam: Sense

Publishers.

26. Mayer, R. E. (1989). Models for understanding. Review of Educational

Research, 59(1), 43–64.

27. Miyakawa, T. (2012). Proof in geometry: A comparative analysis of

French and Japanese textbooks. In T.-Y. Tso (Ed.), Proceedings of the 36th

Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics

Education (Vol. 3, pp. 225–232). Taipei, Taiwan: PME.

28. Moore, R. C. (1994). Making the transition to formal proof. Educational

Studies in Mathematics, 27, 249–266.

29. Otten, S., Gilbertson, N. J., Males, L. M., & Clark, L. (2014). The

Mathematical Nature of Reasoning-and-Proving Opportunities in Geometry

Textbooks, Mathematical Thinking and Learning, 16:1, 51-79.

30. Otten, S., Males, L. M., Gilbertson, N. J. (2014). The introduction of

proof in secondary geometry textbook. International of Educational Research, 64,

107-118.

31. Reid, D.A. & Knipping, C. (2010). Proof in mathematics education.

Rotterdam : Sense Publishers.

32. Reiss, K., Hellmich, F. & Thomas, J. (2002). Individuelle und schulische

Bedingungsfaktoren für Argumentationen und Beweise im Mathematikunterricht

[Individual and school factors in understanding argumentation and proof in

mathematics education]. In M. Prenzel & J. Doll (Eds.), Bildungsqualität von

Schule: Schulische und außerschulische Bedingungen mathe-matischer,

67

naturwissenschaftlicher und überfachlicher Kompetenzen (pp. 51–64). Wein-

heim: Beltz.

33. Stylianides, G. J. (2009). Reasoning-and-proving in school mathematics

textbooks. Mathematical Thinking and Learning, 11, 258–288.

34. Stylianides, G. J., & Stylianides, A. J. (2008). Proof in School

Mathematics: Insights from Psychological Research into Students' Ability for

Deductive Reasoning. Mathematical Thinking and Learning, 10:2, 103-133.

35. Thompson, D. R., Senk, S. L., & Johnson, G. J. (2012). Opportunities to

learn reasoning and proof in high school mathematics textbooks. Journal for

Research in Mathematics Education, 43(3), 253–295.

36. Usiskin, Z. (1987). Resolving the continuing dilemma in school

geometry. In M. M. Lindquist & A. P. Shulte (Eds.), Learning and teaching

geometry, K–12: 1987 Yearbook (pp. 17–31). Reston, VA: National Council of

Teachers of Mathematics.

37. Weber, K. (2001). Student difficulty in constructing proofs: The need

for strategic knowledge. Educational Studies in Mathematics, 48, 101–119.

38. Zaslavsky, O., Nickerson, S. D., Stylianides, A. J., Kidron, I., &

Winicki-Landman, G. (2012). The need for proof and proving: Mathematical and

pedagogical perspectives. In G. Hanna & M. de Villiers (Eds.), Proof and proving

in mathematics education: The 19th ICMI Study (pp. 215–229). Dordrecht:

Springer.

39. Manuel-Transmath 3e, 4e, 5e, 6e

40. Fujita, T., Jones, K., & Kunimune, S. (2009). The design of textbooks

and their influence on stu-dents‘ understanding of ‗proof‘ in lower secondary

school. In F.-L. Lin, F.-J. Hsieh, G. Hanna, & M. de Villiers (Eds.), Proceedings

of the ICMI Study 19 conference: Proof and Proving in Mathematics Education

(vol. 1, pp. 172–177). Taipei: National Taiwan Normal University & National

Science Council.

41. Yu-Ping Chang, 2013. Opportunities to Learn Mathematical Proofs in

Geometry: Comparative Analyses of Textbooks from Germany and Taiwan

68

69

PHỤ LỤC

Định lý tổng ba góc trong tam giác trong SGK Việt Nam

P1

Định lý tổng ba góc trong tam giác trong SGK Pháp

P2

Định lý Pythagore trong SGK Pháp

Định lý Pythagore trong SGK Việt Nam

P3

\

P4

P5

P6

P7

Định lý Thalès trong SGK Pháp

Định lý Thalès trong SGK Việt Nam

P8