Động học phương trình Kolmogorov chịu nhiễu Markov: Luận văn Thạc sĩ Khoa học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ THỊ MINH THU

ĐỘNG HỌC CỦA PHƯƠNG TRÌNH KOLMOGOROV CHỊU NHIỄU MARKOV

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ THỊ MINH THU

ĐỘNG HỌC CỦA PHƯƠNG TRÌNH KOLMOGOROV CHỊU NHIỄU MARKOV

Chuyên ngành : Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 60 46 15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TS. Nguyễn Hữu Dư

Hà Nội - Năm 2012

Mục lục

1 Kiến thức chuẩn bị. 5

1.1 Phương trình Kolmogorov tất định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Toán tử sinh của quá trình Markov thời gian liên tục. . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Quá trình Markov. 1.2.2 Toán tử sinh của nửa nhóm các toán tử Markov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 11

1.2.3 Toán tử sinh của xích Markov với thời gian liên tục. . . . . . . . . . 11

1.2.4 Quá trình Markov hai trạng thái. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện

báo. 14

. 22 2.1 Tính bền vững của hệ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Tập ω- giới hạn. .

2.2.1 22

2.2.2 2.2.3 23 24

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường hợp 1: cả hai hệ tất định là ổn định. . . . . . . . . . . . . . Trường hợp 2: Một hệ ổn định và một hệ song ổn định. . . . . . . . Trường hợp 3: Một hệ ổn định toàn cục và một hệ triệt tiêu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Nửa nhóm và tính ổn định trong phân bố. 29

3 Ứng dụng. 33

3.0.1 3.0.2

. . . 38

3.0.3

Trường hợp 1: Hệ (3.2) và (3.3) ổn định tiệm cận toàn cục . . . . . Trường hợp 2: Hệ (3.2) ổn định tiệm cận toàn cục và (3.3) song ổn định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường hợp 3: Hệ (3.2) ổn định tiệm cận toàn cục và tất cả các nghiệm dương của hệ (3.3) dần tới một điểm trên biên. . . . . . . . 39

Kết luận 41

Tài liệu tham khảo 43

Lời nói đầu.

Đối với các hệ sinh thái trong sinh học, sinh thái học và quần thể học gồm có hai loài,

người ta thường mô tả chúng bằng mô hình toán học dưới dạng các hệ phương trình vi phân:

˙x = x f (x, y) , ˙y = yg (x, y) , (1)

trong đó x(t) và y(t) là mật độ quần thể của từng loài tại thời điểm t và f (x, y) , g (x, y) là tốc độ tăng trưởng bình quân của từng loài. Thông thường, các hệ như vậy được gọi là các hệ

Kolmogorov.

Các hệ kiểu Kolmogorov là các mô hình thông dụng nhất để mô tả sự phát triển của

quần thể trong một hệ mà tốc độ tăng trưởng bình quân của mỗi loài phụ thuộc vào quy mô

quần thể của cả hai loài. Mô hình kiểu Kolmogorov quan trọng vì mỗi quỹ đạo xuất phát

trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng thì luôn nằm trong mặt phẳng này (tức là nếu x (0) > 0, y (0) > 0) thì x (t) > 0, y (t) > 0) với mọi t > 0). Nói cách khác miền trong của góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng là bất biến đối với hệ (1). Đã có rất nhiều công trình nghiên

cứu về động lực học quần thể thông qua nghiên cứu các nghiệm dương, chẳng hạn như là tính

bền vững đều, sự diệt vong hay và sự giới nội ở kết cục (xem [10, 13, 20, 11]).

Cách mô tả hệ theo các phương trình trên đều dựa vào giả thiết các loài sống trong một môi trường không thay đổi. Do đó, tốc độ tăng trưởng f (x, y) , g (x, y) là các hàm tất định. Tuy nhiên, rõ ràng rằng điều đó nói chung không phù hợp trong thực tế bởi vì chúng ta phải

tính đến sự các biến động của môi trường mà có thể gây những tác động mạnh đến tính động lực học cũng như sự phát triển bền vững của quần thể. Sự biến đổi của môi trường có thể

được thể hiện như là các yếu tố ngẫu nhiên và điều quan trọng là chúng ta phải mô tả chúng ở

dạng phương trình ngẫu nhiên. Tuy vậy, trong khi hệ Kolmogorov tất định (1) đã được nghiên

cứu với một lịch sử lâu dài thì hệ Kolmogorov ngẫu nhiên lại chưa đề cập nhiều trong các tài liệu toán học và hầu như không có công trình nào nghiên cứu về phương diện thống kê. Ở

đây, chúng tôi đề cập đến một trong những nỗ lực đầu tiên theo hướng này, đó là báo báo rất

hay của Arnold [5], trong đó các tác giả đã sử dụng các lý thuyết về quá trình chuyển động

Brown để nghiên cứu các quỹ đạo mẫu của phương trình. Đối với các mô hình phân nhánh trong một môi trường biến thiên, chúng ta có thể tham khảo [2, 3, 18, vv....]. Một cách trình

bày tương đối hệ thống về vấn đề này đã được đưa ra trong [1]. Gần đây, [16] xem xét ảnh

MỤC LỤC

hưởng của cả hai loại nhiễu là quá trình chuyển đổi Markov và ồn trắng tác động lên hệ (1),

A. Bobrowski trong [8] sử dụng nửa nhóm Markov để nghiên cứu sự ổn định của phân phối

dừng của các hệ ngẫu nhiên (1); W. Shen, Y. Wang trong [19] nghiên cứu các hệ Kolmogorov

cạnh tranh ngẫu nhiên thông qua các phương pháp tích lệch...

Trong trường hợp đơn giản nhất, chúng ta giả sử điều kiện môi trường có thể chuyển đổi

ngẫu nhiên giữa hai trạng thái, ví dụ: trạng thái nóng và lạnh, trạng thái khô và ướt ... . Như

vậy, chúng ta có thể giả sử có một tiếng ồn điện báo ảnh hưởng đến trên mô hình bằng cách chuyển đổi hai trạng thái trong một tập hợp E = {+, −} có hai phần tử . Với các trạng thái khác nhau, động lực học của hệ trong mô hình là khác nhau. Sự chuyển đổi ngẫu nhiên của điều kiện môi trường khiến cho mô hình thay đổi từ hệ trong trạng thái + với hệ trong trạng thái − và ngược lại.

Trong [7], các tác giả đã nghiên cứu các hệ cạnh tranh cổ điển với tiếng ồn điện báo. Các tác giả chỉ ra rằng tập ω-giới hạn của các nghiệm đối với các hệ là rất phức tạp và đã thành công trong việc mô tả một số tập hợp con của tập ω- giới hạn. Mục đích của chúng tôi là khái quát những kết quả này bằng cách xét một hệ tổng quát và sẽ mô tả đầy đủ tất cả các tập ω- giới hạn của các nghiệm của phương trình. Chúng tôi cũng chứng minh rằng các tập ω- giới hạn của tất cả các nghiệm dương là như nhau và nó hút tất cả các nghiệm dương khác. Hơn

nữa, chúng tôi muốn đi xa hơn bằng cách nghiên cứu một số tính chất của phân phối dừng.

Chúng tôi chỉ ra rằng phân phối dừng (nếu nó tồn tại) sẽ có mật độ và mật độ này hút tất cả

các phân phối khác.

Để làm được điều đó, chúng tôi đưa ra 2 tham số λ1, λ2 như là ngưỡng phát triển của hệ. Mặc dù chưa đưa ra được biểu thức để tìm các giá trị λ1, λ2, nhưng chúng ta có thể dễ dàng ước lượng chúng bằng phương pháp mô phỏng thông qua các hệ số. Các tham số này đóng

một vai trò quan trọng trong thực tế vì bằng cách phân tích các hệ số, chúng ta hiểu được dáng điệu động học của hệ.

Luận văn được chia làm 3 chương:

Chương I: Các kiến thức chuẩn bị.

Nội dung của chương này là đưa ra một số khái niệm cơ bản về mô hình cạnh tranh của hệ Kolmogorov tất định cũng như các tính chất quan trọng của quá trình Markov hữu hạn

trạng thái với thời gian liên tục.

Chương II: Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu

Markov.

Chương này chủ yếu dựa trên nội dung của bài báo [23]. Trong chương này, chúng tôi mô

tả quỹ đạo động học của các nghiệm dương đối với các loại hệ cạnh tranh chịu sự tác động của tiếng ồn điện báo. Nó cho thấy rằng các tập ω- giới hạn hấp thụ tất cả các nghiệm dương. Chúng tôi cũng xét 3 trường hợp cụ thể về dáng điệu của các nghiệm của hệ Kolmogorov chịu nhiễu Markov.

MỤC LỤC

Chương III: Ứng dụng vào mô hình hệ phương trình cạnh tranh cổ điển.

Chương này đề cập đến dáng điệu của các nghiệm của hệ phương trình cạnh tranh cổ điển

Lotka- Volterra dưới tác động của nhiễu Markov. Các mô hình cổ điển này có thể xem là thí

dụ cụ thể minh họa các kết quả trong Chương II.

Lời cảm ơn

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc và chỉ bảo tận tình

của GS. TS Nguyễn Hữu Dư. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến

người thầy của mình.

Qua đây, tôi xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy lớp cao học

Toán khóa 2010- 2012, đặc biệt là thầy Nguyễn Hải Đăng, giảng viên khoa toán sinh thái học

môi trường, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ, chỉ dẫn nhiệt tình trong suốt

khóa học và thời gian làm luận văn.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các anh chị em học viên đồng khóa và các em sinh viên

năm cuối khoa Toán- Cơ- Tin của trường đã giúp đỡ rất nhiệt tình để tôi hoàn thành bản luận

văn này.

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên

cổ vũ tôi để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình.

Hà nội, tháng 12 năm 2012

Người làm luận văn

Lê Thị Minh Thu

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị.

1.1 Phương trình Kolmogorov tất định.

Xét một hệ sinh thái đơn giản gồm có hai loài sống trong cùng một môi trường tương đối ổn định. Giả sử x(t), y(t) là số lượng cá thể của mỗi loài tại thời điểm t và f (tương ứng g) là tỷ lệ tăng trưởng của loài thứ nhất (tương ứng loài thứ 2); trong đó f , g là hai hàm của hai biến x và y.

Như thế, chúng ta có thể mô tả sự phát triển của hệ bởi các phương trình:

= x f (x, y) , = yg (x, y) . (1.1) dx dt dy dt

Giả thiết trong các phương trình (1.1) là tỷ lệ tăng hoặc giảm của số lượng các cá thể

trong quần thể không phụ thuộc vào thời gian và rằng số lượng các quần thể đủ lớn để ta xem x và y là các số thực không âm và không chịu sự tác động ngẫu nhiên.

+ = {(u, v) : u > 0, v > 0} cũng sẽ bất biến.

Hệ (1.1) được gọi là hệ Kolmogorov. Trong toàn bộ Luận văn này, chúng tôi luôn đưa ra giả thiết là f , g cùng với đạo hàm bậc nhất của chúng xác định và liên tục với mọi giá trị không âm của x và y và phương trình (1.1) luôn tồn tại nghiệm xác định trên [0, ∞) (do đó là duy nhất). Nhờ tính duy nhất nghiệm của hệ, dễ dàng thấy rằng góc phần tư thứ nhất R2 + = {(u, v) : u (cid:62) 0, v (cid:62) 0} của mặt phẳng R2 là bất biến. Tức là nếu x(0) (cid:62) 0, y(0) (cid:62) 0 thì x(t) (cid:62) 0, y(t) (cid:62) 0 với mọi t > 0. Tương tự như vậy phần trong int R2

Tùy theo từng bài toán cụ thể chúng ta sẽ đưa ra các điều kiện bổ sung cụ thể cho hai hàm

f và g.

Mối quan hệ giữa các loài có thể có chia làm ba loại chính:

a) Loài thứ nhất gặp khó khăn, loài thứ hai gặp thuận lợi, do có sự hiện diện của một yếu

tố nào đó khác (quan hệ loài săn mồi với con mồi),

b) Cả hai loài đều gặp khó khăn bởi sự hiện diện của một loài khác (mô hình cạnh tranh),

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.

c) Cả hai loài đều gặp thuận lợi bởi sự hiện diện của một loài khác (mô hình cộng sinh).

Trong toàn bộ Luận văn này chúng ta chỉ xét các mô hình cạnh tranh. Đó là trường hợp

mà cả hai loài sống trong một vùng lãnh thổ và cạnh tranh nhau về nguồn thức ăn hay môi

trường. Mô hình toán học đầu tiên nghiên cứu hiện tượng này được đưa ra bởi Volterra (1927) và đã đưa ra nhiều kết luận bổ ích về sự phát triển của từng loài. Ở đây chúng tôi xét mô hình

cạnh tranh tổng quát hơn (1.1) và cố gắng đạt được kết luận tương tự.

Để mô tả mô hình có tính chất cạnh tranh, chúng ta đưa ra các giả thiết sau về các hàm f

và g :

a) Sự gia tăng của một trong hai quần thể tạo ra một sự sụt giảm về tốc độ tăng trưởng

của cả hai quần thể; do đó ta có

< 0, < 0, ∂ f ∂ y

< 0 < 0. và ∂ f ∂ x ∂ g ∂ x ∂ g ∂ y

b) Nếu cả hai quần thể đều rất nhỏ, cả hai đều nhân lên, thì

f (0, 0) > 0 và g (0, 0) > 0

c) Mỗi quần thể, ngay cả khi rất nhỏ, cũng không thể tăng thêm nếu đạt đến một kích cỡ

nhất định, do đó, tồn tại A và C sao cho f (0, A) = g (C, 0) = 0.

d) Mỗi quần thể không thể làm tăng kích thước nhất định ngay cả khi số lượng cá thể

trong đó rất nhỏ, do đó tồn tại B và D sao cho f (B, 0) = g (0, D) = 0.

Nói chung, hai đường cong f = 0 và g = 0 có thể có bất kỳ số lượng điểm chung. Khi đó, góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ (x, y) sẽ được chia thành 3 khu vực: khu vực I có f > 0, g > 0; khu vực II có f < 0, g < 0 và khu vực III có f .g < 0. Những khu vực đó được biểu diễn bởi biểu đồ trong hình 1

Tất cả các đường cong tích phân xuất phát từ khu vực I và II cuối cùng đi vào khu vực III. Khu vực III được hình thành bởi các đường cong f = 0 , g = 0, bởi các điểm bên trong bị chặn bởi hai đường cong đó và đoạn AD và BC. Tùy thuộc vào đồ thị của các hàm f và g, các điểm trong khu vực này ít hơn các điểm trên biên. Khu vực III này có thể được chia thành một hoặc nhiều tập con, mỗi tập này cộng với những điểm biên tạo thành một khu vực

con; tất cả các đường cong tích phân trong khu vực con kết thúc tại một điểm cân bằng của nó x = maximum, y = minimum, hoặc tương ứng x = minimum, y = maximum, tùy thuộc vào việc những điểm trong của khu vực con là f > 0, g < 0 hoặc f < 0, g > 0. Ví dụ, trong trường hợp của hình 1, D là một điểm cân bằng của một khu vực con và R là một điểm cân bằng của

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.

Hình 1

một khu vực con khác. Có thể, nhưng không chắc chắn, một vài điểm của khu vực III không thuộc vào nhóm các khu vực con này, điều này xảy ra khi mà đường cong f = 0 và g = 0 có đoạn trùng nhau. Trong trường hợp này, đường cong tích phân xuất phát từ khu vực I và II

đến đoạn trùng nhau này thì dừng lại.

Một ví dụ minh họa đơn giản có thể cho ta biết rất nhiều thông tin về dáng điệu giới hạn

của đường cong tích phân. Ví dụ như những đường cong trong hình 1 được sao chép trong hình 2, ở đây dấu của các hàm f và g được biểu diễn bởi 2 véc tơ đơn vị song song với các trục. Trong khu vực I, chúng ta có f > 0 và g > 0 và do đó, với thời gian ngày càng tăng, các đường cong tích phân trong khu vực này được giới hạn trong góc phần tư xác định bởi 2 véc

tơ đơn vị như thể hiện trong hình 2.

Để minh họa cụ thể, ta hãy xét khu vực con được giới hạn bởi điểm Q và R; rõ ràng từ các véc tơ ta thấy, Q là một điểm cân bằng không ổn định và R là một điểm cân bằng ổn định. Chú ý rằng, đường cong tích phân bất kỳ đi qua khu vực hình chữ nhật xq1Q∞ và cuối cùng phải kết thúc tại điểm R. Các đường cong tích phân đi qua khu vực hình chữ nhật yq2Q∞ không bao giờ đến được R, nhưng đến D. Dáng điệu của các đường cong tích phân trong các khu vực còn lại của góc phần tư thứ nhất phải được xác định bằng cách phân tích chi tiết.

Kết luận, khi các đường cong f = 0 và g = 0 không giao nhau, một loài sẽ tồn tại, cụ thể là, loài thứ nhất tồn tại nếu B > C hoặc loài thứ hai tồn tại nếu B < C. Khi các đường cong f = 0 và g = 0 cắt nhau tại một điểm, khi đó nếu B > C thì chỉ có một trong hai loài sống

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.

Hình 2

sót, tùy thuộc vào các điều kiện ban đầu; còn nếu B < C thì cả hai loài cùng sống sót. Khi các đường cong f = 0 và g = 0 cắt nhau tại nhiều điểm, có thể cả hai loài đều có khả năng sống sót cao tùy thuộc vào các điều kiện ban đầu. Nhìn chung, các giao điểm giữa các đường cong f = 0 có cùng hoặc lớn hơn về độ dốc (trong giá trị tuyệt đối) so với các giao điểm giữa các đường cong g = 0, những điểm đó cùng nhau tồn tại.

Khả năng sống sót của cả hai loài có mâu thuẫn với nguyên tắc cạnh tranh loại trừ của

Volterra hay không? Trong ý nghĩa toán học, nếu hai loài tương tác theo các điều kiện của

Volterra, khi đó chỉ có một loài sống sót. Tuy nhiên, mô hình Volterra là đơn giản nhất, và

khi xem xét một hình thức chung của các phương trình tăng trưởng dân số thì ta thấy có một loạt các phương thức cho sự phát triển của hai loài cạnh tranh. Thực tế, không khó khăn để

tìm được một mô hình chỉ hơi phức tạp hơn Volterra mà cho phép cả hai loài tồn tại. Đó là

mô hình Kolmogorov.

Ta cần bổ đề sau:

Bổ đề 1.1.1. Giả sử rằng hệ

˙x (t) = f (x, y) ,  

˙y (t) = g (x, y) , 

trong đó f , g : R2 → R2 có một trạng thái cân bằng (x∗, y∗) trở thành ổn định tiệm cận toàn cục, có nghĩa là, (x∗, y∗) ổn định và với mọi nghiệm duy nhất (x (t) , y (t)) xác định trên [0, ∞) thỏa mãn limt→∞ (x (t) , y (y)) = (x∗, y∗). Khi đó, đối với tập compact K ⊂ R2 bất kỳ , với lân cận U bất kỳ của (x∗, y∗), tồn tại một số T ∗ > 0 sao cho (x (t, x0, y0) , y (t, x0, y0)) ∈ U, với

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.

bất kỳ t > T ∗, (x0, y0) ∈ K .

Chứng minh. Theo giả thiết, tồn tại một lân cận mở V của (x∗, y∗) sao cho

(1.2) (x (t, x0, y0) , y (t, x0, y0)) ∈ U, ∀t (cid:62) 0, (x0, y0) ∈ V.

Hơn thế nữa, với mỗi (x, y) ∈ K , có một Tx,y > 0 sao cho

(x (t, x, y) , y (t, x, y)) ∈ V, ∀t (cid:62) Tx,y.

Theo (1.2) và tính liên tục của nghiệm trong điều kiện ban đầu, tồn tại một lân cận mở Ux,y của (x, y) sao cho

∀ (u, v) ∈ Ux,y, (x (Tx,y, u, v) , y (Tx,y, u, v)) ∈ V,

n (cid:91)

kéo theo (x (t, u, v) , y (t, u, v)) ∈ U, ∀t > Tx,y. Họ (Vx,y)(x,y)∈K là một phủ mở của K . Do K compact, nên có các Uxi,yi, i = 1, ..., n sao cho

i=1

K ⊂ Uxi,yi.

Đặt T ∗ = max1(cid:54)i(cid:54)n Txi,yi

Ta thấy (x (t, x0, y0) , y (t, x0, y0)) ∈ U, với bất kỳ t > T ∗, (x0, y0) ∈ K .

1.2 Toán tử sinh của quá trình Markov thời gian liên tục.

1.2.1 Quá trình Markov.

Mục đích của phần này là trình bày vắn tắt về quá trình Markov.

Giả sử (Ω, F , (Ft)t(cid:62)0, P) là một không gian xác suất với lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường, tức là (Ft)t(cid:62)0 là dòng tăng các σ − đại số con của F và F là đầy đủ theo P. Một quá trình ngẫu nhiên d− chiều {Xt,t (cid:62) 0} là một tập hợp các biến ngẫu nhiên, xác định trên (Ω, F , P), lấy giá trị trong Rd với d (cid:62) 1. Chỉ số t được gọi là thời gian. Như thế một quá trình ngẫu nhiên có thể xem là một ánh xạ

X : Ω × [0, ∞) → Rd sao cho với mỗi t ta có Xt là F - đo được.

Với mỗi ω ∈ Ω, ánh xạ t → Xt(ω) được gọi là quỹ đạo mẫu của quá trình ngẫu nhiên Xt. Nếu với xác suất 1, các quỹ đạo mẫu của (Xt) là các hàm liên tục thì ta gọi nó là quá trình

ngẫu nhiên liên tục.

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.

Nếu với xác suất 1, các quỹ đạo là những hàm hằng từng khúc thì ta gọi (Xt) là quá trình

bước nhảy.

Nếu với mỗi t, biến ngẫu nhiên Xt là Ft - đo được thì quá trình (Xt) được gọi là Ft− phù

hợp.

Quá trình ngẫu nhiên (Xt) được gọi là có tính markov (gọi tắt là quá trình Markov) nếu

nó thỏa mãn điều kiện sau

(1.3) P (Xt ∈ B|Fs) = P (Xt ∈ B|Xs) , ∀0 (cid:54) s < t, ∀ B ∈ Bd.

Tính Markov (1.3) có thể được phát biểu một cách hình thức như sau:

Nếu trạng thái của quá trình tại một thời điểm cụ thể s (hiện tại) đã biết, thì thông tin bổ sung về dáng điệu của quá trình tại thời điểm r < s (quá khứ) không ảnh hưởng đến xác suất của quá trình tại thời điểm t > s (trong tương lai).

Đặt

P(s, x,t, B) = P (Xt ∈ B|Xs = x) , ∀0 (cid:54) s < t, ∀ B ∈ Bd.

và gọi nó là hàm xác suất chuyển của quá trình markov Xt.

Quá trình Markov (Xt) được gọi là thuần nhất nếu P(s, x,t, B) chỉ phụ thuộc vào hiệu số

thời gian t − s, có nghĩa là

P (Xt+h ∈ B|Xt) = P (Xh ∈ B|X0) , ∀0 (cid:54) t, h, ∀B ∈ Bd.

Cho (Xt) là một quá trình Markov thuần nhất với phân bố ban đầu ν0. Khi đó, phân phối

(cid:90)

xác suất của biến ngẫu nhiên Xt tại thời điểm t được cho bởi

(1.4) P (Xt ∈ B) = P (t, x, B) ν0(dx),

với mọi tập con B ∈ Bd. Trong đó,

s ∈ [0, ∞), x ∈ Rd, B ∈ Bd. P (s, x, B) := P (Xs ∈ B|X0 = x) ,

Hàm P : [0; ∞) × Rd × Bd → [0; 1] có tính chất sau:

(i) x (cid:55)→ P (s, x, B) đo được với s ∈ [0, ∞) cố định và B ∈ Bd cố định.

(ii) B (cid:55)→ P (s, x, B) là một độ đo xác suất với s ∈ [0, ∞) cố định và x ∈ Rd cố định.

(iii) P (cid:0)0, x, Rd \ {x}(cid:1) = 0 với mọi x ∈ Rd.

(cid:90)

(iv) Thỏa mãn phương trình Chapman- Komogorov

P (t + s, x, B) = P (t, x, dz) P (s, z, B) (1.5)

với mọi t, s ∈ [0, ∞), x ∈ Rd, B ∈ Bd.

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.

(cid:90)

Ta nói rằng quá trình Markov (Xt) có phân phối dừng µ, nếu

(1.6) P (t, x, B) µ (dx) = µ (B) , ∀t ∈ [0, ∞), ∀B ∈ Bd.

Từ (1.4) ta thấy nếu quá trình markov (Xt) có phân phối dừng µ và X0 cũng có phân phối µ thì Xt có phân phối xác suất µ với mọi t. Hơn nữa, trong trường hợp này quá trình (Xt) sẽ là quá trình dừng, tức là với mọi 0 (cid:54) t1 < t2 < · · · < tn và h > 0 ta có biến ngẫu nhiên n chiều (Xt1+h, Xt2+h, ..., Xtn+h) có cùng phân phối với biến ngẫu nhiên (Xt1, Xt2, ..., Xtn).

1.2.2 Toán tử sinh của nửa nhóm các toán tử Markov.

Mỗi một quá trình Markov thuần nhất có thể gán một nửa nhóm các toán tử Markov

(cid:90)

{Tt,t (cid:62) 0}, được định nghĩa bởi

u (y) P (t, x, dy) , (1.7) Ttu (x) := Ex [u (Xt)] =

với u : Rd → R là các hàm đo được giới nội và Ex [u (Xt)] là kỳ vọng của có điều kiện trên X0 = x. Theo định nghĩa toán tử T0 là toán tử đồng nhất. Từ phương trình Chapman- Komogorov ta thấy họ {Tt,t (cid:62) 0} và có tính chất nửa nhóm, tức là,

Ts+t = TsTt = TtTs, ∀t, s ∈ [0, ∞).

Ta định nghĩa toán tử sinh L của quá trình Markov thuần nhất Xt bởi đạo hàm của toán tử {Tt,t (cid:62) 0} tại điểm t = 0,

. (1.8) L u (x) = lim t↓0 Ttu (x) − u (x) t

Miền xác định DL của toán tử L là một tập con của không gian các hàm vô hướng đo được bị chặn xác định trên Rd để cho giới hạn trong (1.8) tồn tại.

1.2.3 Toán tử sinh của xích Markov với thời gian liên tục.

Giả sử {ξt,t (cid:62) 0} là một xích Markov thời gian liên tục, tức nó chỉ nhận giá trị trong một tập không quá đếm được J. Khi đó thay hàm xác suất chuyển P(t, x, B) với x ∈ Rd, B ∈ Bd ta chỉ cần biết hàm pi, j(t) = P(t, i, { j}), i, j ∈ J vì khi đó P(t, i, B) = ∑ j∈B pi, j(t), i ∈ J. Hơn nữa, trong trường hợp này

pi, j(t) f ( j), i ∈ J. Ttu(i) = ∑ j∈J

Phân phối xác suất µ(·) là phân phối dừng nếu nó thỏa mãn phương trình

pi, j(t)µ(i), j ∈ J. µ( j) = ∑ i∈J

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.

Trong trường hợp này, để xác định toán tử sinh L ta chỉ cần biết đại lượng

, (1.9) ai, j = lim t↓ pi, j(t) − δi, j t

trong đó δi, j là ký hiệu Kronecker.

Nếu ký hiệu P(t) là ma trận xác suất chuyển, P(t) = (pi, j(t)), khi đó

P (t + u) = P (u) P (t) = P (t) P (u) .

Đặt A = (ai, j) ta có

= AP. dP dt

Nếu tập J là hữu hạn thì các giới hạn trong (1.9) luôn tồn tại. Hơn nữa, do

pi j (t) = 1 với mọi i ∈ J,

∑ j∈J

nên ta có

ai j = 0 với mọi i ∈ J.

∑ j∈J

Trong trường hợp này, toán tử sinh của xích Markov (ξt) cho bởi

j∈J

ai, ju( j), i ∈ J. L u( j) = ∑

Toán tử L xác định trên tất cả các hàm xác định trên J, nhận giá trị trên R.

Phân phối dừng đối với xích Markov hữu hạn trạng thái luôn tồn tại. Nếu ký hiệu phân

phối dừng là φ = {φ (i) : i ∈ J thì nó là nghiệm của phương trình đại số

φ (i) = 0. ai jφ (i) = 0, φ ( j) (cid:62) 0, với mọi j ∈ J,∑

∑ j∈J

i∈J

1.2.3.1 Quá trình Markov như là nghiệm của phương trình vi phân

Xét phương trình

(1.10) = f (Xt, ξt). dXt dt

L u(x, i) = f (x, i) ai ju(x, j), Trong đó ξt là quá trình Markov lấy giá trị trong tập đếm được J và f (x, i) là hàm thỏa mãn điều kiện Lipchitz theo x, đều theo i ∈ J. Khi đó người ta đã chứng minh rằng quá trình (Xt, ξt) là một quá trình Markov với toán tử sinh du dx + ∑ j∈J

xác định trên lớp hàm u(x, i), khả vi liên tục theo x.

Phân phối dừng của quá trình (Xt, ξt) nếu tồn tại và có hàm mật độ φ (x, i) khả vi thì nó

0 = L ∗φ (x, i) = ai jφ (x, i). sẽ thỏa mãn phương trình Focker-Planck d dx f (x, i)φ (x, i) + ∑ i∈J

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.

1.2.4 Quá trình Markov hai trạng thái.

Cho (Ω, F , P) là một không gian xác suất thỏa mãn các giả thiết nói chung và (ξt)t(cid:62)0 là một quá trình Makov, xác định trên (Ω, F , P), lấy giá trị trong tập hợp gồm 2 phần tử, kí β hiệu E = {+; −}. Giả sử rằng (ξt) có cường độ xác suất chuyển từ + α→ − và − → + với α > 0, β > 0. Quá trình (ξt) có phân phối dừng:

P {ξt = −} = P {ξt = +} = ; q = lim t→∞ p = lim t→∞ β α + β α α + β

Quỹ đạo của (ξt) là những hàm hằng từng khúc và liên tục phải. Giả sử

0 = τ0 < τ1 < τ2 < ... < τn < ...

là các bước nhảy của quá trình ξt.

Đặt

σ1 = τ1 − τ0; σ2 = τ2 − τ1; ...; σn = τn − τn−1; ...

σ1 = τ1 là lần đầu tiên (ξt) đi ra từ trạng thái ban đầu, σ2 là thời gian tiếp theo mà quá trình (ξt) di chuyển từ trạng thái đầu tiên... Người ta chứng minh được (σk)∞ k=1 là dãy độc lập với điều kiện biết được chuỗi (ξτk)∞ k=1. Chú ý rằng nếu ta biết được ξ0 thì sẽ biết được ξτn vì quá trình (ξt) chỉ lấy 2 giá trị. Do đó, (ξk)∞ n=1 là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có điều kiện, lấy giá trị trong [0, ∞). Hơn thế nữa, nếu ξ0 = + thì σ2n+1 có phân phối mũ với mật độ α1[0,∞)e−αt và σ2n có phân phối mũ với mật độ β 1[0,∞)e−βt. Ngược lại, nếu ξ0 = − thì σ2n có phân phối mũ với mật độ α1[0,∞)e−αt và σ2n+1 có phân phối mũ với mật độ β 1[0,∞)e−βt (xem [12]). Trong đó:

nếu t (cid:62) 0   1 1[0,∞)(t) = nếu t < 0  0

Chương 2

Tính chất tiệm cận của hệ phương trình

cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện

báo.

2.1 Tính bền vững của hệ.

Cho (ξt) là quá trình Markov 2 trạng thái nhận giá trị trong tập E = {+, −}. Xét phương trình Kolmogorov:

˙x (t) = xa (ξt, x, y)   (2.1)

 ˙y (t) = yb (ξt, x, y)

+, R2

+ = {(x, y) : x (cid:62) 0, y (cid:62) 0}.

Trong đó, a (±, x, y) , b (±, x, y) xác định trên E × R2, lấy giá trị trong R là khả vi liên tục trong (x, y) ∈ R2

Dưới tác động của tiếng ồn (ξt), hệ phương trình (2.1) chuyển đổi qua lại giữa hai hệ

Kolmogorov tất định:

˙x (t) = xa (+, x, y)   (2.2)

˙y (t) = yb (+, x, y) 

và hệ:

˙x (t) = xa (−, x, y)   (2.3)

˙y (t) = yb (−, x, y) 

Trong suốt bản luận văn này, chúng tôi giả sử rằng trong cả 2 hệ (2.2) và (2.3), các hệ số a (±, x, y) , b (±, x, y) thỏa mãn các giả thiết sau:

Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo.

Giả thiết 2.1.

∂ x < 0, ∀x > 0.

1. ∂ a(±,x,0)

2. a (±, 0, 0) > 0, limx→∞ a (±, x, 0) < 0.

∂ y < 0, ∀y > 0.

3. ∂ b(±,0,y)

4. b (±, 0, 0) > 0, limy→∞ b (±, 0, y) < 0.

Giả sử hệ (2.2) có một nghiệm duy nhất (x+ (t, x0, y0) , y+ (t, x0, y0)), kí hiệu là (x+ (t) , y+ (t))

(tương tự với (2.3) có nghiệm duy nhất (x− (t, x0, y0) , y− (t, x0, y0)), kí hiệu: (x− (t) , y− (t))), bắt đầu từ (x0, y0) ∈ R2 +.

Trong suốt bản luận văn này, giả thiết rằng những nghiệm đó xác định trên [0, ∞). Hơn

+ bất biến đối với cả hai hệ (2.2) , (2.3). Hơn thế

nữa, giả sử rằng,

+, tồn tại T (cid:62) 0 sao cho (x+ (t) , y+ (t)) ∈ D, (x− (t) , y− (t)) ∈ D, ∀t > T .

Giả thiết 2.2. Tồn tại tập compact D ⊂ R2 nữa, ∀ (x, y) ∈ R2

Ta chú ý rằng Giả thiết 2.2 sẽ được thỏa mãn nếu a (±, x, y) < 0, b (±, x, y) < 0 khi x hoặc

y đủ lớn.

Để thuận tiện cho lập luận, chúng tôi giả sử ξ0 = + . Đầu tiên, chúng ta xét hai hệ trên

biên

(2.4) ˙u (t) = u (t) a (ξt, u (t) , 0) , u (0) ∈ [0, ∞),

(2.5) ˙v (t) = v (t) a (ξt, 0, v (t)) , v (0) ∈ [0, ∞).

Với giả thiết 2.1, tồn tại duy nhất một số u+ thỏa mãn a (+, u+, 0) = 0 và một số u− thỏa

mãn a (−, u−, 0) = 0.

Trong trường hợp u+ (cid:54)= u− chúng ta giả sử rằng u+ < u− và đặt

h+ = h+ (u) = ua (+, u, 0) ,

h− = h− (u) = ua (−, u, 0) .

Điều này có nghĩa là (xem [21]), nếu u (t) là nghiệm của hệ (2.4) thì (ξt, u (t)) là một quá

trình Markov với toán tử vi phân L cho bởi:

dug (+, u) ,

Lg (+, u) = −α (g (+, u) − g (−, u)) + h+ (u) d  

dug (−, u) .

Lg (−, u) = β (g (+, u) − g (−, u)) + h− (u) d 

Miền xác định của L là các hàm g (i, x) xác định trên E × (0, ∞), khả vi liên tục tại x.

Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo.

Mật độ dừng (µ +, µ −) của (ξt, u (t)) có thể được tìm thấy từ phương trình Fokker–Planck

du [h+µ + (u)] = 0

−α µ + (u) + β µ − (u) − d   (2.6)

du [h−µ − (u)] = 0

α µ + (u) − β µ − (u) − d 

Phương trình (2.6) có một nghiệm dương duy nhất cho bởi

(2.7) µ + (u) = , µ − (u) = θ F (u) u |a (+, u, 0)| θ F (u) u |a (−, u, 0)|

Trong đó:

(cid:90) u

u(cid:48)

(cid:18) (cid:19) (cid:19) (cid:18) + − , F (u) = exp dτ α τa (+, τ, 0) β τa (−, τ, 0)

, u ∈ (cid:2)u+, u−(cid:3) , u(cid:48) =

u+ + u− 2 (cid:27)−1 (cid:19) (cid:18) (cid:26)(cid:90) u− du p + q . θ = F (u) u |a (+, u, 0)| F (u) u |a (−, u, 0)|

Như vậy, quá trình (ξt, u (t)) có một phân phối dừng duy nhất với mật độ (µ +, µ −) (xem

chi tiết trong [4]).

(cid:90) u−

Hơn nữa, với hàm liên tục bất kỳ f : E × R → R với

(cid:0)p f (+, u) µ + (u) + q f (−, u) µ − (u)(cid:1) du < ∞,

(cid:90) t

(cid:90) u−

Chúng ta có:

(2.8) (cid:0)p f (+, u) µ + (u) + q f (−, u) µ − (u)(cid:1) du. f (ξs, u (s)) ds = lim t→∞ 1 t

Tương tự như vậy, tồn tại duy nhất v+ sao cho b (+, 0, v+) = 0 (tương tự v− sao cho b (−, 0, v−) = 0). Nếu v+ (cid:54)= v−, phương trình (2.5) cũng có một phân phối dừng duy nhất với mật độ (ν +, ν −) cho bởi:

, (2.9) ν + (v) = , ν − (v) = ζ G (v) v |b (+, 0, v)| ζ G (v) v |b (−, 0, v)|

trong đó

(cid:90) v

v(cid:48)

(cid:18) (cid:18) (cid:19) (cid:19) − + , G (v) = exp dτ α τb (+, 0, τ) β τb (−, 0, τ)

v ∈ (cid:2)v+, v−(cid:3) , v(cid:48) = , và

v+ + v− 2 (cid:19) (cid:19)−1 (cid:18) (cid:18)(cid:90) v− dv p + q . ζ = G (v) v |b (+, 0, v)| G (v) v |b (−, 0, v)|

Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo.

ε thỏa mãn ε , 0) = ε. Để đơn giản, ta viết u+ (hoặc u−) thay cho

ε , 0) = ε và u−

ε thỏa mãn a (−, u−

Hơn nữa, theo giả thiết 2.1, với |ε| đủ nhỏ (ε có thể âm), tồn tại duy nhất u+

0 ). Xét phương trình:

a (+, u+ 0 (hoặc u− u+

(2.10) ˙uε (t) = uε (t) (a (ξt, uε (t) , 0) − ε) .

ε , µ −

ε ) cho bởi:

Phương trình (2.10) cũng có một phân phối dừng duy nhất với mật độ (µ +

ε (u) =

ε , u− ε

, u ∈ (cid:2)u+ (cid:3) , (2.11) , µ − µ + ε (u) = θε Fε (u) u |a (+, u, 0) − ε| θε Fε (u) u |a (−, u, 0) − ε|

ở đó

(cid:90) u

u(cid:48)

u+ ε

(cid:18) (cid:18) (cid:19) (cid:19) + − , và dτ Fε (u) = exp α τ (a (+, τ, 0) − ε) (cid:33)−1 β τ (a (−, τ, 0) − ε) (cid:19) (cid:18) (cid:32)(cid:90) u− p du + q . θε = Fε (u) u |a (+, u, 0) − ε| Fε (u) u |a (−, u, 0) − ε|

ε , ν −

ε ) đơn giản như cách xác định (µ +

ε , µ −

ε ) .

Chúng ta xác định (ν +

, ν + ε (v) =

ε , v− ε

(cid:3) , , v ∈ (cid:2)v+ ν − ε (v) = ζε Gε (v) v |b (+, 0, v) − ε| ζε Gε (v) v |b (−, 0, v) − ε|

ở đó

(cid:90) v

v(cid:48)

v+ ε

(cid:18) (cid:18) (cid:19) (cid:19) − + , và dτ Gε (v) = exp α τ (b (+, 0, τ) − ε) β τ (b (−, 0, τ) − ε) (cid:33)−1 (cid:18) (cid:19) (cid:32)(cid:90) v− p dv + q . ζε = Gε (v) v |b (+, 0, v) − ε| Gε (v) v |b (−, 0, v) − ε|

Bổ đề 2.1.1.

ε , µ − ε

(cid:0)µ + (cid:1) = (cid:0)µ +, µ −(cid:1) , lim ε→0

ε , ν − ε

ε , 0) = ε, nên u+

(cid:1) = (cid:0)ν +, ν −(cid:1) . (cid:0)ν + lim ε→0

Chứng minh. Do a (+, x, 0) là một hàm giảm, khả vi liên tục và u+ ε là nghiệm của phương trình a (+, u+ ε liên tục giảm trong ε và trong lân cận của 0. Để đơn giản, chúng tôi chứng minh bổ đề này cho trường hợp ε > 0. Trường hợp ε < 0 chứng minh tương tự.

Cho M > 0 là một số dương sao cho D ⊂ [0, M) × [0, M)

và cho

− . m = max i∈E × max 0(cid:54)u(cid:54)M da (i, u, 0) du

ε , u− − ε0 < u−

ε , với mọi ε < ε1.

Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo.

(cid:90) u−

Với mọi ε0 > 0 tồn tại một ε1 < ε0 sao cho u+ − ε0 < u+ Hơn nữa,

u+ ε

(cid:90) u−−ε0

du du − F (u) u |a (+, u, 0)| Fε (u) u |a (+, u, 0) − ε| (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

u++ε0 (cid:90) u++ε0

(cid:54) du du − F (u) u |a (+, u, 0)| Fε (u) u |a (+, u, 0) − ε|

(cid:90) u−

du du − + F (u) u |a (+, u, 0)| Fε (u) u |a (+, u, 0) − ε| (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

u−−ε0

du + du − . F (u) u |a (+, u, 0)| (cid:12) (cid:90) u− (cid:12) ε (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:90) u−−ε0 (cid:12) (cid:12) (cid:12) u++ε0 (cid:12) (cid:90) u++ε0 (cid:12) (cid:12) (cid:12) u+ ε (cid:12) (cid:90) u− (cid:12) ε (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

ε ], ta có

Theo định lý Lagrange, với u ∈ [u+ Fε (u) u |a (+, u, 0) − ε| ε , u−

(cid:1) . − (a (+, u, 0) − ε) = |a (+, u, 0) − ε| (cid:54) m (cid:0)u − u+ ε

M với u+

u > α (cid:90) u(cid:48)

ε < u < u(cid:48). Khi đó, (cid:90) u(cid:48)

Hơn nữa, α

(cid:62) , − (cid:62) (Mm)−1 α ln (cid:1) αdτ τ (a (+, τ, 0) − ε) αdτ Mm (cid:0)u − u+ ε |u(cid:48) − u+ ε | (cid:12) (cid:12) (cid:12)u − u+ (cid:12) ε

ε < u < u(cid:48).

αdτ τ(a(+,τ,0)−ε)

ε |(Mm)−1α ε |(Mm)−1α

(cid:17) Kéo theo exp với u+ (cid:16) − (cid:82) u u(cid:48) (cid:54) |u−u+ |u(cid:48)−u+

ε , u(cid:48)] ,

u(a(−,u,0)−ε) liên tục trong [u+

Hơn nữa, do hàm

αdτ τ(a(+,τ,0)−ε)

β dτ τ(a(−,τ,0)−ε)

(cid:17) (cid:17) exp . exp (cid:16) − (cid:82) u u(cid:48) (cid:16) − (cid:82) u u(cid:48) = Fε (u) u (a (+, u, 0) − ε) u |a (+, u, 0) − ε| (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

m−1α−1 (cid:12) (cid:12)

(cid:54) K (cid:12)

(cid:90) u++ε

Với mọi u ∈ (u+ (cid:12)u − u+ ε ε , u(cid:48)), trong đó K là một hằng số dương thích hợp. Do đó,

(Mm)−1α−1 du (cid:12) (cid:12)

u+ ε

(cid:54) K (cid:12) (cid:12)u − u+ ε Fε (u) du u (a (+, u, 0) − ε) (cid:12) (cid:90) u++ε0 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:1)(Mm)−1α

= K (Mm)−1 α (cid:0)u+ − u+ ε + ε0 < K (Mm)−1 α (2ε0)(Mm)−1α

tiến tới 0 khi ε0 → 0, và

(cid:54) K (Mm)−1 αε (Mm)−1α → 0 khi ε0 → 0. F (u) du ua (+, u, 0) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:90) u++ε 0 (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:90) u++ε0

Vậy nên,

u+ ε

du − → 0 khi ε0 → 0. F (u) u |a (+, u, 0)| Fε (u) u |a (+, u, 0) − ε| (cid:12) (cid:90) u++ε0 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) du (cid:12) (cid:12)

Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo.

(cid:90) u−

tương tự như vậy

u−−ε0

du − → 0 khi ε0 → 0. F (u) u |a (+, u, 0)| Fε (u) u |a (+, u, 0) − ε| (cid:12) (cid:90) u− (cid:12) ε (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) du (cid:12) (cid:12)

(cid:90) u−−ε0

Nếu ta cố định ε0,

u++ε0

du du − → 0 khi ε → 0. F (u) u |a (+, u, 0)| Fε (u) u |a (+, u, 0) − ε| (cid:12) (cid:90) u−−ε0 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Tương tự với a (−, u, 0) cố định. Kết hợp những yếu tố này, ta được θε → θ khi ε → 0. Bằng cách sử dụng các biểu thức (2.11) , ta suy ra

ε , µ − ε

(cid:0)µ + (cid:1) = (cid:0)µ +, µ −(cid:1) . lim ε→0

Chứng minh tương tự ta cũng được

ε , ν − ε

(cid:0)ν + (cid:1) = (cid:0)ν +, ν −(cid:1) . lim ε→0

Nếu u+ = u− (tương tự v+ = v−), quá trình (ξt, u (t)) có một phân phối dừng duy nhất với mật độ tổng quát µ + (u) = µ − (u) = δ (u − u+), (tương tự đối với quá trình (ξt, v (t)), ν + (v) = ν − (v) = δ (v − v+) ), ở đó δ (.) là hàm Dirac. Cho 0 (cid:54) ε (cid:54) N, ta đặt Hε,N = [ε, N] × [ε, N] và

[v+,v−] (pa (+, 0, v) ν + (v) + qa (−, 0, v) ν − (v)) dv,

λ1 = (cid:82)

[u+,u−] (pb (+, u, 0) µ + (u) + qb (−, u, 0) µ − (u)) du.

λ2 = (cid:82)

(2.12)

Định lí 2.1.2. Với x0 > 0, y0 > 0 bất kỳ.

a. Nếu λ1 > 0 thì tồn tại một δ1 > 0 sao cho

h.c.c. x (t, x0, y0) > δ1, lim sup t→∞

b.Trong trường hợp λ2 > 0 thì tồn tại một δ2 > 0 sao cho

h.c.c. y (t, x0, y0) > δ2, lim sup t→∞

Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo.

Chứng minh. Dễ dàng chứng minh được ý (a) với trường hợp u+ = u−.

Cho u+ (cid:54)= u− và λ1 > 0. Cho M là một số được cho trong chứng minh của bổ đề 2.1.1 và

. L = , , , ∂ a (i, x, y) ∂ x ∂ a (i, x, y) ∂ y ∂ b (i, x, y) ∂ x ∂ b (i, x, y) ∂ y (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:27) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:26)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) max i∈E;(x,y)∈H0,M

(cid:90) t

Theo (2.8), ta được

(cid:90) u− ε

(cid:90) u− −ε

(v−ε (s) − vε (s)) ds = lim t→∞

−ε + qν − −ε

ε + qν − ε

u+ ε

u+ −ε

= 1 t 0 (cid:1) du − (cid:1) du. (cid:0)pν + (cid:0)pν +

(cid:90) t

Từ bổ đề 2.1.1 ta được

(2.13) (v−ε (s) − vε (s)) ds = 0, lim t→∞ lim ε→0 1 t

1 t

(cid:82) t 0 (v−ε (s) − vε (s)) ds < λ1 2L . Bây giờ ta cần chỉ ra rằng lim supt→∞ x (t) (cid:62) δ1 với xác suất 1, ở đó δ1 := min

L , δ 2L

Kéo theo, tồn tại một ε > 0 sao cho limt→∞ (cid:110) ε (cid:111) .

Giả sử trái lại, có một tập B đo được với P (B) > 0 thỏa mãn lim supt→∞ x (t, ω) < δ1, với

ω ∈ B bất kỳ.

Khi đó, tồn tại một T > 0 sao cho x (t, x0, y0) < δ1 với mọi t > T . Tính chất này kéo theo |b (ξt, x (t) , y (t)) − b (ξt, 0, y (t))| < δ1L (cid:54) ε . Do đó,

y (b (ξt, 0, y (t)) − ε) < ˙y (t) = yb (ξt, x (t) , y (t)) < y (b (ξt, 0, y (t)) + ε) .

Từ đó, theo định lý so sánh

vε (t) < y (t, x0, y0) < v−ε (t) , ∀t > T,

Trong đó vε , v−ε là các nghiệm của phương trình

˙v = v (b (ξ , 0, v) − ε)

và phương trình

˙v = v (b (ξ , 0, v) + ε)

tương ứng với điều kiện v−ε (T ) = vε (T ) = y (T, x, y). Hơn nữa,

|a (ξt, 0, y (t)) − a (ξt, 0, v (t))| (cid:54) L |y (t) − v (t)| < L (v−ε (t) − vε (t)) ,

|a (ξt, x (t) , y (t)) − a (ξt, 0, y (t))| (cid:54) Lx (t) , ∀t > T.

Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo.

(cid:90) t

Từ những bất phương trình trên và (2.13), ta được

, x (s) ds < Lδ1 < L t lim sup t→∞ 1 t (cid:90) t . (v−ε (s) − vε (s)) ds < |a (ξs, 0, y (s)) − a (ξs, 0, v (s))| ds (cid:54) lim t→∞ 1 t |a (ξs, x (s) , y (s)) − a (ξs, 0, y (s))| ds (cid:54) lim t→∞ (cid:90) t L t λ1 2 λ1 2 lim sup t→∞

Như vậy, bằng cách sử dụng hệ thức

− a (ξt, 0, v) = a (ξt, x, y) − a (ξt, 0, v) = ˙x x = a (ξt, x, y) − a (ξt, 0, y) + a (ξt, 0, y) − a (ξt, 0, v) ,

(cid:90) t

Ta được

< λ1. ds − lim t→∞ 1 t ˙x x 1 t (cid:12) (cid:12) a (ξs, 0, v) ds (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) lim sup (cid:12) (cid:12) t→∞

(cid:90) t

Do x (t) giới nội,

t→∞

ds = lim sup (cid:54) 0. ˙x x ln x (t) − ln x (0) t lim sup t→∞

(cid:90) (cid:0)pa (+, 0, v) ν + (v) + qa (−, v, 0) ν − (v)(cid:1) dv

1 t Nói cách khác, theo luật số lớn, (cid:90) t a (ξs, 0, v (s)) ds = lim t→∞ 1 t

= λ1 > 0.

Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Như vậy, lim supt→∞ x (t) (cid:62) δ1 h.c.c. Ý (b) chứng minh tương tự. Định lý được chứng minh.

n) (cid:37) ∞ với t0 = t(cid:48) 0,

n = inf {t > max {tn, n} : y (t) > δ }

Từ bây giờ, giả sử rằng λ1 > 0, λ2 > 0. Bằng giả thiết a (±, 0, 0) > 0, b (±, 0, 0) > 0 và định lý 2.1.2, tồn tại một số δ > 0 sao cho lim sup x (t) > δ , lim sup y (t) > δ và a (±, x, y) > 0, (±, x, y) > 0 nếu 0 < x, y (cid:54) δ . Thực tế, a (±, x, y) > 0, (±, x, y) > 0 nếu 0 < x, y (cid:54) δ kéo theo tồn tại một T > 0 sao cho một trong hai x (t) > δ hoặc y (t) > δ , ∀t > T . Vì vậy, không mất tính tổng quát, giả sử rằng x (t) > δ hoặc y (t) > δ , ∀t > 0.

Bổ đề 2.1.3. Với xác suất 1, tồn tại vô số các sn = sn (ω) > 0 sao cho sn > sn−1, limn→∞ sn = ∞ và x (sn) (cid:62) δ , y (sn) (cid:62) δ , ∀n ∈ N. Chứng minh. Ta xây dựng 2 chuỗi ngẫu nhiên (tn) (cid:37) ∞, (t(cid:48) n−1, n(cid:9) : x (t) > δ (cid:9) , t(cid:48) và với n ∈ N,tn = inf (cid:8)t > max (cid:8)t(cid:48) với quy ước rằng inf ∅ = ∞.

n<∞, ∀n ∈ N(cid:9) = 1

n−1

(cid:54) tn (cid:54) t(cid:48)

Do lim sup x (t) > δ , lim sup y (t) > δ h.c.c, P (cid:8)tn−1 (cid:54) t(cid:48) n) (cid:62) δ , ∀n ∈ N. và do x (tn) (cid:62) δ , y (t(cid:48) Nếu y (tn) (cid:62) δ thì ta chọn sn = tn. Trong trường hợp, nếu y (tn) < δ thì ta đặt sn = n, hơn nữa, y (t) < δ , ∀tn (cid:54) t < sn kéo theo x (t) >

inf {t > tn : y (t) (cid:62) δ }. Do y (t(cid:48)) (cid:62) δ , sn (cid:54) t(cid:48) δ , ∀tn (cid:54) t < sn.

Do đó, x (sn) (cid:62) δ , y (sn) (cid:62) δ . Bổ đề được chứng minh.

Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo.

2.2 Tập ω- giới hạn.

Từ các khái niệm trong [6], ta định nghĩa (ngẫu nhiên) tập ω- giới hạn của các quỹ đạo

(cid:91)

bắt đầu từ tập B đóng như sau

t>T

(x (t, ., ω) , y (t, ., ω)) B. Ω (B, ω) = (cid:92) T >0

(cid:91)

Đặc biệt, tập ω-giới hạn của quỹ đạo bắt đầu từ một giá trị ban đầu (x0, y0) là:

t>T

T >0

(x (t, x0, y0, ω) , y (t, x0, y0, ω)). Ω (x0, y0, ω) = (cid:92)

Khái niệm này khác với định nghĩa về tập ω đưa ra trong [9] nhưng nó là gần nhất với một tập ω- giới hạn của một hệ động lực tất định. Trong trường hợp này Ω (x0, y0, ω) là hằng số hầu chắc chắn, nó tương tự như khái niệm về điểm hấp dẫn yếu và điểm hấp dẫn được đưa ra trong [14, 22]. Mặc dù, nói chung, tập ω- giới hạn trong ý nghĩa này không có tính chất bất biến, nhưng khái niệm này phù hợp với mục đích của chúng tôi mô tả gần đúng dáng

điệu quỹ đạo của nghiệm với giá trị ban đầu đã cho. Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng dưới một số điều kiện, Ω (x0, y0, ω) là tất định, có nghĩa là, nó là hằng số gần như chắc chắn. Hơn nữa, nó cũng độc lập với giá trị ban đầu (x0, y0).

Để biết thêm về dáng điệu của các nghiệm của hệ (2.1), chúng ta xét một số trường hợp

cụ thể.

Trước hết, ta đặt

n = σ (τk − τn : k > n) .

xn = x (τn, x, y) ; yn = y (τn, x, y) ;

F n 0 = σ (τk : k (cid:54) n) ; F ∞

0 - đo được và nếu ξ0 cho trước thì F n

0 độc lập với F ∞ n .

Điều đó cho thấy rằng (xn, yn) là F n

2.2.1 Trường hợp 1: cả hai hệ tất định là ổn định.

+ , cả hai hệ (2.2),(2.3) có những trạng (cid:1) , (cid:0)x∗

+, y∗ +

−, y∗ −

Giả thiết 2.3. Trên miền trong của góc phần tư R2 thái dương ổn định toàn cục tương ứng là (cid:0)x∗ (cid:1).

Bổ đề 2.2.1. Cho giả thiết 2.3 được thỏa mãn và cho M là một số được cho trong chứng minh của bổ đề 2.1.1. Khi đó, với ε > 0, tồn tại σ (ε) sao cho x± (t) > σ (ε) , y± (t) > σ (ε) , ∀t > 0, (x± (0) , y± (0)) ∈ Hε,M.

Chứng minh. Theo bổ đề 1.1.1, tồn tại T ∗ > 0 sao cho

, ∀t > T ∗, , y± (t) > x± (t) > với (x± (0) , y± (0)) ∈ Hε,M. x∗ ± 2 y∗ ± 2

Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo.

y∗ i

2 min

2 , εeKT ∗(cid:111)

x∗ 2 , mini∈E i (cid:9) . trong đó K = min (cid:8)0, a (i, x, y) , b (i, x, y) : i ∈ E, (x, y) ∈ H0,M Dễ dàng thấy được rằng x± (t) > σ (ε) , y± (t) > σ (ε) , ∀t > 0.

(cid:110) , Đặt σ (ε) := 1 mini∈E

Bổ đề 2.2.2. Giả sử giả thiết 2.3 được thỏa mãn. Khi đó, với δ được nói đến ở trên, với xác suất 1, tồn tại vô số các k = k (ω) ∈ N sao cho x2k+1 > σ (σ (δ )) , y2k+1 > σ (σ (δ )) .

Chứng minh. Theo bổ đề 2.1.3, tồn tại một dãy (sn) (cid:37) ∞ sao cho x (sn) (cid:62) δ , y (sn) (cid:62) δ , ∀n ∈ N. Đặt kn := max {k : τk (cid:54) sn}. Từ bổ đề 2.2.1, ta thấy rằng xkn+1 > σ (δ ) , ykn+1 > σ (δ ) . Áp dụng Bổ đề 2.2.1 một lần nữa, ta được xkn+2 > σ (σ (δ )) , ykn+2 > σ (σ (δ )).

Rõ ràng, tập {kn + 1 : n ∈ N} (cid:83) {kn + 2 : n ∈ N} chứa vô hạn các số lẻ. Bổ đề 2.2.2 được chứng minh.

+, y∗ +

(cid:1). Còn (u−, 0) , (0, v−)

2.2.2 Trường hợp 2: Một hệ ổn định và một hệ song ổn định. Giả thiết 2.4. Hệ (2.2) có trạng thái dương ổn định toàn cục (cid:0)x∗ là những trạng thái ổn định địa phương của hệ (2.3).

Bổ đề 2.2.3. Cho giả thiết 2.4 được thỏa mãn. Khi đó,

a.Với mỗi ε > 0, x+ (t) > σ (ε) , y+ (t) > σ (ε) , ∀t > 0,

với (x+ (0) , y+ (0)) ∈ Hε,M, ở đó σ (ε) là một số đã được cho trong bổ đề 2.2.1.

b.Với mỗi 0 < ε (cid:54) δ , tồn tại σ− (ε) > 0 sao cho

nếu x− (0) < σ− (ε) , y− (0) (cid:62) δ thì x− (t) < ε, y− (t) > δ , ∀t > 0; nếu x− (0) (cid:62) δ , y− (0) < σ− (ε) thì x− (t) > δ , y− (t) < ε, ∀t > 0.

Chứng minh. Ý (a) đã được chứng minh trong 2.2.1.

Chúng ta chứng minh ý (b). Cho 0 < ε (cid:54) δ , do điểm (0, v−) là ổn định địa phương, tồn tại δ1 > 0 sao cho nếu (x− (0) , y− (0)) ∈ [0, δ1) × (v− − δ1, v− + δ1) thì (x− (t) , y− (t)) ∈ [0, ε) × (v− − ε, v− + ε) , ∀t (cid:62) 0. Hơn nữa từ tính chất b (−, 0, y) > 0 khi 0 < y < v− và b (−, 0, y) < 0 khi v− < y, suy ra

v− (t) = v− lim t→∞

ở đó v− (t) là một nghiệm của phương trình ˙v− (t) = v− (t) b (−, 0, v− (t)), với v− (0) > 0. Vì vậy, do sự phụ thuộc liên tục của nghiệm trong điều kiện ban đầu, với mỗi δ (cid:54) v (cid:54) M, tồn tại các số δv > 0, Tv > 0 sao cho nếu (x− (0) , y− (0)) ∈ [0, δv) × (v − δv, v + δv) thì (x− (Tv) , y− (Tv)) ∈ [0, δ1) × (v− − δ1, v− + δ1). Điều này kéo theo (x− (t) , y− (t)) ∈ [0, ε) × (v− − ε, v− + ε) , ∀t (cid:62) Tv.

Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo.

Do [δ , M] là compact, theo định lý Heine- Borel, tồn tại một tập hữu hạn {v1, v2, ..., vn} ⊂

i=1 (vi − δvi, vi + δvi), và nếu

n (cid:91)

[δ , M] sao cho [δ , M] ⊂ (cid:83)n

i=1

(x− (0) , y− (0)) ∈ [0, δvi) × (vi − δvi, vi + δvi)

thì (x− (t) , y− (t)) ∈ [0, ε) × (v− − ε, v− + ε) , ∀t (cid:62) maxi Tvi.

Đặt δ2 = mini δvi, ta thấy rằng nếu 0 (cid:54) x− (0) < δ2, δ < y− (0) (cid:54) M thì x− (t) < ε, y− (t) >

δ , ∀t (cid:62) maxi Tvi.

Lặp lại quá trình trên và sử dụng tính phụ thuộc liên tục của các nghiệm trong điều kiện ban đầu, ta được 0 < ¯σ− (ε) < δ2 sao cho nếu 0 (cid:54) x− (0) < ¯σ− (ε) , δ < y− (0) (cid:54) M ta có x− (t) < δ1, ∀t (cid:54) maxi Tvi. Hơn nữa, x− (t) < ε, y− (t) > δ , ∀t (cid:62) 0 nếu 0 (cid:54) x− (0) < ¯σ− (ε) , δ < y− (0) (cid:54) M.

Một cách tương tự, ta có thể áp dụng cho điểm (u−, 0) để tìm ˆσ− (ε) > 0 sao cho x− (t) >

δ , y− (t) < ε, ∀t (cid:62) 0 nếu δ < x− (0) (cid:54) M, 0 (cid:54) y− (0) < ˆσ− (ε).

Đặt σ− (ε) = min { ¯σ− (ε) , ˆσ− (ε)}, ta có điều phải chứng minh.

Bổ đề 2.2.4. Nếu giả thiết 2.4 được thỏa mãn thì, với xác suất 1, tồn tại vô số các k = k (ω) ∈ N sao cho x2k+1 > ε, y2k+1 > ε, ở đó ε = min {σ (δ ) , σ− (δ )} .

Chứng minh. Ta chú ý rằng ε (cid:54) σ− (δ ) (cid:54) δ . Bổ đề 2.1.3 nói rằng có một dãy (sn) (cid:37) ∞ sao cho x (sn) (cid:62) δ , y (sn) (cid:62) δ , ∀n ∈ N. Nếu τ2k (cid:54) sn (cid:54) τ2k+1 ta có x (τ2k+1) > σ (δ ) , y (τ2k+1) > σ (δ ) theo ý (a.) của bổ đề 2.2.3. Nếu τ2k+1 (cid:54) sn (cid:54) τ2k+2 thì ξsn = −. Nó xảy ra từ ý (b.) của bổ đề 2.2.3 rằng x (τ2k+1) > σ− (δ ) , y (τ2k+1) > δ hoặc x (τ2k+1) > δ , y (τ2k+1) > σ− (δ ). Trong kết luận, ta nhận được x2k+1 > ε, y2k+1 > ε.

+, y∗ +

Bổ đề được chứng minh.

2.2.3 Trường hợp 3: Một hệ ổn định toàn cục và một hệ triệt tiêu. Giả thiết 2.5. Hệ (2.2) có trạng thái dương ổn định toàn cục (cid:0)x∗ (cid:1). Còn trạng thái (u−, 0) hoặc trạng thái (0, v−) là ổn định và hút tất cả các nghiệm (x− (t) , y− (t)) của hệ (2.3) với các giá trị ban đầu x− (0) > 0 và y− (0) > 0 (để thuận tiện, ta giả sử (u−, 0) có tính chất này).

Bổ đề 2.2.5. Cho giả thiết 2.5 được thỏa mãn. Khi đó,

a.Với mỗi ε > 0, ta có x+ (t) > σ (ε) , y+ (t) > σ (ε) , ∀t > 0, với (x+ (0) , y+ (0)) ∈ Hε,M và

nếu x− (0) (cid:62) ε thì x− (t) > σ (ε).

b.Với mỗi 0 < ε (cid:54) δ , tồn tại σ− (ε) > 0 sao cho nếu x− (0) (cid:62) δ , y− (0) (cid:54) σ− (ε) thì x− (t) >

δ , y− (t) < ε, ∀t > 0.

Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo.

Chứng minh. Ta chứng minh bổ đề này tương tự như chứng minh bổ đề 2.2.1 và 2.2.3.

Bổ đề 2.2.6. Nếu giả thiết 2.5 được thỏa mãn thì, với xác suất 1, tồn tại vô số các k = k (ω) ∈ N sao cho x2k+1 > ε, y2k+1 > ε, ở đó ε = min {σ (σ (δ )) , σ (σ− (δ ))} .

Chứng minh. Theo bổ đề 2.1.3, tồn tại một dãy (sn) (cid:37) ∞ sao cho x (sn) (cid:62) δ , y (sn) (cid:62) δ , ∀n ∈ N.

Nếu τ2k (cid:54) sn < τ2k+1 ta có x (τ2k+1) > σ (δ ) (cid:62) ε, y (τ2k+1) > σ (δ ) (cid:62) ε, theo ý (a) của

bổ đề 2.2.5.

Nếu τ2k−1 (cid:54) sn < τ2k, theo bổ đề 2.2.5 ta có x2k > σ (δ ). Nếu y2k (cid:62) σ− (δ ) thì x2k+1 > σ (min {σ (δ ) , σ− (δ )}) (cid:62) ε,

y2k+1 > σ (min {σ (δ ) , σ− (δ )}) (cid:62) ε.

Trong trường hợp y2k < σ− (δ ), bất đẳng thức x2k (cid:62) δ phải xảy ra. Nếu max {y (t) : τ2k (cid:54) t (cid:54) τ2k+1} (cid:62) σ− (δ ) , ta chọn t1 = min {t ∈ [τ2k, τ2k+1] : y (t) (cid:62) σ− (δ )}. Do x (t1) (cid:62) δ , suy ra x2k+1 > σ (σ− (δ )) (cid:62) ε, y2k+1 > σ (σ− (δ )) (cid:62) ε. Nếu y (t) < σ− (δ ) , x (t) (cid:62) δ , ∀τ2k (cid:54) t (cid:54) τ2k+1, thì y2k+1 < σ− (δ ) kéo theo y (t) <

δ , ∀τ2k+1 (cid:54) t (cid:54) τ2k+2...

Tiếp tục quá trình này, chúng ta hoặc tìm được một số lẻ 2m + 1 > n sao cho x2m+1 >

ε, y2m+1 > ε hoặc được y (t) < δ , ∀t > τ2k. Điều này mâu thuẫn với bổ đề 2.1.3. Bổ đề được chứng minh.

Hiện tại chúng ta đang mô tả quỹ đạo dáng điệu động học của các nghiệm của hệ (2.1). t (x, y) = (x+ (t, x, y) , y+ (t, x, y)) là nghiệm của hệ (2.2) (tương tự

Để đơn giản, ta ký hiệu π + π − t (x, y) = (x− (t, x, y) , y− (t, x, y)) là nghiệm của hệ (2.3)) với giá trị ban đầu (x, y). Đặt

+, y∗ +

(cid:0)x∗ S = (2.14) (cid:110) (x, y) = π ρ(n) (cid:111) (cid:1) : 0 < t1 < t2 < ... < tn; n ∈ N ...π ρ(1) t1

ở đó ρ (k) = (−1)k .

+, y∗ +

(cid:1) và tồn tại ε và

+, y∗ +

(cid:0)x∗ Định lí 2.2.7. Giả sử rằng (2.2) có một trạng thái ổn định toàn cục (cid:0)x∗ M sao cho ε < x2n+1, y2n+1 < M xảy ra thường xuyên vô hạn với xác suất 1. Khi đó, (a) Với xác suất 1, tập đóng ¯S của S là một tập con của tập ω – giới hạn Ω (x0, y0, ω) . (cid:1) thỏa mãn điều kiện sau đây (b) Nếu tồn tại t0 > 0 sao cho điểm ( ¯x0, ¯y0) = π − t0

  a (+, ¯x0, ¯y0) a (−, ¯x0, ¯y0) det (2.15)   (cid:54)= 0, b (+, ¯x0, ¯y0) b (−, ¯x0, ¯y0)

Thì, với xác suất 1, tập đóng ¯S của S là một tập ω – giới hạn Ω (x0, y0, ω).

Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo.

Hơn thế nữa, ¯S hút tất cả các nghiệm dương với bất kỳ giá trị ban đầu (x0, y0) ∈ intR2 +, giá trị γ (ω) = inf (cid:8)t > 0 : (x (s, x0, y0, ω) , y (s, x0, y0, ω)) ∈ ¯S, ∀s > t(cid:9) là hữu hạn bên ngoài tập P - không.

(cid:1) thỏa mãn (2.15) là +, y∗ + (cid:1) : t (cid:62) 0(cid:9) sao cho đường

t (x, y) : t (cid:62) 0(cid:9) không chứa trong (cid:8)π −

+, y∗ +

(cid:0)x∗ (cid:0)x∗ Nhận xét. Giả thiết tồn tại t0 > 0 sao cho điểm ( ¯x0, ¯y0) = π − t0 tương đương với điều kiện: tồn tại một điểm (x, y) ∈ (cid:8)π − (cid:0)x∗ +, y∗ t + (cid:1) : t (cid:62) 0(cid:9) . (cid:8)π +

Chứng minh. Ký hiệu H := Hε,M. Chúng ta xây dựng một dãy các thời điểm dừng

η1 = inf {2k + 1 : (x2k+1, y2k+1) ∈ H} ,

η2 = inf {2k + 1 > η1 : (x2k+1, y2k+1) ∈ H} ,

...

n nếu ξ0 cho

0 với mỗi k, n. Vì vậy {ηk = n} độc lập với F ∞

ηn = inf {2k + 1 > ηn−1 : (x2k+1, y2k+1) ∈ H} ...

Dễ dàng nhận thấy {ηk = n} ∈ F n trước. Theo giả thiết, ηn < ∞, h.c.c, với mọi n.

(a). Với mỗi k ∈ N và s > 0,t > 0, cho Ak = (cid:8)σnk+1 < s, σnk+2 > t(cid:9). Chúng ta có

P (Ak) = P (cid:8)σnk+1 < s, σnk+2 > t(cid:9)

= P (cid:8)σnk+1 < s, σnk+2 > t|ηk = 2n + 1(cid:9) P {ηk = 2n + 1}

= P {σ2n+2 < s, σ2n+3 > t|ηk = 2n + 1} P {ηk = 2n + 1}

= P {σ2n+2 < s, σ2n+3 > t} P {ηk = 2n + 1}

∞ ∑ n=0 ∞ ∑ n=0 ∞ ∑ n=0 ∞ ∑ n=0

= P {σ2 < s, σ3 > t} P {ηk = 2n + 1}

= P {σ2 < s, σ3 > t} > 0.

Tương tự,

(cid:92) Ak+1

(cid:16) (cid:17) P Ak = P (cid:8)σnk+1 < s, σnk+2 > t, σnk+1+1 < s, σnk+1+2 > t(cid:9)

0(cid:54)l

P (cid:8)σnk+1 < s, σnk+2 > t, σnk+1+1 < s, σnk+1+2 > t|ηk = 2l + 1, ηk+1 = 2n + 1(cid:9) = ∑

× P {ηk = 2l + 1, ηk+1 = 2n + 1}

0(cid:54)l

P {σ2l+2 < s, σ2l+3 > t, σ2n+2 < s, σ2n+3 > t|ηk = 2l + 1, ηk+1 = 2n + 1} = ∑

× P {ηk = 2l + 1, ηk+1 = 2n + 1}

Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo.

0(cid:54)l

P {σ2n+2 < s, σ2n+3 > t} P {σ2l+2 < s, σ2l+3 > t|ηk = 2l + 1, ηk+1 = 2n + 1} = ∑

× P {ηk = 2l + 1, ηk+1 = 2n + 1}

0(cid:54)l

P {σ2 < s, σ3 > t} P {σ2l+2 < s, σ2l+3 > t|ηk = 2l + 1, ηk+1 = 2n + 1} = ∑

× P {ηk = 2l + 1, ηk+1 = 2n + 1}

0(cid:54)l

P {σ2l+2 < s, σ2l+3 > t|ηk = 2l + 1, ηk+1 = 2n + 1} = P {σ2 < s, σ3 > t} ∑

= P {σ2 < s, σ3 > t} × P {ηk = 2l + 1, ηk+1 = 2n + 1} ∞ P (cid:8)σnk+1 < s, σnk+2 > t|ηk = 2l + 1(cid:9) × P {ηk = 2l + 1} ∑ l=0

(cid:83) Ak+1) = 1 − (1 − P {σ2 < s, σ3 > t})2. Tiếp tục theo cách này, chúng ta có

= P {σ2 < s, σ3 > t}2 ...

i=k

Như vậy, P (Ak được (cid:33) (cid:32) n (cid:91) P Ai = 1 − (1 − P {σ2 < s, σ3 > t})n−k+1 .

Hơn nữa,

∞ (cid:91)

i=k

k=1

(cid:33) (cid:32) ∞ (cid:92) P Ai = P (cid:8)ω : σηn+1 < s, σηn+2 > t, thường là vô hạn với n(cid:9) = 1

Cố định s > 0. Theo nguyên lý so sánh, từ hệ thức

˙x (t) = xa (ξt, x, y) (cid:62) −mx (t) ; x (τηk) (cid:62) ε ˙y (t) = yb (ξt, x, y) (cid:62) −my (t) ; y (τηk) (cid:62) ε,

Suy ra x (t + τηk) (cid:62) εe−mt, y (t + τηk) (cid:62) εe−mt, ∀t > 0,

|a (−, x, y) , b (−, x, y)|.

+, y∗ +

ở đó m = sup(x,y)∈H0,M Hơn nữa xηk+1 > ε1, yηk+1 > ε1, với ε1 := εe−ms, σηk+1 < s. Giả sử rằng Uδ là δ - lân cận của (cid:0)x∗

(cid:1). Theo bổ đề 1.1.1, tồn tại T > 0 sao cho (cid:1) ∈ Uδ với

+, y∗ +

(cid:1) ∈ Ω (x0, y0, ω) h.c.c. nếu t > T, (x, y) ∈ Hε1,M thì (x+ (t, x, y) , y+ (t, x, y)) ∈ Uδ . Suy ra, (cid:0)xηk+2, yηk+2 σηk+1 < s, σηk+2 > T. Ta được (x2k+3, y2k+3) ∈ Uδ với vô hạn k. Điều này có nghĩa là (cid:0)x∗

(cid:12) ⊂ Ω (x0, y0, ω) h.c.c. (cid:12)π − t

(cid:1) : t (cid:62) 0(cid:12) (cid:1).

+, y∗ +

(cid:0)x∗ (cid:1) thì π − Tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng (cid:12) (cid:0)x∗ +, y∗ + (cid:0)x∗ Cho t1 > 0 là một số tùy ý và ( ˜x0, ˜y0) := π − +, y∗ t1 + Do tính liên tục của các nghiệm trong những điều kiện ban đầu, với mỗi lân cận Nδ1 của t (u, v) ∈ Uδ1, ( ˜x0, ˜y0), tồn tại 0 < t2 < t < t3 và δ2 > 0 sao cho nếu (u, v) ∈ Uδ2

Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo.

với mỗi t2 < t < t3. Đặt

(cid:1)(cid:9) , (cid:1)(cid:9) , +, y∗ +

+, y∗ +

(cid:0)x∗ (cid:1)(cid:9) ... ζ1 = inf (cid:8)2k + 1 : (x2k+1, y2k+1) ∈ Uδ2 (cid:0)x∗ +, y∗ + (cid:0)x∗ ζ2 = inf (cid:8)2k + 1 > ζ1 : (x2k+1, y2k+1) ∈ Uδ2 ... ζn = inf (cid:8)2k + 1 > ζn−1 : (x2k+1, y2k+1) ∈ Uδ2

n nên suy ra,

0 , {ζk} độc lập với F ∞

Theo chứng minh trên, ta suy ra ζk < ∞ và limk→∞ ζk = ∞ h.c.c. Do {ζk = n} ∈ F n

P (cid:8)σζk+1 ∈ (t2,t3)(cid:9) = P (cid:8)σζk+1 ∈ (t2,t3) |ζk = 2n + 1(cid:9) P {ζk = 2n + 1}

= P {σ2n+2 ∈ (t2,t3) |ζk = 2n + 1} P {ζk = 2n + 1}

= P {σ2n+2 ∈ (t2,t3)} P {ζk = 2n + 1}

∞ ∑ n=0 ∞ ∑ n=0 ∞ ∑ n=0 ∞ ∑ n=0

= P {σ2 ∈ (t2,t3)} P {ζk = 2n + 1}

= P {σ2 ∈ (t2,t3)} .

Tiếp tục theo cách này, ta được

(cid:110) (cid:111) P = P {σ2 ∈ (t2,t3)}2 , ... σζk+1 ∈ (t2,t3) , σζk+1+1 ∈ (t2,t3)

Bằng cách lập luận tương tự, ta được

P (cid:8)ω : σζn+1 ∈ (t2,t3) thường là vô hạn với n(cid:9) = 1.

+, y∗ +

(cid:0)x∗ (cid:1) ∈ Uδ2 (cid:1) và t2 < σζk+1 < t3, kéo theo (cid:0)xζk+1, yζk+1

s π − t

+, y∗ +

(cid:0)x∗

Điều này có nghĩa là (cid:0)xζk, yζk (cid:1) ∈ Nδ1, với k ∈ N. Suy ra ( ˜x0, ˜y0) ∈ Ω (x0, y0, ω) h.c.c. Tương tự, với mỗi t > 0, quỹ đạo (cid:1) : s > 0(cid:9) ⊂ Ω (x0, y0, ω). Bằng phương pháp quy nạp, chúng ta kết luận rằng (cid:8)π + S là tập con của Ω (x0, y0). Do Ω (x0, y0, ω) là tập đóng, nên ta có ¯S ⊂ Ω (x0, y0, ω) h.c.c.

+, y∗ +

(cid:0)x∗ (b). Cho ( ¯x0, ¯y0) = π − t0

(cid:1) là một điểm trong intR2 + thỏa mãn điều kiện (2.15) . Do sự tồn tại và phụ thuộc liên tục vào các điều kiện ban đầu của các nghiệm, tồn tại 2 số a > 0 và b > 0 sao cho hàm

s ( ¯x0, ¯y0) = π +

t π −

+, y∗ +

t π − s+t0

(cid:1) (cid:0)x∗ ϕ (s,t) = π +

là xác định và khả vi liên tục trong (−a, a) × (−b, b) .

Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo.

Chúng ta chú ý rằng

∂ ϕ ∂t

  (cid:17) ¯x0a (+, ¯x0, ¯y0) ¯x0a (−, ¯x0, ¯y0) det |(0,0) = det   (cid:16) ∂ ϕ ∂ s ¯y0b (+, ¯x0, ¯y0) ¯y0b (−, ¯x0, ¯y0)   a (+, ¯x0, ¯y0) a (−, ¯x0, ¯y0) = ¯x0 ¯y0 det  (cid:54)= 0  b (+, ¯x0, ¯y0) b (−, ¯x0, ¯y0)

+, y∗ +

t∗ π −

t0+s∗

(cid:0)x∗

Do đó, theo định lý Hàm ngược, tồn tại 0 < a1 < a , 0 < b1 < b sao cho ϕ (s,t) là một đồng phôi giữa V = (−a1, a1) × (0, b1) và U = ϕ (V ). Từ đó suy ra, U là một tập mở. Hơn nữa, với (cid:1) ∈ mọi (x, y) ∈ U, tồn tại một (s∗,t∗) ∈ (−a1, a1) × (0, b1) sao cho (x, y) = π + S. Do đó, U ⊂ S ⊂ Ω (x0, y0, ω). Như vậy, tồn tại một thời điểm dừng γ < ∞ h.c.c sao cho (x (γ) , y (γ)) ∈ U. Do S là một tập bất biến và U ⊂ S, suy ra rằng (x (t) , y (t)) ∈ S, ∀t > γ với xác suất 1. Thực tế (x (t) , y (t)) ∈ S, ∀t > γ suy ra Ω (x0, y0, ω) ⊂ ¯S. Kết hợp với phần (a) ta được ¯S = Ω (x0, y0, ω) h.c.c. Định lý được chứng minh.

Nhận xét. Giả thiết của định lý 2.2.7 được thoả mãn nếu một trong các giả thiết 2.3 hoặc 2.4 hoặc 2.5 đã có.

2.3 Nửa nhóm và tính ổn định trong phân bố.

Để đơn giản, ta ký hiệu z (t) = (x (t) , y (t)). Chúng ta biết rằng cặp (ξt, z (t)) là một quá trình Markov thuần nhất với không gian trạng thái V := E × intR2 +. Cho B (V ) là σ - đại số Borel trên V và λ là độ đo Lebesgue trên intR2 +; (cid:96) là độ đo trên E cho bởi (cid:96) (+) = p, (cid:96) (−) = q. Ký hiệu m = (cid:96) × λ là độ đo tích của (cid:96) và λ trên (V , B (V )). Giả sử rằng quá trình Markov (ξt, z (t)) có xác suất chuyển P (t, i, z, B) với (i, z) ∈ V , B ∈ B (V ) và t (cid:62) 0. Cho {P (t)}t(cid:62)0 là một nửa nhóm xác định trên tập hợp các độ đo P (V ) cho bởi (cid:90) P (t) ν (B) = P (t, i, z, B) ν (di, dz) , ν ∈ V , B ∈ B (V ) .

Điều này cho thấy rằng nếu ν là phân bố của (ξ0, z (0)) thì P (t) ν là phân bố của (ξt, z (t)).

Bổ đề 2.3.1. Nếu ν là liên tục tuyệt đối đối với m, thì ν = P (t) ν .

là một đơn ánh khả vi từ R2

t (B)(cid:1) = 0 kéo theo λ (B) = 0. Với mỗi n ∈ N chúng ta có

(cid:90)

(cid:27) (z) f (z) dz

(cid:17)−1

Chứng minh. Giả sử rằng P {ξ0 = +} = 1 và z (0) có hàm mật độ f với độ đo Lebesgue λ . Chúng ta chú ý rằng cho t cố định, π ± + vào chính nó. Hơn nữa, t λ (cid:0)π ±

R2 +

t−τn π ρ(n) π ρ(n+1)

σn ...π ρ(1) σ1

1(cid:26)(cid:16) P {z (t) ∈ B, τn (cid:54) t (cid:54) τn+1} = E1Bn

Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo.

ở đó ρ (k) = (−1)k , Bn = {τn (cid:54) t (cid:54) τn+1}. Cho λ (B) = 0. Khi đó

σn

t−τn π ρ(n) π ρ(n+1)

(cid:27) (z) f (z) dz = 0.

(cid:19) (cid:17)−1 (cid:18)(cid:16) B = 0 λ ...π ρ(1) σ1

(cid:17)−1

R2 +

π ρ(n+1) t−τn π ρ(n)

σn ...π ρ(1) σ1

Suy ra (cid:82) 1(cid:26)(cid:16)

Bởi vậy,

P {z (t) ∈ B, τn (cid:54) t (cid:54) τn+1} = 0, ∀n ∈ N.

Do đó,

∞ ∑ n=0

P {z (t) ∈ B} = P {z (t) ∈ B, τn (cid:54) t (cid:54) τn+1} = 0.

Điều này có nghĩa là phân phối của z (t) là liên tục tuyệt đối đến λ . Bổ đề được chứng minh.

Chú ý: D = { f ∈ L1 (m) : f (cid:62) 0; (cid:107) f (cid:107) = 1}. Từ Bổ đề 2.3.1, với mỗi f ∈ D chúng ta cần

xác định P (t) f như là mật độ của P (t) ν, ở đó ν (di, dz) = f (i, z) didz

Mệnh đề 2.3.2. Cho giả thiết của Định lý 2.2.7 được thoả mãn. Nếu ν ∗ là một phân phối dừng của quá trình (ξt, z (t)), có nghĩa là, P (t) ν ∗ = ν ∗, ∀t (cid:62) 0 với ν ∗ (cid:0)E × intR2 (cid:1) = 1, khi đó ν ∗ có hàm mật độ f ∗ đối với m và sup p ( f ∗) = E × S.

Chứng minh. Chú ý rằng S là một tập con bất biến của hệ (2.1) và

P {(z (t)) ∈ S} = 1 lim t→∞

s và với θ ∈ [0, 1] sao cho ν ∗ = θ ν ∗ s thì suy biến. Do ν ∗ là độ đo dừng nên

a , ν ∗ a liên tục tuyệt đối đối với m còn ν ∗

do đó ν ∗ (E × S) = 1. Hơn nữa, ν ∗ ({+} × S) = p, ν ∗ ({−} × S) = q. Theo định lý khai triển s + (1 − θ ) ν ∗ Lebesgue, tồn tại hai độ đo xác suất ν ∗ a , ở đó ν ∗

s + (1 − θ ) P (t) ν ∗

a = θ ν ∗

s + (1 − θ ) ν ∗ a .

a , suy ra, ν ∗ liên tục tuyệt đối với m.

a liên tục tuyệt đối đối với m.

(2.16) ν ∗ = P (t) ν ∗ = θ P (t) ν ∗

s chúng ta có

Trường hợp θ = 0 ta được ν ∗ = ν ∗ Giả sử θ (cid:54)= 0, khi đó theo Bổ đề 2.3.1 ta được P (t) ν ∗ Áp dụng Định lý khai triển Lebesgue một lần nữa với độ đo P (t) ν ∗

s = kν ∗

1s + (1 − k) ν ∗

1a, ∀0 (cid:54) k (cid:54) 1,

P (t) ν ∗

1a liên tục tuyệt đối và ν ∗

1s suy biến với m. Thay khai triển này vào (2.16) ta được

1a) + (1 − θ ) P (t) ν ∗ a 1a + (1 − θ ) P (t) ν ∗ a

ở đó ν ∗

1s + (1 − k) ν ∗ 1s + θ (1 − k) ν ∗ s + (1 − θ ) ν ∗ a .

ν ∗ = θ (kν ∗ = θ kν ∗ = θ ν ∗

1s = θ P (t) ν ∗ s . s là các độ đo xác suất, k = 1 nên suy ra ν ∗

1s và P (t) ν ∗

s cũng là phân phối dừng và tồn s (E × K) = 1. Nếu (ξt, z (t)) có phân

Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo.

s thì phân phối của nó tại thời điểm t cũng là ν ∗ s .

Do tính duy nhất nên θ kν ∗ Do ν ∗ tại một tập con đo được K của S sao cho λ (K) = 0 và ν ∗ phối ban đầu ν ∗

t−s1−s2 ε của z∗

ε . Chú ý rằng ψz∗

◦ π − s2 + = (cid:0)x∗ ◦ π + s1 +, y∗ +

+,T

∂ ψz∗ ∂ s2

Cho ϕ là hàm đã được xác định và t0, b là các hằng số như đã cho trong chứng minh (z) với (cid:1) sao +,t (s1, s2) = ϕ (s2 − t0,t − s1 − s2). của định lý 2.2.7. Chúng ta xác định một hàm ψ(z,t) (s1, s2) = π + s1, s2 > 0 và s1 + s2 < t. Khi đó tồn tại một T > 0 và một lân cận U ∗ cho P (T, +, z, E × (S \ K)) > 0, ∀z ∈ U ∗ Do đó, (cid:17) det , (cid:16) ∂ ψz∗ ∂ s1

|( b 2 ,t0) (cid:54)= 0 trong đó T = t0 + b. Suy ra, tồn tại một ε > 0 sao cho

∂ ψz,T ∂ s2

(cid:17) det ,

2 ,t0

(cid:1) sao cho ψz,T là một đồng phôi giữa W (cid:16) ∂ ψz,T 2 ,t0) (cid:54)= 0, ∀z ∈ U ∗ |( b ε . ∂ s1 ε , tồn tại một lân cận mở W của (cid:0) b

z,T (K) , τ2 < T < τ3

(cid:111) P (cid:0)T, +, z, E × (cid:0)W (cid:48) \ K(cid:1)(cid:1) (cid:62) P . Với mỗi z ∈ U ∗ và W (cid:48) := ψ (z, T ) (W ). Dễ dàng suy ra rằng (cid:110) (σ1, σ2) ∈ W \ ψ −1

= 0. Nói một cách khác, (cid:16) ψ −1 (cid:17) z,T (K)

z,T (K)

Do ψz,T là một đồng phôi và λ (K) = 0, nên suy ra λ phân bố của (σ1, σ2) là liên tục tuyệt đối đối với λ , (cid:17)(cid:111) (cid:110)(cid:16) P (σ1, σ2) ∈ W \ ψ −1 = P {(σ1, σ2) ∈ W } .

Do đó,

P (T, +, z, (S \ K) × E) (cid:62) P (cid:0)T, +, z, E × (cid:0)W (cid:48) \ K(cid:1)(cid:1)

s ({+} ×U ∗

+ sao cho ν ∗

ε ) > 0. Ta có, tồn tại một tập compact con H của s ({+} × H) > 0 . Theo Bổ đề 1.1.1, với z ∈ H, tồn tại một T (cid:48) > 0 sao cho ε ) (cid:62) P {σ1 > T (cid:48)} (cid:62) 0.

ε , kéo theo P (T (cid:48), +, z, {+} ×U ∗

(cid:62) P {(σ1, σ2) ∈ W, τ2 < T < τ3} > 0

(cid:90)

Tiếp theo, ta chứng minh rằng ν ∗ intR2 π + T (cid:48) (z) ∈ U ∗ Hơn nữa,

s > 0.

s ({+} ×U ∗ ν ∗

s ({+} ×U ∗

ε ) (cid:62)

ε ) = P (cid:0)T (cid:48)(cid:1) ν ∗

{+}×H

(cid:1) dν ∗ P (cid:0)T (cid:48), +, z, {+} ×U ∗ ε

(cid:90)

Ta được kết quả,

s (E × (S \ K)) (cid:62)

s > 0.

{+}×U ∗ ε

P (T ) ν ∗ P (T, i, z, E × (S \ K)) dν ∗

Điều đó dẫn đến mâu thuẫn. Do đó, θ = 0 và ν ∗ là liên tục tuyệt đối đối với m, với hàm mật độ f ∗.

ε ) = P (T (cid:48)(cid:48)) ν ∗ (cid:0){+} ×U ∗

δ sao cho ν ∗ ({+} ×U ∗ (cid:1) dν ∗ > 0. Cho ¯z = π − (cid:0)z∗ t1 +

Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo.

P (cid:0)T (cid:48)(cid:48), +, z, {+} ×U ∗ δ

δ , π − (cid:90)

(cid:90)

{+}×Wε

{+}×U ∗ ε

Cuối cùng, ta chứng minh rằng sup p f ∗ = E × S. Tương tự như chứng minh ở trên, ta cần (cid:1) (cid:62) chứng minh rằng với δ > 0, có một T (cid:48)(cid:48) = T (cid:48)(cid:48) (cid:1). Theo Định lý về sự liên tục phụ (cid:82) {+}×H thuộc vào điều kiện ban đầu, với mỗi ε, lân cận của ¯z, tồn tại một δ > 0 sao cho với mọi t1 (z) ∈ Wε kéo theo P (t1, +, z, {+} ×Wε ) (cid:62) P {σ1 > t1} > 0. Hơn nữa, z ∈ U ∗ (cid:90) f ∗dm = P (t1) f ∗dm (cid:62) P (t1, +, z, {+} ×Wε ) f ∗dm > 0.

t1−s1π − s1

δ ,t1 − δ < s1 < t1 và 0 < t1 − δ < s1 < t1, π +

(z) ∈ Wε ,

(cid:90)

Áp dụng Định lý về sự liên tục phụ thuộc vào điều kiện ban đầu một lần nữa, tồn tại δ > 0 sao cho ∀z ∈ U ∗ kéo theo P (t1, +, z, {−} ×Wε ) (cid:62) P {t1 − δ < σ1 < t1, σ1 + σ2 > t1} > 0. Hơn nữa,

{−}×Wε

{−}×U ∗ ε

f ∗dm = P (t1) f ∗dm (cid:62) P (t1, +, z, {−} ×Wε ) f ∗dm > 0.

f ∗dm > 0.

{i}×Wε v f ∗dm > 0 với mọi tập mở V ⊂ E × S, kéo theo sup p f ∗ = E × S.

Bằng phương pháp quy nạp, với mọi z ∈ S và ε- lân cận Wε của nó, ta có (cid:82) Từ đó, ta được (cid:82)

Định lí 2.3.3. Cho giả thiết của Định lý 2.2.7 được thoả mãn. Nếu nửa nhóm {P (t)}t(cid:62)0 có một độ đo xác suất bất biến ν ∗, khi đó ν ∗ có hàm mật độ f ∗ và {P (t)}t(cid:62)0 là tiệm cận ổn định trong nghĩa limt→∞ (cid:107)P (t) f − f ∗(cid:107) = 0, ∀ f ∈ D.

(cid:1)(cid:17) Hơn nữa, chúng ta có det (cid:54)= 0. Do đó, theo [17, Mệnh đề 2], {P (t)}t(cid:62)0 (cid:0) b 2 ,t0 Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.3.2, {P (t)}t(cid:62)0 có một hàm bất biến khác không f ∗ và không có các tập bất biến không tầm thường. (cid:16) ψ(x∗,y∗),T3 dτ là tiệm cận ổn định. Đó là điều phải chứng minh.

Chương 3

Ứng dụng.

Sau đây, chúng tôi sẽ áp dụng các kết quả đã đạt được ở chương 2 để nghiên cứu quỹ đạo

của các nghiệm đối với hệ phương trình cạnh tranh cổ điển.

Xét hệ phương trình:

˙x (t) = x (a (ξt) − b (ξt) x − c (ξt) y) ,   (3.1)

 ˙y (t) = y (d (ξt) − e (ξt) x − f (ξt) y) ,

trong đó a (±) , b (±) , c (±) , d (±) , e (±) , f (±) là các hằng số dương (xem [7]).

Tiếng ồn (ξt) can thiệp hầu khắp vào phương trình (3.1), nó tạo ra một chuyển đổi

giữa các hệ tất định

˙x+ (t) = x+ (a (+) − b (+) x+ − c (+) y+) ,   (3.2)

 ˙y+ (t) = y+ (d (+) − e (+) x+ − f (+) y+) ,

và hệ

˙x− (t) = x− (a (−) − b (−) x− − c (−) y−) ,   (3.3)

 ˙y− (t) = y− (d (−) − e (−) x− − f (−) y−) .

+, y∗ +

(cid:1) (tương tự hệ

−, y∗ −

Với giả thiết rằng b (±) f (±) − c (±) e (±) (cid:54)= 0, hệ (3.2) có trạng thái (cid:0)x∗ (3.3) có trạng thái (cid:0)x∗ (cid:1)) ở đó

± =

, y∗ . x∗ ± = a (±) f (±) − c (±) d (±) b (±) f (±) − c (±) e (±) b (±) d (±) − a (±) e (±) b (±) f (±) − c (±) e (±)

c(i) , d(i)

e(i) , d(i)

f (i)

(cid:111) . Dễ dàng thấy (cid:110) a(i) b(i), a(i)

Chọn D = {(x, y) , 0 (cid:54) x, y (cid:54) M} với M > maxi∈E max rằng D là một tập bất biến chung của cả hai hệ (3.2) và (3.3). Với mô hình này, λ1, λ2 có thể tính toán được như sau:

Chương 3. Ứng dụng.

Từ hệ thức

d (ξs) − e (ξs) u (s) = d (ξs) − a (ξs) + (a (ξs) − b (ξs) u (s))

(cid:19) − . = d (ξs) − a (ξs) + e (ξs) b (ξs) (cid:18) e (+) b (+) e (ξs) b (ξs) e (ξs) b (ξs)

. , (a (ξs) − b (ξs) u (s)) 1{ξs=+} + e (−) b (−) e (−) ˙u (s) b (−) u (s)

suy ra

(cid:90) t

0 (cid:90) t

(cid:19) (cid:18) ds (d (ξs) − e (ξs) u (s)) ds = d (ξs) −

+ − 1{ξs=+} + e (ξs) b (ξs) e (−) b (−) a (ξs) (cid:19) ˙u (s) u (s)

(cid:18) e (+) b (+) + ln (u (t)) − ln (u (0)) .

(cid:90) t

Áp dụng (2.8) ta được (cid:19) (cid:18) ds a (ξs) d (ξs) − lim t→∞ 1 t e (ξs) b (ξs) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) q a (+) p + d (−) − a (−) = d (+) − (h.c.c), e (+) b (+) e (−) b (−)

(cid:90) t

(cid:90) u2

và

(a (+) − b (+) u) µ + (u) du, (a (ξs) − b (ξs) u (s)) 1{ξs=+}ds = p lim t→∞ 1 t

β a(−)

(cid:111) (cid:111) . , u2 = maxi∈E (cid:110) a(i) b(i) (cid:110) a(i) b(i) ở đó u1 = mini∈E Theo (2.7),ta có

a(+) −1 |a (−) − b (−) u| a(+) + β

a(−) +1

, µ + = θ −1 |a (+) − b (+) u| u

Với B (·, ·) là hàm Beta và

a(+) + β

a(−) B

a(+) −1 [a (−)]

β a(−) (u2 − u1)

a(−) + 1

a(+) + β

a(−)

(cid:17) [a (+)] (cid:16) α a(+), β . θ =

(u1u2)

Do đó,

β a(−)

(cid:90) u2

(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) q d (+) − a (+) p + d (−) − a (−) λ2 = e (+) b (+) (cid:19) e (−) b (−) (cid:19) − − + . sign (cid:18) e (+) b (+) e (−) b (−) (cid:18)a (+) b (+) a (−) b (−) p θ

α a(+) |a (−) − b (−) u| a(+) + β α

a(−) +1

|a (+) − b (+) u| . du. u

Chương 3. Ứng dụng.

Bằng cách tương tự, ta được

β d(−)

(cid:90) v2

(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) d (+) d (−) a (+) − p + a (−) − q + λ1 = c (+) f (+) c (−) f (−) (cid:19) (cid:19) . − − + sign (cid:18) c (+) f (+) c (−) f (−) (cid:18) d (+) f (+) d (−) f (−) p ζ

α d(+) |d (−) − f (−) v| d(+) + β α

d(−) +1

|d (+) − f (+) v| dv. . v

d(+) + β

d(−) B

(cid:111) (cid:111) và , v2 = maxi∈E trong đó v1 = mini∈E (cid:110) d(i) f (i) (cid:110) d(i) f (i)

d(+) −1 [d (−)]

β d(−) (v2 − v1)

d(+) + β

d(−)

[d (+)] (cid:16) α d(+), β (cid:17) d(−) + 1 . ζ =

(v1v2)

Như vậy, bằng các công thức đó ta dễ dàng ước tính được các giá trị λ1, λ2

Sau đây, ta xét ba trường hợp với giả thiết λ1 > 0, λ2 > 0.

3.0.1 Trường hợp 1: Hệ (3.2) và (3.3) ổn định tiệm cận toàn cục .

Giả sử rằng

i ∈ E < > ; với (3.4) d (i) f (i) a (i) b (i) a (i) c (i)

±, y∗ ±

(cid:1).

+, y∗ +

(cid:0)x∗ d (i) e (i) Trong trường hợp này, hệ (3.2) và (3.3) ổn định tiệm cận toàn cục với trạng thái (cid:0)x∗ (cid:1) ,t0 > 0 sao cho Bây giờ chúng ta chứng minh rằng tồn tại một ( ¯x0, ¯y0) = π − t0

a (−) − b (−) ¯x0 − c (−) ¯y0 a (+) − b (+) ¯x0 − c (+) ¯y0 (cid:54)= 0.

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) d (−) − e (−) ¯x0 − f (−) ¯y0 d (+) − e (+) ¯x0 − f (+) ¯y0 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

−, y∗ −

(cid:1) (cid:54)= (cid:0)x∗ (cid:1) thì tập tất cả các điểm (x, y) thoả mãn hệ thức Thật vậy, nếu (cid:0)x∗

+, y∗ + (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) d (−) − e (−) ¯x − f (−) ¯y d (+) − e (+) ¯x − f (+) ¯y (cid:12) (cid:12)

a (−) − b (−) ¯x − c (−) ¯y a (+) − b (+) ¯x − c (+) ¯y = 0.

+, y∗ +

(cid:0)x∗ (cid:1) ,t0 > 0 sao cho tạo thành một đường conic. Tuy nhiên, dễ dàng nhận ra rằng quỹ đạo của các nghiệm của phương trình (3.3) không thể là một đường conic. Do vậy, tồn tại một điểm ( ¯x0, ¯y0) = π − t0

a (−) − b (−) ¯x0 − c (−) ¯y0 a (+) − b (+) ¯x0 − c (+) ¯y0 (cid:54)= 0.

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) d (−) − e (−) ¯x0 − f (−) ¯y0 d (+) − e (+) ¯x0 − f (+) ¯y0 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Chương 3. Ứng dụng.

(cid:111) (cid:111) Vì vậy tập ω- giới hạn của phương trình (3.1) là tập ¯S được mô tả bởi (2.14). < mini∈E , tồn tại một ymin sao cho lim inft→∞ y (t) > (cid:110) d(i) e(i) (cid:110) a(i) b(i)

Hơn nữa, nếu maxi∈E ymin. Thật vậy, từ hệ thức

sup y (t) > 0, ˙x (t) = x (a (ξt) − b (ξt) x − c (ξt) y) (cid:54) x (a (ξt) − b (ξt) x) , lim t→∞

+, y∗

−, limt→∞ sup y (t)(cid:9) được

(cid:111) (cid:111) (cid:110) d(i) e(i) (cid:110) a(i) b(i) Suy ra tồn tại một T > 0 sao cho x (t) (cid:54) m0, ∀t (cid:62) T và y (T ) (cid:62) ε, và ε < min (cid:8)y∗ < m0 < mini∈E trong đó maxi∈E chọn sao cho

b(−). Cho (x+ (t) , y+ (t)) là nghiệm của (3.2)

d (−) − e (−) x − f (−) ε > 0, ∀0 (cid:54) x (cid:54) m0. (cid:54) a(−)

Không mất tính tổng quát, giả sử rằng a(+) b(+) thoả mãn x+ (0) = m0, y+ (0) = ε.

Đặt τ ∗ = inf {s > 0 : d (+) − e (+) x+ (s) − f (+) y+ (s) > 0}, và ymin = inf {y+ (t) : t > 0}.

Chúng ta có ε > ymin = y+ (τ ∗) > 0.

Cho Γ+ = {(x+ (t) , y+ (t)) : 0 (cid:54) t (cid:54) τ ∗} và γ+ (x) là một hàm xác định trên [xτ ∗, m0] có

đồ thị là Γ.

Dễ dàng nhận ra rằng miền

D(cid:48) = {x < xτ ∗, ymin (cid:54) y (cid:54) M} (cid:91) {x (cid:62) xτ ∗, γ+ (x) (cid:54) y (cid:54) M}

là một tập bất biến chung của cả hai hệ (3.2) và (3.3), kéo theo y (t) > ymin, ∀t > T .

(cid:90) t

Nói cách khác,

0 (cid:90) t

(cid:90) t

= ds = (a (ξs) − b (ξs) x (s) − c (ξs) y (s)) ds ln x (t) − ln x (0) t 1 t ˙x (s) x (s)

(cid:82) t 0 (b (ξs) x (s)) ds > λ1. Hơn nữa,

(a (ξs) − c (ξs) y (s)) − (b (ξs) x (s)) ds, 1 t (cid:62) 1 t 1 t

(cid:90) t

Kéo theo limt→∞ inf 1 t

inf h.c.c (3.5) x (s) ds (cid:62) λ3 = λ1/ max {b (+) , b (−)} lim t→∞ 1 t

(cid:111) Kết hợp với y (t) (cid:62) xmin và hệ thức (3.5) ta thấy tồn tại một phân phối dừng cho quá trình Markov (ξt, x (t) , y (t)) trong intR2 + (xem [15], Appendix). Theo Mệnh đề 2.3.2 và Định lý 2.3.3, quá trình dừng này có hàm mật độ f ∗ với độ đo m trên E × R2 + với sup p f ∗ ⊂ [0, M] × [ymin, M] và limt→∞ (cid:107)P (t) f − f ∗(cid:107) = 0, ∀ f ∈ L1, (cid:107) f (cid:107) = 1. Chúng ta có kết quả tương tự trong trường hợp này, ở đó maxi∈E

(cid:111) < Bây giờ chúng ta xét trường hợp (cid:0)x∗ Trong trường hợp này, giả thiết maxi∈E tương đương với maxi∈E (cid:110) d(i) (cid:110) a(i) (cid:111) < mini∈E . c(i) f (i) (cid:1) = (x∗, y∗). (cid:1) = (cid:0)x∗ +, y∗ −, y∗ − + (cid:110) a(i) (cid:111) (cid:110) d(i) (cid:111) < mini∈E e(i) b(i) (cid:110) d(i) f (i)

(cid:111) . mini∈E (cid:110) a(i) c(i)

c(i) nhận giá trị nhỏ nhất tại (cid:105) . Bằng cách vẽ các véc

e(i) nhận giá trị nhỏ nhất tại i1 ∈ E, và a(i) (cid:104) f (i2)ε, y∗ + b(i1) y∗ − e(i2) c(i1) ε

Chương 3. Ứng dụng.

Trong giả thiết này, giả sử d(i) i2 ∈ E. Với ε > 0, đặt Aε = [x∗ − ε, x∗ + ε] × tơ trường của cả hai hệ (3.2) và (3.3), chúng ta thấy rằng Aε là tập bất biến chung của cả hai hệ với ε đủ nhỏ. Theo Định lý 2.2.7, (x∗, y∗) ∈ Ω (x0, y0, ω) h.c.c. Hơn nữa, τε < ∞ h.c.c, ở đó τε = inf {t > 0 : (x (t, x0, y0) , y (t, x0, y0)) ∈ Aε }. Kết hợp với tính bất biến của Aε ta được

h.c.c (x (t, x0, y0) , y (t, x0, y0)) = (x∗, y∗) lim t→∞

Tóm lại ta có định lý sau

(cid:111) (cid:111) hoặc < mini∈E (cid:110) a(i) b(i) (cid:110) d(i) e(i) Định lí 3.0.4. Giả sử rằng cho trước (3.4) và có hoặc maxi∈E (cid:111) (cid:111) maxi∈E

(cid:1) (cid:54)= (cid:0)x∗ (cid:110) d(i) f (i) (a) Nếu (cid:0)x∗ (cid:110) a(i) c(i) −, y∗ − < mini∈E +, y∗ +

. Khi đó (cid:1), tồn tại duy nhất một phân phối dừng cho quá trình Markov (ξt, x (t) , y (t)). Phân phối dừng này có hàm mật độ f ∗ với độ đo m trên E × R2 +. Hơn nữa, hàm mật độ dừng này là tiệm cận ổn định, có nghĩa là, limt→∞ (cid:107)P (t) f − f ∗(cid:107) = 0, ∀ f ∈ L1, (cid:107) f (cid:107) = 1.

+, y∗ +

(b) Nếu (cid:0)x∗ (cid:1) = (x∗, y∗), khi đó limt→∞ (x (t) , y (t)) = (x∗, y∗) h.c.c, với

(cid:1) = (cid:0)x∗ −, y∗ − giá trị ban đầu (x0, y0) ∈ R2 +.

Để minh họa cho trường hợp này, ta lấy một ví dụ sau Ví dụ 1: Cho

a (+) = 1; b (+) = 1; c (+) = 0.1; d (+) = 7; e (+) = 6; f (+) = 1;

a (−) = 3; b (−) = 1; c (−) = 0.1; d (−) = 7; e (−) = 2; f (−) = 1;

x (0) = 2; y (0) = 3.

Trường hợp A: α = 3; β = 4; λ1 ≈ 1.157; λ2 ≈ −0.545. Trường hợp B: α = 0.3; β = 0.4; λ1 ≈ 1.157; λ2 ≈ 0.461. (xem Hình.3.) Trong ví dụ này, cả hai hệ (3.2) và (3.3) đều là ổn định tiệm cận. Tuy nhiên, trong trường hợp A chúng ta thấy rằng limt→∞ y (t) = 0 trong khi đó ở trường hợp B, limt→∞ supy (t) > 0; xmin > 0. Điều này có nghĩa là dáng điệu của các nghiệm không chỉ phụ thuộc vào các hệ số, mà còn phụ thuộc vào thời gian ở lại của ξt tại mỗi trạng thái. Hơn nữa, nếu giả thiết λi > 0, i = 1, 2 bị xoá bỏ, thì một loại có thể bị triệt tiêu trong sự ổn định tiệm cận toàn cục của cả hai hệ.

Chương 3. Ứng dụng.

Hình 3. n = 1000

3.0.2 Trường hợp 2: Hệ (3.2) ổn định tiệm cận toàn cục và (3.3) song ổn

định.

Giả sử rằng

< > ; d (+) f (+) a (+) c (+) d (+) e (+) a (+) b (+)

Nhưng

> < . ; d (−) f (−) d (−) e (−) a (−) b (−)

+, y∗ +

a (−) c (−) Trong trường hợp này, hệ (3.2) có một nghiệm ổn định dương duy nhất (cid:0)x∗

+, y∗ +

(cid:0)x∗ (cid:1); hệ (3.3) là song ổn định. Tuy nhiên, các điểm (u−, 0) và (0, v−) lại ổn định địa phương. Nếu (cid:0)x∗ (cid:1) (cid:54)= (cid:0)x∗ (cid:1) thì tồn tại một điểm ( ¯x0, ¯y0) = π − t0

−, y∗ − (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) d (−) − e (−) ¯x0 − f (−) ¯y0 d (+) − e (+) ¯x0 − f (+) ¯y0 (cid:12)

a (+) − b (+) ¯x0 − c (+) ¯y0 a (−) − b (−) ¯x0 − c (−) ¯y0 (cid:54)= 0.

(cid:1) ,t0 > 0 sao cho (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

+, y∗ +

−, y∗ −

(cid:1) (cid:54)= (cid:0)x∗

(cid:1), thì tập S đóng được cho bởi Theo định lý 2.2.7, nếu λ1 > 0, λ2 > 0 và (cid:0)x∗ (2.14) sẽ hút tất cả các nghiệm của hệ (3.1) với giá trị ban đầu (x0, y0) ∈ intR2 +.

Chương 3. Ứng dụng.

Ví dụ 2: Cho

a (+) = 11; b (+) = 2; c (+) = 1; d (+) = 9; e (+) = 1; f (+) = 3;

a (−) = 10; b (−) = 4; c (−) = 3; d (−) = 8; e (−) = 2; f (−) = 4;

x (0) = 3; y (0) = 4, α = 3; β = 4.

Ta có λ1 ≈ 6.445; λ2 ≈ 3.286

Trong ví dụ này, hệ (3.2) ổn định tiệm cận và tất cả các nghiệm dương của hệ (3.3) dần

tới một điểm trên biên. Mô phỏng được đưa ra trong hình 4.

Hình 4. n = 300

3.0.3 Trường hợp 3: Hệ (3.2) ổn định tiệm cận toàn cục và tất cả các nghiệm

dương của hệ (3.3) dần tới một điểm trên biên.

Xét trường hợp

< > ; d (+) f (+) a (+) c (+) d (+) e (+) a (+) b (+)

nhưng

< . ; d (−) f (−) (cid:54) a (−) c (−) d (−) e (−) a (−) b (−)

b(−), 0

(cid:17) (cid:16) a(−) Với giả thiết này, tất cả các nghiệm dương của hệ (3.3) dần tới

+, y∗ +

(cid:1) (cid:54)= (cid:0)x∗

0, λ2 > 0 và (cid:0)x∗ −, y∗ − các nghiệm của hệ (3.1) với giá trị ban đầu (x0, y0) ∈ intR2 . Nếu λ1 > (cid:1) , nó cũng cho thấy rằng tập đóng S cho bởi (2.14) hút tất cả +. Theo những lý do được đề cập

+, sup p f ∗ ⊂ [xmin, M] × [0, M]

Chương 3. Ứng dụng.

trong trường hợp 1, tồn tại duy nhất một phân phối dừng cho quá trình Markov (ξt, x (t) , y (t)) trong intR2 +. Theo Mệnh đề 2.3.2 và Định lý 2.3.3, phân phối dừng này có một hàm mật độ f ∗ đối với độ đo m trên E × R2 và limt→∞ (cid:107)P (t) f − f ∗(cid:107) = 0, ∀ f ∈ L1, (cid:107) f (cid:107) = 1. Trong trường hợp

> , ; d (−) f (−) a (−) c (−) d (−) e (−) (cid:62) a (−) b (−)

có thể thu được một kết quả tương tự. Để minh hoạ cho trường hợp này, ta xét ví dụ sau

Ví dụ 3: Cho

a (+) = 6; b (+) = 5; c (+) = 2; d (+) = 11; e (+) = 3; f (+) = 7;

a (−) = 5; b (−) = 3; c (−) = 2; d (−) = 9; e (−) = 4; f (−) = 2;

x (0) = 3; y (0) = 4, α = 1; β = 5.

Chúng ta có λ1 ≈ 2.484; λ2 ≈ 6.644. Trong ví dụ này, hệ (3.2) ổn định tiệm cận và tất cả các nghiệm dương của hệ (3.3) dần tới một điểm trên biên. Mô phỏng được đưa ra trong hình 5.

Hình 5. n = 300

Kết luận

Trong bản luận văn này, chúng tôi đã mô tả các dáng điệu của các nghiệm đối với các hệ

cạnh tranh Kolmogorov chuyển đổi ngẫu nhiên. Đồng thời, bằng việc chứng minh các định lý, bổ đề chúng tôi cũng đã chỉ ra rằng với các giả thiết về các hệ số, tập ω- giới hạn được mô tả và có tồn tại một tập bất biến cho trước hút tất cả các quỹ đạo dương và một mật độ dừng. Điều kiện (2.15) cho biết, đại số Lie của các véc tơ trường không suy biến tại ít nhất một

điểm. Vì vậy, rõ ràng phân phối dừng, nếu tồn tại, sẽ có mật độ với độ đo Lebesgue trên R2 +. Theo (2.7),(2.9) và (2.1), các giá trị λ1, λ2 có thể dễ dàng ước tính được. Do đó, bằng cách phân tích các hệ số chúng ta có thể dự đoán được dáng điệu tương lai của các hệ. Nếu λi > 0, i ∈ E, như đã thấy, limt→∞ sup x (t) > 0, limt→∞ sup y (t) > 0.

Theo các nghiệm số, chúng tôi nghĩ rằng trong trường hợp λ1 > 0, λ2 > 0, tồn tại duy +. Tuy nhiên, cho đến nay điều này vẫn là một câu hỏi mở

nhất một mật độ dừng trong intR2 cho chúng tôi.

Hơn nữa, trong tất cả các trường hợp, chúng ta luôn giả sử rằng một trong hai hệ (2.2)

hoặc hệ (2.3) có một trạng thái dương ổn định toàn cục. Thật khó để mô tả chính xác các tập ω- giới hạn của nghiệm dương khi mà không có hệ nào có trạng thái dương ổn định toàn cục. Lưu ý rằng tính dương của λi không bao hàm sự tồn tại của trạng thái dương của hai hệ tất định (2.2), (2.3).

Xét một ví dụ sau: Cho

a (+) = 6; b (+) = 3; c (+) = 2; d (+) = 12; e (+) = 4; f (+) = 3;

a (−) = 12; b (−) = 4; c (−) = 2; d (−) = 9; e (−) = 4; f (−) = 2;

x (0) = 3; y (0) = 4, α = 5; β = 5.

Trong ví dụ này, mọi nghiệm dương của (3.2) dần tới (0, 4) trong khi đó mọi nghiệm dương của (3.3) dần tới (3, 0) nhưng λ1 ≈ 0.5 > 0; λ2 ≈ 0.346 > 0. Động học của các nghiệm được minh hoạ bởi hình 6.

Luận văn "Động học của phương trình Kolmogorov chịu nhiễu Markov" đã tập trung

nghiên cứu những vấn đề sau:

1. Nghiên cứu quỹ đạo chuyển động của các nghiệm dương của hệ phương trình cạnh

Chương 3. Ứng dụng.

Hình 6. n = 2000

tranh Kolmogorov chịu tác động của nhiễu Markov.

2. Ứng dụng vào nghiên cứu quỹ đạo chuyển động của các nghiệm của hệ cạnh tranh cổ

điển.

Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng do vấn đề được đề cập trong luận văn là tương đối phức tạp

và do thời gian có hạn, vì vậy luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả luận văn mong muốn nhận được sự góp ý kiến của thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được

hoàn chỉnh hơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà nội, tháng 12 năm 2012 Người làm luận văn

Lê Thị Minh Thu

Tài liệu tham khảo

[1] L.J.S. Allen,An Introdution to Stochastic Processes with Applications to Biology, Pear-

son Education Inc, Upper Saddle River, NJ, 2003.

[2] L.J.S. Allen, E.J. Allen,(2003),A comparison of three differentiable stochastic popula- tion models with regard to persistence time, Theoret. Population Biology, 68, pp. 439- 449.

[3] E.J. Allen, L.J.S. Allen, H. Schurz,(2005),A comparison of persistence - time estimation for discrete and continuous population models that include demographic and environ- mental variability, J. Math. Biosci, 196,pp 14-38.

[4] L. Arnold,Random Dynamical Systems, Springer- Verlag, Gerlin- Heidelberg- New York,

1998.

[5] L. Arnold, W. Horsthemke, J.W. Stucki,(1979),The influence of external real and white

noise on the Lotka- Volterra model, Biom.J. 21 (5) ,pp 451-471.

[6] Z. Brzeniak, M. Capifiski, F. Flandoli,(1993),Pathwise global attractors for stationary

random dynamical systems, Probab. Theory, Related Fields, 95,pp 87-102.

[7] N.H.Du, R. Kon, K. Sato, Y. Takeuchi,(2004),Dynamical behavior of Lotka- Volterra competition systems: Non autonomous bistable case and the effect of telegraph noise, J. Comput. Appl. Math. 170 (2),pp. 399-422.

[8] A. Bobrowski, T.Lipniacki, K. Pichor, R. Rudnicki,(2007),Asymptotic behavior of distri- butions of mRNA and protein levels in a model of stochastic gene expression, J. Math, Anal. Appl. 333,pp 753- 769.

[9] H. Crauel, F. Flandoli,(1994),Attractors for random dynamical systems, Probab. Theory

Related Fields ,100,pp 365- 393.

[10] S.F. Ellermeyer, S.S. Pilyugin, R. Redheffer,(2001),Persistence criteria for a chemostat

with variable nutrient input, J. Differential Equations ,171.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[11] H.I. Freedman, S. Ruan,(1995),Uniform persistence in functional differential equations

, J. Differential Equations ,115,pp 173- 192.

[12] I.I. Gihman, A.V. Skorohod,The Theory of Stochastic Processes, Springer- Verlag,

Berlin- Heidelberg- New York, 1979.

[13] X. Han, Z. Teng,(2006),On the average persistence and extinction in nonautonomous predator- prey Kolmogorov systems , Dyn. contin. Discrete Imputs. Syst. Ser. A Math. Anal. 13 (3-4),pp 367-385.

[14] X. Mao,(2001),Attraction, stability and boundednees for stochastic differential delay

equations, Nonlinear Anal. 47 (7),pp 4795- 4806.

[15] L. Michael,(1970) ,Conservative Markov processes on a topological space, Israel J.

Math. 8, pp 165-186.

[16] Q. Luo, X. Mao,(2007),Stochastic population dynamics under regime switching, J.

Math. Anal. Appl. 334, pp 69-84.

[17] K. Pichor, R. Rudnicki,(2000),Continuous Markov semigroups and stability of trans-

port equations, J. Math. Anal. Appl. 249, pp 668- 685.

[18] S.Sathananthan,(2003),Stability analysis of a stochastic logistic model, Math. Comput.

Modelling ,8, pp 585- 593.

[19] W. Shen, Y. Wang,(2008),Carrying simplices in nonautonomous and random competi-

tive Kolmogorov systems , J. Differential Equations ,245, pp 1-29.

[20] Z. Teng,(2000),The almost periodic Kolmogorov competitive systems, Nonlinear Anal.

42 , pp 1221- 1230.

[21] A.D. Ventcel,Course of the Theory of the Stochastic Processes, Nauka, Moscow, 1975

(in Russian).

[22] C. Yuan, X. Mao, (2006),Attraction and stochastic asymptotic stability and bound- ednees of stochastic functional differential equations with respect to semimartingales, Stoch. Anal. Appl. 24, pp 1169- 1184.

[23] N.H.Du, N.H.Dang, (2011),Dynamics of Kolmogorov systems of competition type under

the telegraph noise, J. Differential Equations, 250, pp. 386- 409.

[24] A. Rescigno, Irvin W. Richardson, (1967),The struggle for life: I. Two species, 29, pp.

381- 384.