Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Động học của phương trình Kolmogorov chịu nhiễu Markov

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

57
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn được chia làm 3 chương: Chương I - Các kiến thức chuẩn bị, Chương II - Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu Markov, Chương III - Ứng dụng vào mô hình hệ phương trình cạnh tranh cổ điển.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Động học của phương trình Kolmogorov chịu nhiễu Markov

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ MINH THU ĐỘNG HỌC CỦA PHƯƠNG TRÌNH KOLMOGOROV CHỊU NHIỄU MARKOV LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ MINH THU ĐỘNG HỌC CỦA PHƯƠNG TRÌNH KOLMOGOROV CHỊU NHIỄU MARKOV Chuyên ngành : Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS. Nguyễn Hữu Dư Hà Nội - Năm 2012
Mục lục 1 Kiến thức chuẩn bị. 5 1.1 Phương trình Kolmogorov tất định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Toán tử sinh của quá trình Markov thời gian liên tục. . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Quá trình Markov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Toán tử sinh của nửa nhóm các toán tử Markov. . . . . . . . . . . . 11 1.2.3 Toán tử sinh của xích Markov với thời gian liên tục. . . . . . . . . . 11 1.2.4 Quá trình Markov hai trạng thái. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo. 14 2.1 Tính bền vững của hệ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Tập ω- giới hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.1 Trường hợp 1: cả hai hệ tất định là ổn định. . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.2 Trường hợp 2: Một hệ ổn định và một hệ song ổn định. . . . . . . . 23 2.2.3 Trường hợp 3: Một hệ ổn định toàn cục và một hệ triệt tiêu. . . . . . 24 2.3 Nửa nhóm và tính ổn định trong phân bố. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 Ứng dụng. 33 3.0.1 Trường hợp 1: Hệ (3.2) và (3.3) ổn định tiệm cận toàn cục . . . . . 35 3.0.2 Trường hợp 2: Hệ (3.2) ổn định tiệm cận toàn cục và (3.3) song ổn định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.0.3 Trường hợp 3: Hệ (3.2) ổn định tiệm cận toàn cục và tất cả các nghiệm dương của hệ (3.3) dần tới một điểm trên biên. . . . . . . . 39 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 43 i
Lời nói đầu. Đối với các hệ sinh thái trong sinh học, sinh thái học và quần thể học gồm có hai loài, người ta thường mô tả chúng bằng mô hình toán học dưới dạng các hệ phương trình vi phân: x˙ = x f (x, y) , y˙ = yg (x, y) , (1) trong đó x(t) và y(t) là mật độ quần thể của từng loài tại thời điểm t và f (x, y) , g (x, y) là tốc độ tăng trưởng bình quân của từng loài. Thông thường, các hệ như vậy được gọi là các hệ Kolmogorov. Các hệ kiểu Kolmogorov là các mô hình thông dụng nhất để mô tả sự phát triển của quần thể trong một hệ mà tốc độ tăng trưởng bình quân của mỗi loài phụ thuộc vào quy mô quần thể của cả hai loài. Mô hình kiểu Kolmogorov quan trọng vì mỗi quỹ đạo xuất phát trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng thì luôn nằm trong mặt phẳng này (tức là nếu x (0) > 0, y (0) > 0) thì x (t) > 0, y (t) > 0) với mọi t > 0). Nói cách khác miền trong của góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng là bất biến đối với hệ (1). Đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về động lực học quần thể thông qua nghiên cứu các nghiệm dương, chẳng hạn như là tính bền vững đều, sự diệt vong hay và sự giới nội ở kết cục (xem [10, 13, 20, 11]). Cách mô tả hệ theo các phương trình trên đều dựa vào giả thiết các loài sống trong một môi trường không thay đổi. Do đó, tốc độ tăng trưởng f (x, y) , g (x, y) là các hàm tất định. Tuy nhiên, rõ ràng rằng điều đó nói chung không phù hợp trong thực tế bởi vì chúng ta phải tính đến sự các biến động của môi trường mà có thể gây những tác động mạnh đến tính động lực học cũng như sự phát triển bền vững của quần thể. Sự biến đổi của môi trường có thể được thể hiện như là các yếu tố ngẫu nhiên và điều quan trọng là chúng ta phải mô tả chúng ở dạng phương trình ngẫu nhiên. Tuy vậy, trong khi hệ Kolmogorov tất định (1) đã được nghiên cứu với một lịch sử lâu dài thì hệ Kolmogorov ngẫu nhiên lại chưa đề cập nhiều trong các tài liệu toán học và hầu như không có công trình nào nghiên cứu về phương diện thống kê. Ở đây, chúng tôi đề cập đến một trong những nỗ lực đầu tiên theo hướng này, đó là báo báo rất hay của Arnold [5], trong đó các tác giả đã sử dụng các lý thuyết về quá trình chuyển động Brown để nghiên cứu các quỹ đạo mẫu của phương trình. Đối với các mô hình phân nhánh trong một môi trường biến thiên, chúng ta có thể tham khảo [2, 3, 18, vv....]. Một cách trình bày tương đối hệ thống về vấn đề này đã được đưa ra trong [1]. Gần đây, [16] xem xét ảnh 1
MỤC LỤC hưởng của cả hai loại nhiễu là quá trình chuyển đổi Markov và ồn trắng tác động lên hệ (1), A. Bobrowski trong [8] sử dụng nửa nhóm Markov để nghiên cứu sự ổn định của phân phối dừng của các hệ ngẫu nhiên (1); W. Shen, Y. Wang trong [19] nghiên cứu các hệ Kolmogorov cạnh tranh ngẫu nhiên thông qua các phương pháp tích lệch... Trong trường hợp đơn giản nhất, chúng ta giả sử điều kiện môi trường có thể chuyển đổi ngẫu nhiên giữa hai trạng thái, ví dụ: trạng thái nóng và lạnh, trạng thái khô và ướt ... . Như vậy, chúng ta có thể giả sử có một tiếng ồn điện báo ảnh hưởng đến trên mô hình bằng cách chuyển đổi hai trạng thái trong một tập hợp E = {+, −} có hai phần tử . Với các trạng thái khác nhau, động lực học của hệ trong mô hình là khác nhau. Sự chuyển đổi ngẫu nhiên của điều kiện môi trường khiến cho mô hình thay đổi từ hệ trong trạng thái + với hệ trong trạng thái − và ngược lại. Trong [7], các tác giả đã nghiên cứu các hệ cạnh tranh cổ điển với tiếng ồn điện báo. Các tác giả chỉ ra rằng tập ω-giới hạn của các nghiệm đối với các hệ là rất phức tạp và đã thành công trong việc mô tả một số tập hợp con của tập ω- giới hạn. Mục đích của chúng tôi là khái quát những kết quả này bằng cách xét một hệ tổng quát và sẽ mô tả đầy đủ tất cả các tập ω- giới hạn của các nghiệm của phương trình. Chúng tôi cũng chứng minh rằng các tập ω- giới hạn của tất cả các nghiệm dương là như nhau và nó hút tất cả các nghiệm dương khác. Hơn nữa, chúng tôi muốn đi xa hơn bằng cách nghiên cứu một số tính chất của phân phối dừng. Chúng tôi chỉ ra rằng phân phối dừng (nếu nó tồn tại) sẽ có mật độ và mật độ này hút tất cả các phân phối khác. Để làm được điều đó, chúng tôi đưa ra 2 tham số λ1 , λ2 như là ngưỡng phát triển của hệ. Mặc dù chưa đưa ra được biểu thức để tìm các giá trị λ1 , λ2 , nhưng chúng ta có thể dễ dàng ước lượng chúng bằng phương pháp mô phỏng thông qua các hệ số. Các tham số này đóng một vai trò quan trọng trong thực tế vì bằng cách phân tích các hệ số, chúng ta hiểu được dáng điệu động học của hệ. Luận văn được chia làm 3 chương: Chương I: Các kiến thức chuẩn bị. Nội dung của chương này là đưa ra một số khái niệm cơ bản về mô hình cạnh tranh của hệ Kolmogorov tất định cũng như các tính chất quan trọng của quá trình Markov hữu hạn trạng thái với thời gian liên tục. Chương II: Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu Markov. Chương này chủ yếu dựa trên nội dung của bài báo [23]. Trong chương này, chúng tôi mô tả quỹ đạo động học của các nghiệm dương đối với các loại hệ cạnh tranh chịu sự tác động của tiếng ồn điện báo. Nó cho thấy rằng các tập ω- giới hạn hấp thụ tất cả các nghiệm dương. Chúng tôi cũng xét 3 trường hợp cụ thể về dáng điệu của các nghiệm của hệ Kolmogorov chịu nhiễu Markov. 2
MỤC LỤC Chương III: Ứng dụng vào mô hình hệ phương trình cạnh tranh cổ điển. Chương này đề cập đến dáng điệu của các nghiệm của hệ phương trình cạnh tranh cổ điển Lotka- Volterra dưới tác động của nhiễu Markov. Các mô hình cổ điển này có thể xem là thí dụ cụ thể minh họa các kết quả trong Chương II. 3
Lời cảm ơn Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc và chỉ bảo tận tình của GS. TS Nguyễn Hữu Dư. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình. Qua đây, tôi xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy lớp cao học Toán khóa 2010- 2012, đặc biệt là thầy Nguyễn Hải Đăng, giảng viên khoa toán sinh thái học môi trường, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ, chỉ dẫn nhiệt tình trong suốt khóa học và thời gian làm luận văn. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các anh chị em học viên đồng khóa và các em sinh viên năm cuối khoa Toán- Cơ- Tin của trường đã giúp đỡ rất nhiệt tình để tôi hoàn thành bản luận văn này. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tôi để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình. Hà nội, tháng 12 năm 2012 Người làm luận văn Lê Thị Minh Thu 4
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị. 1.1 Phương trình Kolmogorov tất định. Xét một hệ sinh thái đơn giản gồm có hai loài sống trong cùng một môi trường tương đối ổn định. Giả sử x(t), y(t) là số lượng cá thể của mỗi loài tại thời điểm t và f (tương ứng g) là tỷ lệ tăng trưởng của loài thứ nhất (tương ứng loài thứ 2); trong đó f , g là hai hàm của hai biến x và y. Như thế, chúng ta có thể mô tả sự phát triển của hệ bởi các phương trình: dx dy = x f (x, y) , = yg (x, y) . (1.1) dt dt Giả thiết trong các phương trình (1.1) là tỷ lệ tăng hoặc giảm của số lượng các cá thể trong quần thể không phụ thuộc vào thời gian và rằng số lượng các quần thể đủ lớn để ta xem x và y là các số thực không âm và không chịu sự tác động ngẫu nhiên. Hệ (1.1) được gọi là hệ Kolmogorov. Trong toàn bộ Luận văn này, chúng tôi luôn đưa ra giả thiết là f , g cùng với đạo hàm bậc nhất của chúng xác định và liên tục với mọi giá trị không âm của x và y và phương trình (1.1) luôn tồn tại nghiệm xác định trên [0, ∞) (do đó là duy nhất). Nhờ tính duy nhất nghiệm của hệ, dễ dàng thấy rằng góc phần tư thứ nhất R2+ = {(u, v) : u > 0, v > 0} của mặt phẳng R2 là bất biến. Tức là nếu x(0) > 0, y(0) > 0 thì x(t) > 0, y(t) > 0 với mọi t > 0. Tương tự như vậy phần trong int R2+ = {(u, v) : u > 0, v > 0} cũng sẽ bất biến. Tùy theo từng bài toán cụ thể chúng ta sẽ đưa ra các điều kiện bổ sung cụ thể cho hai hàm f và g. Mối quan hệ giữa các loài có thể có chia làm ba loại chính: a) Loài thứ nhất gặp khó khăn, loài thứ hai gặp thuận lợi, do có sự hiện diện của một yếu tố nào đó khác (quan hệ loài săn mồi với con mồi), b) Cả hai loài đều gặp khó khăn bởi sự hiện diện của một loài khác (mô hình cạnh tranh), 5
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. c) Cả hai loài đều gặp thuận lợi bởi sự hiện diện của một loài khác (mô hình cộng sinh). Trong toàn bộ Luận văn này chúng ta chỉ xét các mô hình cạnh tranh. Đó là trường hợp mà cả hai loài sống trong một vùng lãnh thổ và cạnh tranh nhau về nguồn thức ăn hay môi trường. Mô hình toán học đầu tiên nghiên cứu hiện tượng này được đưa ra bởi Volterra (1927) và đã đưa ra nhiều kết luận bổ ích về sự phát triển của từng loài. Ở đây chúng tôi xét mô hình cạnh tranh tổng quát hơn (1.1) và cố gắng đạt được kết luận tương tự. Để mô tả mô hình có tính chất cạnh tranh, chúng ta đưa ra các giả thiết sau về các hàm f và g : a) Sự gia tăng của một trong hai quần thể tạo ra một sự sụt giảm về tốc độ tăng trưởng của cả hai quần thể; do đó ta có ∂f ∂f < 0, < 0, ∂x ∂y ∂g ∂g < 0 và < 0. ∂x ∂y b) Nếu cả hai quần thể đều rất nhỏ, cả hai đều nhân lên, thì f (0, 0) > 0 và g (0, 0) > 0 c) Mỗi quần thể, ngay cả khi rất nhỏ, cũng không thể tăng thêm nếu đạt đến một kích cỡ nhất định, do đó, tồn tại A và C sao cho f (0, A) = g (C, 0) = 0. d) Mỗi quần thể không thể làm tăng kích thước nhất định ngay cả khi số lượng cá thể trong đó rất nhỏ, do đó tồn tại B và D sao cho f (B, 0) = g (0, D) = 0. Nói chung, hai đường cong f = 0 và g = 0 có thể có bất kỳ số lượng điểm chung. Khi đó, góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ (x, y) sẽ được chia thành 3 khu vực: khu vực I có f > 0, g > 0; khu vực II có f < 0, g < 0 và khu vực III có f .g < 0. Những khu vực đó được biểu diễn bởi biểu đồ trong hình 1 Tất cả các đường cong tích phân xuất phát từ khu vực I và II cuối cùng đi vào khu vực III. Khu vực III được hình thành bởi các đường cong f = 0 , g = 0, bởi các điểm bên trong bị chặn bởi hai đường cong đó và đoạn AD và BC. Tùy thuộc vào đồ thị của các hàm f và g, các điểm trong khu vực này ít hơn các điểm trên biên. Khu vực III này có thể được chia thành một hoặc nhiều tập con, mỗi tập này cộng với những điểm biên tạo thành một khu vực con; tất cả các đường cong tích phân trong khu vực con kết thúc tại một điểm cân bằng của nó x = maximum, y = minimum, hoặc tương ứng x = minimum, y = maximum, tùy thuộc vào việc những điểm trong của khu vực con là f > 0, g < 0 hoặc f < 0, g > 0. Ví dụ, trong trường hợp của hình 1, D là một điểm cân bằng của một khu vực con và R là một điểm cân bằng của 6
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Hình 1 một khu vực con khác. Có thể, nhưng không chắc chắn, một vài điểm của khu vực III không thuộc vào nhóm các khu vực con này, điều này xảy ra khi mà đường cong f = 0 và g = 0 có đoạn trùng nhau. Trong trường hợp này, đường cong tích phân xuất phát từ khu vực I và II đến đoạn trùng nhau này thì dừng lại. Một ví dụ minh họa đơn giản có thể cho ta biết rất nhiều thông tin về dáng điệu giới hạn của đường cong tích phân. Ví dụ như những đường cong trong hình 1 được sao chép trong hình 2, ở đây dấu của các hàm f và g được biểu diễn bởi 2 véc tơ đơn vị song song với các trục. Trong khu vực I, chúng ta có f > 0 và g > 0 và do đó, với thời gian ngày càng tăng, các đường cong tích phân trong khu vực này được giới hạn trong góc phần tư xác định bởi 2 véc tơ đơn vị như thể hiện trong hình 2. Để minh họa cụ thể, ta hãy xét khu vực con được giới hạn bởi điểm Q và R; rõ ràng từ các véc tơ ta thấy, Q là một điểm cân bằng không ổn định và R là một điểm cân bằng ổn định. Chú ý rằng, đường cong tích phân bất kỳ đi qua khu vực hình chữ nhật xq1 Q∞ và cuối cùng phải kết thúc tại điểm R. Các đường cong tích phân đi qua khu vực hình chữ nhật yq2 Q∞ không bao giờ đến được R, nhưng đến D. Dáng điệu của các đường cong tích phân trong các khu vực còn lại của góc phần tư thứ nhất phải được xác định bằng cách phân tích chi tiết. Kết luận, khi các đường cong f = 0 và g = 0 không giao nhau, một loài sẽ tồn tại, cụ thể là, loài thứ nhất tồn tại nếu B > C hoặc loài thứ hai tồn tại nếu B < C. Khi các đường cong f = 0 và g = 0 cắt nhau tại một điểm, khi đó nếu B > C thì chỉ có một trong hai loài sống 7
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Hình 2 sót, tùy thuộc vào các điều kiện ban đầu; còn nếu B < C thì cả hai loài cùng sống sót. Khi các đường cong f = 0 và g = 0 cắt nhau tại nhiều điểm, có thể cả hai loài đều có khả năng sống sót cao tùy thuộc vào các điều kiện ban đầu. Nhìn chung, các giao điểm giữa các đường cong f = 0 có cùng hoặc lớn hơn về độ dốc (trong giá trị tuyệt đối) so với các giao điểm giữa các đường cong g = 0, những điểm đó cùng nhau tồn tại. Khả năng sống sót của cả hai loài có mâu thuẫn với nguyên tắc cạnh tranh loại trừ của Volterra hay không? Trong ý nghĩa toán học, nếu hai loài tương tác theo các điều kiện của Volterra, khi đó chỉ có một loài sống sót. Tuy nhiên, mô hình Volterra là đơn giản nhất, và khi xem xét một hình thức chung của các phương trình tăng trưởng dân số thì ta thấy có một loạt các phương thức cho sự phát triển của hai loài cạnh tranh. Thực tế, không khó khăn để tìm được một mô hình chỉ hơi phức tạp hơn Volterra mà cho phép cả hai loài tồn tại. Đó là mô hình Kolmogorov. Ta cần bổ đề sau: Bổ đề 1.1.1. Giả sử rằng hệ  x˙ (t) = f (x, y) ,  y˙ (t) = g (x, y) ,  trong đó f , g : R2 → R2 có một trạng thái cân bằng (x∗ , y∗ ) trở thành ổn định tiệm cận toàn cục, có nghĩa là, (x∗ , y∗ ) ổn định và với mọi nghiệm duy nhất (x (t) , y (t)) xác định trên [0, ∞) thỏa mãn limt→∞ (x (t) , y (y)) = (x∗ , y∗ ). Khi đó, đối với tập compact K ⊂ R2 bất kỳ , với lân cận U bất kỳ của (x∗ , y∗ ), tồn tại một số T ∗ > 0 sao cho (x (t, x0 , y0 ) , y (t, x0 , y0 )) ∈ U, với 8
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. bất kỳ t > T ∗ , (x0 , y0 ) ∈ K . Chứng minh. Theo giả thiết, tồn tại một lân cận mở V của (x∗ , y∗ ) sao cho (x (t, x0 , y0 ) , y (t, x0 , y0 )) ∈ U, ∀t > 0, (x0 , y0 ) ∈ V. (1.2) Hơn thế nữa, với mỗi (x, y) ∈ K , có một Tx,y > 0 sao cho (x (t, x, y) , y (t, x, y)) ∈ V, ∀t > Tx,y . Theo (1.2) và tính liên tục của nghiệm trong điều kiện ban đầu, tồn tại một lân cận mở Ux,y của (x, y) sao cho ∀ (u, v) ∈ Ux,y , (x (Tx,y , u, v) , y (Tx,y , u, v)) ∈ V, kéo theo (x (t, u, v) , y (t, u, v)) ∈ U, ∀t > Tx,y . Họ (Vx,y )(x,y)∈K là một phủ mở của K . Do K compact, nên có các Uxi ,yi , i = 1, ..., n sao cho n K ⊂ [ Uxi ,yi . i=1 Đặt T ∗ = max16i6n Txi ,yi Ta thấy (x (t, x0 , y0 ) , y (t, x0 , y0 )) ∈ U, với bất kỳ t > T ∗ , (x0 , y0 ) ∈ K . 1.2 Toán tử sinh của quá trình Markov thời gian liên tục. 1.2.1 Quá trình Markov. Mục đích của phần này là trình bày vắn tắt về quá trình Markov. Giả sử (Ω, F , (Ft )t>0 , P) là một không gian xác suất với lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường, tức là (Ft )t>0 là dòng tăng các σ − đại số con của F và F là đầy đủ theo P. Một quá trình ngẫu nhiên d− chiều {Xt ,t > 0} là một tập hợp các biến ngẫu nhiên, xác định trên (Ω, F , P), lấy giá trị trong Rd với d > 1. Chỉ số t được gọi là thời gian. Như thế một quá trình ngẫu nhiên có thể xem là một ánh xạ X : Ω × [0, ∞) → Rd sao cho với mỗi t ta có Xt là F - đo được. Với mỗi ω ∈ Ω, ánh xạ t → Xt (ω) được gọi là quỹ đạo mẫu của quá trình ngẫu nhiên Xt . Nếu với xác suất 1, các quỹ đạo mẫu của (Xt ) là các hàm liên tục thì ta gọi nó là quá trình ngẫu nhiên liên tục. 9
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Nếu với xác suất 1, các quỹ đạo là những hàm hằng từng khúc thì ta gọi (Xt ) là quá trình bước nhảy. Nếu với mỗi t, biến ngẫu nhiên Xt là Ft - đo được thì quá trình (Xt ) được gọi là Ft − phù hợp. Quá trình ngẫu nhiên (Xt ) được gọi là có tính markov (gọi tắt là quá trình Markov) nếu nó thỏa mãn điều kiện sau P (Xt ∈ B|Fs ) = P (Xt ∈ B|Xs ) , ∀0 6 s < t, ∀ B ∈ B d . (1.3) Tính Markov (1.3) có thể được phát biểu một cách hình thức như sau: Nếu trạng thái của quá trình tại một thời điểm cụ thể s (hiện tại) đã biết, thì thông tin bổ sung về dáng điệu của quá trình tại thời điểm r < s (quá khứ) không ảnh hưởng đến xác suất của quá trình tại thời điểm t > s (trong tương lai). Đặt P(s, x,t, B) = P (Xt ∈ B|Xs = x) , ∀0 6 s < t, ∀ B ∈ B d . và gọi nó là hàm xác suất chuyển của quá trình markov Xt . Quá trình Markov (Xt ) được gọi là thuần nhất nếu P(s, x,t, B) chỉ phụ thuộc vào hiệu số thời gian t − s, có nghĩa là P (Xt+h ∈ B|Xt ) = P (Xh ∈ B|X0 ) , ∀0 6 t, h, ∀B ∈ B d . Cho (Xt ) là một quá trình Markov thuần nhất với phân bố ban đầu ν0 . Khi đó, phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Xt tại thời điểm t được cho bởi Z P (Xt ∈ B) = P (t, x, B) ν0 (dx), (1.4) Rd với mọi tập con B ∈ B d . Trong đó, P (s, x, B) := P (Xs ∈ B|X0 = x) , s ∈ [0, ∞), x ∈ Rd , B ∈ B d . Hàm P : [0; ∞) × Rd × B d → [0; 1] có tính chất sau: (i) x 7→ P (s, x, B) đo được với s ∈ [0, ∞) cố định và B ∈ B d cố định. (ii) B 7→ P (s, x, B) là một độ đo xác suất với s ∈ [0, ∞) cố định và x ∈ Rd cố định. (iii) P 0, x, Rd \ {x} = 0 với mọi x ∈ Rd . (iv) Thỏa mãn phương trình Chapman- Komogorov Z P (t + s, x, B) = P (t, x, dz) P (s, z, B) (1.5) Rd với mọi t, s ∈ [0, ∞), x ∈ Rd , B ∈ B d . 10
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Ta nói rằng quá trình Markov (Xt ) có phân phối dừng µ, nếu Z P (t, x, B) µ (dx) = µ (B) , ∀t ∈ [0, ∞), ∀B ∈ B d . (1.6) Rd Từ (1.4) ta thấy nếu quá trình markov (Xt ) có phân phối dừng µ và X0 cũng có phân phối µ thì Xt có phân phối xác suất µ với mọi t. Hơn nữa, trong trường hợp này quá trình (Xt ) sẽ là quá trình dừng, tức là với mọi 0 6 t1 < t2 < · · · < tn và h > 0 ta có biến ngẫu nhiên n chiều (Xt1 +h , Xt2 +h , ..., Xtn +h ) có cùng phân phối với biến ngẫu nhiên (Xt1 , Xt2 , ..., Xtn ). 1.2.2 Toán tử sinh của nửa nhóm các toán tử Markov. Mỗi một quá trình Markov thuần nhất có thể gán một nửa nhóm các toán tử Markov {Tt ,t > 0}, được định nghĩa bởi Z Tt u (x) := Ex [u (Xt )] = u (y) P (t, x, dy) , (1.7) Rd với u : Rd → R là các hàm đo được giới nội và Ex [u (Xt )] là kỳ vọng của có điều kiện trên X0 = x. Theo định nghĩa toán tử T0 là toán tử đồng nhất. Từ phương trình Chapman- Komogorov ta thấy họ {Tt ,t > 0} và có tính chất nửa nhóm, tức là, Ts+t = Ts Tt = Tt Ts , ∀t, s ∈ [0, ∞). Ta định nghĩa toán tử sinh L của quá trình Markov thuần nhất Xt bởi đạo hàm của toán tử {Tt ,t > 0} tại điểm t = 0, Tt u (x) − u (x) L u (x) = lim . (1.8) t↓0 t Miền xác định DL của toán tử L là một tập con của không gian các hàm vô hướng đo được bị chặn xác định trên Rd để cho giới hạn trong (1.8) tồn tại. 1.2.3 Toán tử sinh của xích Markov với thời gian liên tục. Giả sử {ξt ,t > 0} là một xích Markov thời gian liên tục, tức nó chỉ nhận giá trị trong một tập không quá đếm được J. Khi đó thay hàm xác suất chuyển P(t, x, B) với x ∈ Rd , B ∈ B d ta chỉ cần biết hàm pi, j (t) = P(t, i, { j}), i, j ∈ J vì khi đó P(t, i, B) = ∑ j∈B pi, j (t), i ∈ J. Hơn nữa, trong trường hợp này Tt u(i) = ∑ pi, j (t) f ( j), i ∈ J. j∈J Phân phối xác suất µ(·) là phân phối dừng nếu nó thỏa mãn phương trình µ( j) = ∑ pi, j (t)µ(i), j ∈ J. i∈J 11
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong trường hợp này, để xác định toán tử sinh L ta chỉ cần biết đại lượng pi, j (t) − δi, j ai, j = lim , (1.9) t↓ t trong đó δi, j là ký hiệu Kronecker. Nếu ký hiệu P(t) là ma trận xác suất chuyển, P(t) = (pi, j (t)), khi đó P (t + u) = P (u) P (t) = P (t) P (u) . Đặt A = (ai, j ) ta có dP = AP. dt Nếu tập J là hữu hạn thì các giới hạn trong (1.9) luôn tồn tại. Hơn nữa, do ∑ pi j (t) = 1 với mọi i ∈ J, j∈J nên ta có ∑ ai j = 0 với mọi i ∈ J. j∈J Trong trường hợp này, toán tử sinh của xích Markov (ξt ) cho bởi L u( j) = ∑ ai, j u( j), i ∈ J. j∈J Toán tử L xác định trên tất cả các hàm xác định trên J, nhận giá trị trên R. Phân phối dừng đối với xích Markov hữu hạn trạng thái luôn tồn tại. Nếu ký hiệu phân phối dừng là φ = {φ (i) : i ∈ J thì nó là nghiệm của phương trình đại số ∑ ai j φ (i) = 0, φ ( j) > 0, với mọi j ∈ J, ∑ φ (i) = 0. j∈J i∈J 1.2.3.1 Quá trình Markov như là nghiệm của phương trình vi phân Xét phương trình dXt = f (Xt , ξt ). (1.10) dt Trong đó ξt là quá trình Markov lấy giá trị trong tập đếm được J và f (x, i) là hàm thỏa mãn điều kiện Lipchitz theo x, đều theo i ∈ J. Khi đó người ta đã chứng minh rằng quá trình (Xt , ξt ) là một quá trình Markov với toán tử sinh du L u(x, i) = f (x, i) + ai j u(x, j), dx ∑j∈J xác định trên lớp hàm u(x, i), khả vi liên tục theo x. Phân phối dừng của quá trình (Xt , ξt ) nếu tồn tại và có hàm mật độ φ (x, i) khả vi thì nó sẽ thỏa mãn phương trình Focker-Planck d 0 = L ∗ φ (x, i) = f (x, i)φ (x, i) + ∑ ai j φ (x, i). dx i∈J 12
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. 1.2.4 Quá trình Markov hai trạng thái. Cho (Ω, F , P) là một không gian xác suất thỏa mãn các giả thiết nói chung và (ξt )t>0 là một quá trình Makov, xác định trên (Ω, F , P), lấy giá trị trong tập hợp gồm 2 phần tử, kí α β hiệu E = {+; −}. Giả sử rằng (ξt ) có cường độ xác suất chuyển từ + → − và − → + với α > 0, β > 0. Quá trình (ξt ) có phân phối dừng: β α p = lim P {ξt = +} = ; q = lim P {ξt = −} = t→∞ α +β t→∞ α +β Quỹ đạo của (ξt ) là những hàm hằng từng khúc và liên tục phải. Giả sử 0 = τ0 < τ1 < τ2 < ... < τn < ... là các bước nhảy của quá trình ξt . Đặt σ1 = τ1 − τ0 ; σ2 = τ2 − τ1 ; ...; σn = τn − τn−1 ; ... σ1 = τ1 là lần đầu tiên (ξt ) đi ra từ trạng thái ban đầu, σ2 là thời gian tiếp theo mà quá trình (ξt ) di chuyển từ trạng thái đầu tiên... Người ta chứng minh được (σk )∞ k=1 là dãy độc lập với điều kiện biết được chuỗi (ξτk )∞ k=1 . Chú ý rằng nếu ta biết được ξ0 thì sẽ biết được ξτn vì quá trình (ξt ) chỉ lấy 2 giá trị. Do đó, (ξk )∞ n=1 là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có điều kiện, lấy giá trị trong [0, ∞). Hơn thế nữa, nếu ξ0 = + thì σ2n+1 có phân phối mũ với mật độ α1[0,∞) e−αt và σ2n có phân phối mũ với mật độ β 1[0,∞) e−βt . Ngược lại, nếu ξ0 = − thì σ2n có phân phối mũ với mật độ α1[0,∞) e−αt và σ2n+1 có phân phối mũ với mật độ β 1[0,∞) e−βt (xem [12]). Trong đó:  1 nếu t > 0  1[0,∞) (t) = 0 nếu t < 0  13
Chương 2 Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo. 2.1 Tính bền vững của hệ. Cho (ξt ) là quá trình Markov 2 trạng thái nhận giá trị trong tập E = {+, −}. Xét phương trình Kolmogorov:  x˙ (t) = xa (ξt , x, y)  (2.1) y˙ (t) = yb (ξt , x, y)  Trong đó, a (±, x, y) , b (±, x, y) xác định trên E × R2 , lấy giá trị trong R là khả vi liên tục trong (x, y) ∈ R2+ , R2+ = {(x, y) : x > 0, y > 0}. Dưới tác động của tiếng ồn (ξt ), hệ phương trình (2.1) chuyển đổi qua lại giữa hai hệ Kolmogorov tất định:  x˙ (t) = xa (+, x, y)  (2.2) y˙ (t) = yb (+, x, y)  và hệ:  x˙ (t) = xa (−, x, y)  (2.3) y˙ (t) = yb (−, x, y)  Trong suốt bản luận văn này, chúng tôi giả sử rằng trong cả 2 hệ (2.2) và (2.3), các hệ số a (±, x, y) , b (±, x, y) thỏa mãn các giả thiết sau: 14
Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo. Giả thiết 2.1. ∂ a(±,x,0) 1. ∂x < 0, ∀x > 0. 2. a (±, 0, 0) > 0, limx→∞ a (±, x, 0) < 0. ∂ b(±,0,y) 3. ∂y < 0, ∀y > 0. 4. b (±, 0, 0) > 0, limy→∞ b (±, 0, y) < 0. Giả sử hệ (2.2) có một nghiệm duy nhất (x+ (t, x0 , y0 ) , y+ (t, x0 , y0 )), kí hiệu là (x+ (t) , y+ (t)) (tương tự với (2.3) có nghiệm duy nhất (x− (t, x0 , y0 ) , y− (t, x0 , y0 )), kí hiệu: (x− (t) , y− (t))), bắt đầu từ (x0 , y0 ) ∈ R2+ . Trong suốt bản luận văn này, giả thiết rằng những nghiệm đó xác định trên [0, ∞). Hơn nữa, giả sử rằng, Giả thiết 2.2. Tồn tại tập compact D ⊂ R2+ bất biến đối với cả hai hệ (2.2) , (2.3). Hơn thế nữa, ∀ (x, y) ∈ R2+ , tồn tại T > 0 sao cho (x+ (t) , y+ (t)) ∈ D, (x− (t) , y− (t)) ∈ D, ∀t > T . Ta chú ý rằng Giả thiết 2.2 sẽ được thỏa mãn nếu a (±, x, y) < 0, b (±, x, y) < 0 khi x hoặc y đủ lớn. Để thuận tiện cho lập luận, chúng tôi giả sử ξ0 = + . Đầu tiên, chúng ta xét hai hệ trên biên u˙ (t) = u (t) a (ξt , u (t) , 0) , u (0) ∈ [0, ∞), (2.4) v˙ (t) = v (t) a (ξt , 0, v (t)) , v (0) ∈ [0, ∞). (2.5) Với giả thiết 2.1, tồn tại duy nhất một số u+ thỏa mãn a (+, u+ , 0) = 0 và một số u− thỏa mãn a (−, u− , 0) = 0. Trong trường hợp u+ 6= u− chúng ta giả sử rằng u+ < u− và đặt h+ = h+ (u) = ua (+, u, 0) , h− = h− (u) = ua (−, u, 0) . Điều này có nghĩa là (xem [21]), nếu u (t) là nghiệm của hệ (2.4) thì (ξt , u (t)) là một quá trình Markov với toán tử vi phân L cho bởi:  Lg (+, u) = −α (g (+, u) − g (−, u)) + h+ (u) d g (+, u) ,  du Lg (−, u) = β (g (+, u) − g (−, u)) + h− (u) d g (−, u) .  du Miền xác định của L là các hàm g (i, x) xác định trên E × (0, ∞), khả vi liên tục tại x. 15
Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo. Mật độ dừng (µ + , µ − ) của (ξt , u (t)) có thể được tìm thấy từ phương trình Fokker–Planck  −α µ + (u) + β µ − (u) − d [h+ µ + (u)] = 0  du (2.6) α µ + (u) − β µ − (u) − d [h− µ − (u)] = 0  du Phương trình (2.6) có một nghiệm dương duy nhất cho bởi θ F (u) θ F (u) µ + (u) = , µ − (u) = (2.7) u |a (+, u, 0)| u |a (−, u, 0)| Trong đó: Z u α β F (u) = exp − + dτ , u0 τa (+, τ, 0) τa (−, τ, 0) u+ + u− u ∈ u+ , u− , u0 = , 2 Z u− −1 F (u) F (u) θ= p +q du . u+ u |a (+, u, 0)| u |a (−, u, 0)| Như vậy, quá trình (ξt , u (t)) có một phân phối dừng duy nhất với mật độ (µ + , µ − ) (xem chi tiết trong [4]). Hơn nữa, với hàm liên tục bất kỳ f : E × R → R với Z u− p f (+, u) µ + (u) + q f (−, u) µ − (u) du < ∞, u+ Chúng ta có: Z t Z u− 1 p f (+, u) µ + (u) + q f (−, u) µ − (u) du. lim f (ξs , u (s)) ds = (2.8) t→∞ t 0 u+ Tương tự như vậy, tồn tại duy nhất v+ sao cho b (+, 0, v+ ) = 0 (tương tự v− sao cho b (−, 0, v− ) = 0). Nếu v+ 6= v− , phương trình (2.5) cũng có một phân phối dừng duy nhất với mật độ (ν + , ν − ) cho bởi: ζ G (v) ζ G (v) ν + (v) = , ν − (v) = , (2.9) v |b (+, 0, v)| v |b (−, 0, v)| trong đó Z v α β G (v) = exp − + dτ , v0 τb (+, 0, τ) τb (−, 0, τ) + − 0 v+ + v− v ∈ v ,v ,v = , và 2 Z v− −1 G (v) G (v) ζ= p +q dv . v+ v |b (+, 0, v)| v |b (−, 0, v)| 16
Chương 2. Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo. Hơn nữa, theo giả thiết 2.1, với |ε| đủ nhỏ (ε có thể âm), tồn tại duy nhất u+ ε thỏa mãn a (+, u+ − − + − ε , 0) = ε và uε thỏa mãn a (−, uε , 0) = ε. Để đơn giản, ta viết u (hoặc u ) thay cho − u+ 0 (hoặc u0 ). Xét phương trình: u˙ε (t) = uε (t) (a (ξt , uε (t) , 0) − ε) . (2.10) Phương trình (2.10) cũng có một phân phối dừng duy nhất với mật độ (µε+ , µε− ) cho bởi: θε Fε (u) θε Fε (u) µε+ (u) = , µε− (u) = , u ∈ u+ − ε , uε , (2.11) u |a (+, u, 0) − ε| u |a (−, u, 0) − ε| ở đó Z u α β Fε (u) = exp − + dτ , và u0 τ (a (+, τ, 0) − ε) τ (a (−, τ, 0) − ε) Z u− !−1 ε Fε (u) Fε (u) θε = p +q du . u+ ε u |a (+, u, 0) − ε| u |a (−, u, 0) − ε| Chúng ta xác định (νε+ , νε− ) đơn giản như cách xác định (µε+ , µε− ) . ζε Gε (v) νε+ (v) = , v |b (+, 0, v) − ε| ζε Gε (v) νε− (v) = , v ∈ v+ − ε , vε , v |b (−, 0, v) − ε| ở đó Z v α β Gε (v) = exp − + dτ , và v0 τ (b (+, 0, τ) − ε) τ (b (−, 0, τ) − ε) Z v− !−1 ε Gε (v) Gε (v) ζε = p +q dv . v+ ε v |b (+, 0, v) − ε| v |b (−, 0, v) − ε| Bổ đề 2.1.1. lim µε+ , µε− = µ + , µ − , ε→0 lim νε+ , νε− = ν + , ν − . ε→0 Chứng minh. Do a (+, x, 0) là một hàm giảm, khả vi liên tục và u+ ε là nghiệm của phương trình a (+, u+ + ε , 0) = ε, nên uε liên tục giảm trong ε và trong lân cận của 0. Để đơn giản, chúng tôi chứng minh bổ đề này cho trường hợp ε > 0. Trường hợp ε < 0 chứng minh tương tự. Cho M > 0 là một số dương sao cho D ⊂ [0, M) × [0, M) và cho da (i, u, 0) m = max × max − . i∈E 06u6M du 17