Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Khái niệm tâm tỉ cự trong dạy học Toán và Vật lí

Chia sẻ: Ganuongmuoixa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:118

Thêm vào BST

Báo xấu

38
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu khái niệm tâm tỉ cự ở cấp độ tri thức khoa học, chúng tôi chỉ ra một số ý nghĩa của khái niệm đối với Vật lí. Việc phân tích mối quan hệ thể chế đối với khái niệm này giúp chúng tôi làm sáng tỏ sự tồn tại của nó trong thể chế dạy học Hình học 10 và Vật lí 10 hiện hành ở Việt Nam.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Khái niệm tâm tỉ cự trong dạy học Toán và Vật lí

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Chí Tôn KHÁI NIỆM TÂM TỈ CỰ TRONG DẠY HỌC TOÁN VÀ VẬT LÍ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Thành phố Hồ Chí Minh – 2017
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Chí Tôn KHÁI NIỆM TÂM TỈ CỰ TRONG DẠY HỌC TOÁN VÀ VẬT LÍ Chuyên ngành : Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số : 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2017
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của cá nhân, các trích dẫn được trình bày trong luận văn hoàn toàn chính xác và đáng tin cậy. Tác giả Lê Chí Tôn
LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Vũ Như Thư Hương, thầy Lê Thái Bảo Thiên Trung đã vô cùng tận tâm trong giảng dạy, hướng dẫn và động viên tôi xuyên suốt quá trình học tập, nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn cô Lê Thị Hoài Châu, thầy Tăng Minh Dũng, cô Nguyễn Thị Nga, thầy Lê Văn Tiến đã giảng dạy các môn chuyên ngành với tất cả tình yêu và nhiệt huyết. Xin cảm ơn cô Annie Bessot, cô Claude Comiti và thầy Hamid Chaachoua đã chia sẻ tài liệu, góp ý về hướng đi trong nghiên cứu của chúng tôi. Tôi xin cảm ơn sự tận tâm giảng dạy của thầy Nguyễn Bích Huy, thầy Trần Huyên, thầy Nguyễn Ngọc Khá, cô Võ Thị Phượng Linh, thầy Nguyễn Chương Nhiếp, thầy Mỵ Vinh Quang và thầy Nguyễn Anh Tuấn. Xin cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh, các anh chị chuyên viên phòng Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Xin cảm ơn Ban giám hiệu, đồng nghiệp và các em học sinh trường THPT Tô Văn Ơn, tỉnh Khánh Hòa đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong các thực nghiệm; cảm ơn các bạn học viên Didactic Toán K26 đã luôn đồng hành cùng tôi trong khóa học. Sau cùng, tôi xin tỏ lòng biết ơn đến ba mẹ, các thành viên trong gia đình đã luôn động viên và là động lực để tôi phấn đấu suốt thời gian học xa nhà. Lê Chí Tôn
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Danh mục các từ viết tắt Dạnh mục các bảng Danh mục các hình Mục lục MỞ ĐẦU .............................................................................................................1 Chương 1. KHÁI NIỆM TÂM TỈ CỰ CỦA HỆ ĐIỂM Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC......................................................................................... 6 1.1. Lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm tâm tỉ cự.....................................6 1.2. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm trong một số giáo trình Hình học và Vật lí bậc đại học ............................................................................................................9 1.2.1. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm trong giáo trình Hình học bậc đại học ......9 1.2.2. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm trong giáo trình Vật lí bậc đại học ..........18 Kết luận Chương 1 .....................................................................................................24 Chương 2. NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI KHÁI NIỆM TÂM TỈ CỰ CỦA HỆ ĐIỂM TRONG HAI THỂ CHẾ DẠY HỌC HÌNH HỌC 10 VÀ VẬT LÍ 10 HIỆN HÀNH Ở VIỆT NAM ............ 26 2.1. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm trong hai bộ sách giáo khoa Hình học 10 hiện hành ............................................................................................................28 2.1.1. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm .................................................................29 2.1.2. Các praxéologie gắn liền với khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm ...................36 2.2. Khái niệm tâm của hệ lực song song trong hai bộ sách giáo khoa Vật lí 10 hiện hành ............................................................................................................51 2.2.1. Các quy tắc hợp lực song song.....................................................................52 2.2.2. Các praxéologie gắn liền với các quy tắc hợp lực song song ......................56 Kết luận Chương 2 .....................................................................................................61
Chương 3. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ....................................................... 63 3.1. Phân tích tiên nghiệm .........................................................................................63 3.1.1. Mục tiêu của tiểu đồ án ................................................................................63 3.1.2. Các kiến thức học sinh đã biết .....................................................................64 3.1.3. Các tình huống thực nghiệm ........................................................................64 3.1.4. Phân tích các biến, giá trị của biến và những điều có thể quan sát ..............64 3.1.5. Dàn dựng kịch bản .......................................................................................75 3.2. Phân tích hậu nghiệm..........................................................................................77 3.2.1. Phân tích hậu nghiệm thực nghiệm 1 ...........................................................78 3.2.2. Phân tích hậu nghiệm thực nghiệm 2 ...........................................................84 Kết luận Chương 3 .....................................................................................................93 KẾT LUẬN ........................................................................................................... 94 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT CHLT Cơ học lý thuyết BT Bài tập BTHH10 Bài tập hình học 10 BTHH10NC Bài tập hình học 10 nâng cao CH Câu hỏi ĐT Đẳng thức GV Giáo viên HH Hình học HHCC Hình học cao cấp HHNC Hình học nâng cao HS Học sinh HSHS Nhiều học sinh N Nhóm Nxb Nhà xuất bản SGK Sách giáo khoa SGV Sách giáo viên VD Ví dụ VL10 Vật lí 10 VL10NC Vật lí 10 nâng cao tr. Trang
DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1. Thống kê kết quả bài làm của các nhóm sau thực nghiệm 1. .........................78 Bảng 2. Thống kê kết quả bài làm của các nhóm sau thực nghiệm 2. ..........................85
DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 1. Bài làm trên phiếu 1 của N2 (dựng hình chưa thành công)..............................78 Hình 2. Bài làm trên phiếu 2 của N6 (chiến lược Khác). ..............................................79 Hình 3. Bài làm trên phiếu 1 của N1. ............................................................................79 Hình 4. Bài làm trên phiếu 2 của N1. ............................................................................80 Hình 5. Bài làm trên phiếu 1 của N5. ............................................................................80 Hình 6. Bài làm trên phiếu 2 của N5. ............................................................................80 Hình 7. Đẳng thức vectơ do N5 xây dựng để tìm vị trí điểm O trong BT1.1. ..............82 Hình 8. Đẳng thức vectơ do N3 xây dựng để tìm vị trí điểm O trong BT1.1. ..............82 Hình 9. Kết quả học sinh thao tác trên mô hình trong BT 2.1. .....................................84 Hình 10. Bài làm trên phiếu 3, BT2.1 của N3. ..............................................................86 Hình 11. Bài làm trên phiếu 3, BT2.1 của N4 (bên trái) và N2 (bên phải). ..................86 Hình 12. Bài làm trên phiếu 3, BT2.2 theo chiến lược Khác của N3............................87 Hình 13. Bài làm trên phiếu 3, BT2.2 của N5. ..............................................................87 Hình 14. Bài làm trên phiếu 3 của N6 (hai hình không tương thích). ...........................88 Hình 15. Bài làm trên phiếu 3 của N1 (hai hình tương thích). ......................................88 Hình 16. Đẳng thức vectơ do N2 xây dựng để tìm vị trí điểm O trong BT2.1. ............91
1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài và những ghi nhận ban đầu 1.1. Những ghi nhận ban đầu Trong chương trình Toán trung học ở Pháp, khái niệm tâm tỉ cự là đối tượng tri thức được giảng dạy. Cụ thể sách Maths Déclic 1re S, 2005, chương 15 2. Cân Roman: Định luật Archimedes Để xác định một khối lượng chưa biết 𝑀𝑀 người ta dùng chiếc cân Roman, 𝐴𝐴 là điểm treo khối lượng 𝑀𝑀. Với một chiếc móc có thể di chuyển được, một khối lượng đã biết 𝑚𝑚 (ví dụ 1 kg) được di chuyển trên thanh đòn cho đến khi thanh cân bằng, khi đó tất cả các khối lượng này được nâng tại điểm 𝑂𝑂. Nếu giả sử trạng thái cân bằng đạt được khi khối lượng 𝑚𝑚 treo tại 𝐵𝐵, thì ta có đẳng thức 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 4𝑂𝑂𝑂𝑂, suy ra 𝑀𝑀 = 4𝑚𝑚. Chiếc cân này là ứng dụng trực tiếp từ định luật Archi- medes, theo định luật này ở trạng thái cân bằng ta có 𝑀𝑀. 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝑚𝑚. 𝑂𝑂𝑂𝑂. 1o Hãy chứng minh rằng ở trạng thái cân bằng ta có đẳng thức vectơ: ��⃗ + 𝑚𝑚𝑂𝑂𝑂𝑂 𝑀𝑀𝑂𝑂𝑂𝑂 ��⃗ = 0 �⃗ (∗). Vị trí của các điểm 𝐴𝐴, 𝑂𝑂 và 𝐵𝐵 sẽ như thế nào khi các khối lượng 𝑚𝑚 và 𝑀𝑀 bằng nhau? Chú ý: ��⃗ + 𝑚𝑚𝑂𝑂𝑂𝑂 (*) Điểm 𝑂𝑂 thỏa đẳng thức 𝑀𝑀𝑂𝑂𝑂𝑂 ��⃗ = �0⃗ được gọi là tâm tỉ cự của các điểm trọng số (𝐴𝐴, 𝑀𝑀) và (𝐵𝐵, 𝑚𝑚). • Điểm trọng số nghĩa là điểm được gắn với một trọng lượng. • “Barycentre” có nguồn gốc từ tiếng Hy lạp, có nghĩa là “tâm của các trọng lượng”.
2 Thuật ngữ này có nguồn gốc từ định luật của Archimedes. ��⃗ = −5𝑂𝑂𝑂𝑂 2o Giả sử ta có 𝑚𝑚 = 500𝑔𝑔 và đẳng thức 𝑂𝑂𝑂𝑂 ��⃗. Tính giá trị của 𝑀𝑀? 3o Nếu 𝑚𝑚 = 1𝑘𝑘𝑘𝑘 và 𝑀𝑀 = 5𝑘𝑘𝑘𝑘 thì vị trí các điểm 𝐴𝐴, 𝑂𝑂 và 𝐵𝐵 được sắp xếp như thế nào? So sánh với kết quả của câu 2o rồi đưa ra nhận xét? [40, tr.375] Từ trình bày của sách Maths Déclic 1re S chúng tôi ghi nhận được ��⃗ + 𝑚𝑚𝑂𝑂𝑂𝑂 • Điểm 𝑂𝑂 thỏa đẳng thức vectơ 𝑀𝑀𝑂𝑂𝑂𝑂 ��⃗ = �0⃗ được gọi là tâm tỉ cự của các điểm trọng số (𝐴𝐴, 𝑀𝑀) và (𝐵𝐵, 𝑚𝑚) chính là điểm cân bằng, trọng tâm trong Vật lí. • Định nghĩa tâm tỉ cự của hai điểm được Sách giáo khoa Maths Déclic 1re S xây dựng gắn liền với việc cân vật nặng và định luật Archimedes. Điều này cho phép kết nối giữa thực tế cuộc sống, Vật lí với Hình học vectơ. • Định nghĩa tâm tỉ cự sau đó được sử dụng như công cụ để giải tìm một khối lượng chưa biết (2o) hoặc để biểu diễn vị trí của điểm cân bằng so với hai điểm treo các khối lượng (3o). và đặt ra các câu hỏi ban đầu sau đây: CH1. Trong chương trình Hình học 10 hiện hành ở Việt Nam, khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm có được giảng dạy? Khái niệm này có được giới thiệu gắn liền với Vật lí và thực tế? CH2. Khái niệm tâm tỉ cự được trình bày như thế nào trong các giáo trình Hình học, Vật lí bậc đại học và trong sách giáo khoa Vật lí bậc trung học? Nhằm để giải quyết những dạng bài tập nào? 1.2. Tổng quan về các công trình nghiên cứu Từ những câu hỏi đặt ra định hướng cho quá trình nghiên cứu, chúng tôi tìm thấy một số tài liệu sau: Đoàn Công Thành (2014), với luận văn thạc sĩ “Mô hình hóa trong dạy học khái niệm vectơ ở Hình học lớp 10”, đã chỉ ra việc dạy học khái niệm và các phép toán vectơ trong thể chế dạy học Hình học 10 ở Việt Nam chưa quan tâm đến mô hình hóa đối tượng tri thức này. Từ kết quả của những phân tích, tác giả tiến hành xây dựng đồ
3 án dạy học tạo nên sự kết nối giữa vectơ, các phép toán vectơ với Vật lí và thực tế. Nguyễn Xuân Quang (2016), trong luận văn thạc sĩ “Dạy học tích vô hướng trong Hình học 10 theo quan điểm liên môn”, tác giả cho thấy ý nghĩa vật lí của tích vô hướng thể hiện khá mờ nhạt trong thể chế dạy học Vật lí 10 và 11 hiện hành ở Việt Nam. Để khắc phục điều này, tác giả đã thiết kế đồ án dạy học tích vô hướng thể hiện rõ tính liên môn giữa Hình học vectơ và Vật lí. Từ các công trình đã tổng quan, chúng tôi nhận thấy nghiên cứu về khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm trong thể chế dạy học Hình học 10 và Vật lí 10 ở Việt Nam chưa được các tác giả đề cập. 2. Phạm vi lí thuyết tham chiếu Đề tài được thực hiện trên cơ sở vận dụng những yếu tố công cụ của lí thuyết Didactic Toán, bao gồm: các khái niệm chuyển đổi didactic, quan hệ cá nhân và quan hệ thể chế đối với một tri thức, tổ chức toán học của lí thuyết nhân chủng học để phân tích sự trình bày các khái niệm tâm tỉ cự, tâm của hệ lực song song trong các giáo trình đại học và trong chương trình Hình học, Vật lí 10 hiện hành; lí thuyết tình huống và khái niệm đồ án didactic để xây dựng tiểu đồ án dạy học. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm ở cấp độ tri thức khoa học cũng được chọn làm tham chiếu khi phân tích chương trình Hình học 10 và Vật lí 10. 3. Mục tiêu nghiên cứu và câu hỏi nghiên cứu 3.1. Mục tiêu của đề tài Trên cơ sở nghiên cứu khái niệm tâm tỉ cự ở cấp độ tri thức khoa học, chúng tôi chỉ ra một số ý nghĩa của khái niệm đối với Vật lí. Việc phân tích mối quan hệ thể chế đối với khái niệm này giúp chúng tôi làm sáng tỏ sự tồn tại của nó trong thể chế dạy học Hình học 10 và Vật lí 10 hiện hành ở Việt Nam. Dựa vào kết quả của quá trình nghiên cứu tri thức khoa học và phân tích thể chế dạy học, chúng tôi xây dựng tiểu đồ án dạy học nhằm làm rõ ý nghĩa vật lí của điểm 𝑀𝑀 trong đẳng thức ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 ��⃗ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑖𝑖 = �0⃗, với ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 ≠ 0 trên đối tượng học sinh lớp 10.
4 3.2. Câu hỏi nghiên cứu Trong khuôn khổ lí thuyết tham chiếu, những câu hỏi nghiên cứu mà luận văn của chúng tôi cần trả lời được xác định: CH1. Khái niệm tâm tỉ cự được hình thành và phát triển như thế nào? Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm được trình bày ra sao trong các giáo trình Hình học và Vật lí bậc đại học? CH2. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm được trình bày như thế nào trong các thể chế dạy học Hình học 10 và Vật lí 10 hiện hành ở Việt Nam? Có những praxéologie nào liên quan đến khái niệm này trong các thể chế dạy học Hình học 10 và Vật lí 10 hiện hành? CH3. Để xây dựng tiểu đồ án dạy học nhằm làm rõ ý nghĩa vật lí của điểm 𝑀𝑀 ��⃗𝑖𝑖 = �0⃗, với ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 ≠ 0 cần tính đến những trong đẳng thức vectơ ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 𝑀𝑀𝑀𝑀 yếu tố nào? 4. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu được trình bày tóm lược bằng sơ đồ sau: Nghiên cứu tri thức khoa học về khái niệm tâm tỉ cự (các tài liệu khoa học, giáo trình Hình học cao cấp, giáo trình Vật lí đại cương) Nghiên cứu tri thức cần giảng dạy trong hai bộ môn Toán và Vật lí lớp 10 (các bộ sách Hình học 10 và Vật lí 10 hiện hành) Nghiên cứu thực nghiệm tiểu đồ án didactic 5. Nhiệm vụ nghiên cứu  Chúng tôi nghiên cứu các tài liệu khoa học và phân tích các giáo trình Hình học Cao cấp, Bài tập Hình học cao cấp của tác giả Nguyễn Mộng Hy, Cơ học lý thuyết – tập 1 do tác giả Nguyễn Trọng làm chủ biên hướng đến trả lời cho câu hỏi: CH1. Khái niệm tâm tỉ cự được hình thành và phát triển như thế nào? Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm được trình bày ra sao trong các giáo trình Hình học và Vật lí bậc đại học?
5  Chúng tôi phân tích mối quan hệ thể chế đối với khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm trong các bộ sách giáo khoa Hình học 10 (phần vectơ), Vật lí 10 ở Việt Nam và các tài liệu liên quan để trả lời cho câu hỏi: CH2. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm được trình bày như thế nào trong các thể chế dạy học Hình học 10 và Vật lí 10 hiện hành ở Việt Nam? Có những praxéologie nào liên quan đến khái niệm này trong mỗi thể chế dạy học Hình học 10 và Vật lí 10 hiện hành?  Chúng tôi thiết kế một tiểu đồ án dạy học nhằm làm rõ ý nghĩa vật lí của điểm 𝑀𝑀 trong đẳng thức vectơ ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 ��⃗ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑖𝑖 = �0⃗ với ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 ≠ 0. 6. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm có ba chương không kể phần mở đầu và phần kết luận. Chương 1. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm ở cấp độ tri thức khoa học Trước tiên, chúng tôi trình bày khía cạnh lịch sử của khái niệm tâm tỉ cự. Sau đó chúng tôi nghiên cứu lí thuyết, các tổ chức tri thức gắn với khái niệm này ở một số giáo trình Hình học và Vật lí dùng trong đào tạo sinh viên các ngành sư phạm Toán học và sư phạm Vật lí. Đồng thời chúng tôi sẽ xây dựng những praxéologie tham chiếu phục vụ cho mục tiêu phân tích mối quan hệ thể chế ở Chương 2 luận văn. Chương 2. Nghiên cứu mối quan hệ thể chế đối với khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm trong các thể chế dạy học Hình học 10 và Vật lí 10 hiện hành ở Việt Nam Chúng tôi tập trung phân tích mối quan hệ thể chế đối với khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm trong chương trình Hình học 10 và khái niệm tâm của hệ lực song song trong chương trình Vật lí 10 hiện hành ở Việt Nam để tìm kiếm mối quan hệ (nếu có) giữa hai khái niệm này. Một số praxéologie được phân tích trong mối liên hệ với các praxéologie tham chiếu ở Chương 1. Chương 3: Nghiên cứu thực nghiệm Chúng tôi xây dựng một thực nghiệm dưới dạng tiểu đồ án dạy học nhằm làm rõ ý ��⃗𝑖𝑖 = �0⃗. nghĩa vật lí của điểm 𝑀𝑀 trong đẳng thức vectơ ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 𝑀𝑀𝑀𝑀
6 Chương 1. KHÁI NIỆM TÂM TỈ CỰ CỦA HỆ ĐIỂM Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC Mục tiêu của chương là đi tìm câu trả lời cho câu hỏi nghiên cứu: CH1. Khái niệm tâm tỉ cự được hình thành và phát triển như thế nào? Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm được trình bày ra sao trong các giáo trình Hình học và Vật lí bậc đại học? Nội dung Chương 1 gồm hai phần: phần thứ nhất trình bày các nghiên cứu về khía cạnh lịch sử của khái niệm tâm tỉ cự; phần thứ hai trình bày các phân tích đối với khái niệm này trong một số giáo trình Hình học và Vật lí bậc đại học. 1.1. Lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm tâm tỉ cự Từ quá trình nghiên cứu các công trình của August Ferdinant Mӧbius (1827) và (1846), Abraham Albert Ungar (2010), Andre Koch Torres Asis (2010), H. S. M. Coxeter (1969), John Stillwell (2010), Michael S. Floater (2016), Peter Alfeld, Marian Neamtu, Larry L. Schumaker (1996) và Roger Cooke (2005), chúng tôi chia lịch sử hình thành, phát triển của khái niệm tâm tỉ cự trong Toán học thành ba giai đoạn. Giai đoạn ngầm ẩn, kéo dài từ trước Công nguyên đến trước năm 1827. Khái niệm tâm tỉ cự bị đồng nhất với khái niệm trọng tâm trong Vật lí. Những vấn đề làm nảy sinh khái niệm trọng tâm đó là: cân các vật nặng bằng cân đòn; nghiên cứu trạng thái cân bằng mà các vật rắn đạt được khi nâng bởi một thanh đòn hoặc được treo tại một vài điểm nào đó. Vị trí của tâm tỉ cự hay vị trí trọng tâm được xác định thông qua các mệnh đề 6 và mệnh đề 7 trong tác phẩm On the Equilibrium of Planes của Archimedes và gọi là Quy tắc momen trong Vật lí hiện đại. Mệnh đề 6. Các vật thể có thể so sánh được cân bằng tại các khoảng cách tỉ lệ nghịch với trọng lượng của chúng. Mệnh đề 7. Tuy nhiên, thậm chí nếu các vật thể không so sánh được, chúng sẽ vẫn cân bằng tại các khoảng cách tỉ lệ nghịch với các trọng lượng ấy. [31, tr.175-176] Vị trí của trọng tâm chỉ được xác định bằng phương pháp thực nghiệm. Vai trò và tầm ảnh hưởng của khái niệm tâm tỉ cự chưa được xác lập.
7 Giai đoạn tường minh, từ năm 1827 đến trước năm 1975. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm (khái niệm tâm tỉ cự cổ điển ra đời trước sự ra đời của khái niệm vectơ) được công bố chính thức bởi Mӧbius vào năm 1827 trong công trình Der Barycentrische Calcul. Khái niệm nảy sinh gắn với quá trình giải bài toán chia đoạn thẳng định hướng theo các tỉ lệ đại số cho trước và mục tiêu đi tìm một phương pháp tổng quát để xác định vị trí của điểm cân bằng, trọng tâm trong Vật lí. Tọa độ tâm tỉ cự lúc này được biểu diễn theo các điểm và các trọng số cho trước đặt tại mỗi điểm đó. Tâm tỉ cự 𝑆𝑆 của hệ điểm 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶, 𝐷𝐷, … với các hệ số tương ứng 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐, 𝑑𝑑, … xác định bởi 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 + ⋯ = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 + ⋯ )𝑆𝑆. [37, tr.17] Trong trường hợp 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 thì tâm tỉ cự là trung điểm của đoạn thẳng 𝐴𝐴𝐴𝐴. Điều kiện tồn tại tâm tỉ cự và các tính chất của khái niệm được Mӧbius quan tâm trình bày. Trọng tâm trong Vật lí được Mӧbius xem là tâm tỉ cự của hệ điểm khi các trọng số là các trọng lượng. Nếu tại 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 và 𝐶𝐶 lần lượt treo các trọng lượng có tỉ lệ 𝑎𝑎: 𝑏𝑏: 𝑐𝑐, cơ học chỉ ra rằng 𝑄𝑄 là trọng tâm của hệ. Khi đó 𝑄𝑄 là tâm tỉ cự của 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 và 𝐶𝐶 ứng với các hệ số 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐. [37, tr.8] Do đó, trọng tâm trong Vật lí không thể bị đồng nhất với trung điểm hay trọng tâm của hệ điểm trong Toán học. Với sự ra đời của khái niệm vectơ, Coxeter (1961) phát biểu định nghĩa tâm tỉ cự của hệ điểm bằng đẳng thức vectơ trong tác phẩm Introduction to Geometry. Giả sử các trọng số 𝑡𝑡1 , … , 𝑡𝑡𝑘𝑘 được gắn vào 𝑘𝑘 điểm phân biệt 𝐴𝐴1 , … , 𝐴𝐴𝑘𝑘 , 𝑂𝑂 là điểm bất kì, khi 𝑡𝑡1 + ⋯ + 𝑡𝑡𝑘𝑘 ≠ 0, ta có 𝑡𝑡1 ��⃗ 𝑂𝑂𝐴𝐴1 + ⋯ + 𝑡𝑡𝑘𝑘 ��⃗ ��⃗, điểm P độc 𝑂𝑂𝐴𝐴𝑘𝑘 = (𝑡𝑡1 + ⋯ + 𝑡𝑡𝑘𝑘 )𝑂𝑂𝑂𝑂 lập với cách chọn điểm 𝑂𝑂. […] ��⃗ = ∑ 𝑡𝑡𝑖𝑖 ��⃗ Điểm P cho bởi ∑ 𝑡𝑡𝑖𝑖 𝑂𝑂𝑂𝑂 𝑂𝑂𝐴𝐴𝑖𝑖 gọi là tâm (tâm tỉ cự) của 𝑘𝑘 trọng số 𝑡𝑡𝑖𝑖 gắn tại 𝐴𝐴𝑖𝑖 . Ta có thể chọn P trùng 𝑂𝑂 để được ∑ 𝑡𝑡𝑖𝑖 ��⃗ 𝑃𝑃𝐴𝐴𝑖𝑖 = Ο. [32, tr.214-215] Khái niệm tâm tỉ cự của Möbius được sử dụng để xây dựng định nghĩa hiện đại về tâm của hệ lực song song, trọng tâm của hệ chất điểm hoặc của vật rắn khi biết các trọng lượng và vị trí các chất điểm.
8 • Nếu hệ 𝑛𝑛 lực 𝐹𝐹⃗𝑖𝑖 song song có tổng đại số khác không thì vị trí tâm của hệ lực ∑𝑛𝑛 1 𝑥𝑥𝑖𝑖 𝐹𝐹𝑖𝑖 là 𝑥𝑥𝐶𝐶 = ∑𝑛𝑛 . 1 𝐹𝐹𝑖𝑖 • Nếu hệ 𝑛𝑛 vật có tổng trọng lượng 𝑃𝑃 = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑃𝑃𝑖𝑖 , khi đó vị trí của khối tâm là 𝑃𝑃𝑖𝑖 𝑃𝑃𝑖𝑖 𝑥𝑥𝐶𝐶 = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑟𝑟��⃗𝐶𝐶 = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 �𝑟𝑟⃗. 𝑃𝑃 𝑃𝑃 𝚤𝚤 • Nếu vật thể là một, hai hay ba chiều thì tổng 𝑃𝑃 thay tính bằng tích phân 𝑑𝑑𝑑𝑑 đường, tích phân mặt hoặc tích phân khối 𝑃𝑃 = ∭ 𝑑𝑑𝑑𝑑 , 𝑟𝑟𝐶𝐶 = ∭ ��⃗ 𝑟𝑟⃗. 𝑃𝑃 Với 𝑥𝑥𝐶𝐶 là hoành độ tâm của hệ lực hoặc trọng tâm; 𝑟𝑟��⃗𝐶𝐶 là vectơ vị trí trọng tâm. �⃗ , gia Một nghĩa vật lí khác của khái niệm tâm tỉ cự là xác định các vectơ vận tốc 𝑉𝑉 tốc 𝑎𝑎⃗ của khối tâm trong một hệ hữu hạn chất điểm 𝑚𝑚𝑖𝑖 : �⃗𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑣𝑣 �⃗ �⃗ ∑𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖 �⃗ = ∑𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖 𝑣𝑣�⃗𝑖𝑖 = 𝑃𝑃 , 𝑉𝑉 𝑎𝑎⃗ = 𝑑𝑑𝑉𝑉 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 . ∑ 𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖 ∑ 𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∑𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖 Từ đó xây dựng phương trình chuyển động toàn thể của hệ ∑𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖 𝑎𝑎⃗ = ∑𝑖𝑖 𝐹𝐹⃗𝑖𝑖 . Trong đó, 𝑣𝑣⃗𝑖𝑖 là vectơ vận tốc ứng với khối lượng 𝑚𝑚𝑖𝑖 , lực 𝐹𝐹⃗𝑖𝑖 tác động vào chất điểm thứ 𝑖𝑖 tạo nên gia tốc 𝑎𝑎⃗𝑖𝑖 . Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm còn được ứng dụng vào thống kê, phân loại các hình trong Hình học phẳng và ứng dụng cho Hình học xạ ảnh. Giai đoạn tổng quát hóa, từ năm 1975 đến 2017. Các nghiên cứu ở giai đoạn này gắn liền với việc xây dựng các biểu thức tổng quát biểu diễn tọa độ tâm tỉ cự của một điểm bên trong một đa giác theo các đỉnh của đa giác ấy. Đồng thời các nghiên cứu đặc biệt quan tâm đến ứng dụng của tọa độ tỉ cự trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Tọa độ của tâm tỉ cự đối với một đa giác được xác định thông qua các hàm diện tích. Các đa giác được tổng quát hóa từ đa giác lồi đến đa giác bất kì; từ đa giác trong không gian hai chiều lên không gian có số chiều cao hơn. Hai dạng tọa độ tâm tỉ cự phổ biến là tọa độ Wachspress (1975) và tọa độ trung bình (2003). Ban đầu, các tọa độ tỉ cự chỉ nhận các giá trị dương, quá trình tổng quát hóa cho phép các tọa độ này nhận giá trị thực và dần được mở rộng sang tập số phức. Khái
9 niệm tâm tỉ cự được ứng dụng trong Giải tích số, mô hình hóa hình học, xây dựng phương pháp phần tử hữu hạn, các phép nội suy, .... Ánh xạ tỉ cự ra đời, cho phép khái niệm thể hiện tính chất công cụ của nó trong đồ họa vi tính ở mảng phối màu và hiệu ứng chuyển động của hình ảnh. Một mảng khác của khái niệm tâm tỉ cự là tọa độ cầu cũng được Mӧbius xây dựng vào năm 1846. Các định nghĩa về tâm tỉ cự cầu của hệ điểm được Mӧbius xây dựng với các cung định hướng. Các nghiên cứu sau đó xây dựng tọa độ cầu của một điểm đối với một đa giác cầu lồi, hai tọa độ phổ biến là tọa độ cầu Wachspress và tọa độ cầu trung bình. Tọa độ cầu được sử dụng để xây dựng các mặt Bézier trên các miền cầu, xây dựng các tọa độ tỉ cự 3D đối với đa diện có các mặt đa giác bất kì. Tọa độ tỉ cự cầu vẫn đang là đối tượng được quan tâm nghiên cứu. 1.2. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm trong một số giáo trình Hình học và Vật lí bậc đại học 1.2.1. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm trong giáo trình Hình học bậc đại học Trong mục này, chúng tôi sẽ tiến hành nghiên cứu các giáo trình:  Hình học cao cấp, Bài tập hình học cao cấp do tác giả Nguyễn Mộng Hy biên soạn. Đây là tài liệu được sử dụng phổ biến trong chương trình đào tạo sinh viên ngành sư phạm Toán ở các trường cao đẳng, đại học của Việt Nam. Tác giả cũng là chủ biên của bộ sách Hình học 10 hiện hành.  Cơ học lý thuyết – tập 1, tác giả Nguyễn Trọng làm chủ biên. Giáo trình này được sử dụng trong đào tạo sinh viên ngành sư phạm Vật lí ở nhiều trường đại học.  Vật lí đại cương – tập 1, tác giả Lương Duyên Bình. Giáo trình này được dùng làm tài liệu tham khảo và đào tạo sinh viên các trường cao đẳng đại học. Tác giả còn là chủ biên của bộ sách Vật lí 10 hiện hành. Đầu tiên, chúng tôi tập trung phân tích nội dung lí thuyết trong §4. Tâm tỉ cự của một hệ điểm thuộc giáo trình Hình học cao cấp và xác định các praxéologie gắn liền với khái niệm này trong Bài tập Hình học cao cấp.
10 1.2.1.1. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm Mở đầu, tác giả trình bày định lí về sự tồn tại duy nhất một điểm 𝐺𝐺 thỏa đẳng thức vectơ ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ��⃗ 𝐺𝐺𝑃𝑃𝚤𝚤 = �0⃗ với ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ≠ 0 trong không gian affine. Định lí 1. Cho hệ 𝑘𝑘 điểm 𝑃𝑃1 ,..., 𝑃𝑃𝑘𝑘 của không gian affine 𝚨𝚨 và 𝑘𝑘 phần tử 𝜆𝜆 1 , ..., 𝜆𝜆 k R R thuộc trường 𝚱𝚱 sao cho ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ≠ 0. Khi đó có một và chỉ một điểm 𝐺𝐺 ∈ 𝚨𝚨 sao cho: ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ��⃗ 𝐺𝐺𝑃𝑃𝚤𝚤 = �0⃗. Chứng minh. Lấy một điểm 𝑂𝑂 tùy ý của không gian affine 𝚨𝚨 thì điểm 𝐺𝐺 xác định bởi: ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ��⃗ 𝐺𝐺𝑃𝑃𝚤𝚤 = �0⃗ ⟺ ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 �𝑂𝑂𝑃𝑃 ��⃗𝚤𝚤 − ��⃗ �⃗ 𝑂𝑂𝑂𝑂 � = 0 ⟺ ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ��⃗ 𝑂𝑂𝑃𝑃𝚤𝚤 = �∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 � ��⃗ 𝑂𝑂𝑂𝑂 . 1 Do đó: ��⃗ 𝑂𝑂𝑂𝑂 = ∑𝑘𝑘 𝜆𝜆 ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ��⃗ 𝑂𝑂𝑃𝑃𝚤𝚤 (1) 𝑖𝑖=1 𝑖𝑖 Vậy điểm 𝐺𝐺 tồn tại và được xác định duy nhất do biểu thức (1) ở trên. [15, tr.23] “Điểm” được xem là điểm trong không gian Euclide, vectơ trong không gian vectơ, bộ số có tính thứ tự (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ) trong không gian 𝑹𝑹𝒏𝒏 . 𝑲𝑲 là một trường tùy ý. Kỹ thuật sử dụng để chứng minh định lí 1 là áp dụng quy tắc ba điểm được nêu ra ở trang 7 của giáo trình: “Với ba điểm bất kì 𝑂𝑂, 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 ∈ 𝑨𝑨 ta có ��⃗ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = ��⃗ 𝑂𝑂𝑂𝑂 − ��⃗ 𝑂𝑂𝑂𝑂.” Định nghĩa phát biểu sau chứng minh đem lại cho điểm 𝐺𝐺 tên gọi tâm tỉ cự của hệ điểm gắn với họ hệ số (chúng tôi gọi tắt là tâm tỉ cự hoặc tâm tỉ cự của hệ điểm). Định nghĩa. Điểm 𝐺𝐺 nói trong định lí trên đây được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm 𝑃𝑃𝑖𝑖 gắn với họ hệ số 𝜆𝜆 i . [15, tr.24] R Tác giả nhấn mạnh điều kiện tồn tại tâm tỉ cự của một hệ điểm gắn với họ hệ số, đó là: tổng tất cả các số trong họ hệ số phải khác không. Khi đã tồn tại thì vị trí của 1 tâm tỉ cự được xác định bởi đẳng thức ��⃗ 𝑂𝑂𝑂𝑂 = ∑𝑘𝑘 ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ��⃗ 𝑂𝑂𝑃𝑃𝚤𝚤 . 𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 Trung điểm của đoạn thẳng hay trọng tâm của một hệ điểm được tác giả xem là trường hợp đặc biệt của tâm tỉ cự khi các hệ số bằng nhau. Trường hợp đặc biệt nếu các 𝜆𝜆 i bằng nhau, điểm 𝐺𝐺 gọi là trọng tâm của hệ điểm R P1 , P2 , … , Pk . Chú ý: a) Nếu thay các hệ số 𝜆𝜆1 , 𝜆𝜆2 , … , 𝜆𝜆𝑘𝑘 với ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ≠ 0 bởi 𝑘𝑘𝜆𝜆1 , 𝑘𝑘𝜆𝜆2 , … , 𝑘𝑘𝜆𝜆𝑘𝑘 với 𝑘𝑘 ∈ 𝐾𝐾\{0} thì tâm tỉ cự 𝐺𝐺 không thay đổi. Vậy trong trường hợp 𝐺𝐺 là trọng tâm có
11 thể lấy các 𝜆𝜆𝑖𝑖 = 1 và khi đó trọng tâm 𝐺𝐺 của hệ điểm P1 , P2 , … , Pk được xác định 1 bởi hệ thức: ��⃗ ��⃗𝚤𝚤 . 𝑂𝑂𝑂𝑂 = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑂𝑂𝑃𝑃 𝑘𝑘 b) Khi 𝑘𝑘 = 2 trọng tâm 𝐺𝐺 của hai điểm P1 và P2 còn gọi là trung điểm của cặp điểm (P1 , P2 ). [15, tr.24] Tính thuần nhất của tâm tỉ cự được xác định trong chú ý: “Nếu thay các hệ số 𝜆𝜆1 , 𝜆𝜆2 , … , 𝜆𝜆𝑘𝑘 với ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ≠ 0 bởi 𝑘𝑘𝜆𝜆1 , 𝑘𝑘𝜆𝜆2 , … , 𝑘𝑘𝜆𝜆𝑘𝑘 với 𝑘𝑘 ∈ 𝐾𝐾\{0} thì tâm tỉ cự 𝐺𝐺 không thay đổi.” Chúng tôi xếp khái niệm tâm tỉ cự được tác giả Nguyễn Mộng Hy giới thiệu thuộc giai đoạn tường minh của khái niệm. Từ đó, nghĩa vật lí mà chúng tôi quan tâm trong phân tích này là khái niệm tâm tỉ cự dùng để xác định vị trí tâm của hệ lực song song, điểm cân bằng hoặc trọng tâm. Một số tính chất khác của khái niệm cũng được trình bày sau đó. Định lí 2. Tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của hệ điểm Po , P1 , … , Pk với các họ hệ số khác nhau là cái phẳng có số chiều bé nhất chứa các điểm P i ấy. Hệ quả. Cho 𝑚𝑚–phẳng 𝛼𝛼 đi qua 𝑚𝑚 + 1 điểm độc lập Po , P1 , … , Pm . Khi đó 𝛼𝛼 chính là tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của hệ điểm đó gắn với các họ hệ số khác nhau. [15, tr.24- 25] Hệ quả trên cho thấy: tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của một hệ điểm xác định nên cái phẳng có số chiều bé nhất được tạo nên từ hệ điểm đó. Như vậy, mỗi điểm bất kì thuộc vào một cái phẳng gồm 𝑘𝑘 điểm luôn là tâm tỉ cự của hệ điểm này ứng với một họ hệ số cụ thể nào đó. Kết quả này cũng chính thức được xác nhận trong phần chứng minh của định lí 3. Định lý 3. Cho 𝑚𝑚–phẳng 𝛼𝛼 đi qua 𝑚𝑚 + 1 điểm độc lập Po , P1 , … , Pm và một điểm 𝑂𝑂 tùy ý. Điều kiện cần và đủ để điểm 𝑀𝑀 thuộc 𝛼𝛼 là: ��⃗ 𝑂𝑂𝑂𝑂 = ∑𝑚𝑚 ��⃗ 𝑚𝑚 𝑖𝑖=0 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝑂𝑂𝑃𝑃𝚤𝚤 trong đó ∑𝑖𝑖=0 𝜆𝜆𝑖𝑖 = 1. Chứng minh Điểm 𝑀𝑀 ∈ 𝛼𝛼 ⟺ 𝑀𝑀 là tâm tỉ cự của hệ điểm 𝑃𝑃𝑜𝑜 , 𝑃𝑃1 , … , 𝑃𝑃𝑚𝑚 gắn với họ các hệ số 𝛽𝛽0 , 𝛽𝛽1 , … , 𝛽𝛽𝑚𝑚 nào đó, nghĩa là với một điểm 𝑂𝑂 tùy ý ta có: 𝑀𝑀 ∈ 𝛼𝛼 ⟺ ∑𝑚𝑚 ��⃗ �⃗ 𝑚𝑚 ��⃗ ��⃗ �⃗ 𝑖𝑖=0 𝛽𝛽𝑖𝑖 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑖𝑖 = 0 ⟺ ∑𝑖𝑖=0 𝛽𝛽𝑖𝑖 �𝑂𝑂𝑂𝑂𝑖𝑖 − 𝑂𝑂𝑂𝑂 � = 0 ⟺ (∑𝑚𝑚 ��⃗ 𝑚𝑚 ��⃗ 𝑖𝑖=0 𝛽𝛽𝑖𝑖 )𝑂𝑂𝑂𝑂 = ∑𝑖𝑖=0 𝛽𝛽𝑖𝑖 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑖𝑖 𝛽𝛽 Vì ∑𝑚𝑚 𝑖𝑖=0 𝛽𝛽𝑖𝑖 ≠ 0 nên nếu đặt 𝜆𝜆𝑖𝑖 = ∑𝑚𝑚 𝑖𝑖 ��⃗ = ∑𝑚𝑚 thì 𝑂𝑂𝑂𝑂 ��⃗ 𝑚𝑚 𝑖𝑖=0 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑖𝑖 và ∑𝑖𝑖=0 𝜆𝜆𝑖𝑖 = 1. 𝑖𝑖=0 𝛽𝛽𝑖𝑖 [15, tr.25-26]