Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Một số bài toán về dãy số

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:87

Thêm vào BST

Báo xấu

239
lượt xem 32
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn với đề tài “Một số bài toán về dãy số” có mục đích trình bày một cách hệ thống, chi tiết tính chất số học của dãy số, giới hạn dãy số. Luận văn được trình bày với 3 chương. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Một số bài toán về dãy số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thành Giáp MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thành Giáp MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Phạm Văn Quốc Hà Nội - 2011
Mục lục Lời nói đầu 3 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 5 1.1. Dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. Cách cho một dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3. Một vài dãy số đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4. Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Sơ lược về phương pháp sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1. Đồng dư thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2. Một số định lý cơ bản của số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2. Tính chất số học của dãy số 17 2.1. Tính chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Tính chất số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1
2.3. Tính chính phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Chương 3. Giới hạn của dãy số 60 3.1. Giới hạn của tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2. Dãy con và sự hội tụ của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.3. Dãy số xác định bởi phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.4. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Kết luận 84 Tài liệu tham khảo 85 2
Lời nói đầu Dãy số là một lĩnh vực khó và rất rộng, trong các đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế cũng thường xuất hiện các bài toán về dãy số. Để giải được các bài toán về dãy số đòi hỏi người làm toán phải có kiến thức tổng hợp về số học, đại số, giải tích. Các vấn đề liên quan đến dãy số cũng rất đa dạng và cũng có nhiều tài liệu viết về vấn đề này, các tài liệu này cũng thường viết khá rộng về các vấn đề của dãy số, các vấn đề được quan tâm nhiều hơn là các tính chất số hoc và tính chất giải tích của dãy số. Tính chất số học của dãy số thể hiện như tính chia hết, tính nguyên, tính chính phương. . . , tính chất giải tích có nhiều dạng nhưng quan trọng là các bài toán tìm giới hạn dãy số. Các bài toán về dãy số thường là các bài toán hay và khó, tác giả luận văn đã sưu tầm, chọn lọc và phân loại theo từng chủ đề. Luận văn với đề tài “Một số bài toán về dãy số” có mục đích trình bày một cách hệ thống, chi tiết tính chất số học của dãy số, giới hạn dãy số. Luận văn được trình bày với 3 chương. Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị. Chương này hệ thống lại kiến thức cơ bản nhất về dãy số, số học, phương pháp sai phân sẽ được dùng để giải quyết các bài toán trong các chương sau. Chương 2. Tính chất số học của dãy số. Chương này trình bày một số vấn đề về tính chất số học của dãy số như tính chia hết, tính nguyên, tính chính phương. . . và nêu ra các phương pháp giải toán, phân tích các bài toán cụ thể. 3
Chương 3. Giới hạn của dãy số. Chương này đề cập đến một số bài toán về giới hạn dãy số như: Giới hạn của tổng, dãy con và sự hội tụ của dãy số, dãy số xác định bởi phương trình cùng với phương pháp giải cụ thể cho từng dạng toán. Luận văn được hoàn thành với sự quan tâm giúp đỡ, hướng dẫn khoa học của TS. Phạm Văn Quốc, thày đã tận tình chỉ bảo cách tập nghiên cứu khoa học, cách làm và trình bày bản luận văn này đồng thời thày cũng có nhiều ý kiến quý báu để hoàn thành luận văn. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc nhất tới thày. Nhân dịp này tác giả cũng xin cảm ơn khoa Toán – Cơ – Tin học, phòng Sau đại học, phòng Công tác chính trị sinh viên trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà nội đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong suốt hai năm học cũng như trong quá trình làm luận văn, cảm ơn Ban giám hiệu, các bạn đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Trung Ngạn đã giúp đỡ cho tác giả trong công tác và trong học tập thời gian qua, tác giả cũng xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã cổ vũ, động viên tác giả vượt qua mọi khó khăn để hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2011 Học viên Nguyễn Thành Giáp 4
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Dãy số 1.1.1. Định nghĩa Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N∗ được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: u :N∗ 7−→ R n 7−→ u(n) Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển: u1 , u2 , ..., un , .... Trong đó un = u(n) và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số. Mỗi hàm số u xác định trên tập M = 1, 2, 3, . . . , m với m ∈ N∗ được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của nó là u1 , u2 , ..., um trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối. Dãy số (un ) được gọi là: • Dãy đơn điệu tăng nếu un+1 > un với mọi n = 1, 2, ... 5
• Dãy đơn điệu không giảm nếu un+1 ≥ un với mọi n = 1, 2, ... • Dãy đơn điệu giảm nếu un+1 < un với mọi n = 1, 2, ... • Dãy đơn điệu không tăng nếu un+1 ≤ un với mọi n = 1, 2, ... Dãy (un ) được gọi là: • Dãy số bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho un < M , với mọi N = 1, 2, ... • Dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho un > m, với mọi N = 1, 2, ... • Dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. Dãy số (un ) được gọi là tuần hoàn với chu kỳ k nếu un+k = un , với mọi n ∈ N. Dãy số (un ) được gọi là dãy dừng nếu tồn tại một số N0 sao cho un = C với mọi n ≥ N0 . (C là hằng số, gọi là hằng số dừng) 1.1.2. Cách cho một dãy số Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát: Ví dụ xét dãy số (un ) được cho bởi √ √ 1 1 + 5 n 1 1 − 5 n un = √ −√ . 5 2 5 2 Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi: Dãy số (un ) được xác định bởi  u1 = 1, u2 = 50  un+1 = 4un + 5un−1 − 1975,  n = 2, 3, 4, ... Dãy số cho bằng phương pháp mô tả: Ví dụ xét dãy số (un ) được cho bởi: a1 = 19, a2 = 98. Với mỗi số nguyên n ≥ 1, xác định an+2 bằng số dư của phép chia an + an+1 cho 100. 6
1.1.3. Một vài dãy số đặc biệt 1.1.3.1. Cấp số cộng Định nghĩa 1.1.1. Dãy số u1 , u2 , u3 , ... được gọi là một cấp số cộng với công sai d (d khác 0) nếu un = un−1 + d với mọi n = 2, 3, ... Tính chất: 1. un = u1 + (n − 1)d. uk−1 + uk+1 2. uk = với mọi k = 2, 3, ... 2 3. Nếu cấp số cộng có hữu hạn phần tử u1 , u2 , ..., un thì u1 +un = uk +un−k với mọi k = 2, 3, ..., n − 1 và n n Sn = u1 + u2 + · · · + un = (u1 + un ) = [2u1 + (n − 1)d]. 2 2 1.1.3.2. Cấp số nhân Định nghĩa 1.1.2. Dãy số u1 , u2 , u3 , ... được gọi là một cấp số nhân với công bội q (q khác 0 và khác 1) nếu un = un−1 q với mọi n = 2, 3, ... Tính chất: 1. un = u1 q n−1 với mọi n = 2, 3, .... 2. u2k = uk−1 · uk+1 với mọi k = 2, 3, ... u1 (q n − 1) 3. Sn = u1 + u2 + · · · + un = . q−1 1.1.3.3. Dãy Fibonacci Định nghĩa 1.1.3. Dãy u1 , u2 , ... được xác định như sau:  u1 = 1, u2 = 1  un = un−1 + un−2 , với mọi n = 2, 3, ...  7
được gọi là dãy Fibonacci. Bằng phương pháp sai phân có thể tìm được công thức tổng quát của dãy là: √ √ 1 1 + 5 n 1 1 − 5 n un = √ −√ . 5 2 5 2 1.1.4. Giới hạn của dãy số Định nghĩa 1.1.4. Ta nói rằng dãy số (un ) có giới hạn là hằng số thực a hữu hạn nếu với mọi số dương ε (có thể bé tùy ý), luôn tồn tại chỉ số n0 ∈ N (n0 có thể phụ thuộc vào ε và vào dãy số (un ) đang xét), sao cho với mọi chỉ số n ∈ N, n ≥ n0 ta luôn có |un − a| < ε. Khi đó kí hiệu lim un = a hoặc n→+∞ lim un = a và còn nói rằng dãy số (un ) hội tụ về a. Dãy số không hội tụ gọi là dãy phân kì. Định lý 1.1.5. Nếu một dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất. Định lý 1.1.6 (Tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass). a) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ. b) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ. c) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. Định lý 1.1.7. Nếu (un ) → a và (vn ) ⊂ (un ), (vn ) 6= C thì (vn ) → a. Định lý 1.1.8 (định lý kẹp giữa về giới hạn). Nếu với mọi n ≥ n0 ta đều có un ≤ xn ≤ vn và lim un = lim vn = a thì lim xn = a. Định lý 1.1.9 (định lý Lagrange). Nếu hàm số f (x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trong khoảng (a; b) thì tồn tại c ∈ (a; b) thỏa mãn: f (b) − f (a) = f 0 (c)(b − a). Định lý 1.1.10 (định lý trung bình Cesaro). Nếu dãy số (un ) có giới hạn u + u + · · · + u 1 2 n hữu hạn là a thì dãy các trung bình cộng cũng có giới hạn n 8
là a. Định lý này có thể phát biểu dưới dạng tương đương sau: Định lý 1.1.11 (định lý Stolz). Nếu lim (un+1 − un ) = a thì n→+∞ un lim = a. n→+∞ n Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp a = 0. Vì lim (un+1 − un ) = a nên với mọi ε > 0 luôn tồn tại N0 sao cho với mọi n→+∞ n ≥ N0 , ta có |un+1 − un | < ε. Khi đó, với mọi n > N0 ta có
u
1 1 ε
n
≤ |uN0 | + |uN0 +1 − uN0 | + · · · + |un − un−1 | < |uN0 | · + (n − N0 ) · n n n n 1 Giữ N0 cố định, ta có thể tìm được N1 > N0 sao cho < ε. Khi đó với
u
N1 |uN0 |
n