Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương trình tích phân kỳ dị với dịch chuyển và phản xạ trên trục thực

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:65

Thêm vào BST

Báo xấu

65
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của luận văn tập trung nghiên cứu lớp các phương trình tích phân kỳ dị với dịch chuyển và phản xạ trên trục thực dạng (2.11). Bằng phương pháp sử dụng bài toán biên Riemann và của hệ thống các phương trình đại số tuyến tính, tác giả đã đưa ra một phương pháp đại số để thu được các nghiệm của phương trình (2.11) trong các trường hợp khác nhau.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương trình tích phân kỳ dị với dịch chuyển và phản xạ trên trục thực

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ GIANG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ VỚI DỊCH CHUYỂN VÀ PHẢN XẠ TRÊN TRỤC THỰC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI, NĂM 2010 1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ GIANG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ VỚI DỊCH CHUYỂN VÀ PHẢN XẠ TRÊN TRỤC THỰC Chuyên ngành : GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2010
Mục lục Mở đầu 5 1 Công thức Sokhotski - Plemelij và bài toán biên Riemann 8 1.1 Công thức Sokhotski - Plemelij . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1 Công thức Sokhotski - Plemelij . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2 Công thức Sokhotski - Plemelij trên trục thực . . . . 10 1.2 Bài toán biên Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Bài toán bước nhảy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Bài toán thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3 Hàm chính tắc của bài toán thuần nhất . . . . . . . 14 1.2.4 Bài toán không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.5 Bài toán biên Riemann trên nửa mặt phẳng . . . . . 17 2 Phương trình tích phân kỳ dị với phép phản xạ 23 2.1 Phương trình tích phân kỳ dị dạng đặc trưng . . . . . . . . 23 2.1.1 Phương trình đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2 Chuyển phương trình đặc trưng về bài toán biên Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Phương trình tích phân kỳ dị với phép phản xạ . . . . . . . 27 2.2.1 Tính giải được của phương trình với phép phản xạ . 29 2.2.2 Trường hợp A1 (t)C1 (t) − A2 (t)C2 (t) 6= 0, ∀t ∈ R . . 30 2.2.3 Trường hợp A1 (t)C1 (t) − A2 (t)C2 (t) ≡ 0. . . . . . . 33 2.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 Phương trình tích phân kỳ dị với phép tịnh tiến trong lớp hàm tuần hoàn 50 3
3.1 Toán tử sinh bởi nhóm hữu hạn các đối hợp . . . . . . . . . 50 3.2 Phương trình tích phân kỳ dị với phép tịnh tiến . . . . . . . 53 3.3 Phương trình tích phân kỳ dị với phép tịnh tiến và phản xạ 56 3.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Kết luận 64 Tài liệu tham khảo 65 4
Mở đầu Lý thuyết các toán tử tích phân kỳ dị và các bài toán biên Riemann của hàm giải tích biến phức đã được xây dựng và phát triển rất mạnh mẽ trong nửa thế kỷ, từ những năm 1920 đến 1970. Các kết quả này gắn với tên tuổi nhiều nhà toán học nổi tiếng như Noether, Muskhelishvili, Gakhov, Vekua, ... Trong các giáo trình lý thuyết hàm biến phức ở đại học, chúng ta đã biết đến tích phân Cauchy, tích phân dạng Cauchy và tích phân với nghĩa giá trị chính theo Cauchy: Giả sử Γ là chu tuyến đóng và trơn trong mặt phẳng phức, chia mặt phẳng phức thành miền trong D+ và miền ngoài D− . Khi f (z) là hàm giải tích trong D+ và liên tục trong D+ ∪ Γ, thì theo công thức tích phân Cauchy của lý thuyết hàm biến phức, ta có f (z), khi z ∈ D+ 1 f (τ ) Z dτ = (1) 2πi τ − z 0, khi z ∈ D− . Γ Nếu hàm f (z) giải tích trong D− và liên tục trong D− ∪ Γ, thì f (∞), khi z ∈ D+ 1 f (τ ) Z dτ = (2) 2πi τ − z −f (z) + f (∞), khi z ∈ D− . Γ Công thức tích phân Cauchy cho ta lời giải của bài toán biên trong lớp hàm giải tích. Tích phân ở vế trái của công thức (1) và (2) chính là tích phân Cauchy. Giả sử ϕ(τ ) là hàm liên tục trên chu tuyến Γ. Khi đó, tích phân 1 ϕ(τ ) Z Φ(z) = dτ 2πi τ − z Γ 5
được xây dựng cùng theo phương pháp như đối với tích phân Cauchy, được gọi là tích phân dạng Cauchy. Hàm số ϕ(τ ) này được gọi là hàm mật độ 1 và hàm là nhân Cauchy. τ −z Xét tích phân đường kỳ dị ϕ(τ ) Z dτ. (3) τ −t Γ Giả sử γ là đường tròn: γ = γ(t, ε) = {z ∈ C : |z − t| = ε} trong đó ε là số dương đủ bé sao cho γ chỉ cắt Γ tại hai điểm. Phần đường cong Γ nằm ngoài hình tròn {z ∈ C : |z − t| ≤ ε} được ký hiệu là Γ(ε). R ϕ(τ ) Định nghĩa 0.1. Giới hạn của tích phân dτ khi ε → 0 được gọi Γ(ε) τ − t là giá trị chính của tích phân kỳ dị (3). Mục tiêu của luận văn tập trung nghiên cứu lớp các phương trình tích phân kỳ dị với dịch chuyển và phản xạ trên trục thực dạng (2.11). Bằng phương pháp sử dụng bài toán biên Riemann và của hệ thống các phương trình đại số tuyến tính, chúng tôi đã đưa ra một phương pháp đại số để thu được các nghiệm của phương trình (2.11) trong các trường hợp khác nhau. Luận văn gồm phần mở đầu và được chia thành 3 chương Chương 1: Nhắc lại công thức Sokhotski Plemelij và trình bày cách giải của bài toán biên Riemann: bài toán bước nhảy, bài toán thuần nhất, bài toán không thuần nhất và bài toán biên Riemann trên nửa mặt phẳng và đưa ra một số ví dụ về bài toán biên Riemann trên nửa mặt phẳng. Đây là công cụ chính để giải các lớp phương trình tích phân kỳ dị với nhân khác nhau. Chương 2: Là phần chính của luận văn. Trước hết, nêu phương pháp giải phương trình tích phân kỳ dị dạng đặc trưng và một số ví dụ minh họa về phương trình tích phân kỳ dị dạng đặc trưng trên trục thực. Tiếp theo, trình bày phương pháp giải phương trình tích phân kỳ dị với phép phản xạ trên trục thực dạng (2.11) trong một số trường hợp khác nhau và đưa ra các ví dụ minh họa. 6
Chương 3: Đưa ra phương pháp để giải phương trình tích phân kỳ dị với phép tịnh tiến và phương trình tích phân kỳ dị với phép tịnh tiến và phản xạ trên trục thực bằng cách xác định đa thức đặc trưng và chính quy hóa của các toán tử tích phân kỳ dị sinh bởi nhóm hữu hạn các đối hợp. Sau đó xét một số ví dụ áp dụng cụ thể. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của NGND. GS. TSKH Nguyễn Văn Mậu, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà nội, người Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình hoàn thành bản luận văn này. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và kính trọng sâu sắc đối với Giáo sư. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới các thầy cô giáo, các thành viên, các anh chị đồng nghiệp trong Seminare Giải tích trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà nội về những ý kiến đóng góp quý báu, sự giúp đỡ tận tình và sự cổ vũ hết sức to lớn trong suốt thời gian qua. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng sau Đại học, khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường. 7
Chương 1 Công thức Sokhotski - Plemelij và bài toán biên Riemann 1.1 Công thức Sokhotski - Plemelij 1.1.1 Công thức Sokhotski - Plemelij Trong mục này, ta khảo sát bài toán cơ bản về sự tồn tại giá trị chính của tích phân dạng Cauchy trên chu tuyến của tích phân và đánh giá mối liên hệ giữa giá trị của hàm số với tích phân kỳ dị. Giả sử Γ là chu tuyến trơn (hoặc trơn từng khúc) trong mặt phẳng C. Xét hàm số 1 ϕ(τ ) Z Φ(z) = dτ, (1.1) 2πi τ − z Γ trong đó ϕ(τ ) thỏa mãn điều kiện Holder. Về sau, ta chỉ xét chu tuyến Γ là đóng. Trong trường hợp chu tuyến mở ta bổ sung thêm đường cong trơn tùy ý để nó đóng và đặt trên đường cong phụ đó ϕ(τ ) = 0. Để khảo sát giá trị của Φ(z) tại điểm t của chu tuyến, ta xét hàm số 1 ϕ(τ ) − ϕ(t) Z Ψ(z) = dτ. (1.2) 2πi τ −z Γ Ký hiệu giá trị của hàm giải tích Φ(z), Ψ(z) khi điểm z tiến tới điểm t của chu tuyến từ phía trong Φ+ (t), Ψ+ (t), tương ứng, và từ phía ngoài bởi Φ− (t), Ψ− (t), tương ứng (đối với chu tuyến mở sự tương ứng này được 8
thực hiện từ trái qua phải theo chiều dương của đường cong định hướng). Để mô tả hướng đi tới giới hạn, ta viết z → t+ hoặc z → t− . Giá trị của hàm số tương ứng tại điểm t của chu tuyến được ký hiệu bởi Φ(t), Ψ(t); trong đó Φ(t) là tích phân kỳ dị theo nghĩa giá trị chính 1 ϕ(τ ) Z Φ(t) = dτ. (1.3) 2πi τ − t Γ Xét hệ thức  2πi, khi z ∈ D+ , dτ Z = 0, khi z ∈ D− , (1.4) τ − z πi, khi z ∈ Γ, Γ ta nhận được h 1 Z ϕ(τ ) ϕ(t) Z dτ i + Ψ (t) = lim+ dτ − = Φ+ (t) − ϕ(t), z→t 2πi τ −z 2πi τ −z Γ Γ h 1 Z ϕ(τ ) ϕ(t) Z dτ i Ψ− (t) = lim− dτ − = Φ− (t), z→t 2πi τ −z 2πi τ −z Γ Γ 1 ϕ(τ ) ϕ(t) dτ 1 Z Z Ψ(t) = dτ − = Φ(t) − ϕ(t). 2πi τ −t 2πi τ −t 2 Γ Γ Vì hàm số Ψ(t) là liên tục, nên vế phải của hệ thức là đồng nhất, tức là 1 Φ+ (t) − ϕ(t) = Φ− (t) = Φ(t) − ϕ(t). (1.5) 2 Vậy nên ta nhận được  R ϕ(τ ) + 1 1 Φ (t) = 2 ϕ(t) + 2πi τ −t dτ  Γ R (1.6) − 1 1 ϕ(τ ) Φ (t) = − 2 ϕ(t) + 2πi τ −t dτ  Γ trong đó tích phân kỳ dị được hiểu theo nghĩa giá trị chính. Công thức (1.6) được gọi là công thức Sokhotski - Plemelij. 9
Trừ và cộng các vế tương ứng của công thức (1.6) ta nhận được hai công thức tương đương sau đây: Φ+ (t) − Φ− (t) = ϕ(t), (1.7) 1 ϕ(τ ) Z Φ+ (t) + Φ− (t) = dτ. (1.8) πi τ − t Γ 1.1.2 Công thức Sokhotski - Plemelij trên trục thực Tương tự với chu tuyến hữu hạn ta có công thức Sokhotski - Plemelij đối với chu tuyến vô hạn:  +∞ R ϕ(τ )  + 1 1 Φ (t) = 2 ϕ(t) + 2πi τ −t dτ   −∞ +∞ R ϕ(τ ) − 1 1 Φ (t) = − 2 ϕ(t) + τ −t dτ   2πi  −∞ Đặc biệt, ta có dáng điệu của hàm số Φ(z) trong lân cận của vô cùng (xem [1]) là 1 1 Φ+ (∞) = ϕ(∞), Φ− (∞) = − ϕ(∞). 2 2 1.2 Bài toán biên Riemann Giả thiết rằng Γ là chu tuyến đóng, đơn và trơn chia mặt phẳng phức thành miền trong D+ và miền ngoài D− (giả thiết ∞ ∈ D− ),và cho hai hàm số trên chu tuyến, G(t) và g(t) thỏa mãn điều kiện Holder, trong đó G(t) không triệt tiêu trên biên. Ta cần xác định hai hàm số Φ+ (z), giải tích trong miền D+ , và Φ− (z), giải tích trong miền D− , kể cả z = ∞, và thỏa mãn trên chu tuyến Γ hệ thức thuần nhất (bài toán thuần nhất) Φ+ (t) = G(t)Φ− (t) (1.9) hoặc hệ thức không thuần nhất (bài toán không thuần nhất) Φ+ (t) = G(t)Φ− (t) + g(t). (1.10) Hàm số G(t) được gọi là hệ số của bài toán Riemann, và hàm số g(t) là phần tử tự do. 10
1.2.1 Bài toán bước nhảy Trước tiên, ta xét bài toán biên Riemann dạng đơn sơ nhất. Giả thiết rằng trên chu tuyến đóng Γ cho hàm số ϕ(t) thỏa mãn điều kiện Holder. Ta cần xác định hai hàm số giải tích Φ(z) = Φ+ (z) với z ∈ D+ , Φ(z) = Φ− (z) với z ∈ D− , triệt tiêu tại vô cùng và thỏa mãn điều kiện Φ+ (t) − Φ− (t) = ϕ(t). (1.11) Từ công thức Sokhotski-Plemelij, hiển nhiên rằng hàm số 1 ϕ(τ ) Z Φ(z) = dτ (1.12) 2πi τ − z Γ là nghiệm của bài toán. Dễ dàng chứng minh rằng đây chính là nghiệm duy nhất của bài toán. Thật vậy, giả sử tồn tại hai nghiệm. Ta xét hiệu của chúng. Ta thấy bước nhảy của hiệu này là zero trên Γ. Hàm số này giải tích trong toàn mặt phẳng phức và triệt tiêu tại vô cùng. Vậy nên theo định lý Liouville thì nó đồng nhất bằng 0. Nghiệm của bài toán trên có thể phát biểu dưới dạng sau. Mọi hàm số tùy ý ϕ(t) cho trên chu tuyến đóng và thỏa mãn điều kiện Holder đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng hiệu của hàm số Φ+ (t), Φ− (t) là giá trị biên của hàm số giải tích Φ+ (z), Φ− (z) dưới giả thiết Φ− (∞) = 0. Nếu không đòi hỏi điều kiện Φ− (∞) = 0, thì nghiệm của bài toán được cho bởi công thức 1 ϕ(τ ) Z Φ(z) = dτ + const . (1.13) 2πi τ − z Γ 1.2.2 Bài toán thuần nhất Giả thiết rằng bài toán biên thuần nhất (1.9) có nghiệm và giả sử hàm số Φ+ (z) và Φ− (z) là nghiệm của nó. Để giải bài toán biên Riemann, ta quan tâm đến khái niệm chỉ số của hàm số. Giả sử Γ là một chu tuyến đóng, trơn và G(t) là một hàm số liên tục không triệt tiêu trên Γ. 11
Định nghĩa 1.1. Chỉ số của hàm số G(t) dọc theo chu tuyến Γ được hiểu là tỷ số độ tăng trưởng (số gia) của argument của nó khi chuyển động hết một lượt dọc theo chu tuyến (theo chiều dương) và 2π. Vì hàm G(t) liên tục nên sự tăng trưởng của argument dọc theo chu tuyến đóng sẽ là bội của 2π. Vậy nên ta có một số tính chất về chỉ số của hàm số: 1. Chỉ số của hàm số liên tục trên chu tuyến đóng và không triệt tiêu trên đó luôn là một số nguyên. 2. Chỉ số của tích hai hàm số bằng tổng các chỉ số. Chỉ số của một thương bằng hiệu các chỉ số tương ứng. 3. Nếu G(t) là giá trị biên của hàm số giải tích từ bên trong hoặc từ bên ngoài chu tuyến thì chỉ số của nó bằng số không điểm từ bên trong hoặc từ bên ngoài chu tuyến lấy dấu âm. 4. Nếu hàm số G(z) là giải tích từ bên trong chu tuyến trừ ra hữu hạn điểm có thể là các cực điểm thì chỉ số bằng hiệu giữa số không điểm và số cực điểm (kể cả bội). Gọi số không điểm của hàm số Φ+ (z), Φ− (z) trong miền xác định D+ , D− tương ứng bởi N + , N − . Tính chỉ số của hai vế của hệ thức (1.9) ta nhận được N + + N − = IndG(t) = κ . (1.14) Chỉ số κ của bài toán biên Riemann được gọi là chỉ số của bài toán. Hiển nhiên vế trái của hệ thức cuối cùng là không âm. Vậy nên 1. Để bài toán biên Riemann thuần nhất giải được, điều kiện cần là chỉ số κ của bài toán là không âm (theo giả thiết, hàm số Φ+ (z) và Φ− (z) không có cực điểm). 2. Nếu κ > 0 hàm số Φ+ (z), Φ− (z) là nghiệm của bài toán có κ không điểm. 3. Nếu κ = 0 hàm số Φ± (z) không có không điểm. i. Trường hợp κ = 0. Khi đó ln G(t) là hàm số đơn trị, và ln Φ+ (z) và ln Φ− (z) là giải tích trong các miền D± tương ứng. Lấy logarit hai vế của điều kiện biên (1.9) ta thu được ln Φ+ (t) − ln Φ− (t) = ln G(t), (1.15) 12
trong đó ln G(t) là nhánh liên tục tùy ý. Dễ dàng kiểm tra rằng kết quả nhận được không phụ thuộc vào việc chọn nhánh nào của logarit. Vậy nên, ta thu được nghiệm của bài toán: Xác định cặp hàm số giải tích ln Φ(z) tương ứng với bước nhảy cho trước trên Γ. Nghiệm của bài toán với điều kiện kèm thêm ln Φ− (∞) = 0 được cho bởi công thức 1 ln G(τ ) Z ln Φ(z) = dτ. (1.16) 2πi τ −z Γ Ký hiệu ln Φ(z) = Γ(z). (1.17) Từ công thức Sokhotski - Plemelij, ta suy ra nghiệm của bài toán biên (1.9) thỏa mãn điều kiện Φ− (∞) = 1, được cho bởi hàm số + − Φ+ (z) = eΓ (z) , Φ− (z) = eΓ (z) . (1.18) Nếu không đòi hỏi điều kiện Φ− (∞) = 1 thì công thức (1.16) phải chứa hằng số tự do và nghiệm của bài toán có dạng + − Φ+ (z) = AeΓ (z) , Φ− (z) = AeΓ (z) , (1.19) trong đó A là hằng số tùy ý, vì Γ− (∞) = 0, A là giá trị của Φ− (z) tại vô cùng. Vậy nên trong trường hợp κ = 0 và thêm điều kiện Φ− (∞) 6= 0 thì nghiệm chứa một hằng số tùy ý, tức là tồn tại một nghiệm độc lập tuyến tính. Nếu Φ− (∞) = 0 thì A = 0 và bài toán chỉ có nghiệm tầm thường đồng nhất bằng 0. Từ điều kiện trên ta thu được hệ quả sau. Hàm số tùy ý G(t) cho trên chu tuyến Γ, thỏa mãn điều kiện Holder và có chỉ số bằng 0, luôn viết được dưới dạng thương của hàm số Φ+ (t) và Φ− (t) là các giá trị biên của hàm số giải tích trong miền D+ , D− và luôn khác 0 trong miền đó. Hàm số này được xác định sai khác một hằng số nhân tùy ý và được cho bởi công thức (1.19). ii. Trường hợp κ > 0. Giả thiết rằng gốc tọa độ nằm trong miền D+ . Hàm số tκ có chỉ số κ . Ta viết điều kiện biên dưới dạng Φ+ (t) = tκ [t−κ G(t)]Φ− (t). 13
Hiển nhiên hàm số G1 (t) = t−κ G(t) có chỉ số bằng 0. Biểu diễn nó dưới + eΓ (t) dạng thương G1 (t) = Γ− (t) , trong đó e 1 ln [τ −κ G(τ )] Z Γ(z) = dτ. (1.20) 2πi τ −z Γ Điều kiện biên được viết lại dưới dạng sau − Φ+ (t) κ Φ (t) = t Γ− (t) . eΓ+ (t) e Ta nhận được nghiệm tổng quát của bài toán là + − Φ+ (z) = eΓ (z) Pκ (z), Φ− (z) = eΓ (z) −κ z Pκ (z), (1.21) trong đó Pκ là đa thức bậc κ với hệ số tùy ý. 3. Nếu κ < 0 thì bài toán thuần nhất không có nghiệm. Nghiệm của bài toán hoàn toàn xác định nếu thêm κ + 1 điều kiện độc lập đối với các hàm số Φ+ (z), Φ− (z). Các điều kiện đó có thể cho bằng nhiều cách khác nhau. Về sau, trong áp dụng của bài toán biên Riemann để giải phương trình tích phân kỳ dị, ta thường tìm nghiệm của bài toán với điều kiện kèm thêm Φ− (∞) = 0. Từ công thức (1.21) thì Φ− (∞) bằng hệ số của z κ trong đa thức Pκ (z). Với điều kiện của nghiệm tại vô cùng bằng 0, ta viết nó dưới dạng + − Φ+ (z) = eΓ (z) Pκ−1 (z), Φ− (z) = eΓ (z) −κ z Pκ−1 (z), trong đó Pκ−1 là đa thức bậc κ − 1 với hệ số tùy ý. Vậy nên trong trường hợp này, bài toán có κ nghiệm độc lập tuyến tính. 1.2.3 Hàm chính tắc của bài toán thuần nhất Định nghĩa 1.2. Bậc của hàm số giải tích Φ(z) tại điểm z0 (ta ngầm hiểu) là lũy thừa thấp nhất trong khai triển của Φ(z) thành chuỗi lũy thừa của z − z0 . 14
Định nghĩa 1.3. Ta gọi hàm chính tắc của bài toán Riemann thuần nhất là hàm số giải tích thỏa mãn điều kiện biên (1.9) và khác 0 khắp nơi trong miền hữu hạn của mặt phẳng phức và tại điểm vô cùng có bậc bằng κ . Khi κ ≥ 0, thì hàm chính tắc không có cực điểm và là nghiệm của bài toán biên. Ta vẫn gọi nó là nghiệm chính tắc của bài toán tương ứng. Khi κ < 0, hàm chính tắc có cực điểm tại vô cùng và, ngược lại, ta thấy ngay rằng nó không là nghiệm của bài toán biên thuần nhất. Tuy nhiên, hàm chính tắc sẽ đóng vai trò là hàm số bổ trợ trong việc giải bài toán không thuần nhất tương ứng. Nếu ta viết lại điều kiện biên của bài toán biên Riemann dưới dạng Φ+ (t) = tκ [t−κ G(t)]Φ− (t), thì ta dễ dàng thấy rằng với κ tùy ý, hàm chính tắc của bài toán X(z) được cho bởi công thức + − X + (z) = eΓ (z) , X − (z) = z −κ eΓ (z) , (1.22) trong đó Γ(z) được cho bởi công thức (1.20). Khi κ ≥ 0, nghiệm tổng quát của bài toán thuần nhất được biểu diễn qua hàm chính tắc như sau Φ(z) = X(z)Pκ (z). 1.2.4 Bài toán không thuần nhất Ta viết lại hệ số G(t) của điều kiện biên Φ+ (t) = G(t)Φ− (t) + g(t) (1.23) bởi thương của giá trị biên của hàm chính tắc của bài toán thuần nhất, X + (t) G(t) = − . Ta có thể chuyển nó về dạng X (t) Φ+ (t) Φ− (t) g(t) + = − + + . X (t) X (t) X (t) 15
g(t) Ta thấy hàm số thỏa mãn điều kiện Holder. Giả sử ta thay nó X + (t) bởi hiệu của các giá trị biên của hàm số giải tích g(t) + = Ψ+ (t) − Ψ− (t), X (t) trong đó 1 g(τ ) dτ Z Ψ(z) = . (1.24) 2πi X + (τ ) τ − z Γ Khi đó, điều kiện biên có thể viết được dưới dạng Φ+ (t) Φ− (t) + − Ψ (t) = − − Ψ− (t). + X (t) X (t) Φ− (t) Ta thấy khi κ ≥ 0, hàm số − có cực điểm tại vô cùng bậc κ, và X (t) khi κ < 0, có không điểm bậc −κ . Tương tự bài toán thuần nhất, ta thu được kết quả sau: 1. Khi κ ≥ 0, thì Φ+ (z) Φ− (z) + + − Ψ (z) = − − Ψ− (z) = Pκ (z). X (z) X (z) Vậy nên, ta thu được nghiệm Φ(z) = X(z)[Ψ(z) + Pκ (z)], (1.25) trong đó X(z), Ψ(z) cho bởi công thức (1.22), (1.24); Pκ là đa thức bậc κ với hệ số tùy ý. Φ− (z) 2. Khi κ < 0, thì trong trường hợp này − triệt tiêu tại vô cùng và X (z) Φ+ (t) Φ− (t) + − Ψ+ (t) = − − Ψ− (t) = 0. X (t) X (t) Vậy nên Φ(z) = X(z)Ψ(z). 16
Khi κ < −1, bài toán không thuần nhất trong trường hợp tổng quát sẽ không có nghiệm. Điều kiện cần và đủ để nó giải được là −κ − 1 điều kiện sau được thỏa mãn: g(τ ) k−1 Z τ dτ = 0 (k = 1, 2, . . . , −κ − 1). X + (τ ) Γ Trong trường hợp Φ− (∞) = 0, nghiệm được cho khi κ ≥ 0 có dạng Φ(z) = X(z)[Ψ(z) + Pκ−1 (z)]. (Nếu κ = 0 ta cần đặt Pκ−1 (z) ≡ 0). Nếu κ < 0 thì nghiệm được cho bởi công thức Φ(z) = X(z)Ψ(z), và điều kiện cần là −κ điều kiện sau của nghiệm phải được thỏa mãn: g(τ ) k−1 Z τ dτ = 0 (k = 1, 2, . . . , −κ ). X + (τ ) Γ 1.2.5 Bài toán biên Riemann trên nửa mặt phẳng Giả thiết rằng chu tuyến Γ là trục thực. Ta phát biểu bài toán biên Riemann: Tìm cặp hàm số giải tích trong nửa mặt phẳng trên và dưới, Φ+ (z) và Φ− (z) (hàm giải tích từng khúc Φ(z)), mà giá trị biên của chúng thỏa mãn trên chu tuyến Γ điều kiện biên Φ+ (t) = G(t)Φ− (t) + g(t). (1.26) Hàm số đã cho G(t) và g(t) thỏa mãn điều kiện Holder trên chu tuyến. Ta cũng giả thiết rằng G(t) 6= 0 trên biên. Ta dựng hàm chính tắc với điểm đặc biệt được chọn là −i z − i −κ − + Γ+ (z) − X (z) = e , X (z) = eΓ (z) , (1.27) z+i trong đó Z+∞ h z − i −κ 1 i dτ Γ(z) = ln G(τ ) . 2πi z+i τ −z −∞ 17
Chuyển qua giá trị biên của hàm số này, ta chuyển điều kiện biên (1.26) về dạng Φ+ (t) Φ− (t) g(t) = + . X + (t) X − (t) X + (t) Tiếp theo, ta xét hàm số giải tích Z+∞ 1 g(τ ) dτ Ψ(z) = . (1.28) 2πi X + (τ ) τ − z −∞ Ta thu được điều kiện biên dưới dạng Φ+ (t) Φ− (t) − Ψ (t) = − − Ψ− (t). + X + (t) X (t) và nghiệm tổng quát của bài toán là h Pκ (z) i Φ(z) =X(z) Ψ(z) + khi κ ≥ 0 (z + i)κ Φ(z) = X(z)[Ψ(z) + q] khi κ < 0. Khi κ < 0 thì hàm số X(z) có cực điểm tại z = −i bậc −κ . Vậy nên để bài toán giải được, ta thu được điều kiện q = −Ψ− (−i). Khi κ < −1, để bài toán giải được thì cần thêm điều kiện sau được thỏa mãn Z+∞ g(τ ) dτ = 0 (k = 2, . . . , −κ ). X + (τ ) (τ + i)k −∞ Khi bài toán biên Riemann có nghiệm triệt tiêu tại vô cùng, thành phần tự do của điều kiện biên cũng phải triệt tiêu tại vô cùng. Giả thiết rằng ta có điều này. Khi đó nghiệm tổng quát của bài toán là h Pκ−1 (z) i Φ(z) =X(z) Ψ(z) + khi κ > 0 (z + i)κ−1 Φ(z) = X(z)Ψ(z) khi κ ≤ 0. Khi κ ≤ 0 thì điều kiện giải được trở thành Ψ(−i) = 0. Khi κ < 0, để bài toán giải được thì cần thêm −κ điều kiện sau được thỏa mãn Z+∞ g(τ ) dτ = 0 (k = 1, . . . , −κ ). X + (τ ) (τ + i)k −∞ 18
Ví dụ 1.1. Ta xét bài toán biên Riemann trên trục thực với hệ số là các hàm số hữu tỷ khác không và không có cực điểm trên biên. p(t) − Φ+ (t) = Φ (t) + g(t). (1.29) q(t) Lời giải Khai triển đa thức p(z), q(z) thành tích p(z) = p+ (z)p− (z), q(z) = q+ (z)q− (z), trong đó p+ (z), q+ (z) là các đa thức có nghiệm ở nửa trên của mặt phẳng phức, còn p− (z), q− (z) có nghiệm trong trong nửa dưới của mặt phẳng phức. Dễ dàng thấy rằng κ = m+ − n+ , trong đó m+ , n+ tương ứng là số các không điểm của đa thức p+ (z) và q+ (z). Vì rằng hệ số là một hàm số thác triển giải tích được vào trong nửa mặt phẳng trên và nửa mặt phẳng dưới nên ta có thể xét bài toán thác triển tổng quát. Viết điều kiện biên như sau q− (t) + p+ (t) − q− (t) Φ (t) − Φ (t) = g(t), p− (t) q+ (t) p− (t) ta thu được nghiệm ứng với Φ− (∞) = 0 là p (z) P (z)  − −1 Φ+ (z) = Ψ+ (z) +  κ  q− (z) (z + i)κ−1      q+ (z) Pκ−1 (z) Φ− (z) = Ψ− (z) +  p+ (z) (z + i)κ−1 1 +∞    R q− (τ ) dτ Ψ(z) = g(τ ) .   2πi −∞ p− (τ ) τ −z  Nếu chỉ số âm, thì chỉ cần đặt Pκ−1 = 0 và khi đó cần thêm |κ | điều kiện giải được: Z+∞ q− (τ ) dτ g(τ ) = 0 (k = 1, 2, . . . , −κ ). p− (τ ) (τ + i)k −∞ Ví dụ 1.2. Giải bài toán biên Riemann sau 2t − ih − t + ib Φ+ (t) = Φ (t) + 2 (h 6= 0, −∞ < t < +∞). t+i t +1 19
Lời giải 1. Trường hợp 1. h > 0, ta viết lại bài toán biên như sau: t + ib (t + i)Φ+ (t) − (2t − ih)Φ− (t) = . t−i Xét Z+∞ 1 τ + ib dτ Ψ(z) = 2πi τ −i τ −z −∞ Z+∞ Z+∞ 1 1 − b dτ 1 (1 + b)(τ + i) dτ = + . 2πi 2 τ − z 2πi 2(τ − i) τ − z −∞ −∞ Ta có 1−b (1 + b)(z + i) Ψ+ (z) = , Ψ− (z) = − . 2 2(z − i) Ta thu được nghiệm tổng quát của bài toán là 1−b + c − z+i 1+b c Φ (z) = + , Φ (z) = − + 2(z + i) z + i 2z − ih 2(z − i) z + i trong đó c là hằng số tùy ý. 2. Trường hợp 2. h < 0, ta viết lại bài toán biên như sau: t+i + t + ib Φ (t) − Φ− (t) = . 2t − ih (t − i)(2t − ih) Xét Z+∞ 1 τ + ib dτ Ψ(z) = 2πi (τ − i)(2τ − ih) τ − z −∞ Z+∞ Z+∞ 1 h + 2b dτ 1 1+b dτ = − . 2πi (h − 2)(2τ − ih) τ − z 2πi (h − 2)(τ − i) τ − z −∞ −∞ Ta có h + 2b 1+b Ψ+ (z) = , Ψ− (z) = . (h − 2)(2z − ih) (h − 2)(z − i) 20